ცოდნა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკებიარანაკლებ მნიშვნელოვანია, ვიდრე გამრავლების ცხრილის ცოდნა. ისინი ჰგვანან საძირკველს, ყველაფერი მათზეა აგებული, ყველაფერი მათგან არის აგებული და ყველაფერი მათზე მოდის.

ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ელემენტარულ ფუნქციას, ვაძლევთ მათ გრაფიკებს და ვაძლევთ მათ წარმოშობისა და მტკიცებულებების გარეშე. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებებისქემის მიხედვით:

• ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილების სტატიის კლასიფიკაცია);
• ლუწი და კენტი;
• ამოზნექის (ამოზნექება ზემოთ) და ჩაზნექილი (ამოზნექება ქვევით) ინტერვალები, დახრის წერტილები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატიის ფუნქცია ამოზნექილობა, ამოზნექის მიმართულება, დახრის წერტილები, ამოზნექილი და დახრის პირობები);
• ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;
• ფუნქციების ცალკეული წერტილები;
• ზოგიერთი ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები (მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი).

თუ გაინტერესებთ ან, მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ თეორიის ამ სექციებზე.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიარის: მუდმივი ფუნქცია (მუდმივი), n-ე ხარისხის ფესვი, სიმძლავრის ფუნქცია, ექსპონენციალური, ლოგარითმული ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

გვერდის ნავიგაცია.

მუდმივი ფუნქცია.

მუდმივი ფუნქცია მოცემულია ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე ფორმულით, სადაც C არის გარკვეული რეალური რიცხვი. მუდმივი ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადის x თითოეულ რეალურ მნიშვნელობას ანიჭებს y დამოკიდებული ცვლადის იგივე მნიშვნელობას - მნიშვნელობა С. მუდმივ ფუნქციას ასევე ეწოდება მუდმივი.

მუდმივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად და გადის წერტილში კოორდინატებით (0,C). მაგალითად, ვაჩვენოთ მუდმივი ფუნქციების გრაფიკები y=5 , y=-2 და , რომლებიც ქვემოთ მოცემულ სურათზე შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს შესაბამისად.

მუდმივი ფუნქციის თვისებები.

• განმარტების დომენი: ნამდვილ რიცხვთა მთელი სიმრავლე.
• მუდმივი ფუნქცია ლუწია.
• მნიშვნელობების დიაპაზონი: ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი რიცხვი C.
• მუდმივი ფუნქცია არ არის მზარდი და არ კლებადი (ამიტომ არის მუდმივი).
• მუდმივის ამოზნექილობასა და ჩაღრმავებაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს.
• ასიმპტოტი არ არსებობს.
• ფუნქცია გადის კოორდინატთა სიბრტყის წერტილში (0,C).

n-ე ხარისხის ფესვი.

განვიხილოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით, სადაც n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის ლუწი რიცხვი.

დავიწყოთ n-ე ფესვის ფუნქციით ძირის მაჩვენებლის ლუწი მნიშვნელობებისთვის n .

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ სურათს ფუნქციების გრაფიკების გამოსახულებით და , ისინი შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს.

თანაბარი ხარისხის ფესვის ფუნქციების გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ ინდიკატორის სხვა მნიშვნელობებისთვის.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები ლუწ n-სთვის.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის კენტი რიცხვი.

n-ე ხარისხის ძირეული ფუნქცია n ფესვის კენტი მაჩვენებლით განისაზღვრება რეალური რიცხვების მთელ სიმრავლეზე. მაგალითად, წარმოგიდგენთ ფუნქციების გრაფიკებს და შავი, წითელი და ლურჯი მრუდები მათ შეესაბამება.

ფესვის მაჩვენებლის სხვა უცნაური მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები კენტი n-სთვის.

დენის ფუნქცია.

სიმძლავრის ფუნქცია მოცემულია ფორმის ფორმულით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკის ტიპი და სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მაჩვენებლის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ სიმძლავრის ფუნქციით a-ის მთელი მაჩვენებლით. ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ფორმა და ფუნქციების თვისებები დამოკიდებულია ლუწი ან კენტი მაჩვენებელზე, ასევე მის ნიშანზე. მაშასადამე, ჩვენ ჯერ განვიხილავთ სიმძლავრის ფუნქციებს a-ის კენტი დადებითი მნიშვნელობებისთვის, შემდეგ ლუწი პოზიტიურებისთვის, შემდეგ კენტი უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის და ბოლოს, ლუწი a უარყოფითისთვის.

წილადი და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები (ასევე ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ტიპი) დამოკიდებულია a მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე. ჩვენ განვიხილავთ მათ, ჯერ ერთი, როცა a არის ნულიდან ერთამდე, მეორეც, როცა a მეტია ერთზე, მესამედ, როცა a არის მინუს ერთიდან ნულამდე და მეოთხე, როცა a არის მინუს ერთზე ნაკლები.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულს, სისრულისთვის, ჩვენ აღვწერთ სიმძლავრის ფუნქციას ნულოვანი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a=1,3,5,… .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს დენის ფუნქციების გრაფიკებს - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=1-ისთვის გვაქვს ხაზოვანი ფუნქცია y=x.

კენტი დადებითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია თუნდაც დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია ლუწი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a=2,4,6,… .

მაგალითად, ავიღოთ დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. a=2-სთვის გვაქვს კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი დადებითი მაჩვენებლით.

დენის ფუნქცია კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით.

შეხედეთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექსპონენტის კენტი უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ \u003d -1, -3, -5, ....

ნახატზე მოცემულია ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები, როგორც მაგალითი - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=-1-ისთვის გვაქვს უკუპროპორციულობა, რომლის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა.

კენტი უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

გადავიდეთ სიმძლავრის ფუნქციაზე a=-2,-4,-6,….

ნახატზე ნაჩვენებია დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით, რომლის მნიშვნელობა ნულზე მეტია და ერთზე ნაკლები.

Შენიშვნა!თუ a არის დადებითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი მიიჩნევს, რომ ინტერვალი არის სიმძლავრის ფუნქციის დომენი. ამავე დროს, დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ დავიცავთ სწორედ ასეთ შეხედულებას, ანუ სიმრავლედ მივიჩნევთ სიმძლავრის ფუნქციების დომენებს წილადი დადებითი მაჩვენებლებით. ჩვენ მოვუწოდებთ სტუდენტებს მიიღონ თქვენი მასწავლებლის პერსპექტივა ამ დახვეწილ საკითხზე, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური a მაჩვენებლით, და.

წარმოგიდგენთ დენის ფუნქციების გრაფიკებს a=11/12 (შავი ხაზი), a=5/7 (წითელი ხაზი), (ლურჯი ხაზი), a=2/5 (მწვანე ხაზი).

სიმძლავრის ფუნქცია ერთზე მეტი არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით a , და .

წარმოვადგინოთ ფორმულებით მოცემული სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზები შესაბამისად).

>

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი სახე ექნება.

დენის ფუნქციის თვისებები .

სიმძლავრის ფუნქცია რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მეტია მინუს ერთზე და ნაკლები ნულზე.

Შენიშვნა!თუ a არის უარყოფითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი ითვალისწინებს ინტერვალს . ამავე დროს, დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ დავემორჩილებით სწორედ ასეთ შეხედულებას, ანუ სიმრავლედ მივიჩნევთ, შესაბამისად, სიმრავლედ სიმძლავრის ფუნქციების დომენებს წილადი წილადი უარყოფითი მაჩვენებლებით. ჩვენ მოვუწოდებთ სტუდენტებს მიიღონ თქვენი მასწავლებლის პერსპექტივა ამ დახვეწილ საკითხზე, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

გადავდივართ დენის ფუნქციაზე , სადაც .

