შერჩევის კვლევის მიხედვით, მეანაბრეები დაჯგუფდნენ ქალაქის სბერბანკში ანაბრის ზომის მიხედვით:

განსაზღვრეთ:

1) ვარიაციის დიაპაზონი;

2) ანაბრის საშუალო თანხა;

3) საშუალო წრფივი გადახრა;

4) დისპერსია;

5) სტანდარტული გადახრა;

6) შენატანების ცვალებადობის კოეფიციენტი.

გადაწყვეტილება:

ეს განაწილების სერია შეიცავს ღია ინტერვალებს. ასეთ სერიებში, პირველი ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა პირობითად ვარაუდობენ, რომ უდრის შემდეგის ინტერვალის მნიშვნელობას, ხოლო ბოლო ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა უდრის წინა ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობას. ერთი.

მეორე ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა არის 200, შესაბამისად, პირველი ჯგუფის მნიშვნელობაც არის 200, ბოლო ჯგუფის ინტერვალის მნიშვნელობა არის 200, რაც ნიშნავს, რომ ბოლო ინტერვალსაც ექნება 200-ის ტოლი მნიშვნელობა.

1) განსაზღვრეთ ვარიაციის დიაპაზონი, როგორც განსხვავება ატრიბუტის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობას შორის:

წვლილის ზომის ვარიაციის დიაპაზონი 1000 რუბლს შეადგენს.

2) შენატანის საშუალო ზომა განისაზღვრება საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით.

მოდით წინასწარ განვსაზღვროთ ატრიბუტის დისკრეტული მნიშვნელობა თითოეულ ინტერვალში. ამისათვის, მარტივი არითმეტიკული საშუალო ფორმულის გამოყენებით, ვპოულობთ შუალედებს.

პირველი ინტერვალის საშუალო მნიშვნელობა ტოლი იქნება:

მეორე - 500 და ა.შ.

მოდი გამოთვლების შედეგები ჩავწეროთ ცხრილში:

ანაბრის თანხა, რუბლს შეადგენს.	კონტრიბუტორთა რაოდენობა, ვ	შუალედი, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
სულ	400	-	312000

საშუალო ანაბარი ქალაქის სბერბანკში იქნება 780 რუბლი:

3) საშუალო წრფივი გადახრა არის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობების აბსოლუტური გადახრების არითმეტიკული საშუალო საერთო საშუალოდან:

შუალედური განაწილების სერიაში საშუალო წრფივი გადახრის გამოთვლის პროცედურა შემდეგია:

1. არითმეტიკული შეწონილი საშუალო გამოითვლება, როგორც ნაჩვენებია მე-2 პუნქტში).

2. ვარიანტის აბსოლუტური გადახრები საშუალოდან განისაზღვრება:

3. მიღებული გადახრები მრავლდება სიხშირეებზე:

4. შეწონილი გადახრების ჯამი გვხვდება ნიშნის გათვალისწინების გარეშე:

5. შეწონილი გადახრების ჯამი იყოფა სიხშირეების ჯამზე:

მოსახერხებელია გამოთვლილი მონაცემების ცხრილის გამოყენება:

ანაბრის თანხა, რუბლს შეადგენს.	კონტრიბუტორთა რაოდენობა, ვ	შუალედი, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
სულ	400	-	-	-	81280

Sberbank კლიენტების ანაბრის ზომის საშუალო ხაზოვანი გადახრა არის 203,2 რუბლი.

4) დისპერსია არის არითმეტიკული საშუალოდან თითოეული მახასიათებლის მნიშვნელობის კვადრატული გადახრების საშუალო არითმეტიკული.

დისპერსიის გაანგარიშება ინტერვალის განაწილების სერიაში ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:

დისპერსიის გამოთვლის პროცედურა ამ შემთხვევაში შემდეგია:

1. დაადგინეთ საშუალო შეწონილი არითმეტიკული მაჩვენებელი, როგორც ნაჩვენებია მე-2 პუნქტში).

2. იპოვეთ გადახრები საშუალოდან:

3. თითოეული ვარიანტის გადახრის კვადრატი საშუალოდან:

4. გადახრების კვადრატში გამრავლება წონაზე (სიხშირეებზე):

5.შეაჯამეთ მიღებული ნამუშევრები:

6. მიღებული თანხა იყოფა წონების (სიხშირეების) ჯამზე:

მოდით, გამოთვლები ჩავდოთ ცხრილში:

ანაბრის თანხა, რუბლს შეადგენს.	კონტრიბუტორთა რაოდენობა, ვ	შუალედი, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
სულ	400	-	-	-	23040000

სხვადასხვა სახის კვლევების შედეგების სტატისტიკური დამუშავებისას, მიღებული მნიშვნელობები ხშირად ჯგუფდება ინტერვალების თანმიმდევრობით. ასეთი თანმიმდევრობების განზოგადების მახასიათებლების გამოსათვლელად ზოგჯერ საჭიროა გამოთვლა შუა ინტერვალი- "ცენტრალური ვარიანტი". მისი გაანგარიშების მეთოდები საკმაოდ მარტივია, მაგრამ მათ აქვთ გარკვეული თავისებურებები, რომლებიც წარმოიქმნება როგორც გაზომვისთვის გამოყენებული მასშტაბიდან, ასევე დაჯგუფების ბუნებიდან (ღია ან დახურული ინტერვალებით).

