Quest წყარო: გადაწყვეტილება 5346.-13. OGE 2016 მათემატიკა, ი.ვ. იაშჩენკო. 36 ვარიანტი.

დავალება 11. ABCD ტრაპეციაში ჩვენ ვიცით, რომ AB = CD, კუთხე BDA = 54° და კუთხე BDC = 33°. იპოვეთ კუთხე ABD. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

გადაწყვეტილება.

მოცემულია ტოლფერდა ტრაპეცია AB=CD გვერდებით. ვინაიდან ასეთი ტრაპეციის ფუძეების კუთხეები ტოლია, გვაქვს ის და . ვიპოვოთ A და D კუთხეების მნიშვნელობა. ფიგურიდან ჩანს, რომ კუთხე D (და შესაბამისად კუთხე A) უდრის:

ახლა განვიხილოთ სამკუთხედი ABD, რომელშიც ცნობილია კუთხეები A და BDA, და რადგან სამკუთხედში ყველა კუთხის ჯამი არის 180 გრადუსი, ჩვენ ვპოულობთ მესამე კუთხეს ABD:

პასუხი: 39.

დავალება 12. 1x1 ფურცელზე მონიშნულია სამი წერტილი: A, B და C. იპოვეთ მანძილი A წერტილიდან BC წრფემდე.

გადაწყვეტილება.

A წერტილიდან BC წრფემდე მანძილი არის A წერტილიდან BC მხარეს ჩამოშვებული ნორმალური (წითელი ხაზი ფიგურაში). ამ ნორმის სიგრძეა 3 უჯრედი, ანუ 3 ერთეული.

პასუხი: 3.

დავალება 13.ქვემოთ ჩამოთვლილთაგან რომელია სწორი?

1) სამკუთხედის ფართობი ნაკლებია, ვიდრე მისი ორი გვერდის ნამრავლი.

2) წრეში ჩაწერილი კუთხე უდრის იმავე რკალზე დაფუძნებულ შესაბამის ცენტრალურ კუთხეს.

3) წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, შეიძლება ამ წრფის პერპენდიკულარული წრფის დახატვა.

გადაწყვეტილება.

1) მართალია. სამკუთხედის ფართობი უდრის სამკუთხედის სიმაღლისა და ფუძის ნახევრის ნამრავლს და ყველა ეს სიდიდე ნაკლებია მისი ნებისმიერი ორი გვერდის სიგრძეზე.

თეორემა 1 (თალესის თეორემა). პარალელური ხაზები ჭრიან პროპორციულ სეგმენტებს მათ გადამკვეთ ხაზებზე (ნახ. 1).

განმარტება 1 . ორ სამკუთხედს (ნახ. 2) ჰქვია მსგავსი, თუ მათი შესაბამისი გვერდები პროპორციულია.

თეორემა 2 (მსგავსების პირველი ნიშანი). თუ პირველი სამკუთხედის კუთხე მეორე სამკუთხედის კუთხის ტოლია, ხოლო ამ კუთხეების მიმდებარე სამკუთხედების გვერდები პროპორციულია, მაშინ ასეთი სამკუთხედები მსგავსია (იხ. სურ. 2).

თეორემა 3 (მსგავსების მეორე ნიშანი). თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე უდრის, შესაბამისად, მეორე სამკუთხედის ორ კუთხეს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები მსგავსია (ნახ. 3).

თეორემა 4 (მენელაუსის თეორემა). თუ რომელიმე ხაზი კვეთს ABC სამკუთხედის AB და BC გვერდებს X და Y წერტილებში, შესაბამისად, და AC გვერდის გაგრძელება არის Z წერტილში (ნახ. 4), მაშინ

თეორემა 5. მოდით, სიმაღლეები AA1 და CC1 დახაზოთ ABC მახვილკუთხედ სამკუთხედში (ნახ. 5). მაშინ სამკუთხედები A1 BC1 და ABC მსგავსია და მსგავსების კოეფიციენტი უდრის cos ∠B.

ლემა 1. თუ ABC და DEF სამკუთხედების AC და DF გვერდები ერთსა და იმავე წრფეზე ან პარალელურ წრფეებზეა (ნახ. 6), მაშინ

ლემა 2. თუ ორ სამკუთხედს აქვს საერთო გვერდი AC (ნახ. 7), მაშინ

ლემა 3. თუ სამკუთხედებს ABC და AB1 C1 აქვთ საერთო კუთხე A, მაშინ

ლემა 4. მსგავსი სამკუთხედების ფართობები დაკავშირებულია როგორც მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატი.