იმისათვის, რომ კარგი წარმოდგენა გქონდეთ ძალაუფლების ფუნქციების გრაფიკების ტიპზე, ჩვენ ვაძლევთ ფუნქციების გრაფიკების მაგალითებს (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე მოსახვევები, შესაბამისად).

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები a მაჩვენებლით, .

სიმძლავრის ფუნქცია არა მთელი რიცხვის რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მინუს ერთზე ნაკლებია.

მოდით მოვიყვანოთ სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები , ისინი გამოსახულია შესაბამისად შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზებით.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მინუს ერთზე ნაკლები არამთლიანი უარყოფითი მაჩვენებლით.

როდესაც a=0 გვაქვს ფუნქცია - ეს არის სწორი ხაზი, საიდანაც წერტილი (0; 1) გამორიცხულია (გამოხატვა 0 0 შეთანხმებული იყო, რომ არ მიენიჭოს რაიმე მნიშვნელობა).

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ერთ-ერთი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქცია.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი, სადაც და იღებს სხვადასხვა ფორმას a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. მოდით გავარკვიოთ.

პირველი, განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი იღებს მნიშვნელობას ნულიდან ერთამდე, ანუ .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 - ლურჯი ხაზი, a = 5/6 - წითელი ხაზი. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის ინტერვალიდან.

ერთზე ნაკლები ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.

ჩვენ მივმართავთ შემთხვევას, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია, ანუ .

საილუსტრაციოდ წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს - ლურჯი ხაზი და წითელი ხაზი. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ერთზე მეტი, ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.

ლოგარითმული ფუნქცია.

შემდეგი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციაა ლოგარითმული ფუნქცია, სადაც, . ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ .

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი განსხვავებულ ფორმას იღებს a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

სიბრტყეზე აბსოლუტურად ნებისმიერი წერტილის კოორდინატი განისაზღვრება მისი ორი მნიშვნელობით: აბსცისის ღერძის და ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. მრავალი ასეთი წერტილის სიმრავლე არის ფუნქციის გრაფიკი. მისი მიხედვით ხედავთ, თუ როგორ იცვლება Y-ის მნიშვნელობა X-ის მნიშვნელობის ცვლილების მიხედვით. ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომელ მონაკვეთში (ინტერვალში) იზრდება ფუნქცია და რომელში მცირდება.

ინსტრუქცია

• რა შეიძლება ითქვას ფუნქციაზე, თუ მისი გრაფიკი სწორი ხაზია? ნახეთ, გადის თუ არა ეს ხაზი კოორდინატების საწყისში (ანუ ის, სადაც X და Y მნიშვნელობები არის 0). თუ ის გაივლის, მაშინ ასეთი ფუნქცია აღწერილია y = kx განტოლებით. ადვილი გასაგებია, რომ რაც უფრო დიდია k-ის მნიშვნელობა, მით უფრო ახლოს იქნება ეს ხაზი y-ღერძთან. და თავად Y-ღერძი რეალურად შეესაბამება k-ის უსასრულოდ დიდ მნიშვნელობას.
• შეხედეთ ფუნქციის მიმართულებას. თუ ის მიდის „ქვემოდან მარცხნივ - ზევით მარჯვნივ“, ანუ მე-3 და 1 კოორდინატთა კვარტალში, ის იზრდება, მაგრამ თუ „ზედა მარცხნივ - მარჯვნივ ქვემოთ“ (მე-2 და მე-4 კვარტლების გავლით), მაშინ მცირდება.
• როდესაც ხაზი არ გადის საწყისს, იგი აღწერილია განტოლებით y = kx + b. წრფე კვეთს y-ღერძს იმ წერტილში, სადაც y = b და y-ის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი.
• ფუნქციას პარაბოლა ეწოდება, თუ იგი აღწერილია y = x^n განტოლებით და მისი ფორმა დამოკიდებულია n-ის მნიშვნელობაზე. თუ n არის ნებისმიერი ლუწი რიცხვი (უმარტივესი შემთხვევაა კვადრატული ფუნქცია y = x^2), ფუნქციის გრაფიკი არის მრუდი, რომელიც გადის საწყის წერტილში, ასევე წერტილებში კოორდინატებით (1; 1), (- 1; 1), ნებისმიერი სიმძლავრის ერთეულისთვის დარჩება ერთეული. ყველა y-მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება ნებისმიერ არანულოვან X-მნიშვნელობებს, შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი. ფუნქცია სიმეტრიულია Y ღერძის მიმართ და მისი გრაფიკი მდებარეობს 1-ლ და მე-2 კოორდინატთა კვარტალში. ადვილად გასაგებია, რომ რაც უფრო დიდია n-ის მნიშვნელობა, მით უფრო ახლოს იქნება გრაფიკი Y ღერძთან.
• თუ n კენტი რიცხვია, ამ ფუნქციის გრაფიკი არის კუბური პარაბოლა. მრუდი განლაგებულია 1-ლ და მე-3 კოორდინატთა კვარტალში, სიმეტრიულია Y ღერძის მიმართ და გადის საწყისზე, ასევე (-1;-1), (1;1) წერტილებზე. როდესაც კვადრატული ფუნქცია არის განტოლება y = ax^2 + bx + c, პარაბოლის ფორმა იგივეა, რაც უმარტივეს შემთხვევაში (y = x^2), მაგრამ მისი წვერო არ არის საწყისში.
• ფუნქციას ჰიპერბოლა ეწოდება, თუ იგი აღწერილია y = k/x განტოლებით. ადვილად ჩანს, რომ როგორც x-ის მნიშვნელობა 0-ისკენ მიისწრაფვის, y-ის მნიშვნელობა უსასრულობამდე იზრდება. ფუნქციის გრაფიკი არის მრუდი, რომელიც შედგება ორი ტოტისაგან და განლაგებულია სხვადასხვა კოორდინატთა კვარტალში.

ეს მეთოდოლოგიური მასალა მხოლოდ საცნობაროა და თემების ფართო სპექტრს მოიცავს. სტატიაში მოცემულია ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების მიმოხილვა და განიხილება ყველაზე მნიშვნელოვანი საკითხი - როგორ სწორად და სწრაფად ავაშენოთ გრაფიკი. უმაღლესი მათემატიკის შესწავლისას, ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების ცოდნის გარეშე, რთული იქნება, ამიტომ ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, თუ როგორ გამოიყურება პარაბოლის, ჰიპერბოლის, სინუსის, კოსინუსის და ა.შ. გრაფიკები, რომ გავიხსენოთ ზოგიერთი. ფუნქციის მნიშვნელობები. ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ ძირითადი ფუნქციების ზოგიერთ თვისებებზე.

მე არ ვაპირებ პრეტენზიას სრულყოფილ და მეცნიერულად ამომწურავ მასალებს, აქცენტი გაკეთდება, პირველ რიგში, პრაქტიკაზე - იმ საკითხებზე, რაც პირისპირ უნდა შეხვდე სიტყვასიტყვით ყოველ ნაბიჯზე, უმაღლესი მათემატიკის ნებისმიერ თემაზე. დუმების სქემები? შეგიძლიათ ასე თქვათ.

