დავალება 4.

4√6 სიგრძის პარალელოგრამის ერთ-ერთი დიაგონალი ფუძესთან ქმნის 60°-იან კუთხეს, ხოლო მეორე დიაგონალი იმავე ფუძით 45°-იან კუთხეს. იპოვეთ მეორე დიაგონალი.

გადაწყვეტილება.

1. AO = 2√6.

2. გამოიყენე სინუსების თეორემა სამკუთხედს AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

პასუხი: 12.

დავალება 5.

პარალელოგრამისთვის 5√2 და 7√2 გვერდებით, დიაგონალებს შორის პატარა კუთხე უდრის პარალელოგრამის პატარა კუთხს. იპოვეთ დიაგონალების სიგრძის ჯამი.

გადაწყვეტილება.

მოდით d 1, d 2 იყოს პარალელოგრამის დიაგონალები, ხოლო დიაგონალებსა და პარალელოგრამის პატარა კუთხეს შორის არის φ.

1. დავთვალოთ ორი განსხვავებული
მისი ტერიტორიის გზები.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

ვიღებთ ტოლობას 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ან

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. პარალელოგრამის გვერდებსა და დიაგონალებს შორის შეფარდების გამოყენებით ვწერთ ტოლობას.

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. მოდით შევქმნათ სისტემა:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

გაამრავლეთ სისტემის მეორე განტოლება 2-ზე და დაამატეთ იგი პირველს.

ვიღებთ (d 1 + d 2) 2 = 576. აქედან გამომდინარე, Id 1 + d 2 I = 24.

ვინაიდან d 1, d 2 არის პარალელოგრამის დიაგონალების სიგრძე, მაშინ d 1 + d 2 = 24.

პასუხი: 24.

დავალება 6.

პარალელოგრამის გვერდებია 4 და 6. დიაგონალებს შორის მახვილი კუთხე არის 45 o. იპოვეთ პარალელოგრამის ფართობი.

გადაწყვეტილება.

1. AOB სამკუთხედიდან კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვწერთ მიმართებას პარალელოგრამის გვერდსა და დიაგონალებს შორის.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. ანალოგიურად ვწერთ AOD სამკუთხედის მიმართებას.

ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

ვიღებთ განტოლებას d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. ჩვენ გვაქვს სისტემა
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ 2d 1 d 2 √2 = 80 ან

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Შენიშვნა:ამ და წინა ამოცანაში არ არის საჭირო სისტემის სრულად ამოხსნა, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ ამოცანში ფართობის გამოსათვლელად გვჭირდება დიაგონალების ნამრავლი.

პასუხი: 10.

დავალება 7.

პარალელოგრამის ფართობი არის 96, ხოლო გვერდები 8 და 15. იპოვეთ უფრო პატარა დიაგონალის კვადრატი.

გადაწყვეტილება.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება ფორმულაში.

ჩვენ ვიღებთ 96 = 8 15 sin VAD. აქედან გამომდინარე, ცოდვა VAD = 4/5.

2. იპოვე cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით ვპოულობთ უფრო მცირე დიაგონალის სიგრძეს. დიაგონალი BD უფრო მცირე იქნება, თუ კუთხე BAD მწვავეა. მაშინ cos BAD = 3/5.

3. ABD სამკუთხედიდან კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ BD დიაგონალის კვადრატს.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

პასუხი: 145.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ გადაჭრათ გეომეტრიის პრობლემა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

პარალელოგრამიარის ოთხკუთხედი, რომლის გვერდები წყვილად პარალელურია.

ამ ფიგურაში მოპირდაპირე მხარეები და კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ყოფს მას. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მნიშვნელობა გვერდების, სიმაღლისა და დიაგონალების მეშვეობით. პარალელოგრამი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განსაკუთრებულ შემთხვევებში. ისინი განიხილება მართკუთხედი, კვადრატი და რომბი.
პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითი სიმაღლისა და იმ მხარის მიხედვით, რომელზეც ის არის დაშვებული.

ეს შემთხვევა კლასიკურად ითვლება და არ საჭიროებს დამატებით გამოძიებას. უმჯობესია განიხილოს ფართობის გამოთვლის ფორმულა ორი გვერდით და მათ შორის კუთხე. იგივე მეთოდი გამოიყენება გაანგარიშებისას. თუ მოცემულია გვერდები და მათ შორის კუთხე, მაშინ ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:

ვთქვათ, მოცემულია პარალელოგრამი გვერდებით a = 4 სმ, b = 6 სმ. მათ შორის კუთხე არის α = 30°. მოდი ვიპოვოთ ტერიტორია:

პარალელოგრამის ფართობი დიაგონალების მიხედვით

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალების თვალსაზრისით საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ მნიშვნელობა.
გამოთვლებისთვის საჭიროა დიაგონალებს შორის მდებარე კუთხის მნიშვნელობა.