ზოგიერთი თეორემის მტკიცებულება

თეორემა 4-ის დადასტურება . C წერტილში AB წრფის პარალელურად გავავლოთ წრფე, სანამ ის არ გადაკვეთს XZ წრფეს K წერტილში (სურ. 9). ეს უნდა დავამტკიცოთ

განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედების ორი წყვილი:

ამ ტოლობების ვამრავლით ვამრავლებით მივიღებთ:

ქ.ე.დ.

მე-5 თეორემის დადასტურება. მოდით დავამტკიცოთ სამკუთხედების A1 BC1 და ABC მსგავსება პირველი მსგავსების ტესტის გამოყენებით. ვინაიდან ამ ორ სამკუთხედს აქვს საერთო კუთხე B, ამის დასამტკიცებლად საკმარისია

მაგრამ ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ მართკუთხა სამკუთხედიდან ABA1, მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედიდან CBC1. გზაში მტკიცდება თეორემის მეორე ნაწილიც.

Პრობლემის გადაჭრა

დავალება 1. მოცემულია ABCD ტრაპეცია და ცნობილია, რომ BC = ადა AD = b. მისი BC და AD ფუძეების პარალელურად გავლებულია სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს AB მხარეს P წერტილში, AC დიაგონალს L წერტილში, BD დიაგონალს R წერტილში და გვერდს CD Q წერტილში (ნახ. 10). ცნობილია, რომ PL = LR. იპოვეთ P.Q.

გადაწყვეტილება. ჯერ დავამტკიცოთ, რომ PL = RQ. განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედების ორი წყვილი:

თალესის თეორემის მიხედვით გვაქვს:

მოდით ახლა აღვნიშნოთ PL = LR = RQ = x და კვლავ განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედების ორი წყვილი:

გვაქვს შემდეგი:

ნიშნავს,
უპასუხე:

დავალება 2. ABC სამკუთხედში A კუთხე არის 45° და კუთხე C მკვეთრია. BC მხარის N შუა წერტილიდან პერპენდიკულარული NM ჩამოშვებულია AC მხარეს (ნახ. 11). სამკუთხედების NMC და ABC ფართობები დაკავშირებულია შესაბამისად 1:8. იპოვეთ ABC სამკუთხედის კუთხეები.

გადაწყვეტილება.მოდით BH იყოს სიმაღლე, რომელიც ჩამოვარდა B წვეროდან AC მხარეს.
ვინაიდან NM არის BHC სამკუთხედის შუა ხაზი, მაშინ S∆BHC = 4S∆NMC .
მაგრამ, პრობლემის პირობის მიხედვით, S∆ABC = 8S∆NMC.
მაშასადამე, S∆ABC = 2S∆BHC, ამიტომ S∆ABH = S∆BHC. ასე რომ, AH = HC,
საიდანაც ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
პასუხი: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.

დავალება 3. მოცემულია ABC სამკუთხედი, რომელშიც B კუთხე უდრის 30°-ს, AB = 4 და BC = 6. B კუთხის ბისექტორი კვეთს AC მხარეს D წერტილში (ნახ. 12). იპოვეთ ABD სამკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ შიდა კუთხის ბისექტრის თეორემა ABC სამკუთხედზე:

ნიშნავს,

უპასუხე:

სტატია გამოქვეყნდა კომპანია World of Flowers-ის მხარდაჭერით. საქორწილო და რიტუალური საქონლის, ხელოვნური ყვავილების საბითუმო და საცალო საწყობი კრასნოდარში. საქორწილო აქსესუარები - სანთლები, პლაკატები, სათვალეები, ლენტები, მოსაწვევები და სხვა. რიტუალური საქონელი - ქსოვილები, ტანსაცმელი, აქსესუარები. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ მეტი კომპანიის შესახებ, იხილოთ პროდუქციის კატალოგი, ფასები და კონტაქტები ვებგვერდზე, რომელიც განთავსებულია: flowersworld.su.

