მეცნიერების სახელწოდება "გეომეტრია" ითარგმნება როგორც "დედამიწის გაზომვა". იგი დაიბადა პირველივე უძველესი მიწის ამზომველების ძალისხმევით. და ასე მოხდა: წმინდა ნილოსის წყალდიდობის დროს წყლის ნაკადები ხანდახან ფერმერთა ნაკვეთების საზღვრებს რეცხავდა და ახალი საზღვრები შესაძლოა ძველს არ ემთხვეოდეს. გლეხები გადასახადებს იხდიდნენ ფარაონის ხაზინაში მიწის ნაკვეთის სიდიდის პროპორციულად. დაღვრის შემდეგ ახალ საზღვრებში სახნავ-სათესი მიწების ფართობების აზომვით სპეციალური ადამიანები იყვნენ დაკავებულნი. სწორედ მათი საქმიანობის შედეგად გაჩნდა ახალი მეცნიერება, რომელიც განვითარდა ძველ საბერძნეთში. იქ მიიღო თავისი სახელი და შეიძინა თითქმის თანამედროვე სახე. მომავალში ეს ტერმინი გახდა ბრტყელი და სამგანზომილებიანი ფიგურების მეცნიერების საერთაშორისო სახელწოდება.

პლანიმეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც ეხება სიბრტყე ფიგურების შესწავლას. მეცნიერების კიდევ ერთი დარგია სტერეომეტრია, რომელიც ითვალისწინებს სივრცითი (მოცულობითი) ფიგურების თვისებებს. ამ სტატიაში აღწერილი ცილინდრიც სწორედ ასეთ ფიგურებს ეკუთვნის.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში ცილინდრული ობიექტების არსებობის უამრავი მაგალითია. ბრუნვის თითქმის ყველა ნაწილს - ლილვებს, ბუჩქებს, კისრებს, ღერძებს და ა.შ აქვს ცილინდრული (უფრო ნაკლებად ხშირად - კონუსური) ფორმა. ცილინდრი ფართოდ გამოიყენება მშენებლობაში: კოშკები, საყრდენი, დეკორატიული სვეტები. გარდა ამისა, ჭურჭელი, ზოგიერთი სახის შეფუთვა, სხვადასხვა დიამეტრის მილები. და ბოლოს - ცნობილი ქუდები, რომლებიც უკვე დიდი ხანია მამაკაცის ელეგანტურობის სიმბოლოდ იქცა. სია უსასრულოა.

ცილინდრის, როგორც გეომეტრიული ფიგურის განმარტება

ცილინდრს (წრიულ ცილინდრის) ჩვეულებრივ უწოდებენ ფიგურას, რომელიც შედგება ორი წრისგან, რომლებიც, თუ სასურველია, გაერთიანებულია პარალელური თარგმანის გამოყენებით. სწორედ ეს წრეებია ცილინდრის საფუძვლები. მაგრამ შესაბამისი წერტილების დამაკავშირებელ ხაზებს (სწორ სეგმენტებს) ეწოდება "გენერატორები".

მნიშვნელოვანია, რომ ცილინდრის ფუძეები ყოველთვის თანაბარი იყოს (თუ ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ჩვენ წინ გვაქვს ჩამოჭრილი კონუსი, რაღაც სხვა, მაგრამ არა ცილინდრი) და იყოს პარალელურ სიბრტყეში. წრეებზე შესაბამისი წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტები პარალელური და ტოლია.

გენერატორების უსასრულო ნაკრების მთლიანობა სხვა არაფერია, თუ არა ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი - მოცემული გეომეტრიული ფიგურის ერთ-ერთი ელემენტი. მისი სხვა მნიშვნელოვანი კომპონენტია ზემოთ განხილული წრეები. მათ ბაზებს უწოდებენ.

ცილინდრების სახეები

ცილინდრის უმარტივესი და ყველაზე გავრცელებული ტიპია წრიული. იგი ჩამოყალიბებულია ორი რეგულარული წრეებით, რომლებიც მოქმედებენ როგორც ბაზები. მაგრამ მათ ნაცვლად შეიძლება იყოს სხვა ფიგურები.

ცილინდრების ფუძეებს შეუძლიათ შექმნან (წრეების გარდა) ელიფსები და სხვა დახურული ფიგურები. მაგრამ ცილინდრს შეიძლება სულაც არ ჰქონდეს დახურული ფორმა. მაგალითად, პარაბოლა, ჰიპერბოლა ან სხვა ღია ფუნქცია შეიძლება იყოს ცილინდრის საფუძველი. ასეთი ცილინდრი ღია იქნება ან განლაგდება.

გენერატრიების დახრილობის კუთხიდან გამომდინარე, ცილინდრები შეიძლება იყოს სწორი ან დახრილი. მარჯვენა ცილინდრისთვის, გენერატორები მკაცრად პერპენდიკულარულია ბაზის სიბრტყეზე. თუ ეს კუთხე განსხვავდება 90°-დან, ცილინდრი დახრილია.

რა არის რევოლუციის ზედაპირი

მარჯვენა წრიული ცილინდრი უდავოდ არის რევოლუციის ყველაზე გავრცელებული ზედაპირი, რომელიც გამოიყენება ინჟინერიაში. ზოგჯერ, ტექნიკური ჩვენების მიხედვით, გამოიყენება კონუსური, სფერული და სხვა სახის ზედაპირი, მაგრამ ყველა მბრუნავი ლილვების, ღერძების 99% და ა.შ. დამზადებულია ცილინდრების სახით. იმისათვის, რომ უკეთ გავიგოთ რა არის რევოლუციის ზედაპირი, შეგვიძლია განვიხილოთ, თუ როგორ იქმნება თავად ცილინდრი.

ვთქვათ, არის ხაზი ამოთავსებულია ვერტიკალურად. ABCD არის მართკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი გვერდი (სეგმენტი AB) მდებარეობს სწორ ხაზზე. ა. თუ მართკუთხედს მოვატრიალებთ სწორი ხაზის ირგვლივ, როგორც ეს ნახატზეა ნაჩვენები, მოცულობა, რომელსაც ის დაიკავებს ბრუნვისას, იქნება ჩვენი ბრუნვის სხეული - მარჯვენა წრიული ცილინდრი სიმაღლით H = AB = DC და რადიუსით R = AD = BC.

ამ შემთხვევაში ფიგურის – მართკუთხედის – ბრუნვის შედეგად მიიღება ცილინდრი. სამკუთხედის მობრუნებით შეგიძლიათ მიიღოთ კონუსი, ნახევარწრიულის ბრუნვა - ბურთი და ა.შ.

ცილინდრის ზედაპირის ფართობი

ჩვეულებრივი სწორი წრიული ცილინდრის ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად აუცილებელია ბაზისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოთვლა.

ჯერ ვნახოთ, როგორ გამოითვლება გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ეს არის ცილინდრის გარშემოწერილობისა და სიმაღლის ნამრავლი. გარშემოწერილობა, თავის მხრივ, უდრის უნივერსალური რიცხვის ნამრავლის ორჯერ პწრის რადიუსამდე.

ცნობილია, რომ წრის ფართობი ტოლია პროდუქტის პრადიუსის კვადრატამდე. ასე რომ, გვერდითი ზედაპირის განსაზღვრის ფართობის ფორმულების დამატება საბაზისო ფართობის ორმაგი გამოსახულებით (არსებობს ორი) და მარტივი ალგებრული გარდაქმნების შესრულებით, მივიღებთ საბოლოო გამოხატულებას ზედაპირის ფართობის დასადგენად. ცილინდრი.

ფიგურის მოცულობის განსაზღვრა

ცილინდრის მოცულობა განისაზღვრება სტანდარტული სქემით: ბაზის ზედაპირის ფართობი მრავლდება სიმაღლეზე.

ამრიგად, საბოლოო ფორმულა ასე გამოიყურება: სასურველი განისაზღვრება, როგორც სხეულის სიმაღლის ნამრავლი უნივერსალური რიცხვით. პდა ფუძის რადიუსის კვადრატი.

მიღებული ფორმულა, უნდა ითქვას, გამოიყენება ყველაზე მოულოდნელი პრობლემების გადასაჭრელად. ისევე, როგორც ცილინდრის მოცულობა, მაგალითად, განისაზღვრება ელექტრო გაყვანილობის მოცულობა. ეს შეიძლება იყოს საჭირო მავთულის მასის გამოსათვლელად.

ფორმულაში ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ერთი ცილინდრის რადიუსის ნაცვლად არის გაყვანილობის ბირთვის დიამეტრი გაყოფილი ორად და მავთულის ბირთვების რაოდენობა ჩნდება გამოხატულებაში. ნ. ასევე, მავთულის სიგრძე გამოიყენება სიმაღლის ნაცვლად. ამრიგად, "ცილინდრის" მოცულობა გამოითვლება არა ერთით, არამედ ლენტებით მავთულის რაოდენობით.

ასეთი გამოთვლები ხშირად საჭიროა პრაქტიკაში. ყოველივე ამის შემდეგ, წყლის ავზების მნიშვნელოვანი ნაწილი მზადდება მილის სახით. და ხშირად საჭიროა ცილინდრის მოცულობის გამოთვლა სახლშიც კი.

თუმცა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ცილინდრის ფორმა შეიძლება განსხვავებული იყოს. ზოგიერთ შემთხვევაში კი საჭიროა გამოთვალოთ, თუ რისი ტოლია დახრილი ცილინდრის მოცულობა.

განსხვავება ისაა, რომ ბაზის ზედაპირის ფართობი მრავლდება არა გენერატრიქსის სიგრძით, როგორც სწორი ცილინდრის შემთხვევაში, არამედ სიბრტყეებს შორის მანძილით - მათ შორის აშენებული პერპენდიკულარული სეგმენტი.

როგორც ნახატიდან ჩანს, ასეთი სეგმენტი უდრის გენერატრიქსის სიგრძის ნამრავლს გენერატრიქსის სიბრტყეზე დახრილობის კუთხის სინუსით.

როგორ ავაშენოთ ცილინდრის გამწმენდი

ზოგიერთ შემთხვევაში, საჭიროა ცილინდრის გამწმენდის ამოჭრა. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს წესებს, რომლითაც აშენდება ბლანკი ცილინდრის დასამზადებლად მოცემული სიმაღლით და დიამეტრით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფიგურა ნაჩვენებია ნაკერების გარეშე.

მოჭრილი ცილინდრის განსხვავებები

წარმოვიდგინოთ სწორი ცილინდრი, რომელიც შემოსაზღვრულია ერთი მხრიდან გენერატორების პერპენდიკულარული სიბრტყით. მაგრამ სიბრტყე, რომელიც ესაზღვრება ცილინდრს მეორე მხარეს, არ არის გენერატორების პერპენდიკულარული და არ არის პირველი სიბრტყის პარალელურად.

ფიგურაში ნაჩვენებია დახრილი ცილინდრი. თვითმფრინავი აგენერატორების 90°-ის გარდა სხვა კუთხით, კვეთს ფიგურას.

ეს გეომეტრიული ფორმა პრაქტიკაში უფრო გავრცელებულია მილსადენის შეერთების (იდაყვების) სახით. მაგრამ არის შენობებიც კი, რომლებიც აშენდა მოჭრილი ცილინდრის სახით.

დახრილი ცილინდრის გეომეტრიული მახასიათებლები

დახრილი ცილინდრის ერთ-ერთი სიბრტყის დახრილობა ოდნავ ცვლის ასეთი ფიგურის ზედაპირის ფართობის და მისი მოცულობის გაანგარიშების ბრძანებას.

1.1. 4 ცილინდრის განმარტება

1. 3. ცილინდრის მონაკვეთები 8

1.5. ცილინდრის მოცულობა 14

ამოცანა 1. 16

დავალება 2. 16

ამოცანა 3. 17

დავალება 4. 18

პრობლემა 5. 19

დავალება 6. 20

ამოცანა 7. 21

ამოცანა 8. 22

დავალება 9. 23

პრობლემა 10. 24

ამოცანა 11. 25

ამოცანა 12. 26

შესავალი

სტერეომეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ფორმებს სივრცეში. სივრცეში მთავარი ფიგურებია წერტილი, წრფე და სიბრტყე. სტერეომეტრიაში ჩნდება ხაზების ურთიერთგანლაგების ახალი სახეობა: დახრილი ხაზები. ეს არის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავება მყარ გეომეტრიასა და პლანიმეტრიას შორის, რადგან ხშირ შემთხვევაში სტერეომეტრიის პრობლემები წყდება სხვადასხვა სიბრტყის გათვალისწინებით, რომლებშიც დაკმაყოფილებულია პლანიმეტრიული კანონები.

ჩვენს ირგვლივ ბუნებაში ბევრი ობიექტია, რომლებიც ამ ფიგურის ფიზიკურ მოდელებს წარმოადგენენ. მაგალითად, მანქანების მრავალი ნაწილი არის ცილინდრის ან მათი კომბინაციის სახით, ხოლო ტაძრებისა და ტაძრების დიდებული სვეტები, რომლებიც დამზადებულია ცილინდრების სახით, ხაზს უსვამს მათ ჰარმონიასა და სილამაზეს.

ბერძენი − კიულინდროსი. უძველესი ტერმინი. ყოველდღიურ ცხოვრებაში - პაპირუსის გრაგნილი, ლილვაკი, სასრიალო მოედანი (ზმნა - ირონია, გადახვევა).

ევკლიდესში ცილინდრი მიიღება მართკუთხედის ბრუნვით. კავალიერისთვის - გენერატრიქსის მოძრაობით (თვითნებური სახელმძღვანელო - "ცილინდრით").

ამ ნარკვევის მიზანია განიხილოს გეომეტრიული სხეული - ცილინდრი.

ამ მიზნის მისაღწევად, გასათვალისწინებელია შემდეგი ამოცანები:

− მიეცით ცილინდრის განმარტებები;

- განიხილეთ ცილინდრის ელემენტები;

− ცილინდრის თვისებების შესწავლა;

- განიხილეთ ცილინდრის მონაკვეთის ტიპები;

- გამოიტანეთ ფორმულა ცილინდრის ფართობისთვის;

− გამოიტანეთ ცილინდრის მოცულობის ფორმულა;

− ამოცანების ამოხსნა ცილინდრის გამოყენებით.

1 თეორიული ნაწილი

1.1. ცილინდრის განმარტება

განვიხილოთ ზოგიერთი ხაზი (მრუდი, გატეხილი ხაზი ან შერეული ხაზი) ​​l, რომელიც მდებარეობს α სიბრტყეში და სწორი ხაზი S, რომელიც კვეთს ამ სიბრტყეს. მოცემული l წრფის ყველა წერტილის გავლით ვხაზავთ S წრფის პარალელურ ხაზებს; ამ სწორი ხაზებით წარმოქმნილ α ზედაპირს ცილინდრული ზედაპირი ეწოდება. l წრფეს ამ ზედაპირის მეგზური ეწოდება, წრფეები s 1 , s 2 , s 3 ,... მისი გენერატორებია.

თუ გზამკვლევი არის გატეხილი ხაზი, მაშინ ასეთი ცილინდრული ზედაპირი შედგება ბრტყელი ზოლების სერიისგან, რომლებიც ჩასმულია პარალელურ ხაზებს შორის და ეწოდება პრიზმული ზედაპირი. სახელმძღვანელო პოლიხაზის წვეროებზე გასულ გენერატრიებს პრიზმული ზედაპირის კიდეები ეწოდება, მათ შორის ბრტყელ ზოლებს მისი სახეები.

თუ რომელიმე ცილინდრულ ზედაპირს დავჭრით თვითნებური სიბრტყით, რომელიც არ არის მისი გენერატორების პარალელურად, მაშინ მივიღებთ ხაზს, რომელიც ასევე შეიძლება მივიღოთ ამ ზედაპირის სახელმძღვანელოდ. გიდებს შორის გამოირჩევა ერთი, რომელიც მიიღება ზედაპირის მონაკვეთიდან ზედაპირის გენერატორების პერპენდიკულარული სიბრტყით. ასეთ განყოფილებას ეწოდება ნორმალური განყოფილება, ხოლო შესაბამის გზამკვლევს - ნორმალური გზამკვლევი.

თუ სახელმძღვანელო არის დახურული (ამოზნექილი) ხაზი (გატეხილი ხაზი ან მრუდი), მაშინ შესაბამის ზედაპირს ეწოდება დახურული (ამოზნექილი) პრიზმული ან ცილინდრული ზედაპირი. ცილინდრული ზედაპირებიდან უმარტივესს აქვს თავისი ნორმალური სახელმძღვანელო წრე. მოდით გავკვეთოთ დახურული ამოზნექილი პრიზმული ზედაპირი ერთმანეთის პარალელურად, მაგრამ არა გენერატორების პარალელურად, ორი სიბრტყით.

სექციებში ვიღებთ ამოზნექილ მრავალკუთხედებს. ახლა პრიზმული ზედაპირის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია სიბრტყეებს შორის α და α“, და ამ სიბრტყეში წარმოქმნილი ორი მრავალკუთხა ფირფიტა, ზღუდავს სხეულს, რომელსაც პრიზმულ სხეულს - პრიზმას უწოდებენ.

ცილინდრული სხეული - ცილინდრი განისაზღვრება პრიზმის მსგავსად:
ცილინდრი არის სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია გვერდით დახურული (ამოზნექილი) ცილინდრული ზედაპირით, ბოლოებიდან კი ორი ბრტყელი პარალელური ფუძით. ცილინდრის ორივე ფუძე ტოლია და ცილინდრის ყველა გენერატორიც ტოლია ერთმანეთის, ე.ი. სეგმენტები, რომლებიც ქმნიან ცილინდრულ ზედაპირს ფუძის სიბრტყეებს შორის.

ცილინდრი (უფრო ზუსტად, წრიული ცილინდრი) არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შედგება ორი წრისგან, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში და გაერთიანებულია პარალელური გადაცემით, და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წრეების შესაბამის წერტილებს (ნახ. 1). .

ბრინჯი. 1 − ცილინდრი

1.2. ცილინდრის ელემენტები და თვისებები

წრეებს ცილინდრის ფუძეები ეწოდება, ხოლო წრეების წრეების შესაბამისი წერტილების დამაკავშირებელ სეგმენტებს ცილინდრის გენერატორები.

ვინაიდან პარალელური ტრანსლაცია მოძრაობაა, ცილინდრის ფუძეები ტოლია.

ვინაიდან პარალელური გადაყვანისას სიბრტყე გადადის პარალელურ სიბრტყეში (ან საკუთარ თავში), მაშინ ცილინდრის ფუძეები პარალელურ სიბრტყეებში დევს.

ვინაიდან, პარალელური გადაყვანის დროს, წერტილები გადაადგილებულია პარალელური (ან დამთხვევა) ხაზების გასწვრივ იმავე მანძილით, მაშინ ცილინდრის გენერატორები პარალელური და თანაბარია.

ცილინდრის ზედაპირი შედგება ფუძისა და გვერდითი ზედაპირისგან. გვერდითი ზედაპირი შედგება გენერატორებისგან.

ცილინდრის ეწოდება სწორი, თუ მისი გენერატორები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეზე.

სწორი ცილინდრი შეიძლება ვიზუალურად წარმოვიდგინოთ, როგორც გეომეტრიული სხეული, რომელიც აღწერს მართკუთხედს, როდესაც ის ბრუნავს გვერდის გარშემო, როგორც ღერძი (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2 − სწორი ცილინდრი

შემდგომში განვიხილავთ მხოლოდ სწორ ცილინდრს და მოკლედ მას უბრალოდ ცილინდრს ვუწოდებთ.

ცილინდრის რადიუსი არის მისი ფუძის რადიუსი. ცილინდრის სიმაღლე არის მანძილი მისი ფუძის სიბრტყეებს შორის. ცილინდრის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუძეების ცენტრებში. ეს არის გენერატორების პარალელურად.

ცილინდრი ე.წ ტოლგვერდა,თუ მისი სიმაღლე უდრის ფუძის დიამეტრს.

თუ ცილინდრის ფუძეები ბრტყელია (მაშასადამე, მათი შემცველი სიბრტყეები პარალელურია), მაშინ ცილინდრის სიბრტყეზე დგომა ეწოდება. თუ სიბრტყეზე მდგარი ცილინდრის ფუძეები გენერატრიქსის პერპენდიკულარულია, მაშინ ცილინდრს სწორი ეწოდება.

კერძოდ, თუ სიბრტყეზე მდგარი ცილინდრის საფუძველი არის წრე, მაშინ საუბარია წრიულ (მრგვალ) ცილინდრზე; თუ ელიფსი, მაშინ ელიფსური.

1. 3. ცილინდრის სექციები

ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით მისი ღერძის პარალელურად არის მართკუთხედი (ნახ. 3, ა). მისი ორი მხარე ცილინდრის გენერატრიულია, დანარჩენი ორი კი ფუძის პარალელური აკორდებია.

ბრინჯი. 3 - ცილინდრის სექციები

კერძოდ, მართკუთხედი არის ღერძული მონაკვეთი. ეს არის ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის მის ღერძზე (ნახ. 3, ბ).

ბაზის პარალელურად სიბრტყით ცილინდრის მონაკვეთი არის წრე (ნახ. 3, გ).

ცილინდრის ჯვარი მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც არ არის ფუძის პარალელურად და მისი ღერძი არის ოვალური (ნახ. 3დ).

თეორემა 1. ცილინდრის ფუძის სიბრტყის პარალელურად სიბრტყე კვეთს მის გვერდით ზედაპირს ფუძის გარშემოწერილობის ტოლი წრის გასწვრივ.

დ
მტკიცებულება. ვთქვათ β იყოს ცილინდრის ფუძის სიბრტყის პარალელურად. პარალელური გადატანა ცილინდრის ღერძის მიმართულებით, რომელიც აერთიანებს β სიბრტყეს ცილინდრის ფუძის სიბრტყესთან, აერთიანებს გვერდითი ზედაპირის მონაკვეთს β სიბრტყით ფუძის გარშემოწერილობასთან. თეორემა დადასტურდა.

1.4. ცილინდრის ფართობი

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მიიღება როგორც ზღვარი, რომლითაც ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მიდრეკილია, როდესაც ამ პრიზმის ფუძის გვერდების რაოდენობა განუსაზღვრელი ვადით იზრდება.

თეორემა 2. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის გარშემოწერილობის ნამრავლს (S მხარე.c = 2πRH, სადაც R არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი, H არის ცილინდრის სიმაღლე).

ა)
ბ)
ბრინჯი. 4 - ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

მტკიცებულება.

ვთქვათ P n და H, შესაბამისად, იყოს ფუძის პერიმეტრი და ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული n-გონალური პრიზმის სიმაღლე (ნახ. 4, ა). მაშინ ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის S მხარე.c − P n H. დავუშვათ, რომ ფუძეში ჩაწერილი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა განუსაზღვრელი ვადით იზრდება (ნახ. 4, ბ). მაშინ P n პერიმეტრი მიდრეკილია წრეწირის C = 2πR, სადაც R არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი და სიმაღლე H არ იცვლება. ამრიგად, პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი მიდრეკილია 2πRH ზღვრამდე, ანუ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის S მხარეს.c = 2πRH. თეორემა დადასტურდა.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი ზედაპირისა და ორი ფუძის ფართობის ჯამი. ცილინდრის თითოეული ფუძის ფართობი უდრის πR 2, ამიტომ ცილინდრის სრული ზედაპირის ფართობი S სრული გამოითვლება ფორმულით S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

თ 1

ფ 1

ა)

ბ)

ბრინჯი. 5 - ცილინდრის სრული ზედაპირის ფართობი

თუ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი მოჭრილია გენერატრიქსის FT-ის გასწვრივ (ნახ. 5, ა) და იხსნება ისე, რომ ყველა გენერატრიქსი ერთ სიბრტყეში იყოს, მაშინ შედეგად მივიღებთ მართკუთხედს FTT1F1, რომელსაც ეწოდება განვითარება. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი. მართკუთხედის FF1 გვერდი ცილინდრის ფუძის გარშემოწერილობის განვითარებაა, შესაბამისად, FF1=2πR და მისი გვერდი FT ტოლია ცილინდრის გენერატრიქსის, ანუ FT = H (ნახ. 5, ბ). ამრიგად, ცილინდრის განვითარების ფართობი FT∙FF1=2πRH უდრის მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობს.

კილინდროები, ლილვაკი, როლიკერი) - გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ცილინდრული ზედაპირით (ე.წ. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი) და არაუმეტეს ორი ზედაპირით (ცილინდრის ფუძე); უფრო მეტიც, თუ ორი ფუძეა, მაშინ ერთი მიიღება მეორისგან ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის გენერატრიქსის პარალელური გადაცემით; და ფუძე ზუსტად ერთხელ კვეთს გვერდითი ზედაპირის თითოეულ გენერატრიქსს.

დახურული უსასრულო ცილინდრული ზედაპირით შემოსაზღვრულ უსასრულო სხეულს ეწოდება გაუთავებელი ცილინდრი, შემოსაზღვრულია დახურული ცილინდრული სხივით და მისი ფუძით, ე.წ ღია ცილინდრი. ცილინდრული სხივის ფუძეს და გენერატორებს, შესაბამისად, ღია ცილინდრის ფუძეს და გენერატორებს უწოდებენ.

სასრულ სხეულს, რომელიც შემოიფარგლება დახურული სასრულ ცილინდრული ზედაპირით და მას ერთმანეთისგან გამიჯნული ორი მონაკვეთით, ე.წ. საბოლოო ცილინდრი, ან რეალურად ცილინდრი. სექციებს უწოდებენ ცილინდრის ფუძეებს. სასრულ ცილინდრული ზედაპირის განმარტებით, ცილინდრის ფუძეები ტოლია.

ცხადია, ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის გენერატორები სიგრძით თანაბარია (ე.წ სიმაღლეცილინდრი) სეგმენტები, რომლებიც დევს პარალელურ ხაზებზე და მათი ბოლოები ცილინდრის ფუძეებზე დევს. მათემატიკური კურიოზი მოიცავს ნებისმიერი სასრული სამგანზომილებიანი ზედაპირის განმარტებას თვითგადაკვეთის გარეშე, როგორც ნულოვანი სიმაღლის ცილინდრი (ეს ზედაპირი ერთდროულად განიხილება სასრულ ცილინდრის ორივე ფუძით). ცილინდრის ფუძეები ხარისხობრივად მოქმედებს ცილინდრზე.

თუ ცილინდრის ფუძეები ბრტყელია (აქედან გამომდინარე, მათი შემცველი სიბრტყეები პარალელურია), მაშინ ცილინდრი ე.წ. თვითმფრინავში მდგომი. თუ სიბრტყეზე მდგარი ცილინდრის ფუძეები გენერატრიქსის პერპენდიკულარულია, მაშინ ცილინდრს სწორი ეწოდება.

კერძოდ, თუ სიბრტყეზე მდგარი ცილინდრის საფუძველი არის წრე, მაშინ საუბარია წრიულ (მრგვალ) ცილინდრზე; თუ ელიფსი - მაშინ ელიფსური.

საბოლოო ცილინდრის მოცულობა უდრის გენერატრიქსის გასწვრივ ფუძის ფართობის ინტეგრალს. კერძოდ, მარჯვენა წრიული ცილინდრის მოცულობა არის

,

(სად არის ფუძის რადიუსი, არის სიმაღლე).

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის გვერდითი ზედაპირისა და ბაზის ფართობის ჯამი. სწორი წრიული ცილინდრისთვის:

.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "ცილინდრი (გეომეტრია)" სხვა ლექსიკონებში:

მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის სხვადასხვა ფორმის (წერტილების, წრფეების, კუთხეების, ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი ობიექტების) თვისებებს, მათ ზომასა და შედარებით მდებარეობას. სწავლების მოხერხებულობისთვის გეომეტრია იყოფა პლანიმეტრიად და მყარი გეომეტრიად. AT…… კოლიერის ენციკლოპედია

- (γήμετρώ დედამიწა, მეტრώ საზომი). სივრცის, პოზიციისა და ფორმის ცნებები იმ ორიგინალთაგანია, რომელსაც ადამიანი უკვე ძველ დროში იცნობდა. საქართველოში პირველი ნაბიჯები ეგვიპტელებმა და ქალდეველებმა გადადგნენ. საბერძნეთში შემოიღეს გ. ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

თავისუფალი ზედაპირის გეომეტრია- თავისუფალი ზედაპირის ფორმა, რომელიც წარმოიქმნება გრავიტაციისა და ცენტრიდანული ძალის გავლენის ქვეშ, ბრუნვის ღერძის გარშემო თხევადი ლითონის ბრუნვის დროს. ბრუნვის ჰორიზონტალური ღერძით, თავისუფალი ზედაპირი არის წრიული ცილინდრი, ვერტიკალური ... მეტალურგიული ლექსიკონი

გეომეტრიის მონაკვეთი, რომელშიც გეომეტრიული გამოსახულებები შესწავლილია მათემატიკური ანალიზის მეთოდებით. DG-ის ძირითადი ობიექტებია თვითნებური საკმარისად გლუვი მრუდები (ხაზები) და ევკლიდური სივრცის ზედაპირები, ასევე ხაზების ოჯახები და ...

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ პირამიდაცუ (მნიშვნელობები). სტატიის ამ ნაწილის სანდოობა ეჭვქვეშ დადგა. აუცილებელია ამ ნაწილში მითითებული ფაქტების სიზუსტის შემოწმება. განხილვის გვერდზე შეიძლება იყოს განმარტებები ... ვიკიპედია

თეორია, რომელიც სწავლობს გარე გეომეტრიას და ურთიერთობას გარესა და შინაგანს შორის. ევკლიდური ან რიმანის სივრცის ქვემანიფოლტების გეომეტრია. P.m.g არის კლასიკის განზოგადება. ზედაპირების დიფერენციალური გეომეტრია ევკლიდეს სივრცეში. მათემატიკური ენციკლოპედია

დეკარტის კოორდინატთა სისტემა გეომეტრიის ანალიტიკური გეომეტრიის განყოფილება, რომელშიც ... ვიკიპედია

გეომეტრიის განყოფილება, რომელშიც შესწავლილია გეომეტრიული. გამოსახულებები, ძირითადად მრუდები და ზედაპირები, მათემატიკური მეთოდებით. ანალიზი. ჩვეულებრივ DG-ებში მრუდებისა და ზედაპირების თვისებები შეისწავლება მათ მცირე, ანუ თვითნებურად მცირე ნაწილების თვისებებში. გარდა ამისა, წელს… მათემატიკური ენციკლოპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სფერო (მნიშვნელობები). მოცულობა არის კომპლექტის (ზომის) დანამატი ფუნქცია, რომელიც ახასიათებს სივრცის იმ რეგიონის ტევადობას, რომელსაც ის უკავია. თავდაპირველად, იგი წარმოიშვა და გამოიყენებოდა მკაცრი ... ... ვიკიპედიის გარეშე

გეომეტრიის ნაწილი, რომელიც შედის ელემენტარულ მათემატიკაში (იხ. ელემენტარული მათემატიკა). ეგალიტარიზმის, ისევე როგორც ზოგადად ელემენტარული მათემატიკის საზღვრები მკაცრად არ არის გამოკვეთილი. ისინი ამბობენ, რომ ე.გ. არის გეომეტრიის ის ნაწილი, რომელიც შესწავლილია ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

წიგნები

• მხიარული გეომეტრია პატარებისთვის, ტიმოფეევსკი ალექსანდრე პავლოვიჩი. მშვენიერი პოეტის, ნიანგის ცნობილი სიმღერის, გენა ალექსანდრე ტიმოფეევსკის ახალი წიგნი ლეონიდ შმელკოვის ნათელი ილუსტრაციებით მხიარული გზით ბავშვებს აცნობს მთავარ ...

ცილინდრული ზედაპირი იქმნება თავის პარალელურად სწორი ხაზის გადაადგილებით. სწორი ხაზის წერტილი, რომელიც არჩეულია, მოძრაობს მოცემული სიბრტყის მრუდის გასწვრივ - სახელმძღვანელო. ამ ხაზს ე.წ ცილინდრული ზედაპირის გენერაცია.

პირდაპირ ცილინდრიარის ცილინდრი, რომელშიც გენერატორები ფუძესთან პერპენდიკულარულია. თუ ცილინდრის გენერატორები არ არის ბაზის პერპენდიკულარული, მაშინ ეს იქნება დახრილი ცილინდრი.

