რა თქმა უნდა, კუმულაციური განაწილების ფუნქციის გამოთვლისას უნდა გამოვიყენოთ აღნიშნული კავშირი ორომალიურ და ბეტა განაწილებებს შორის. ეს მეთოდი, რა თქმა უნდა, უკეთესია, ვიდრე პირდაპირი შეჯამება, როდესაც n > 10.

სტატისტიკის კლასიკურ სახელმძღვანელოებში, ბინომალური განაწილების მნიშვნელობების მისაღებად, ხშირად რეკომენდებულია ლიმიტის თეორემებზე დაფუძნებული ფორმულების გამოყენება (როგორიცაა მოივრე-ლაპლასის ფორმულა). უნდა აღინიშნოს, რომ წმინდა გამოთვლითი თვალსაზრისითამ თეორემების მნიშვნელობა ნულს უახლოვდება, განსაკუთრებით ახლა, როდესაც თითქმის ყველა მაგიდაზე არის ძლიერი კომპიუტერი. ზემოაღნიშნული მიახლოებების მთავარი მინუსი არის მათი სრულიად არასაკმარისი სიზუსტე n-ის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც ტიპიურია უმეტეს აპლიკაციებისთვის. არანაკლებ მინუსი არის რაიმე მკაფიო რეკომენდაციის არარსებობა ამა თუ იმ მიახლოების გამოყენების შესახებ (სტანდარტულ ტექსტებში მოცემულია მხოლოდ ასიმპტომური ფორმულირებები, მათ არ ახლავს სიზუსტის შეფასებები და, შესაბამისად, ნაკლებად გამოიყენება). მე ვიტყოდი, რომ ორივე ფორმულა მოქმედებს მხოლოდ n-ისთვის< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

მე აქ არ განვიხილავ კვანტილების პოვნის პრობლემას: დისკრეტული განაწილებისთვის ეს ტრივიალურია და იმ პრობლემებში, სადაც ასეთი განაწილება ჩნდება, როგორც წესი, არ არის აქტუალური. თუ კვანტილები ჯერ კიდევ საჭიროა, გირჩევთ პრობლემის გადაფორმებას ისე, რომ იმუშაოთ p-მნიშვნელობებთან (დაკვირვებული მნიშვნელობები). აი მაგალითად: ზოგიერთი ჩამოთვლის ალგორითმის განხორციელებისას, ყოველ საფეხურზე საჭიროა სტატისტიკური ჰიპოთეზის შემოწმება ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადის შესახებ. კლასიკური მიდგომის მიხედვით, ყოველ საფეხურზე აუცილებელია კრიტერიუმის სტატისტიკის გამოთვლა და მისი მნიშვნელობის შედარება კრიტიკული სიმრავლის საზღვრებთან. თუმცა, იმის გამო, რომ ალგორითმი არის რიცხობრივი, აუცილებელია ყოველ ჯერზე ხელახლა განისაზღვროს კრიტიკული ნაკრების საზღვარი (ბოლოს და ბოლოს, ნიმუშის ზომა იცვლება ნაბიჯიდან საფეხურამდე), რაც არაპროდუქტიულად ზრდის დროის ხარჯებს. თანამედროვე მიდგომა გვირჩევს დაკვირვებული მნიშვნელობის გამოთვლას და ნდობის ალბათობასთან შედარებას, კვანტილების ძიების დაზოგვას.

მაშასადამე, შემდეგი კოდები არ ითვლის ინვერსიულ ფუნქციას, სამაგიეროდ, მოცემულია ფუნქცია rev_binomialDF, რომელიც ითვლის p წარმატების ალბათობას ერთ ცდაში n ცდის, მათში წარმატებების m რიცხვისა და y სიდიდის გათვალისწინებით. ამ მ წარმატებების მიღების ალბათობაზე. ეს იყენებს ზემოხსენებულ ურთიერთობას ბინომიალურ და ბეტა განაწილებებს შორის.

სინამდვილეში, ეს ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ნდობის ინტერვალების საზღვრები. მართლაც, დავუშვათ, რომ მივიღებთ m წარმატებებს n ბინომიალურ ცდაში. როგორც ცნობილია, ორმხრივი ნდობის ინტერვალის მარცხენა ზღვარი p პარამეტრისთვის ნდობის დონის მქონე არის 0, თუ m = 0, ხოლო for არის განტოლების ამოხსნა. . ანალოგიურად, მარჯვენა ზღვარი არის 1, თუ m = n, და for არის განტოლების ამონახსნი . ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა საზღვრის საპოვნელად, განტოლება უნდა ამოხსნათ , ხოლო სწორის მოსაძებნად - განტოლება . ისინი ამოხსნილია ფუნქციებში binom_leftCI და binom_rightCI, რომლებიც აბრუნებენ ორმხრივი ნდობის ინტერვალის ზედა და ქვედა საზღვრებს, შესაბამისად.

მინდა აღვნიშნო, რომ თუ აბსოლუტურად წარმოუდგენელი სიზუსტე არ არის საჭირო, მაშინ საკმარისად დიდი n-სთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მიახლოება [B.L. ვან დერ ვაერდენი, მათემატიკური სტატისტიკა. M: IL, 1960, Ch. 2, წმ. 7]: , სადაც g არის ნორმალური განაწილების კვანტილი. ამ მიახლოების მნიშვნელობა არის ის, რომ არსებობს ძალიან მარტივი მიახლოებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნორმალური განაწილების კვანტილები (იხილეთ ტექსტი ნორმალური განაწილების გამოთვლის შესახებ და ამ მითითების შესაბამისი განყოფილება). ჩემს პრაქტიკაში (ძირითადად n > 100-ისთვის) ეს მიახლოება იძლევა დაახლოებით 3-4 ციფრს, რაც, როგორც წესი, სავსებით საკმარისია.

შემდეგი კოდებით გამოთვლებისთვის საჭიროა ფაილები betaDF.h , betaDF.cpp (იხილეთ სექცია ბეტა განაწილების შესახებ), ასევე logGamma.h , logGamma.cpp (იხ. დანართი A). ასევე შეგიძლიათ იხილოთ ფუნქციების გამოყენების მაგალითი.

binomialDF.h ფაილი

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF (ორმაგი საცდელი, ორმაგი წარმატებები, ორმაგი p); /* * იყოს დამოუკიდებელი დაკვირვების "ცდები" * თითოეულში წარმატების "p" ალბათობით. * გამოთვალეთ B(წარმატებები|ცდები,p) ალბათობა, რომ * წარმატებების რიცხვი 0-სა და "წარმატებებს" შორის (მათ შორის). */ double rev_binomialDF (ორმაგი საცდელი, ორმაგი წარმატებები, ორმაგი y); /* * ბერნულის სქემის ცდებში ცნობილი იყოს მინიმუმ m წარმატების * y ალბათობა. ფუნქცია პოულობს p * წარმატების ალბათობას ერთ ცდაში. * * გამოთვლებში გამოიყენება შემდეგი მიმართება * * 1 - p = rev_Beta(ცდები-წარმატებები| წარმატებები+1, y). */ double binom_leftCI (ორმაგი საცდელი, ორმაგი წარმატებები, ორმაგი დონე); /* იყოს დამოუკიდებელი დაკვირვების "ცდები" * ყოველ *ში წარმატების "p" ალბათობით და წარმატებების რაოდენობა არის "წარმატებები". * ორმხრივი ნდობის ინტერვალის მარცხენა ზღვარი * გამოითვლება მნიშვნელოვნების დონის დონით. */ double binom_rightCI (ორმაგი n, ორმაგი წარმატებები, ორმაგი დონე); /* იყოს დამოუკიდებელი დაკვირვების "ცდები" * ყოველ *ში წარმატების "p" ალბათობით და წარმატებების რაოდენობა არის "წარმატებები". * ორმხრივი ნდობის ინტერვალის მარჯვენა ზღვარი * გამოითვლება მნიშვნელოვნების დონის დონით. */ #endif /* მთავრდება #ifndef __BINOMIAL_H__ */

binomialDF.cpp ფაილი

/**************************************************** **** **********/ /* ბინომალური განაწილება */ /******************************** ********************************/ #შეიცავს #შეიცავს #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * იყოს "n" დამოუკიდებელი დაკვირვებები * წარმატების "p" ალბათობით თითოეულში. * გამოთვალეთ B(m|n,p) ალბათობა, რომ წარმატებების რაოდენობა იყოს * 0-სა და „m“-ს შორის (მათ შორის), ე.ი. * ბინომალური ალბათობების ჯამი 0-დან m-მდე: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * გამოთვლები არ გულისხმობს სულელ შეჯამებას - * გამოიყენება შემდეგი კავშირი ცენტრალურ ბეტა განაწილებასთან: * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1). * * არგუმენტები უნდა იყოს დადებითი, 0-ით<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (გვ<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= ნ) დაბრუნება 1; else return BetaDF(n-m, m+1).მნიშვნელობა(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * მოდით, მინიმუმ m წარმატების * ალბათობა ცნობილი იყოს ბერნულის სქემის n ცდაში. ფუნქცია პოულობს p * წარმატების ალბათობას ერთ ცდაში. * * გამოთვლებში გამოიყენება შემდეგი მიმართება * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1). */ ( assert((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (მ >= 0) && (მ<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (მ >= 0) && (მ<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