მკითხველთა პოპულარული მოთხოვნით დაწკაპუნებადი სარჩევი:

გარდა ამისა, არის ულტრამოკლე რეფერატი ამ თემაზე
- დაეუფლეთ 16 ტიპის სქემებს ექვსი გვერდის შესწავლით!

სერიოზულად, ექვსი, მეც კი გამიკვირდა. ეს აბსტრაქტი შეიცავს გაუმჯობესებულ გრაფიკას და ხელმისაწვდომია ნომინალური საფასურით, შეგიძლიათ ნახოთ დემო ვერსია. მოსახერხებელია ფაილის დაბეჭდვა ისე, რომ გრაფიკები ყოველთვის ხელთ იყოს. მადლობა პროექტის მხარდაჭერისთვის!

და ჩვენ მაშინვე ვიწყებთ:

როგორ ავაშენოთ კოორდინატთა ღერძები სწორად?

პრაქტიკაში ტესტებს სტუდენტები თითქმის ყოველთვის ადგენენ ცალკეულ რვეულებში, გალიაში ჩასმული. რატომ გჭირდებათ მონიშნული ნიშნები? ყოველივე ამის შემდეგ, სამუშაო, პრინციპში, შეიძლება გაკეთდეს A4 ფურცლებზე. და გალია აუცილებელია მხოლოდ ნახატების მაღალი ხარისხის და ზუსტი დიზაინისთვის.

ფუნქციის გრაფიკის ნებისმიერი ნახაზი იწყება კოორდინატთა ღერძებით.

ნახატები არის ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი.

ჯერ განვიხილოთ ორგანზომილებიანი შემთხვევა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა:

1) ვხატავთ კოორდინატთა ღერძებს. ღერძი ე.წ x-ღერძი და ღერძი y-ღერძი . ჩვენ ყოველთვის ვცდილობთ დავხატოთ ისინი მოწესრიგებული და არა მრუდე. ისრები ასევე არ უნდა ჰგავდეს პაპა კარლოს წვერს.

2) ცულებს ვაწერთ დიდი ასოებით „x“ და „y“. არ დაგავიწყდეთ ცულების ხელმოწერა.

3) დააყენეთ მასშტაბი ღერძების გასწვრივ: დახაზეთ ნული და ორი ერთი. ნახატის გაკეთებისას ყველაზე მოსახერხებელი და გავრცელებული მასშტაბია: 1 ერთეული = 2 უჯრედი (ნახატი მარცხნივ) - თუ შესაძლებელია, მიჰყევით მას. თუმცა, დროდადრო ხდება ისე, რომ ნახატი არ ჯდება ნოუთბუქის ფურცელზე - შემდეგ ვამცირებთ მასშტაბს: 1 ერთეული = 1 უჯრედი (ნახატი მარჯვნივ). იშვიათად, მაგრამ ხდება ისე, რომ ნახატის მასშტაბი კიდევ უფრო უნდა შემცირდეს (ან გაიზარდოს).

არ დაწეროთ ავტომატიდან ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....რადგან კოორდინატთა სიბრტყე არ არის დეკარტის ძეგლი და სტუდენტი არ არის მტრედი. Ჩვენ ვდებთ ნულიდა ორი ერთეული ღერძების გასწვრივ. ხანდახან იმის მაგივრადერთეულები, მოსახერხებელია სხვა მნიშვნელობების „გამოვლენა“, მაგალითად, „ორი“ აბსცისის ღერძზე და „სამი“ ორდინატთა ღერძზე - და ეს სისტემა (0, 2 და 3) ასევე ცალსახად დააყენებს კოორდინატთა ბადეს.

ნახატის დახატამდე უკეთესია ნახატის სავარაუდო ზომების შეფასება.. მაგალითად, თუ დავალება მოითხოვს სამკუთხედის დახატვას წვეროებით , , მაშინ სრულიად გასაგებია, რომ პოპულარული მასშტაბი 1 ერთეული = 2 უჯრედი არ იმუშავებს. რატომ? მოდით შევხედოთ საკითხს - აქ თქვენ უნდა გაზომოთ თხუთმეტი სანტიმეტრი ქვემოთ და, ცხადია, ნახატი არ ჯდება (ან ძლივს ჯდება) ნოუთბუქის ფურცელზე. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვირჩევთ უფრო მცირე მასშტაბს 1 ერთეული = 1 უჯრედი.

სხვათა შორის, დაახლოებით სანტიმეტრი და ნოუთბუქის უჯრედები. მართალია, რომ 30 ბლოკნოტის უჯრედში 15 სანტიმეტრია? გაზომეთ რვეულში ინტერესისთვის 15 სანტიმეტრი სახაზავთან ერთად. სსრკ-ში, ალბათ, ეს ასეც იყო... საინტერესოა აღინიშნოს, რომ თუ თქვენ გაზომავთ იმავე სანტიმეტრებს ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად, მაშინ შედეგები (უჯრედებში) განსხვავებული იქნება! მკაცრად რომ ვთქვათ, თანამედროვე ნოუთბუქები არ არის ჩექმიანი, არამედ მართკუთხა. შეიძლება სისულელედ მოგეჩვენოთ, მაგრამ ასეთ სიტუაციებში, მაგალითად, კომპასით წრის დახატვა ძალიან მოუხერხებელია. მართალი გითხრათ, ასეთ მომენტებში იწყებ ფიქრს ამხანაგი სტალინის სისწორეზე, რომელიც გაგზავნეს ბანაკებში წარმოებაში ჰაკერული სამუშაოსთვის, რომ აღარაფერი ვთქვათ შიდა საავტომობილო ინდუსტრიაზე, თვითმფრინავების დაცემაზე ან ელექტროსადგურების აფეთქებაზე.

ხარისხზეა საუბარი, ან მოკლე რეკომენდაცია საკანცელარიო ნივთებზე. დღეისათვის გაყიდვაში რვეულების უმეტესობა, ცუდი სიტყვების გარეშე, სრული გობლინია. იმ მიზეზით, რომ ისინი სველდებიან და არა მხოლოდ გელის კალმებიდან, არამედ ბურთულიანი კალმებიდანაც! შეინახეთ ქაღალდზე. ტესტების დიზაინისთვის გირჩევთ გამოიყენოთ არხანგელსკის რბილობი და ქაღალდის წისქვილის რვეულები (18 ფურცელი, უჯრედი) ან პიატეროჩკა, თუმცა ეს უფრო ძვირია. მიზანშეწონილია აირჩიოთ გელის კალამი, ყველაზე იაფი ჩინური გელის შემავსებელიც კი ბევრად უკეთესია ბურთულიანი კალმისა, რომელიც ან ნაცხის ან ამსხვრევს ქაღალდს. ერთადერთი "კონკურენტული" ბურთულიანი კალამი ჩემს მეხსიერებაში არის ერიხ კრაუზე. ის წერს მკაფიოდ, ლამაზად და სტაბილურად - ან სავსე ფუძით, ან თითქმის ცარიელი.

დამატებით: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ხედვა ანალიტიკური გეომეტრიის თვალით განხილულია სტატიაში ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი, დეტალური ინფორმაცია კოორდინატთა კვარტლების შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ გაკვეთილის მეორე აბზაცში წრფივი უტოლობა.

3D ქეისი

აქაც თითქმის იგივეა.

1) ვხატავთ კოორდინატთა ღერძებს. სტანდარტული: აპლიკაციის ღერძი – მიმართული ზემოთ, ღერძი – მიმართული მარჯვნივ, ღერძი – ქვევით მარცხნივ მკაცრად 45 გრადუსიანი კუთხით.