დავალება 4. ABCD პარალელოგრამის BC გვერდის M შუა წერტილის გავლით, რომლის ფართობია 1, და A წვეროზე, გავლებულია ხაზი, რომელიც კვეთს BD დიაგონალს O წერტილში (სურ. 13). იპოვეთ ოთხკუთხედის OMCD ფართობი.
გადაწყვეტილება. ჩვენ მოვძებნით ოთხკუთხედის OMCD ფართობს, როგორც განსხვავება BCD და BOM სამკუთხედების ფართობებს შორის. BCD სამკუთხედის ფართობი უდრის ABCD პარალელოგრამის ფართობის ნახევარს და უდრის იპოვეთ BOM სამკუთხედის ფართობი. Ჩვენ გვაქვს:

∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒
Უფრო:

ნიშნავს,

უპასუხე:

დავალება 5. მართკუთხა სამკუთხედი MNC ჩაწერილია ABC მართკუთხა ტოლკუთხედის სამკუთხედში B წვეროზე მართი კუთხით ისე, რომ MNC კუთხე სწორია, N წერტილი AC-ზე, ხოლო M წერტილი AB მხარეს (ნახ. 14). რა თანაფარდობით უნდა გაიყოს N წერტილი AC ჰიპოტენუზა ისე, რომ MNC სამკუთხედის ფართობი ტოლი იყოს ABC სამკუთხედის ფართობის?

გადაწყვეტილება. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ AB = 1. აღვნიშნოთ AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,

Ჩვენ გვაქვს:

უპასუხე:

დავალება 6. ტრაპეციაში ABCD დიაგონალი AC არის პერპენდიკულარული CD გვერდის მიმართ, ხოლო DB დიაგონალი AB გვერდის პერპენდიკულარულია. AB და DC გვერდების გაფართოებები იკვეთება K წერტილში, ქმნიან სამკუთხედს AKD 45° კუთხით K მწვერვალზე (სურ. 15). ABCD ტრაპეციის ფართობი უდრის S. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი AKD.

გადაწყვეტილება. თეორემა 5-ის მიხედვით, BKC სამკუთხედი მსგავსია AKD სამკუთხედის მსგავსების კოეფიციენტით. ამრიგად, ამ სამკუთხედების ფართობი არის 1:2 თანაფარდობით, რაც ნიშნავს, რომ ABCD ტრაპეციის ფართობი უდრის BKC სამკუთხედის ფართობს. ამრიგად, სამკუთხედის AKD ფართობი არის 2S.
უპასუხე: 2S.

დავალება 7. ABC სამკუთხედში K წერტილი აღებულია AB მხარეს ისე, რომ AK: KB = 1: 2, ხოლო L წერტილი აღებულია BC მხარეს ისე, რომ CL: LB = 2: 1. მოდით Q იყოს AL და CK წრფეების გადაკვეთის წერტილი. (სურ. თექვსმეტი). იპოვეთ ABC სამკუთხედის ფართობი იმის გათვალისწინებით, რომ BQC სამკუთხედის ფართობი არის 1.

გადაწყვეტილება. მოდით AK = x, BL = y. მაშინ KB = 2x,
LC = 2y, ამიტომ AB = 3x და BC = 3y. მოდით გამოვიყენოთ მენელაუსის თეორემა სამკუთხედზე ABL და სეკანტზე KQ:

დავალება 8. M წერტილიდან, რომელიც მდებარეობს ABC მახვილკუთხა სამკუთხედის შიგნით, გვერდებზე ჩამოშვებულია პერპენდიკულარები (სურ. 17). გვერდების სიგრძე და მათზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარები, შესაბამისად, ტოლია ადა k, b და m, c და n. გამოთვალეთ ABC სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა სამკუთხედის ფართობთან, რომლის წვეროები არის პერპენდიკულარების ფუძეები.

