ორიენტირებულია წერტილზე ა.
α რადიანებში გამოხატული კუთხეა.

განმარტება
სინუსიარის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

კოსინუსი (cos α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

მიღებული აღნიშვნები

;
;
.

;
;
.

სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = sin x

კოსინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = cos x

სინუსის და კოსინუსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y= ცოდვა xდა y= cos xპერიოდული პერიოდით 2 პი.

პარიტეტი

სინუსური ფუნქცია უცნაურია. კოსინუს ფუნქცია ლუწია.

განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების დომენი, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

სინუს და კოსინუსის ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების დომენზე, ანუ ყველა x-ისთვის (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). მათი ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში (n - მთელი რიცხვი).

	y= ცოდვა x	y= cos x
ფარგლები და უწყვეტობა	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
აღმავალი
Დაღმავალი
მაქსიმუმები, y= 1
მინიმალური, y = - 1
ნულები, y= 0
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 0	y= 1

ძირითადი ფორმულები

კვადრატული სინუსის და კოსინუსების ჯამი

ჯამისა და სხვაობის სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები

;
;

სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

სინუსის გამოხატვა კოსინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

კოსინუსის გამოხატვა სინუსში

;
;
;
.

გამოხატვა ტანგენტის მიხედვით

; .

იყიდება, ჩვენ გვაქვს:
; .

ზე:
; .

სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი, ტანგენტები და კოტანგენტები

ეს ცხრილი აჩვენებს სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებს არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

გამოთქმები რთული ცვლადების მეშვეობით

;

ეილერის ფორმულა

გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით

;
;

წარმოებულები

; . ფორმულების გამოყვანა > > >

n-ე რიგის წარმოებულები:
{ -∞ < x < +∞ }

სეკანტი, კოსეკანტი

ინვერსიული ფუნქციები

სინუსსა და კოსინუსზე შებრუნებული ფუნქციები არის რკალი და არკოზინი, შესაბამისად.

არქსინი, რკალი

არკოზინი, არკოზი

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.

მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.

ტრიგონომეტრიის წარმოშობა

ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განსაზღვრით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.

ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ განყოფილების შესწავლის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს განხილული ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობები ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.

პირველი ეტაპი

თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე ექსკლუზიურად მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.

ტრიგონომეტრიის შესწავლა დღეს სკოლაში იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომელთანაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.

სფერული ტრიგონომეტრია

მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც მოქმედებს სხვადასხვა წესები და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება "რკალის ფორმის" სამგანზომილებიანი სივრცე.

აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. სწორედ ასეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.

მართკუთხა სამკუთხედი

ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.

პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.

მაგალითად, თუ ორი გვერდი 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.

დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.

განმარტება

და ბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის ერთზე ნაკლები იქნება. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.

და ბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. შეხედეთ: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.

კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ განმარტებები იმის შესახებ, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გაუმკლავდეთ ფორმულებს.

უმარტივესი ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? და ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.

პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლის დაწყებისას ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ გსურთ იცოდეთ კუთხის მნიშვნელობა და არა გვერდი.

ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიტანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.

ორმაგი კუთხის ფორმულები და არგუმენტების დამატება

კიდევ ორი ​​ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, უკავშირდება სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებს კუთხეების ჯამისთვის და სხვაობისთვის. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორე შემთხვევაში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.

ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ მიიღოთ ისინი თავად, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.

და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.

სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის მოპირდაპირე კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ ერთსა და იმავე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.

კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.

შეცდომები უყურადღებობის გამო

იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავეცნოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.

პირველი, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად, სანამ საბოლოო შედეგი არ მიიღება - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ჩვეულებრივ წილადად, თუ პირობა სხვაგვარად არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ეწოდოს, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ამოცანის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება „მახინჯი“ რიცხვების დამრგვალებას.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.

მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა მარტივია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.

განაცხადი

ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.