2) ვაწერთ ცულებს.

3) დააყენეთ სასწორი ღერძების გასწვრივ. მასშტაბი ღერძის გასწვრივ - ორჯერ უფრო მცირე ვიდრე მასშტაბი სხვა ღერძების გასწვრივ. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ სწორ ნახაზში მე გამოვიყენე არასტანდარტული "სერიფი" ღერძის გასწვრივ (ეს შესაძლებლობა უკვე აღინიშნა ზემოთ). ჩემი გადმოსახედიდან, ეს უფრო ზუსტი, სწრაფი და ესთეტიურად სასიამოვნოა - თქვენ არ გჭირდებათ მიკროსკოპის ქვეშ მოძებნოთ უჯრედის შუა ნაწილი და „გამოძერწოთ“ ერთეული საწყისამდე.

როდესაც კვლავ აკეთებთ 3D ნახატს - უპირატესობა მიანიჭეთ მასშტაბებს
1 ერთეული = 2 უჯრედი (ნახაზი მარცხნივ).

რისთვის არის ყველა ეს წესი? წესები არსებობს იმისთვის, რომ დაირღვეს. რას ვაპირებ ახლა. ფაქტია, რომ სტატიის შემდგომ ნახატებს ჩემი დავასრულებ Excel-ში და კოორდინატთა ღერძები არასწორად გამოიყურება სათანადო დიზაინის თვალსაზრისით. მე შემეძლო ყველა გრაფიკის ხელით დახატვა, მაგრამ მათი დახატვა ნამდვილად საშინელებაა, რადგან Excel-ს არ სურს უფრო ზუსტად დახატოს ისინი.

ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და ძირითადი თვისებები

წრფივი ფუნქცია მოცემულია განტოლებით. ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკი არის პირდაპირი. სწორი ხაზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის ცოდნა.

მაგალითი 1

დახაზეთ ფუნქცია. მოდი ვიპოვოთ ორი წერტილი. ხელსაყრელია ნულის არჩევა ერთ-ერთ პუნქტად.

თუ, მაშინ

ჩვენ ვიღებთ სხვა პუნქტს, მაგალითად, 1.

თუ, მაშინ

დავალებების მომზადებისას, ქულების კოორდინატები ჩვეულებრივ შეჯამებულია ცხრილში:

და თავად მნიშვნელობები გამოითვლება ზეპირად ან მონახაზზე, კალკულატორზე.

ნაპოვნია ორი წერტილი, დავხატოთ:

ნახატის შედგენისას ყოველთვის ვაწერთ ხელს გრაფიკას.

ზედმეტი არ იქნება წრფივი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევების გახსენება:

დააკვირდით, როგორ დავდე წარწერები, ნახატის შესწავლისას ხელმოწერები არ უნდა იყოს ორაზროვანი. ამ შემთხვევაში, ძალზე არასასურველი იყო ხელმოწერის დადება ხაზების გადაკვეთის წერტილის გვერდით, ან ქვედა მარჯვენა კუთხეში გრაფიკებს შორის.

1) ფორმის წრფივ ფუნქციას () პირდაპირი პროპორციულობა ეწოდება. Მაგალითად, . პირდაპირი პროპორციულობის გრაფიკი ყოველთვის გადის საწყისზე. ამრიგად, სწორი ხაზის აგება გამარტივებულია - საკმარისია მხოლოდ ერთი წერტილის პოვნა.

2) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს, კერძოდ, განტოლებით მოცემულია თავად ღერძი. ფუნქციის გრაფიკი აგებულია დაუყოვნებლივ, წერტილების პოვნის გარეშე. ანუ, ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: "y ყოველთვის უდრის -4, x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის."

3) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს, კერძოდ, თავად ღერძი მოცემულია განტოლებით. ფუნქციის გრაფიკი ასევე აგებულია დაუყოვნებლივ. ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: "x ყოველთვის, y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, უდრის 1-ს."

ზოგი იკითხავს, ​​აბა, რატომ გახსოვს მე-6 კლასიო?! ასეა, შეიძლება ასეც იყოს, მხოლოდ პრაქტიკის წლების განმავლობაში შევხვდი ათეულ სტუდენტს, რომლებიც გაოგნებული იყვნენ გრაფიკის მსგავსი ან .

სწორი ხაზის დახატვა ყველაზე გავრცელებული მოქმედებაა ნახატების გაკეთებისას.

სწორი ხაზი დეტალურად განიხილება ანალიტიკური გეომეტრიის კურსში და მსურველებს შეუძლიათ მიმართონ სტატიას სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი, კუბური ფუნქციის გრაფიკი, პოლინომიური გრაფიკი

პარაბოლა. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი () არის პარაბოლა. განვიხილოთ ცნობილი შემთხვევა:

გავიხსენოთ ფუნქციის ზოგიერთი თვისება.

ასე რომ, ჩვენი განტოლების ამონახსნი: - სწორედ ამ წერტილში მდებარეობს პარაბოლის წვერო. რატომ არის ეს ასე, შეიძლება გავიგოთ წარმოებულის თეორიული სტატიიდან და ფუნქციის ექსტრემის შესახებ გაკვეთილიდან. იმავდროულად, ჩვენ ვიანგარიშებთ "y"-ის შესაბამის მნიშვნელობას:

ასე რომ, წვერო არის წერტილში

ახლა ჩვენ ვპოულობთ სხვა წერტილებს პარაბოლის სიმეტრიის თავხედურად გამოყენებისას. უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქცია – არც კი არის, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ გააუქმა პარაბოლას სიმეტრია.

რა მიზნით ვიპოვოთ დარჩენილი ქულები, ვფიქრობ, საბოლოო ცხრილიდან გაირკვევა:

ამ კონსტრუქციულ ალგორითმს ფიგურალურად შეიძლება ვუწოდოთ „შატლი“ ან „წინ და უკან“ პრინციპი ანფისა ჩეხოვასთან.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

განხილული გრაფიკებიდან მახსენდება კიდევ ერთი სასარგებლო თვისება:

კვადრატული ფუნქციისთვის () მართალია შემდეგი:

თუ , მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.

თუ , მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით.

მრუდის სიღრმისეული ცოდნა შეიძლება მივიღოთ გაკვეთილზე ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

კუბური პარაბოლა მოცემულია ფუნქციით. აქ არის სკოლიდან ნაცნობი ნახატი:

ჩვენ ჩამოვთვლით ფუნქციის ძირითად თვისებებს

ფუნქციის გრაფიკი

იგი წარმოადგენს პარაბოლას ერთ-ერთ ტოტს. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ამ შემთხვევაში, ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ჰიპერბოლის გრაფიკისთვის ზე.

დიდი შეცდომა იქნება, თუ ნახაზის შედგენისას, დაუდევრობით, ნებას დართავთ გრაფიკს გადაკვეთოს ასიმპტოტთან.

ასევე ცალმხრივი საზღვრები, გვითხარით, რომ ჰიპერბოლა არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან.

მოდით გამოვიკვლიოთ ფუნქცია უსასრულობაში: ანუ, თუ ღერძის გასწვრივ დავიწყებთ მოძრაობას მარცხნივ (ან მარჯვნივ) უსასრულობამდე, მაშინ "თამაშები" იქნება წვრილი ნაბიჯი. უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით ნულს და, შესაბამისად, ჰიპერბოლის ტოტებს უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით ღერძს.

