სტატიის შინაარსი

კონუსური სექციები,სიბრტყე მრუდები, რომლებიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსის გადაკვეთით სიბრტყეზე, რომელიც არ გადის მის ზედა ნაწილში (სურ. 1). ანალიტიკური გეომეტრიის თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთი არის წერტილების ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე რიგის განტოლებას. ბოლო ნაწილში განხილული დეგენერაციული შემთხვევების გარდა, კონუსური მონაკვეთები არის ელიფსები, ჰიპერბოლები ან პარაბოლები.

კონუსური სექციები ხშირად გვხვდება ბუნებაში და ტექნოლოგიაში. მაგალითად, მზის გარშემო მოძრავი პლანეტების ორბიტები ელიფსებია. წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელშიც მთავარი ღერძი უდრის მცირეს. პარაბოლურ სარკეს აქვს თვისება, რომ მისი ღერძის პარალელურად ყველა შემხვედრი სხივი ერთ წერტილში (ფოკუსირება) იყრის თავს. იგი გამოიყენება უმეტეს ამრეკლ ტელესკოპებში პარაბოლური სარკეების გამოყენებით, ასევე რადარის ანტენებში და სპეციალურ მიკროფონებში პარაბოლური რეფლექტორებით. პარაბოლური სხივების სხივი გამოდის პარაბოლური რეფლექტორის ფოკუსში მოთავსებული სინათლის წყაროდან. ამიტომ, პარაბოლური სარკეები გამოიყენება მძლავრ პროჟექტორებში და მანქანის ფარებში. ჰიპერბოლა არის მრავალი მნიშვნელოვანი ფიზიკური ურთიერთობის გრაფიკი, როგორიცაა ბოილის კანონი (რომელიც აკავშირებს იდეალური გაზის წნევასა და მოცულობას) და ომის კანონი, რომელიც განსაზღვრავს ელექტრულ დენს, როგორც მუდმივი ძაბვის წინააღმდეგობის ფუნქციას.

ადრეული ისტორია

კონუსური მონაკვეთების აღმომჩენი, სავარაუდოდ, მენეხმუსი (ძვ. წ. IV ს.), პლატონის მოწაფე და ალექსანდრე მაკედონელის მასწავლებელია. მენექმუსმა გამოიყენა პარაბოლა და ტოლფერდა ჰიპერბოლა კუბის გაორმაგების პრობლემის გადასაჭრელად.

არისტაოსისა და ევკლიდეს მიერ IV საუკუნის ბოლოს დაწერილი ტრაქტატები კონუსურ მონაკვეთებზე. ძვ.წ, დაიკარგა, მაგრამ მათგან მასალები შეიტანეს ცნობილში კონუსური სექციებიაპოლონიუს პერგაელი (დაახლ. ძვ. წ. 260-170 წწ.), რომლებიც ჩვენს დრომდეა მოღწეული. აპოლონიუსმა მიატოვა მოთხოვნა, რომ კონუსის გენერატრიქსის სეკანტური სიბრტყე იყოს პერპენდიკულარული და, მისი დახრილობის კუთხის ცვლილებით, მიიღო ყველა კონუსური მონაკვეთი ერთი წრიული კონუსისგან, სწორი ან დახრილი. ჩვენ ასევე გვმართებს აპოლონიუსს მრუდების თანამედროვე სახელები - ელიფსი, პარაბოლა და ჰიპერბოლა.

თავის კონსტრუქციებში აპოლონიუსმა გამოიყენა ორფურცლიანი წრიული კონუსი (როგორც ნახ. 1-ში), ასე რომ, პირველად გაირკვა, რომ ჰიპერბოლა არის მრუდი ორი განშტოებით. აპოლონიუსის დროიდან მოყოლებული, კონუსური მონაკვეთები იყოფა სამ ტიპად, რაც დამოკიდებულია ჭრის სიბრტყის დახრილობაზე კონუსის გენერატრიქსზე. ელიფსი (ნახ. 1, ა) წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ყველა გენერატრიქსს მისი ერთ-ერთი ღრუს წერტილში; პარაბოლა (ნახ. 1, ბ) - როდესაც ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი ტანგენტური სიბრტყის პარალელურად; ჰიპერბოლა (ნახ. 1, in) - როცა საჭრელი სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე ღრუს.

კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა

კონუსური მონაკვეთების, როგორც სიბრტყეების და კონუსების გადაკვეთის შესწავლისას, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები მათ ასევე განიხილავდნენ, როგორც სიბრტყეზე წერტილების ტრაექტორიებს. აღმოჩნდა, რომ ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წერტილების ლოკუსი, მანძილების ჯამი, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია; პარაბოლა - როგორც მოცემული წერტილიდან და მოცემული წრფედან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი; ჰიპერბოლა - როგორც წერტილების ლოკუსი, დისტანციების სხვაობა, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია.

კონუსური მონაკვეთების ეს განმარტებები, როგორც სიბრტყე მრუდები, ასევე გვთავაზობს მათი აგების გზას დაჭიმული ძაფის გამოყენებით.

ელიფსი.

თუ მოცემული სიგრძის ძაფის ბოლოები ფიქსირდება წერტილებზე ფ 1 და ფ 2 (ნახ. 2), შემდეგ მჭიდროდ დაჭიმული ძაფის გასწვრივ მცურავი ფანქრის წვერით აღწერილ მრუდს აქვს ელიფსის ფორმა. ქულები ფ 1 და ფ 2 ეწოდება ელიფსის კერებს და სეგმენტებს ვ 1 ვ 2 და ვ 1 ვ 2 ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს შორის კოორდინატთა ღერძებთან - ძირითადი და მცირე ღერძი. თუ ქულები ფ 1 და ფ 2 ემთხვევა, შემდეგ ელიფსი იქცევა წრედ.

ჰიპერბოლა.

ჰიპერბოლის აგებისას წერტილი პ, ფანქრის წვერი, ფიქსირდება ძაფზე, რომელიც თავისუფლად სრიალებს წერტილებზე დაყენებული კალმების გასწვრივ ფ 1 და ფ 2, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3, ა. დისტანციები არჩეულია ისე, რომ სეგმენტი PF 2 უფრო გრძელია ვიდრე სეგმენტი PF 1 ფიქსირებული ოდენობით ნაკლები მანძილით ფ 1 ფ 2. ამ შემთხვევაში, ძაფის ერთი ბოლო გადის სამაგრის ქვეშ ფ 1 და ძაფის ორივე ბოლო გადის კალთაზე ფ 2. (ფანქრის წვერი არ უნდა სრიალდეს ძაფის გასწვრივ, ასე რომ თქვენ უნდა გაასწოროთ ის ძაფზე პატარა მარყუჟის გაკეთებით და მასში წვერი ჩასვით.) ჰიპერბოლის ერთი ტოტი ( PV 1 ქ) ვხატავთ, დავრწმუნდებით, რომ ძაფი ყოველთვის დაჭიმული რჩება და ძაფის ორივე ბოლო წერტილის გვერდით ქვევით ვწევთ ფ 2 და როცა წერტილი პხაზის ქვემოთ იქნება ფ 1 ფ 2, დაიჭირეთ ძაფი ორივე ბოლოზე და ფრთხილად შეამსუბუქეთ (ანუ გაათავისუფლეთ). ჰიპერბოლის მეორე განშტოება ( პў ვ 2 ქў) ჩვენ ვხატავთ, მანამდე რომ შევცვალეთ ჯოხების როლები ფ 1 და ფ 2 .

ჰიპერბოლის ტოტები უახლოვდება ორ სწორ ხაზს, რომლებიც იკვეთება ტოტებს შორის. ეს ხაზები, რომლებსაც ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ეწოდება, აგებულია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3, ბ. ამ ხაზების ფერდობებია ± ( ვ 1 ვ 2)/(ვ 1 ვ 2), სადაც ვ 1 ვ 2 - ასიმპტოტებს შორის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, სეგმენტის პერპენდიკულარული ფ 1 ფ 2; ხაზის სეგმენტი ვ 1 ვ 2 ეწოდება ჰიპერბოლის კონიუგატ ღერძს და სეგმენტს ვ 1 ვ 2 - მისი განივი ღერძი. ასე რომ, ასიმპტოტები არის ოთხკუთხედის დიაგონალები, რომელთა გვერდები გადის ოთხ წერტილს ვ 1 , ვ 2 , ვ 1 , ვ 2 ცულების პარალელურად. ამ მართკუთხედის ასაგებად, თქვენ უნდა მიუთითოთ წერტილების მდებარეობა ვ 1 და ვ 2. ისინი იმავე მანძილზე არიან, ტოლი

ღერძების გადაკვეთის ადგილიდან ო. ეს ფორმულა გულისხმობს მართკუთხა სამკუთხედის აგებას ფეხებით ოვ 1 და ვ 2 ოდა ჰიპოტენუზა ფ 2 ო.

თუ ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მაშინ ჰიპერბოლას ეწოდება ტოლფერდა. ორ ჰიპერბოლას, რომლებსაც აქვთ საერთო ასიმპტოტები, მაგრამ გადაწყობილი განივი და კონიუგირებული ღერძებით, ორმხრივ კონიუგატებს უწოდებენ.

პარაბოლა.

ელიფსის და ჰიპერბოლის კერები ცნობილი იყო აპოლონიუსისთვის, მაგრამ პარაბოლის ფოკუსი, როგორც ჩანს, პირველად დაადგინა პაპუსმა (მე-3 საუკუნის II ნახევარი), რომელმაც ეს მრუდი განსაზღვრა, როგორც მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ადგილი. ფოკუსი) და მოცემული სწორი ხაზი, რომელსაც რეჟისორი ეწოდება. პარაბოლის აგება დაჭიმული ძაფის გამოყენებით, პაპუსის განმარტებაზე დაყრდნობით, შემოთავაზებული იყო ისიდორე მილეტელის მიერ (VI საუკუნე). განათავსეთ სახაზავი ისე, რომ მისი კიდე ემთხვევა დირექტიკას LLў (ნახ. 4) და მიამაგრეთ ფეხი ამ კიდეზე ACსამკუთხედის დახატვა ABC. ძაფის ერთ ბოლოს ვამაგრებთ სიგრძით ABზევით ბსამკუთხედი და მეორე პარაბოლის ფოკუსში ფ. ძაფის გაჭიმვა ფანქრის წვერით, დაჭერით წვერი ცვლად წერტილზე პთავისუფალ სკეიტამდე ABსამკუთხედის დახატვა. როდესაც სამკუთხედი მოძრაობს მმართველის გასწვრივ, წერტილი პაღწერს პარაბოლის რკალს ფოკუსით ფდა დირექტორი LL• ვინაიდან ძაფის მთლიანი სიგრძე უდრის ABძაფის სეგმენტი სამკუთხედის თავისუფალ ფეხის გვერდით არის და, შესაბამისად, ძაფის დარჩენილი სეგმენტი PFუნდა იყოს ტოლი დანარჩენი ფეხის AB, ე.ი. PA. გადაკვეთის წერტილი ვპარაბოლას ღერძით ეწოდება პარაბოლის წვერო, მასზე გამავალი სწორი ხაზი ფდა ვ, არის პარაბოლის ღერძი. თუ ღერძზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზი გავლებულია ფოკუსში, მაშინ პარაბოლით მოწყვეტილ ამ სწორი ხაზის სეგმენტს ფოკუსური პარამეტრი ეწოდება. ელიფსისთვის და ჰიპერბოლისთვის, ფოკალური პარამეტრი განისაზღვრება ანალოგიურად.

კონუსური მონაკვეთების თვისებები

პაპუსის განმარტებები.

პარაბოლის ფოკუსის დადგენამ პაპუსი მიიყვანა იდეამდე, მიეწოდებინა ზოგადად კონუსური მონაკვეთების ალტერნატიული განმარტება. დაე იყოს ფარის მოცემული წერტილი (ფოკუსი), და ლარის მოცემული სწორი ხაზი (directrix), რომელიც არ გადის ფ, და დ ფდა დ ლ- მანძილი მოძრავი წერტილიდან პფოკუსირება ფდა რეჟისორები ლშესაბამისად. შემდეგ, როგორც პაპმა აჩვენა, კონუსური მონაკვეთები განისაზღვრება, როგორც წერტილების ლოკუსი პ, რისთვისაც შეფარდება დ ფ/დ ლარის არაუარყოფითი მუდმივი. ამ თანაფარდობას ექსცენტრიულობა ეწოდება ეკონუსური განყოფილება. ზე ე e > 1 არის ჰიპერბოლა; ზე ე= 1 არის პარაბოლა. Თუ ფწევს ლ, მაშინ ლოკუსს აქვს ხაზების ფორმა (რეალური ან წარმოსახვითი), რომლებიც წარმოადგენენ დეგენერაციულ კონუსურ მონაკვეთებს.

ელიფსის და ჰიპერბოლის თვალსაჩინო სიმეტრია ვარაუდობს, რომ თითოეულ ამ მრუდს აქვს ორი მიმართულება და ორი ფოკუსი, და ამ გარემოებამ მიიყვანა კეპლერი 1604 წელს იმ აზრამდე, რომ პარაბოლას ასევე აქვს მეორე ფოკუსი და მეორე მიმართულება - წერტილი უსასრულობაში და სწორი. ანალოგიურად, წრე შეიძლება ჩაითვალოს ელიფსად, რომლის კერები ემთხვევა ცენტრს, ხოლო მიმართულებები უსასრულობაშია. ექსცენტრიულობა ეამ შემთხვევაში არის ნული.

დენდელინის დიზაინი.

კონუსური მონაკვეთის ფოკუსები და მიმართულებები შეიძლება ნათლად იყოს ნაჩვენები კონუსში ჩაწერილი სფეროების გამოყენებით, რომლებსაც უწოდებენ დანდელინის სფეროებს (ბურთებს) ბელგიელი მათემატიკოსისა და ინჟინრის ჯ. დანდელინის (1794–1847) საპატივცემულოდ, რომელმაც შემოგვთავაზა შემდეგი კონსტრუქცია. დაე, კონუსური მონაკვეთი ჩამოყალიბდეს რომელიმე სიბრტყის გადაკვეთით გვორი ღრუს მარჯვენა წრიული კონუსით, მწვერვალით წერტილში ო. ამ კონუსში ჩავწეროთ ორი სფერო ს 1 და ს 2 რომელიც ეხება თვითმფრინავს გვწერტილებში ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად. თუ კონუსური მონაკვეთი არის ელიფსი (ნახ. 5, ა), მაშინ ორივე სფერო ერთსა და იმავე ღრუშია: ერთი სფერო მდებარეობს სიბრტყის ზემოთ გვხოლო მეორე მის ქვემოთ. კონუსის თითოეული გენერაცია ეხება ორივე სფეროს და შეხების წერტილს აქვს ორი წრის ფორმა C 1 და C 2 მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში გვ 1 და გვ 2. დაე იყოს პარის თვითნებური წერტილი კონუსურ მონაკვეთზე. მოდით დავხატოთ პირდაპირ PF 1 , PF 2 და გააფართოვეთ ხაზი PO. ეს ხაზები ტანგენსია წერტილებზე არსებულ სფეროებზე ფ 1 , ფ 2 და რ 1 , რ 2. ვინაიდან ერთი წერტილიდან სფეროზე მიზიდული ყველა ტანგენტი ტოლია, მაშინ PF 1 = პიარი 1 და PF 2 = პიარი 2. აქედან გამომდინარე, PF 1 + PF 2 = პიარი 1 + პიარი 2 = რ 1 რ 2. თვითმფრინავებიდან მოყოლებული გვ 1 და გვ 2 პარალელური, სეგმენტი რ 1 რ 2 არის მუდმივი სიგრძე. ამრიგად, ღირებულება პიარი 1 + პიარი 2 იგივეა ყველა წერტილის პოზიციისთვის პდა მიუთითეთ პმიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომლიდანაც მანძილების ჯამი პადრე ფ 1 და ფ 2 არის მუდმივი. ამიტომ, ქულები ფ 1 და ფ 2 - ელიფსური მონაკვეთის კერები. გარდა ამისა, შეიძლება აჩვენოს, რომ ხაზები, რომელთა გასწვრივ თვითმფრინავი გვკვეთს თვითმფრინავს გვ 1 და გვ 2, არის აგებული ელიფსის მიმართულებები. Თუ გვკვეთს კონუსის ორივე ღრუს (სურ. 5, ბ), შემდეგ დანდელინის ორი სფერო დევს თვითმფრინავის იმავე მხარეს გვ, თითო სფერო კონუსის თითოეულ ღრუში. ამ შემთხვევაში, განსხვავება PF 1 და PF 2 მუდმივია და წერტილების ლოკუსი პაქვს ჰიპერბოლის ფორმა კერებით ფ 1 და ფ 2 და სწორი ხაზები - გადაკვეთის ხაზები გვთან გვ 1 და გვ 2 - როგორც რეჟისორები. თუ კონუსური მონაკვეთი არის პარაბოლა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5, in, მაშინ კონუსში მხოლოდ ერთი დანდელინის სფერო შეიძლება ჩაიწეროს.

სხვა თვისებები.