განვიხილოთ Binomial განაწილება, გამოთვალეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, რეჟიმი. MS EXCEL ფუნქციის BINOM.DIST() გამოყენებით ჩვენ გამოვსახავთ განაწილების ფუნქციის და ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკებს. მოდით შევაფასოთ განაწილების პარამეტრი p, განაწილების მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა. ასევე განიხილეთ ბერნულის განაწილება.

განმარტება. დაე, ისინი ჩატარდეს ნტესტები, რომელთაგან თითოეულში მხოლოდ 2 მოვლენა შეიძლება მოხდეს: მოვლენა „წარმატება“ ალბათობით გვ ან მოვლენის „ჩავარდნა“ ალბათობით ქ =1-p (ე.წ ბერნულის სქემა,ბერნულიგანსაცდელები).

ზუსტად მიღების ალბათობა x წარმატება ამაში ნ ტესტები უდრის:

ნიმუშში წარმატებების რაოდენობა x არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს ბინომალური განაწილება(ინგლისური) ბინომიალურიგანაწილება) გვდა ნ – არის ამ განაწილების პარამეტრები.

შეგახსენებთ, რომ განაცხადის მისაღებად ბერნულის სქემებიდა შესაბამისად ბინომალური განაწილება,შემდეგი პირობები უნდა აკმაყოფილებდეს:

• თითოეულ ცდას უნდა ჰქონდეს ზუსტად ორი შედეგი, პირობითად სახელწოდებით "წარმატება" და "მარცხი".
• თითოეული ტესტის შედეგი არ უნდა იყოს დამოკიდებული წინა ტესტების შედეგებზე (ტესტი დამოუკიდებლობა).
• წარმატების მაჩვენებელი გვ უნდა იყოს მუდმივი ყველა ტესტისთვის.

ბინომალური განაწილება MS EXCEL-ში

MS EXCEL-ში, 2010 წლის ვერსიიდან დაწყებული, ამისთვის არის BINOM.DIST() ფუნქცია, ინგლისური სახელია BINOM.DIST(), რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ ნიმუშს ზუსტად ექნება X"წარმატებები" (ე.ი. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია p(x), იხილეთ ფორმულა ზემოთ), და ინტეგრალური განაწილების ფუნქცია(ალბათობა იმისა, რომ ნიმუშს ექნება xან ნაკლები "წარმატებები", მათ შორის 0).

MS EXCEL 2010-მდე EXCEL-ს ჰქონდა BINOMDIST() ფუნქცია, რომელიც ასევე საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ განაწილების ფუნქციადა ალბათობის სიმკვრივე p(x). BINOMDIST() დარჩა MS EXCEL 2010-ში თავსებადობისთვის.

მაგალითის ფაილი შეიცავს გრაფიკებს ალბათობის განაწილების სიმკვრივედა .

ბინომალური განაწილებააქვს აღნიშვნა ბ (ნ ; გვ) .

შენიშვნა: შენობისთვის ინტეგრალური განაწილების ფუნქციაიდეალურად მორგებული დიაგრამის ტიპი განრიგი, ამისთვის განაწილების სიმკვრივე – ჰისტოგრამა დაჯგუფებით. სამშენებლო სქემების შესახებ დამატებითი ინფორმაციისთვის წაიკითხეთ სტატია სქემების ძირითადი ტიპები.

შენიშვნა: მაგალითის ფაილში ფორმულების ჩაწერის მოხერხებულობისთვის შეიქმნა პარამეტრების სახელები ბინომალური განაწილება: n და გვ.

მაგალითის ფაილი აჩვენებს სხვადასხვა ალბათობის გამოთვლებს MS EXCEL ფუნქციების გამოყენებით:

როგორც ზემოთ სურათზე ჩანს, ვარაუდობენ, რომ:

• უსასრულო პოპულაცია, საიდანაც შედგენილია ნიმუში, შეიცავს 10% (ან 0.1) კარგ ელემენტებს (პარამეტრს გვ, მესამე ფუნქციის არგუმენტი = BINOM.DIST() )
• გამოვთვალოთ ალბათობა, რომ 10 ელემენტის ნიმუშში (პარამეტრი ნ, ფუნქციის მეორე არგუმენტი) იქნება ზუსტად 5 მოქმედი ელემენტი (პირველი არგუმენტი), თქვენ უნდა დაწეროთ ფორმულა: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• ბოლო, მეოთხე ელემენტი არის მითითებული = FALSE, ე.ი. ფუნქციის მნიშვნელობა დაბრუნდა განაწილების სიმკვრივე .

თუ მეოთხე არგუმენტის მნიშვნელობა = TRUE, მაშინ BINOM.DIST() ფუნქცია აბრუნებს მნიშვნელობას ინტეგრალური განაწილების ფუნქციაან უბრალოდ განაწილების ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ ნიმუშში კარგი ნივთების რაოდენობა იქნება გარკვეული დიაპაზონიდან, მაგალითად, 2 ან ნაკლები (მათ შორის 0).

ამისათვის ჩაწერეთ ფორმულა: = BINOM.DIST(2, 10, 0.1, TRUE)

შენიშვნა: x-ის არამთლიანი მნიშვნელობისთვის, . მაგალითად, შემდეგი ფორმულები დააბრუნებს იგივე მნიშვნელობას: =BINOM.DIST( 2 ; ათი; 0.1; მართალია)=BINOM.DIST( 2,9 ; ათი; 0.1; მართალია)

შენიშვნა: მაგალითის ფაილში ალბათობის სიმკვრივედა განაწილების ფუნქციაასევე გამოითვლება განმარტებისა და COMBIN() ფუნქციის გამოყენებით.

განაწილების ინდიკატორები

AT ფაილის მაგალითი ფურცელზე მაგალითიარსებობს ფორმულები ზოგიერთი განაწილების ინდიკატორის გამოსათვლელად:

• =n*p;
• (კვადრატული სტანდარტული გადახრა) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას მათემატიკური მოლოდინიბინომალური განაწილებაგამოყენებით ბერნულის სქემა .

განმარტებით, შემთხვევითი ცვლადი X in ბერნულის სქემა(ბერნულის შემთხვევითი ცვლადი) აქვს განაწილების ფუნქცია :

ამ განაწილებას ე.წ ბერნულის განაწილება .

შენიშვნა : ბერნულის განაწილება- განსაკუთრებული შემთხვევა ბინომალური განაწილებაპარამეტრით n=1.

შევქმნათ 100 რიცხვის 3 მასივი წარმატების სხვადასხვა ალბათობით: 0.1; 0.5 და 0.9. ამისათვის ფანჯარაში შემთხვევითი რიცხვების თაობადააყენეთ შემდეგი პარამეტრები თითოეული p ალბათობისთვის:

შენიშვნა: თუ დააყენებთ ვარიანტს შემთხვევითი გაფანტვა (შემთხვევითი თესლი), შემდეგ შეგიძლიათ აირჩიოთ გენერირებული რიცხვების გარკვეული შემთხვევითი ნაკრები. მაგალითად, ამ პარამეტრის =25 დაყენებით, შეგიძლიათ სხვადასხვა კომპიუტერზე შემთხვევითი რიცხვების იგივე ნაკრების გენერირება (თუ, რა თქმა უნდა, განაწილების სხვა პარამეტრები იგივეა). ოფციონის მნიშვნელობას შეუძლია მიიღოს მთელი მნიშვნელობები 1-დან 32,767-მდე. ვარიანტის სახელი შემთხვევითი გაფანტვაშეიძლება დაბნეული. ჯობია ასე ეთარგმნა დააყენეთ რიცხვი შემთხვევითი რიცხვებით .

