კურსი: ეილერის გამა ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები. გამა გამოსხივება და მისი თვისებები

გამა სხივები არის ძალიან მაღალი სიხშირის ელექტრომაგნიტური რხევები, რომლებიც ვრცელდება სივრცეში სინათლის სიჩქარით. ამ გამოსხივებებს ბირთვი ასხივებს ცალკეული ნაწილების სახით, რომელსაც ეწოდება გამა კვანტები ან ფოტონები.

გამა კვანტების ენერგია 0,05-დან 5 მევ-მდე დიაპაზონშია. 1 მევ-ზე ნაკლები ენერგიის გამა გამოსხივებას პირობითად უწოდებენ რბილ გამოსხივებას, ხოლო 1 მევ-ზე მეტი ენერგიის მქონე - მძიმე გამოსხივებას.

გამა გამოსხივება არ არის გამოსხივების დამოუკიდებელი ტიპი. ჩვეულებრივ, გამა გამოსხივება თან ახლავს ბეტა დაშლას, ნაკლებად ხშირად ალფა დაშლას. ალფა ან ბეტა ნაწილაკების გამოდევნით, ბირთვი თავისუფლდება ჭარბი ენერგიისგან, მაგრამ მაინც რჩება აღგზნებულ მდგომარეობაში. აღგზნებული მდგომარეობიდან ძირითად მდგომარეობაში გადასვლას თან ახლავს გამა სხივების გამოსხივება, ხოლო ბირთვის შემადგენლობა არ იცვლება.

ჰაერში გამა სხივები ვრცელდება დიდ მანძილზე, რომელიც იზომება ათეულობით და ასეულობით მეტრში.

გამა სხივების შეღწევის ძალა 50-100-ჯერ აღემატება ბეტა ნაწილაკების შეღწევადობას და ათასობითჯერ აღემატება ალფა ნაწილაკების შეღწევის ძალას.

გარემოს იონიზაცია გამა სხივების გავლის დროს: მხოლოდ მეორადი ელექტრონებით, რომლებიც წარმოიქმნება გამა კვანტების მატერიის ატომებთან ურთიერთქმედების შედეგად. გამა კვანტების მაიონებელი უნარი განისაზღვრება მათი ენერგიით. ზოგადად, ერთი გამა კვანტური იძლევა იმდენ წყვილ იონს, რამდენიც არის იგივე ენერგიის ბეტა ან ალფა ნაწილაკები. თუმცა, გამა სხივების დაბალი შთანთქმის გამო, მათ მიერ წარმოქმნილი იონები უფრო დიდ მანძილზე ნაწილდება. მაშასადამე, გამა სხივების სპეციფიკური მაიონებელი ძალა ასჯერ ნაკლებია ბეტა ნაწილაკების სპეციფიკურ მაიონებელ ძალაზე, ათასობითჯერ ნაკლებია ალფა ნაწილაკების სპეციფიკურ მაიონებელ ძალაზე და შეადგენს რამდენიმე წყვილ იონს ჰაერში 1 სმ-ზე. გზა.

დასკვნა. გამა გამოსხივებას აქვს ყველაზე მაღალი შეღწევადობა რადიოაქტიური გამოსხივების სხვა ტიპების შეღწევადობასთან შედარებით. ამავდროულად, გამა გამოსხივებას აქვს ძალიან დაბალი სპეციფიკური მაიონებელი სიმძლავრე, რომელიც შეადგენს რამდენიმე წყვილ იონს ჰაერში გამა სხივების ბილიკის 1 სმ-ზე.

ნეიტრონული გამოსხივება და მისი ძირითადი თვისებები

ნეიტრონული გამოსხივება არის კორპუსკულური გამოსხივება, რომელიც წარმოიქმნება ბირთვების დაშლის ან შერწყმის პროცესში.

ნეიტრონებს აქვთ ძლიერი დამაზიანებელი ეფექტი, რადგან ისინი, ელექტრული მუხტის გარეშე, ადვილად შედიან ატომების ბირთვებში, რომლებიც ქმნიან ცოცხალ ქსოვილებს და იპყრობენ მათ.

ბირთვული აფეთქების დროს ნეიტრონების მთლიანი რაოდენობის 99%-ზე მეტი გამოიყოფა 10-14 წამში. ამ ნეიტრონებს ეწოდება სწრაფი. ნეიტრონების დარჩენილი ნაწილი (დაახლოებით 1%) გამოიყოფა მოგვიანებით ზოგიერთი დაშლის ფრაგმენტით მათი ბეტა დაშლის დროს. ამ ნეიტრონებს უწოდებენ დაგვიანებულს.

ნეიტრონების გავრცელების სიჩქარე 20000 კმ/სთ-ს აღწევს. დრო, რომელიც საჭიროა ყველა ნეიტრონის გასავლელად მანძილის გასავლელად აფეთქების წერტილიდან იმ ადგილამდე, სადაც ისინი წარმოადგენენ განადგურების საფრთხეს, არის აფეთქების მომენტიდან დაახლოებით ერთი წამი.

ენერგიის მიხედვით, ნეიტრონები იყოფა შემდეგნაირად:

ნელი ნეიტრონები 0-0,1 კევ;

შუალედური ენერგიის ნეიტრონები 0,1-20 კევ;

სწრაფი ნეიტრონები 20 კევ-10 მევ;

მაღალი ენერგიის ნეიტრონები 10 მევ-ზე მეტი.

თერმული ნეიტრონები - ნეიტრონები, რომლებიც იმყოფებიან გარემოსთან თერმულ წონასწორობაში (ენერგიით არაუმეტეს 1 ევ), შედის ნელი ნეიტრონების რეგიონში.

მატერიაში ნეიტრონების გავლას თან ახლავს მათი ინტენსივობის შესუსტება. ეს შესუსტება განპირობებულია ნეიტრონების ურთიერთქმედებით მატერიის ატომების ბირთვებთან.

რენტგენის გამოსხივება

რენტგენის სხივები წარმოიქმნება, როდესაც სწრაფი ელექტრონები მყარ სამიზნეებს ბომბავს. რენტგენის მილი არის ევაკუირებული ბუშტი რამდენიმე ელექტროდით (ნახ. 1.2). დენით გაცხელებული კათოდი K ემსახურება როგორც თავისუფალი ელექტრონების წყაროს, რომლებიც გამოსხივებულია თერმიონული ემისიის გამო. ცილინდრული ელექტროდი Z განკუთვნილია ელექტრონული სხივის ფოკუსირებისთვის.

სამიზნე არის ანოდი A, რომელსაც ანტიკათოდსაც უწოდებენ. მზადდება მძიმე ლითონებისგან (W, C. Pt და სხვ.). ელექტრონები აჩქარებულია კათოდსა და ანტიკათოდს შორის წარმოქმნილი მაღალი ძაბვით. ელექტრონების თითქმის მთელი ენერგია გამოიყოფა ანტიკათოდზე სითბოს სახით (ენერგიის მხოლოდ 1-3% გარდაიქმნება რადიაციად).

ანტიკათოდის ნივთიერებაში მოხვედრის შემდეგ ელექტრონები განიცდიან ძლიერ შენელებას და ხდება ელექტრომაგნიტური ტალღების წყარო.

ელექტრონის საკმარისად მაღალი სიჩქარით, გარდა bremsstrahlung-ისა (ანუ ელექტრონების შენელებით გამოწვეული გამოსხივება), დამახასიათებელი გამოსხივებაც აღგზნებულია (გამოწვეული ანტიკათოდური ატომების შიდა ელექტრონული გარსების აგზნებით).