ასე რომ, ღერძი არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ფუნქციის გრაფიკისთვის, თუ "x" მიდრეკილია პლუს-მინუს უსასრულობისკენ.

ფუნქცია არის კენტი, რაც ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლა სიმეტრიულია საწყისის მიმართ. ეს ფაქტი აშკარაა ნახაზიდან, გარდა ამისა, მისი ადვილად გადამოწმება შესაძლებელია ანალიტიკურად: .

() ფორმის ფუნქციის გრაფიკი წარმოადგენს ჰიპერბოლის ორ ტოტს.

თუ , მაშინ ჰიპერბოლა მდებარეობს პირველ და მესამე კოორდინატთა კვადრატში(იხ. სურათი ზემოთ).

თუ , მაშინ ჰიპერბოლა მდებარეობს მეორე და მეოთხე კოორდინატთა კვადრატში.

არ არის რთული ჰიპერბოლის საცხოვრებელი ადგილის განსაზღვრული კანონზომიერების ანალიზი გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნების თვალსაზრისით.

მაგალითი 3

ააგეთ ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტი

ჩვენ ვიყენებთ წერტილოვანი კონსტრუქციის მეთოდს, ხოლო ხელსაყრელია მნიშვნელობების შერჩევა ისე, რომ ისინი მთლიანად იყოფა:

მოდით დავხატოთ ნახატი:

ჰიპერბოლის მარცხენა განშტოების აგება რთული არ იქნება, აქ ფუნქციის უცნაურობა უბრალოდ დაგეხმარებათ. უხეშად რომ ვთქვათ, წერტილოვანი კონსტრუქციის ცხრილში გონებრივად დაუმატეთ თითოეულ რიცხვს მინუსი, ჩასვით შესაბამისი წერტილები და დახაზეთ მეორე ტოტი.

დეტალური გეომეტრიული ინფორმაცია განხილული ხაზის შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

ამ პარაგრაფში, მე დაუყოვნებლივ განვიხილავ ექსპონენციალურ ფუნქციას, რადგან უმაღლესი მათემატიკის ამოცანებში 95% შემთხვევაში ეს არის ექსპონენტი.

შეგახსენებთ, რომ - ეს არის ირაციონალური რიცხვი: , ეს საჭირო იქნება გრაფიკის აგებისას, რომელსაც, ფაქტობრივად, ცერემონიის გარეშე ავაშენებ. სამი ქულა ალბათ საკმარისია:

მოდით, ფუნქციის გრაფიკი მარტო დავტოვოთ, ამის შესახებ მოგვიანებით.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

პრინციპში, ფუნქციების გრაფიკები ერთნაირად გამოიყურება და ა.შ.

უნდა ითქვას, რომ მეორე შემთხვევა პრაქტიკაში ნაკლებად გავრცელებულია, მაგრამ ხდება, ამიტომ საჭიროდ მივიჩნიე ამ სტატიაში მისი ჩართვა.

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი

განვიხილოთ ფუნქცია ბუნებრივი ლოგარითმით.
მოდით გავაკეთოთ ხაზის ნახაზი:

თუ დაგავიწყდათ რა არის ლოგარითმი, მიმართეთ სასკოლო სახელმძღვანელოებს.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

დომენი:

მნიშვნელობების დიაპაზონი: .

ფუნქცია არ არის შეზღუდული ზემოდან: თუმცა ნელა, მაგრამ ლოგარითმის განშტოება უსასრულობამდე მიდის.
მოდით განვიხილოთ ფუნქციის ქცევა ნულთან ახლოს მარჯვნივ: . ასე რომ, ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ფუნქციის გრაფიკისთვის, რომელსაც აქვს "x" ნულისკენ მარჯვნივ.

დარწმუნდით, რომ იცოდეთ და გახსოვდეთ ლოგარითმის ტიპიური მნიშვნელობა: .

ფუნდამენტურად, ლოგარითმის დიაგრამა ფუძეზე ერთნაირად გამოიყურება: , , (ათწილადი ლოგარითმი 10-მდე) და ა.შ. ამავდროულად, რაც უფრო დიდია ბაზა, მით უფრო ბრტყელი იქნება სქემა.

ჩვენ არ განვიხილავთ საქმეს, რაც არ მახსოვს, ბოლოს როდის ავაშენე გრაფიკი ასეთი საფუძვლით. დიახ, და ლოგარითმი, როგორც ჩანს, ძალიან იშვიათი სტუმარია უმაღლესი მათემატიკის ამოცანებში.

აბზაცის დასასრულს კიდევ ერთ ფაქტს გეტყვით: ექსპონენციალური ფუნქცია და ლოგარითმული ფუნქციაარის ორი ურთიერთშებრუნებული ფუნქცია. თუ ყურადღებით დააკვირდებით ლოგარითმის გრაფიკს, ხედავთ, რომ ეს არის იგივე მაჩვენებელი, უბრალოდ ის მდებარეობს ოდნავ განსხვავებულად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები

როგორ იწყება ტრიგონომეტრიული ტანჯვა სკოლაში? სწორად. სინუსიდან

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

ამ ხაზს ე.წ სინუსოიდი.

შეგახსენებთ, რომ "პი" არის ირაციონალური რიცხვი: და ტრიგონომეტრიაში ის თვალებში ანათებს.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ეს ფუნქცია არის პერიოდულიპერიოდით. Რას ნიშნავს? მოდით შევხედოთ ჭრილს. მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ, გრაფიკის ზუსტად ერთი და იგივე ნაწილი უსასრულოდ მეორდება.

დომენი: , ანუ "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის არის სინუსური მნიშვნელობა.

მნიშვნელობების დიაპაზონი: . ფუნქცია არის შეზღუდული: ანუ, ყველა "თამაში" მკაცრად ზის სეგმენტში.
ეს არ ხდება: ან, უფრო ზუსტად, ხდება, მაგრამ ამ განტოლებებს გამოსავალი არ აქვთ.

ფუნქცია არის კორესპონდენცია ორი სიმრავლის ელემენტებს შორის, დადგენილი ასეთი წესით, რომ ერთი სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება სხვა სიმრავლის ზოგიერთ ელემენტთან.

ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლის აბსცისი (x) და ორდინატები (y) დაკავშირებულია მითითებული ფუნქციით:

წერტილი მდებარეობს (ან მდებარეობს) ფუნქციის გრაფიკზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ .

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება ადეკვატურად იყოს აღწერილი მისი გრაფიკით.

ცხრილის გზა. საკმაოდ გავრცელებულია, ის შედგება ცალკეული არგუმენტების მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის დაყენებაში. ფუნქციის განსაზღვრის ეს მეთოდი გამოიყენება, როდესაც ფუნქციის დომენი არის დისკრეტული სასრული ნაკრები.

ფუნქციის მითითების ტაბულური მეთოდით, შესაძლებელია დაახლოებით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის მოცემული ცხრილში, არგუმენტის შუალედური მნიშვნელობების შესაბამისი. ამისათვის გამოიყენეთ ინტერპოლაციის მეთოდი.

ფუნქციის მითითების ცხრილური ხერხის უპირატესობები ისაა, რომ შესაძლებელს ხდის გარკვეული კონკრეტული მნიშვნელობების ერთდროულად განსაზღვრას, დამატებითი გაზომვებისა და გამოთვლების გარეშე. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, ცხრილი არ განსაზღვრავს ფუნქციას მთლიანად, არამედ მხოლოდ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და არ იძლევა ფუნქციის ცვლილების ბუნების ვიზუალურ წარმოდგენას, რაც დამოკიდებულია არგუმენტის ცვლილებაზე.