შედეგად გვექნება 100 ნომრის 3 სვეტი, რომლის საფუძველზეც, მაგალითად, შეგვიძლია შევაფასოთ წარმატების ალბათობა. გვფორმულის მიხედვით: წარმატებების რაოდენობა/100(სმ. მაგალითი ფაილის ფურცელი ბერნულის გენერირება).

შენიშვნა: ამისთვის ბერნულის განაწილება p=0.5-ით შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა =RANDBETWEEN(0;1), რომელიც შეესაბამება .

შემთხვევითი რიცხვების თაობა. ბინომალური განაწილება

დავუშვათ, ნიმუშში არის 7 დეფექტური ელემენტი. ეს ნიშნავს, რომ "ძალიან სავარაუდოა", რომ დეფექტური პროდუქტების პროპორცია შეიცვალა. გვ, რაც ჩვენი წარმოების პროცესისთვის დამახასიათებელია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს სიტუაცია "ძალიან სავარაუდოა", არსებობს შესაძლებლობა (ალფა რისკი, ტიპი 1 შეცდომა, "ცრუ განგაში"), რომ გვუცვლელი დარჩა, ხოლო დეფექტური პროდუქტების გაზრდილი რაოდენობა განპირობებული იყო შემთხვევითი შერჩევით.

როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე ჩანს, 7 არის დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა, რომელიც მისაღებია პროცესისთვის p=0.21 იმავე მნიშვნელობით. ალფა. ეს გვიჩვენებს, რომ როდესაც ნიმუშში დეფექტური ნივთების ზღვარი გადაჭარბებულია, გვ"ალბათ" გაიზარდა. ფრაზა "სავარაუდოდ" ნიშნავს, რომ არსებობს მხოლოდ 10% შანსი (100%-90%), რომ დეფექტური პროდუქტების პროცენტული გადახრა ზღურბლზე მხოლოდ შემთხვევითი მიზეზებით იყოს განპირობებული.

ამრიგად, ნიმუშში დეფექტური პროდუქტების ზღვრის გადაჭარბება შეიძლება იყოს სიგნალი იმისა, რომ პროცესი დაირღვა და დაიწყო ბ. შესახებდეფექტური პროდუქტების უფრო მაღალი პროცენტი.

შენიშვნა: MS EXCEL 2010-მდე EXCEL-ს ჰქონდა ფუნქცია CRITBINOM() , რომელიც უდრის BINOM.INV()-ს. CRITBINOM() დარჩა MS EXCEL 2010 და უფრო მაღალი თავსებადობისთვის.

ბინომალური განაწილების კავშირი სხვა განაწილებასთან

თუ პარამეტრი ნბინომალური განაწილებამიდრეკილია უსასრულობისკენ და გვმიდრეკილია 0-მდე, შემდეგ ამ შემთხვევაში ბინომალური განაწილებაშეიძლება დაახლოება. შესაძლებელია პირობების ჩამოყალიბება, როდესაც დაახლოება პუასონის განაწილებაკარგად მუშაობს:

• გვ(ნაკლები გვდა მეტი ნ, მით უფრო ზუსტია დაახლოება);
• გვ >0,9 (იმის გათვალისწინებით ქ =1- გვ, გამოთვლები ამ შემთხვევაში უნდა განხორციელდეს გამოყენებით ქ(ა Xუნდა შეიცვალოს ნ - x). ამიტომ, რაც უფრო ნაკლები ქდა მეტი ნ, მით უფრო ზუსტია მიახლოება).

0.110-ზე ბინომალური განაწილებაშეიძლება დაახლოება.

თავის მხრივ, ბინომალური განაწილებაშეიძლება კარგი მიახლოება იყოს, როდესაც მოსახლეობის რაოდენობა არის N ჰიპერგეომეტრიული განაწილებაბევრად აღემატება ნიმუშის ზომას n (ანუ N>>n ან n/N შეგიძლიათ მეტი წაიკითხოთ სტატიაში ზემოაღნიშნული დისტრიბუციების ურთიერთობის შესახებ. მიახლოების მაგალითებიც მოცემულია იქ და ახსნილია პირობები, როდესაც ეს შესაძლებელია და რა სიზუსტით.

რჩევა: MS EXCEL-ის სხვა განაწილების შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში.

ალბათობის თეორია უხილავად არის წარმოდგენილი ჩვენს ცხოვრებაში. ჩვენ ამას ყურადღებას არ ვაქცევთ, მაგრამ ჩვენს ცხოვრებაში ყველა მოვლენას აქვს ესა თუ ის ალბათობა. შესაძლო სცენარების დიდი რაოდენობის გათვალისწინებით, ჩვენთვის აუცილებელი ხდება განვსაზღვროთ მათგან ყველაზე სავარაუდო და ნაკლებად სავარაუდო. ყველაზე მოსახერხებელია ასეთი სავარაუდო მონაცემების გრაფიკული ანალიზი. ამაში დისტრიბუცია დაგვეხმარება. Binomial არის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი და ზუსტი.

სანამ უშუალოდ მათემატიკასა და ალბათობის თეორიაზე გადავიდოდეთ, გავარკვიოთ, ვინ იყო პირველი, ვინც მოიფიქრა ამ ტიპის განაწილება და როგორია ამ კონცეფციის მათემატიკური აპარატის განვითარების ისტორია.

ამბავი

ალბათობის ცნება ცნობილი იყო უძველესი დროიდან. თუმცა უძველესი მათემატიკოსები ამას დიდ მნიშვნელობას არ ანიჭებდნენ და მხოლოდ თეორიის საფუძველი ჩაეყარათ, რომელიც შემდგომში ალბათობის თეორიად იქცა. მათ შექმნეს რამდენიმე კომბინატორიული მეთოდი, რომელიც დიდად დაეხმარა მათ, ვინც მოგვიანებით შექმნეს და განავითარეს თავად თეორია.

XVII საუკუნის მეორე ნახევარში დაიწყო ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებებისა და მეთოდების ფორმირება. დაინერგა შემთხვევითი ცვლადების განმარტებები, მარტივი და ზოგიერთი რთული დამოუკიდებელი და დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის გამოთვლის მეთოდები. შემთხვევითი ცვლადებისა და ალბათობებისადმი ასეთი ინტერესი ნაკარნახევი იყო აზარტული თამაშებით: თითოეულ ადამიანს სურდა გაეგო, რა იყო მისი თამაშის მოგების შანსი.

შემდეგი ნაბიჯი იყო მათემატიკური ანალიზის მეთოდების გამოყენება ალბათობის თეორიაში. გამოჩენილი მათემატიკოსები, როგორებიც იყვნენ ლაპლასი, გაუსი, პუასონი და ბერნოული, შეასრულეს ეს დავალება. სწორედ მათ გადაიტანეს მათემატიკის ეს სფერო ახალ დონეზე. სწორედ ჯეიმს ბერნულმა აღმოაჩინა ბინომალური განაწილების კანონი. სხვათა შორის, როგორც მოგვიანებით გავარკვევთ, ამ აღმოჩენის საფუძველზე გაკეთდა კიდევ რამდენიმე, რამაც შესაძლებელი გახადა ნორმალური განაწილების კანონის შექმნა და მრავალი სხვა.

ახლა, სანამ ბინომალური განაწილების აღწერას დავიწყებთ, ცოტათი განვაახლებთ ალბათობის თეორიის ცნებებს, რომლებიც ალბათ უკვე დავიწყებულია სკოლის სკამიდან.

ალბათობის თეორიის საფუძვლები

განვიხილავთ ისეთ სისტემებს, რის შედეგადაც შესაძლებელია მხოლოდ ორი შედეგი: „წარმატება“ და „მარცხი“. ამის გაგება მარტივია მაგალითით: ვეყრებით მონეტას, გამოვიცნობთ, რომ კუდები ამოვარდება. თითოეული შესაძლო მოვლენის ალბათობა (კუდები - "წარმატება", თავები - "არა წარმატება") უდრის 50 პროცენტს მონეტა იდეალურად დაბალანსებული და არ არსებობს სხვა ფაქტორები, რომლებიც გავლენას ახდენენ ექსპერიმენტზე.