რენტგენის გამოსხივების ინტენსივობა შეიძლება გაიზომოს როგორც ფოტოგრაფიული მოქმედების ხარისხით, ასევე იონიზაციით, რომელიც მას წარმოქმნის აირისებრ გარემოში, განსაკუთრებით ჰაერში. * რაც უფრო ინტენსიურია გამოსხივება, მით მეტ იონიზაციას გამოიმუშავებს იგი. მატერიასთან ურთიერთქმედების მექანიზმის მიხედვით რენტგენის სხივები y-გამოსხივების მსგავსია. რენტგენის გამოსხივების ტალღის სიგრძეა 10 -10 -10 -6 სმ, გამა გამოსხივება -10-9 სმ და ქვემოთ.

ამჟამად რენტგენი გამოიყენება როგორც კონტროლის საშუალება. რენტგენის დახმარებით აკონტროლებენ შედუღების ხარისხს, შესაბამისი პროდუქტების ერთგვაროვნებას და ა.შ. მედიცინაში რენტგენი ფართოდ გამოიყენება დიაგნოსტიკისთვის, ზოგიერთ შემთხვევაში კი კიბოს უჯრედებზე ზემოქმედების საშუალებად.

ლექცია No11 (2 ლექციის ჩატარება შესაძლებელია)

GAMMA FUNCTION, G-ფუნქცია, არის ტრანსცენდენტული ფუნქცია T(z), რომელიც ავრცელებს z ფაქტორების მნიშვნელობებს! ნებისმიერი კომპლექსის შემთხვევისთვის z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. შემოღებული L. Euler-ის მიერ [(L. Euler), 1729, წერილი ჩ. გოლდბახს] უსასრულო ნამრავლის გამოყენებით

საიდანაც ლ. ეილერმა მიიღო ინტეგრალური წარმოდგენა (ეილერის ინტეგრალი მეორე სახის)

მართალია Re z > 0-ისთვის. x z-1 ფუნქციის პოლისემია აღმოფხვრილია ფორმულით x z-1 = e (z-1)ln x რეალური ln x-ით. აღნიშვნა Г(z) და სახელები. გ.-ფ. შემოგვთავაზეს A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

მთელ z- სიბრტყეზე ამოგდებული წერტილებით z = 0, -1, -2, ... G.-f-სთვის. ჰანკელის ინტეგრალური წარმოდგენა მოქმედებს:

სადაც s z-1 = e (z-1)ln s , და ln s არის ლოგარითმის განშტოება, რომლისთვისაც 0

გ.-ფ-ის ძირითადი მიმართებები და თვისებები.

1) ეილერის ფუნქციური განტოლება:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, თუ n > 0 არის მთელი რიცხვი, 0-ის დათვლისას! = Г(1) = 1.

2) ეილერის კომპლემენტის ფორმულა:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

Კერძოდ,

თუ n > 0 არის მთელი რიცხვი, მაშინ

y რეალურია.

3) გაუსის გამრავლების ფორმულა:

m = 2-ისთვის ეს არის ლეჟანდრის გაორმაგების ფორმულა.

4) როდესაც Re z ≥ δ > 0 ან |Im z| ≥ δ > 0, ასიმპტომური ln Г(z)-ის გაფართოება სტერლინგის სერიაში:

სადაც B 2n არის ბერნულის რიცხვები. რას გულისხმობს თანასწორობა?

Კერძოდ,

უფრო ზუსტია სონის ფორმულა:

5) რეალურ ფართობში G(x) > 0 x > 0-ზე და იღებს ნიშანს (-1) k + 1 განყოფილებებში -k - 1

ГГ "" > Г" 2 ≥ 0,

ე.ი. ყველა ფილიალი |Г(x)| და ln |Г(х)| ამოზნექილი ფუნქციებია. ქონება ლოგარითმულია. ამობურცულობა განსაზღვრავს გ.-ფ. ფუნქციური განტოლების ყველა ამონახსნებს შორის

G(1 + x) = xG(x)

მუდმივ ფაქტორამდე.

ბრინჯი. 2. ფუნქციის გრაფიკი y \u003d G (x).

დადებითი x-ისთვის G.-f. აქვს ერთი მინიმალური x = 1,4616321... ტოლია 0,885603... . ფუნქციის ლოკალური მინიმმები |Г(х)| როგორც x → -∞ ისინი ქმნიან ნულისკენ მიდრეკილ მიმდევრობას.

ბრინჯი. 3. 1/Г(x) ფუნქციის გრაფიკი.

6) კომპლექსურ დომენში Re z > 0-ისთვის G.-f. სწრაფად მცირდება, როგორც |Im z| → -∞

7) ფუნქცია 1/Г(z) (იხ. ნახ. 3) არის 1-ლი რიგის მაქსიმალური ტიპის მთელი ფუნქცია და ასიმპტომურად, როგორც Г → ∞

log М(r) ~ r log r,

ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს Weierstrass-ის უსასრულო პროდუქტით:

აბსოლუტურად და ერთნაირად კონვერგენტული რთული სიბრტყის ნებისმიერ კომპაქტურ სიმრავლეზე (აქ C-Euler მუდმივა). ჰანკელის განუყოფელი წარმომადგენლობა მოქმედებს:

სადაც წრე C * ნაჩვენებია ნახ. 4.

ინტეგრალური წარმოდგენები ხარისხებისთვის G.-f. მიიღო G.F. Vorony-მ.

აპლიკაციებში ე.წ პოლიგამის ფუნქციები, რომლებიც ln Г(z) kth წარმოებულებია. ფუნქცია (ψ-გაუსის ფუნქცია)

არის მერომორფული, აქვს მარტივი პოლუსები z = 0,-1,_-2, ... წერტილებში და აკმაყოფილებს ფუნქციურ განტოლებას.

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

გამოსახულებიდან ψ(z) |z|-ისთვის

ეს ფორმულა გამოდგება Г(z) z=1 წერტილის სიახლოვეს გამოსათვლელად.

პოლიგამის სხვა ფუნქციებისთვის იხ. არასრული გამა ფუნქცია განისაზღვრება ტოლობით

ფუნქციები Г(z), ψ(z) არის ტრანსცენდენტული ფუნქციები, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ რაციონალური კოეფიციენტების არცერთ წრფივ დიფერენციალურ განტოლებას (ჰოლდერის თეორემა).

ექსკლუზიური როლი გ.-ფ. მათემატიკაში. ანალიზი განისაზღვრება იმით, რომ გ.-ფ. გამოსახულია გარკვეული ინტეგრალების დიდი რაოდენობა, უსასრულო პროდუქცია და სერიების ჯამები (იხილეთ, მაგალითად, ბეტა ფუნქცია). გარდა ამისა, გ.-ფ. ფართო გამოყენებას პოულობს სპეციალური ფუნქციების თეორიაში (ჰიპერგეომეტრიული ფუნქციები, რომლის შემზღუდველი შემთხვევაა G.-f., ცილინდრული ფუნქციები და სხვ.), ანალიტიკურში. რიცხვების თეორია და ა.შ.