კონუსური მონაკვეთების თვისებები მართლაც ამოუწურავია და ნებისმიერი მათგანი შეიძლება ჩაითვალოს გადამწყვეტად. მნიშვნელოვანი ადგილი მათემატიკური შეხვედრაპაპა (დაახლოებით 300), გეომეტრიებიდეკარტი (1637) და საწყისებინიუტონი (1687) შეშფოთებულია ოთხი წრფის მიმართ წერტილების ლოკუსის პრობლემასთან. თუ თვითმფრინავზე მოცემულია ოთხი სწორი ხაზი ლ 1 , ლ 2 , ლ 3 და ლ 4 (აქედან ორი შეიძლება ემთხვეოდეს) და წერტილი პარის ისეთი, რომ მანძილების ნამრავლი პადრე ლ 1 და ლ 2 პროპორციულია მანძილების ნამრავლის პადრე ლ 3 და ლ 4, შემდეგ წერტილების ლოკუსი პარის კონუსური მონაკვეთი. დეკარტმა შეცდომით მიიჩნია, რომ აპოლონიუსმა და პაპუსმა ვერ გადაჭრეს წერტილების ადგილის პრობლემა ოთხი წრფის მიმართ, დეკარტმა ამონახსნის მისაღებად და მისი განზოგადების მიზნით შექმნა ანალიტიკური გეომეტრია.

ანალიტიკური მიდგომა

ალგებრული კლასიფიკაცია.

ალგებრული თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც სიბრტყე მრუდები, რომელთა დეკარტის კოორდინატები აკმაყოფილებს მეორე ხარისხის განტოლებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა კონუსური მონაკვეთის განტოლება შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით, როგორც

სადაც არა ყველა კოეფიციენტი ა, ბდა Cნულის ტოლია. ღერძების პარალელური გადაყვანისა და ბრუნვის დახმარებით, განტოლება (1) შეიძლება ჩამოყალიბდეს ფორმამდე

ნაჯახი 2 + მიერ 2 + გ = 0

px 2 + qy = 0.

პირველი განტოლება მიღებულია (1) განტოლებიდან ბ 2 № AC, მეორე - ზე ბ 2 = AC. კონუსურ მონაკვეთებს, რომელთა განტოლებები დაყვანილია პირველ ფორმამდე, ეწოდება ცენტრალური. კონუსური მონაკვეთები, რომლებიც მოცემულია მეორე ტიპის განტოლებით ქ No 0, უწოდებენ არაცენტრალურს. ამ ორ კატეგორიაში არის ცხრა სხვადასხვა ტიპის კონუსური განყოფილება, რაც დამოკიდებულია კოეფიციენტების ნიშნებზე.

2831) ი ა, ბდა გაქვს იგივე ნიშანი, მაშინ არ არსებობს რეალური წერტილები, რომელთა კოორდინატები დააკმაყოფილებენ განტოლებას. ასეთ კონუსურ მონაკვეთს წარმოსახვითი ელიფსი ეწოდება (ან წარმოსახვითი წრე თუ ა = ბ).

2) თუ ადა ბაქვს ერთი ნიშანი და გ- მოპირდაპირე, მაშინ კონუსური მონაკვეთი არის ელიფსი (ნახ. 1, ა); ზე ა = ბ- წრე (ნახ. 6, ბ).

3) თუ ადა ბაქვს სხვადასხვა ნიშნები, მაშინ კონუსური მონაკვეთი არის ჰიპერბოლა (ნახ. 1, in).

4) თუ ადა ბაქვს სხვადასხვა ნიშნები და გ= 0, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზისგან (ნახ. 6, ა).

5) თუ ადა ბაქვს ერთი ნიშანი და გ= 0, მაშინ მრუდზე არის მხოლოდ ერთი რეალური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას, ხოლო კონუსური მონაკვეთი არის ორი წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზი. ამ შემთხვევაში ასევე საუბარია ელიფსზე შეკუმშულ წერტილამდე ან, თუ ა = ბ, შეკუმშული წრის წერტილამდე (ნახ. 6, ბ).

6) თუ რომელიმე ა, ან ბუდრის ნულს, ხოლო დანარჩენ კოეფიციენტებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი პარალელური ხაზისგან.

7) თუ რომელიმე ა, ან ბუდრის ნულს, ხოლო დანარჩენ კოეფიციენტებს აქვთ იგივე ნიშანი, მაშინ არ არსებობს რეალური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი წარმოსახვითი პარალელური ხაზისგან.

8) თუ გ= 0 და ან ა, ან ბასევე ნულის ტოლია, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი რეალური დამთხვევის ხაზისგან. (განტოლება არ განსაზღვრავს კონუსურ მონაკვეთს ა = ბ= 0, რადგან ამ შემთხვევაში თავდაპირველი განტოლება (1) არ არის მეორე ხარისხის.)

9) მეორე ტიპის განტოლებები განსაზღვრავს პარაბოლებს თუ გვდა ქგანსხვავდება ნულიდან. Თუ გვ No 0 და ქ= 0, ჩვენ ვიღებთ მრუდს მე-8 პუნქტიდან. თუ მეორე მხრივ, გვ= 0, მაშინ განტოლება არ განსაზღვრავს კონუსურ მონაკვეთს, რადგან თავდაპირველი განტოლება (1) არ არის მეორე ხარისხის.

კონუსური მონაკვეთების განტოლებების გამოყვანა.

ნებისმიერი კონუსური მონაკვეთი ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მრუდი, რომლის გასწვრივ სიბრტყე კვეთს კვადრატულ ზედაპირს, ე.ი. მეორე ხარისხის განტოლებით მოცემული ზედაპირით ვ (x, წ, ზ) = 0. როგორც ჩანს, კონუსური მონაკვეთები პირველად ამ ფორმით იქნა აღიარებული და მათი სახელები ( იხილეთ ქვემოთ) დაკავშირებულია იმასთან, რომ ისინი მიიღეს თვითმფრინავის კონუსთან გადაკვეთით ზ 2 = x 2 + წ 2. დაე იყოს Ა Ბ Გ Დ- მარჯვენა წრიული კონუსის ძირი (ნახ. 7) ზევით სწორი კუთხით ვ. გაუშვით თვითმფრინავი FDCკვეთს გენერაციას VBწერტილში ფ, ძირი სწორ ხაზზეა CDხოლო კონუსის ზედაპირი – მრუდის გასწვრივ DFPC, სად პარის მრუდის ნებისმიერი წერტილი. დახაზეთ სეგმენტის შუაში CD- წერტილი ე- პირდაპირი EFდა დიამეტრი AB. წერტილის მეშვეობით პდახაზეთ სიბრტყე კონუსის ფუძის პარალელურად, რომელიც კვეთს კონუსს წრეში RPSდა პირდაპირი EFწერტილში ქ. მერე QFდა QPშეიძლება იქნას მიღებული, შესაბამისად, აბსცისისთვის xდა ორდინატი წქულები პ. შედეგად მიღებული მრუდი პარაბოლა იქნება.

კონსტრუქცია ნაჩვენებია ნახ. 7 შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონუსური მონაკვეთების ზოგადი განტოლებების გამოსატანად. პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძის კვადრატი, რომელიც აღდგენილია დიამეტრის ნებისმიერი წერტილიდან წრესთან კვეთამდე, ყოველთვის უდრის დიამეტრის სეგმენტების სიგრძის ნამრავლს. Ისე

წ 2 = RQჰ QS.

პარაბოლისთვის, სეგმენტი RQაქვს მუდმივი სიგრძე (რადგან წერტილის ნებისმიერი პოზიციისთვის პის უდრის სეგმენტს AE), და სეგმენტის სიგრძე QSპროპორციული x(ურთიერთობიდან QS/EB = QF/ფ.ე.). აქედან გამომდინარეობს, რომ

სადაც აარის მუდმივი კოეფიციენტი. ნომერი აგამოხატავს პარაბოლის ფოკუსური პარამეტრის სიგრძეს.

თუ კონუსის მწვერვალზე კუთხე მწვავეა, მაშინ სეგმენტი RQარ უდრის მოჭრას AE; მაგრამ თანაფარდობა წ 2 = RQჰ QSფორმის განტოლების ტოლფასია

სადაც ადა ბარის მუდმივები, ან, ღერძების გადატანის შემდეგ, განტოლებაზე

რომელიც არის ელიფსის განტოლება. ელიფსის გადაკვეთის წერტილები ღერძთან x (x = ადა x = –ა) და ელიფსის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები წ (წ = ბდა წ = –ბ) განსაზღვრეთ, შესაბამისად, ძირითადი და მცირე ღერძი. თუ კონუსის წვეროზე კუთხე ბლაგვია, მაშინ კონუსისა და სიბრტყის გადაკვეთის მრუდს აქვს ჰიპერბოლის ფორმა, ხოლო განტოლება იღებს შემდეგ ფორმას:

ან ცულების გადაადგილების შემდეგ,

ამ შემთხვევაში, ღერძთან გადაკვეთის წერტილები x, მოცემული მიმართებით x 2 = ა 2, განსაზღვრეთ განივი ღერძი და ღერძთან გადაკვეთის წერტილები წ, მოცემული მიმართებით წ 2 = –ბ 2 განსაზღვრეთ შეჯვარების ღერძი. თუ მუდმივი ადა ბგანტოლებაში (4a) ტოლია, მაშინ ჰიპერბოლას ეწოდება ტოლფერდა. ღერძების მობრუნებით მისი განტოლება მცირდება ფორმამდე

xy = კ.

ახლა (3), (2) და (4) განტოლებიდან შეგვიძლია გავიგოთ აპოლონიუსის მიერ მიცემული სახელების მნიშვნელობა სამი ძირითადი კონუსური მონაკვეთისთვის. ტერმინები "ელიფსი", "პარაბოლა" და "ჰიპერბოლა" მომდინარეობს ბერძნული სიტყვებიდან, რაც ნიშნავს "ნაკლოვანებას", "თანაბარს" და "უმაღლესს". (3), (2) და (4) განტოლებიდან ირკვევა, რომ ელიფსისთვის წ 2 b 2 / ა) xპარაბოლისთვის წ 2 = (ა) xდა ჰიპერბოლისთვის წ 2 > (2ბ 2 /ა) x. თითოეულ შემთხვევაში, ფრჩხილებში ჩასმული მნიშვნელობა მრუდის ფოკუსური პარამეტრის ტოლია.

თავად აპოლონიუსმა განიხილა მხოლოდ სამი ზოგადი ტიპის კონუსური მონაკვეთი (ტიპები 2, 3 და 9 ზემოთ ჩამოთვლილი), მაგრამ მისი მიდგომა იძლევა განზოგადების საშუალებას, რომელიც საშუალებას იძლევა განიხილოს ყველა რეალური მეორე რიგის მრუდი. თუ ჭრის თვითმფრინავი არჩეულია კონუსის წრიული ბაზის პარალელურად, მაშინ მონაკვეთი იქნება წრე. თუ საჭრელ სიბრტყეს აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი კონუსთან, მისი წვერო, მაშინ მიიღება მე-5 ტიპის მონაკვეთი; თუ ის შეიცავს წვეროს და კონუსზე ტანგენტს, მაშინ ვიღებთ მე-8 ტიპის მონაკვეთს (ნახ. 6, ბ); თუ საჭრელი სიბრტყე შეიცავს კონუსის ორ გენერატორს, მაშინ მონაკვეთში მიიღება მე-4 ტიპის მრუდი (ნახ. 6, ა); როდესაც წვერო გადადის უსასრულობაში, კონუსი იქცევა ცილინდრად, ხოლო თუ თვითმფრინავი შეიცავს ორ გენერატორს, მაშინ მიიღება მე-6 ტიპის მონაკვეთი.

დახრილი კუთხიდან დათვალიერებისას წრე ელიფსს ჰგავს. არქიმედესთვის ცნობილი წრესა და ელიფსს შორის ცხადი ხდება თუ წრე X 2 + ი 2 = ა 2 ჩანაცვლების გამოყენებით X = x, ი = (ა/ბ) წგარდაქმნას ელიფსად მოცემული განტოლებით (3a). ტრანსფორმაცია X = x, ი = (აი/ბ) წ, სად მე 2 = –1, საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ წრის განტოლება (4a) სახით. ეს გვიჩვენებს, რომ ჰიპერბოლა შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ელიფსი წარმოსახვითი მცირე ღერძით, ან, პირიქით, ელიფსი შეიძლება განვიხილოთ, როგორც ჰიპერბოლა წარმოსახვითი კონიუგატური ღერძით.

წრის ორდინატებს შორის ურთიერთობა x 2 + წ 2 = ა 2 და ელიფსი ( x 2 /ა 2) + (წ 2 /ბ 2) = 1 მივყავართ პირდაპირ არქიმედეს ფორმულამდე ა = გვ აბელიფსის ფართობისთვის. კეპლერმა იცოდა სავარაუდო ფორმულა გვ(ა + ბ) ელიფსის პერიმეტრზე წრესთან ახლოს, მაგრამ ზუსტი გამოხატულება მიიღეს მხოლოდ მე -18 საუკუნეში. ელიფსური ინტეგრალების შემოღების შემდეგ. როგორც არქიმედესმა აჩვენა, პარაბოლური სეგმენტის ფართობი არის ჩაწერილი სამკუთხედის ფართობის ოთხი მესამედი, მაგრამ პარაბოლას რკალის სიგრძის დათვლა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში შეიძლებოდა. გამოიგონეს დიფერენციალური გამოთვლები.

პროექციული მიდგომა

პროექციული გეომეტრია მჭიდროდ არის დაკავშირებული პერსპექტივის აგებასთან. თუ წრეს დახატავთ გამჭვირვალე ფურცელზე და განათავსებთ მას სინათლის წყაროს ქვეშ, მაშინ ეს წრე დაპროექტდება ქვემოთ მოცემულ სიბრტყეზე. ამ შემთხვევაში, თუ სინათლის წყარო მდებარეობს წრის ცენტრის პირდაპირ ზემოთ, ხოლო სიბრტყე და გამჭვირვალე ფურცელი პარალელურია, მაშინ პროექციაც იქნება წრე (ნახ. 8). სინათლის წყაროს პოზიციას გაქრობის წერტილი ეწოდება. იგი აღინიშნება ასოთი ვ. Თუ ვმდებარეობს წრის ცენტრის ზემოთ, ან თუ სიბრტყე არ არის ფურცლის პარალელურად, მაშინ წრის პროექცია იღებს ელიფსის ფორმას. სიბრტყის კიდევ უფრო დიდი დახრილობით, ელიფსის მთავარი ღერძი (წრის პროექცია) გრძელდება და ელიფსი თანდათან პარაბოლად იქცევა; სწორი ხაზის პარალელურ სიბრტყეზე VP, პროექცია პარაბოლას ჰგავს; კიდევ უფრო დიდი დახრილობით, პროექცია ჰიპერბოლის ერთ-ერთი განშტოების ფორმას იღებს.

თავდაპირველი წრის თითოეული წერტილი შეესაბამება პროექციის გარკვეულ წერტილს. თუ პროექციას აქვს პარაბოლის ან ჰიპერბოლის ფორმა, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ წერტილის შესაბამისი წერტილი პ, არის უსასრულობაში ან უსასრულობაში.

როგორც ვნახეთ, გაქრობის წერტილების შესაფერისი არჩევანით, წრე შეიძლება დაპროექტდეს სხვადასხვა ზომის და სხვადასხვა ექსცენტრიულობის ელიფსებად, ხოლო ძირითადი ღერძების სიგრძე პირდაპირ არ არის დაკავშირებული დაპროექტებული წრის დიამეტრთან. მაშასადამე, პროექციული გეომეტრია თავისთავად არ ეხება დისტანციებს ან სიგრძეებს, მისი ამოცანაა შეისწავლოს სიგრძეთა თანაფარდობა, რომელიც შენარჩუნებულია პროექციის ქვეშ. ეს კავშირი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი კონსტრუქციის გამოყენებით. ნებისმიერი წერტილის გავლით პსიბრტყეზე ვხატავთ ორ ტანგენტს ნებისმიერ წრეზე და შეხების წერტილებს ვაკავშირებთ სწორი ხაზით გვ. წერტილის გავლით კიდევ ერთი ხაზი პ, კვეთს წრეს წერტილებში C 1 და C 2, მაგრამ სწორი ხაზი გვ- წერტილში ქ(ნახ. 9). პლანიმეტრია ამას ადასტურებს კომპიუტერი 1 /კომპიუტერი 2 = –QC 1 /QC 2. (მინუს ნიშანი ჩნდება სეგმენტის მიმართულების გამო QC 1 სხვა სეგმენტების მიმართულებების საპირისპიროდ.) სხვა სიტყვებით, წერტილები პდა ქსეგმენტის გაყოფა C 1 C 2 გარეგნულად და შინაგანად იმავე თვალსაზრისით; ისინი ასევე ამბობენ, რომ ოთხი სეგმენტის ჰარმონიული თანაფარდობა არის - 1. თუ წრე დაპროექტებულია კონუსურ მონაკვეთში და იგივე აღნიშვნები ინახება შესაბამისი წერტილებისთვის, მაშინ ჰარმონიული თანაფარდობა ( კომპიუტერი 1)(QC 2)/(კომპიუტერი 2)(QC 1) ტოლი დარჩება - 1. ქულა პხაზის ბოძს უწოდებენ გვკონუსური მონაკვეთის და სწორი ხაზის მიმართ გვ- პოლარული წერტილი პკონუსური მონაკვეთის მიმართ.