ეს იყო უმარტივესი მოვლენა. მაგრამ ასევე არის რთული სისტემები, რომლებშიც სრულდება თანმიმდევრული მოქმედებები და ამ მოქმედებების შედეგების ალბათობა განსხვავებული იქნება. მაგალითად, განვიხილოთ შემდეგი სისტემა: ყუთში, რომლის შიგთავსს ჩვენ ვერ ვხედავთ, არის ექვსი აბსოლუტურად იდენტური ბურთი, სამი წყვილი ლურჯი, წითელი და თეთრი ფერები. ჩვენ შემთხვევით უნდა მივიღოთ რამდენიმე ბურთი. შესაბამისად, ერთ-ერთი თეთრი ბურთულის ჯერ ამოღებით რამდენჯერმე შევამცირებთ ალბათობას, რომ მომდევნოზეც თეთრი ბურთი მივიღოთ. ეს ხდება იმის გამო, რომ სისტემაში ობიექტების რაოდენობა იცვლება.

შემდეგ განყოფილებაში განვიხილავთ უფრო რთულ მათემატიკურ ცნებებს, რომლებიც გვაახლოებს იმას, თუ რას ნიშნავს სიტყვები „ნორმალური განაწილება“, „ბინომიური განაწილება“ და მსგავსი.

მათემატიკური სტატისტიკის ელემენტები

სტატისტიკაში, რომელიც არის ალბათობის თეორიის გამოყენების ერთ-ერთი მიმართულება, არის მრავალი მაგალითი, სადაც ანალიზისთვის მონაცემები ცალსახად არ არის მოცემული. ანუ არა რიცხვებში, არამედ მახასიათებლების მიხედვით დაყოფის სახით, მაგალითად, სქესის მიხედვით. ამგვარ მონაცემებზე მათემატიკური აპარატის გამოსაყენებლად და მიღებული შედეგებიდან გარკვეული დასკვნების გამოსატანად საჭიროა საწყისი მონაცემების ციფრულ ფორმატში გადაყვანა. როგორც წესი, ამის განსახორციელებლად, დადებით შედეგს ენიჭება მნიშვნელობა 1, ხოლო უარყოფითს ენიჭება მნიშვნელობა 0. ამრიგად, ვიღებთ სტატისტიკურ მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გაანალიზდეს მათემატიკური მეთოდების გამოყენებით.

შემდეგი ნაბიჯი იმის გასაგებად, თუ რა არის შემთხვევითი ცვლადის ბინომალური განაწილება არის შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის და მათემატიკური მოლოდინის დადგენა. ამის შესახებ შემდეგ განყოფილებაში ვისაუბრებთ.

Მოსალოდნელი ღირებულება

სინამდვილეში, იმის გაგება, თუ რა არის მათემატიკური მოლოდინი, არ არის რთული. განვიხილოთ სისტემა, რომელშიც არის მრავალი განსხვავებული მოვლენა თავისი განსხვავებული ალბათობით. მათემატიკური მოლოდინი დაერქმევა მნიშვნელობას, რომელიც ტოლია ამ მოვლენების მნიშვნელობების ნამრავლების ჯამს (მათემატიკური ფორმით, რომელზეც ჩვენ ვისაუბრეთ ბოლო ნაწილში) და მათი წარმოშობის ალბათობა.

ბინომური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი გამოითვლება იმავე სქემის მიხედვით: ვიღებთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობას, ვამრავლებთ მას დადებითი შედეგის ალბათობაზე და შემდეგ ვაჯამებთ მიღებულ მონაცემებს ყველა ცვლადისთვის. ძალიან მოსახერხებელია ამ მონაცემების გრაფიკულად წარმოდგენა - ამ გზით უკეთესად აღიქმება განსხვავება სხვადასხვა მნიშვნელობის მათემატიკურ მოლოდინებს შორის.

შემდეგ განყოფილებაში ცოტას მოგიყვებით განსხვავებული კონცეფციის - შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის შესახებ. ის ასევე მჭიდროდ არის დაკავშირებული ისეთ ცნებასთან, როგორიცაა ბინომიალური ალბათობის განაწილება და არის მისი მახასიათებელი.

ბინომალური განაწილების ვარიაცია

ეს მნიშვნელობა მჭიდრო კავშირშია წინასთან და ასევე ახასიათებს სტატისტიკური მონაცემების განაწილებას. იგი წარმოადგენს მნიშვნელობების გადახრების საშუალო კვადრატს მათი მათემატიკური მოლოდინიდან. ანუ, შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია არის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობასა და მის მათემატიკურ მოლოდინს შორის კვადრატული სხვაობების ჯამი, გამრავლებული ამ მოვლენის ალბათობაზე.

ზოგადად, ეს არის ყველაფერი, რაც უნდა ვიცოდეთ დისპერსიის შესახებ, რათა გავიგოთ, რა არის ბინომიალური ალბათობის განაწილება. ახლა გადავიდეთ ჩვენს მთავარ თემაზე. კერძოდ, რა იმალება ასეთი ერთი შეხედვით საკმაოდ რთული ფრაზის „ბინომიური განაწილების კანონის“ უკან.

ბინომალური განაწილება

მოდით ჯერ გავიგოთ, რატომ არის ეს განაწილება ორობითი. ის მომდინარეობს სიტყვიდან "ბინომი". შესაძლოა გსმენიათ ნიუტონის ბინომის შესახებ - ფორმულა, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი ორი a და b რიცხვის ჯამის გასაფართოვებლად n-ის ნებისმიერ არაუარყოფით ხარისხზე.

როგორც თქვენ უკვე მიხვდით, ნიუტონის ბინომიური ფორმულა და ბინომიალური განაწილების ფორმულა თითქმის იგივე ფორმულებია. ერთადერთი გამონაკლისით, რომ მეორეს აქვს გამოყენებული მნიშვნელობა კონკრეტული რაოდენობებისთვის, ხოლო პირველი არის მხოლოდ ზოგადი მათემატიკური ინსტრუმენტი, რომლის გამოყენება პრაქტიკაში შეიძლება განსხვავებული იყოს.

განაწილების ფორმულები

ბინომალური განაწილების ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ტერმინების ჯამის სახით:

(ნ!/(ნ-კ)!კ!)*პ კ *ქ ნ-კ

აქ n არის დამოუკიდებელი შემთხვევითი ექსპერიმენტების რაოდენობა, p არის წარმატებული შედეგების რაოდენობა, q არის წარუმატებელი შედეგების რაოდენობა, k არის ექსპერიმენტის რაოდენობა (მას შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0-დან n-მდე),! - ფაქტორულის აღნიშვნა, რიცხვის ისეთი ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა უდრის მასზე ასული ყველა რიცხვის ნამრავლს (მაგალითად, რიცხვისთვის 4: 4!=1*2*3*4= 24).

გარდა ამისა, ბინომალური განაწილების ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს არასრული ბეტა ფუნქციად. თუმცა, ეს უკვე უფრო რთული განმარტებაა, რომელიც გამოიყენება მხოლოდ რთული სტატისტიკური ამოცანების გადაჭრისას.

ბინომალური განაწილება, რომლის მაგალითებიც ზემოთ განვიხილეთ, განაწილების ერთ-ერთი უმარტივესი ტიპია ალბათობის თეორიაში. ასევე არსებობს ნორმალური განაწილება, რომელიც არის ბინომალური განაწილების ტიპი. ეს არის ყველაზე ხშირად გამოყენებული და ყველაზე მარტივი გამოსათვლელი. ასევე არსებობს ბერნულის განაწილება, პუასონის განაწილება, პირობითი განაწილება. ყველა მათგანი გრაფიკულად ახასიათებს კონკრეტული პროცესის ალბათობის სფეროებს სხვადასხვა პირობებში.