ინსტრუქცია

თუ ინტერვალი არის უწყვეტი რიცხვითი მიმდევრობის მონაკვეთი, მაშინ მისი შუა საპოვნელად გამოიყენეთ ჩვეულებრივი მათემატიკური მეთოდები არითმეტიკული საშუალოს გამოსათვლელად. მინიმალური ღირებულება ინტერვალი(მისი დასაწყისი) დაამატეთ მაქსიმუმს (დასრულება) და გაყავით შედეგი შუაზე - ეს არის საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ერთ-ერთი გზა. მაგალითად, ეს წესი მოქმედებს, როდესაც საქმე ეხება ასაკს ინტერვალი X. ვთქვათ საშუალო ასაკის ინტერვალი 21 წლიდან 33 წლამდე დიაპაზონში იქნება 27 წლის ნიშანი, ვინაიდან (21 + 33) / 2 = 27.

ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია სხვა მეთოდის გამოყენება ზედა და ქვედა საზღვრებს შორის საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის გამოსათვლელად. ინტერვალი. ამ ვარიანტში, ჯერ განსაზღვრეთ დიაპაზონის სიგანე - გამოაკლეთ მინიმალური მაქსიმალურ მნიშვნელობას. შემდეგ გაყავით მიღებული მნიშვნელობა შუაზე და დაამატეთ შედეგი დიაპაზონის მინიმალურ მნიშვნელობას. მაგალითად, თუ ქვედა ზღვარი არის 47.15 და ზედა ზღვარი 79.13, მაშინ დიაპაზონის სიგანე იქნება 79.13-47.15=31.98. მერე შუა ინტერვალიიქნება 63.14, ვინაიდან 47.15+(31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14.

თუ ინტერვალი არ არის ჩვეულებრივი რიცხვითი მიმდევრობის მონაკვეთი, მაშინ გამოთვალეთ იგი შუაგამოყენებული საზომი შკალის ციკლურობისა და განზომილების შესაბამისად. მაგალითად, თუ ვსაუბრობთ ისტორიულ პერიოდზე, მაშინ შუა ინტერვალიიქნება კონკრეტული კალენდარული თარიღი. ასე რომ ინტერვალი 2012 წლის 1 იანვრიდან 2012 წლის 31 იანვრამდე შუალედი იქნება 2012 წლის 16 იანვარი.

გარდა ჩვეულებრივი (დახურული) ინტერვალებისა, სტატისტიკური კვლევის მეთოდები ასევე შეიძლება მოქმედებდეს „ღია“ მეთოდებთან. ასეთი დიაპაზონებისთვის, ერთ-ერთი საზღვარი არ არის განსაზღვრული. მაგალითად, ღია ინტერვალი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც "50 წლის ასაკი ან მეტი". შუა ამ შემთხვევაში განისაზღვრება ანალოგიის მეთოდით - თუ განსახილველი მიმდევრობის ყველა სხვა დიაპაზონს აქვს იგივე სიგანე, მაშინ ვარაუდობენ, რომ ამ ღია ინტერვალს აქვს იგივე განზომილება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაადგინოთ ღიას წინა ინტერვალების სიგანის ცვლილების დინამიკა და გამოიტანოთ მისი პირობითი სიგანე მიღებული ცვლილების ტენდენციის საფუძველზე.

ინსტრუქცია

თუ ინტერვალი არის უწყვეტი რიცხვითი მიმდევრობის მონაკვეთი, მაშინ მისი შუალედის საპოვნელად გამოიყენეთ მათემატიკური მეთოდები საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის გამოსათვლელად. დაამატეთ მინიმალური მნიშვნელობა (მისი დასაწყისი) მაქსიმუმს () და გაყავით შედეგი შუაზე - ეს არის საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ერთ-ერთი გზა. მაგალითად, ეს ეხება ასაკს ინტერვალი X. ვთქვათ საშუალო ასაკის ინტერვალი 21 წლიდან 33 წლამდე დიაპაზონში იქნება 27 წლის ნიშანი, ვინაიდან (21 + 33) / 2 = 27.

ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია სხვა მეთოდის გამოყენება ზედა და ქვედა საზღვრებს შორის საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის გამოსათვლელად. ინტერვალი. ამ ვარიანტში, ჯერ განსაზღვრეთ დიაპაზონის სიგანე - გამოაკლეთ მინიმალური მაქსიმალურ მნიშვნელობას. შემდეგ გაყავით მიღებული მნიშვნელობა შუაზე და დაამატეთ შედეგი დიაპაზონის მინიმალურ მნიშვნელობას. მაგალითად, თუ ქვედა მნიშვნელობა არის 47.15 და ზედა არის 79.13, მაშინ დიაპაზონის სიგანე იქნება 79.13-47.15=31.98. მერე შუა ინტერვალიიქნება 63.14, ვინაიდან 47.15+(31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14.

თუ ინტერვალი არ არის ჩვეულებრივი რიცხვითი მიმდევრობის მონაკვეთი, მაშინ გამოთვალეთ იგი შუაგამოყენებული საზომი შკალის ციკლურობისა და განზომილების შესაბამისად. მაგალითად, თუ ვსაუბრობთ ისტორიულ პერიოდზე, მაშინ შუა ინტერვალიიქნება კონკრეტული კალენდარული თარიღი. ასე რომ ინტერვალი 2012 წლის 1 იანვრიდან 2012 წლის 31 იანვრამდე შუალედი იქნება 2012 წლის 16 იანვარი.