განვიხილოთ პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითი დიაგონალების საშუალებით. მიეცეს პარალელოგრამი დიაგონალებით D = 7 სმ, d = 5 სმ. მათ შორის კუთხე არის α = 30°. ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:

დიაგონალის მეშვეობით პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის მაგალითმა შესანიშნავი შედეგი მოგვცა - 8.75.

იცოდეთ პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა დიაგონალის თვალსაზრისით, შეგიძლიათ მრავალი საინტერესო პრობლემის გადაჭრა. მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ მათგანს.

ამოცანა:მოცემულია პარალელოგრამი ფართობით 92 კვ. იხილეთ წერტილი F მდებარეობს მისი მხარის შუა ძვ.წ. მოდით ვიპოვოთ ტრაპეციის ADFB ფართობი, რომელიც ჩვენს პარალელოგრამაში იქნება. დასაწყისისთვის, დავხატოთ ყველაფერი, რაც მივიღეთ პირობების მიხედვით.
გადავიდეთ გამოსავალზე:

ჩვენი პირობების მიხედვით, ah \u003d 92 და, შესაბამისად, ჩვენი ტრაპეციის ფართობი ტოლი იქნება

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულის წარმოშობა მცირდება მოცემული პარალელოგრამის ფართობის ტოლი მართკუთხედის აგებამდე. ჩვენ ვიღებთ პარალელოგრამის ერთ მხარეს საფუძვლად, ხოლო მოპირდაპირე მხარის ნებისმიერი წერტილიდან ფუძის შემცველ სწორ ხაზთან დახატულ პერპენდიკულურს პარალელოგრამის სიმაღლე დაერქმევა. მაშინ პარალელოგრამის ფართობი ტოლი იქნება მისი ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის.

თეორემა.პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი ფუძის ნამრავლს მის სიმაღლეზე.

მტკიცებულება. განვიხილოთ პარალელოგრამი ფართობით. ავიღოთ ბაზის მხარე და დავხატოთ სიმაღლეები (სურათი 2.3.1). ამის დამტკიცებაა საჭირო.

სურათი 2.3.1

ჯერ დავამტკიცოთ, რომ მართკუთხედის ფართობიც ტოლია. ტრაპეცია შედგება პარალელოგრამისა და სამკუთხედისგან. მეორეს მხრივ, იგი შედგება მართკუთხედის NVSK და სამკუთხედისგან. მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედები ტოლია ჰიპოტენუზაში და მახვილ კუთხეში (მათი ჰიპოტენუსები ტოლია პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდებზე, ხოლო კუთხეები 1 და 2 ტოლია, როგორც შესაბამისი კუთხეები პარალელური სეკანტური ხაზების გადაკვეთაზე), ამიტომ მათი ფართობი ტოლია. ამრიგად, პარალელოგრამისა და მართკუთხედის ფართობი ასევე ტოლია, ანუ მართკუთხედის ფართობი ტოლია. მართკუთხედის ფართობის თეორემის მიხედვით, მაგრამ მას შემდეგ.

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი 2.3.1.

წრე ჩაწერილია რომბში გვერდითი და მახვილი კუთხით. განსაზღვრეთ ოთხკუთხედის ფართობი, რომლის წვეროები არის წრის ტანგენტური წერტილები რომბის გვერდებთან.

გადაწყვეტილება:

რომბში ჩაწერილი წრის რადიუსი (სურათი 2.3.2), რადგან ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი, რადგან მისი კუთხეები ეფუძნება წრის დიამეტრს. მისი ფართობი, სადაც (კუთხის წინააღმდეგ წევს ფეხი),.

სურათი 2.3.2

Ისე,

პასუხი:

მაგალითი 2.3.2.

მოცემულია რომბი, რომლის დიაგონალები არის 3 სმ და 4 სმ სიმაღლეები და გამოყვანილია ბლაგვი კუთხის წვეროდან გამოთვალეთ ოთხკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება:

რომბის ფართობი (სურათი 2.3.3).

Ისე,

პასუხი:

მაგალითი 2.3.3.

ოთხკუთხედის ფართობი არის იპოვნეთ პარალელოგრამის ფართობი, რომლის გვერდები ტოლია და პარალელურია ოთხკუთხედის დიაგონალების.

გადაწყვეტილება:

ვინაიდან და (სურათი 2.3.4), მაშინ არის პარალელოგრამი და, შესაბამისად,.

სურათი 2.3.4

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ საიდანაც გამომდინარეობს, რომ.

პასუხი:.

2.4 სამკუთხედის ფართობი

არსებობს რამდენიმე ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად. განვიხილოთ ის, რასაც სკოლაში სწავლობენ.

პირველი ფორმულა გამომდინარეობს პარალელოგრამის ფართობის ფორმულიდან და სთავაზობენ სტუდენტებს თეორემის სახით.

თეორემა.სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფუძის ნამრავლის ნახევარი მის სიმაღლეზე..

მტკიცებულება.მოდით იყოს სამკუთხედის ფართობი. აიღეთ სამკუთხედის ფუძის მხარე და დახაზეთ სიმაღლე. დავამტკიცოთ, რომ:

სურათი 2.4.1

ჩვენ ვასრულებთ სამკუთხედს პარალელოგრამზე, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე. სამკუთხედები ტოლია სამ გვერდში (- მათი საერთო გვერდი და როგორც პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები), ამიტომ მათი ფართობი ტოლია. ამრიგად, ABC სამკუთხედის S ფართობი უდრის პარალელოგრამის ფართობის ნახევარს, ე.ი.

თეორემა დადასტურდა.

მნიშვნელოვანია სტუდენტების ყურადღება ამ თეორემის ორ შედეგზე გავამახვილოთ. კერძოდ:

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი მისი ფეხების ნამრავლის ნახევარია.

თუ ორი სამკუთხედის სიმაღლეები ტოლია, მაშინ მათი ფართობი დაკავშირებულია როგორც ფუძე.

ეს ორი დასკვნა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სხვადასხვა სახის პრობლემების გადაჭრაში. ამის საფუძველზე ჩვენ ვამტკიცებთ კიდევ ერთ თეორემას, რომელიც ფართოდ გამოიყენება ამოცანების გადაჭრაში.

თეორემა. თუ ერთი სამკუთხედის კუთხე უდრის მეორე სამკუთხედის კუთხეს, მაშინ მათი ფართობები დაკავშირებულია, როგორც თანაბარი კუთხეების შემცველი გვერდების ნამრავლები.

მტკიცებულება. დაე იყოს u სამკუთხედების ფართობები, რომელთა კუთხეები და ტოლია.

სურათი 2.4.2

დავამტკიცოთ, რომ: .

მოდით გავაკეთოთ სამკუთხედი. სამკუთხედზე ისე, რომ წვერო მიემართება წვეროსთან, ხოლო გვერდები გადაფარავს, შესაბამისად, სხივებზე.

სურათი 2.4.3

სამკუთხედები და აქვთ საერთო სიმაღლე, შესაბამისად,. სამკუთხედებს ასევე აქვთ საერთო სიმაღლე - მაშასადამე,. მიღებული ტოლობების გამრავლებით მივიღებთ .

თეორემა დადასტურდა.

მეორე ფორმულა.სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი მხარის ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.ამ ფორმულის დასამტკიცებლად რამდენიმე გზა არსებობს და ერთ-ერთ მათგანს გამოვიყენებ.

მტკიცებულება.გეომეტრიიდან ცნობილია თეორემა, რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის ფუძის ნამრავლის ნახევარს და ამ ფუძემდე დაშვებულ სიმაღლეს:

მწვავე სამკუთხედის შემთხვევაში. ბლაგვი კუთხის შემთხვევაში. ჰო და ამიტომ . ასე რომ, ორივე შემთხვევაში. სამკუთხედის ფართობის გეომეტრიული ფორმულის ნაცვლად, ჩვენ ვიღებთ სამკუთხედის ფართობის ტრიგონომეტრიულ ფორმულას:

თეორემა დადასტურდა.

მესამე ფორმულასამკუთხედის ფართობისთვის - ჰერონის ფორმულა, რომელსაც ეწოდა ძველი ბერძენი მეცნიერის ჰერონ ალექსანდრიელის სახელი, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე პირველ საუკუნეში. ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, იცოდეთ მისი მხარეები. მოსახერხებელია იმით, რომ საშუალებას გაძლევთ არ გააკეთოთ დამატებითი კონსტრუქციები და არ გაზომოთ კუთხეები. მისი დასკვნა ეფუძნება ჩვენს მიერ განხილული სამკუთხედის ფართობის მეორე ფორმულებს და კოსინუსების თეორემას: და.

სანამ ამ გეგმის განხორციელებას გავაგრძელებთ, აღვნიშნავთ, რომ

ანალოგიურად, ჩვენ გვაქვს:

ახლა ჩვენ გამოვხატავთ კოსინუსს და:

ვინაიდან სამკუთხედში ნებისმიერი კუთხე არის მეტი ან ნაკლები, მაშინ. ნიშნავს, .

ახლა ჩვენ ცალკე ვაქცევთ თითოეულ ფაქტორს რადიკალურ გამოხატულებაში. Ჩვენ გვაქვს:

ამ გამოთქმის ფართობის ფორმულით ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

თემას "სამკუთხედის ფართობი" დიდი მნიშვნელობა აქვს სასკოლო მათემატიკის კურსში. სამკუთხედი ყველაზე მარტივი გეომეტრიული ფიგურაა. ის სასკოლო გეომეტრიის „სტრუქტურული ელემენტია“. გეომეტრიული ამოცანების დიდი უმრავლესობა მოდის სამკუთხედების ამოხსნაზე. გამონაკლისი არ არის რეგულარული და თვითნებური n-გონის ფართობის პოვნის პრობლემა.

მაგალითი 2.4.1.

რა არის ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი, თუ მისი ფუძე და გვერდი არის?

გადაწყვეტილება:

- ტოლფერდა,

სურათი 2.4.4

დავხატოთ ტოლფერდა სამკუთხედის თვისება - მედიანა და სიმაღლე. მერე

პითაგორას თეორემის მიხედვით:

სამკუთხედის ფართობის პოვნა:

პასუხი:

მაგალითი 2.4.2.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ბისექტრი მოპირდაპირე ფეხს ყოფს 4 და 5 სმ სიგრძის სეგმენტებად.განსაზღვრეთ სამკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება:

მოდით (სურათი 2.4.5). შემდეგ (რადგან BD არის ბისექტორი). აქედან გამომდინარე გვაქვს , ე.ი. ნიშნავს,

სურათი 2.4.5

პასუხი:

მაგალითი 2.4.3.

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი, თუ მისი ფუძე უდრის , ხოლო ფუძემდე მიყვანილი სიმაღლის სიგრძე უდრის ფუძისა და გვერდის შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძეს.

გადაწყვეტილება:

პირობით, - შუა ხაზი (სურათი 2.4.6). Wemeem წლიდან:

ან , საიდანაც,

სანამ ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, უნდა გვახსოვდეს რა არის პარალელოგრამი და რას ჰქვია მისი სიმაღლე. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია (იწოლა პარალელურ წრფეებზე). ამ მხარის შემცველი წრფის მოპირდაპირე მხარის თვითნებური წერტილიდან გამოყვანილ პერპენდიკულარს პარალელოგრამის სიმაღლე ეწოდება.

კვადრატი, მართკუთხედი და რომბი პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევებია.

პარალელოგრამის ფართობი აღინიშნება როგორც (S).

პარალელოგრამის ფართობის პოვნის ფორმულები

S=a*h, სადაც a არის ფუძე, h არის სიმაღლე, რომელიც დახატულია ფუძესთან.

S=a*b*sinα, სადაც a და b არის ფუძეები და α არის კუთხე a და b ფუძეებს შორის.

S \u003d p * r, სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი, r არის წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია პარალელოგრამაში.

a და b ვექტორებით წარმოქმნილი პარალელოგრამის ფართობი უდრის მოცემული ვექტორების ნამრავლის მოდულს, კერძოდ:

განვიხილოთ მაგალითი No1: მოცემულია პარალელოგრამი, რომლის გვერდი არის 7 სმ და სიმაღლე 3 სმ. როგორ ვიპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, გვჭირდება ამოხსნის ფორმულა.

ასე რომ, S= 7x3. S=21. პასუხი: 21 სმ 2.

განვიხილოთ მაგალითი No2: ფუძეები არის 6 და 7 სმ, ხოლო ფუძეებს შორის კუთხე 60 გრადუსია. როგორ მოვძებნოთ პარალელოგრამის ფართობი? ფორმულა გამოიყენება გადასაჭრელად:

ამრიგად, ჯერ ვიპოვით კუთხის სინუსს. Sine 60 \u003d 0.5, შესაბამისად S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 პასუხი: 21 სმ 2.

ვიმედოვნებ, რომ ეს მაგალითები დაგეხმარებათ პრობლემების გადაჭრაში. და გახსოვდეთ, მთავარია ფორმულების ცოდნა და ყურადღება