როცა წერტილი პუახლოვდება კონუსურ მონაკვეთს, პოლარი მიდრეკილია დაიკავოს ტანგენტის პოზიცია; თუ წერტილი პდევს კონუსურ მონაკვეთზე, შემდეგ მისი პოლარი ემთხვევა წერტილში კონუსურ მონაკვეთზე ტანგენტს პ. თუ წერტილი პმდებარეობს კონუსური მონაკვეთის შიგნით, მაშინ მისი პოლარული შეიძლება აშენდეს შემდეგნაირად. მოდით გავიაროთ წერტილი პნებისმიერი სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს კონუსურ მონაკვეთს ორ წერტილში; გადაკვეთის წერტილებში კონუსურ მონაკვეთზე ტანგენტების დახატვა; დავუშვათ, რომ ეს ტანგენტები იკვეთება წერტილში პერთი . მოდით გავიაროთ წერტილი პკიდევ ერთი სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს კონუსურ მონაკვეთს ორ სხვა წერტილში; დავუშვათ, რომ კონუსური მონაკვეთის ტანგენტები ამ ახალ წერტილებში იკვეთება წერტილში პ 2 (სურ. 10). ხაზი, რომელიც გადის წერტილებს პ 1 და პ 2 , და არის სასურველი პოლარი გვ. თუ წერტილი პცენტრს უახლოვდება ოცენტრალური კონუსური მონაკვეთი, შემდეგ პოლარული გვშორდება ო. როცა წერტილი პემთხვევა ო, მაშინ მისი პოლარული ხდება უსასრულობაში, ანუ იდეალური, პირდაპირ სიბრტყეზე.

სპეციალური შენობები

ასტრონომებისთვის განსაკუთრებით საინტერესოა ელიფსის წერტილების შემდეგი მარტივი აგებულება კომპასისა და სტრიქონის გამოყენებით. დაუშვით თვითნებური ხაზი, რომელიც გადის წერტილს ო(ნახ. 11, ა), იკვეთება წერტილებში ქდა რორი კონცენტრული წრე, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე ოდა რადიუსები ბდა ა, სად ბა. მოდით გავიაროთ წერტილი ქჰორიზონტალური ხაზი და რ- ვერტიკალური ხაზი და აღნიშნეთ მათი გადაკვეთის წერტილი პ პსწორი ბრუნვისას OQRწერტილის გარშემო ოელიფსი იქნება. ინექცია ვხაზს შორის OQRდა მთავარ ღერძს ეწოდება ექსცენტრიული კუთხე, ხოლო აგებული ელიფსი მოხერხებულად არის მითითებული პარამეტრული განტოლებებით x = ა cos ვ, წ = ბცოდვა ვ. პარამეტრის გამოკლებით ვ, ვიღებთ განტოლებას (3a).

ჰიპერბოლისთვის, კონსტრუქცია დიდწილად მსგავსია. თვითნებური ხაზი, რომელიც გადის წერტილს ო, კვეთს ორი წრედან ერთ-ერთ წერტილს რ(ნახ. 11, ბ). აზრამდე რერთი წრე და ბოლო წერტილი სსხვა წრის ჰორიზონტალური დიამეტრი, ჩვენ ვხატავთ გადამკვეთ ტანგენტებს OSწერტილში თდა ან- წერტილში ქ. დაუშვით წერტილის გავლით ვერტიკალური ხაზი თდა წერტილის გავლით ჰორიზონტალური ხაზი ქ, იკვეთება წერტილში პ. შემდეგ წერტილების ლოკუსი პსეგმენტის ბრუნვისას ანირგვლივ ოიქნება ჰიპერბოლა მოცემული პარამეტრული განტოლებებით x = აწმ ვ, წ = ბტგ ვ, სად ვ- ექსცენტრიული კუთხე. ეს განტოლებები მიიღო ფრანგმა მათემატიკოსმა ა. ლეჟანდრიმ (1752–1833). პარამეტრის გამორიცხვით ვ, ვიღებთ განტოლებას (4a).

ელიფსი, როგორც აღნიშნა ნ.კოპერნიკმა (1473-1543), შეიძლება აშენდეს ეპიციკლური მოძრაობის გამოყენებით. თუ წრე ტრიალებს ორჯერ დიამეტრის სხვა წრის შიგნით სრიალის გარეშე, მაშინ თითოეული წერტილი პ, რომელიც არ იწვა უფრო პატარა წრეზე, არამედ დამაგრებულია მასთან შედარებით, აღწერს ელიფსს. თუ წერტილი პარის უფრო პატარა წრეზე, მაშინ ამ წერტილის ტრაექტორია არის ელიფსის გადაგვარებული შემთხვევა - უფრო დიდი წრის დიამეტრი. ელიფსის კიდევ უფრო მარტივი კონსტრუქცია შემოგვთავაზა პროკლემ V საუკუნეში. თუ მთავრდება ადა ბსწორი ხაზის სეგმენტი ABმოცემული სიგრძის სრიალი ორი ფიქსირებული გადამკვეთი სწორი ხაზის გასწვრივ (მაგალითად, კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ), შემდეგ თითოეული შიდა წერტილი პსეგმენტი აღწერს ელიფსს; ჰოლანდიელმა მათემატიკოსმა ფ. ვან შოტენმა (1615–1660) აჩვენა, რომ გადამკვეთი ხაზების სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ფიქსირებულია სრიალის სეგმენტთან მიმართებაში, ასევე აღწერს ელიფსს.

ბ.პასკალმა (1623–1662) 16 წლის ასაკში ჩამოაყალიბა ახლა უკვე ცნობილი პასკალის თეორემა, რომელიც ამბობს: ექვსკუთხედის საპირისპირო გვერდების გადაკვეთის სამი წერტილი, რომელიც ჩაწერილია ნებისმიერ კონუსურ მონაკვეთში, დევს ერთ სწორ ხაზზე. პასკალმა ამ თეორემიდან 400-ზე მეტი დასკვნა გამოიტანა.

ხაზის სეგმენტი l.)

13) მოცემულია პარალელოგრამი ABCD. დახაზეთ წრფე მოცემულ P წერტილში მოცემული l წრფის პარალელურად. (მინიშნება: დაიტანეთ 10 პარალელოგრამის ცენტრში და გამოიყენეთ 8.)

14) მოცემულია პარალელოგრამი; გაზარდეთ მოცემული სეგმენტი n-ჯერ. (მინიშნება: გამოიყენეთ 13 და 11.)

15) მოცემულია პარალელოგრამი; დაყავით მოცემული სეგმენტი n თანაბარ ნაწილად.

16) მოცემულია ფიქსირებული წრე ცენტრით. მოცემულ წერტილში გავავლოთ წრფე მოცემული წრფის პარალელურად. (მინიშნება: გამოიყენეთ 13.)

17) მოცემულია ფიქსირებული წრე ცენტრით. გაზარდეთ და შეამცირეთ მოცემული სეგმენტი n-ჯერ. (მინიშნება: გამოიყენეთ 13.)

18) მოცემულია ფიქსირებული წრე ცენტრით. დახაზეთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარი მოცემულ წერტილში. (მინიშნება: გამოიყენეთ მართკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია მოცემულ წრეში, ორი გვერდით მოცემული ხაზის პარალელურად და შეამცირეთ წინა ამოცანებზე.)

19) ამოცანების გადახედვისას 1-18, ჩამოთვალეთ ძირითადი სამშენებლო ამოცანები, რომლებიც შეგიძლიათ გააკეთოთ ორმხრივი სახაზავი (ორი პარალელური გვერდი).

20) ორი მოცემული ხაზი l 1 და l2 იკვეთება P წერტილში, რომელიც ნახატის გარეთაა. ააგეთ ხაზი, რომელიც დააკავშირებს მოცემულ Q წერტილს P წერტილთან. (მინიშნება: შეავსეთ მოცემული ელემენტები ისე, რომ მიიღება დესარგის თეორემის კონფიგურაცია, სადაც P და Q ხდება ორი სამკუთხედის ურთიერთშესაბამისი გვერდის გადაკვეთის წერტილები.)

21) დახაზეთ სწორი ხაზი ორ წერტილში, რომლებიც გამოყოფილია მმართველის სიგრძეზე მეტით. (მინიშნება: გამოიყენეთ 20.)

22) l 1 და l2 წრფეები იკვეთება P წერტილში; სწორი ხაზები m1 და m2 - Q წერტილში; ორივე წერტილი P და Q ნახატის მიღმაა. ააგეთ P Q წრფის ის ნაწილი, რომელიც ნახაზშია. (მინიშნება: P Q წრფის წერტილის მისაღებად, ააგეთ Desargues-ის კონფიგურაცია ისე, რომ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი იყოს შესაბამისად l1 და m1 , მეორის ორი მხარე - შესაბამისად l2 და m2 ).

23) ამოხსენით 20 პასკალის თეორემის გამოყენებით (გვ. 209). (მინიშნება: დაასრულეთ პასკალის კონფიგურაცია, განიხილეთ l1 და l2, როგორც ექვსკუთხედის მოპირდაპირე გვერდების წყვილი, და Q, როგორც სხვა საპირისპირო გვერდის გადაკვეთის წერტილი.)

*24) ორი სწორი ხაზიდან თითოეული, რომელიც მთლიანად დევს ნახატის გარეთ, მოცემულია ორი წყვილი სწორი ხაზით, რომლებიც იკვეთება ნახატის გარეთ.

in შესაბამისი ხაზის წერტილები. განსაზღვრეთ მათი გადაკვეთის წერტილი ორი ხაზის გამოყენებით, რომლებიც იკვეთება ნახაზის გარეთ.

§ 8. კონუსური კვეთები და კვადრატები

1. კონუსური მონაკვეთების ელემენტარული მეტრიკული გეომეტრია. აქამდე ჩვენ გვქონდა საქმე მხოლოდ წერტილებთან, ხაზებთან, სიბრტყეებთან და ამ ელემენტების სასრული რაოდენობისგან შედგენილ ფიგურებთან. თუ პროექციული გეომეტრია შემოიფარგლება ასეთი „ლი-

კონუსური სექციები და კვადრატები

ბუნებრივი მაჩვენებლები, შედარებით უინტერესო იქნებოდა. მაგრამ უაღრესად მნიშვნელოვანი ფაქტია ის ფაქტი, რომ პროექციული გეომეტრია ამით არ შემოიფარგლება, არამედ მოიცავს კონუსური მონაკვეთების უზარმაზარ არეალს და მათ მრავალგანზომილებიან განზოგადებებს. კონუსური მონაკვეთების აპოლონის მეტრიკული დამუშავება - ელიფსები, ჰიპერბოლები და პარაბოლები - უძველესი მათემატიკის ერთ-ერთი გამორჩეული წარმატება იყო. ძნელად შეიძლება გადაჭარბებული იყოს კონუსური მონაკვეთების მნიშვნელობა როგორც სუფთა, ისე გამოყენებითი მათემატიკისთვის (მაგალითად, პლანეტების ორბიტები და ელექტრონების ორბიტები წყალბადის ატომში არის კონუსური მონაკვეთები). გასაკვირი არ არის, რომ კონუსური მონაკვეთების კლასიკური თეორია, რომელიც წარმოიშვა ძველ საბერძნეთში, დღესაც მათემატიკური განათლების აუცილებელი ნაწილია. მაგრამ ბერძნულ გეომეტრიას არავითარ შემთხვევაში არ ჰქონდა ბოლო სიტყვა. ორი ათასი წლის შემდეგ აღმოაჩინეს კონუსური მონაკვეთების შესანიშნავი საპროექტო თვისებები. მიუხედავად ამ თვისებების სიმარტივისა და ელეგანტურობისა, აკადემიური ინერცია აქამდე იყო დაბრკოლება სასკოლო სწავლებაში მათი შეღწევისთვის.

ჩვენ ვიწყებთ კონუსური ნაკადების მეტრიკული განმარტებების გახსენებით. არსებობს რამდენიმე ასეთი განმარტება და მათი ეკვივალენტობა დასტურდება ელემენტარულ გეომეტრიაში. ყველაზე გავრცელებული განმარტებები დაკავშირებულია მოსახვევების კერებთან. ელიფსი განისაზღვრება, როგორც P წერტილების ადგილი სიბრტყეზე, რომ მათი r1 და r2 მანძილების ჯამს ორი მოცემული წერტილიდან F1 და F2, რომელსაც ფოკუსს უწოდებენ, აქვს მუდმივი მნიშვნელობა. (თუ კერები ემთხვევა, მრუდი იქცევა წრედ.) ჰიპერბოლა განისაზღვრება, როგორც P წერტილების ლოკუსი სიბრტყეზე, რომ r1 − r2 სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის იგივე მუდმივ მნიშვნელობას. პარაბოლა განისაზღვრება, როგორც P წერტილების ლოკუსი, რომლის მანძილი r მოცემული წერტილიდან F უდრის l მანძილს მოცემული ხაზიდან.

ანალიტიკურ გეომეტრიაში ეს მრუდები წარმოდგენილია მეორე ხარისხის განტოლებებით მართკუთხა კოორდინატებში x, y. პირიქით, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ ნებისმიერი მრუდი წარმოდგენილია მეორე რიგის განტოლებით

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

ან არის ზემოთ ნახსენები სამი კონუსური მონაკვეთიდან ერთი, ან სწორი ხაზი, ან წყვილი სწორი ხაზები, ან დაყვანილია ერთ წერტილამდე, ან არის წმინდა წარმოსახვითი. როგორც ნაჩვენებია ანალიტიკური გეომეტრიის ნებისმიერ კურსში, საკმარისია კოორდინატთა სისტემის სწორად შერჩეული ცვლილება დადასტურებისთვის.

კონუსური მონაკვეთების ზემოაღნიშნული განმარტებები არსებითად მეტრულია, რადგან ისინი იყენებენ მანძილის ცნებას. მაგრამ აქ არის კიდევ ერთი განმარტება, რომელიც ადგენს კონუსური მონაკვეთების ადგილს პროექტირებაში

ბრინჯი. 94. კონუსური კვეთები

პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა

გეომეტრია: კონუსური მონაკვეთები სხვა არაფერია, თუ არა წრის პროექცია სიბრტყეზე. თუ ჩვენ დავიწყებთ C წრის პროექციას რაღაც O წერტილიდან, მაშინ გამომავალი ხაზები ქმნიან უსასრულო ორმაგ კონუსს და ამ კონუსის გადაკვეთა p სიბრტყესთან იქნება C წრის პროექცია. გადაკვეთის მრუდი იქნება ელიფსი ან a. ჰიპერბოლა,

იმის მიხედვით, სიბრტყე კვეთს კონუსის მხოლოდ ერთ „ღრმულს“ თუ ორივეს. პარაბოლის შუალედური შემთხვევა ასევე შესაძლებელია, თუ სიბრტყე p პარალელურია O-ს გავლით ერთ-ერთი გამომავალი წრფის პარალელურად (სურ. 94).

გამომავალი კონუსი არ უნდა იყოს „მარჯვენა წრიული“ წვეროთი O ვერტიკალურად C წრის ცენტრის ზემოთ: ის ასევე შეიძლება იყოს „ირიბი“. მაგრამ ყველა შემთხვევაში (როგორც აქ მტკიცების გარეშე მივიღებთ) კონუსის სიბრტყესთან გადაკვეთაზე მიიღება მრუდი, რომლის განტოლება მეორე ხარისხისაა; და პირიქით, ნებისმიერი მეორე რიგის მრუდი შეიძლება მივიღოთ წრიდან პროექციის გზით. ამ მიზეზით, მეორე რიგის მოსახვევებს სხვაგვარად უწოდებენ კონუსურ მონაკვეთებს.

ჩვენ უკვე აღვნიშნეთ, რომ თუ სიბრტყე კვეთს მარჯვენა წრიული კონუსის მხოლოდ ერთ „ღრუბელს“, მაშინ E კვეთა არის ელიფსი. ადვილია იმის დადგენა, რომ

ხაზი E აკმაყოფილებს ელიფსის ჩვეულებრივ ფოკალურ განმარტებას, რომელიც ჩამოყალიბდა ზემოთ. აქ არის ძალიან მარტივი და ელეგანტური მტკიცებულება, რომელიც 1822 წელს იქნა მოწოდებული ბელგიელი მათემატიკოსის დანდელინის მიერ. წარმოვიდგინოთ ორი სფერო S1 და S2 (სურ. 95), რომლებიც ეხებიან მონაკვეთის სიბრტყეს p-ს შესაბამისად F1 და F2 წერტილებში და, გარდა ამისა, ეხებიან კონუსს პარალელური წრეების გასწვრივ K1 და K2. მრუდის E თვითნებური P წერტილის აღებით ვხატავთ P F1 და P F2 სეგმენტებს. შემდეგ განვიხილოთ P წერტილის P O კონუსის წვეროსთან დამაკავშირებელი სეგმენტი; ეს სეგმენტი მთლიანად დევს კონუსის ზედაპირზე; მონიშნეთ Q1 და Q2-ით მისი გადაკვეთის წერტილები K1 და K2 წრეებთან. ვინაიდან P F1 და P Q1 ორია

კონუსური სექციები და კვადრატები

ტანგენტები გამოყვანილია P წერტილიდან იმავე სფეროს S1-ზე, შემდეგ

P F1 = P Q1.