ლიტ .: Whittaker E. T., Watson J. N., კურსი თანამედროვე ანალიზში, თარგმანი. ინგლისურიდან, ტ.2, მე-2 გამოცემა, მ., 1963; Bateman G., Erdeyi A., უმაღლესი ტრანსცენდენტული ფუნქციები ჰიპერგეომეტრიული ფუნქცია. ლეჟანდრის ფუნქციები, ტრანს. ინგლისურიდან, მ., 1965; Bourbaki N., რეალური ცვლადის ფუნქციები. ელემენტარული თეორია, თარგმანი. ფრანგულიდან, მოსკოვი, 1965; მათემატიკური ანალიზი. ფუნქციები, ლიმიტები, სერიები, განგრძობითი წილადები, (საცნობარო მათემატიკური ბიბლიოთეკა), მ., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., კვლევები ცილინდრული ფუნქციების და სპეციალური მრავალწევრების შესახებ, მოსკოვი, 1954; ვორონოი გ.ფ., სობრ. სოჭ., ტ.2, კ., 1952, გვ. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., სპეციალური ფუნქციები. ფორმულები, გრაფიკები, ცხრილები, ტრანს. გერმანულიდან, მე-2 გამოცემა, მ., 1968; ანგო ა., მათემატიკა ელექტრო და რადიო ინჟინრებისთვის, თრ. ფრანგულიდან, მე-2 გამოცემა, მ., 1967 წ.

L. P. Kuptsov.

წყაროები:

მათემატიკური ენციკლოპედია. T. 1 (A - D). რედ. კოლეგია: I. M. Vinogradov (მთავარი რედაქტორი) [და სხვები] - M., "საბჭოთა ენციკლოპედია", 1977, 1152 stb. ავადმყოფისგან.

საკურსო სამუშაოს ახსნა-განმარტება შედგენილია 36 ფურცლის ოდენობით. იგი შეიცავს გამა ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილს ცვლადების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და პროგრამის ტექსტებს გამა ფუნქციის მნიშვნელობების გამოსათვლელად და ნახატებისთვის, ასევე 2 ფიგურას.

ტერმინის დასაწერად გამოყენებულია 7 წყარო.

შესავალი

გამოყავით ფუნქციების სპეციალური კლასი, რომელიც წარმოდგენილია სათანადო ან არასათანადო ინტეგრალის სახით, რომელიც დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფორმალურ ცვლადზე, არამედ პარამეტრზეც.

ასეთ ფუნქციებს პარამეტრზე დამოკიდებული ინტეგრალები ეწოდება. ეს მოიცავს ეილერის გამა და ბეტა ფუნქციებს.

ბეტა ფუნქციები წარმოდგენილია ეილერის პირველი ტიპის ინტეგრალით:

გამა ფუნქცია წარმოდგენილია მეორე ტიპის ეილერის ინტეგრალით:

გამა ფუნქცია არის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი და მნიშვნელოვანი სპეციალური ფუნქცია, რომლის თვისებების ცოდნა აუცილებელია მრავალი სხვა სპეციალური ფუნქციის შესასწავლად, მაგალითად, ცილინდრული, ჰიპერგეომეტრიული და სხვა.

მისი დანერგვის წყალობით, მნიშვნელოვნად გაფართოვდა ჩვენი შესაძლებლობები ინტეგრალების გამოთვლაში. იმ შემთხვევებშიც კი, როდესაც საბოლოო ფორმულა არ შეიცავს ელემენტარულის გარდა სხვა ფუნქციებს, მისი მიღება მაინც ხშირად აადვილებს Г ფუნქციის გამოყენებას, ყოველ შემთხვევაში, შუალედურ გამოთვლებში.

ეილერის ინტეგრალები კარგად შესწავლილი არა ელემენტარული ფუნქციებია. პრობლემა მოგვარებულად ითვლება, თუ ის დაიყვანება ეილერის ინტეგრალის გამოთვლამდე.

1. ბეტა ფუნქციები მე ეილერი

ბეტა ფუნქციები განისაზღვრება ეილერის პირველი ტიპის ინტეგრალით:

=(1.1)

იგი წარმოადგენს ორი ცვლადი პარამეტრის ფუნქციას

და: ფუნქცია ბ. თუ ეს პარამეტრები აკმაყოფილებს პირობებს და , მაშინ ინტეგრალი (1.1) იქნება არასწორი ინტეგრალი პარამეტრების მიხედვით და , და ამ ინტეგრალის სინგულარული წერტილები იქნება წერტილები და

ინტეგრალი (1.1) კონვერგია ამისთვის

ვივარაუდოთ, რომ მივიღებთ: = -

ე.ი. არგუმენტი

და შეიყვანეთ სიმეტრიულად. პირადობის გათვალისწინებით

ინტეგრაციის ფორმულით ჩვენ გვაქვს

სად მივიღოთ

მთელი რიცხვისთვის b = n, თანმიმდევრულად გამოიყენება (1.2)

მთელი რიცხვისთვის

= m, = n, გვაქვს

მაგრამ B(1,1) = 1, ასე რომ:

ჩვენ ჩავსვით (1.1)

.ფუნქციის გრაფიკიდან გამომდინარე

სიმეტრიული სწორი ხაზის მიმართ, მაშინ

ხოლო ჩანაცვლების შედეგად

, ვიღებთ

დაყენება (1.1)

, საიდან მივიღებთ

ინტეგრალის გაყოფა ორზე 0-დან 1-მდე და 1-მდე

და მეორე ინტეგრალზე ჩანაცვლების გამოყენებით მივიღებთ

2. გამა ფუნქცია

2.1 განმარტება

მათემატიკური სამუშაოებში ძახილის წერტილი ჩვეულებრივ ნიშნავს არაუარყოფითი მთელი რიცხვის ფაქტორების აღებას:

n! = 1 2 3 ... n.

ფაქტორული ფუნქცია ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც რეკურსიული მიმართება:

(n+1)! = (n+1) n!.

ეს კავშირი შეიძლება ჩაითვალოს არა მხოლოდ n-ის მთელი მნიშვნელობებისთვის.

განვიხილოთ განსხვავების განტოლება

მიუხედავად მარტივი აღნიშვნისა, ეს განტოლება ელემენტარულ ფუნქციებში ვერ ამოიხსნება. მის ამოხსნას გამა ფუნქცია ეწოდება. გამა ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს როგორც სერია ან ინტეგრალი. გამა ფუნქციის გლობალური თვისებების შესასწავლად ჩვეულებრივ გამოიყენება ინტეგრალური წარმოდგენა.

2.2 ინტეგრალური წარმოდგენა

მოდით გადავიდეთ ამ განტოლების ამოხსნაზე. ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ლაპლასის ინტეგრალის სახით:

ამ შემთხვევაში, განტოლების (2.1) მარჯვენა მხარე შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ეს ფორმულა მოქმედებს, თუ არსებობს არაინტეგრალურ ტერმინზე შეზღუდვები. ჩვენ წინასწარ არ ვიცით გამოსახულების [(G)\tilde](p) ქცევა, როგორც p®±¥. დავუშვათ, რომ გამა ფუნქციის გამოსახულება ისეთია, რომ ტერმინი ინტეგრალის გარეთ ნულის ტოლია. ამოხსნის აღმოჩენის შემდეგ საჭირო იქნება იმის შემოწმება, არის თუ არა ვარაუდი არაინტეგრალურ ტერმინთან დაკავშირებით, წინააღმდეგ შემთხვევაში სხვაგვარად მოგვიწევს G(z)-ის ძებნა.

