ვარიანტი 1. ზე

1. ფუნქციის გრაფიკი y=ვ(x) ნაჩვენებია ფიგურაში.

მიუთითეთ ამ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა 1

სეგმენტზე [ ა; ბ]. ა 0 1 ბ x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. ფუნქციები y=ვ(x) დაყენებულია სეგმენტზე [ ა; ბ]. ზე

ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი

y=ვ ´(x). გამოიკვლიეთ უკიდურესობები 1 ბ

ფუნქცია y=ვ(x). გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ რაოდენობა. ა 0 1 x

მინიმალური ქულები.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> აქვს მინიმალური წერტილი xo=1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.ზე

9. მიუთითეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y=ვ(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=ლგ(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=2ცოდვა-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

ტესტი 14 ფუნქციის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. ფუნქციის გრაფიკი y=ვ(x) ნაჩვენებია ფიგურაში.

მიუთითეთ ამ ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა 1

სეგმენტზე [ ა; ბ]. ა ბ

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. ზე ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი y=ვ(x).

რამდენი მაქსიმალური ქულა აქვს ფუნქციას?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. რა წერტილშია ფუნქცია y \u003d 2x2 + 24x -25იღებს უმცირეს ღირებულებას?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> სეგმენტზე [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> აქვს მინიმალური წერტილი xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.ზე

9. მიუთითეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=ვ(x) ,

რომლის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y=ჟურნალი11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

პასუხები :

და მის გადასაჭრელად საჭიროა თემის მინიმალური ცოდნა. შემდეგი სასწავლო წელი იწურება, ყველას სურს შვებულებაში წასვლა და ამ მომენტის დასაახლოებლად, მაშინვე საქმეს ვუშვებ:

დავიწყოთ ტერიტორიით. მდგომარეობაში მითითებული ტერიტორია არის შეზღუდული დახურული წერტილების ნაკრები თვითმფრინავში. მაგალითად, სამკუთხედით შემოსაზღვრული წერტილების ნაკრები, მთელი სამკუთხედის ჩათვლით (თუ დან საზღვრები"ამოიღეთ" მინიმუმ ერთი წერტილი, მაშინ ტერიტორია აღარ დაიხურება). პრაქტიკაში ასევე არის მართკუთხა, მრგვალი და ოდნავ უფრო რთული ფორმების ადგილები. უნდა აღინიშნოს, რომ მათემატიკური ანალიზის თეორიაში მოცემულია მკაცრი განმარტებები შეზღუდვები, იზოლაცია, საზღვრები და ა.შ., მაგრამ მე ვფიქრობ, რომ ყველამ იცის ეს ცნებები ინტუიციურ დონეზე და ახლა მეტი არ არის საჭირო.

ბრტყელი ფართობი სტანდარტულად აღინიშნება ასოთი და, როგორც წესი, მოცემულია ანალიტიკურად - რამდენიმე განტოლებით. (არ არის აუცილებელი წრფივი); ნაკლებად ხშირად უთანასწორობა. ტიპიური ვერბალური ბრუნვა: "დახურული ზონა შემოიფარგლება ხაზებით".

განსახილველი ამოცანის განუყოფელი ნაწილია ნახაზზე ტერიტორიის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? აუცილებელია ყველა ჩამოთვლილი ხაზის დახაზვა (ამ შემთხვევაში 3 სწორი) და გააანალიზეთ რა მოხდა. სასურველი უბანი ჩვეულებრივ მსუბუქად არის გამოჩეკილი და მისი საზღვარი ხაზგასმულია თამამი ხაზით:


იგივე ფართობის დაყენება შესაძლებელია წრფივი უტოლობა: , რომლებიც რატომღაც უფრო ხშირად იწერება როგორც აღრიცხვის სია და არა სისტემა.
ვინაიდან საზღვარი ეკუთვნის რეგიონს, მაშინ ყველა უთანასწორობა, რა თქმა უნდა, არა მკაცრი.

ახლა კი საქმის არსი. წარმოიდგინეთ, რომ ღერძი პირდაპირ თქვენკენ მიდის კოორდინატების საწყისიდან. განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტი თითოეულშიფართობის წერტილი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ზედაპირი, და პატარა ბედნიერება ისაა, რომ დღევანდელი პრობლემის მოსაგვარებლად, საერთოდ არ გვჭირდება ვიცოდეთ, როგორ გამოიყურება ეს ზედაპირი. ის შეიძლება განთავსდეს ზემოთ, ქვემოთ, გადაკვეთოს თვითმფრინავი - ეს ყველაფერი არ არის მნიშვნელოვანი. და მნიშვნელოვანია შემდეგი: მიხედვით ვაიერშტრასის თეორემები, უწყვეტი in შეზღუდული დახურულიფართობი, ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ("უმაღლესი")და ყველაზე ნაკლებად ("ყველაზე დაბალი")მოსაძებნი ღირებულებები. ეს ღირებულებები მიღწეულია ან in სტაციონარული წერტილები, რეგიონს ეკუთვნისდ , ანწერტილებში, რომლებიც დევს ამ რეგიონის საზღვარზე. საიდანაც მოყვება მარტივი და გამჭვირვალე ამოხსნის ალგორითმი:

მაგალითი 1

შეზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე

გადაწყვეტილება: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოსახოთ ნახაზზე ფართობი. სამწუხაროდ, ტექნიკურად მიჭირს პრობლემის ინტერაქტიული მოდელის გაკეთება და ამიტომაც მაშინვე მოგცემთ საბოლოო ილუსტრაციას, სადაც ნაჩვენებია კვლევის დროს აღმოჩენილი ყველა „საეჭვო“ პუნქტი. როგორც წესი, ისინი იშლება ერთმანეთის მიყოლებით, როდესაც ისინი აღმოჩნდებიან:

პრეამბულიდან გამომდინარე, გადაწყვეტილება მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს ორ პუნქტად:

ი) ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. ეს არის სტანდარტული მოქმედება, რომელიც არაერთხელ განვახორციელეთ გაკვეთილზე. რამდენიმე ცვლადის უკიდურესობის შესახებ:

ნაპოვნია სტაციონარული წერტილი ეკუთვნისსფეროები: (მონიშნეთ ნახატზე), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში:

- როგორც სტატიაში სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, გამოვყოფ მნიშვნელოვან შედეგებს თამამად. რვეულში მოსახერხებელია მათი ფანქრით შემოხაზვა.

ყურადღება მიაქციეთ ჩვენს მეორე ბედნიერებას - შემოწმებას აზრი არ აქვს საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. რატომ? მაშინაც კი, თუ ფუნქცია აღწევს წერტილში, მაგალითად, ადგილობრივი მინიმუმი, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ მიღებული მნიშვნელობა იქნება მინიმალურიმთელ რეგიონში (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი უპირობო უკიდურესობების შესახებ) .

რა მოხდება, თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას? Თითქმის არაფერი! უნდა აღინიშნოს, რომ და გადადით შემდეგ აბზაცზე.

II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს.

ვინაიდან საზღვარი შედგება სამკუთხედის გვერდებისგან, მოსახერხებელია კვლევის 3 ქვეპუნქტად დაყოფა. მაგრამ უმჯობესია ამის გაკეთება არანაირად. ჩემი აზრით, თავდაპირველად უფრო ხელსაყრელია კოორდინატთა ღერძების პარალელურად სეგმენტების განხილვა და, პირველ რიგში, თავად ღერძებზე დევს. იმისათვის, რომ დაიჭიროთ მოქმედებების მთელი თანმიმდევრობა და ლოგიკა, შეეცადეთ შეისწავლოთ დასასრული "ერთი ამოსუნთქვით":

1) მოდით გაუმკლავდეთ სამკუთხედის ქვედა მხარეს. ამისათვის ჩვენ პირდაპირ ჩავცვლით ფუნქციას:

ალტერნატიულად, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შემდეგნაირად:

გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატთა სიბრტყე (რაც ასევე მოცემულია განტოლებით)"ამოჭრა" საწყისი ზედაპირები"სივრცითი" პარაბოლა, რომლის ზედა მყისვე ვარდება ეჭვის ქვეშ. მოდით გავარკვიოთ სად არის ის:

- მიღებულმა მნიშვნელობამ "დაარტყა" მიდამოში და ეს შეიძლება იყოს ზუსტად იმ წერტილში (მონიშვნა ნახაზზე)ფუნქცია აღწევს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას მთელ ტერიტორიაზე. ყოველ შემთხვევაში, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები:

სხვა „კანდიდატები“, რა თქმა უნდა, სეგმენტის ბოლოები არიან. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები წერტილებში (მონიშვნა ნახაზზე):

აქ, სხვათა შორის, შეგიძლიათ შეასრულოთ ზეპირი მინი შემოწმება "გაშიშვლებულ" ვერსიაზე:

2) სამკუთხედის მარჯვენა გვერდის შესასწავლად მას ვცვლით ფუნქციაში და „მოვაწესრიგებთ იქ ნივთებს“:

აქ ჩვენ დაუყოვნებლივ ვასრულებთ უხეშ შემოწმებას, "ვრეკავთ" სეგმენტის უკვე დამუშავებულ ბოლოს:
, სრულყოფილი.

გეომეტრიული სიტუაცია დაკავშირებულია წინა პუნქტთან:

- შედეგად მიღებული მნიშვნელობა ასევე "შევიდა ჩვენი ინტერესების ფარგლებში", რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ რის ტოლია ფუნქცია იმ წერტილში, რომელიც გამოჩნდა:

განვიხილოთ სეგმენტის მეორე ბოლო:

ფუნქციის გამოყენებით , შევამოწმოთ:

3) ყველამ ალბათ იცის, როგორ გამოიკვლიოს დარჩენილი მხარე. ჩვენ ვცვლით ფუნქციას და ვახორციელებთ გამარტივებებს:

ხაზი მთავრდება უკვე გამოკვლეულია, მაგრამ პროექტზე მაინც ვამოწმებთ, სწორად ვიპოვეთ თუ არა ფუნქცია :
– დაემთხვა 1-ლი ქვეპუნქტის შედეგს;
– დაემთხვა მე-2 ქვეპუნქტის შედეგს.

რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა რაიმე საინტერესო სეგმენტის შიგნით:

- იქ არის! სწორი ხაზის განტოლებაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ ამ "საინტერესოობის" ორდინატს:

ნახაზზე ვნიშნავთ წერტილს და ვპოულობთ ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობას:

გავაკონტროლოთ გათვლები „ბიუჯეტის“ ვერსიით :
, შეკვეთა.

და ბოლო ნაბიჯი: ყურადღებით გადახედეთ ყველა "მსუქან" რიცხვს, დამწყებთათვისაც კი ვურჩევ შეადგინონ ერთი სია:

საიდანაც ვირჩევთ უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს. უპასუხედაწერე პოვნის პრობლემის სტილში ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ინტერვალზე:

ყოველი შემთხვევისთვის, კიდევ ერთხელ გავაკეთებ კომენტარს შედეგის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე:
– აქ არის რეგიონის ზედაპირის უმაღლესი წერტილი;
- აქ არის ზედაპირის ყველაზე დაბალი წერტილი ამ ტერიტორიაზე.

გაანალიზებულ პრობლემაში აღმოვაჩინეთ 7 „საეჭვო“ წერტილი, მაგრამ მათი რიცხვი განსხვავდება დავალების მიხედვით. სამკუთხა რეგიონისთვის მინიმალური „საძიებო ნაკრები“ შედგება სამი წერტილისგან. ეს ხდება, როდესაც ფუნქცია, მაგალითად, დაყენებულია თვითმფრინავი- სრულიად ნათელია, რომ არ არის სტაციონარული წერტილები და ფუნქციას შეუძლია მიაღწიოს მაქსიმალურ / მინიმალურ მნიშვნელობებს მხოლოდ სამკუთხედის წვეროებზე. მაგრამ არ არსებობს ასეთი მაგალითები ერთხელ, ორჯერ - ჩვეულებრივ, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ რაიმე სახის მე-2 რიგის ზედაპირი.

თუ ასეთ ამოცანებს ცოტა ამოხსნით, მაშინ სამკუთხედებს შეუძლიათ თავი დაგიტრიალონ და ამიტომ მე მოვამზადე არაჩვეულებრივი მაგალითები, რომ ის კვადრატში გახადო :))

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები ხაზებით შემოზღუდულ დახურულ ტერიტორიაზე

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები შეზღუდულ დახურულ ზონაში.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ტერიტორიის საზღვრის შესწავლის რაციონალურ წესრიგს და ტექნიკას, ასევე შუალედური შემოწმებების ჯაჭვს, რომელიც თითქმის მთლიანად თავიდან აიცილებს გამოთვლით შეცდომებს. ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ მოაგვაროთ ის, როგორც გსურთ, მაგრამ ზოგიერთ პრობლემაში, მაგალითად, იმავე მაგალითში 2, არის ყველა შანსი, რომ მნიშვნელოვნად გაართულოთ თქვენი ცხოვრება. გაკვეთილის ბოლოს დავალებების დასრულების სავარაუდო მაგალითი.

ჩვენ ვაწარმოებთ გადაწყვეტის ალგორითმს სისტემატიზაციას, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ობობის ჩემი მონდომებით, ის რატომღაც დაიკარგა პირველი მაგალითის კომენტარების გრძელ ძაფში:

- პირველ საფეხურზე ვაშენებთ უბანს, სასურველია დავჩრდილოთ, საზღვარი კი სქელი ხაზით გამოვყოთ. ამოხსნის დროს გამოჩნდება წერტილები, რომლებიც ნახაზზე უნდა დაიტანოთ.

- იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ მათში, რომლებიც ეკუთვნის ტერიტორიას . მიღებული მნიშვნელობები ხაზგასმულია ტექსტში (მაგალითად, შემოხაზულია ფანქრით). თუ სტაციონარული წერტილი არ ეკუთვნის ტერიტორიას, მაშინ აღვნიშნავთ ამ ფაქტს ხატით ან სიტყვიერად. თუ საერთოდ არ არის სტაციონარული წერტილები, მაშინ ვაკეთებთ წერილობით დასკვნას, რომ ისინი არ არიან. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ ნივთის გამოტოვება შეუძლებელია!

- სასაზღვრო ტერიტორიის შესწავლა. პირველ რიგში, მომგებიანია სწორ ხაზებთან გამკლავება, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან (თუ არსებობს). ასევე მონიშნულია "საეჭვო" წერტილებში გამოთვლილი ფუნქციის მნიშვნელობები. ბევრი ითქვა ზემოაღნიშნული გადაწყვეტის ტექნიკის შესახებ და სხვა რამეს იტყვის ქვემოთ - წაიკითხეთ, ხელახლა წაიკითხეთ, ჩაღრმავდით!

- არჩეული რიცხვებიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები და გაეცით პასუხი. ზოგჯერ ხდება, რომ ფუნქცია აღწევს ასეთ მნიშვნელობებს ერთდროულად რამდენიმე წერტილში - ამ შემთხვევაში, ყველა ეს წერტილი უნდა აისახოს პასუხში. მოდით, მაგალითად, და აღმოჩნდა, რომ ეს არის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. მერე ამას ვწერთ

საბოლოო მაგალითები ეძღვნება სხვა სასარგებლო იდეებს, რომლებიც გამოგადგებათ პრაქტიკაში:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ ზონაში .

მე შევინარჩუნე ავტორის ფორმულირება, რომელშიც ფართობი მოცემულია ორმაგ უტოლობად. ეს პირობა შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური სისტემით ან უფრო ტრადიციული ფორმით ამ პრობლემისთვის:

შეგახსენებთ, რომ ერთად არაწრფივიჩვენ შევხვდით უთანასწორობებს და თუ თქვენ არ გესმით ჩანაწერის გეომეტრიული მნიშვნელობა, გთხოვთ, არ გადადოთ და ახლავე განმარტოთ სიტუაცია ;-)

გადაწყვეტილება, როგორც ყოველთვის, იწყება ტერიტორიის მშენებლობით, რომელიც ერთგვარი "ერთადერთია":

ჰმ, ხანდახან გიწევს არამარტო მეცნიერების გრანიტის გახეხვა...

ი) იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები:

იდიოტის ოცნების სისტემა :)

სტაციონარული წერტილი ეკუთვნის რეგიონს, კერძოდ, მდებარეობს მის საზღვარზე.

ასე რომ, ეს არაფერია ... მხიარული გაკვეთილი წავიდა - აი რას ნიშნავს სწორი ჩაის დალევა =)

II) ვიკვლევთ რეგიონის საზღვარს. ზედმეტის გარეშე, დავიწყოთ x-ღერძი:

1) თუ, მაშინ

იპოვნეთ სად არის პარაბოლას ზედა:
– დააფასეთ ასეთი მომენტები – „დაარტყით“ ზუსტად იმ წერტილში, საიდანაც უკვე ყველაფერი ნათელია. მაგრამ არ დაგავიწყდეთ შეამოწმოთ:

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში:

2) „ერთ სხდომაზე“ „ძირის“ ქვედა ნაწილს შევეხებით - ყოველგვარი კომპლექსების გარეშე ვანაცვლებთ მას ფუნქციაში, უფრო მეტიც, ჩვენ დავინტერესდებით მხოლოდ სეგმენტით:

Კონტროლი:

ახლა ეს უკვე მოაქვს გარკვეული აღორძინება მონოტონურ მგზავრობას დახრილ ტრასაზე. მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

Ჩვენ ვწყვეტთ კვადრატული განტოლებაგახსოვთ ეს? ... თუმცა დაიმახსოვრეთ, რა თქმა უნდა, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ არ წაიკითხავდით ამ სტრიქონებს =) თუ წინა ორ მაგალითში ათწილადი წილადების გამოთვლები მოსახერხებელი იყო (რაც, სხვათა შორის, იშვიათია), მაშინ აქ ჩვენ ველოდებით ჩვეულებრივი ჩვეულებრივი წილადები. ჩვენ ვპოულობთ "x" ფესვებს და განტოლების გამოყენებით განვსაზღვრავთ "კანდიდატი" პუნქტების შესაბამის "თამაშის" კოორდინატებს:


გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი წერტილებში:

თავად შეამოწმეთ ფუნქცია.

ახლა ჩვენ ყურადღებით ვსწავლობთ მოგებულ თასებს და ვწერთ პასუხი:

აი "კანდიდატები", მაშ "კანდიდატები"!

დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები დახურულ ტერიტორიაზე

ჩანაწერი ხვეული ბრეკეტებით ასე იკითხება: "პუნქტების ნაკრები ისეთი, რომ".

ზოგჯერ ასეთ მაგალითებში იყენებენ ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი, მაგრამ მისი გამოყენების რეალური საჭიროება ნაკლებად სავარაუდოა. ასე, მაგალითად, თუ მოცემულია ფუნქცია იგივე ფართობის მქონე "de", მაშინ მასში ჩანაცვლების შემდეგ - წარმოებული არ არის სირთულეები; უფრო მეტიც, ყველაფერი შედგენილია "ერთი ხაზით" (ნიშანებით) ზედა და ქვედა ნახევარწრეების ცალკე განხილვის გარეშე. მაგრამ, რა თქმა უნდა, არის უფრო რთული შემთხვევები, სადაც ლაგრანგის ფუნქციის გარეშე (სადაც, მაგალითად, იგივე წრის განტოლებაა)ძნელია გაძლება - რა ძნელია კარგი დასვენების გარეშე!

ყველა საუკეთესო, რომ გაიაროთ სესია და შევხვდეთ მალე მომავალ სეზონში!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გადაწყვეტილება: დახაზეთ ფართობი ნახაზზე:

პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყველაზე საინტერესოა წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად. რასთან არის დაკავშირებული? მოგების მაქსიმიზაცია, ხარჯების მინიმიზაცია, აღჭურვილობის ოპტიმალური დატვირთვის განსაზღვრა... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცხოვრების ბევრ სფეროში უნდა გადაჭრას ზოგიერთი პარამეტრის ოპტიმიზაციის პრობლემა. და ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ მოიძებნება X ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის მთელი დომენი ან დომენის ნაწილი. X ინტერვალი თავისთავად შეიძლება იყოს ხაზის სეგმენტი, ღია ინტერვალი , უსასრულო ინტერვალი .

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ერთი ცვლადის y=f(x) აშკარად მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა - განმარტებები, ილუსტრაციები.

მოდით მოკლედ ვისაუბროთ მთავარ განმარტებებზე.

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=f(x) X ინტერვალზე ასეთ მნიშვნელობას უწოდებენ , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ეს განმარტებები ინტუიციურია: ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია აბსცისთან განხილულ ინტერვალში.

სტაციონარული წერტილებიარის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებზეც ქრება ფუნქციის წარმოებული.

რატომ გვჭირდება სტაციონარული წერტილები უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ფერმას თეორემა. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი (ადგილობრივი მინიმალური ან ლოკალური მაქსიმუმი) რაღაც მომენტში, მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია. ამრიგად, ფუნქცია ხშირად იღებს თავის მაქსიმალურ (უმცირეს) მნიშვნელობას X ინტერვალზე ამ ინტერვალიდან ერთ-ერთ სტაციონარულ წერტილში.

ასევე, ფუნქციას ხშირად შეუძლია მიიღოს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული არ არსებობს და თავად ფუნქცია არის განსაზღვრული.

მოდით დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ერთ-ერთ ყველაზე გავრცელებულ კითხვას ამ თემაზე: „ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დადგენა“? არა ყოველთვის არა. ზოგჯერ X ინტერვალის საზღვრები ემთხვევა ფუნქციის დომენის საზღვრებს, ან X ინტერვალი უსასრულოა. და ზოგიერთ ფუნქციას უსასრულობაში და განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე შეუძლია მიიღოს როგორც უსასრულოდ დიდი, ასევე უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობები. ამ შემთხვევებში, ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე ვერაფერს ვიტყვით.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაძლევთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შეხედეთ სურათებს - და ბევრი რამ გახდება ნათელი.

სეგმენტზე

პირველ ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარული წერტილების სეგმენტის შიგნით [-6;6].

განვიხილოთ მეორე ფიგურაში ნაჩვენები შემთხვევა. შეცვალეთ სეგმენტი . ამ მაგალითში, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, ხოლო უდიდესი - აბსცისის მქონე წერტილში, რომელიც შეესაბამება ინტერვალის მარჯვენა საზღვარს.

მე-3 სურათზე [-3; 2] სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესაბამისი წერტილების აბსციები.

ღია დიაპაზონში

მეოთხე ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარულ წერტილებში ღია ინტერვალის ფარგლებში (-6;6).

ინტერვალზე არ შეიძლება დასკვნის გაკეთება ყველაზე დიდი მნიშვნელობის შესახებ.

უსასრულობაში

მეშვიდე ფიგურაში ნაჩვენები მაგალითში ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას (max y ) სტაციონარული წერტილით აბსცისით x=1 , ხოლო უმცირესი მნიშვნელობა (min y ) მიიღწევა ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3.

ინტერვალზე ფუნქცია არ აღწევს არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. როგორც x=2 მიდრეკილია მარჯვნივ, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (სწორი ხაზი x=2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი), და რადგან აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3. . ამ მაგალითის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათზე 8.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი.

ჩვენ ვწერთ ალგორითმს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

1. ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს და ვამოწმებთ შეიცავს თუ არა ის მთელ სეგმენტს.
2. ჩვენ ვპოულობთ ყველა წერტილს, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს და რომლებიც შეიცავს სეგმენტს (ჩვეულებრივ, ასეთი წერტილები გვხვდება ფუნქციებში არგუმენტით მოდულის ნიშნის ქვეშ და სიმძლავრის ფუნქციებში წილად-რაციონალური მაჩვენებლით). თუ ასეთი პუნქტები არ არის, გადადით შემდეგ პუნქტზე.
3. ჩვენ განვსაზღვრავთ ყველა სტაციონალურ წერტილს, რომელიც მოხვდება სეგმენტში. ამისთვის ვატოლებთ მას ნულს, ვხსნით მიღებულ განტოლებას და ვირჩევთ შესაბამის ფესვებს. თუ არ არის სტაციონარული წერტილები ან არცერთი მათგანი არ მოხვდება სეგმენტში, გადადით შემდეგ ეტაპზე.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არჩეულ სტაციონარულ წერტილებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), იმ წერტილებში, სადაც პირველი წარმოებული არ არსებობს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ასევე x=a და x=b ზე.
5. ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობებიდან ვირჩევთ უდიდეს და უმცირესს - ისინი იქნება ფუნქციის სასურველი მაქსიმალური და უმცირესი მნიშვნელობები, შესაბამისად.

მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის მაგალითის ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

• სეგმენტზე;
• ინტერვალზე [-4;-1].

გადაწყვეტილება.

ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ნულისა, ანუ . ორივე სეგმენტი განეკუთვნება განმარტების სფეროს.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს:

ცხადია, ფუნქციის წარმოებული არსებობს სეგმენტების ყველა წერტილში და [-4;-1].

სტაციონარული წერტილები განისაზღვრება განტოლებიდან. ერთადერთი რეალური ფესვი არის x=2. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება პირველ სეგმენტში.

პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილში, ანუ x=1, x=2 და x=4:

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x=1 ზე და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა – x=2-ზე.

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მხოლოდ სეგმენტის ბოლოებში [-4;-1] (რადგან ის არ შეიცავს ერთ სტაციონარულ წერტილს):

გადაწყვეტილება.

დავიწყოთ ფუნქციის ფარგლებით. წილადის მნიშვნელში კვადრატული ტრინომი არ უნდა გაქრეს:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ პრობლემის მდგომარეობიდან ყველა ინტერვალი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს.

მოდით განვასხვავოთ ფუნქცია:

ცხადია, წარმოებული არსებობს ფუნქციის მთელ დომენზე.

მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. წარმოებული ქრება ზე. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება (-3;1] და (-3;2) ინტერვალებში.

ახლა კი შეგიძლიათ შეადაროთ თითოეულ წერტილში მიღებული შედეგები ფუნქციის გრაფიკს. ლურჯი წერტილოვანი ხაზები მიუთითებს ასიმპტოტებზე.

ეს შეიძლება დასრულდეს ფუნქციის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების მოძიებით. ამ სტატიაში განხილული ალგორითმები საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგები მინიმალური მოქმედებებით. თუმცა, შეიძლება სასარგებლო იყოს ჯერ დადგინდეს ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვიტანოთ დასკვნები ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესახებ ნებისმიერ ინტერვალზე. ეს იძლევა უფრო ნათელ სურათს და შედეგების მკაცრ დასაბუთებას.

ბევრ პრობლემაში საჭიროა კვადრატული ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობის გამოთვლა. მაქსიმალური ან მინიმალური შეიძლება მოიძებნოს, თუ ორიგინალური ფუნქცია დაწერილია სტანდარტული ფორმით: ან პარაბოლის წვეროს კოორდინატების მეშვეობით: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). უფრო მეტიც, ნებისმიერი კვადრატული ფუნქციის მაქსიმუმი ან მინიმუმი შეიძლება გამოითვალოს მათემატიკური ოპერაციების გამოყენებით.

ნაბიჯები

კვადრატული ფუნქცია იწერება სტანდარტული ფორმით

ჩაწერეთ ფუნქცია სტანდარტული ფორმით.კვადრატული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის განტოლება მოიცავს ცვლადს x 2 (\displaystyle x^(2)). განტოლება შეიძლება შეიცავდეს ან არ შეიცავდეს ცვლადს x (\displaystyle x). თუ განტოლება მოიცავს ცვლადს 2-ზე მეტი მაჩვენებლით, ის არ აღწერს კვადრატულ ფუნქციას. საჭიროების შემთხვევაში, მოიტანეთ მსგავსი ტერმინები და გადააწყვეთ ისინი, რომ ჩაწეროთ ფუნქცია სტანდარტული ფორმით.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ ან ქვემოთ. თუ კოეფიციენტი a (\displaystyle a)ცვლადით x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

გამოთვალეთ -b/2a.მნიშვნელობა − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))არის კოორდინატი x (\displaystyle x)პარაბოლას ზევით. თუ კვადრატული ფუნქცია იწერება სტანდარტული ფორმით a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), გამოიყენეთ კოეფიციენტები x (\displaystyle x)და x 2 (\displaystyle x^(2))შემდეგი გზით:

• ფუნქციის კოეფიციენტებში a = 1 (\displaystyle a=1)და b = 10 (\displaystyle b=10)
• როგორც მეორე მაგალითი, განიხილეთ ფუნქცია . Აქ a = − 3 (\displaystyle a=-3)და b = 6 (\displaystyle b=6). ამიტომ, გამოთვალეთ პარაბოლის ზედა ნაწილის x-კოორდინატი შემდეგნაირად:

1. იპოვეთ f(x) შესაბამისი მნიშვნელობა.ჩაანაცვლეთ "x"-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა თავდაპირველ ფუნქციაში, რათა იპოვოთ f(x) შესაბამისი მნიშვნელობა. ასე იპოვით ფუნქციის მინიმუმს ან მაქსიმუმს.

   • პირველ მაგალითში f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)თქვენ გამოთვალეთ, რომ პარაბოლის ზედა ნაწილის x-კოორდინატი არის x = − 5 (\displaystyle x=-5). თავდაპირველ ფუნქციაში, ნაცვლად x (\displaystyle x)შემცვლელი − 5 (\displaystyle -5)
   • მეორე მაგალითში f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)თქვენ აღმოაჩინეთ, რომ პარაბოლის წვეროს x-კოორდინატი არის x = 1 (\displaystyle x=1). თავდაპირველ ფუნქციაში, ნაცვლად x (\displaystyle x)შემცვლელი 1 (\displaystyle 1)რომ იპოვოთ მისი მაქსიმალური მნიშვნელობა:

2. დაწერე პასუხი.ხელახლა წაიკითხეთ პრობლემის მდგომარეობა. თუ თქვენ გჭირდებათ პარაბოლის წვეროს კოორდინატების პოვნა, ჩაწერეთ ორივე მნიშვნელობა თქვენს პასუხში. x (\displaystyle x)და y (\displaystyle y)(ან f (x) (\displaystyle f(x))). თუ თქვენ გჭირდებათ ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური გამოთვლა, ჩაწერეთ მხოლოდ მნიშვნელობა თქვენს პასუხში y (\displaystyle y)(ან f (x) (\displaystyle f(x))). კიდევ ერთხელ დააკვირდით კოეფიციენტის ნიშანს a (\displaystyle a)რომ შეამოწმოთ, გამოთვალეთ მაქსიმალური თუ მინიმალური.

   კვადრატული ფუნქცია იწერება პარაბოლის წვეროს კოორდინატების მიხედვით

   1. დაწერეთ კვადრატული ფუნქცია პარაბოლის წვეროს კოორდინატების მიხედვით.ასეთ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

      განსაზღვრეთ პარაბოლის მიმართულება.ამისათვის შეხედეთ კოეფიციენტის ნიშანს a (\displaystyle a). თუ კოეფიციენტი a (\displaystyle a)დადებითი, პარაბოლა მიმართულია ზემოთ. თუ კოეფიციენტი a (\displaystyle a)უარყოფითი, პარაბოლა მიმართულია ქვემოთ. Მაგალითად:

      იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა.თუ ფუნქცია დაწერილია პარაბოლის წვეროს კოორდინატების მიხედვით, მინიმალური ან მაქსიმუმი უდრის კოეფიციენტის მნიშვნელობას. k (\displaystyle k). ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში:

      იპოვეთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატები.თუ პრობლემაში საჭიროა პარაბოლის წვეროს პოვნა, მისი კოორდინატებია (h, k) (\displaystyle (h,k)). გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც კვადრატული ფუნქცია იწერება პარაბოლის წვეროს კოორდინატებში, გამოკლების ოპერაცია უნდა იყოს ჩასმული ფრჩხილებში. (x − h) (\displaystyle (x-h)), ასე რომ ღირებულება h (\displaystyle h)საპირისპირო ნიშნით აღებული.

   როგორ გამოვთვალოთ მინიმალური ან მაქსიმალური მათემატიკური ოპერაციების გამოყენებით

   ჯერ განვიხილოთ განტოლების სტანდარტული ფორმა.ჩაწერეთ კვადრატული ფუნქცია სტანდარტული ფორმით: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). საჭიროების შემთხვევაში, მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები და გადააწყვეთ ისინი სტანდარტული განტოლების მისაღებად.

   იპოვეთ პირველი წარმოებული.კვადრატული ფუნქციის პირველი წარმოებული, რომელიც იწერება სტანდარტული ფორმით, უდრის f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   დააყენეთ წარმოებული ნულზე.შეგახსენებთ, რომ ფუნქციის წარმოებული უდრის ფუნქციის დახრილობას გარკვეულ წერტილში. მინიმუმზე ან მაქსიმუმზე, დახრილობა ნულის ტოლია. მაშასადამე, ფუნქციის მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობის საპოვნელად, წარმოებული უნდა გაუტოლდეს ნულს. ჩვენს მაგალითში:

ზოგჯერ B15 პრობლემებში არის „ცუდი“ ფუნქციები, რომელთა წარმოებულის პოვნა რთულია. ადრე ეს მხოლოდ ზონდებზე იყო, მაგრამ ახლა ეს ამოცანები იმდენად გავრცელებულია, რომ მათი იგნორირება აღარ შეიძლება ამ გამოცდისთვის მომზადებისას.

ამ შემთხვევაში მუშაობს სხვა ხრიკები, რომელთაგან ერთ-ერთია - ერთფეროვანი.

ფუნქციას f (x) ეწოდება სეგმენტზე მონოტონურად მზარდი, თუ ამ სეგმენტის x 1 და x 2 წერტილებისთვის მართებულია შემდეგი:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

f (x) ფუნქციას ეწოდება მონოტონურად კლებადი სეგმენტზე, თუ ამ სეგმენტის x 1 და x 2 წერტილებისთვის მართებულია შემდეგი:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > ფ ( x2).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მზარდი ფუნქციისთვის, რაც უფრო დიდია x, მით უფრო დიდია f(x). კლებადი ფუნქციისთვის საპირისპიროა მართალი: რაც მეტია x, მით უფრო პატარა f(x).

მაგალითად, ლოგარითმი მონოტონურად იზრდება, თუ ფუძე a > 1 და მცირდება მონოტონურად, თუ 0.< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

არითმეტიკული კვადრატული (და არა მხოლოდ კვადრატული) ფესვი მონოტონურად იზრდება განმარტების მთელ დომენზე:

ექსპონენციალური ფუნქცია ლოგარითმის მსგავსად იქცევა: ის იზრდება a > 1-ით და მცირდება 0-ით.< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

და ბოლოს, გრადუსი უარყოფითი მაჩვენებლით. შეგიძლიათ დაწეროთ ისინი წილადად. მათ აქვთ შესვენების წერტილი, სადაც ირღვევა ერთფეროვნება.

ყველა ეს ფუნქცია არასოდეს გვხვდება მათი სუფთა სახით. მათ ემატება მრავალწევრები, წილადები და სხვა სისულელეები, რის გამოც წარმოებულის გამოთვლა რთული ხდება. რა ხდება ამ შემთხვევაში - ახლა გავაანალიზებთ.

პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

ყველაზე ხშირად, ფუნქციის არგუმენტი იცვლება კვადრატული ტრინომიალიფორმის y = ax 2 + bx + c . მისი გრაფიკი არის სტანდარტული პარაბოლა, რომელშიც ჩვენ გვაინტერესებს:

1. პარაბოლის ტოტები - შეიძლება ავიდეს მაღლა (> 0-ზე) ან ქვემოთ (ა< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. პარაბოლის წვერო არის კვადრატული ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, სადაც ეს ფუნქცია იღებს უმცირეს (> 0-ისთვის) ან უდიდეს (a)< 0) значение.

ყველაზე დიდი ინტერესია პარაბოლას ზევით, რომლის აბსციზა გამოითვლება ფორმულით:

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ კვადრატული ფუნქციის უკიდურესი წერტილი. მაგრამ თუ თავდაპირველი ფუნქცია მონოტონურია, მისთვის წერტილი x 0 ასევე იქნება ექსტრემალური წერტილი. ამრიგად, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ ძირითად წესს:

კვადრატული ტრინომის უკიდურესი წერტილები და კომპლექსური ფუნქცია, რომელშიც ის შედის, ერთმანეთს ემთხვევა. ამიტომ, შეგიძლიათ მოძებნოთ x 0 კვადრატული ტრინომისთვის და დაივიწყოთ ფუნქცია.

ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გაურკვეველი რჩება, რა სახის წერტილს მივიღებთ: მაქსიმუმს თუ მინიმუმს. თუმცა, ამოცანები სპეციალურად არის შემუშავებული ისე, რომ ამას მნიშვნელობა არ აქვს. თავად განსაჯეთ:

1. პრობლემის მდგომარეობაში სეგმენტი არ არის. აქედან გამომდინარე, არ არის საჭირო f(a) და f(b) გამოთვლა. რჩება მხოლოდ ექსტრემალური წერტილების გათვალისწინება;
2. მაგრამ არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი წერტილი - ეს არის პარაბოლას x 0 ზედა, რომლის კოორდინატები გამოითვლება სიტყვასიტყვით ზეპირად და ყოველგვარი წარმოებულების გარეშე.

ამრიგად, პრობლემის გადაწყვეტა მნიშვნელოვნად გამარტივდა და შემცირდა მხოლოდ ორ ეტაპად:

1. ჩაწერეთ პარაბოლის განტოლება y = ax 2 + bx + c და იპოვეთ მისი წვერო ფორმულის გამოყენებით: x 0 = −b /2a;
2. იპოვეთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე: f (x 0). თუ დამატებითი პირობები არ არის, ეს იქნება პასუხი.

ერთი შეხედვით, ეს ალგორითმი და მისი დასაბუთება შეიძლება რთული ჩანდეს. მე განზრახ არ ვაქვეყნებ "შიშველი" გადაწყვეტის სქემას, რადგან ასეთი წესების დაუფიქრებელი გამოყენება სავსეა შეცდომებით.

განვიხილოთ რეალური ამოცანები მათემატიკაში საცდელი გამოცდიდან - სწორედ აქ არის ეს ტექნიკა ყველაზე გავრცელებული. ამავდროულად, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ამ გზით B15-ის მრავალი პრობლემა თითქმის ვერბალური გახდება.

ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ფუნქცია y \u003d x 2 + 6x + 13. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან კოეფიციენტი a \u003d 1\u003e 0.

პარაბოლის ზედა ნაწილი:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

ვინაიდან პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, x 0 \u003d −3 წერტილში, ფუნქცია y \u003d x 2 + 6x + 13 იღებს უმცირეს მნიშვნელობას.

ფესვი მონოტონურად იზრდება, ამიტომ x 0 არის მთელი ფუნქციის მინიმალური წერტილი. Ჩვენ გვაქვს:

დავალება. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა:

y = ჟურნალი 2 (x 2 + 2x + 9)

ლოგარითმის ქვეშ კვლავ არის კვადრატული ფუნქცია: y \u003d x 2 + 2x + 9. გრაფიკი არის პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან a = 1 > 0.

პარაბოლის ზედა ნაწილი:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

ამრიგად, x 0 = −1 წერტილში კვადრატული ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას. მაგრამ ფუნქცია y = log 2 x არის ერთფეროვანი, ასე რომ:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

მაჩვენებელი არის კვადრატული ფუნქცია y = 1 − 4x − x 2. გადავიწეროთ ნორმალური სახით: y = −x 2 − 4x + 1.

ცხადია, ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, განშტოებული ქვემოთ (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

თავდაპირველი ფუნქცია ექსპონენციალურია, ის მონოტონურია, ამიტომ ყველაზე დიდი მნიშვნელობა იქნება ნაპოვნი წერტილში x 0 = −2:

ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად შეამჩნევს, რომ ჩვენ არ დავწერეთ ფესვისა და ლოგარითმის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი. მაგრამ ეს არ იყო საჭირო: შიგნით არის ფუნქციები, რომელთა მნიშვნელობები ყოველთვის დადებითია.

შედეგები ფუნქციის სფეროდან

ზოგჯერ B15 პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისი არ არის მხოლოდ პარაბოლის წვეროს პოვნა. სასურველი მნიშვნელობა შეიძლება იყოს სეგმენტის ბოლოს, მაგრამ არა უკიდურეს წერტილში. თუ ამოცანა საერთოდ არ აკონკრეტებს სეგმენტს, შეხედეთ ტოლერანტობის დიაპაზონიორიგინალური ფუნქცია. კერძოდ:

კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება: ნული შეიძლება იყოს ფესვის ქვეშ, მაგრამ არასოდეს იყოს წილადის ლოგარითმში ან მნიშვნელში. ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა:

ფესვის ქვეშ კვლავ არის კვადრატული ფუნქცია: y \u003d 3 - 2x - x 2. მისი გრაფიკი არის პარაბოლა, მაგრამ განშტოება ქვემოთ, რადგან a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

ჩვენ ვწერთ დასაშვებ მნიშვნელობების არეალს (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; ერთი]

ახლა იპოვეთ პარაბოლის წვერო:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

წერტილი x 0 = −1 ეკუთვნის ODZ სეგმენტს - და ეს კარგია. ახლა ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის მნიშვნელობას x 0 წერტილში, ისევე როგორც ODZ-ის ბოლოებში:

y(−3) = y(1) = 0

ასე რომ, მივიღეთ რიცხვები 2 და 0. გვთხოვენ ვიპოვოთ უდიდესი - ეს არის რიცხვი 2.

დავალება. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა:

y = ჟურნალი 0.5 (6x - x 2 - 5)

ლოგარითმის შიგნით არის კვადრატული ფუნქცია y \u003d 6x - x 2 - 5. ეს არის პარაბოლა ტოტებით ქვემოთ, მაგრამ არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვები ლოგარითმში, ამიტომ ჩვენ ვწერთ ODZ-ს:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: უთანასწორობა მკაცრია, ამიტომ ბოლოები არ ეკუთვნის ODZ-ს. ამით ლოგარითმი განსხვავდება ფესვისგან, სადაც სეგმენტის ბოლოები საკმაოდ კარგად გვერგება.

პარაბოლის წვეროს ვეძებთ:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

პარაბოლის ზედა ნაწილი ჯდება ODZ-ის გასწვრივ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). მაგრამ რადგან სეგმენტის ბოლოები ჩვენთვის არ არის საინტერესო, ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის მნიშვნელობას მხოლოდ x 0 წერტილში:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2