გრაფიკული გზა. y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას.

ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული გზა ყოველთვის არ იძლევა არგუმენტის რიცხვითი მნიშვნელობების ზუსტად განსაზღვრას. თუმცა მას სხვა მეთოდებთან შედარებით დიდი უპირატესობა აქვს – ხილვადობა. ინჟინერიასა და ფიზიკაში ხშირად გამოიყენება ფუნქციის დაყენების გრაფიკული მეთოდი და ამისთვის ერთადერთი ხელმისაწვდომი გზაა გრაფიკი.

იმისათვის, რომ ფუნქციის გრაფიკული მინიჭება მათემატიკური თვალსაზრისით საკმაოდ სწორი იყოს, საჭიროა მიეთითოს გრაფიკის ზუსტი გეომეტრიული აგებულება, რომელიც, ყველაზე ხშირად, მოცემულია განტოლებით. ეს იწვევს ფუნქციის განსაზღვრის შემდეგ გზას.

ანალიტიკური გზა. ყველაზე ხშირად, კანონი, რომელიც აყალიბებს ურთიერთობას არგუმენტსა და ფუნქციას შორის, მითითებულია ფორმულების საშუალებით. ფუნქციის განსაზღვრის ამ ხერხს ანალიტიკური ეწოდება.

ეს მეთოდი შესაძლებელს ხდის x არგუმენტის თითოეულ ციფრულ მნიშვნელობას ზუსტად ან გარკვეული სიზუსტით იპოვნოს y ფუნქციის შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობა.

თუ x-სა და y-ს შორის კავშირი მოცემულია ფორმულით, რომელიც გადაწყვეტილია y-ის მიმართ, ე.ი. აქვს y = f(x) ფორმა, მაშინ ვამბობთ, რომ x-ის ფუნქცია მოცემულია ცალსახად.

თუ x და y მნიშვნელობები დაკავშირებულია F(x,y) = 0 ფორმის რაიმე განტოლებით, ე.ი. ფორმულა დაუშვებელია y-სთან მიმართებაში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = f(x) ირიბად არის განსაზღვრული.

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა ფორმულებით მისი ამოცანების არეალის სხვადასხვა ნაწილში.

ანალიტიკური მეთოდი ფუნქციების განსაზღვრის ყველაზე გავრცელებული გზაა. კომპაქტურობა, ლაკონურობა, არგუმენტის თვითნებური მნიშვნელობისთვის ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლის უნარი განსაზღვრების სფეროდან, მათემატიკური ანალიზის აპარატის მოცემულ ფუნქციაზე გამოყენების შესაძლებლობა არის განსაზღვრის ანალიტიკური მეთოდის მთავარი უპირატესობა. ფუნქცია. ნაკლოვანებები მოიცავს ხილვადობის ნაკლებობას, რაც კომპენსირდება გრაფიკის აგების შესაძლებლობით და ზოგჯერ ძალიან რთული გამოთვლების შესრულების საჭიროებით.

სიტყვიერი გზა. ეს მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ ფუნქციური დამოკიდებულება გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითი 1: ფუნქცია E(x) არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ზოგადად, E(x) = [x] აღნიშნავს უდიდეს მთელ რიცხვს, რომელიც არ აღემატება x-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ x = r + q, სადაც r არის მთელი რიცხვი (შეიძლება იყოს უარყოფითი) და q ეკუთვნის = r ინტერვალს. ფუნქცია E(x) = [x] მუდმივია = r ინტერვალზე.

მაგალითი 2: ფუნქცია y = (x) - რიცხვის წილადი ნაწილი. უფრო ზუსტად, y =(x) = x - [x], სადაც [x] არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x-ისთვის. თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ წარმოვადგენთ მას როგორც x = r + q (r = [x]), სადაც r არის მთელი რიცხვი და q დევს ინტერვალში.
ჩვენ ვხედავთ, რომ x არგუმენტზე n-ის დამატება არ ცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას.
n-ში ყველაზე პატარა არანულოვანი რიცხვი არის , შესაბამისად პერიოდი არის sin 2x .

გამოძახებულია არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის ფუნქცია 0-ის ტოლია ნული (ფესვი) ფუნქციები.

ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ნული.

მაგალითად, ფუნქცია y=x(x+1)(x-3)აქვს სამი ნული: x=0, x=-1, x=3.

გეომეტრიულად, ფუნქციის ნული არის ფუნქციის გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის აბსციზა. X .

7-ზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი ნულებით: x = a, x = b და x = c.

თუ ფუნქციის გრაფიკი უახლოვდება გარკვეულ სწორ ხაზს განუსაზღვრელი ვადით, რადგან ის შორდება საწყისს, მაშინ ეს სწორი ხაზი ე.წ. ასიმპტოტი.

ინვერსიული ფუნქცია

დაე, ფუნქცია y=ƒ(x) იყოს მოცემული D განსაზღვრის დომენით და მნიშვნელობების სიმრავლით E. თუ თითოეული მნიშვნელობა yєE შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას xєD, მაშინ ფუნქცია x=φ(y) განისაზღვრება E განსაზღვრების დომენი და D მნიშვნელობების სიმრავლე (იხ. სურ. 102).

ასეთ ფუნქციას φ(y) ეწოდება ƒ(x) ფუნქციის შებრუნებული და იწერება შემდეგი სახით: x=j(y)=f -1 (y) ფუნქციების შესახებ y=ƒ(x) და. x=φ(y) ისინი ამბობენ, რომ ისინი ურთიერთშებრუნებულია. x=φ(y) ფუნქციის y=ƒ(x) შებრუნებული ფუნქციის საპოვნელად საკმარისია ƒ(x)=y განტოლების ამოხსნა x-ის მიმართ (თუ შესაძლებელია).

1. y \u003d 2x ფუნქციისთვის, შებრუნებული ფუნქცია არის ფუნქცია x \u003d y / 2;

2. y \u003d x2 xє ფუნქციისთვის შებრუნებული ფუნქციაა x \u003d √y; გაითვალისწინეთ, რომ y \u003d x 2 ფუნქციისთვის, მოცემული სეგმენტზე [-1; 1], არ არსებობს ინვერსიული, რადგან y-ის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება x-ის ორ მნიშვნელობას (მაგალითად, თუ y=1/4, მაშინ x1=1/2, x2=-1/2).

შებრუნებული ფუნქციის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ y=ƒ(x) ფუნქციას აქვს შებრუნებული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ფუნქცია ƒ(x) განსაზღვრავს ერთერთ შესაბამისობას D და E სიმრავლებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი მკაცრად მონოტონურ ფუნქციას აქვს შებრუნებული. უფრო მეტიც, თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება), მაშინ ინვერსიული ფუნქციაც იზრდება (მცირდება).

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია y \u003d ƒ (x) და მისი შებრუნებული x \u003d φ (y) გამოსახულია იგივე მრუდით, ანუ მათი გრაფიკები ემთხვევა. თუ შევთანხმდებით, რომ, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი ცვლადი (ანუ არგუმენტი) აღინიშნება x-ით, ხოლო დამოკიდებული ცვლადი y-ით, მაშინ y \u003d ƒ (x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია დაიწერება როგორც y \u003d. φ (x).