შემდეგ ნაწილში განვიხილავთ ამ მათემატიკური აპარატის რეალურ ცხოვრებაში გამოყენებასთან დაკავშირებულ ასპექტებს. ერთი შეხედვით, რა თქმა უნდა, ჩანს, რომ ეს არის კიდევ ერთი მათემატიკური რამ, რომელიც, ჩვეულებისამებრ, რეალურ ცხოვრებაში ვერ პოულობს გამოყენებას და საერთოდ არავის სჭირდება, გარდა თავად მათემატიკოსებისა. თუმცა ეს ასე არ არის. ყოველივე ამის შემდეგ, ყველა სახის განაწილება და მათი გრაფიკული წარმოდგენები შეიქმნა მხოლოდ პრაქტიკული მიზნებისთვის და არა როგორც მეცნიერთა ახირება.

განაცხადი

განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვანი გამოყენება სტატისტიკაშია, სადაც საჭიროა მრავალი მონაცემთა კომპლექსური ანალიზი. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ძალიან ბევრ მონაცემთა მასივს აქვს მნიშვნელობების დაახლოებით იგივე განაწილება: ძალიან დაბალი და ძალიან მაღალი მნიშვნელობების კრიტიკული რეგიონები, როგორც წესი, შეიცავს საშუალო მნიშვნელობებზე ნაკლებ ელემენტებს.

მონაცემთა დიდი მასივების ანალიზი საჭიროა არა მხოლოდ სტატისტიკაში. ეს შეუცვლელია, მაგალითად, ფიზიკურ ქიმიაში. ამ მეცნიერებაში, იგი გამოიყენება მრავალი რაოდენობის დასადგენად, რომლებიც დაკავშირებულია ატომებისა და მოლეკულების შემთხვევით ვიბრაციასთან და მოძრაობასთან.

შემდეგ ნაწილში ჩვენ გავიგებთ, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია ისეთი სტატისტიკური ცნებების გამოყენება, როგორიცაა ბინომიალი შემთხვევითი ცვლადის განაწილება ყოველდღიურ ცხოვრებაში თქვენთვის და ჩემთვის.

რატომ მჭირდება?

ბევრი ადამიანი სვამს საკუთარ თავს ამ კითხვას, როდესაც საქმე მათემატიკას ეხება. და სხვათა შორის, მათემატიკას ტყუილად არ უწოდებენ მეცნიერებათა დედოფალს. ეს არის ფიზიკის, ქიმიის, ბიოლოგიის, ეკონომიკის საფუძველი და თითოეულ ამ მეცნიერებაში ასევე გამოიყენება რაიმე სახის განაწილება: დისკრეტული ბინომალური განაწილება იქნება ეს თუ ნორმალური, არ აქვს მნიშვნელობა. და თუ უფრო ახლოს დავაკვირდებით ჩვენს ირგვლივ არსებულ სამყაროს, დავინახავთ, რომ მათემატიკა გამოიყენება ყველგან: ყოველდღიურ ცხოვრებაში, სამსახურში და ადამიანური ურთიერთობებიც კი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სტატისტიკური მონაცემების სახით და გავაანალიზოთ (ეს, სხვათა შორის, , აკეთებენ ისინი, ვინც მუშაობენ ინფორმაციის შეგროვებაში ჩართულ სპეციალურ ორგანიზაციებში).

ახლა მოდით ვისაუბროთ ცოტა იმაზე, თუ რა უნდა გააკეთოთ, თუ ამ თემაზე გაცილებით მეტის ცოდნა გჭირდებათ, ვიდრე ის, რაც ჩვენ ავღნიშნეთ ამ სტატიაში.

ინფორმაცია, რომელიც ჩვენ ამ სტატიაში მოვიყვანეთ, შორს არის სრულყოფილი. ბევრი ნიუანსია იმის შესახებ, თუ რა ფორმით შეიძლება იყოს განაწილება. ბინომალური განაწილება, როგორც უკვე გავარკვიეთ, არის ერთ-ერთი მთავარი ტიპი, რომელზეც ყველა მათემატიკური სტატისტიკა და ალბათობის თეორია ემყარება.

თუ დაგაინტერესებთ, ან თქვენს საქმიანობასთან დაკავშირებით, ამ თემაზე ბევრად მეტი უნდა იცოდეთ, სპეციალიზებული ლიტერატურის შესწავლა დაგჭირდებათ. თქვენ უნდა დაიწყოთ მათემატიკური ანალიზის საუნივერსიტეტო კურსი და იქ გადახვიდეთ ალბათობის თეორიის განყოფილებაში. ასევე სასარგებლო იქნება ცოდნა სერიების სფეროში, რადგან ბინომიალური ალბათობის განაწილება სხვა არაფერია, თუ არა თანმიმდევრული ტერმინების სერია.

დასკვნა

სტატიის დასრულებამდე გვინდა კიდევ ერთი საინტერესო რამ გითხრათ. ეს ეხება უშუალოდ ჩვენი სტატიის თემას და ზოგადად ყველა მათემატიკას.

ბევრი ამბობს, რომ მათემატიკა უსარგებლო მეცნიერებაა და არაფერი, რაც სკოლაში ისწავლეს, მათთვის სასარგებლო არ ყოფილა. მაგრამ ცოდნა არასდროს არის ზედმეტი და თუ რამე არ გამოგადგება ცხოვრებაში, ეს ნიშნავს, რომ უბრალოდ არ გახსოვს. თუ ცოდნა გაქვს, შეუძლიათ დაგეხმარონ, მაგრამ თუ არ გაქვს, მათგან დახმარებას ვერ ელოდები.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ბინომიური განაწილების კონცეფცია და მასთან დაკავშირებული ყველა განმარტება და ვისაუბრეთ იმაზე, თუ როგორ გამოიყენება იგი ჩვენს ცხოვრებაში.

თავი 7

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კონკრეტული კანონები

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონების სახეები

დაე, დისკრეტულმა შემთხვევითმა ცვლადმა მიიღოს მნიშვნელობები X 1 , X 2 , …, x n,…. ამ მნიშვნელობების ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს სხვადასხვა ფორმულების გამოყენებით, მაგალითად, ალბათობის თეორიის ძირითადი თეორემების, ბერნულის ფორმულის ან სხვა ფორმულების გამოყენებით. ზოგიერთი ამ ფორმულისთვის, განაწილების კანონს აქვს საკუთარი სახელი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ყველაზე გავრცელებული კანონებია ბინომიური, გეომეტრიული, ჰიპერგეომეტრიული, პუასონის განაწილების კანონი.

ბინომალური განაწილების კანონი

დაე, წარმოიქმნას ნდამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში შეიძლება მოხდეს მოვლენა ან არ მოხდეს მაგრამ. ამ მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ცდაში მუდმივია, არ არის დამოკიდებული საცდელ რაოდენობაზე და უდრის რ=რ(მაგრამ). აქედან გამომდინარეობს იმის ალბათობა, რომ მოვლენა არ მოხდეს მაგრამთითოეულ ტესტში ასევე მუდმივი და ტოლია ქ=1–რ. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი Xმოვლენის შემთხვევების რაოდენობის ტოლია მაგრამ in ნტესტები. აშკარაა, რომ ამ რაოდენობის მნიშვნელობები ტოლია

X 1 =0 - მოვლენა მაგრამ in ნტესტები არ გამოჩნდა;

X 2 =1 - მოვლენა მაგრამ in ნცდები ერთხელ გამოჩნდა;

X 3 =2 - მოვლენა მაგრამ in ნცდები ორჯერ გამოჩნდა;

…………………………………………………………..

x n +1 = ნ- ღონისძიება მაგრამ in ნტესტები გამოჩნდა ყველაფერი ნერთხელ.

ამ მნიშვნელობების ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ბერნულის ფორმულის გამოყენებით (4.1):

სადაც რომ=0, 1, 2, …,ნ .

ბინომალური განაწილების კანონი Xუდრის წარმატებების რაოდენობას ნბერნულის ცდები, წარმატების ალბათობით რ.

ასე რომ, დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს აქვს ბინომიური განაწილება (ან ნაწილდება ორობითი კანონის მიხედვით), თუ მისი შესაძლო მნიშვნელობებია 0, 1, 2, ..., ნ, და შესაბამისი ალბათობები გამოითვლება ფორმულით (7.1).

ბინომალური განაწილება დამოკიდებულია ორზე პარამეტრები რდა ნ.