გადაწყვეტილება. შემოგვაქვს სტანდარტული აღნიშვნა, ანუ აღვნიშნავთ ABC სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებს: BC = ა, CA = b, AB = c; კუთხეები: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. M წერტილიდან BC, CA და AB გვერდებზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარების ფუძეები, შესაბამისად, D, E და F-ით აღინიშნა, შემდეგ, ამოცანის პირობის მიხედვით, MD = k, ME = m. MF = n. აშკარაა, რომ კუთხე EMF უდრის π - α, კუთხე DMF უდრის π - β, კუთხე DME უდრის π - γ და წერტილი M მდებარეობს სამკუთხედის DEF-ის შიგნით. სამკუთხედის DEF ფართობია:

სამკუთხედის ABC ფართობია:

იპოვეთ DEF და ABC სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა:

აქედან გამომდინარე,

უპასუხე:

დავალება 9. P და Q წერტილები განლაგებულია ABC სამკუთხედის BC მხარეს ისე, რომ BP: PQ: QC = 1:2:3.
წერტილი R ყოფს ამ სამკუთხედის AC გვერდს ისე, რომ AR: RC = 1: 2 (სურ. 18). როგორია ოთხკუთხედის PQST ფართობის თანაფარდობა ABC სამკუთხედის ფართობთან, სადაც S და T არის BR ხაზის გადაკვეთის წერტილები AQ და AP ხაზებთან, შესაბამისად?

გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ BP = x, AR = y; მაშინ
PQ=2x, QC=3x, RC=2y. მოდით გამოვთვალოთ ოთხკუთხედის PQST ფართობის რა ნაწილია APQ სამკუთხედის ფართობი და, შესაბამისად, სამკუთხედის ფართობი ABC. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ურთიერთობები, რომლებშიც S და T წერტილები ყოფენ AQ და AP წრფეებს შესაბამისად. მოდით გამოვიყენოთ მენელაუსის თეორემა სამკუთხედზე ACQ და სეკანტურ SR-ზე:

ანალოგიურად, მენელაუსის თეორემის გამოყენებით ACP სამკუთხედზე და TR სეკანტზე, მივიღებთ:

Უფრო:

მეორეს მხრივ, ფართობის ლემის გამოყენებით სამკუთხედებზე APQ და ABC, მივიღებთ

უპასუხე:

დავალება 10. ABC სამკუთხედში BD სიმაღლის სიგრძე უდრის 6-ს, CE მედიანას სიგრძე უდრის 5-ს, მანძილი BD-ის გადაკვეთის წერტილიდან CE-მდე AC მხარეს უდრის 1-ს (სურ. 19). იპოვეთ AB გვერდის სიგრძე.

გადაწყვეტილება. წერტილი O იყოს BD და CE წრფეების გადაკვეთის წერტილი. მანძილი O წერტილიდან AC მხარეს (რომელიც უდრის ერთს) არის OD სეგმენტის სიგრძე. ასე რომ, OD = 1 და OB = 5. გამოიყენეთ მენელაუსის თეორემა სამკუთხედს ABD და სეკანტს OE:

ახლა მენელაუსის თეორემას გამოვიყენებთ ACE სამკუთხედზე და სეკანტზე OD, მივიღებთ, რომ

საიდანაც OE = 2CO და OE + CO = CE = 5 გათვალისწინებით
მივიღებთ, რომ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას CDO მართკუთხა სამკუთხედზე:

ნიშნავს, დაბოლოს, განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABD, რომელშიც ასევე ვიყენებთ პითაგორას თეორემას:

უპასუხე:

დავალება 11. C და D წერტილები დევს AB სეგმენტზე, ხოლო C წერტილი A და D წერტილებს შორის. წერტილი M აღებულია ისე, რომ AM და MD ხაზები პერპენდიკულარულია, ხოლო CM და MB ხაზები ასევე პერპენდიკულარული (ნახ. 20). იპოვეთ AMB სამკუთხედის ფართობი, თუ კუთხე CMD ცნობილია, რომ არის α და AMD და CMB სამკუთხედების ფართობი არის S1 და S2, შესაბამისად.

გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ სამკუთხედების AMB და CMD ფართობები შესაბამისად
x და y (x > y). გაითვალისწინეთ, რომ x + y = S1 + S2. ახლა ვაჩვენოთ, რომ xy = S 1 S 2 sin 2 α. მართლაც,

ანალოგიურად,

ვინაიდან ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, და sin ∠AMB =
= sina. ნიშნავს:

ამრიგად, რიცხვები x და y არის კვადრატული განტოლების ფესვები
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
ამ განტოლების უფრო დიდი ფესვი არის:

უპასუხე:

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

C-1.სამკუთხედში ABC, რომლის ფართობია S, ბისექტორი CE და შუამავალი BD იკვეთება O წერტილში. იპოვეთ ADOE ოთხკუთხედის ფართობი, იცოდეთ, რომ BC = ა, AC = ბ.
C-2. კვადრატი ჩაწერილია ტოლფერდა სამკუთხედში ABC ისე, რომ მისი ორი წვერო მდებარეობს BC-ის ფუძეზე, ხოლო დანარჩენი ორი სამკუთხედის გვერდებზე. კვადრატის გვერდი დაკავშირებულია სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსთან, როგორც
8:5 იპოვეთ სამკუთხედის კუთხეები.
C-3. პარალელოგრამზე ABCD გვერდებით AD = 5 და AB = 4, ხაზოვანი სეგმენტი EF შედგენილია, რომელიც აკავშირებს BC მხარის E წერტილს CD გვერდის F წერტილთან. E და F წერტილები არჩეულია ისე, რომ
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. ცნობილია, რომ AC დიაგონალის M გადაკვეთის წერტილი FE სეგმენტთან აკმაყოფილებს MF პირობას: ME = 1: 4. იპოვეთ პარალელოგრამის დიაგონალები.
C-4. ABCD ტრაპეციის ფართობი უდრის 6-ს. მოდით, E იყოს ამ ტრაპეციის გვერდების გაფართოების გადაკვეთის წერტილი. E წერტილისა და ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილის გავლით გავლებულია სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს BC პატარა ფუძეს P წერტილში, უფრო დიდ ფუძეს AD - Q წერტილში. წერტილი F დევს EC სეგმენტზე. და EF: FC = EP: EQ = 1: 3.
იპოვეთ EPF სამკუთხედის ფართობი.
C-5. ABC მახვილკუთხედის სამკუთხედში (სადაც AB > BC) სიმაღლეები AM და CN არის დახატული, წერტილი O არის ABC სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი. ცნობილია, რომ ABC კუთხის სიდიდე არის β, ხოლო ოთხკუთხედის NOMB ფართობი არის S. იპოვეთ AC გვერდის სიგრძე.
C-6. ABC სამკუთხედში AB გვერდის K წერტილი და AC გვერდის M წერტილი განლაგებულია ისე, რომ მიმართებები AK: KB = 3: 2 და AM: MC = 4: 5. რა თანაფარდობით არის წრფეების გადაკვეთის წერტილი. KC და BM იყოფა სეგმენტი BM?
C-7. წერტილი D აღებულია ABC მართკუთხა სამკუთხედის შიგნით (კუთხე B მართია) ისე, რომ სამკუთხედების ABD და BDC ფართობი სამკუთხედის ABC ფართობზე შესაბამისად სამ და ოთხჯერ ნაკლებია. AD და DC სეგმენტების სიგრძეები უდრის a და c, შესაბამისად. იპოვეთ BD სეგმენტის სიგრძე.
S-8. ამოზნექილ ოთხკუთხედ ABCD-ში CD გვერდით, წერტილი E აღებულია ისე, რომ AE სეგმენტი ყოფს ოთხკუთხედ ABCD რომბად და ტოლფერდა სამკუთხედად, რომელთა ფართობების თანაფარდობა უდრის იპოვეთ BAD კუთხის მნიშვნელობა.
C-9. ABCD ტრაპეციის სიმაღლეა 7, ხოლო AD და BC ფუძეების სიგრძეები შესაბამისად 8 და 6. E წერტილიდან, რომელიც დევს CD გვერდზე, გავლებულია სწორი BE, რომელიც ყოფს AC დიაგონალს წერტილი O AO-სთან მიმართებაში: OC = 3: 2. იპოვეთ ფართობის სამკუთხედი OEC.
S-10. K, L, M წერტილები იყოფა ამოზნექილი ოთხკუთხედის ABCD გვერდებს AK-ის მიმართ: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. ცნობილია, რომ KLM სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი ტოლია. KL = 4, LM = 3 და KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. ამოზნექილი ოთხკუთხედის ABCD AD და BC გვერდების გაფართოებები იკვეთება M წერტილში, ხოლო AB და CD გვერდების გაფართოებები იკვეთება O წერტილში. სეგმენტი MO არის AOD კუთხის ბისექტრის პერპენდიკულარული. იპოვეთ AOD და BOC სამკუთხედების ფართობის თანაფარდობა, თუ OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. ABC სამკუთხედში A წვეროსთან კუთხე არის 30°, ხოლო BD და CE სიმაღლეები იკვეთება O წერტილში. იპოვეთ წრეების რადიუსების შეფარდება, რომლებიც შემოხაზულია სამკუთხედებთან DEO და ABC.