ტრიგონომეტრიის მთელი არსი ემყარება იმ ფაქტს, რომ უცნობი პარამეტრები უნდა გამოითვალოს სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრებიდან. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. ამოცანების მთელი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.

როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობა, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. აქ კი ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარება.

ჩვენ ვიწყებთ ტრიგონომეტრიის შესწავლას მართკუთხა სამკუთხედით. მოდით განვსაზღვროთ რა არის სინუსი და კოსინუსი, ასევე მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს არის ტრიგონომეტრიის საფუძვლები.

გავიხსენოთ რომ სწორი კუთხეარის 90 გრადუსის ტოლი კუთხე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაშლილი კუთხის ნახევარი.

მკვეთრი კუთხე- 90 გრადუსზე ნაკლები.

ბუნდოვანი კუთხე- 90 გრადუსზე მეტი. ასეთ კუთხესთან მიმართებაში „ბლატი“ შეურაცხყოფა კი არა, მათემატიკური ტერმინია :-)

დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი. მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება. გაითვალისწინეთ, რომ კუთხის მოპირდაპირე მხარე აღინიშნება იგივე ასოთი, მხოლოდ მცირე. ასე რომ, A კუთხის საპირისპიროდ მდებარე გვერდი აღინიშნება.

კუთხე აღინიშნება შესაბამისი ბერძნული ასოთი.

ჰიპოტენუზამართკუთხა სამკუთხედი არის მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარე.

ფეხები- მხარეები მკვეთრი კუთხეების მოპირდაპირე მხარეს.

კუთხის მოპირდაპირე ფეხი ე.წ საწინააღმდეგო(კუთხის მიმართ). მეორე ფეხი, რომელიც კუთხის ერთ მხარეს დევს, ე.წ მიმდებარე.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

კოსინუსიმწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ტანგენტიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კიდევ ერთი (ექვივალენტური) განმარტება: მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

კოტანგენსიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა საპირისპიროზე (ან, ექვივალენტურად, კოსინუსისა და სინუსების თანაფარდობა):

ყურადღება მიაქციეთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ძირითად თანაფარდობებს, რომლებიც მოცემულია ქვემოთ. ისინი გამოგვადგება პრობლემების გადაჭრაში.

მოდით დავამტკიცოთ ზოგიერთი მათგანი.

კარგი, ჩვენ მივეცით განმარტებები და დაწერილი ფორმულები. მაგრამ რატომ გვჭირდება სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

ჩვენ ეს ვიცით ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის.

ჩვენ ვიცით შორის ურთიერთობა პარტიებიმართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის პითაგორას თეორემა: .

გამოდის, რომ სამკუთხედში ორი კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. იცოდეთ ორი გვერდი მართკუთხა სამკუთხედში, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. ასე რომ, კუთხეებისთვის - მათი თანაფარდობა, გვერდებისთვის - საკუთარი. მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, თუ მართკუთხა სამკუთხედში ცნობილია ერთი კუთხე (გარდა მართკუთხა) და ერთი გვერდი, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ სხვა გვერდები?

ეს არის ის, რასაც ადამიანები წარსულში აწყდებოდნენ, ამზადებდნენ ტერიტორიისა და ვარსკვლავური ცის რუქებს. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა გვერდის პირდაპირ გაზომვა.

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - მათ ასევე უწოდებენ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- მიეცით თანაფარდობა შორის პარტიებიდა კუთხეებისამკუთხედი. კუთხის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. და თუ იცით სამკუთხედის და მისი ერთ-ერთი კუთხის კუთხის სინუსები, კოსინუსები და ტანგენტები, შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი.

ჩვენ ასევე დავხატავთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების ცხრილს "კარგი" კუთხეებისთვის.

ყურადღება მიაქციეთ ცხრილში ორ წითელ ტირეს. კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის ტანგენსი და კოტანგენსი არ არსებობს.

მოდით გავაანალიზოთ ტრიგონომეტრიის რამდენიმე პრობლემა FIPI-ის ბანკის ამოცანებიდან.

1. სამკუთხედში კუთხე არის , . იპოვე .