აბსტრაქტული

ამ საკურსო ნაშრომის მიზანია ეილერ გამა ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებების შესწავლა. სამუშაოს მსვლელობისას შეისწავლეს გამა ფუნქცია, მისი ძირითადი თვისებები და შედგენილი იქნა გამოთვლის ალგორითმი სხვადასხვა ხარისხის სიზუსტით. ალგორითმი დაიწერა მაღალი დონის ენაზე - C. პროგრამის შედეგი შედარებულია ცხრილთან. მნიშვნელობებში არანაირი შეუსაბამობა არ დაფიქსირებულა.

ტერმინის დასაწერად გამოყენებულია 7 წყარო.

შესავალი

ბეტა ფუნქციები წარმოდგენილია ეილერის პირველი ტიპის ინტეგრალით:

გამა ფუნქცია წარმოდგენილია მეორე ტიპის ეილერის ინტეგრალით:

1. ბეტა ფუნქციები მე ეილერი

ბეტა ფუნქციები განისაზღვრება ეილერის პირველი ტიპის ინტეგრალით:

ის წარმოადგენს ფუნქციას ორი ცვლადი პარამეტრისა და: ფუნქციის ბ. თუ ეს პარამეტრები აკმაყოფილებს პირობებს და , მაშინ ინტეგრალი (1.1) იქნება არასწორი ინტეგრალი პარამეტრების მიხედვით და , და ამ ინტეგრალის სინგულარული წერტილები იქნება წერტილები და

ინტეგრალი (1.1) კონვერგირდება ზე, თუ მივიღებთ:

= - =

ე.ი. არგუმენტი და შეიყვანეთ სიმეტრიულად. პირადობის გათვალისწინებით

ინტეგრაციის ფორმულით ჩვენ გვაქვს

სად მივიღოთ

მთელი რიცხვისთვის b = n, თანმიმდევრულად გამოიყენება (1.2)

მთელი რიცხვებისთვის = m, = n, გვაქვს

მაგრამ B(1,1) = 1, ასე რომ:

ჩავსვით (1.1) .ფუნქციის გრაფიკიდან სიმეტრიული სწორი ხაზის მიმართ, მაშინ

და ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ

ვივარაუდოთ (1.1), საიდანაც ვიღებთ

ინტეგრალის ორზე გაყოფა 0-დან 1-მდე და 1-დან დიაპაზონში და მეორე ინტეგრალზე შემცვლელი ინტეგრალის გამოყენებით, მივიღებთ

2. გამა ფუნქცია

2.1 განმარტება

n! = 1 2 3 ... n.

ფაქტორული ფუნქცია ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც რეკურსიული მიმართება:

(n+1)! = (n+1) n!.

ეს კავშირი შეიძლება ჩაითვალოს არა მხოლოდ n-ის მთელი მნიშვნელობებისთვის.

განვიხილოთ განსხვავების განტოლება

2.2 ინტეგრალური წარმოდგენა

ამ შემთხვევაში, განტოლების (2.1) მარჯვენა მხარე შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ტოლობის (2.1) მარცხენა მხარე იწერება შემდეგნაირად:

შემდეგ განტოლებას (2.1) გამა ფუნქციის გამოსახულების ფორმა აქვს:

ეს განტოლება ადვილად ამოსახსნელია:

ადვილი მისახვედრია, რომ ნაპოვნი ფუნქცია [(Γ)\tilde](p) ფაქტობრივად ისეთია, რომ არაინტეგრალი წევრი ფორმულაში (2.2) ნულის ტოლია.

გამა ფუნქციის გამოსახულების ცოდნით, მარტივია პრეიმიჯის გამოსახულების მიღება:

ეს არის არაკანონიკური ფორმულა, იმისთვის, რომ მივიყვანოთ იგი ეილერის მიერ მიღებულ ფორმამდე, საჭიროა შეცვალოთ ინტეგრაციის ცვლადი: t = exp(-p), შემდეგ ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:

მუდმივი C არჩეულია ისე, რომ z-ის მთელი მნიშვნელობებისთვის გამა ფუნქცია ემთხვევა ფაქტორულ ფუნქციას: Г(n+1) = n!, შემდეგ:

აქედან გამომდინარე, C = 1. ბოლოს მივიღებთ ეილერის ფორმულას გამა ფუნქციისთვის:

ეს ფუნქცია ძალიან გავრცელებულია მათემატიკურ ტექსტებში. სპეციალურ ფუნქციებთან მუშაობისას, ალბათ უფრო ხშირად, ვიდრე ძახილის ნიშანი.

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ (2.3) ფორმულით განსაზღვრული ფუნქცია ნამდვილად აკმაყოფილებს განტოლებას (2.1) ამ ფორმულის მარჯვენა მხარეს ინტეგრალის ნაწილების მიხედვით:

2.3 დომენი და ბოძები

ინტეგრალის ინტეგრანდში (2.3) at , მაჩვენებლის exp( -ც) R ( ზ) > 0 ბევრად უფრო სწრაფად მცირდება, ვიდრე ალგებრული ფუნქცია იზრდება ტ(z-1) . სინგულარობა ნულზე ინტეგრირებადია, ამიტომ არასწორი ინტეგრალი (2.3)-ში აბსოლიტურად და ერთგვაროვნად იყრის თავს R (z) > 0-ისთვის. უფრო მეტიც, პარამეტრთან მიმართებაში თანმიმდევრული დიფერენციირებით. ზადვილია იმის შემოწმება, რომ G( ზ) არის ჰოლომორფული ფუნქცია R-სთვის ( ზ) > 0. თუმცა, ინტეგრალური წარმოდგენის (2.3) შეუსაბამობა R ( ზ) 0 არ ნიშნავს, რომ იქ არ არის განსაზღვრული თავად გამა ფუნქცია - განტოლების ამონახსნი (2.1).

განვიხილოთ Г(z)-ის ქცევა ნულის სამეზობლოში. ამისათვის წარმოვიდგინოთ:

სად არის ჰოლომორფული ფუნქცია სამეზობლოში z = 0. ფორმულიდან (2.1) შემდეგია:

ანუ Г(z)-ს აქვს პირველი რიგის პოლუსი z = 0-ზე.

მისი მიღება ასევე ადვილია:

ანუ წერტილის სამეზობლოში ფუნქცია Г( ზ) ასევე აქვს პირველი რიგის ბოძი.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა:

ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ z = 0,-1,-2,... წერტილები გამა ფუნქციის მარტივი პოლუსებია და ამ ფუნქციას არ აქვს სხვა პოლუსები რეალურ ღერძზე. ნარჩენების გამოთვლა მარტივია z = -n, n = 0,1,2,... წერტილში:

2.4 ჰანკელის წარმოდგენა მარყუჟის ინტეგრალის მეშვეობით

გაარკვიეთ აქვს თუ არა გამა ფუნქციას ნულები. ამისათვის განიხილეთ ფუნქცია

ამ ფუნქციის პოლუსები არის Г(z) ფუნქციის ნულები.