ბინომიალური კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

X			…	კ	…	ნ
რ			…		…

მაგალითი 7.1 . სამი დამოუკიდებელი გასროლა ხდება მიზანში. ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,4. შემთხვევითი მნიშვნელობა X- მიზანზე დარტყმების რაოდენობა. შექმენით მისი განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები Xარიან X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4=3. იპოვეთ შესაბამისი ალბათობები ბერნულის ფორმულის გამოყენებით. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ამ ფორმულის გამოყენება აქ სავსებით გამართლებულია. გაითვალისწინეთ, რომ ერთი გასროლით მიზანში არ მოხვედრის ალბათობა იქნება 1-0.4=0.6. მიიღეთ

განაწილების სერიას აქვს შემდეგი ფორმა:

X
რ	0,216	0,432	0,288	0,064

ადვილია იმის შემოწმება, რომ ყველა ალბათობის ჯამი 1-ის ტოლია. თავად შემთხვევითი ცვლადი Xგანაწილებული ბინომალური კანონის მიხედვით. ■

ვიპოვოთ ბინომური კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.

6.5 მაგალითის ამოხსნისას ნაჩვენები იყო, რომ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი მაგრამ in ნდამოუკიდებელი ტესტები, თუ არსებობს ალბათობა მაგრამთითოეულ ტესტში არის მუდმივი და თანაბარი რ, უდრის ნ· რ

ამ მაგალითში გამოყენებული იყო შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ბინომიალური კანონის მიხედვით. მაშასადამე, მაგალითი 6.5-ის ამოხსნა, ფაქტობრივად, შემდეგი თეორემის დასტურია.

თეორემა 7.1.ბინომიალური კანონის მიხედვით განაწილებული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია ცდების რაოდენობისა და „წარმატების“ ალბათობის ნამრავლის, ე.ი. მ(X)=ნ· რ.

თეორემა 7.2.ბინომიალური კანონის მიხედვით განაწილებული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ტოლია ცდების რაოდენობის ნამრავლის "წარმატების" და "მარცხის" ალბათობით, ე.ი. დ(X)=npq.

ბინომიალური კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის დახრილობა და ქურთოზი განისაზღვრება ფორმულებით

ამ ფორმულების მიღება შესაძლებელია საწყისი და ცენტრალური მომენტების კონცეფციის გამოყენებით.

ბინომალური განაწილების კანონი საფუძვლად უდევს ბევრ რეალურ სიტუაციას. დიდი ღირებულებებისთვის ნბინომალური განაწილება შეიძლება მიახლოებული იყოს სხვა განაწილებით, კერძოდ, პუასონის განაწილებით.

პუასონის განაწილება

დაე იყოს ნბერნულის ცდები, ცდების რაოდენობით ნსაკმარისად დიდი. ადრე ნაჩვენები იყო, რომ ამ შემთხვევაში (თუ, გარდა ამისა, ალბათობა რივენთი მაგრამძალიან მცირე) მოვლენის ალბათობის პოვნა მაგრამგამოჩნდეს ტერთხელ ტესტებში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ პუასონის ფორმულა (4.9). თუ შემთხვევითი ცვლადი Xნიშნავს მოვლენის შემთხვევების რაოდენობას მაგრამ in ნბერნულის ცდები, შემდეგ ამის ალბათობა Xაზრს მიიღებს კშეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

, (7.2)

სადაც λ = np.

პუასონის განაწილების კანონიეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილება X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვები და ალბათობები პ ტეს მნიშვნელობები ნაპოვნია ფორმულით (7.2).

ღირებულება λ = npდაურეკა პარამეტრიპუასონის განაწილება.

შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია პუასონის კანონის მიხედვით, შეუძლია მიიღოს უსასრულო რაოდენობის მნიშვნელობა. ვინაიდან ამ განაწილებისთვის ალბათობა რთითოეულ საცდელში მოვლენის შემთხვევა მცირეა, მაშინ ამ განაწილებას ზოგჯერ უწოდებენ იშვიათი ფენომენის კანონს.

პუასონის კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიას აქვს ფორმა

X					…	ტ	…
რ					…		…

ადვილია იმის გადამოწმება, რომ მეორე რიგის ალბათობების ჯამი 1-ის ტოლია. ამისათვის უნდა გვახსოვდეს, რომ ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს მაკლარინის სერიაში, რომელიც კონვერგირდება ნებისმიერისთვის. X. ამ შემთხვევაში გვაქვს

. (7.3)

როგორც აღინიშნა, პუასონის კანონი გარკვეულ შემზღუდველ შემთხვევებში ცვლის ბინომიალურ კანონს. მაგალითი არის შემთხვევითი ცვლადი X, რომელთა მნიშვნელობები უდრის ავარიების რაოდენობას გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ტექნიკური მოწყობილობის განმეორებით გამოყენებით. ვარაუდობენ, რომ ეს მოწყობილობა მაღალი საიმედოობისაა, ე.ი. ერთ აპლიკაციაში წარუმატებლობის ალბათობა ძალიან მცირეა.

გარდა ასეთი შემზღუდავი შემთხვევებისა, პრაქტიკაში არის შემთხვევითი ცვლადები, რომლებიც ნაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით, რომლებიც არ არის დაკავშირებული ბინომურ განაწილებასთან. მაგალითად, პუასონის დისტრიბუცია ხშირად გამოიყენება, როდესაც საქმე ეხება მოვლენების რაოდენობას, რომლებიც ხდება დროის მონაკვეთში (სატელეფონო სადგურზე ზარების რაოდენობა საათის განმავლობაში, მანქანების რაოდენობა, რომლებიც მივიდნენ მანქანის სამრეცხაოში დღის განმავლობაში, მანქანების გაჩერებების რაოდენობა კვირაში და ა.შ.). ყველა ეს მოვლენა უნდა ქმნიდეს ეგრეთ წოდებულ მოვლენათა ნაკადს, რომელიც არის რიგის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია. Პარამეტრი λ ახასიათებს მოვლენათა ნაკადის საშუალო ინტენსივობას.

მაგალითი 7.2 . ფაკულტეტს 500 სტუდენტი ჰყავს. რა არის იმის ალბათობა, რომ 1 სექტემბერს ამ ფაკულტეტის სამი სტუდენტის დაბადების დღეა?

გადაწყვეტილება . მოწაფეთა რაოდენობით ნ=500 საკმარისად დიდია და რ– პირველ სექტემბერს დაბადების ალბათობა რომელიმე მოსწავლისთვის არის, ე.ი. საკმარისად მცირე, მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი X– პირველ სექტემბერს დაბადებული სტუდენტების რაოდენობა ნაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით პარამეტრით λ = np= =1.36986. შემდეგ, ფორმულის მიხედვით (7.2), ვიღებთ

თეორემა 7.3.მოდით შემთხვევითი ცვლადი Xგანაწილებულია პუასონის კანონის მიხედვით. მაშინ მისი მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება ერთმანეთის ტოლია და პარამეტრის მნიშვნელობის ტოლია λ , ე.ი. მ(X) = დ(X) = λ = np.

მტკიცებულება.მათემატიკური მოლოდინის განმარტებით, ფორმულის (7.3) და შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიის გამოყენებით, რომელიც განაწილებულია პუასონის კანონის მიხედვით, მივიღებთ

სანამ დისპერსიას ვიპოვით, ჯერ ვპოულობთ განხილული შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკურ მოლოდინს. ვიღებთ

აქედან გამომდინარე, დისპერსიის განმარტებით, ჩვენ ვიღებთ

თეორემა დადასტურდა.

საწყისი და ცენტრალური მომენტების ცნებების გამოყენებით, შეიძლება აჩვენოს, რომ პუასონის კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი, დახრილობის და ქურტოზის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმულებით.

ამის გაგება მარტივია, რადგან პარამეტრის სემანტიკური შინაარსია λ = npდადებითია, მაშინ შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია პუასონის კანონის მიხედვით, ყოველთვის აქვს დადებითი როგორც დახრილობა, ასევე ქურთოზი.