Მსგავსი

P F2 = P Q2.

ამ თანასწორობების დამატებით მივიღებთ:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2.

მაგრამ P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 არის მანძილი K1 და K2 პარალელურ წრეებს შორის კონუსის ზედაპირზე: ეს არ არის დამოკიდებული P წერტილის არჩევანზე E მრუდზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ როგორიც არ უნდა იყოს P წერტილი. E-ზე, თანასწორობა

P F1 + P F2 = const,

და ეს არის ელიფსის ფოკუსური განმარტება. ასე რომ, E არის ელიფსი, ხოლო F1 და F2 არის მისი კერები.

Ვარჯიში. თუ სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე „ღრუბელს“, მაშინ გადაკვეთის მრუდი არის ჰიპერბოლა. დაადასტურეთ ეს განცხადება კონუსის თითოეულ „ღრუბეში“ თითო სფეროს განთავსებით.

2. კონუსური კვეთების პროექციული თვისებები. წინა პარაგრაფში დადგენილ დებულებებზე დაყრდნობით, ახლა ჩვენ დროებით ვიღებთ შემდეგ განმარტებას: კონუსური მონაკვეთი არის წრის პროექცია სიბრტყეზე. ეს არის ტკივილის განმარტება -

უფრო მეტად შეესაბამება პროექციული გეომეტრიის სულისკვეთებას, ვიდრე ზოგადად მიღებული ფოკალიბრინჯი. 95. დანდელინის სფეროები

Nye განმარტებები, რადგან ეს უკანასკნელი მთლიანად დაფუძნებულია მანძილის მეტრულ კონცეფციაზე. ახალი დეფინიცია ასევე არ არის სრულიად თავისუფალი ამ ნაკლოვანებისგან, ვინაიდან „წრე“ ასევე მეტრიკული ცნებაა. მაგრამ ცოტა ხანში მივალთ კონუსური მონაკვეთების წმინდა პროექციულ განსაზღვრებამდე.

ვინაიდან ჩვენ მივიღეთ, რომ კონუსური მონაკვეთი სხვა არაფერია, თუ არა წრის პროექცია (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტერმინით "კონუსური მონაკვეთი" ვგულისხმობთ ნებისმიერ მრუდს, რომელიც ეკუთვნის პროექტირებას.

			პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა
	წრის კლასი; იხ. გვ. 206), აქედან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ
	წრის ნებისმიერი თვისება, რომელიც ინვარიანტულია პროექციულ პირობებში
						გარდაქმნები,	ასე უნდა -
						ვინმეს ეკუთვნოდეს
						ნიკი განყოფილება. გავიხსენოთ
						ახლა შემდეგი კარგია -
						ცნობილი - მეტრიკა - საკუთარი -
						გარშემოწერილობა: "ჩაწერილი
						გარშემოწერილობის კუთხეების დამხმარე-
						იმავე რკალზე, ტოლია
						ჩვენ ერთმანეთს." ნახ. 96
						კუთხე AOB, ეფუძნება du-
						გუ აბ, თანამდებობისგან დამოუკიდებელი
						წერტილი O წრეზე. წმინდა
						პროექციული გაგება
	ბრინჯი. 96. ორმაგი მიმართება წრეწირზე					tiem ორმაგი თანაფარდობა, გაცნობა
						წრეზე ორი აღარ არის
						წერტილები A, B და ოთხი: A, B, C,
	D. ოთხი ხაზი a, b, c, d, რომლებიც უერთდებიან ამ წერტილებს O წერტილით
	წრეებს აქვთ ორმაგი თანაფარდობა (a, b, c, d) დამოკიდებულია მხოლოდ
	კუთხეები CA, CB, DA, DB რკალებზე დაფუძნებული. დაკავშირება A, B, C, D

წრეზე სხვა O0 წერტილით მივიღებთ წრფეებს a0 , b0 , c0 , d0 . წრის ადრე აღნიშნული თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ორი ოთხმაგი წრფე არის „თანმიმდევრული“1. აქედან გამომდინარე, მათ ექნებათ იგივე ორმაგი თანაფარდობა: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). მოდით დავაპროექტოთ წრე რაღაც კონუსურ მონაკვეთზე K: შემდეგ K-ზე მივიღებთ ოთხ წერტილს, რომელსაც კვლავ აღვნიშნავთ A, B, C, D, ორი წერტილით O და O0 და ორი ოთხი წრფე a, b, c, d და a0, b0, c0, d0. წრფის ეს ორი ოთხმაგი აღარ იქნება კონგრუენტული, რადგან, ზოგადად, პროექციის დროს კუთხეები არ არის დაცული. მაგრამ რადგან ორმაგი თანაფარდობა არ იცვლება დიზაინის დროს, თანასწორობა (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) კვლავ რჩება. ამრიგად, ჩვენ მივედით შემდეგ მთავარ თეორემამდე: თუ K კონუსური მონაკვეთის ოთხი წერტილი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, ვთქვათ A, B, C, D.

თან ამავე მონაკვეთის მეხუთე წერტილი O a, b, c, d ხაზებით, მაშინ ორმაგი თანაფარდობა (abcd) არ არის დამოკიდებული O-ს პოზიციაზე K მრუდზე (სურ. 97).

ეს მშვენიერი შედეგია. როგორც უკვე ვიცით, თუ ოთხი წერტილი A, B, C, D არის აღებული წრფეზე, მაშინ ორმაგი მიმართება, რომელიც შედგება წრფეებისგან, რომლებიც აკავშირებს ამ წერტილებს მეხუთე O წერტილთან, არ არის დამოკიდებული.

1 ოთხმაგი a, b, c, d ითვლება სხვა ოთხმაგად a-ს კონგრუენტად 0 , b0 , c0 , d0 , თუ პირველ ოთხკუთხედში წრფეთა თითოეულ წყვილს შორის კუთხეები ტოლია როგორც სიდიდით, ასევე მეორე ოთხკუთხედის შესაბამის წრფეებს შორის კუთხეების მიმართულების მიმართ.

	კონუსური სექციები და კვადრატები
აირჩიე ეს მეხუთე წერტილი. ეს არის საწყისი პოზიცია საფუძვლად
პროექციული გეომეტრია. ჩვენ ახლა გავიგეთ, რომ მსგავსი განცხადება
განმარტება ასევე მოქმედებს ზოგიერთზე აღებული ოთხი პუნქტის მიმართ
კონუსური მონაკვეთი K, მაგრამ მნიშვნელოვანი შეზღუდვით: მეხუთე
წერტილი O ვეღარ მოძრაობს თავისუფლად მთელ სიბრტყეზე, მაგრამ შეუძლია
იმოძრავეთ მხოლოდ K კონუსური მონაკვეთის გასწვრივ.
	საპირისპირო თეორემის შემდეგნაირად დამტკიცება რთული არ არის.
ფორმა: თუ K მრუდზე არის ორი წერტილი O და O0, რომლებსაც აქვთ
იმ თვისებით, რაც არ უნდა იყოს A, B, C, D წერტილების ოთხმაგი
მრუდი K, ორმაგი შეფარდება, რომელიც შედგება შემაერთებელი სწორი ხაზებისგან
ეს წერტილები O-სთან და ამ წერტილების O0-თან დამაკავშირებელი ხაზებიდან ტოლია
მათ შორის, მაშინ მრუდი K არის კონუსური მონაკვეთი (და მაშინაც კი, by
პირდაპირი თეორემა, ორმაგი მიმართება, რომელიც შედგება სწორი ხაზებისგან, დაკავშირებული
ოთხი მოცემული ქულის აღება თვითნებური წერტილით O00 K-ზე, იქნება
აქვს იგივე მუდმივი მნიშვნელობა). მაგრამ მტკიცებულება ჩვენ აქ ვართ
არ მოვიტანთ.
	კონუსური მონაკვეთების ზემოაღნიშნული პროექციული თვისებები იწვევს
ამ მოსახვევების წერტილის აგების ზოგადი მეთოდის იდეა. მოდით შევთანხმდეთ
ხაზების ფანქრის ქვეშ გაგებულია თვითმფრინავის ყველა ხაზის მთლიანობა,
ამ წერტილის გავლით
ku O. განვიხილოთ ხაზების ფანქრები,
გადის ორი
	O0, მდებარეობს
მონაკვეთი K. სწორს შორის
სხივი O და სწორი სხივები
	O0 შეიძლება დაყენდეს ორმხრივად
მაგრამ ერთი-ერთზე მიმოწერა
პირდაპირი a-ს მიწოდება პირველიდან
შეფუთვის ხაზი a0 მეორე ყველა-
მინიშნება როგორ ხვდებიან a და a0			ბრინჯი. 97. ორმაგი მიმართება ელიფსზე
K მრუდის A რაღაც წერტილში.
მაშინ ნებისმიერი ოთხმაგი წრფე a,
b, c, d თასიდან O ექნება იგივე ორმაგი თანაფარდობა, როგორც co-
შესაბამისი ოთხმაგი a0 , b0 , c0 , d0 თასიდან O0 . ყველაფერი ერთია -
ერთმნიშვნელოვანი კორესპონდენცია ხაზების ორ ფანქარს შორის, რომელსაც აქვს
ამ უკანასკნელ თვისებას პროექციული კორესპონდენცია ეწოდება.
(ეს განმარტება ორმაგია პროექციის განმარტებასთან მიმართებაში
მიმოწერა წერტილებს შორის ორ სტრიქონზე, იხილეთ გვ. 198–198.)
ამ განმარტების გამოყენებით, ახლა შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ კონუსური
მონაკვეთი K არის გადაკვეთის წერტილების ადგილი
შესაბამისი ხაზები ორი ფანქრიდან პროექტში
შესაბამისობა. მიღებული თეორემა საფუძველს იძლევა შემდეგი
რომელიც იძლევა კონუსური მონაკვეთების წმინდა პროექციულ განმარტებას: კონუსური

პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა

მონაკვეთი არის ორი ფანქრის ურთიერთშესაბამისი ხაზების გადაკვეთის წერტილების ადგილი, რომლებიც პროექციულ შესაბამისობაშია1. რამდენადაც მაცდური არ უნდა იყოს ასეთ განმარტებაზე დაფუძნებული კონუსური მონაკვეთების თეორიის სიღრმეში შეღწევა, თუმცა იძულებული ვართ ამ თემაზე რამდენიმე შენიშვნით შემოვიფარგლოთ.

საპროექტო კორესპონდენციაში თასების წყვილი შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად. მოდით გავაპროექტოთ l სწორი ხაზის ყველა წერტილი P ორი განსხვავებული ცენტრიდან O და O00 და დავამყაროთ ერთი-ერთზე შესაბამისობა გამოსახულ ფანქრებს შორის იმ წრფეების ერთმანეთთან შედარებით, რომლებიც იკვეთება l წრფეზე. ეს საკმარისია იმისათვის, რომ მიღებული სხივები იყოს საპროექტო კორესპონდენციაში. შემდეგ ვიღებთ სხივს O00 და გადავიტანთ მას „მყარად“ თვითნებურ პოზიციაზე O0. ის, რომ ახალი შახტი O0 იქნება პროექციულ შესაბამისობაში თასმ O-სთან, სავსებით აშკარაა. მაგრამ აღსანიშნავია ის, რომ ნებისმიერი პროექციული მიმოწერა ორ თასს შორის შეიძლება იყოს

ბრინჯი. 98. ხაზების პროექციული ფანქრების აგების შესახებ

მიიღეთ ეს ისე. (ეს გარემოება ორმაგია სავარჯიშო 1-ზე 199-ზე.) თუ თაიგულები O და O0 თანმიმდევრულია, მიიღება წრე. თუ კუთხეები შესაბამის სხივებს შორის ორ სხივში ტოლია, მაგრამ იზომება საპირისპირო მიმართულებით, მაშინ მიიღება ტოლგვერდა ჰიპერბოლა (სურ. 99).

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ კონუსური მონაკვეთის მითითებულ განმარტებას შეუძლია, კერძოდ, სწორი ხაზის მიცემა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 98. ამ შემთხვევაში ხაზი OO00 შეესაბამება თავის თავს და მისი ყველა წერტილი უნდა ჩაითვალოს სასურველ ლოკუსს. ამრიგად, კონუსური განყოფილება გადაგვარდება

1 ეს ლოკუსი, გარკვეულ პირობებში, შეიძლება გადაგვარდეს სწორ ხაზში; იხილეთ ნახ. 98.

კონუსური სექციები და კვადრატები

სწორი ხაზების წყვილი: ეს გარემოება საკმაოდ შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ არსებობს კონუსის მონაკვეთები, რომლებიც შედგება ორი სწორი ხაზისგან (თუ ჭრის სიბრტყე გადის კონუსის წვეროზე).

9 8 O 7

ბრინჯი. 99. წრის და ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ფორმირება პროექციული თაიგულების გამოყენებით

Სავარჯიშოები. 1) დახატეთ ელიფსები, ჰიპერბოლები და პარაბოლები პროექციული ფანქრების გამოყენებით. (მკითხველს მოუწოდებს ექსპერიმენტი ჩაატაროს ამ ტიპის კონსტრუქციაზე. ეს ძალზე ხელს უწყობს საკითხის არსის გაგებას).

2) მოცემულია ხუთი წერტილი O, O0 , A, B, C ზოგიერთი კონუსური მონაკვეთის K. იპოვეთ O ფანქრის თვითნებური დ წრფის D გადაკვეთის წერტილები K მრუდით (მინიშნება: დახაზეთ ხაზები OA, OB, OC-დან O-მდე და დაასახელეთ ისინი a, b, c დახაზეთ წრფეები O0 A, O0 B, O0 C O0-მდე და უწოდეთ მათ a0 , b0 , c0 დახაზეთ d წრფე O-დან და ააგეთ წრფე d0 O0-დან ისე, რომ (abcd) = ( a0 b0 c0 d0 ) მაშინ d და d0-ის გადაკვეთის წერტილი მიეკუთვნება K მრუდს.)

3. კონუსური მონაკვეთები „მართული მრუდების“ სახით. კონუსური მონაკვეთის ტანგენტის კონცეფცია ეკუთვნის პროექციულ გეომეტრიას, რადგან კონუსური მონაკვეთის ტანგენსი არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი თავად მრუდთან და ეს არის თვისება, რომელიც შენარჩუნებულია პროექციის დროს. კონუსურ მონაკვეთებზე ტანგენტების პროექციული თვისებები ემყარება შემდეგ თეორემას:

ოთხი ფიქსირებული ტანგენტის გადაკვეთის წერტილების ორმაგი თანაფარდობა კონუსურ მონაკვეთთან თვითნებური მეხუთე ტანგენტით

ბრინჯი. 100. წრე, როგორც ტანგენტების კრებული

პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა

არ არის დამოკიდებული ამ მეხუთე ტანგენტის არჩევანზე. ამ თეორემის დადასტურება ძალიან

უბრალოდ. ვინაიდან ნებისმიერი კონუსური მონაკვეთი არის წრის პროექცია, და ვინაიდან თეორემა ეხება მხოლოდ ისეთ თვისებებს, რომლებიც პროექციის დროს უცვლელია, მაშინ თეორემის ზოგად შემთხვევაში დასამტკიცებლად საკმარისია მისი დამტკიცება კონკრეტული შემთხვევისთვის. წრე.

ერთი და იგივე შემთხვევისთვის თეორემა დადასტურებულია ელემენტარული გეომეტრიის საშუალებით. მოდით P , Q, R, S იყოს ოთხი წერტილი K წრეზე; a, b, c, d არის ტანგენტები ამ წერტილებზე; T - წრეზე სხვა წერტილი, o - მასში ტანგენსი; მოდით, შემდგომში, A, B, C, D -

o ტანგენტის გადაკვეთის წერტილები a, b, c, d ტანგენტებით. თუ M-

წრის ცენტრი, მაშინ, ცხადია, T MA = 1 2 T MP და ბოლო

გამოთქმა წარმოადგენს K-ში ჩაწერილ კუთხეს, T P რკალის საფუძველზე. ანალოგიურად, T MB წარმოადგენს K-ში ჩაწერილ კუთხეს და დაფუძნებულია რკალზე T Q. ამიტომ,

AMB = 1 2 ^ PQ,

სადაც 1 2 ^ P Q აღნიშნავს K-ში ჩაწერილ კუთხეს და ეფუძნება

gu P Q. აქედან ირკვევა, რომ A, B, C, D დაპროექტებულია M-დან ოთხი სწორი ხაზით, რომელთა შორის კუთხეებს აქვთ მნიშვნელობები, რომლებიც დამოკიდებულია მხოლოდ P, Q, R, S წერტილების პოზიციაზე. Ho მაშინ ორმაგი თანაფარდობა (ABCD) დამოკიდებულია მხოლოდ ოთხ ტანგენტზე a, b, c, d, მაგრამ არა o ტანგენსზე. ეს არის ზუსტად ის, რაც უნდა დამონტაჟდეს.