S-13. მახვილკუთხა სამკუთხედის სიმაღლეების ფუძეების დამაკავშირებელი მონაკვეთებია 5, 12 და 13. იპოვეთ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი.
S-14. ABC მახვილკუთხა სამკუთხედში M წერტილი აღებულია AD სიმაღლეზე, ხოლო N წერტილი აღებულია BP სიმაღლეზე, ასე რომ BMC და ANC კუთხეები მართია. მანძილი M და N წერტილებს შორის არის ∠MCN = 30°.
იპოვეთ CMN სამკუთხედის ბისექტრი CL.
S-15. D, E და F წერტილები აღებულია ABC სამკუთხედის AB, BC და AC გვერდებზე, შესაბამისად. AE და DF სეგმენტები გადის ABC სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრში და DF და BC წრფეები პარალელურია. იპოვეთ BE სეგმენტის სიგრძე და ABC სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. სამკუთხედში ABC, ბისექტორი BB" კვეთს მედიანას AA" წერტილში O.
იპოვეთ სამკუთხედის BOA" ფართობის თანაფარდობა სამკუთხედის AOB" ფართობთან, თუ AB:AC = 1:4.
S-17. სამკუთხედში ABC წერტილი D დევს AC-ზე და AD = 2DC. წერტილი E დევს ძვ.წ. სამკუთხედის ABD ფართობი არის 3, სამკუთხედის ფართობი არის 1. AE და BD სეგმენტები იკვეთება O წერტილში. იპოვეთ ABO და OED სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა.
S-18. ABCD პარალელოგრამაში E და F წერტილები დევს შესაბამისად AB და BC გვერდებზე, M არის AF და DE წრფეების გადაკვეთის წერტილი AE = 2BE და BF = 3CF. იპოვეთ თანაფარდობა AM:MF.
S-19. გვერდებზე ABCD მართკუთხედში
AB და AD, E და F წერტილები არჩეულია შესაბამისად, ისე, რომ AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. იპოვეთ EO: OD, სადაც O არის DE და CF სეგმენტების გადაკვეთის წერტილი.
S-20. წერტილი N აღებულია PQR სამკუთხედის PQ მხარეს, ხოლო L წერტილი აღებულია PR მხარეს, და
NQ=LR. QL და NR სეგმენტების გადაკვეთის წერტილი ყოფს QL სეგმენტს თანაფარდობით m: n, ითვლის Q წერტილიდან. იპოვეთ თანაფარდობა PN: PR.
S-21. წერტილები A და B აღებულია მწვავე კუთხის გვერდებზე O წვერით. წერტილი M აღებულია OB სხივზე OA წრფედან 3OA მანძილზე, ხოლო N წერტილი აღებულია OA სხივზე OB წრფედან 3OB მანძილით. AOB სამკუთხედის წრეწირის რადიუსი არის 3. იპოვეთ MN.
S-22. ამოზნექილ ხუთკუთხედში ABCDE დიაგონალები BE და CE არის B და C წვეროების ბისექტრები, შესაბამისად, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. იპოვეთ ხუთკუთხედის ფართობი. Ა Ბ Ც Დ Ე.
S-23. ABCD ტრაპეციის AD და BC ფუძეებზე აგებულია კვადრატები ADEF და BCGH, რომლებიც მდებარეობს ტრაპეციის გარეთ. ტრაპეციის დიაგონალები იკვეთება O წერტილში. იპოვეთ AD სეგმენტის სიგრძე, თუ BC = 2, GO = 7 და GF = 18.
S-24. სამკუთხედში ABC ვიცით, რომ AB = BC და კუთხე BAC არის 45°. ხაზი MN კვეთს AC მხარეს M წერტილში და BC მხარეს N წერტილში, AM = 2MC და ∠NMC = 60°. იპოვეთ MNC სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა ოთხკუთხედის ABNM ფართობთან.
S-25. ABC სამკუთხედში N წერტილი აღებულია AB მხარეს, ხოლო M წერტილი აღებულია AC მხარეს. სეგმენტები CN და BM იკვეთება O წერტილში, AN: NB = 2: 3,
BO: OM = 5: 2. იპოვეთ CO: ON.

ტრაპეცია გამოცდაზე. საბაზისო დონე.

ამოცანები FIPI ამოცანების ღია ბანკიდან.

დავალება 1.ABCD ტრაპეციაში ვიცით, რომ AB=CD,∠ BDA=54° და ∠ BDC=23°. იპოვეთ კუთხე ABD. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

გადაწყვეტილება.ამ ტრაპეციაში კუთხე A DC ქვედა ფუძეზე უდრის A კუთხეების ჯამს D V და V DC , უდრის 54 + 23 = 77 გრადუსს. ვინაიდან ტრაპეცია ტოლფერდაა, ქვედა ფუძის კუთხეები ტოლია და კუთხე BAდ ასევე 77 გრადუსია. კუთხეების ჯამი VA D და AB D უდრის 180 გრადუსს (ცალმხრივი პარალელური ხაზებით Aდ და BC და სეკანტი AB). ასე რომ, კუთხე ABC უდრის 180 - 77 \u003d 103 გრადუსს.

შემდეგ ვიყენებთ A კუთხეების ტოლობას D B და D BC (გადაკვეთა პარალელური ხაზებით A D და BC და სეკანტი B D). ასე რომ, კუთხე AB D უდრის 103 - 54 \u003d 49 გრადუსს.

უპასუხე 49.

დავალება 2.ტოლფერდა ტრაპეციის ფუძეებია 10 და 24, გვერდი 25. იპოვეთ ტრაპეციის სიმაღლე.

გადაწყვეტილება.ამ ტრაპეციაში ზედა ფუძე BC არის 10, ქვედა Aდ =24. B და C წვეროებიდან ჩვენ ვამცირებთ სიმაღლეებს ქვედა ფუძისკენ. მიღებულ მართკუთხედში NVSK NK=BC=10. სამკუთხედები ABH და K DC DC ), ასე რომ AH \u003d K D =(24-10):2=7. პითაგორას თეორემის მიხედვით, ABN სამკუთხედში BH ფეხის კვადრატი უდრის სხვაობას AB ჰიპოტენუზისა და AN ფეხის კვადრატს შორის. ანუ VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d 24.

უპასუხე 24.

დავალება 3.ტოლფერდა ტრაპეციაში, ერთ-ერთი ფუძე
არის 3 და მეორე არის 7. ტრაპეციის სიმაღლეა 4. იპოვეთ ტრაპეციის მახვილი კუთხის ტანგენსი.

გადაწყვეტილება.ამ ტრაპეციაში ზედა ფუძე BC არის 3, ქვედა Aდ =7. B და C წვეროებიდან ჩვენ ვამცირებთ სიმაღლეებს ქვედა ფუძისკენ. მიღებულ მართკუთხედში NVSK NK=BC=3. სამკუთხედები ABH და K DC ტოლია (ისინი მართკუთხაა, BH = SK, AB = DC ), ამიტომ AH \u003d K D =(7-3):2=2. ABN მართკუთხა სამკუთხედში BAN მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის BH შეფარდებას მიმდებარე კუთხის AH-თან, ანუ 4:2=2.

უპასუხე 2.

დავალება 4.ტრაპეციის ფუძეები არის 8 და 16, გვერდითი მხარე, 6-ის ტოლი, ქმნის 150 ° კუთხეს ტრაპეციის ერთ-ერთ ფუძესთან. იპოვეთ ტრაპეციის ფართობი.

გადაწყვეტილება.ჩადეთ ტრაპეცია ბაზის ფიგურაში BC \u003d 8,ახ.წ =16, გვერდი AB=6 და კუთხე ABC არის 150 გრადუსი. ჩვენ ვიცით, რომ ტრაპეციის ფართობი უდრის ფუძეებისა და სიმაღლის ჯამის ნახევრის ნამრავლს. ბაზები ცნობილია. ვიპოვოთ BH-ის სიმაღლე. მართკუთხა სამკუთხედში ABH, კუთხე ABH არის 150 - 90 = 60 გრადუსი. ასე რომ, კუთხე VAN უდრის 90 - 60 \u003d 30 გრადუსს. ხოლო მართკუთხა სამკუთხედში 30 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. ასე რომ VN=3.

რჩება ტრაპეციის ფართობის გამოთვლა. ფუძეების ნახევარი ჯამი უდრის (8+16):2=12. ფართობი არის 12*3=36.

უპასუხე 36.

დავალება 5.მართკუთხა ტრაპეციაშიABCდსაფუძვლებით მზედა მაგრამდინექცია ATახ.წსწორი, AB=3, მზე=CD=5. იპოვეთ ტრაპეციის შუა ხაზი.

გადაწყვეტილება.ტრაპეციის შუა ხაზი არის ფუძეების ჯამის ნახევარი, ამ ტრაპეციაში ზედა ფუძე BC არის 5, ქვედა A.დ უცნობი. C წვეროდან ჩვენ ვამცირებთ სიმაღლეს ქვედა ფუძემდე. მიღებულ ოთხკუთხედში NVSK AH=BC=5, CH=AB=3. სამკუთხედი H DC მართკუთხა. პითაგორას თეორემით, ფეხის კვადრატი Hდ ჰიპოტენუზის კვადრატის სხვაობის ტოლი DC და ფეხის კვადრატი CH. ანუ ნ D 2 \u003d 65 -9 \u003d 16. H D \u003d 4. ასე რომ ქვედა ბაზა A D =AH+H D =5+4=9. ტრაპეციის მედიანური ხაზია (5+9):2=7.

უპასუხე 7.

დავალება 6.მართკუთხა ტრაპეციაში ფუძეები არის 4 და 7, ხოლო ერთი კუთხე 135°. იპოვეთ პატარა მხარე.

გადაწყვეტილება.გამოვიყენოთ ნახატი წინა ამოცანისთვის, ამ ტრაპეციაში BC ზედა ფუძე არის 4, ქვედა A. D=7. კუთხე BC D უდრის 135 გრადუსს. C წვეროდან ჩვენ ვამცირებთ სიმაღლეს ქვედა ფუძემდე. შემდეგ ჰდ =7-4=3. მიღებულ მართკუთხა სამკუთხედში H DC კუთხე HC D უდრის 135-90=45 გრადუსს. ასე რომ, კუთხე H DC ასევე 45 გრადუსი. ფეხები CH= H D=3.

უპასუხე 3.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

1. ∠ BDA=40° და ∠ BDC=30°. იპოვეთ კუთხე ABD. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.
2. ტრაპეციაში Ა Ბ Გ Დცნობილია, რომ AB=CD, ∠ BDA=45° და ∠ bdc=23°. იპოვეთ კუთხე ABD. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.
3. ABCD ტრაპეციაში ვიცით, რომ AB=CD,∠ BDA=49° და ∠ BDC=31°. იპოვეთ კუთხე ABD. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.
4. ტოლფერდა ტრაპეციის ფუძეებია 7 და 13, გვერდი 5. იპოვეთ ტრაპეციის სიმაღლე.
5. ტოლფერდა ტრაპეციის ფუძეებია 11 და 21, გვერდი 13. იპოვეთ ტრაპეციის სიმაღლე.
6. ტრაპეციის ფუძეები არის 10 და 20, გვერდითი მხარე, 8-ის ტოლი, ქმნის 150 ° კუთხეს ტრაპეციის ერთ-ერთ ფუძესთან. იპოვეთ ტრაპეციის ფართობი.
7. ტოლფერდა ტრაპეციაში ერთი ფუძე არის 5, მეორე კი 9. ტრაპეციის სიმაღლეა 6. იპოვეთ ტრაპეციის მწვავე კუთხის ტანგენსი.
8. მართკუთხა ტრაპეციაშიABCდსაფუძვლებით მზედა მაგრამდინექცია ATახ.წსწორი, AB=8, მზე=CD=10. იპოვეთ ტრაპეციის შუა ხაზი.
9. მართკუთხა ტრაპეციაშიABC დ საფუძვლებით მზე და მაგრამ დ ინექცია AT ახ.წ სწორი, AB = 15 , მზე = CD = 17 . იპოვეთ ტრაპეციის შუა ხაზი.
10. მართკუთხა ტრაპეციაში ფუძეები არის 3 და 5, ხოლო ერთი კუთხე 135°. იპოვეთ პატარა მხარე.