განსხვავების განტოლება I ( ზ) ადვილია გ(-ის გამოხატვის გამოყენებით ზ):

ამ განტოლების ამოხსნის გამოხატულება ინტეგრალის სახით შეიძლება მივიღოთ ისევე, როგორც იქნა მიღებული გამა ფუნქციის ინტეგრალური გამოხატულება - ლაპლასის გარდაქმნის მეშვეობით. ქვემოთ მოცემულია გამოთვლები. არცერთი არ არის იგივე, რაც პუნქტში 1) და  ინტეგრალი იქნება ქულები _________________________________________________________________________________

ცვლადების გამოყოფის შემდეგ მივიღებთ:

ინტეგრაციის შემდეგ ვიღებთ:

ლაპლასის პრეიმჟაზე გადასვლა იძლევა:

მიღებულ ინტეგრალში ჩვენ ვცვლით ინტეგრაციის ცვლადის:

მერე

აქ მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ინტეგრადი არა მთელი რიცხვებისთვის ზაქვს განშტოების წერტილი ტ= 0. ცვლადის კომპლექსურ სიბრტყეზე ტმოდით დავხატოთ ჭრილი უარყოფითი რეალური ნახევარღერძის გასწვრივ. ჩვენ წარმოვადგენთ ინტეგრალს ამ ნახევარღერძის გასწვრივ, როგორც ინტეგრალის ჯამი ამ მონაკვეთის ზედა მხარის გასწვრივ 0-მდე და ინტეგრალი 0-დან მონაკვეთის ქვედა მხარის გასწვრივ. ისე, რომ ინტეგრალი არ გაიაროს განშტოების წერტილში, ვაწყობთ მის გარშემო მარყუჟს.

ნახ 1: მარყუჟი ჰანკელის ინტეგრალურ წარმოდგენაში.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

მუდმივის მნიშვნელობის გასარკვევად, გახსოვდეთ, რომ I(1) = 1, მეორეს მხრივ:

ინტეგრალური წარმოდგენა

ჰანკელის წარმოდგენა ჰქვია მარყუჟის მიმართ.

ადვილი მისახვედრია, რომ ფუნქცია 1/Γ( ზ) არ აქვს პოლუსები კომპლექსურ სიბრტყეში, შესაბამისად გამა ფუნქციას არ აქვს ნულები.

ამ ინტეგრალური წარმოდგენის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ გამა ფუნქციების ნამრავლის ფორმულა. ამისათვის ინტეგრალში ჩვენ გავაკეთებთ ცვლადის ცვლილებას, შემდეგ:

2.5 ეილერის ლიმიტის ფორმა

გამა ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო პროდუქტი. ეს ჩანს, თუ ინტეგრალში (2.3) ჩვენ წარმოვადგენთ

მაშინ გამა ფუნქციის ინტეგრალური წარმოდგენა არის:

ამ ფორმულაში შეგვიძლია შევცვალოთ ლიმიტები - ინტეგრაციის ლიმიტი არასწორ ინტეგრალში და ლიმიტი ინტეგრალის შიგნით. აი შედეგი:

ავიღოთ ეს ინტეგრალი ნაწილების მიხედვით:

თუ ამ პროცედურას n-ჯერ განვახორციელებთ, მივიღებთ:

ზღვარზე გადასვლისას, ჩვენ ვიღებთ ეილერის ლიმიტის ფორმას გამა ფუნქციისთვის:

2.6 პროდუქტის ფორმულა

ქვემოთ ჩვენ გვჭირდება ფორმულა, რომელშიც ორი გამა ფუნქციის ნამრავლი წარმოდგენილია ერთი გამა ფუნქციის მეშვეობით. ჩვენ გამოვიყვანთ ამ ფორმულას გამა ფუნქციების ინტეგრალური წარმოდგენის გამოყენებით.

ჩვენ წარმოვადგენთ განმეორებით ინტეგრალს, როგორც ორმაგ არასწორ ინტეგრალს. ეს შეიძლება გაკეთდეს ფუბინის თეორემის გამოყენებით. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

არასათანადო ინტეგრალი ერთნაირად იყრის თავს. ის შეიძლება ჩაითვალოს, მაგალითად, როგორც ინტეგრალი სამკუთხედზე, რომელიც შემოიფარგლება კოორდინატთა ღერძებით და სწორი ხაზი x + y = R R-ზე. ორმაგ ინტეგრალში ვაკეთებთ ცვლადების ცვლილებას:

ამ შემცვლელის იაკობიანი

ინტეგრაციის ლიმიტები: uიცვლება 0-დან ∞-მდე, ვ 0-დან 1-მდე შეცვლისას. შედეგად მივიღებთ:

ამ ინტეგრალს ხელახლა ვწერთ განმეორებით, შედეგად მივიღებთ:

სადაც რ გვ> 0, რ ვ > 0.

2. გამა ფუნქციის წარმოებული

ინტეგრალური

თანხვედრა თითოეულისთვის, ვინაიდან , და ინტეგრალი at კონვერგირდება.

რეგიონში, სადაც არის თვითნებური დადებითი რიცხვი, ეს ინტეგრალი თანაბრად იყრის თავს, ვინაიდან და ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ Weirstrass ტესტი. მთელი ინტეგრალი ასევე კონვერგენტულია ყველა მნიშვნელობისთვის რადგან მარჯვენა მხარეს მეორე წევრი არის ინტეგრალი, რომელიც აუცილებლად ემთხვევა ნებისმიერს. ადვილი მისახვედრია, რომ ინტეგრალი ემთხვევა ნებისმიერ დომენს. სადაც თვითნებური. მოქმედებს ყველა მითითებული მნიშვნელობისთვის და ყველასთვის და წლიდან იყრის თავს, მაშინ ვაიერშტრასის კრიტერიუმის პირობები დაკმაყოფილებულია. ამრიგად, ტერიტორიაზე განუყოფელი თანაბრად იყრის თავს.

ეს გულისხმობს გამა ფუნქციის უწყვეტობას. მოდით დავამტკიცოთ ამ ფუნქციის დიფერენციალურობა ზე. გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია უწყვეტია და-სთვის და ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ინტეგრალი:

ერთნაირად ერწყმის თითოეულ სეგმენტს, . ავირჩიოთ რიცხვი ისე, რომ ; მაშასადამე, არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ და ამისთვის, მაგრამ მაშინ უტოლობა მოქმედებს

და რადგან ინტეგრალი იყრის თავს, ინტეგრალი ერთნაირად იყრის თავს . ანალოგიურად, რადგან არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ ყველა უტოლობისთვის . ასეთი და ყველა მივიღებთ , საიდანაც, შედარების კრიტერიუმის ძალით, გამომდინარეობს, რომ ინტეგრალი ერთნაირად იყრის თავს . საბოლოოდ, ინტეგრალი

რომელშიც ინტეგრადი უწყვეტია დომენში

ცხადია, თანაბრად ემთხვევა . ამრიგად, ინტეგრალურისთვის

ერთნაირად იყრის თავს და, შესაბამისად, გამა ფუნქცია უსასრულოდ დიფერენცირებადია ნებისმიერი და თანასწორობისთვის

ინტეგრალთან დაკავშირებით შეგვიძლია იგივე მსჯელობა გავიმეოროთ და დავასკვნათ, რომ

ინდუქციით დასტურდება, რომ Γ-ფუნქცია უსასრულოდ დიფერენცირებადია და მისი i- წარმოებული აკმაყოფილებს თანასწორობას.

ახლა შევისწავლოთ ქცევა - ფუნქციები და ავაგოთ მისი გრაფიკის ესკიზი. (იხილეთ დანართი 1)

ეს ჩანს -ფუნქციის მეორე წარმოებულის გამოსახულებიდან, რომ ყველასთვის . ამიტომ, ის იზრდება. მას შემდეგ, რაც როლის თეორემით სეგმენტზე, წარმოებული for და for, ანუ, მონოტონურად მცირდება და მონოტონურად იზრდება. უფრო მეტიც, იმიტომ , შემდეგ ზე. ამისთვის ფორმულიდან გამომდინარეობს რომ .