პრობლემა მოგვარებულია ოთხ წამში.

Იმდენად, რამდენადაც , .

2. სამკუთხედში კუთხე არის , , . იპოვე .

მოდი ვიპოვოთ პითაგორას თეორემით.

პრობლემა მოგვარებულია.

ხშირად პრობლემებში არის სამკუთხედები კუთხეებით და ან კუთხეებით და . დაიმახსოვრეთ მათთვის ძირითადი კოეფიციენტები ზეპირად!

სამკუთხედისთვის კუთხით და კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარი.

სამკუთხედი კუთხეებით და არის ტოლფერდა. მასში ჰიპოტენუზა ჯერ უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

ჩვენ განვიხილეთ ამოცანები მართკუთხა სამკუთხედების ამოსახსნელად - ანუ უცნობი გვერდების ან კუთხის საპოვნელად. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! მათემატიკაში გამოცდის ვარიანტებში არის მრავალი დავალება, სადაც ჩნდება სამკუთხედის გარე კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. მეტი ამის შესახებ შემდეგ სტატიაში.

მე არ დაგარწმუნებთ, რომ არ დაწეროთ თაღლითური ფურცლები. დაწერე! მოტყუების ფურცლების ჩათვლით ტრიგონომეტრიაზე. მოგვიანებით ვაპირებ ახსნას, თუ რატომ არის საჭირო ჩეთ ფურცლები და რამდენად სასარგებლოა ჩეთ ფურცლები. და აქ - ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ არ უნდა ვისწავლოთ, არამედ გახსოვდეთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა. ასე რომ - ტრიგონომეტრია თაღლითობის გარეშე! დასამახსოვრებლად ვიყენებთ ასოციაციებს.

1. დამატების ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის „წყვილად მიდიან“: კოსინუს-კოსინუსი, სინუს-სინუსი. და კიდევ ერთი რამ: კოსინუსები "არაადეკვატურია". ისინი „ყველაფერი არასწორია“, ამიტომ ცვლიან ნიშნებს: „-“ „+“-ზე და პირიქით.

სინუსები - "ნარევი": სინუს-კოსინუსი, კოსინუს-სინუსი.

2. ჯამისა და სხვაობის ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის "წყვილად მიდიან". ორი კოსინუსის - "ფუნთუშების" დამატების შემდეგ ვიღებთ წყვილ კოსინუსს - "კოლობოკებს". და გამოკლებით, ჩვენ ნამდვილად არ მივიღებთ კოლობოკებს. ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე სინუსს. ჯერ კიდევ წინ არის მინუსი.

სინუსები - "ნარევი" :

3. პროდუქტის ჯამად და სხვაობად გარდაქმნის ფორმულები.

როდის ვიღებთ კოსინუსების წყვილს? კოსინუსების დამატებისას. Ისე

როდის ვიღებთ სინუსების წყვილს? კოსინუსების გამოკლებისას. აქედან:

„შერევა“ მიიღება როგორც სინუსების შეკრებით, ასევე გამოკლებით. რომელია უფრო სახალისო: შეკრება თუ გამოკლება? მართალია, დაკეცეთ. და ფორმულისთვის აიღეთ დამატება:

პირველ და მესამე ფორმულებში ფრჩხილებში - რაოდენობა. ვადების ადგილების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება. შეკვეთა მნიშვნელოვანია მხოლოდ მეორე ფორმულისთვის. მაგრამ იმისათვის, რომ არ დავიბნეოთ, დასამახსოვრებლად მარტივად, პირველ ფრჩხილებში სამივე ფორმულაში ვიღებთ განსხვავებას

და მეორე, ჯამი

ჯიბეში საწოლები სიმშვიდეს იძლევა: თუ ფორმულა დაგავიწყდათ, შეგიძლიათ ჩამოწეროთ იგი. და ისინი იძლევიან თავდაჯერებულობას: თუ თქვენ ვერ იყენებთ თაღლითობის ფურცელს, ფორმულები ადვილად დაიმახსოვრებთ.