ყველა ფენომენი არ არის გაზომილი რაოდენობრივი მასშტაბით, როგორიცაა 1, 2, 3 ... 100500... ყოველთვის არ შეიძლება ფენომენი მიიღოს უსასრულო ან დიდი რაოდენობის სხვადასხვა მდგომარეობა. მაგალითად, ადამიანის სქესი შეიძლება იყოს M ან F. მსროლელი ან ურტყამს მიზანს ან აცდება. შეგიძლიათ ხმა მისცეთ "მომხრე" ან "წინააღმდეგ" და ა.შ. და ა.შ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი მონაცემები ასახავს ალტერნატიული ატრიბუტის მდგომარეობას - ან "დიახ" (მოვლენა მოხდა) ან "არა" (მოვლენა არ მომხდარა). მომავალ მოვლენას (დადებით შედეგს) ასევე უწოდებენ "წარმატებას".

ასეთი მონაცემებით ექსპერიმენტებს ე.წ ბერნულის სქემაცნობილი შვეიცარიელი მათემატიკოსის პატივსაცემად, რომელმაც აღმოაჩინა, რომ ცდების დიდი რაოდენობით, დადებითი შედეგების თანაფარდობა ცდების საერთო რაოდენობასთან მიდრეკილია ამ მოვლენის დადგომის ალბათობაზე.

ალტერნატიული ფუნქციის ცვლადი

ანალიზში მათემატიკური აპარატის გამოსაყენებლად, ასეთი დაკვირვების შედეგები უნდა ჩაიწეროს რიცხვითი ფორმით. ამისთვის დადებით შედეგს ენიჭება რიცხვი 1, უარყოფითს - 0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საქმე გვაქვს ცვლადთან, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა: 0 ან 1.

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ აქედან? სინამდვილეში, არანაკლებ ჩვეულებრივი მონაცემებიდან. ასე რომ, დადებითი შედეგების რაოდენობის დათვლა ადვილია - საკმარისია ყველა მნიშვნელობის შეჯამება, ე.ი. ყველა 1 (წარმატება). შეგიძლიათ უფრო შორს წახვიდეთ, მაგრამ ამისათვის თქვენ უნდა შემოიტანოთ რამდენიმე ნოტაცია.

პირველი, რაც უნდა აღინიშნოს, არის ის, რომ პოზიტიურ შედეგებს (რომლებიც უდრის 1-ს) აქვს გარკვეული ალბათობა. მაგალითად, მონეტის გადაყრაზე თავების მიღება არის ½ ან 0,5. ეს ალბათობა ტრადიციულად აღინიშნება ლათინური ასოებით გვ. ამიტომ ალტერნატიული მოვლენის დადგომის ალბათობა არის 1-გვ, რომელიც ასევე აღინიშნება ქ, ე.ი q = 1 – გვ. ეს აღნიშვნები შეიძლება ვიზუალურად იყოს სისტემატირებული ცვლადი განაწილების ფირფიტის სახით X.

ჩვენ მივიღეთ შესაძლო მნიშვნელობების სია და მათი ალბათობა. შეიძლება გამოითვალოს მოსალოდნელი ღირებულებადა დისპერსია. მოლოდინი არის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქტის ჯამი და მათი შესაბამისი ალბათობა:

მოდით გამოვთვალოთ მოსალოდნელი მნიშვნელობა ზემოთ ცხრილების აღნიშვნის გამოყენებით.

გამოდის, რომ ალტერნატიული ნიშნის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ მოვლენის ალბათობას - გვ.

ახლა მოდით განვსაზღვროთ რა არის ალტერნატიული ფუნქციის განსხვავება. დისპერსია არის მათემატიკური მოლოდინის გადახრების საშუალო კვადრატი. ზოგადი ფორმულა (დისკრეტული მონაცემებისთვის) არის:

აქედან გამომდინარეობს ალტერნატიული მახასიათებლის განსხვავება:

ადვილი მისახვედრია, რომ ამ დისპერსიას აქვს მაქსიმუმ 0,25 (at p=0.5).

სტანდარტული გადახრა - დისპერსიის ფესვი:

მაქსიმალური მნიშვნელობა არ აღემატება 0.5-ს.

როგორც ხედავთ, როგორც მათემატიკურ მოლოდინს, ასევე ალტერნატიული ნიშნის დისპერსიას ძალიან კომპაქტური ფორმა აქვს.

შემთხვევითი ცვლადის ბინომალური განაწილება

მოდი სხვა კუთხით შევხედოთ სიტუაციას. მართლაც, ვის აინტერესებს, რომ ერთ სროლაზე თავების საშუალო დანაკარგი არის 0,5? წარმოდგენაც კი შეუძლებელია. უფრო საინტერესოა დაისვას საკითხი სროლების მოცემულ რაოდენობაზე თავების რაოდენობის შესახებ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მკვლევარი ხშირად დაინტერესებულია გარკვეული რაოდენობის წარმატებული მოვლენების დადგომის ალბათობით. ეს შეიძლება იყოს დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა შემოწმებულ პარტიაში (1 - დეფექტური, 0 - კარგი) ან გამოჯანმრთელების რაოდენობა (1 - ჯანმრთელი, 0 - ავადმყოფი) და ა.შ. ასეთი "წარმატების" რაოდენობა იქნება ცვლადის ყველა მნიშვნელობის ჯამის ტოლი X, ე.ი. ცალკეული შედეგების რაოდენობა.

შემთხვევითი მნიშვნელობა ბეწოდება ბინომიალური და იღებს მნიშვნელობებს 0-დან ნ(ზე ბ= 0 - ყველა ნაწილი კარგია, თან ბ = ნ- ყველა ნაწილი დეფექტურია). ვარაუდობენ, რომ ყველა ღირებულება xერთმანეთისგან დამოუკიდებელი. განვიხილოთ ბინომიალური ცვლადის ძირითადი მახასიათებლები, ანუ დავადგინოთ მისი მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და განაწილება.

ბინომიური ცვლადის მოლოდინი ძალიან მარტივია. მნიშვნელობების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი არის თითოეული დამატებული მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინების ჯამი და ის ყველასთვის ერთნაირია, ამიტომ:

მაგალითად, 100 დარტყმაზე თავების რაოდენობის მოლოდინი არის 100 × 0.5 = 50.

ახლა ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას ბინომიალური ცვლადის დისპერსიისთვის. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის ვარიაცია არის დისპერსიების ჯამი. აქედან

სტანდარტული გადახრა, შესაბამისად

100 მონეტის გადაყრისთვის, თავების რაოდენობის სტანდარტული გადახრა არის

და ბოლოს, განვიხილოთ ბინომალური სიდიდის განაწილება, ე.ი. შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა ბმიიღებს სხვადასხვა მნიშვნელობებს კ, სად 0≤k≤n. მონეტისთვის ეს პრობლემა შეიძლება ასე ჟღერდეს: რა არის ალბათობა იმისა, რომ მიიღოთ 40 თავი 100 სროლაში?

გამოთვლის მეთოდის გასაგებად, წარმოვიდგინოთ, რომ მონეტა მხოლოდ 4-ჯერ არის აგდებული. ყოველ ჯერზე ორივე მხარე შეიძლება დავარდეს. საკუთარ თავს ვეკითხებით: რა არის ალბათობა იმისა, რომ 4 სროლიდან 2 თავი მივიღოთ. თითოეული სროლა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია. ეს ნიშნავს, რომ რაიმე კომბინაციის მიღების ალბათობა ტოლი იქნება მოცემული შედეგის ალბათობების ნამრავლის ტოლი თითოეული ცალკეული სროლისთვის. დაე, O იყოს თავები და P იყოს კუდები. შემდეგ, მაგალითად, ერთ-ერთი კომბინაცია, რომელიც ჩვენთვის შესაფერისია, შეიძლება გამოიყურებოდეს OOPP, ანუ:

ასეთი კომბინაციის ალბათობა ტოლია თავების ამოსვლის ორი ალბათობის და თავების არ ასვლის კიდევ ორი ​​ალბათობის ნამრავლის (საპირისპირო მოვლენა გამოითვლება როგორც 1-გვ), ე.ი. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. ეს არის ერთ-ერთი კომბინაციის ალბათობა, რომელიც ჩვენთვის შესაფერისია. მაგრამ კითხვა ეხებოდა არწივების საერთო რაოდენობას და არა რაიმე კონკრეტულ შეკვეთას. შემდეგ თქვენ უნდა დაამატოთ ყველა კომბინაციის ალბათობა, რომელშიც არის ზუსტად 2 არწივი. გასაგებია, რომ ისინი ყველა ერთნაირია (პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების ადგილების შეცვლით). ამიტომ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მათი რაოდენობა და შემდეგ გაამრავლოთ ნებისმიერი ასეთი კომბინაციის ალბათობაზე. მოდით დავთვალოთ 2 არწივის 4 სროლის ყველა კომბინაცია: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. მხოლოდ 6 ვარიანტი.

ამიტომ 4 სროლის შემდეგ 2 თავის მიღების სასურველი ალბათობა არის 6×0,0625=0,375.

თუმცა, ამ გზით დათვლა დამღლელია. უკვე 10 მონეტისთვის, ძალიან რთული იქნება უხეში ძალის გამოყენებით ვარიანტების მთლიანი რაოდენობის მიღება. ამიტომ ჭკვიანმა ადამიანებმა დიდი ხნის წინ გამოიგონეს ფორმულა, რომლის დახმარებითაც ითვლიან სხვადასხვა კომბინაციების რაოდენობას. ნელემენტების მიერ კ, სად ნარის ელემენტების საერთო რაოდენობა, კარის ელემენტების რაოდენობა, რომელთა მოწყობის ვარიანტები გამოითვლება. კომბინირებული ფორმულა ნელემენტების მიერ კარის:

მსგავსი რამ ხდება კომბინატორიკის განყოფილებაში. იქ ვგზავნი ყველას, ვისაც ცოდნის გაუმჯობესება სურს. აქედან გამომდინარე, სხვათა შორის, ბინომიალური განაწილების სახელი (ზემოთ ფორმულა არის კოეფიციენტი ნიუტონის ბინომის გაფართოებაში).

ალბათობის განსაზღვრის ფორმულა ადვილად შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერ რიცხვზე ნდა კ. შედეგად, ბინომალური განაწილების ფორმულას აქვს შემდეგი ფორმა.

გაამრავლეთ შესატყვისი კომბინაციების რაოდენობა ერთ-ერთი მათგანის ალბათობით.

პრაქტიკული გამოყენებისთვის საკმარისია უბრალოდ ვიცოდეთ ბინომიალური განაწილების ფორმულა. და შეიძლება არც კი იცოდეთ - ქვემოთ მოცემულია, თუ როგორ უნდა დადგინდეს ალბათობა Excel-ის გამოყენებით. მაგრამ ჯობია იცოდე.

მოდით გამოვიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოვთვალოთ 100 სროლაში 40 თავის მიღების ალბათობა:

ან მხოლოდ 1.08%. შედარებისთვის, ამ ექსპერიმენტის მათემატიკური მოლოდინის ალბათობა, ანუ 50 თავი, არის 7,96%. ბინომიალური მნიშვნელობის მაქსიმალური ალბათობა ეკუთვნის მათემატიკური მოლოდინის შესაბამის მნიშვნელობას.

ბინომალური განაწილების ალბათობების გამოთვლა Excel-ში

თუ იყენებთ მხოლოდ ქაღალდს და კალკულატორს, მაშინ გამოთვლები ბინომალური განაწილების ფორმულით, მიუხედავად ინტეგრალების არარსებობისა, საკმაოდ რთულია. მაგალითად, ღირებულება 100! - აქვს 150-ზე მეტი სიმბოლო. ადრეც და ახლაც ასეთი რაოდენობების გამოსათვლელად გამოიყენებოდა სავარაუდო ფორმულები. ამ დროისთვის მიზანშეწონილია გამოიყენოთ სპეციალური პროგრამული უზრუნველყოფა, როგორიცაა MS Excel. ამგვარად, ნებისმიერ მომხმარებელს (თუნდაც განათლებით ჰუმანისტს) შეუძლია ადვილად გამოთვალოს ბინომურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობის ალბათობა.

მასალის კონსოლიდაციისთვის გამოვიყენებთ Excel-ს, როგორც ჩვეულებრივ კალკულატორს, ე.ი. მოდით გავაკეთოთ ეტაპობრივი გამოთვლა ბინომალური განაწილების ფორმულის გამოყენებით. გამოვთვალოთ, მაგალითად, 50 ხელმძღვანელის მიღების ალბათობა. ქვემოთ მოცემულია სურათი გაანგარიშების ნაბიჯებით და საბოლოო შედეგით.

როგორც ხედავთ, შუალედურ შედეგებს ისეთი მასშტაბი აქვს, რომ უჯრედში არ ჯდება, თუმცა ყველგან გამოიყენება ამ ტიპის მარტივი ფუნქციები: FACTOR (ფაქტორული გამოთვლა), POWER (რიცხვის ხარისხზე აწევა), ასევე. გამრავლებისა და გაყოფის ოპერატორები. უფრო მეტიც, ეს გაანგარიშება საკმაოდ რთულია, ნებისმიერ შემთხვევაში ის არ არის კომპაქტური, რადგან ჩართული ბევრი უჯრედი. და დიახ, ძნელია ამის გარკვევა.

ზოგადად, Excel უზრუნველყოფს მზა ფუნქციას ბინომალური განაწილების ალბათობების გამოსათვლელად. ფუნქციას ეძახიან BINOM.DIST.

წარმატებების რაოდენობა არის წარმატებული ცდების რაოდენობა. ჩვენ გვყავს 50 მათგანი.

საცდელთა რაოდენობა - სროლების რაოდენობა: 100-ჯერ.

წარმატების ალბათობა – ერთ დარტყმაზე თავების დაჭერის ალბათობა არის 0,5.

ინტეგრალური - მითითებულია ან 1 ან 0. თუ 0, მაშინ გამოითვლება ალბათობა P(B=k); თუ 1, მაშინ გამოითვლება ბინომალური განაწილების ფუნქცია, ე.ი. ყველა ალბათობის ჯამი B=0ადრე B=kინკლუზიური.

ვაჭერთ OK-ს და ვიღებთ იგივე შედეგს, როგორც ზემოთ, მხოლოდ ერთი ფუნქციით იყო გათვლილი ყველაფერი.

ძალიან კომფორტულად. ექსპერიმენტის გულისთვის ბოლო პარამეტრის 0-ის ნაცვლად ვსვამთ 1-ს. ვიღებთ 0,5398-ს. ეს ნიშნავს, რომ 100 მონეტის გადაგდებისას, 0-დან 50-მდე თავების მიღების ალბათობა თითქმის 54%-ია. და თავიდან ჩანდა, რომ ეს უნდა იყოს 50%. ზოგადად, გამოთვლები კეთდება მარტივად და სწრაფად.

ნამდვილმა ანალიტიკოსმა უნდა გაიგოს, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია (როგორია მისი განაწილება), ასე რომ, მოდით გამოვთვალოთ ყველა მნიშვნელობის ალბათობა 0-დან 100-მდე. ანუ, მოდით ვკითხოთ საკუთარ თავს: რა არის ალბათობა, რომ არც ერთი არწივი არ ჩამოვარდეს. , რომ 1 არწივი დაეცემა, 2, 3, 50, 90 ან 100. გაანგარიშება ნაჩვენებია შემდეგ სურათზე. ლურჯი ხაზი არის ბინომიალური განაწილება, წითელი წერტილი არის წარმატების გარკვეული რაოდენობის ალბათობა k.

შეიძლება ვინმემ იკითხოს, ბინომიალური განაწილება არ არის მსგავსი... დიახ, ძალიან მსგავსი. დე მოივმაც კი (1733 წელს) თქვა, რომ დიდი ნიმუშებით ბინომალური განაწილება უახლოვდება (არ ვიცი რა ერქვა მაშინ), მაგრამ მას არავინ უსმენდა. მხოლოდ გაუსმა, შემდეგ კი ლაპლასმა, 60-70 წლის შემდეგ, ხელახლა აღმოაჩინეს და გულდასმით შეისწავლეს ნორმალური განაწილების კანონი. ზემოთ მოცემული გრაფიკი ნათლად აჩვენებს, რომ მაქსიმალური ალბათობა მოდის მათემატიკურ მოლოდინზე და მისგან გადახრისას მკვეთრად მცირდება. როგორც ჩვეულებრივი კანონი.

ბინომურ განაწილებას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს, ის საკმაოდ ხშირად ხდება. Excel-ის გამოყენებით, გამოთვლები ხორციელდება მარტივად და სწრაფად.