Თანასწორობა , მოქმედებს , შეიძლება გამოყენებულ იქნას -ფუნქციის უარყოფით მნიშვნელობაზე გაფართოებისას.

მოდი დავდოთ ამისთვის . ამ თანასწორობის მარჯვენა მხარე განისაზღვრება ეხლა (-1,0) . ვიღებთ, რომ ამ გზით გაგრძელებული ფუნქცია იღებს (-1,0) უარყოფით მნიშვნელობებს და at , ისევე როგორც ფუნქციაზე.

ამ გზით განსაზღვრის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ ის ინტერვალში (-2,-1) იგივე ფორმულის გამოყენებით. ამ ინტერვალზე, გაგრძელება იქნება ფუნქცია, რომელიც იღებს დადებით მნიშვნელობებს და ისეთი, რომ და . ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციას, რომელსაც აქვს უწყვეტობა მთელ რიცხვებში (იხილეთ დანართი 1.)

კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ ინტეგრალი

განსაზღვრავს Γ- ფუნქციას მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობებისთვის, უარყოფით მნიშვნელობებზე გაგრძელება ჩვენ მიერ ფორმალურად ხორციელდება შემცირების ფორმულის გამოყენებით. .

4. ზოგიერთი ინტეგრალის გამოთვლა.

სტერლინგის ფორმულა

მოდით გამოვიყენოთ გამა ფუნქცია ინტეგრალის გამოთვლაზე:

სადაც m > -1,n > -1. თუ ვივარაუდებთ, რომ გვაქვს

და (2.8) საფუძველზე გვაქვს

ინტეგრალში

სადაც k > -1,n > 0, საკმარისია ჩასვა

ინტეგრალური

სადაც s > 0, გააფართოვეთ სერიებში

სად არის რიმანის ზეტა ფუნქცია

განვიხილოთ არასრული გამა ფუნქციები (Prim ფუნქციები)

უთანასწორობით შეკრული

გაფართოება, ზედიზედ გვაქვს

მივმართოთ სტერლინგის ფორმულის წარმოშობას, რომელიც იძლევა, კერძოდ, n-ის მიახლოებით მნიშვნელობას! n-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის ჯერ განიხილეთ დამხმარე ფუნქცია

(4.2)

უწყვეტი ინტერვალზე (-1,) მონოტონურად იზრდება დან-მდე, როდესაც იცვლება დან და უბრუნდება 0-ზე u = 0-ზე. ვინაიდან

ასე რომ, წარმოებული არის უწყვეტი და დადებითი მთელ ინტერვალში, აკმაყოფილებს პირობას

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ არის შებრუნებული ფუნქცია განსაზღვრული ინტერვალზე, რომელიც უწყვეტი და მონოტონურად იზრდება ამ ინტერვალში,

0-ზე გადაქცევა v=0-ზე და პირობის დაკმაყოფილება

ჩვენ გამოვიყვანთ სტერლინგის ფორმულას თანასწორობიდან

ვივარაუდოთ, რომ გვაქვს

დასასრულს ვივარაუდოთ, რომ მივიღებთ

ლიმიტში ე.ი. ზე (იხ. 4.3)

საიდან მოდის სტერლინგის ფორმულა

რომელიც შეიძლება იქნას მიღებული სახით

სად, ზე

საკმარისად დიდი დავუშვათ

გაანგარიშება ხდება ლოგარითმების გამოყენებით

თუ დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ (4.5) ასევე იქცევა სავარაუდო ფორმულად ფაქტორების გამოსათვლელად დიდი n-ის მნიშვნელობებისთვის.

წარმოების გარეშე ვაძლევთ უფრო ზუსტ ფორმულას

სადაც ფრჩხილებში არის არათანმიმდევრული სერია.

5. ინტეგრალების გამოთვლის მაგალითები

გამოსათვლელად საჭიროა ფორმულები:

G()

გამოთვალეთ ინტეგრალები

პრაქტიკული ნაწილი

გამა ფუნქციის გამოსათვლელად გამოიყენება მისი ლოგარითმის მიახლოება. x>0 ინტერვალზე გამა ფუნქციის მიახლოებისთვის გამოიყენება შემდეგი ფორმულა (კომპლექსური z-სთვის):

Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

ეს ფორმულა სტერლინგის მიახლოების მსგავსია, მაგრამ მას აქვს კორექტირების სერია. g=5 და n=6 მნიშვნელობებისთვის შემოწმებულია შეცდომა ε არ აღემატება 2*10 -10 . უფრო მეტიც, შეცდომა არ აღემატება ამ მნიშვნელობას რთული სიბრტყის მთელ მარჯვენა ნახევარზე: z > 0.

x>0 ინტერვალზე (რეალური) გამა ფუნქციის მისაღებად გამოიყენება რეკურსიული ფორმულა Г(z+1)=zГ(z) და ზემოაღნიშნული მიახლოება Г(z+1). გარდა ამისა, ჩანს, რომ უფრო მოსახერხებელია გამა ფუნქციის ლოგარითმის მიახლოება, ვიდრე თავად გამა ფუნქცია. ჯერ ერთი, ამისათვის საჭიროა მხოლოდ ერთი მათემატიკური ფუნქციის გამოძახება - ლოგარითმი და არა ორი - მაჩვენებლისა და ხარისხის (ეს უკანასკნელი კვლავ იყენებს ლოგარითმის გამოძახებას) და მეორეც, გამა ფუნქცია სწრაფად იზრდება დიდი x-ისთვის და მისი ლოგარითმით დაახლოება აშორებს გადინების პრობლემებს.

მიახლოებით Ln(Г(х) - გამა ფუნქციის ლოგარითმი - მიიღება ფორმულა:

log(G(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

კოეფიციენტების მნიშვნელობები C კ- ცხრილის მონაცემები (იხ. პროგრამაში).

თავად გამა ფუნქცია მიიღება მისი ლოგარითმიდან მაჩვენებლის აღებით.

დასკვნა

გამა ფუნქციები არის მოსახერხებელი ინსტრუმენტი ზოგიერთი ინტეგრალის გამოსათვლელად, განსაკუთრებით ბევრი იმ ინტეგრალიდან, რომლებიც არ არის წარმოდგენილი ელემენტარულ ფუნქციებში.

ამის გამო, ისინი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში და მის გამოყენებაში, მექანიკაში, თერმოდინამიკაში და თანამედროვე მეცნიერების სხვა დარგებში.

ბიბლიოგრაფია

1. სპეციალური ფუნქციები და მათი გამოყენება:

ლებედევი I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953 წ

2. მათემატიკური ანალიზი ნაწილი 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M., ”მოსკოვის უნივერსიტეტი”, 1987 წ.

3. მათემატიკური ანალიზის ამოცანების კრებული:

დემიდოვიჩ ბ.პ., მ., ნაუკა, 1966 წ

4. ინტეგრალები და სპეციალური ფუნქციების სერია:

პრუდნიკოვი A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983 წ.

5. განსაკუთრებული მახასიათებლები:

კუზნეცოვი, მ., "უმაღლესი სკოლა", 1965 წ

6. ასიმპტომური და სპეციალური ფუნქციები

F. Olver, M., Nauka, 1990 წ.

7.მონსტრის ზოოპარკი ან გაცნობა განსაკუთრებულ ფუნქციებში

O.M. კისელევი,

აპები

დანართი 1 - რეალური ცვლადის გამა ფუნქციის გრაფიკი

დანართი 2 - გამა ფუნქციის გრაფიკი

ცხრილი - გამა ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

დანართი 3 არის პროგრამის ჩამონათვალი, რომელიც ასახავს გამა ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილს ზოგიერთი არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის.