ბრინჯი. 101. წრის ტანგენსის თვისება

კონუსური სექციები და კვადრატები

წინა ქვეთავში, ჩვენ გვქონდა შესაძლებლობა გადაგვემოწმებინა, რომ კონუსური მონაკვეთი შეიძლება აშენდეს "წერტილებით", თუ დავიწყებთ ორი ფანქრის ურთიერთშესაბამისი ხაზების გადაკვეთის წერტილების აღნიშვნას, რომელთა შორისაც დამყარებულია პროექციული შესაბამისობა. ახლახან დადასტურებული თეორემა საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ ორმაგი თეორემა. ავიღოთ ორი ტანგენტი a და a0 კონუსურ მონაკვეთზე K. მოდით, მესამე ტანგენსი t გადაკვეთოს a და a0 წერტილებზე A და A0 შესაბამისად. თუ t მოძრაობს მრუდის გასწვრივ, მაშინ დადგინდება კორესპონდენცია

A ←→ A0

a და a0 წერტილებს შორის. ეს კორესპონდენცია იქნება პროექციული, რადგან ახლახან დადასტურებული თეორემით, a-ზე წერტილების თვითნებურ ოთხმაგს აუცილებლად ექნება იგივე ორმაგი შეფარდება, რაც a0-ზე წერტილების შესაბამის ოთხმაგს. აქედან გამომდინარეობს, რომ კონუსური მონაკვეთი K დის-

ბრინჯი. 102. ელიფსის ორ ტანგენტს წერტილების პროექციული რიგები

განიხილება, როგორც „მისი ტანგენტების მთლიანობა“, „შედგება“ ხაზებისაგან, რომლებიც აკავშირებენ ორ წერტილოვანი სერიების ურთიერთშესაბამის წერტილებს a და a0-ზე, რომლებიც პროექციულ შესაბამისობაში არიან. ეს გარემოება გვაძლევს საშუალებას შემოვიტანოთ კონუსური მონაკვეთების ახალი განმარტება, ამჯერად „მართული მრუდების“ სახით. მოდით შევადაროთ ეს განმარტება კონუსური მონაკვეთის წინა პროექციულ განმარტებას.

1 წერტილების კრებულს წრფეზე ეწოდება წერტილების სერია. ეს კონცეფცია ორმაგია ხაზების ფანქრის მიმართ.

პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა

ნია, წინა აბზაცში მოცემული:

კონუსური მონაკვეთი, განიხილება, როგორც წერტილების კრებული, შედგება ურთიერთშესაბამისი წრფეების გადაკვეთის წერტილებისგან ორ პროექტში.

კონუსური მონაკვეთი, რომელიც განიხილება როგორც "ხაზების კრებული", შედგება ხაზებისგან, რომლებიც აკავშირებენ ურთიერთშესაბამის წერტილებს ორ პროექტში.

თუ კონუსური მონაკვეთის ტანგენტს მის ზოგიერთ წერტილში განვიხილავთ, როგორც ორმაგ ელემენტს თავად წერტილის მიმართ და, გარდა ამისა, შევთანხმდებით, რომ ორმაგობის საფუძველზე შევადარებთ „მართულ მრუდს“ (წარმოქმნილი ტანგენტების კომპლექტი) „წერტილოვანი მრუდით“ (წარმოქმნილი წერტილების სიმრავლით), მაშინ წინა ფორმულირებები უნაკლო იქნება ორმაგობის პრინციპის თვალსაზრისით. ერთი ფორმულირების მეორეში „თარგმნისას“ ყველა ცნების შესაბამისი ორმაგი ცნებებით ჩანაცვლებით, „კონუსური მონაკვეთი“ უცვლელი რჩება; მაგრამ ერთ შემთხვევაში იგი განიხილება როგორც "წერტილი მრუდი", რომელიც განისაზღვრება მისი წერტილებით, მეორეში, როგორც "მართული მრუდი", რომელიც განისაზღვრება მისი ტანგენტებით.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს მნიშვნელოვანი დასკვნა: ორმაგობის პრინციპი, რომელიც თავდაპირველად ჩამოყალიბდა სიბრტყის პროექციულ გეომეტრიაში მხოლოდ წერტილებისა და ხაზებისთვის, გამოდის, რომ გამოიყენება კონუსურ მონაკვეთებზეც. თუ რაიმე თეორემის ფორმულირებისას, რომელიც ეხება წერტილებს, წრფეებს და კონუსურ მონაკვეთებს, ჩვენ თითოეულ ელემენტს შევცვლით მისი ორმაგით (იმ ფაქტის დაკარგვის გარეშე, რომ კონუსური მონაკვეთის წერტილი უნდა იყოს დაკავშირებული ამ კონუსური მონაკვეთის ტანგენსთან),

მაშინ შედეგი ასევე მოქმედი თეორემაა. ამ პრინციპის მოქმედების მაგალითს ამ პუნქტის მე-4 პუნქტში შევხვდებით.

კონუსური მონაკვეთების კონსტრუქცია, გაგებული როგორც "მართული მრუდები", ნაჩვენებია ნახ. 103–104 წწ. კერძოდ, თუ ორ პროექციულ წერტილოვან სერიაში უსასრულობის წერტილები ერთმანეთს შეესაბამება (ეს აუცილებლად მოხდება, თუ წერტილოვანი სერიები კონგრუენტული ან მსგავსია 1

პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა

ორმაგობის პრინციპი, რომელიც გამოიყენება კონუსურ მონაკვეთებზე, არის კავშირი პასკალისა და ბრიანშონის ზოგად თეორემებს შორის. პირველი მათგანი აღმოაჩინეს 1640 წელს, მეორე - 1806 წელს. თუმცა, თითოეული მათგანი მეორის უშუალო შედეგია, რადგან ნებისმიერი თეორემა, რომლის ფორმულირება მხოლოდ კონუსურ მონაკვეთებს, ხაზებსა და წერტილებს მოიხსენიებს, რა თქმა უნდა ძალაში რჩება. როდესაც ფორმულირება იცვლება ორმაგობის პრინციპით.

§ 5-ში დადასტურებული თეორემები იგივე სახელებით არის შემდეგი უფრო ზოგადი თეორემების „დეგენერაციული შემთხვევები“.

პასკალის თეორემა. კონუსურ მონაკვეთში ჩაწერილი ექვსკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები იკვეთება სამ ხაზოვან წერტილზე.

ბრინჯი. 105. პასკალის ზოგადი კონფიგურაცია. ნაჩვენებია ორი შემთხვევა, ერთი ექვსკუთხედისთვის 1, 2, 3, 4, 5, 6, მეორე ექვსკუთხედისთვის 1, 3, 5, 2, 6, 4

ბრიანშონის თეორემა. სამი დიაგონალი, რომლებიც აკავშირებს ექვსკუთხედის საპირისპირო წვეროებს, რომლებიც შემოიფარგლება კონუსური მონაკვეთის გარშემო, ერთდროულია.

ორივე თეორემას აქვს აშკარა პროექციული შინაარსი. მათი ორმაგობა გასაოცარია, როდესაც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

პასკალის თეორემა. მოცემულია ექვსი წერტილი 1, 2, 3, 4, 5, 6 კონუსურ მონაკვეთზე. დააკავშირეთ თანმიმდევრული წერტილები სწორი ხაზებით (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). გაითვალისწინეთ (1, 2) და (4, 5), (2, 3) და (5, 6), (3, 4) და (6, 1) ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ეს სამი წერტილი ერთსა და იმავე ხაზზე დევს.

კონუსური სექციები და კვადრატები

ბრიანშონის თეორემა. მოცემულია ექვსი ტანგენსი 1, 2, 3, 4, 5, 6 კონუსურ მონაკვეთზე. თანმიმდევრული ტანგენტები იკვეთება წერტილებზე (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). დავხატოთ (1, 2) და (4, 5), (2, 3) და (5, 6), (3, 4) და (6, 1) წერტილების დამაკავშირებელი სწორი ხაზები. ეს სამი ხაზი გადის იმავე წერტილში.

მტკიცებულებები ხორციელდება იმავე სპეციალობის დახმარებით, როგორც ადრე განხილულ დეგენერაციულ შემთხვევებში. დავამტკიცოთ პასკალის თეორემა. მოდით A, B, C, D, E, F იყოს K კონუსურ მონაკვეთში ჩაწერილი ექვსკუთხედის წვეროები. პროექციით შესაძლებელია AB და ED, F A და CD წრფეები პარალელურად გავხადოთ (და შემდეგ მივიღებთ ნაჩვენებ კონფიგურაციას. 107-ზე; მოხერხებულობისთვის ნახაზში ექვსკუთხედი აღებულია როგორც თვითგადაკვეთა, თუმცა ამის საჭიროება არ არის.) ახლა მხოლოდ ერთი რამ უნდა დავამტკიცოთ: რომ წრფე CB არის F E წრფის პარალელურად; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომ მოპირდაპირე მხარეები კვეთენ ხაზს უსასრულობაში. ამის დასამტკიცებლად განვიხილოთ F , A, B, D წერტილების ოთხმაგი, რომელიც, როგორც ვიცით, ინარჩუნებს იგივე ორმაგ შეფარდებას, ვთქვათ, k, როცა დაპროექტებულია ნებისმიერი K წერტილიდან. მოდით დავაპროექტოთ C წერტილიდან AF ხაზამდე; ვიღებთ F , A, Y , ∞ და წერტილების ოთხმაგს

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(იხილეთ გვერდი 205).

მოდით, ახლა დავაპროექტოთ E წერტილიდან BA წრფეზე; ვიღებთ

	პროექციული გეომეტრია. აქსიომატიკა

ბრინჯი. 108. სამი მოცემული ხაზის გადამკვეთი ხაზების აგება ზოგად პოზიციაში

ოთხი წერტილი X, A, B, ∞ და

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA=Y YF A,

რაც მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ Y B k F X. პასკალის თეორემის მტკიცებულება დასრულებულია.

ბრიანშონის თეორემა, როგორც აღინიშნა, პასკალის თეორემადან გამომდინარეობს ორმაგობის პრინციპით. მაგრამ ის ასევე შეიძლება დადასტურდეს პირდაპირ, მსჯელობით, რომელიც ორმაგია ახლახან მოცემულთან მიმართებაში. მკითხველისთვის შესანიშნავი სავარჯიშო იქნება ამ მსჯელობის დეტალურად განხორციელება.

5. ჰიპერბოლოიდი. სამგანზომილებიან სივრცეში ვხვდებით ეგრეთ წოდებულ კვადრატებს (მეორე რიგის ზედაპირები), რომლებიც ამ შემთხვევაში იგივე როლს ასრულებენ, რასაც სიბრტყეში „კონუსური მონაკვეთები“ (მეორე რიგის მრუდები).

მათგან ყველაზე მარტივია სფერო და ელიფსოიდი. კვადრატები უფრო მრავალფეროვანია, ვიდრე კონუსური მონაკვეთები და მათი შესწავლა უფრო მეტ სირთულეს მოიცავს. მოკლედ და დაუმტკიცებლად განვიხილავთ ამ ტიპის ერთ-ერთ ყველაზე საინტერესო ზედაპირს: ეგრეთ წოდებულ დაკავშირებულ (ან ერთფურცლიან) ჰიპერბოლოიდს.

ამ ზედაპირის მიღება შესაძლებელია შემდეგი გზით. აიღეთ სივრცეში სამი ხაზი l1 , l2 , l3 ზოგად პოზიციაზე. ეს უკანასკნელი ნიშნავს, რომ არცერთი მათგანი არ არის პარალელური და სამივე

ბრინჯი. 109. ჰიპერბოლოიდი

§ 8 კონუსური განყოფილებები და კვადრატები 239

არ არიან ერთი და იგივე სიბრტყის პარალელურად. შეიძლება გასაკვირი ჩანდეს, რომ სივრცეში არის უსასრულო რაოდენობის წრფეები, რომელთაგან თითოეული კვეთს სამივე მოცემულ ხაზს. დავრწმუნდეთ ამაში.

ვთქვათ p არის თვითნებური სიბრტყე, რომელიც შეიცავს l1 წრფეს; ეს სიბრტყე კვეთს l2 და l3 წრფეებს ორ წერტილში, ხოლო m წრფე ამ ორ წერტილში აშკარად კვეთს l1, l2 და l3 წრფეებს. როდესაც p სიბრტყე ბრუნავს l1 წრფეზე, m წრფე შეიცვლის თავის პოზიციას, მაგრამ ამავე დროს აგრძელებს სამი მოცემული წრფის გადაკვეთას. როდესაც m მოძრაობს, წარმოიქმნება ზედაპირი, რომელიც უსასრულოდ მიდის უსასრულობამდე, რომელსაც ეწოდება ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი. იგი შეიცავს m ტიპის ხაზების უსასრულო კომპლექტს. ნებისმიერი სამი ასეთი ხაზი, ვთქვათ m1, m2 და m3, ასევე იქნება ზოგად პოზიციაში და ის ხაზები სივრცეში, რომლებიც ერთდროულად გადაკვეთენ სამ ხაზს m1, m2 და m3,

ასევე დაწოლა განხილულ ზედაპირზე. ეს გულისხმობს ჰიპერბოლოიდის მთავარ თვისებას: ის შედგება სწორი ხაზების ორი განსხვავებული ოჯახისაგან; ერთი ოჯახის ყოველი სამი ხაზი ზოგად მდგომარეობაშია და ერთი ოჯახის ყოველი ხაზი კვეთს მეორის ყველა ხაზს.

ჰიპერბოლოიდის მნიშვნელოვანი პროექციული თვისებაა ის, რომ ოთხი წერტილის ორმაგი თანაფარდობა, რომლებშიც ერთი ოჯახის წრფეების მოცემული ოთხმაგი კვეთს მეორე ოჯახის ზოგიერთ წრფეს, არ არის დამოკიდებული ამ უკანასკნელის არჩევანზე. ეს განცხადება გამომდინარეობს მბრუნავი სიბრტყის გამოყენებით ჰიპერბოლოიდის აგების მეთოდიდან და მკითხველი შეიძლება დარწმუნდეს მის მართებულობაში და სავარჯიშოს ხარისხში.

ჩვენ აღვნიშნავთ ჰიპერბოლოიდის კიდევ ერთ ღირსშესანიშნავ თვისებას: მიუხედავად იმისა, რომ ის შეიცავს მართ ხაზების ორ ოჯახს, ამ ხაზების არსებობა ხელს არ უშლის ზედაპირის დახრას - არ ხდის მას ხისტად. თუ ავაშენებთ ჰიპერბოლოიდის მოდელს ღეროებისგან, რომელსაც შეუძლია თავისუფლად ბრუნოს ურთიერთგადაკვეთის წერტილების გარშემო, მაშინ ზედაპირი მთლიანად

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

მე-4 საშუალო სკოლა

კონუსური სექციები

შესრულდა

სპირიდონოვი ანტონ

მე-11 კლასის მოსწავლე

შემოწმდა

კორობეინიკოვა A.T.

ტობოლსკი - 2006 წ

შესავალი

კონუსური მონაკვეთების კონცეფცია

კონუსური მონაკვეთების სახეები

Სწავლა

კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა

ანალიტიკური მიდგომა

განაცხადი

დანართი

ბიბლიოგრაფია

შესავალი.

მიზანი: კონუსური მონაკვეთების შესწავლა.

მიზნები: ისწავლეთ კონუსური მონაკვეთების ტიპების გარჩევა, ცინიკური მონაკვეთების აგება და ანალიტიკური მიდგომის გამოყენება.

კონუსური მონაკვეთები პირველად შემოგვთავაზა ძველმა ბერძენმა გეომეტრმა მენეხმუსმა, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV საუკუნეში, კუბის გაორმაგების პრობლემის გადაჭრისას. ეს ამოცანა დაკავშირებულია შემდეგ ლეგენდასთან.

ერთ დღეს კუნძულ დელოსზე ჭირი გაჩნდა. კუნძულის მაცხოვრებლებმა ორაკულს მიმართეს, რომელმაც თქვა, რომ ეპიდემიის შესაჩერებლად, აუცილებელი იყო ოქროს საკურთხევლის გაორმაგება, რომელსაც კუბის ფორმა ჰქონდა და ათენში აპოლონის ტაძარში მდებარეობდა. კუნძულელებმა გააკეთეს ახალი საკურთხეველი, რომლის ნეკნები ორჯერ დიდი იყო, ვიდრე პირველის ნეკნები. თუმცა ჭირი არ შეწყვეტილა. გაბრაზებულმა მაცხოვრებლებმა გაიგეს ორაკულიდან, რომ არასწორად გაიგეს მისი რეცეპტი - საჭირო იყო კუბის კიდეების გაორმაგება, არამედ მისი მოცულობა, ანუ კუბის კიდეების გაზრდა.

ერთხელ. გეომეტრიული ალგებრის თვალსაზრისით, რომელსაც იყენებდნენ ბერძენი მათემატიკოსები, პრობლემა ნიშნავდა: მოცემული სეგმენტისთვის a იპოვეთ ისეთი სეგმენტები x და y, რომ a: x = x: y = y: 2a. მაშინ x-ის სიგრძე იქნება.