წრიული ცილინდრი- ცილინდრი, რომლის საფუძველი არის წრე.

მრგვალი ცილინდრი- ცილინდრი, რომელიც არის სწორი და წრიული.

სწორი წრიული ცილინდრიგანისაზღვრება ფუძის რადიუსით რდა გენერირება ლ, რომელიც უდრის ცილინდრის სიმაღლეს ჰ.

პრიზმა ცილინდრის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

ცილინდრის ელემენტების პოვნის ფორმულები.

მარჯვენა წრიული ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

S მხარე = 2πRH

მარჯვენა წრიული ცილინდრის მთლიანი ზედაპირი:

S=Sმხარეს+ 2Sმთავარი = 2 π R(H+R)

სწორი წრიული ცილინდრის მოცულობა:

V = S მთავარი H = πR 2 H

სწორი წრიული ცილინდრი ჩაღრმავებული ფუძით ან მოკლედ ჩაღრმავებული ცილინდრით განისაზღვრება ფუძის რადიუსით. რ, მინიმალური სიმაღლე h1და მაქსიმალური სიმაღლე h2.

მოჭრილი ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

S მხარე \u003d πR (h 1 + h 2)

დახრილი ცილინდრის ფუძის ფართობი.

ცილინდრი არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი პარალელური სიბრტყით და ცილინდრული ზედაპირით. სტატიაში ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ცილინდრის ფართობი და, ფორმულის გამოყენებით, გადავჭრით რამდენიმე პრობლემას, მაგალითად.

ცილინდრს აქვს სამი ზედაპირი: ზედა, ქვედა და გვერდითი ზედაპირი.

ცილინდრის ზედა და ქვედა ნაწილი არის წრეები და მათი განსაზღვრა მარტივია.

ცნობილია, რომ წრის ფართობი უდრის πr 2-ს. ამრიგად, ორი წრის ფართობის ფორმულა (ცილინდრის ზედა და ქვედა) გამოიყურება πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

ცილინდრის მესამე, გვერდითი ზედაპირი, არის ცილინდრის მრუდი კედელი. ამ ზედაპირის უკეთ წარმოჩენის მიზნით, შევეცადოთ მისი გარდაქმნა, რათა მივიღოთ ცნობადი ფორმა. წარმოიდგინეთ, რომ ცილინდრი არის ჩვეულებრივი თუნუქის ქილა, რომელსაც არ აქვს ზედა სახურავი და ქვედა. გვერდის კედელზე ქილის ზემოდან ქვემოდან ვერტიკალური ჭრილი გავაკეთოთ (ნაბიჯი 1 ნახატზე) და შევეცადოთ მიღებული ფიგურის მაქსიმალურად გახსნა (გასწორება) (ნაბიჯი 2).

შედეგად მიღებული ქილის სრული გამჟღავნების შემდეგ, ჩვენ დავინახავთ ნაცნობ ფიგურას (ნაბიჯი 3), ეს არის მართკუთხედი. მართკუთხედის ფართობის გამოთვლა მარტივია. მანამდე კი ცოტა ხნით დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ცილინდრს. საწყისი ცილინდრის წვერო არის წრე და ვიცით, რომ წრის გარშემოწერილობა გამოითვლება ფორმულით: L = 2πr. ნახატზე წითლად არის აღნიშნული.

როდესაც ცილინდრის გვერდითი კედელი სრულად გაფართოვდება, ჩვენ ვხედავთ, რომ გარშემოწერილობა ხდება მიღებული მართკუთხედის სიგრძე. ამ მართკუთხედის გვერდები იქნება წრეწირი (L = 2πr) და ცილინდრის სიმაღლე (h). მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი გვერდების ნამრავლს - S = სიგრძე x სიგანე = L x h = 2πr x h = 2πrh. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელად.

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა
S მხარე = 2 სთ

ცილინდრის სრული ზედაპირი

და ბოლოს, თუ სამივე ზედაპირის ფართობს დავუმატებთ, მივიღებთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულას. ცილინდრის ზედაპირის ფართობი ტოლია ცილინდრის ზედა ფართობის + ცილინდრის ფუძის ფართობის + ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ან S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. ზოგჯერ ეს გამოთქმა იწერება იდენტური ფორმულით 2πr (r + h).

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულა
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r არის ცილინდრის რადიუსი, h არის ცილინდრის სიმაღლე

ცილინდრის ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითები

ზემოაღნიშნული ფორმულების გასაგებად, შევეცადოთ გამოვთვალოთ ცილინდრის ზედაპირის ფართობი მაგალითების გამოყენებით.

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 2, სიმაღლე 3. განსაზღვრეთ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S მხარე. = 2 სთ

S მხარე = 2 * 3.14 * 2 * 34.6. სულ მიღებული შეფასებები: 990.