დანართი 4 - პროგრამის ჩამონათვალი, რომელიც ასახავს გამა ფუნქციის გრაფიკს

Აბსტრაქტული................................................. ...................................................3

შესავალი ...................................................... ...................................................4

თეორიული ნაწილი………………………………………………….5

ეილერის ბეტა ფუნქცია……………………………………………….5

გამა ფუნქცია ..................................................... ....................................რვა

2.1. განმარტება…………………………………………………………8

2.2. ინტეგრალური წარმოდგენა………………………………8

2.3. განმარტებისა და პოლუსების დომენი…………………………………………………………………………………

2.4. ჰანკელის წარმოდგენა მარყუჟის ინტეგრალის თვალსაზრისით………..10

2.5. ეილერის ლიმიტის ფორმა……………………………………12

2.6. პროდუქტის ფორმულა…………………………………..13

გამა ფუნქციის წარმოებული .............................................. ............. ...........თხუთმეტი

ინტეგრალების გამოთვლა. სტერლინგის ფორმულა..............................18

ინტეგრალების გამოთვლის მაგალითები ...................................... ...................... 23

პრაქტიკული ნაწილი………………………………………………….24

დასკვნა................................................ ......................................25

ლიტერატურა………………………………………………………………………………………………………………………………………

განაცხადები……………………………………………………………..27

დანართი 1

რეალური ცვლადის გამა ფუნქციის გრაფიკი

დანართი 2

გამა ფუნქციის გრაფიკი

მაგიდა

X	g(x)

დანართი 3

#შეიცავს

სტატიკური ორმაგი cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

ორმაგი GammLn (ორმაგი x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

ორმაგი გამა (ორმაგი x) (

return(exp(GammLn(x)));

კოუტ<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |გამა(x) |");

printf("\n\t\t\t________________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0.5;

g[i]=გამა(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t________________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

დანართი 4

#შეიცავს

ორმაგი გემი (ორმაგი x, ორმაგი ეპს)

Int I, j, n, nb;

ორმაგი ძე=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

ორმაგი a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf("თქვენ შეიყვანეთ არასწორი მონაცემები, გთხოვთ სცადოთ ხელახლა\n"); დაბრუნება -1,0;

If(a==0) დააბრუნებს fc;

For(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For(n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

ორმაგი dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph (&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)ხოლო (Y>30);

) ხოლო (X<700);

) ხოლო (X<=620);

)ხოლო (y>=30);

X=30+150.0*0.1845;

For9i=1;ი

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

თუ (Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

ხაზი (30,30,30,10);

ხაზი (620,450,640,450);

ხაზი (30,10,25,15);

ხაზი (640,450,635,445);

ხაზი (640,450,635,455);

ხაზი (170,445,170,455);

ხაზი (320,445,320,455);

ხაზი (470,445,470,455);

ხაზი (620,445,620,455);

ხაზი (25,366,35,366);

ხაზი (25,282,35,282);

ხაზი (25,114,35,114);

ხაზი (25,30,35,30);

Outtexty(20465"0");

Outtexty (165,465, "1";

Outtexty (315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty (15,364, "1";

Outtexty (15,280, "2";

Outtexty (15,196, "3";

Outtexty (15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

ექსპერიმენტულად დადგინდა, რომ g- გამოსხივება (იხ. § 255) არ არის რადიოაქტიურობის დამოუკიდებელი ფორმა, მაგრამ მხოლოდ ახლავს a- და b-დაშლას და ასევე წარმოიქმნება ბირთვული რეაქციების დროს, დამუხტული ნაწილაკების შენელების, მათი დაშლის და ა.შ. g- სპექტრი გაფორმებულია. g-სპექტრი არის g-კვანტების რაოდენობის ენერგიის განაწილება (b-სპექტრის იგივე ინტერპრეტაცია მოცემულია §258-ში). g- სპექტრის დისკრეტულობას ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს, რადგან ეს არის ატომური ბირთვების ენერგეტიკული მდგომარეობების დისკრეტულობის დასტური.

ახლა უკვე მტკიცედ არის დადგენილი, რომ g- გამოსხივებას ასხივებს ქალიშვილი (და არა მშობელი) ბირთვი. შვილობილი ბირთვი ფორმირების მომენტში, აღგზნებული, გადადის გრუნტულ მდგომარეობაში g- გამოსხივების გამოსხივებით დაახლოებით 10 -13 - 10 -14 წამში, რაც გაცილებით მოკლეა ვიდრე აღგზნებული ატომის სიცოცხლე. (დაახლოებით 10 -8 წმ). საწყის მდგომარეობაში დაბრუნებისას, აღგზნებულ ბირთვს შეუძლია გაიაროს რამდენიმე შუალედური მდგომარეობა, ამიტომ იგივე რადიოაქტიური იზოტოპის გ-გამოსხივება შეიძლება შეიცავდეს გ-კვანტების რამდენიმე ჯგუფს, რომლებიც განსხვავდებიან ერთმანეთისგან მათი ენერგიით.

გ-რადიაციით მაგრამდა ბირთვის Z არ იცვლება, ამიტომ იგი არ არის აღწერილი რაიმე გადაადგილების წესებით. ბირთვების უმრავლესობის g- გამოსხივება ისეთი მოკლე ტალღის სიგრძისაა, რომ მისი ტალღური თვისებები ძალიან სუსტად ვლინდება. აქ კორპუსკულური თვისებები გამოდის წინა პლანზე, ამიტომ g- გამოსხივება განიხილება როგორც ნაწილაკების ნაკადი - g-quanta. სხვადასხვა ბირთვების რადიოაქტიური დაშლის დროს გ-კვანტებს აქვთ ენერგია 10 კევ-დან 5 მევ-მდე.

ბირთვი, რომელიც აღგზნებულ მდგომარეობაშია, შეუძლია ძირეულ მდგომარეობაში გადავიდეს არა მხოლოდ გ-კვანტის გამოსხივებით, არამედ აგზნების ენერგიის უშუალოდ გადაცემით (გ-კვანტის წინასწარი ემისიის გარეშე) ელექტრონის ერთ-ერთ ელექტრონზე. იგივე ატომი. ამ შემთხვევაში გამოიყოფა ე.წ. კონვერტაციის ელექტრონი. თავად ფენომენს შიდა კონვერტაცია ეწოდება. შიდა კონვერტაცია არის პროცესი, რომელიც კონკურენციას უწევს g- გამოსხივებას.