მოცემული პროპორცია შეიძლება ჩაითვალოს განტოლებათა სისტემად:

მაგრამ x 2 =ay და y 2 =2ax არის პარაბოლების განტოლებები. ამიტომ, პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია მათი გადაკვეთის წერტილების პოვნა. თუ გავითვალისწინებთ, რომ სისტემიდან შეიძლება მივიღოთ ჰიპერბოლის xy=2a 2 განტოლებაც, მაშინ იგივე ამოცანის ამოხსნა შესაძლებელია პარაბოლის ჰიპერბოლასთან გადაკვეთის წერტილების პოვნით.

კონუსური მონაკვეთების მისაღებად მენეხმუსმა გადაკვეთა კონუსი - მახვილკუთხა, მართკუთხა ან ბლაგვი - ერთ-ერთი გენერატორის პერპენდიკულარული სიბრტყით. მახვილკუთხიანი კონუსისთვის, სიბრტყის მონაკვეთს მისი გენერატრიქსის პერპენდიკულარული აქვს ელიფსის ფორმა. ბლაგვი კონუსი იძლევა ჰიპერბოლას, ხოლო მართკუთხა კონუსი იძლევა პარაბოლას.

აქედან წარმოიშვა მრუდების სახელები, რომლებიც შემოიღო ძვ.წ III საუკუნეში მცხოვრებმა აპოლონიუს პერგაელმა: ელიფსი (έλλείψίς), რაც ნიშნავს ნაკლს, ნაკლებობას (კონუსის კუთხის სწორ ხაზთან); ჰიპერბოლა (ύπέρβωλη) - გაზვიადება, უპირატესობა (კონუსის კუთხე სწორ ხაზზე); პარაბოლა (παραβολη) - მიახლოება, თანასწორობა (კონუსის კუთხე მართ კუთხამდე). მოგვიანებით ბერძნებმა შენიშნეს, რომ სამივე მრუდის მიღება შესაძლებელია ერთ კონუსზე ჭრის სიბრტყის დახრილობის შეცვლით. ამ შემთხვევაში უნდა აიღოთ ორი ღრუსგან შემდგარი კონუსი და ვიფიქროთ, რომ ისინი უსასრულობამდე ვრცელდება (სურ. 1).

თუ წრიული კონუსის მონაკვეთს დავხატავთ მის ღერძზე პერპენდიკულარულად და შემდეგ მოვატრიალებთ ჭრის სიბრტყეს, მისი გადაკვეთის ერთ წერტილს კონუსთან დავტოვებთ უმოძრაოდ, დავინახავთ, თუ როგორ გაიჭიმება წრე ჯერ და გადაიქცევა ელიფსად. შემდეგ ელიფსის მეორე წვერო წავა უსასრულობამდე და ელიფსის ნაცვლად გამოვა პარაბოლა, შემდეგ კი სიბრტყე გადაჭრის კონუსის მეორე ღრუს და აღმოჩნდება ჰიპერბოლა.

კონუსური მონაკვეთების კონცეფცია.

კონუსური მონაკვეთები არის სიბრტყე მრუდები, რომლებიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსის გადაკვეთით სიბრტყეზე, რომელიც არ გადის მის წვეროზე. ანალიტიკური გეომეტრიის თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთი არის წერტილების ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე რიგის განტოლებას. ბოლო ნაწილში განხილული დეგენერაციული შემთხვევების გარდა, კონუსური მონაკვეთები არის ელიფსები, ჰიპერბოლები ან პარაბოლები (ნახ. 2).

როდესაც მართკუთხა სამკუთხედი ბრუნავს ერთ-ერთი ფეხის გარშემო, ჰიპოტენუზა თავისი გაფართოებით აღწერს კონუსურ ზედაპირს, რომელსაც უწოდებენ მარჯვენა წრიული კონუსის ზედაპირს, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს წვეროზე გამავალი ხაზების უწყვეტ სერიად და ეწოდოს გენერატრიებს. და ყველა გენერატორი ეყრდნობა ერთსა და იმავე წრეს, რომელსაც ეწოდება მწარმოებელი. თითოეული გენერატორი არის მბრუნავი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა (მის ცნობილ პოზიციაში), რომელიც გრძელდება ორივე მიმართულებით უსასრულობამდე. ამრიგად, თითოეული გენერატრიქსი ვრცელდება წვერის ორივე მხარეს, რის შედეგადაც ზედაპირს აქვს ორი ღრუ: ისინი იყრიან ერთ წერტილს საერთო წვეროზე. თუ ასეთ ზედაპირს სიბრტყე კვეთს, მაშინ მონაკვეთში მიიღება მრუდი, რომელსაც კონუსური მონაკვეთი ეწოდება. ის შეიძლება იყოს სამი სახის:

1) თუ სიბრტყე კვეთს კონუსურ ზედაპირს ყველა გენერატორის გასწვრივ, მაშინ იჭრება მხოლოდ ერთი ღრუ და მიიღება დახურული მრუდი მონაკვეთში, რომელსაც ეწოდება ელიფსი;

2) თუ საჭრელი სიბრტყე კვეთს ორივე ღრუს, მაშინ მიიღება მრუდი, რომელსაც აქვს ორი ტოტი და ეწოდება ჰიპერბოლა;

3) თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია ერთ-ერთი გენერატორის, მაშინ მიიღება პარაბოლა.

თუ ჭრის სიბრტყე გენერირების წრის პარალელურია, მაშინ მიიღება წრე, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს ელიფსის განსაკუთრებულ შემთხვევად. ჭრის სიბრტყეს შეუძლია კონუსური ზედაპირის გადაკვეთა მხოლოდ ერთ წვეროზე, შემდეგ განყოფილებაში მიიღება წერტილი, როგორც ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა.

თუ ორივე ღრუ იკვეთება წვეროზე გამავალი სიბრტყით, მაშინ მონაკვეთში მიიღება გადამკვეთი წრფეების წყვილი, რომელიც განიხილება ჰიპერბოლის განსაკუთრებულ შემთხვევად.

თუ წვერო უსასრულობაშია, მაშინ კონუსური ზედაპირი იქცევა ცილინდრულად, ხოლო მისი მონაკვეთი გენერატორების პარალელურად სიბრტყით იძლევა პარაბოლის წყვილს, როგორც პარაბოლის განსაკუთრებულ შემთხვევას. კონუსური მონაკვეთები გამოიხატება მე-2 რიგის განტოლებებით, რომელთა ზოგადი ფორმაა

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

და ეწოდება მე-2 რიგის მრუდები.

კონუსური მონაკვეთების სახეები.

კონუსური მონაკვეთები შეიძლება იყოს სამი ტიპის:

1) ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ყველა გენერატრიქსს მისი ერთ-ერთი ღრუს წერტილში; გადაკვეთის ხაზი არის დახურული ოვალური მრუდი - ელიფსი; წრე, როგორც ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა, მიიღება, როდესაც ჭრის სიბრტყე პერპენდიკულარულია კონუსის ღერძზე.

2) ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი ტანგენტური სიბრტყის; განყოფილებაში მიიღება უსასრულობისკენ მიმავალი ღია მრუდი - პარაბოლა, რომელიც მთლიანად ერთ ღრუშია.

3) ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე ღრუს; გადაკვეთის ხაზი - ჰიპერბოლა - შედგება ორი იდენტური არადახურული ნაწილისგან (ჰიპერბოლის ტოტები), რომლებიც ვრცელდება უსასრულობამდე, დევს კონუსის ორივე ღრუში.

Სწავლა.

იმ შემთხვევებში, როდესაც კონუსურ მონაკვეთს აქვს სიმეტრიის ცენტრი (ცენტრი), ანუ ეს არის ელიფსი ან ჰიპერბოლა, მისი განტოლება შეიძლება შემცირდეს (დასაწყისის ცენტრში გადატანით) ფორმამდე:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33.

ასეთი (ე.წ. ცენტრალური) კონუსური მონაკვეთების შემდგომი კვლევები აჩვენებს, რომ მათი განტოლებები შეიძლება შემცირდეს კიდევ უფრო მარტივ ფორმამდე:

Ah 2 + Wu 2 = C,

თუ აირჩევთ ძირითად მიმართულებებს კოორდინატთა ღერძების მიმართულებებისთვის - კონუსური მონაკვეთების ძირითადი ღერძების (სიმეტრიის ღერძების) მიმართულებებს. თუ A და B-ს აქვთ ერთი და იგივე ნიშანი (ემთხვევა C ნიშანს), მაშინ განტოლება განსაზღვრავს ელიფსს; თუ A და B-ს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ ეს ჰიპერბოლაა.

პარაბოლას განტოლება არ შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე (Ax 2 + Vu 2 \u003d C). კოორდინატთა ღერძების შესაბამისი არჩევანით (ერთი საკოორდინატო ღერძი პარაბოლის სიმეტრიის ერთადერთი ღერძია, მეორე კი მასზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზი, რომელიც გადის პარაბოლის წვეროზე), მისი განტოლება შეიძლება დაიწიოს ფორმამდე:

კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა.

კონუსური მონაკვეთების, როგორც სიბრტყეების და კონუსების გადაკვეთის შესწავლისას, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები მათ ასევე განიხილავდნენ, როგორც სიბრტყეზე წერტილების ტრაექტორიებს. აღმოჩნდა, რომ ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წერტილების ლოკუსი, მანძილების ჯამი, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია; პარაბოლა - როგორც მოცემული წერტილიდან და მოცემული წრფედან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი; ჰიპერბოლა - როგორც წერტილების ლოკუსი, დისტანციების სხვაობა, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია.

კონუსური მონაკვეთების ეს განმარტებები, როგორც სიბრტყე მრუდები, ასევე გვთავაზობს მათი აგების გზას დაჭიმული ძაფის გამოყენებით.

ელიფსი. თუ მოცემული სიგრძის ძაფის ბოლოები ფიქსირდება F 1 და F 2 წერტილებზე (ნახ. 3), მაშინ მჭიდროდ დაჭიმული ძაფის გასწვრივ მცურავი ფანქრის წვერით აღწერილ მრუდს აქვს ელიფსის ფორმა. F 1 და F 2 წერტილებს უწოდებენ ელიფსის კერებს, ხოლო V 1 V 2 და v 1 v 2 სეგმენტებს ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს შორის კოორდინატულ ღერძებთან - ძირითადი და მცირე ღერძი. თუ წერტილები F 1 და F 2 ემთხვევა, მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ (ნახ. 3).

ჰიპერბოლა. ჰიპერბოლის აგებისას წერტილი P, ფანქრის წვერი, ფიქსირდება ძაფზე, რომელიც თავისუფლად სრიალებს F 1 და F 2 წერტილებზე დაყენებული კალმების გასწვრივ, როგორც ნაჩვენებია 4-ზე, და დისტანციები არჩეულია ისე, რომ სეგმენტი PF 2 უფრო გრძელია ვიდრე სეგმენტი PF 1 ფიქსირებული მნიშვნელობით ნაკლებია ვიდრე მანძილი F 1 F 2 . ამ შემთხვევაში, ძაფის ერთი ბოლო გადის სამაგრის ქვეშ F 1 და ძაფის ორივე ბოლო გადის სამაგრზე F 2-ზე. (ფანქრის წვერი არ უნდა სრიალდეს ძაფის გასწვრივ, ამიტომ ის უნდა იყოს დამაგრებული ძაფზე პატარა მარყუჟის გაკეთებით და მასში წვერის ჩასხმით.) ვხატავთ ჰიპერბოლის ერთ ტოტს (PV 1 Q), დარწმუნდებით, რომ ძაფი მუდამ დაჭიმული რჩება და, ძაფის ორივე ბოლო ჩამოწიეთ F 2 წერტილის მიღმა, და როდესაც წერტილი P არის F 1 F 2 სეგმენტის ქვემოთ, დაიჭირეთ ძაფი ორივე ბოლოზე და ფრთხილად გაათავისუფლეთ იგი. ჰიპერბოლის მეორე ტოტს ვხატავთ ჯერ F 1 და F 2 ქინძისთავების შეცვლით (ნახ. 4).

კონუსური სექციები
სიბრტყე მრუდები, რომლებიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსის გადაკვეთით სიბრტყეზე, რომელიც არ გადის მის ზედა ნაწილში (სურ. 1). ანალიტიკური გეომეტრიის თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთი არის წერტილების ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე რიგის განტოლებას. ბოლო ნაწილში განხილული დეგენერაციული შემთხვევების გარდა, კონუსური მონაკვეთები არის ელიფსები, ჰიპერბოლები ან პარაბოლები.

კონუსური სექციები ხშირად გვხვდება ბუნებაში და ტექნოლოგიაში. მაგალითად, მზის გარშემო მოძრავი პლანეტების ორბიტები ელიფსებია. წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელშიც მთავარი ღერძი უდრის მცირეს. პარაბოლურ სარკეს აქვს თვისება, რომ მისი ღერძის პარალელურად ყველა შემხვედრი სხივი ერთ წერტილში (ფოკუსირება) იყრის თავს. იგი გამოიყენება უმეტეს ამრეკლ ტელესკოპებში პარაბოლური სარკეების გამოყენებით, ასევე რადარის ანტენებში და სპეციალურ მიკროფონებში პარაბოლური რეფლექტორებით. პარაბოლური სხივების სხივი გამოდის პარაბოლური რეფლექტორის ფოკუსში მოთავსებული სინათლის წყაროდან. ამიტომ, პარაბოლური სარკეები გამოიყენება მძლავრ პროჟექტორებში და მანქანის ფარებში. ჰიპერბოლა არის მრავალი მნიშვნელოვანი ფიზიკური ურთიერთობის გრაფიკი, როგორიცაა ბოილის კანონი (რომელიც აკავშირებს იდეალური გაზის წნევასა და მოცულობას) და ომის კანონი, რომელიც განსაზღვრავს ელექტრულ დენს, როგორც მუდმივი ძაბვის წინააღმდეგობის ფუნქციას.
იხილეთ ასევეზეციური მექანიკა.
ადრეული ისტორია
კონუსური მონაკვეთების აღმომჩენად მიჩნეულია მენეხმუსი (ძვ. წ. IV ს.), პლატონის მოწაფე და ალექსანდრე მაკედონელის მასწავლებელი. მენექმუსმა გამოიყენა პარაბოლა და ტოლფერდა ჰიპერბოლა კუბის გაორმაგების პრობლემის გადასაჭრელად. არისტაოსისა და ევკლიდეს მიერ IV საუკუნის ბოლოს დაწერილი ტრაქტატები კონუსურ მონაკვეთებზე. ძვ.წ, დაიკარგა, მაგრამ მათგან მიღებული მასალები შეტანილი იყო პერგას აპოლონიუს ცნობილ კონუსურ მონაკვეთებში (დაახლოებით ძვ. აპოლონიუსმა მიატოვა მოთხოვნა, რომ კონუსის გენერატრიქსის სეკანტური სიბრტყე იყოს პერპენდიკულარული და, მისი დახრილობის კუთხის ცვლილებით, მიიღო ყველა კონუსური მონაკვეთი ერთი წრიული კონუსისგან, სწორი ან დახრილი. ჩვენ ასევე გვმართებს აპოლონიუსს მრუდების თანამედროვე სახელები - ელიფსი, პარაბოლა და ჰიპერბოლა. თავის კონსტრუქციებში აპოლონიუსმა გამოიყენა ორფურცლიანი წრიული კონუსი (როგორც ნახ. 1-ში), ასე რომ, პირველად გაირკვა, რომ ჰიპერბოლა არის მრუდი ორი განშტოებით. აპოლონიუსის დროიდან მოყოლებული, კონუსური მონაკვეთები იყოფა სამ ტიპად, რაც დამოკიდებულია ჭრის სიბრტყის დახრილობაზე კონუსის გენერატრიქსზე. ელიფსი (სურ. 1, ა) წარმოიქმნება, როდესაც ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ყველა გენერატორს მისი ერთ-ერთი ღრუს წერტილში; პარაბოლა (სურ. 1, ბ) - როდესაც ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი ტანგენტური სიბრტყის პარალელურად; ჰიპერბოლა (სურ. 1, გ) - როდესაც ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე ღრუს.
კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა
კონუსური მონაკვეთების, როგორც სიბრტყეების და კონუსების გადაკვეთის შესწავლისას, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები მათ ასევე განიხილავდნენ, როგორც სიბრტყეზე წერტილების ტრაექტორიებს. აღმოჩნდა, რომ ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წერტილების ლოკუსი, მანძილების ჯამი, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია; პარაბოლა - როგორც მოცემული წერტილიდან და მოცემული წრფედან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი; ჰიპერბოლა - როგორც წერტილების ლოკუსი, დისტანციების სხვაობა, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია. კონუსური მონაკვეთების ეს განმარტებები, როგორც სიბრტყე მრუდები, ასევე გვთავაზობს მათი აგების გზას დაჭიმული ძაფის გამოყენებით.
ელიფსი.თუ მოცემული სიგრძის ძაფის ბოლოები ფიქსირდება F1 და F2 წერტილებზე (ნახ. 2), მაშინ მჭიდროდ დაჭიმული ძაფის გასწვრივ მცურავი ფანქრის წვერით აღწერილ მრუდს აქვს ელიფსის ფორმა. F1 და F2 წერტილებს უწოდებენ ელიფსის კერებს, ხოლო V1V2 და v1v2 სეგმენტებს ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს შორის კოორდინატულ ღერძებთან - ძირითადი და მცირე ღერძი. თუ წერტილები F1 და F2 ემთხვევა, მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ.