ეს ნიშნავს, რომ y=ƒ(x) მრუდის წერტილი M 1 (x o; y o) ხდება y=φ(x) მრუდის M 2 (y o; x o) წერტილი. მაგრამ M 1 და M 2 წერტილები სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ y \u003d x (იხ. სურ. 103). მაშასადამე, y=ƒ(x) და y=φ(x) ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია პირველი და მესამე კოორდინატთა კუთხის ბისექტრის მიმართ.

კომპლექსური ფუნქცია

y=ƒ(u) ფუნქცია განისაზღვროს D სიმრავლეზე, ფუნქცია u= φ(x) D 1 სიმრავლეზე, ხოლო  x D 1-სთვის შესაბამისი მნიშვნელობა u=φ(x) є D. შემდეგ D 1 სიმრავლეზე განისაზღვრება ფუნქცია u=ƒ(φ(x)), რომელსაც ეწოდება x-ის რთული ფუნქცია (ან მოცემული ფუნქციების სუპერპოზიცია, ან ფუნქციის ფუნქცია).

ცვლადს u=φ(x) ეწოდება რთული ფუნქციის შუალედური არგუმენტი.

მაგალითად, ფუნქცია y=sin2x არის ორი ფუნქციის y=sinu და u=2x ზედებულება. კომპლექსურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი შუალედური არგუმენტი.

4. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები და მათი გრაფიკები.

შემდეგ ფუნქციებს ეწოდება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები.

1) ექსპონენციალური ფუნქცია y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. ნახ. 104 გვიჩვენებს სხვადასხვა ექსპონენციური ფუძის შესაბამისი ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს.

2) სიმძლავრის ფუნქცია y=x α , αєR. სხვადასხვა მაჩვენებლების შესაბამისი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები მოცემულია ფიგურებში

3) ლოგარითმული ფუნქცია y=log a x, a>0,a≠1; სხვადასხვა ფუძის შესაბამისი ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 106.

4) ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ ნახ. 107.

5) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. ნახ. 108 გვიჩვენებს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს.

ერთი ფორმულით მოცემულ ფუნქციას, რომელიც შედგება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებისა და მუდმივებისგან, სასრული რაოდენობის არითმეტიკული მოქმედებების (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) და ფუნქციიდან ფუნქციის აღების ოპერაციების გამოყენებით, ელემენტარული ფუნქცია ეწოდება.

ელემენტარული ფუნქციების მაგალითებია ფუნქციები

არა ელემენტარული ფუნქციების მაგალითებია ფუნქციები

5. მიმდევრობისა და ფუნქციის ზღვრის ცნებები. თვისებების შეზღუდვა.

ფუნქციის ლიმიტი (ფუნქციის ლიმიტი) მოცემულ წერტილში, ფუნქციის განსაზღვრის დომენის შეზღუდვა, არის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისკენაც განხილული ფუნქციის მნიშვნელობა მიისწრაფვის, როდესაც მისი არგუმენტი მიდრეკილია მოცემულ წერტილამდე.

მათემატიკაში თანმიმდევრობის ლიმიტიმეტრული სივრცის ელემენტები ან ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტები არის იგივე სივრცის ელემენტი, რომელსაც აქვს მოცემული მიმდევრობის ელემენტების „მიზიდვის“ თვისება. ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტების მიმდევრობის ზღვარი არის ისეთი წერტილი, რომლის ყოველი სამეზობლო შეიცავს მიმდევრობის ყველა ელემენტს, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან. მეტრულ სივრცეში სამეზობლოები განისაზღვრება მანძილის ფუნქციის მიხედვით, ამიტომ ლიმიტის ცნება ჩამოყალიბებულია მანძილების ენაზე. ისტორიულად, პირველი იყო რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის კონცეფცია, რომელიც წარმოიქმნება მათემატიკური ანალიზში, სადაც ის ემსახურება მიახლოებების სისტემის საფუძველს და ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების აგებაში.

Დანიშნულება:

(წაიკითხე: x-n-ე მიმდევრობის ზღვარი, როგორც en მიდრეკილია უსასრულობისკენ არის a)

მიმდევრობის თვისებას, რომ ჰქონდეს ზღვარი, ეწოდება კონვერგენცია: თუ მიმდევრობას აქვს ზღვარი, მაშინ მოცემული მიმდევრობა არის ნათქვამი იყრის თავს; წინააღმდეგ შემთხვევაში (თუ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს) მიმდევრობას ამბობენ განსხვავდება. ჰაუსდორფის სივრცეში და, კერძოდ, მეტრულ სივრცეში, კონვერგენტული მიმდევრობის ყოველი ქვემიმდევრობა იყრის თავს და მისი ზღვარი იგივეა, რაც თავდაპირველი მიმდევრობის ლიმიტი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჰაუსდორფის სივრცეში ელემენტების თანმიმდევრობას არ შეიძლება ჰქონდეს ორი განსხვავებული ზღვარი. თუმცა შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს, მაგრამ არის ქვემიმდევრობა (მოცემული მიმდევრობის) რომელსაც აქვს ზღვარი. თუ წერტილების რომელიმე მიმდევრობას სივრცეში აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა, მაშინ მოცემულ სივრცეს ამბობენ, რომ აქვს თანმიმდევრული კომპაქტურობის თვისება (ან, უბრალოდ, კომპაქტურობა, თუ კომპაქტურობა განისაზღვრება მხოლოდ მიმდევრობით).

მიმდევრობის ზღვრის ცნება პირდაპირ კავშირშია ზღვრული წერტილის (სიმრავლის) ცნებასთან: თუ სიმრავლეს აქვს ზღვრული წერტილი, მაშინ არის მოცემული სიმრავლის ელემენტების თანმიმდევრობა, რომლებიც იყრიან მოცემულ წერტილს.

განმარტება

მიეცით ტოპოლოგიური სივრცე და მიმდევრობა მაშინ, თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომელიც

სადაც არის ღია სიმრავლე, რომელიც შეიცავს , მაშინ მას უწოდებენ მიმდევრობის ლიმიტს. თუ სივრცე მეტრულია, მაშინ ლიმიტი შეიძლება განისაზღვროს მეტრიკის გამოყენებით: თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომელიც

სად არის მეტრიკა, მაშინ ეწოდება ლიმიტი.

· თუ სივრცე აღჭურვილია ანტიდისკრეტული ტოპოლოგიით, მაშინ ნებისმიერი მიმდევრობის ზღვარი არის სივრცის ნებისმიერი ელემენტი.

6. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. ცალმხრივი საზღვრები.

ერთი ცვლადის ფუნქცია. ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა წერტილში კოშის მიხედვით.ნომერი ბფუნქციის ზღვარი ეწოდება ზე = ვ(x) ზე Xსწრაფვა ა(ან წერტილში ა) თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის  არის დადებითი რიცხვი  ისეთი, რომ ყველა x ≠ a, ისეთი, რომ | x – ა | < , выполняется неравенство
| ვ(x) – ა | <  .

ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა წერტილში ჰეინეს მიხედვით.ნომერი ბფუნქციის ზღვარი ეწოდება ზე = ვ(x) ზე Xსწრაფვა ა(ან წერტილში ა) თუ რაიმე თანმიმდევრობისთვის ( xო ) თანხვედრა ა(მიისწრაფვის ა, რომელსაც აქვს ლიმიტის ნომერი ა), და ნებისმიერი ღირებულებისთვის n x n≠ ა, შემდგომი ( წ n= ვ(xო)) თანხვედრა ბ.

ეს განმარტებები ვარაუდობენ, რომ ფუნქცია ზე = ვ(x) განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მიდამოში ა, გარდა, ალბათ, მთავარი ა.

ფუნქციის ზღვრის განმარტებები წერტილში კოშისა და ჰაინის მიხედვით ეკვივალენტურია: თუ რიცხვი ბერთ-ერთ მათგანში ლიმიტია, მეორეშიც იგივეა.

მითითებული ლიმიტი მითითებულია შემდეგნაირად:

გეომეტრიულად, ფუნქციის ლიმიტის არსებობა წერტილში კოშის მიხედვით ნიშნავს, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის  > 0, ასეთი მართკუთხედი შეიძლება მიეთითოს კოორდინატულ სიბრტყეზე ფუძით 2 > 0, სიმაღლე 2 და ცენტრი. წერტილში ( ა; ბ) რომ ამ ფუნქციის გრაფიკის ყველა წერტილი ინტერვალზე ( ა– ; ა+ ), წერტილის შესაძლო გამონაკლისის გარდა მ(ა; ვ(ა)), დაწექი ამ მართკუთხედში

ცალმხრივი ლიმიტიმათემატიკური ანალიზისას, რიცხვითი ფუნქციის ზღვარი, რაც გულისხმობს ზღვრულ წერტილს ერთი მხრიდან „მიახლოებას“. ასეთ ლიმიტებს შესაბამისად უწოდებენ მარცხენა ლიმიტი(ან მარცხენა ლიმიტი) და მარჯვენა ლიმიტი (ლიმიტი მარჯვნივ). მოდით, რიცხვითი ფუნქცია იყოს მოცემული რომელიმე რიცხვით სიმრავლეზე და რიცხვი იყოს განსაზღვრების დომენის ზღვრული წერტილი. არსებობს სხვადასხვა განმარტებები ფუნქციის ცალმხრივი საზღვრებისთვის წერტილში, მაგრამ ისინი ყველა ექვივალენტურია.

ეროვნული კვლევითი უნივერსიტეტი

გამოყენებითი გეოლოგიის დეპარტამენტი

ნარკვევი უმაღლესი მათემატიკის შესახებ

თემაზე: "ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები,

მათი თვისებები და გრაფიკები"

დასრულებული:

შემოწმებულია:

მასწავლებელი

განმარტება. y=a x ფორმულით მოცემულ ფუნქციას (სადაც a>0, a≠1) ეწოდება ექსპონენციალური ფუნქცია a ფუძით.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1. განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე (R).

2. მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის ნაკრები (R+).

3. როდესაც a > 1, ფუნქცია იზრდება მთელ რეალურ ხაზზე; 0-ზე<а<1 функция убывает.

4. არის ზოგადი ფუნქცია.

, xn ინტერვალზე [-3;3]
, xn ინტერვალზე [-3;3]

y(х)=х n ფორმის ფუნქციას, სადაც n არის რიცხვი ОR, ეწოდება სიმძლავრის ფუნქცია. რიცხვმა n შეიძლება მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობა: როგორც მთელი, ასევე წილადი, ლუწიც და კენტიც. ამის მიხედვით, დენის ფუნქციას განსხვავებული ფორმა ექნება. განვიხილოთ სპეციალური შემთხვევები, რომლებიც დენის ფუნქციებია და ასახავს ამ ტიპის მრუდების ძირითად თვისებებს შემდეგი თანმიმდევრობით: სიმძლავრის ფუნქცია y \u003d x² (ფუნქცია ლუწი მაჩვენებლით - პარაბოლა), სიმძლავრის ფუნქცია y \u003d x³ (ფუნქცია კენტი მაჩვენებლით - კუბური პარაბოლა) და ფუნქცია y \u003d √ x (x ½ ხარისხზე) (ფუნქცია წილადის მაჩვენებლით), ფუნქცია უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (ჰიპერბოლა).

დენის ფუნქცია y=x²

1. D(x)=R – ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ღერძზე;

2. E(y)= და იზრდება ინტერვალზე

დენის ფუნქცია y=x³

1. y \u003d x³ ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება კუბური პარაბოლა. სიმძლავრის ფუნქციას y=x³ აქვს შემდეგი თვისებები:

2. D(x)=R – ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ღერძზე;

3. E(y)=(-∞;∞) – ფუნქცია იღებს ყველა მნიშვნელობას მისი განმარტების დომენში;

4. როცა x=0 y=0 – ფუნქცია გადის საწყისში O(0;0).

5. ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

6. ფუნქცია კენტია (სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ).

, xn ინტერვალზე [-3;3]

x³-ის წინ რიცხვითი კოეფიციენტიდან გამომდინარე, ფუნქცია შეიძლება იყოს ციცაბო / ბრტყელი და გაზრდა / შემცირება.

დენის ფუნქცია მთელი უარყოფითი მაჩვენებლით:

თუ მაჩვენებელი n კენტია, მაშინ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება. დენის ფუნქციას უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით აქვს შემდეგი თვისებები:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) ნებისმიერი n-ისთვის;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) თუ n კენტი რიცხვია; E(y)=(0;∞) თუ n არის ლუწი რიცხვი;

3. ფუნქცია მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე, თუ n კენტი რიცხვია; ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე (-∞;0) და მცირდება ინტერვალზე (0;∞), თუ n ლუწი რიცხვია.

4. ფუნქცია კენტია (სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ), თუ n კენტი რიცხვია; ფუნქცია არის ლუწი, თუ n არის ლუწი რიცხვი.

5. ფუნქცია გადის (1;1) და (-1;-1) წერტილებს, თუ n კენტი რიცხვია და (1;1) და (-1;1) წერტილებს, თუ n ლუწი რიცხვია.

, xn ინტერვალზე [-3;3]

სიმძლავრის ფუნქცია წილადის მაჩვენებლით

ძალის ფუნქციას ფორმის წილადი მაჩვენებლით (სურათი) აქვს ნახატზე ნაჩვენები ფუნქციის გრაფიკი. სიმძლავრის ფუნქციას წილადის მაჩვენებლით აქვს შემდეგი თვისებები: (სურათი)

1. D(x) нR თუ n კენტი რიცხვია და D(x)=
, ინტერვალზე xн
, xn ინტერვალზე [-3;3]

ლოგარითმული ფუნქცია y \u003d log a x აქვს შემდეგი თვისებები:

1. განმარტების დომენი D(x)н (0; + ∞).

2. მნიშვნელობების დიაპაზონი E(y) О (- ∞; + ∞)

3. ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი (ზოგადი).

4. ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე (0; + ∞) a > 1-ისთვის, მცირდება (0; + ∞) 0-ზე< а < 1.

y = log a x ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ y = a x ფუნქციის გრაფიკიდან y = x წრფის სიმეტრიის ტრანსფორმაციის გამოყენებით. სურათზე 9 გამოსახულია ლოგარითმული ფუნქციის დიაგრამა a > 1-ისთვის, ხოლო 10-ზე - 0-ზე.< a < 1.

; xО ინტერვალზე
; xО ინტერვალზე

y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს უწოდებენ.

y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x კენტია, ხოლო ფუნქცია y \u003d cos x ლუწია.

ფუნქცია y \u003d sin (x).

1. განმარტების დომენი D(x) ОR.

2. მნიშვნელობების დიაპაზონი E(y) О [ - 1; ერთი].

3. ფუნქცია პერიოდულია; ძირითადი პერიოდია 2π.

4. ფუნქცია კენტია.

5. ფუნქცია იზრდება ინტერვალებზე [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] და მცირდება [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y \u003d sin (x) ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 11.