გარდაქმნის ელექტრონები შეესაბამება ენერგიის დისკრეტულ მნიშვნელობებს, რაც დამოკიდებულია ელექტრონის მუშაობის ფუნქციაზე გარსიდან, საიდანაც ელექტრონი გამოდის, და ენერგიაზე E. , ბირთვის მიერ მოცემული აღგზნებული მდგომარეობიდან ძირითად მდგომარეობაში გადასვლისას. თუ მთელი ენერგია E გამოიყოფა y-კვანტის სახით, მაშინ გამოსხივების სიხშირე v განისაზღვრება ცნობილი მიმართებიდან E=hv. . თუ ისინი ასხივებენ შიდა გარდაქმნის L ელექტრონებს, მაშინ მათი ენერგიები უდრის E-A K, E-A L, ..., სადაც A k, A L, ... არის ელექტრონის სამუშაო ფუნქცია K-დან - და L- ჭურვები. კონვერტაციის ელექტრონების მონოენერგეტიკული ბუნება შესაძლებელს ხდის მათ განასხვავოთ b-ელექტრონებისგან, რომელთა სპექტრი უწყვეტია (იხ. § 258). ატომის შიდა გარსზე არსებული ვაკანსია, რომელიც წარმოიქმნება ელექტრონის გამოსხივების შედეგად, შეივსება ზემოდან გარსების ელექტრონებით. ამიტომ შიდა გარდაქმნას ყოველთვის თან ახლავს დამახასიათებელი რენტგენის გამოსხივება.

G-კვანტები, რომლებსაც აქვთ ნულოვანი დასვენების მასა, არ შეუძლიათ შენელდეს გარემოში, ამიტომ, როდესაც g- გამოსხივება გადის მატერიაში, ისინი ან შეიწოვება ან იფანტება მასში. გ-კვანტები არ ატარებენ ელექტრულ მუხტს და, შესაბამისად, არ განიცდიან კულონის ძალების გავლენას. როდესაც y-კვანტების სხივი გადის ნივთიერებაში, მათი ენერგია არ იცვლება, მაგრამ შეჯახების შედეგად, ინტენსივობა სუსტდება, რომლის ცვლილება აღწერილია ექსპონენციალური კანონით x, m - შთანთქმის კოეფიციენტი). ვინაიდან g- გამოსხივება ყველაზე გამჭოლი გამოსხივებაა, m ბევრი ნივთიერებისთვის ძალიან მცირე მნიშვნელობაა; m დამოკიდებულია მატერიის თვისებებზე და გ-კვანტების ენერგიაზე.

გ-კვანტებს, რომლებიც გადიან ნივთიერებას, შეუძლიათ ურთიერთქმედება როგორც ნივთიერების ატომების ელექტრონულ გარსთან, ასევე მათ ბირთვებთან. კვანტურ ელექტროდინამიკაში დადასტურებულია, რომ მატერიაში g- გამოსხივების გავლის თანმხლები ძირითადი პროცესებია ფოტოელექტრული ეფექტი, კომპტონის ეფექტი (კომპტონის გაფანტვა) და ელექტრონ-პოზიტრონის წყვილების წარმოქმნა.

ფოტოელექტრული ეფექტი, ან g-სხივების ფოტოელექტრული შთანთქმა, არის პროცესი, რომლის დროსაც ატომი შთანთქავს გ-კვანტს და გამოყოფს ელექტრონს. მას შემდეგ, რაც ელექტრონი ამოვარდნილია ატომის ერთ-ერთი შიდა გარსიდან, გამოთავისუფლებული სივრცე ივსება ელექტრონებით ზემოდან გარსებიდან და ფოტოელექტრული ეფექტი თან ახლავს დამახასიათებელი რენტგენის გამოსხივებით. ფოტოელექტრული ეფექტი არის უპირატესი შთანთქმის მექანიზმი გ-კვანტების დაბალი ენერგიების რეგიონში (E g< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

როგორც g-კვანტების ენერგია იზრდება (E g »0,5 MeV), ფოტოელექტრული ეფექტის ალბათობა ძალიან მცირეა და გ-კვანტების მატერიასთან ურთიერთქმედების მთავარი მექანიზმი არის კომპტონის გაფანტვა (იხ. § 206).

როდესაც E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e არის ელექტრონის დანარჩენი მასა), ბირთვების ელექტრულ ველებში ელექტრონ-პოზიტრონის წყვილების წარმოქმნის პროცესი შესაძლებელი ხდება. ამ პროცესის ალბათობა Z 2-ის პროპორციულია და იზრდება Eg-სთან ერთად. ამიტომ, Eg » 10 მევ-ზე, g-გამოსხივების ურთიერთქმედების ძირითადი პროცესი ნებისმიერ ნივთიერებაში არის ელექტრო-პოზიტრონის წყვილების წარმოქმნა.

თუ გ-კვანტის ენერგია აღემატება ბირთვში არსებული ნუკლეონების შებოჭვის ენერგიას (7-8 მევ), მაშინ გ-კვანტის შთანთქმის შედეგად შეიძლება შეინიშნოს ბირთვული ფოტოელექტრული ეფექტი - ერთ-ერთის ემისია. ნუკლეონები ბირთვიდან, ყველაზე ხშირად ნეიტრონი.

g- გამოსხივების დიდი შეღწევადი ძალა გამოიყენება გამა ხარვეზის გამოვლენაში - ხარვეზის გამოვლენის მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია g- გამოსხივების განსხვავებულ შთანთქმაზე, როდესაც ის ვრცელდება იმავე მანძილზე სხვადასხვა მედიაში. დეფექტების მდებარეობა და ზომა (ღრმულები, ბზარები და ა.შ.) განისაზღვრება გამჭვირვალე პროდუქტის სხვადასხვა ნაწილში გავლილი გამოსხივების ინტენსივობის სხვაობით.

გ-გამოსხივების (ისევე როგორც მაიონებელი გამოსხივების სხვა სახეობების) ზემოქმედება ნივთიერებაზე ხასიათდება მაიონებელი გამოსხივების დოზით. განსხვავება:

გამოსხივების აბსორბირებული დოზა არის ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ტოლია გამოსხივების ენერგიის თანაფარდობას დასხივებული ნივთიერების მასასთან.

აბსორბირებული გამოსხივების დოზის ერთეული არის ნაცრისფერი (Gy) *: 1 Gy = 1 J / კგ - გამოსხივების დოზა, რომლის დროსაც ნებისმიერი მაიონებელი გამოსხივების ენერგია 1 J გადადის დასხივებულ ნივთიერებაზე, რომლის წონაა 1 კგ.

გამოსხივების ზემოქმედების დოზა არის ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ტოლია იმავე ნიშნის ყველა იონის ელექტრული მუხტების ჯამის თანაფარდობაზე, რომელიც შექმნილია დასხივებულ ჰაერში გამოთავისუფლებული ელექტრონების მიერ (ელექტრონების მაიონებელი უნარის სრული გამოყენების პირობებში). ამ ჰაერის მასა.

რადიაციის ექსპოზიციის დოზის ერთეული არის გულსაკიდი კილოგრამზე (C/kg); ბნელი ერთეული არის რენტგენი (R): 1 R=2,58×10 -4 ც/კგ.

ბიოლოგიური დოზა - მნიშვნელობა, რომელიც განსაზღვრავს რადიაციის გავლენას სხეულზე.

ბიოლოგიური დოზის ერთეული არის რენტგენის (rem) ბიოლოგიური ექვივალენტი: 1 rem არის ნებისმიერი ტიპის მაიონებელი გამოსხივების დოზა, რომელიც აწარმოებს იგივე ბიოლოგიურ ეფექტს, როგორც რენტგენის ან გ გამოსხივების დოზა 1 R-ში (1 rem = 10). -2 ჯ / კგ).

შესავალი

შესავალი

2. გამა ფუნქციის წარმოებული

მოდით გამოვიყენოთ გამა ფუნქცია ინტეგრალის გამოთვლაზე:

დასკვნა

ბიბლიოგრაფია

1. სპეციალური ფუნქციები და მათი გამოყენება:

ლებედევი I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953 წ

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