ჰიპერბოლა.ჰიპერბოლის აგებისას წერტილი P, ფანქრის წერტილი, ფიქსირდება ძაფზე, რომელიც თავისუფლად სრიალებს F1 და F2 წერტილებზე დაყენებული კალმების გასწვრივ, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3ა. დისტანციები არჩეულია ისე, რომ სეგმენტი PF2 იყოს უფრო გრძელი ვიდრე PF1 სეგმენტი ფიქსირებული რაოდენობით, რაც ნაკლებია ვიდრე F1F2 მანძილი. ამ შემთხვევაში, ძაფის ერთი ბოლო გადის F1 სამაგრის ქვეშ და ძაფის ორივე ბოლო გადის F2 სამაგრზე. (ფანქრის წვერი არ უნდა სრიალდეს ძაფის გასწვრივ, ამიტომ ის უნდა იყოს დამაგრებული ძაფზე პატარა მარყუჟის გაკეთებით და მასში წვერის ჩასხმით.) ვხატავთ ჰიპერბოლას (PV1Q) ერთ ტოტს, დარწმუნდებით, რომ ძაფი მუდამ დაჭიმული რჩება და ძაფის ორივე ბოლო აწევა F2 წერტილის გვერდით, და როდესაც წერტილი P არის F1F2 სეგმენტის ქვემოთ, დაიჭირეთ ძაფი ორივე ბოლოზე და ფრთხილად გააუქმეთ (ანუ გაათავისუფლეთ). ჩვენ ვხატავთ ჰიპერბოლის მეორე ტოტს (P "V2Q"), რომელმაც მანამდე შეცვალა სამაგრების როლები F1 და F2.

ჰიპერბოლის ტოტები უახლოვდება ორ სწორ ხაზს, რომლებიც იკვეთება ტოტებს შორის. ეს ხაზები, რომლებსაც ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ეწოდება, აგებულია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3ბ. ამ ხაზების ფერდობები ტოლია ± (v1v2)/(V1V2), სადაც v1v2 არის ასიმპტოტებს შორის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, F1F2 სეგმენტის პერპენდიკულარული; სეგმენტს v1v2 ეწოდება ჰიპერბოლის კონიუგატ ღერძს, ხოლო V1V2 სეგმენტს მისი განივი ღერძი. ამრიგად, ასიმპტოტები არის მართკუთხედის დიაგონალები, რომელთა გვერდები გადის ოთხ წერტილს v1, v2, V1, V2 ღერძების პარალელურად. ამ მართკუთხედის ასაგებად, თქვენ უნდა მიუთითოთ v1 და v2 წერტილების მდებარეობა. ისინი იმავე მანძილზე არიან, ტოლი

O ღერძების გადაკვეთის წერტილიდან. ეს ფორმულა გულისხმობს მართკუთხა სამკუთხედის აგებას Ov1 და V2O ფეხებით და ჰიპოტენუზა F2O. თუ ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, მაშინ ჰიპერბოლას ეწოდება ტოლფერდა. ორ ჰიპერბოლას, რომლებსაც აქვთ საერთო ასიმპტოტები, მაგრამ გადაწყობილი განივი და კონიუგირებული ღერძებით, ორმხრივ კონიუგატებს უწოდებენ.
პარაბოლა.ელიფსის და ჰიპერბოლის კერები ცნობილი იყო აპოლონიუსისთვის, მაგრამ პარაბოლის ფოკუსი, როგორც ჩანს, პირველად დაადგინა პაპუსმა (მე-3 საუკუნის II ნახევარი), რომელმაც ეს მრუდი განსაზღვრა, როგორც მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ადგილი. ფოკუსი) და მოცემული სწორი ხაზი, რომელსაც რეჟისორი ეწოდება. პარაბოლის აგება დაჭიმული ძაფის გამოყენებით, პაპუსის განმარტებაზე დაყრდნობით, შემოთავაზებული იყო ისიდორე მილეტელის მიერ (VI საუკუნე). მოდით მოვაწყოთ სახაზავი ისე, რომ მისი კიდე ემთხვეოდეს LLў მიმართულებას (ნახ. 4) და ამ კიდეს მივამაგროთ სახაზავი სამკუთხედის ABC ფეხი. AB სიგრძის ძაფის ერთ ბოლოს ვამაგრებთ სამკუთხედის B წვეროზე, ხოლო მეორეს პარაბოლას F-ის ფოკუსში. ძაფის გაჭიმვა ფანქრის წვერით, ცვლადი წერტილის P წვერი დაჭერით თავისუფალზე. სახატავი სამკუთხედის AB ფეხი. როდესაც სამკუთხედი მოძრაობს სახაზავთან ერთად, წერტილი P აღწერს პარაბოლის რკალს ფოკუსით F და მიმართულებით LLў, ვინაიდან ძაფის მთლიანი სიგრძეა AB, ძაფის სეგმენტი სამკუთხედის თავისუფალ ფეხის გვერდით არის და ამიტომ ძაფის PF დარჩენილი სეგმენტი უნდა იყოს AB ფეხის დარჩენილი ნაწილების ტოლი, ე.ი. PA. V პარაბოლის ღერძთან გადაკვეთის წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება, F და V-ზე გამავალ სწორ ხაზს - პარაბოლის ღერძი. თუ ღერძზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზი გავლებულია ფოკუსში, მაშინ პარაბოლით მოწყვეტილ ამ სწორი ხაზის სეგმენტს ფოკუსური პარამეტრი ეწოდება. ელიფსისთვის და ჰიპერბოლისთვის, ფოკალური პარამეტრი განისაზღვრება ანალოგიურად.

კონუსური მონაკვეთების თვისებები
პაპუსის განმარტებები.პარაბოლის ფოკუსის დადგენამ პაპუსი მიიყვანა იდეამდე, მიეწოდებინა ზოგადად კონუსური მონაკვეთების ალტერნატიული განმარტება. მოდით F იყოს მოცემული წერტილი (ფოკუსი), L მოცემული ხაზი (მიმართულება) რომელიც არ გადის F-ს, და DF და DL მანძილი მოძრავი წერტილიდან P ფოკუსამდე F და მიმართულებამდე L, შესაბამისად. შემდეგ, როგორც პაპმა აჩვენა, კონუსური მონაკვეთები განისაზღვრება, როგორც P წერტილების ლოკუსი, რომლის თანაფარდობა DF/DL არის არაუარყოფითი მუდმივი. ამ თანაფარდობას ეწოდება კონუსური მონაკვეთის ექსცენტრიულობა e. როდესაც e 1 - ჰიპერბოლა; e = 1-ისთვის - პარაბოლა. თუ F დევს L-ზე, მაშინ ლოკუსს აქვს ხაზების ფორმა (რეალური ან წარმოსახვითი), რომლებიც წარმოადგენენ დეგენერაციულ კონუსურ მონაკვეთებს. ელიფსის და ჰიპერბოლის თვალსაჩინო სიმეტრია ვარაუდობს, რომ თითოეულ ამ მრუდს აქვს ორი მიმართულება და ორი ფოკუსი, და ამ გარემოებამ მიიყვანა კეპლერი 1604 წელს იმ აზრამდე, რომ პარაბოლას ასევე აქვს მეორე ფოკუსი და მეორე მიმართულება - წერტილი უსასრულობაში და სწორი. ანალოგიურად, წრე შეიძლება ჩაითვალოს ელიფსად, რომლის კერები ემთხვევა ცენტრს, ხოლო მიმართულებები უსასრულობაშია. ექსცენტრიულობა e ამ შემთხვევაში ნულის ტოლია.
დენდელინის დიზაინი.კონუსური მონაკვეთის ფოკუსები და მიმართულებები შეიძლება ნათლად იყოს ნაჩვენები კონუსში ჩაწერილი სფეროების გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება დანდელინის სფეროები (ბურთები) ბელგიელი მათემატიკოსისა და ინჟინრის J. Dandelin-ის (1794-1847) პატივსაცემად, რომელმაც შემოგვთავაზა შემდეგი კონსტრუქცია. მოდით, კონუსური მონაკვეთი ჩამოყალიბდეს რაღაც p სიბრტყის გადაკვეთით ორ ფურცლიან მარჯვენა წრიულ კონუსთან O წერტილში წვეროსთან. ამ კონუსში ჩავწერთ ორ სფეროს S1 და S2, რომლებიც ეხება p სიბრტყეს F1 და F2 წერტილებში. შესაბამისად. თუ კონუსური მონაკვეთი არის ელიფსი (სურ. 5a), მაშინ ორივე სფერო იმავე ღრუშია: ერთი სფერო მდებარეობს p- სიბრტყის ზემოთ, მეორე კი მის ქვემოთ. კონუსის თითოეული გენერაცია ეხება ორივე სფეროს და შეხების წერტილებს აქვს ორი წრის ფორმა C1 და C2, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეებში p1 და p2. მოდით P იყოს თვითნებური წერტილი კონუსურ მონაკვეთზე. დახაზეთ ხაზები PF1, PF2 და გააფართოვეთ ხაზი PO. ეს ხაზები მიემართება სფეროებს F1, F2 და R1, R2 წერტილებზე. ვინაიდან ერთი წერტილიდან სფეროზე გამოყვანილი ყველა ტანგენტი ტოლია, მაშინ PF1 = PR1 და PF2 = PR2. ამიტომ, PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. ვინაიდან p1 და p2 სიბრტყეები პარალელურია, სეგმენტს R1R2 აქვს მუდმივი სიგრძე. ამრიგად, რაოდენობა PR1 + PR2 ერთნაირია P წერტილის ყველა პოზიციისთვის, ხოლო P წერტილი მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომლისთვისაც P-დან F1-მდე და F2-მდე მანძილების ჯამი მუდმივია. აქედან გამომდინარე, წერტილები F1 და F2 არის ელიფსური მონაკვეთის კერები. გარდა ამისა, შეიძლება აჩვენოს, რომ ხაზები, რომლებზეც სიბრტყე p კვეთს p1 და p2 სიბრტყეებს, არის აგებული ელიფსის მიმართულებები. თუ p კვეთს კონუსის ორივე ღრუს (ნახ. 5b), მაშინ დანდელინის ორი სფერო მდებარეობს p სიბრტყის ერთსა და იმავე მხარეს, თითო სფერო კონუსის თითოეულ ღრუში. ამ შემთხვევაში PF1-სა და PF2-ს შორის სხვაობა მუდმივია და P წერტილების ადგილს აქვს ჰიპერბოლის ფორმა F1 და F2 კერებით და სწორი ხაზები - p-ის გადაკვეთის ხაზები p1-თან და p2-თან - მიმართულების სახით. თუ კონუსური მონაკვეთი არის პარაბოლა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5c, მაშინ მხოლოდ ერთი დანდელინის სფერო შეიძლება ჩაიწეროს კონუსში.

სხვა თვისებები.კონუსური მონაკვეთების თვისებები მართლაც ამოუწურავია და ნებისმიერი მათგანი შეიძლება ჩაითვალოს გადამწყვეტად. პაპუსის (დაახლოებით 300 წ.), დეკარტის გეომეტრიასა (1637 წ.) და ნიუტონის პრინციპებში (1687 წ.) მათემატიკურ კრებულში მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია ოთხი წრფის მიმართ წერტილების ლოკუსის პრობლემას. თუ სიბრტყეზე მოცემულია ოთხი ხაზი L1, L2, L3 და L4 (აქედან ორი შეიძლება ემთხვეოდეს) და წერტილი P ისეთია, რომ P-დან L1-მდე და L2-მდე მანძილების ნამრავლი პროპორციულია P-დან მანძილების ნამრავლის. L3 და L4-მდე, მაშინ P წერტილების ლოკუსი არის კონუსური განყოფილება. დეკარტმა შეცდომით მიიჩნია, რომ აპოლონიუსმა და პაპუსმა ვერ გადაჭრეს წერტილების ადგილის პრობლემა ოთხი წრფის მიმართ, დეკარტმა ამონახსნის მისაღებად და მისი განზოგადების მიზნით შექმნა ანალიტიკური გეომეტრია.
ანალიტიკური მიდგომა
ალგებრული კლასიფიკაცია.ალგებრული თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც სიბრტყე მრუდები, რომელთა დეკარტის კოორდინატები აკმაყოფილებს მეორე ხარისხის განტოლებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა კონუსური მონაკვეთის განტოლება შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით, როგორც

სადაც ყველა კოეფიციენტი A, B და C არ არის ნულის ტოლი. ღერძების პარალელური გადაყვანისა და ბრუნვის დახმარებით განტოლება (1) შეიძლება დაიწიოს ფორმაში ax2 + by2 + c = 0.
ან px2 + qy = 0. პირველი განტოლება მიღებულია (1) განტოლებიდან B2 № AC-ით, მეორე - B2 = AC-ით. კონუსურ მონაკვეთებს, რომელთა განტოლებები დაყვანილია პირველ ფორმამდე, ეწოდება ცენტრალური. მეორე ტიპის განტოლებებით მოცემულ კონუსურ მონაკვეთებს q no.0-ით უწოდებენ არაცენტრალურ. ამ ორ კატეგორიაში არის ცხრა სხვადასხვა ტიპის კონუსური განყოფილება, რაც დამოკიდებულია კოეფიციენტების ნიშნებზე. 1) თუ a, b და c კოეფიციენტებს აქვთ იგივე ნიშანი, მაშინ არ არსებობს რეალური წერტილები, რომელთა კოორდინატები დააკმაყოფილებენ განტოლებას. ასეთ კონუსურ მონაკვეთს წარმოსახვითი ელიფსი ეწოდება (ან წარმოსახვითი წრე, თუ a = b). 2) თუ a-ს და b-ს აქვთ ერთი და იგივე ნიშანი, ხოლო c-ს მოპირდაპირეა, მაშინ კონუსური განყოფილება არის ელიფსი (სურ. 1, a); a = b-სთვის - წრე (ნახ. 6,ბ).

3) თუ a და b-ს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ კონუსური მონაკვეთი არის ჰიპერბოლა (ნახ. 1, გ). 4) თუ a და b-ს განსხვავებული ნიშნები აქვთ და c = 0, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზისგან (ნახ. 6a). 5) თუ a და b აქვთ ერთი და იგივე ნიშანი და c = 0, მაშინ მრუდზე არის მხოლოდ ერთი რეალური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას, ხოლო კონუსური მონაკვეთი არის ორი წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზი. ამ შემთხვევაში ასევე საუბარია წერტილამდე შეკუმშულ ელიფსზე ან, თუ a = b, წერტილამდე შეკუმშულ წრეზე (ნახ. 6b). 6) თუ a ან b არის ნულის ტოლი, ხოლო სხვა კოეფიციენტებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი პარალელური ხაზისგან. 7) თუ a ან b არის ნულის ტოლი, ხოლო დანარჩენ კოეფიციენტებს აქვთ იგივე ნიშანი, მაშინ არ არსებობს რეალური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი წარმოსახვითი პარალელური ხაზისგან. 8) თუ c = 0 და a ან b ასევე არის ნული, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი რეალური თანმიმდევრული სწორი ხაზისგან. (განტოლება არ განსაზღვრავს კონუსურ მონაკვეთს a = b = 0-ზე, რადგან ამ შემთხვევაში თავდაპირველი განტოლება (1) არ არის მეორე ხარისხის.) 9) მეორე ტიპის განტოლებები განსაზღვრავს პარაბოლებს, თუ p და q არ არის ნულოვანი. თუ p No. 0 და q = 0, მივიღებთ მრუდს მე-8 პუნქტიდან. თუ p = 0, მაშინ განტოლება არ განსაზღვრავს კონუსურ მონაკვეთს, რადგან თავდაპირველი განტოლება (1) არ არის მეორე ხარისხის. კონუსური მონაკვეთების განტოლებების გამოყვანა. ნებისმიერი კონუსური მონაკვეთი ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მრუდი, რომლის გასწვრივ სიბრტყე კვეთს კვადრატულ ზედაპირს, ე.ი. მეორე ხარისხის განტოლებით მოცემული ზედაპირით f (x, y, z) = 0. როგორც ჩანს, კონუსური მონაკვეთები პირველად ამ ფორმით იქნა აღიარებული და მათი სახელები (იხ. ქვემოთ) დაკავშირებულია იმ ფაქტთან, რომ ისინი მიიღეს გადაკვეთის სიბრტყე კონუსით z2 = x2 + y2. მოდით ABCD იყოს მართი წრიული კონუსის ფუძე (ნახ. 7), რომელსაც აქვს სწორი კუთხე V წვეროზე. დაე, სიბრტყე FDC კვეთს VB გენერატრიქსს F წერტილში, ფუძე CD ხაზის გასწვრივ და კონუსის ზედაპირის გასწვრივ. მრუდი DFPC, სადაც P არის მრუდის ნებისმიერი წერტილი. დახაზეთ CD სეგმენტის შუაში - წერტილი E - ხაზი EF და დიამეტრი AB. P წერტილის გავლით ვხატავთ სიბრტყეს კონუსის ფუძის პარალელურად, რომელიც კვეთს კონუსს წრის RPS და EF წრფის გასწვრივ Q წერტილში. შემდეგ QF და QP შეიძლება მივიღოთ, შესაბამისად, x აბსცისა და y ორდინატად. წერტილის P. მიღებული მრუდი იქნება პარაბოლა. კონსტრუქცია ნაჩვენებია ნახ. 7 შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონუსური მონაკვეთების ზოგადი განტოლებების გამოსატანად. პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძის კვადრატი, რომელიც აღდგენილია დიამეტრის ნებისმიერი წერტილიდან წრესთან კვეთამდე, ყოველთვის უდრის დიამეტრის სეგმენტების სიგრძის ნამრავლს. Ისე

y2 = RQ*QS.
პარაბოლისთვის RQ სეგმენტს აქვს მუდმივი სიგრძე (რადგან P წერტილის ნებისმიერი პოზიციისთვის ის უდრის AE სეგმენტს), ხოლო QS სეგმენტის სიგრძე x-ის პროპორციულია (QS/EB = QF/ მიმართებიდან. FE). აქედან გამომდინარეობს, რომ