გარდა ჩვეულებრივი (დახურული) ინტერვალებისა, სტატისტიკური კვლევის მეთოდები ასევე შეიძლება მოქმედებდეს „ღია“ მეთოდებთან. ასეთი დიაპაზონებისთვის, ერთ-ერთი საზღვარი არ არის განსაზღვრული. მაგალითად, ღია ინტერვალი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც "50 წლის ასაკი ან მეტი". შუა ამ შემთხვევაში განისაზღვრება ანალოგიის მეთოდით - თუ განსახილველი მიმდევრობის ყველა სხვა დიაპაზონი ერთნაირი სიგანეა, მაშინ ვარაუდობენ, რომ ეს ღია ინტერვალი იგივეა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაადგინოთ დინამიკის სიგანის ინტერვალები, რომლებიც წინ უძღვის ღიას და მისი პირობითი სიგანე, მიღებული ცვლილების ტენდენციის საფუძველზე.

წყაროები:

• რა არის ღია ინტერვალი

ვარიაციის შესწავლისას - განსხვავებები თვისების ცალკეულ მნიშვნელობებში შესწავლილი პოპულაციის ერთეულებში - გამოითვლება მთელი რიგი აბსოლუტური და ფარდობითი მაჩვენებლები. პრაქტიკაში, ვარიაციის კოეფიციენტმა ყველაზე დიდი გამოყენება ჰპოვა შედარებით მაჩვენებლებს შორის.

ინსტრუქცია

გაითვალისწინეთ, რომ ცვალებადობის კოეფიციენტი პრაქტიკაში გამოიყენება არა მხოლოდ ვარიაციის შესადარებლად, არამედ მოსახლეობის ჰომოგენურობის დასახასიათებლად. თუ ეს მაჩვენებელი არ აღემატება 0,333-ს, ანუ 33,3%-ს, ნიშან-თვისების ვარიაცია სუსტად ითვლება, ხოლო თუ 0,333-ზე მეტია, ძლიერად ითვლება. ძლიერი ვარიაციის შემთხვევაში, შესწავლილი სტატისტიკური პოპულაცია განიხილება ჰეტეროგენულად, ხოლო საშუალო მნიშვნელობა მიჩნეულია ატიპიურად; ის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ პოპულაციის განზოგადების ინდიკატორად. ცვალებადობის კოეფიციენტის ქვედა ზღვარი არის ნული, ზედა ზღვარი არ არსებობს. თუმცა, ფუნქციის ცვალებადობის ზრდასთან ერთად, იზრდება მისი ღირებულებაც.

ცვალებადობის კოეფიციენტის გაანგარიშებისას მოგიწევთ გამოიყენოთ საშუალო გადახრა. იგი განისაზღვრება, როგორც კვადრატული ფესვი, რომელიც, თავის მხრივ, შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგნაირად: D \u003d Σ (X-Xav) ^ 2 / N. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განსხვავება არის საშუალო არითმეტიკულიდან გადახრის საშუალო კვადრატი. განსაზღვრავს, თუ რამდენად არის გადახრილი სერიის კონკრეტული ინდიკატორები საშუალო მნიშვნელობიდან. ეს არის თვისების რყევის აბსოლუტური საზომი და, შესაბამისად, ნათლად არის განმარტებული.

ხშირად სტატისტიკაში, ფენომენის ან პროცესის გაანალიზებისას, აუცილებელია გავითვალისწინოთ არა მხოლოდ ინფორმაცია შესწავლილი ინდიკატორების საშუალო დონის შესახებ, არამედ გაფანტვა ან ცვალებადობა ცალკეული ერთეულების მნიშვნელობებში , რაც შესწავლილი პოპულაციის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია.

საფონდო ფასები, მიწოდებისა და მოთხოვნის მოცულობა, საპროცენტო განაკვეთები დროის სხვადასხვა პერიოდში და სხვადასხვა ადგილას ექვემდებარება ყველაზე დიდ ცვალებადობას.

ვარიაციის დამახასიათებელი ძირითადი ინდიკატორები , არის დიაპაზონი, განსხვავება, სტანდარტული გადახრა და ვარიაციის კოეფიციენტი.

დიაპაზონის ვარიაცია არის განსხვავება ატრიბუტის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს შორის: R = Xmax – Xmin. ამ ინდიკატორის მინუსი ის არის, რომ იგი აფასებს მხოლოდ ნიშან-თვისებების ვარიაციის საზღვრებს და არ ასახავს მის მერყეობას ამ საზღვრებში.

დისპერსია მოკლებულია ამ ნაკლს. იგი გამოითვლება, როგორც ატრიბუტის მნიშვნელობების გადახრების საშუალო კვადრატი მათი საშუალო მნიშვნელობიდან:

დისპერსიის გამოთვლის გამარტივებული გზა ხორციელდება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით (მარტივი და წონიანი):

ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები წარმოდგენილია 1 და 2 ამოცანებში.

პრაქტიკაში ფართოდ გამოყენებული მაჩვენებელია სტანდარტული გადახრა :

სტანდარტული გადახრა განისაზღვრება, როგორც ვარიაციის კვადრატული ფესვი და აქვს იგივე განზომილება, როგორც შესასწავლი მახასიათებელი.

განხილული მაჩვენებლები შესაძლებელს ხდის ვარიაციის აბსოლუტური მნიშვნელობის მიღებას, ე.ი. შეაფასეთ იგი შესასწავლი თვისების საზომი ერთეულებით. მათგან განსხვავებით, ვარიაციის კოეფიციენტი ზომავს რყევას ფარდობითი თვალსაზრისით - საშუალო დონესთან შედარებით, რაც ხშირ შემთხვევაში სასურველია.

ცვალებადობის კოეფიციენტის გამოთვლის ფორმულა.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები თემაზე "სტატისტიკის ცვალებადობის ინდიკატორები"

დავალება 1 . რაიონის ბანკებში საშუალო თვიური ანაბრის ზომაზე რეკლამის გავლენის შესწავლისას გამოიკვლია 2 ბანკი. მიიღება შემდეგი შედეგები:

განსაზღვრეთ:
1) თითოეული ბანკისთვის: ა) საშუალო თვიური ანაბარი; ბ) შენატანის დისპერსია;
2) საშუალო თვიური ანაბარი ორი ბანკისთვის ერთად;
3) ანაბრის დისპერსია 2 ბანკისთვის, რეკლამიდან გამომდინარე;
4) ანაბრის დისპერსია 2 ბანკისთვის, რეკლამის გარდა ყველა ფაქტორიდან გამომდინარე;
5) ჯამური დისპერსია მიმატების წესის გამოყენებით;
6) განსაზღვრის კოეფიციენტი;
7) კორელაციური მიმართება.

გადაწყვეტილება

1) მოდით გავაკეთოთ საანგარიშო ცხრილი ბანკისთვის რეკლამით . საშუალო თვიური დეპოზიტის დასადგენად, ჩვენ ვპოულობთ ინტერვალების შუა წერტილებს. ამ შემთხვევაში ღია ინტერვალის (პირველის) მნიშვნელობა პირობითად უტოლდება მის მიმდებარე ინტერვალის მნიშვნელობას (მეორე).

ჩვენ ვპოულობთ წვლილის საშუალო ზომას შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულის გამოყენებით:

29000/50 = 580 რუბლი

წვლილის დისპერსია გვხვდება ფორმულით:

23 400/50 = 468

ჩვენ განვახორციელებთ მსგავს ქმედებებს ბანკისთვის რეკლამის გარეშე :

2) იპოვეთ საშუალო ანაბარი ორი ბანკისთვის ერთად. Xav \u003d (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 \u003d 561,4 რუბლი.

3) ანაბრის დისპერსიას, ორი ბანკისთვის, რეკლამიდან გამომდინარე, ვიპოვით ფორმულით: σ 2 =pq (ალტერნატიული ატრიბუტის დისპერსიის ფორმულა). აქ p=0.5 არის ფაქტორების პროპორცია, რომელიც დამოკიდებულია რეკლამაზე; q=1-0.5, შემდეგ σ 2 =0.5*0.5=0.25.

4) ვინაიდან სხვა ფაქტორების წილი არის 0.5, მაშინ დეპოზიტის დისპერსიაც ორი ბანკისთვის, რომელიც ყველა ფაქტორზეა დამოკიდებული რეკლამის გარდა, ასევე არის 0.25.

5) ჯამური დისპერსიის განსაზღვრა შეკრების წესის გამოყენებით.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 \u003d σ 2 ფაქტი + σ 2 დანარჩენი \u003d 552.08 + 345.96 \u003d 898.04

6) განსაზღვრის კოეფიციენტი η 2 = σ 2 ფაქტი / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - შენატანის ზომა დამოკიდებულია რეკლამაზე 39%-ით.

7) ემპირიული კორელაციის კოეფიციენტი η = √η 2 = √0.39 = 0.62 - ურთიერთობა საკმაოდ მჭიდროა.

დავალება 2 . არსებობს საწარმოთა დაჯგუფება სავაჭრო პროდუქციის ღირებულების მიხედვით:

განსაზღვრავს: 1) საბაზრო პროდუქციის ღირებულების დისპერსიას; 2) სტანდარტული გადახრა; 3) ვარიაციის კოეფიციენტი.

გადაწყვეტილება

1) პირობით, წარმოდგენილია ინტერვალის განაწილების სერია. ის დისკრეტულად უნდა გამოიხატოს, ანუ იპოვო შუალედი (x"). დახურული ინტერვალების ჯგუფებში შუას ვპოულობთ მარტივი საშუალო არითმეტიკით. ჯგუფებში ზედა ზღვარი, როგორც სხვაობა ამ ზედა ზღვარს შორის. და მის შემდგომი ინტერვალის ზომის ნახევარი (200-(400 -200):2=100).

ქვედა ზღვრის მქონე ჯგუფებში - ამ ქვედა ზღვრის ჯამი და წინა ინტერვალის ზომის ნახევარი (800+(800-600):2=900).

საბაზრო პროდუქციის საშუალო ღირებულების გაანგარიშება ხდება ფორმულის მიხედვით:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. აქ a=500 არის ვარიანტის ზომა უმაღლეს სიხშირეზე, k=600-400=200 არის ინტერვალის ზომა უმაღლეს სიხშირეზე მოდით მივიღოთ შედეგი ცხრილში:

ასე რომ, საბაზრო პროდუქციის საშუალო ღირებულება შესწავლილი პერიოდისთვის მთლიანობაში არის Xav = (-5:37) × 200 + 500 = 472,97 ათასი რუბლი.

2) ჩვენ ვპოულობთ დისპერსიას შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

σ 2 \u003d (33/37) * 2002-(472.97-500) 2 \u003d 35,675.67-730.62 \u003d 34,945.05

3) სტანდარტული გადახრა: σ = ±√σ 2 = ±√34 945.05 ≈ ±186.94 ათასი რუბლი.

4) ცვალებადობის კოეფიციენტი: V \u003d (σ / Xav) * 100 \u003d (186.94 / 472.97) * 100 \u003d 39.52%

სტატისტიკური აგრეგატების ერთეულების ნიშნები განსხვავებულია მათი მნიშვნელობით, მაგალითად, საწარმოს ერთი პროფესიის მუშაკთა ანაზღაურება არ არის იგივე დროის ერთსა და იმავე პერიოდში, საბაზრო ფასები ერთი და იგივე პროდუქტზე განსხვავებულია, მოსავლის მოსავლიანობა ფერმებში. რეგიონის და ა.შ. ამრიგად, შესასწავლი ერთეულების მთელი პოპულაციისთვის დამახასიათებელი მახასიათებლის მნიშვნელობის დასადგენად, გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობები.
საშუალო ღირებულება – ეს არის ზოგიერთი რაოდენობრივი ნიშნის ინდივიდუალური მნიშვნელობების სიმრავლის განზოგადებული მახასიათებელი.

რაოდენობრივი ატრიბუტით შესწავლილი პოპულაცია შედგება ინდივიდუალური მნიშვნელობებისაგან; მათზე გავლენას ახდენს როგორც ზოგადი მიზეზები, ასევე ინდივიდუალური პირობები. საშუალო მნიშვნელობაში, ინდივიდუალური მნიშვნელობებისთვის დამახასიათებელი გადახრები გაუქმებულია. საშუალო, როგორც ინდივიდუალური მნიშვნელობების სიმრავლის ფუნქცია, წარმოადგენს მთელ სიმრავლეს ერთი მნიშვნელობით და ასახავს საერთო ნივთს, რომელიც თანდაყოლილია მის ყველა ერთეულში.

ხარისხობრივად ერთგვაროვანი ერთეულებისგან შემდგარი პოპულაციებისთვის გამოთვლილ საშუალოს ეწოდება ტიპიური საშუალო. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ამა თუ იმ პროფესიული ჯგუფის თანამშრომლის საშუალო თვიური ხელფასი (მაღაროელი, ექიმი, ბიბლიოთეკარი). რა თქმა უნდა, მეშახტეების ყოველთვიური ანაზღაურების დონეები, მათი კვალიფიკაციის, სამსახურის ხანგრძლივობის, თვეში სამუშაო საათების და სხვა მრავალი ფაქტორის გამო, განსხვავდება ერთმანეთისგან და საშუალო ხელფასის დონით. ამასთან, საშუალო დონე ასახავს ძირითად ფაქტორებს, რომლებიც გავლენას ახდენენ ხელფასების დონეზე და ურთიერთგამომრიცხავი განსხვავებები, რომლებიც წარმოიქმნება დასაქმებულის ინდივიდუალური მახასიათებლების გამო. საშუალო ხელფასი ასახავს ამ ტიპის მუშაკთა ხელფასის ტიპურ დონეს. ტიპიური საშუალოს მიღებას წინ უნდა უძღოდეს ანალიზი, თუ რამდენად არის ეს პოპულაცია თვისობრივად ჰომოგენური. თუ მოსახლეობა შედგება ცალკეული ნაწილებისგან, ის უნდა დაიყოს ტიპურ ჯგუფებად (საშუალო ტემპერატურა საავადმყოფოში).

ჰეტეროგენული პოპულაციების მახასიათებლებად გამოყენებული საშუალო მნიშვნელობები ეწოდება სისტემის საშუალო მაჩვენებლები. მაგალითად, მთლიანი შიდა პროდუქტის (მშპ) საშუალო ღირებულება ერთ სულ მოსახლეზე, სხვადასხვა ჯგუფის საქონლის საშუალო მოხმარება ერთ ადამიანზე და სხვა მსგავსი ღირებულებები, რაც წარმოადგენს სახელმწიფოს, როგორც ერთიანი ეკონომიკური სისტემის ზოგად მახასიათებლებს.

საშუალო უნდა გამოითვალოს საკმარისად დიდი რაოდენობის ერთეულებისგან შემდგარი პოპულაციებისთვის. ამ პირობის დაცვა აუცილებელია იმისთვის, რომ ძალაში შევა დიდი რიცხვების კანონი, რის შედეგადაც ცალკეული რაოდენობების შემთხვევითი გადახრები ზოგადი ტენდენციიდან ერთმანეთს აუქმებს.

საშუალოების ტიპები და მათი გამოთვლის მეთოდები

საშუალო ტიპის არჩევანი განისაზღვრება გარკვეული ინდიკატორის ეკონომიკური შინაარსითა და საწყისი მონაცემებით. თუმცა, ნებისმიერი საშუალო მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს ისე, რომ როდესაც იგი ცვლის საშუალო მახასიათებლის თითოეულ ვარიანტს, საბოლოო, განზოგადებული ან, როგორც მას ჩვეულებრივ უწოდებენ, განმსაზღვრელი მაჩვენებელი, რომელიც დაკავშირებულია საშუალოსთან. მაგალითად, ბილიკის ცალკეულ მონაკვეთებზე ფაქტობრივი სიჩქარის შეცვლისას მათი საშუალო სიჩქარე არ უნდა შეცვალოს ავტომობილის მიერ გავლილი მთლიანი მანძილი ერთსა და იმავე დროს; საწარმოს ცალკეული თანამშრომლების რეალური ხელფასის საშუალო ხელფასით შეცვლისას სახელფასო ფონდი არ უნდა შეიცვალოს. შესაბამისად, თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში, არსებული მონაცემების ბუნებიდან გამომდინარე, არსებობს ინდიკატორის მხოლოდ ერთი ჭეშმარიტი საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც ადეკვატურია შესასწავლი სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენის თვისებებთან და არსთან.
ყველაზე ხშირად გამოიყენება საშუალო არითმეტიკული, ჰარმონიული საშუალო, გეომეტრიული საშუალო, საშუალო კვადრატი და საშუალო კუბური.
ჩამოთვლილი საშუალოები ეკუთვნის კლასს ძალასაშუალო და გაერთიანებულია ზოგადი ფორმულით:
,
სად არის შესწავლილი ნიშან-თვისების საშუალო მნიშვნელობა;
m არის საშუალოს მაჩვენებელი;
– საშუალო მახასიათებლის მიმდინარე მნიშვნელობა (ვარიანტი);
n არის ფუნქციების რაოდენობა.
m მაჩვენებლის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, განასხვავებენ სიმძლავრის საშუალო ტიპებს:
m = -1 - საშუალო ჰარმონია;
m = 0 - გეომეტრიული საშუალო;
m = 1-ზე – საშუალო არითმეტიკული;
m = 2 - ფესვის საშუალო კვადრატი;
m = 3-ზე - საშუალო კუბური.
იგივე საწყისი მონაცემების გამოყენებისას, რაც უფრო დიდია m მაჩვენებელი ზემოთ მოცემულ ფორმულაში, მით უფრო დიდია საშუალო მნიშვნელობის მნიშვნელობა:
.
ძალაუფლების კანონის ეს თვისება ნიშნავს გაზრდას განმსაზღვრელი ფუნქციის მაჩვენებლის გაზრდით ე.წ საშუალებების მაჟორიტარობის წესი.
თითოეული მონიშნული საშუალო შეიძლება იყოს ორი ფორმა: მარტივიდა შეწონილი.
შუაშის მარტივი ფორმაგამოიყენება, როდესაც საშუალო გამოითვლება პირველადი (დაჯგუფებული) მონაცემებით. შეწონილი ფორმა– საშუალო (დაჯგუფებული) მონაცემების საშუალო გაანგარიშებისას.

Საშუალო არითმეტიკული

საშუალო არითმეტიკული გამოიყენება, როდესაც პოპულაციის მოცულობა არის სხვადასხვა ატრიბუტის ყველა ინდივიდუალური მნიშვნელობის ჯამი. უნდა აღინიშნოს, რომ თუ საშუალო ტიპი არ არის მითითებული, ვარაუდობენ საშუალო არითმეტიკული. მისი ლოგიკური ფორმულაა:

მარტივი არითმეტიკული საშუალოგათვლილი დაუჯგუფებელი მონაცემებით ფორმულის მიხედვით:
ან ,
სად არის მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები;
j არის დაკვირვების ერთეულის სერიული ნომერი, რომელიც ხასიათდება მნიშვნელობით;
N არის დაკვირვების ერთეულების რაოდენობა (კომპლექტის ზომა).
მაგალითი.ლექციაზე „სტატისტიკური მონაცემების შეჯამება და დაჯგუფება“ განხილული იქნა 10 კაციანი გუნდის სამუშაო გამოცდილებაზე დაკვირვების შედეგები. გამოთვალეთ ბრიგადის მუშაკთა საშუალო სამუშაო გამოცდილება. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

საშუალო არითმეტიკული მარტივი ფორმულის მიხედვით, ასევე გამოითვლება ქრონოლოგიური საშუალოთუ დროის ინტერვალები, რომლებისთვისაც წარმოდგენილია დამახასიათებელი მნიშვნელობები, თანაბარია.
მაგალითი.გაყიდული პროდუქციის მოცულობამ პირველ კვარტალში 47 დენ. ერთეული, მეორესთვის 54, მესამესთვის 65 და მეოთხესთვის 58 დენ. ერთეულები საშუალო კვარტალური ბრუნვაა (47+54+65+58)/4 = 56 დენ. ერთეულები
თუ მომენტალური მაჩვენებლები მოცემულია ქრონოლოგიურ სერიაში, მაშინ საშუალო გამოთვლისას ისინი იცვლება მნიშვნელობების ნახევარი ჯამებით პერიოდის დასაწყისში და ბოლოს.
თუ ორზე მეტი მომენტია და მათ შორის ინტერვალები ტოლია, მაშინ საშუალო გამოითვლება საშუალო ქრონოლოგიური ფორმულის გამოყენებით.

,
სადაც n არის დროის წერტილების რაოდენობა
როდესაც მონაცემები დაჯგუფებულია ატრიბუტების მნიშვნელობებით (ანუ აგებულია დისკრეტული ვარიაციული განაწილების სერია) ერთად შეწონილი არითმეტიკული საშუალოგამოითვლება ან სიხშირეების, ან მახასიათებლის სპეციფიკურ მნიშვნელობებზე დაკვირვების სიხშირეების გამოყენებით, რომელთა რიცხვი (k) მნიშვნელოვნად ნაკლებია დაკვირვებების რაოდენობაზე (N).
,
,
სადაც k არის ვარიაციების სერიის ჯგუფების რაოდენობა,
i არის ვარიაციების სერიის ჯგუფის რიცხვი.
მას შემდეგ, რაც , და, ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს, რომლებიც გამოიყენება პრაქტიკული გამოთვლებისთვის:
და
მაგალითი.გამოვთვალოთ სამუშაო გუნდების მომსახურების საშუალო ხანგრძლივობა დაჯგუფებული სერიებისთვის.
ა) სიხშირეების გამოყენებით:

ბ) სიხშირეების გამოყენებით:

როდესაც მონაცემები დაჯგუფებულია ინტერვალებით , ე.ი. წარმოდგენილია ინტერვალის განაწილების სერიების სახით; საშუალო არითმეტიკული გამოთვლისას, მახასიათებლის მნიშვნელობად იღებენ ინტერვალის შუას, ამ ინტერვალში პოპულაციის ერთეულების ერთგვაროვანი განაწილების დაშვების საფუძველზე. გაანგარიშება ხორციელდება ფორმულების მიხედვით:
და
სად არის შუალედი:
სადაც და არის ინტერვალების ქვედა და ზედა საზღვრები (იმ პირობით, რომ ამ ინტერვალის ზედა ზღვარი ემთხვევა შემდეგი ინტერვალის ქვედა საზღვარს).

მაგალითი.გამოვთვალოთ 30 მუშის წლიური ანაზღაურების კვლევის შედეგებით აგებული ინტერვალის ვარიაციის სერიის არითმეტიკული საშუალო (იხ. ლექცია „სტატისტიკური მონაცემების შეჯამება და დაჯგუფება“).
ცხრილი 1 - განაწილების ინტერვალის ვარიაციების სერია.

ინტერვალები, UAH	სიხშირე, პერს.	სიხშირე,	შუა შუალედი
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH ან UAH
არითმეტიკული საშუალებები, რომლებიც გამოითვლება საწყისი მონაცემებისა და ინტერვალის ცვალებადობის სერიების საფუძველზე, შეიძლება არ ემთხვეოდეს ინტერვალებში ატრიბუტების მნიშვნელობების არათანაბარი განაწილების გამო. ამ შემთხვევაში, არითმეტიკული შეწონილი საშუალოს უფრო ზუსტი გაანგარიშებისთვის, უნდა გამოვიყენოთ არა ინტერვალების შუა, არამედ არითმეტიკული მარტივი საშუალოები, რომლებიც გამოითვლება თითოეული ჯგუფისთვის ( ჯგუფის საშუალო მაჩვენებლები). ჯგუფური საშუალებებიდან გამოთვლილი საშუალო შეწონილი გამოთვლის ფორმულით ეწოდება ზოგადი საშუალო.
საშუალო არითმეტიკას აქვს მთელი რიგი თვისებები.
1. ვარიანტის გადახრების ჯამი საშუალოდან არის ნული:
.
2. თუ ოფციონის ყველა მნიშვნელობა იზრდება ან მცირდება A მნიშვნელობით, მაშინ საშუალო მნიშვნელობა იზრდება ან მცირდება იგივე A მნიშვნელობით:

3. თუ თითოეული ვარიანტი გაიზარდა ან შემცირდა B-ჯერ, მაშინ საშუალო მნიშვნელობა ასევე გაიზრდება ან შემცირდება იმავე რაოდენობით:
ან
4. ვარიანტის ნამრავლების ჯამი სიხშირეების მიხედვით უდრის საშუალო სიდიდის ნამრავლს სიხშირეების ჯამით:

5. თუ ყველა სიხშირე იყოფა ან გამრავლდა რომელიმე რიცხვზე, მაშინ საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება:

6) თუ ყველა ინტერვალში სიხშირეები ერთმანეთის ტოლია, მაშინ არითმეტიკული შეწონილი საშუალო უდრის მარტივ არითმეტიკულ საშუალოს:
,
სადაც k არის ვარიაციების სერიების ჯგუფების რაოდენობა.

საშუალო თვისებების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ მისი გაანგარიშება.
დავუშვათ, რომ ყველა ვარიანტი (x) ჯერ მცირდება ერთი და იგივე რიცხვით A, შემდეგ კი მცირდება B კოეფიციენტით. ყველაზე დიდი გამარტივება მიიღწევა, როდესაც უმაღლესი სიხშირის მქონე ინტერვალის შუა მნიშვნელობა არჩეულია როგორც A, ხოლო ინტერვალის მნიშვნელობა როგორც B (იგივე ინტერვალებით მწკრივებისთვის). A რაოდენობას წარმოშობა ეწოდება, ამიტომ საშუალო გამოთვლის ამ მეთოდს ეწოდება გზაბ ohm მითითება პირობითი ნულიდანან მომენტების გზა.
ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ ვიღებთ ახალ ვარიაციულ განაწილების სერიას, რომლის ვარიანტები უდრის . მათი საშუალო არითმეტიკული, ე.წ პირველი შეკვეთის მომენტი,გამოიხატება ფორმულით და მეორე და მესამე თვისებების მიხედვით საშუალო არითმეტიკული უდრის საწყისი ვერსიის საშუალოს, შემცირებულია ჯერ A-ით, შემდეგ კი B-ჯერ, ე.ი.
Მიღება რეალური საშუალო(პირველი რიგის შუა) თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი რიგის მომენტი B-ზე და დაამატოთ A:

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა მომენტების მეთოდით ილუსტრირებულია ცხრილში მოცემული მონაცემებით. 2.
ცხრილი 2 - საწარმოს მაღაზიის თანამშრომელთა განაწილება სტაჟის მიხედვით

სამუშაო გამოცდილება, წლები	მუშათა რაოდენობა	ინტერვალის შუა წერტილი
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

პირველი შეკვეთის მომენტის პოვნა . შემდეგ, იმის ცოდნა, რომ A = 17.5 და B = 5, ჩვენ ვიანგარიშებთ მაღაზიის მუშაკების საშუალო სამუშაო გამოცდილებას:
წლები

საშუალო ჰარმონიული
როგორც ზემოთ იყო ნაჩვენები, საშუალო არითმეტიკული გამოიყენება მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობის გამოსათვლელად იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მისი x ვარიანტები და მათი f სიხშირეები.
თუ სტატისტიკური ინფორმაცია არ შეიცავს f სიხშირეებს პოპულაციის x ცალკეული ვარიანტებისთვის, მაგრამ წარმოდგენილია როგორც მათი პროდუქტი, გამოიყენება ფორმულა. საშუალო ჰარმონიული შეწონილი. საშუალოს გამოსათვლელად აღნიშნეთ საიდან. ამ გამონათქვამების შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ შეწონილი ჰარმონიული საშუალო ფორმულას:
,
სად არის ინდიკატორის ატრიბუტის მნიშვნელობების მოცულობა (წონა) i ნომრის ინტერვალში (i=1,2,…, k).

ამრიგად, ჰარმონიული საშუალო გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც შეჯამებას ექვემდებარება არა თავად ვარიანტები, არამედ მათი ორმხრივები: .
იმ შემთხვევებში, როდესაც თითოეული ვარიანტის წონა უდრის ერთს, ე.ი. ინვერსიული ფუნქციის ინდივიდუალური მნიშვნელობები ხდება ერთხელ, ვრცელდება მარტივი ჰარმონიული საშუალო:
,
სად არის შებრუნებული ნიშან-თვისების ცალკეული ვარიანტები, რომლებიც ერთხელ გვხვდება;
N არის ვარიანტების რაოდენობა.
თუ არსებობს ჰარმონიული საშუალოები პოპულაციის ორი ნაწილისთვის და რიცხვით, მაშინ მთლიანი საშუალო მთლიანი პოპულაციისთვის გამოითვლება ფორმულით:

და დაურეკა ჯგუფური საშუალებების შეწონილი ჰარმონიული საშუალო.

მაგალითი.ვალუტის ბირჟაზე ვაჭრობის პირველი საათის განმავლობაში სამი გარიგება განხორციელდა. მონაცემები გრივნის გაყიდვების ოდენობისა და გრივნის კურსის შესახებ აშშ დოლართან მიმართებაში მოცემულია ცხრილში. 3 (სვეტები 2 და 3). განსაზღვრეთ გრივნის საშუალო გაცვლითი კურსი აშშ დოლართან მიმართებაში ვაჭრობის პირველი საათის განმავლობაში.
ცხრილი 3 - მონაცემები ვალუტის ბირჟაზე ვაჭრობის მიმდინარეობის შესახებ

დოლარის საშუალო გაცვლითი კურსი განისაზღვრება ყველა ტრანზაქციის დროს გაყიდული გრივნის რაოდენობის თანაფარდობით იმავე ტრანზაქციის შედეგად შეძენილ დოლართან. გრივნას გაყიდვის მთლიანი თანხა ცნობილია ცხრილის მე-2 სვეტიდან, ხოლო თითოეულ ტრანზაქციაში შეძენილი დოლარის ოდენობა განისაზღვრება გრივნის გაყიდვის თანხის გაცვლის კურსზე (სვეტი 4) გაყოფით. სამი ტრანზაქციის დროს სულ 22 მილიონი დოლარი შეიძინა. ეს ნიშნავს, რომ გრივნის საშუალო კურსი ერთი დოლარი იყო
.
მიღებული მნიშვნელობა რეალურია, რადგან მისი ფაქტობრივი გრივნის გაცვლითი კურსის ჩანაცვლება ტრანზაქციებში არ შეცვლის გრივნის გაყიდვების მთლიან რაოდენობას, რომელიც მოქმედებს როგორც განმსაზღვრელი მაჩვენებელი: მლნ. UAH
თუ გამოსათვლელად გამოყენებული იყო საშუალო არითმეტიკული, ე.ი. გრივნა, შემდეგ გაცვლითი კურსით 22 მილიონი დოლარის შესაძენად. 110,66 მილიონი UAH უნდა დაიხარჯოს, რაც სიმართლეს არ შეესაბამება.

გეომეტრიული საშუალო
გეომეტრიული საშუალო გამოიყენება ფენომენების დინამიკის გასაანალიზებლად და საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ საშუალო ზრდის ტემპი. გეომეტრიული საშუალოს გაანგარიშებისას, ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები არის დინამიკის ფარდობითი მაჩვენებლები, რომლებიც აგებულია ჯაჭვის მნიშვნელობების სახით, როგორც თითოეული დონის თანაფარდობა წინასთან.
მარტივი გეომეტრიული საშუალო გამოითვლება ფორმულით:
,
სად არის პროდუქტის ნიშანი,
N არის საშუალო მნიშვნელობების რაოდენობა.
მაგალითი. 4 წლის განმავლობაში რეგისტრირებული დანაშაულების რაოდენობა 1,57-ჯერ გაიზარდა, მათ შორის პირველზე - 1,08-ჯერ, მე-2-ზე - 1,1-ჯერ, მე-3-ზე - 1,18-ჯერ და მე-4-ზე - 1,12-ჯერ. მაშინ დანაშაულთა რაოდენობის საშუალო წლიური ზრდის მაჩვენებელია: , ე.ი. რეგისტრირებული დანაშაულების რაოდენობა ყოველწლიურად საშუალოდ 12%-ით გაიზარდა.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

საშუალო შეწონილი კვადრატის გამოსათვლელად განვსაზღვრავთ და შევიყვანთ ცხრილში და. მაშინ პროდუქტის სიგრძის გადახრების საშუალო მნიშვნელობა მოცემული ნორმიდან უდრის:

საშუალო არითმეტიკული ამ შემთხვევაში უვარგისი იქნება, რადგან შედეგად, ჩვენ მივიღებთ ნულოვან გადახრას.
ფესვის საშუალო კვადრატის გამოყენება მოგვიანებით იქნება განხილული ვარიაციის მაჩვენებლებში.