სადაც a არის მუდმივი ფაქტორი. რიცხვი a გამოხატავს პარაბოლის ფოკუსური პარამეტრის სიგრძეს. თუ კონუსის მწვერვალზე კუთხე მწვავეა, მაშინ RQ სეგმენტი არ არის AE სეგმენტის ტოლი; მაგრამ მიმართება y2 = RQЧQS უდრის ფორმის განტოლებას

სადაც a და b არის მუდმივები, ან, ღერძების გადატანის შემდეგ, განტოლება

არის ელიფსის განტოლება. ელიფსის გადაკვეთის წერტილები x ღერძთან (x = a და x = -a) და ელიფსის გადაკვეთის წერტილები y ღერძთან (y = b და y = -b) განსაზღვრავს ძირითად და მცირე ღერძებს. , შესაბამისად. თუ კონუსის წვეროზე კუთხე ბლაგვია, მაშინ კონუსისა და სიბრტყის გადაკვეთის მრუდს აქვს ჰიპერბოლის ფორმა, ხოლო განტოლება იღებს შემდეგ ფორმას:

ან, ცულების გადაადგილების შემდეგ,

ამ შემთხვევაში, x2 = a2-ით მოცემული x კვეთები განსაზღვრავს განივი ღერძს, ხოლო y-კვეთები, რომლებიც მოცემულია y2 = -b2-ით, განსაზღვრავს კონიუგატულ ღერძს. თუ (4a) განტოლებაში a და b მუდმივები ტოლია, მაშინ ჰიპერბოლას ეწოდება ტოლფერდა. ღერძების მობრუნებით მისი განტოლება მცირდება xy = k ფორმამდე.
ახლა (3), (2) და (4) განტოლებიდან შეგვიძლია გავიგოთ აპოლონიუსის მიერ მიცემული სახელების მნიშვნელობა სამი ძირითადი კონუსური მონაკვეთისთვის. ტერმინები "ელიფსი", "პარაბოლა" და "ჰიპერბოლა" მომდინარეობს ბერძნული სიტყვებიდან, რაც ნიშნავს "ნაკლოვანებას", "თანაბარს" და "უმაღლესს". (3), (2) და (4) განტოლებიდან ირკვევა, რომ ელიფსისთვის y2 (2b2/a) x. თითოეულ შემთხვევაში, ფრჩხილებში ჩასმული მნიშვნელობა მრუდის ფოკუსური პარამეტრის ტოლია. თავად აპოლონიუსმა განიხილა მხოლოდ სამი ზოგადი ტიპის კონუსური მონაკვეთი (ტიპები 2, 3 და 9 ზემოთ ჩამოთვლილი), მაგრამ მისი მიდგომა იძლევა განზოგადების საშუალებას, რომელიც საშუალებას იძლევა განიხილოს ყველა რეალური მეორე რიგის მრუდი. თუ ჭრის თვითმფრინავი არჩეულია კონუსის წრიული ბაზის პარალელურად, მაშინ მონაკვეთი იქნება წრე. თუ საჭრელ სიბრტყეს აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი კონუსთან, მისი წვერო, მაშინ მიიღება მე-5 ტიპის მონაკვეთი; თუ ის შეიცავს წვეროს და კონუსზე ტანგენტს, მაშინ ვიღებთ მე-8 ტიპის მონაკვეთს (სურ. 6ბ); თუ საჭრელი სიბრტყე შეიცავს კონუსის ორ გენერატორს, მაშინ მონაკვეთში მიიღება მე-4 ტიპის მრუდი (სურ. 6, ა); როდესაც წვერო გადაინაცვლებს უსასრულობაში, კონუსი იქცევა ცილინდრად, ხოლო თუ სიბრტყე შეიცავს ორ გენერატორს, მაშინ მიიღება მე-6 ტიპის მონაკვეთი. წრეს თუ შეხედავთ დახრილი კუთხით, მაშინ ის ელიფსს ჰგავს. წრესა და ელიფსს შორის ურთიერთობა, რომელიც უკვე ცნობილია არქიმედესისთვის, აშკარა ხდება, თუ წრე X2 + Y2 = a2 გარდაიქმნება ელიფსად (3a) განტოლებით მოცემული X = x, Y = (a/b) y ჩანაცვლებით. . ტრანსფორმაცია X = x, Y = (ai/b) y, სადაც i2 = -1, საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ წრის განტოლება სახით (4a). ეს გვიჩვენებს, რომ ჰიპერბოლა შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ელიფსი წარმოსახვითი მცირე ღერძით, ან, პირიქით, ელიფსი შეიძლება განვიხილოთ, როგორც ჰიპერბოლა წარმოსახვითი კონიუგატური ღერძით. წრის ორდინატებს შორის კავშირი x2 + y2 = a2 და ელიფსის (x2/a2) + (y2/b2) = 1 პირდაპირ მივყავართ არქიმედეს ფორმულამდე A = pab ელიფსის ფართობისთვის. კეპლერმა იცოდა მიახლოებითი ფორმულა p (a + b) წრესთან ახლოს მყოფი ელიფსის პერიმეტრისთვის, მაგრამ ზუსტი გამოხატულება მიიღეს მხოლოდ მე-18 საუკუნეში. ელიფსური ინტეგრალების შემოღების შემდეგ. როგორც არქიმედესმა აჩვენა, პარაბოლური სეგმენტის ფართობი არის ჩაწერილი სამკუთხედის ფართობის ოთხი მესამედი, მაგრამ პარაბოლას რკალის სიგრძის დათვლა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში შეიძლებოდა. გამოიგონეს დიფერენციალური გამოთვლები.
პროექციული მიდგომა
პროექციული გეომეტრია მჭიდროდ არის დაკავშირებული პერსპექტივის აგებასთან. თუ წრეს დახატავთ გამჭვირვალე ფურცელზე და განათავსებთ მას სინათლის წყაროს ქვეშ, მაშინ ეს წრე დაპროექტდება ქვემოთ მოცემულ სიბრტყეზე. ამ შემთხვევაში, თუ სინათლის წყარო მდებარეობს წრის ცენტრის პირდაპირ ზემოთ, ხოლო სიბრტყე და გამჭვირვალე ფურცელი პარალელურია, მაშინ პროექციაც იქნება წრე (ნახ. 8). სინათლის წყაროს პოზიციას გაქრობის წერტილი ეწოდება. იგი აღინიშნება ასო V-ით. თუ V არ მდებარეობს წრის ცენტრის ზემოთ, ან თუ სიბრტყე არ არის ფურცლის პარალელურად, მაშინ წრის პროექცია იღებს ელიფსის ფორმას. სიბრტყის კიდევ უფრო დიდი დახრილობით, ელიფსის მთავარი ღერძი (წრის პროექცია) გრძელდება და ელიფსი თანდათან პარაბოლად იქცევა; VP წრფის პარალელურ სიბრტყეზე პროექცია პარაბოლას ჰგავს; კიდევ უფრო დიდი დახრილობით, პროექცია ჰიპერბოლის ერთ-ერთი განშტოების ფორმას იღებს.

თავდაპირველი წრის თითოეული წერტილი შეესაბამება პროექციის გარკვეულ წერტილს. თუ პროექციას აქვს პარაბოლის ან ჰიპერბოლის ფორმა, მაშინ P წერტილის შესაბამისი წერტილი არის უსასრულობაში ან უსასრულობაში. როგორც ვნახეთ, გაქრობის წერტილების შესაფერისი არჩევანით, წრე შეიძლება დაპროექტდეს სხვადასხვა ზომის და სხვადასხვა ექსცენტრიულობის ელიფსებად, ხოლო ძირითადი ღერძების სიგრძე პირდაპირ არ არის დაკავშირებული დაპროექტებული წრის დიამეტრთან. მაშასადამე, პროექციული გეომეტრია თავისთავად არ ეხება დისტანციებს ან სიგრძეებს, მისი ამოცანაა შეისწავლოს სიგრძეთა თანაფარდობა, რომელიც შენარჩუნებულია პროექციის ქვეშ. ეს კავშირი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი კონსტრუქციის გამოყენებით. სიბრტყის ნებისმიერი P წერტილის გავლით ვხატავთ ორ ტანგენტს ნებისმიერ წრეზე და ვაკავშირებთ შეხების წერტილებს p წრფესთან. სხვა წრფე, რომელიც გადის P წერტილში, კვეთს წრეს C1 და C2 წერტილებში, ხოლო p წრფე - Q წერტილში (სურ. 9). პლანიმეტრია ადასტურებს, რომ PC1/PC2 = -QC1/QC2. (მინუს ნიშანი გამომდინარეობს იქიდან, რომ QC1 სეგმენტის მიმართულება სხვა სეგმენტების მიმართულების საპირისპიროა.) სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, P და Q წერტილები ყოფენ C1C2 სეგმენტს გარედან და შიგნიდან იმავე თანაფარდობით; ისინი ასევე ამბობენ, რომ ოთხი სეგმენტის ჰარმონიული თანაფარდობა არის -1. თუ წრე დაპროექტებულია კონუსურ მონაკვეთში და იგივე აღნიშვნები ინახება შესაბამისი წერტილებისთვის, მაშინ ჰარმონიული თანაფარდობა (PC1)(QC2)/(PC2)(QC1) რჩება -1-ის ტოლი. P წერტილს ეწოდება p წრფის პოლუსი კონუსური მონაკვეთის მიმართ, ხოლო p წრფეს ეწოდება P წერტილის პოლარული კონუსური მონაკვეთის მიმართ.

როგორც წერტილი P უახლოვდება კონუსს, პოლარი მიდრეკილია დაიკავოს ტანგენტური პოზიცია; თუ წერტილი P დევს კონუსურ მონაკვეთზე, მაშინ მისი პოლარი ემთხვევა კონუსური მონაკვეთის ტანგენტს P წერტილში. თუ წერტილი P მდებარეობს კონუსურ მონაკვეთზე, მაშინ მისი პოლარული შეიძლება აშენდეს შემდეგნაირად. P წერტილში გავავლოთ ნებისმიერი წრფე, რომელიც კვეთს კონუსურ მონაკვეთს ორ წერტილში; გადაკვეთის წერტილებში კონუსურ მონაკვეთზე ტანგენტების დახატვა; დავუშვათ, რომ ეს ტანგენტები იკვეთება P1 წერტილში. სხვა წრფე გავავლოთ P წერტილის გავლით, რომელიც კვეთს კონუსურ მონაკვეთს ორ სხვა წერტილში; დავუშვათ, რომ კონუსის ტანგენტები ამ ახალ წერტილებში იკვეთება P2 წერტილში (სურ. 10). სწორი ხაზი, რომელიც გადის P1 და P2 წერტილებზე არის სასურველი პოლარული p. თუ წერტილი P უახლოვდება ცენტრალური კონუსური მონაკვეთის O ცენტრს, მაშინ პოლარული p შორდება O-ს. როდესაც P წერტილი ემთხვევა O-ს, მაშინ მისი პოლარული ხდება უსასრულობაში, ანუ იდეალური სიბრტყეზე. იხილეთ ასევეპროექციული გეომეტრია.

სპეციალური შენობები
ასტრონომებისთვის განსაკუთრებით საინტერესოა ელიფსის წერტილების შემდეგი მარტივი აგებულება კომპასისა და სტრიქონის გამოყენებით. დაე, თვითნებური სწორი ხაზი, რომელიც გადის O წერტილში (ნახ. 11a) Q და R წერტილებზე გადაიკვეთოს ორი კონცენტრირებული წრე O წერტილზე და რადიუსებზე b და a, სადაც b.

ჰიპერბოლისთვის, კონსტრუქცია დიდწილად მსგავსია. თვითნებური სწორი ხაზი, რომელიც გადის O წერტილში, კვეთს ორი წრედან ერთ-ერთს R წერტილში (სურ. 11b). ერთი წრის R წერტილამდე და მეორე წრის ჰორიზონტალური დიამეტრის ბოლო წერტილამდე S ვხატავთ ტანგენტებს, რომლებიც კვეთენ OS წერტილს T და OR წერტილში Q. მივცეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც გადის T წერტილს და ჰორიზონტალური ხაზი, რომელიც გადის Q წერტილში, იკვეთება P წერტილში. მაშინ P წერტილების ლოკუსი OR სეგმენტის O გარშემო ბრუნვისას იქნება ჰიპერბოლა, რომელიც მოცემულია პარამეტრული განტოლებით x = a sec f, y = b tg f, სადაც. f არის ექსცენტრიული კუთხე. ეს განტოლებები მიიღო ფრანგმა მათემატიკოსმა ა. ლეჟანდრმა (1752-1833). F პარამეტრის გამორიცხვით ვიღებთ განტოლებას (4a). ელიფსი, როგორც აღნიშნა ნ.კოპერნიკმა (1473-1543), შეიძლება აშენდეს ეპიციკლური მოძრაობის გამოყენებით. თუ წრე ტრიალებს ორჯერ მეტი დიამეტრის სხვა წრის შიგნიდან შიგნიდან გაუსრიალებლად, მაშინ თითოეული წერტილი P, რომელიც არ დევს პატარა წრეზე, მაგრამ მასთან შედარებით სტაციონარულია, აღწერს ელიფსს. თუ წერტილი P არის უფრო პატარა წრეზე, მაშინ ამ წერტილის ტრაექტორია არის ელიფსის გადაგვარებული შემთხვევა - უფრო დიდი წრის დიამეტრი. ელიფსის კიდევ უფრო მარტივი კონსტრუქცია შემოგვთავაზა პროკლემ V საუკუნეში. თუ მოცემული სიგრძის სწორი ხაზის AB სეგმენტის A და B ბოლოები სრიალებენ ორი ფიქსირებული გადამკვეთი სწორი ხაზის გასწვრივ (მაგალითად, კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ), მაშინ სეგმენტის თითოეული შიდა წერტილი P აღწერს ელიფსს; ჰოლანდიელმა მათემატიკოსმა ფ. ვან შოტენმა (1615-1660) აჩვენა, რომ გადამკვეთი ხაზების სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი, ფიქსირებული სრიალის სეგმენტთან მიმართებაში, ასევე აღწერს ელიფსს. ბ.პასკალმა (1623-1662) 16 წლის ასაკში ჩამოაყალიბა ახლა უკვე ცნობილი პასკალის თეორემა, რომელიც ამბობს: რომელიმე კონუსურ მონაკვეთში ჩაწერილი ექვსკუთხედის მოპირდაპირე გვერდების გადაკვეთის სამი წერტილი დევს ერთ სწორ ხაზზე. პასკალმა ამ თეორემიდან 400-ზე მეტი დასკვნა გამოიტანა.
ლიტერატურა
ვან დერ ვაერდენი ბ.ლ. გამოღვიძების მეცნიერება. მ., 1959 ალექსანდროვი პ.ს. ლექციები ანალიტიკურ გეომეტრიაზე. მ., 1968 წ

კოლიერის ენციკლოპედია. - ღია საზოგადოება. 2000 .

ნახეთ, რა არის "CONIC SECTIONS" სხვა ლექსიკონებში:

კონუსური მონაკვეთები: წრე, ელიფსი, პარაბოლა (სექციური სიბრტყე არის კონუსის გენერატრიქსის პარალელურად), ჰიპერბოლა. კონუსური მონაკვეთი ან კონუსი არის სიბრტყის კვეთა წრიულ კონუსთან. კონუსური მონაკვეთების სამი ძირითადი ტიპი არსებობს: ელიფსი, ... ... ვიკიპედია

სიბრტყით კონუსის გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი მოსახვევები სხვადასხვა მიმართულებით; მათი ტიპები: ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა. რუსულ ენაში გამოყენებული უცხო სიტყვების სრული ლექსიკონი. პოპოვი მ., 1907. კონუსური კვეთები, ე.წ. მოსახვევები...... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

მრგვალი კონუსის (იხ. კონუსური ზედაპირი) გადაკვეთის ხაზები სიბრტყეებთან, რომლებიც არ გადიან მის ზედა ნაწილში. კონუსისა და სეკანტური სიბრტყის ფარდობითი პოზიციიდან გამომდინარე, მიიღება სამი სახის კონუსური მონაკვეთი: ელიფსი, პარაბოლა, ჰიპერბოლა ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი