ტრიგონომეტრიული უთანასწორობის გადაჭრის მეთოდები

შესაბამისობა. ისტორიულად ტრიგონომეტრიულ განტოლებებსა და უტოლობებს განსაკუთრებული ადგილი ეთმობა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. შეიძლება ითქვას, რომ ტრიგონომეტრია სასკოლო კურსისა და ზოგადად მათემატიკური მეცნიერების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი განყოფილებაა.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები და უტოლობები ერთ-ერთ ცენტრალურ ადგილს იკავებს საშუალო სკოლის მათემატიკის კურსში, როგორც საგანმანათლებლო მასალის შინაარსით, ასევე საგანმანათლებლო და შემეცნებითი აქტივობის მეთოდებით, რომლებიც შეიძლება და უნდა ჩამოყალიბდეს მათი შესწავლისას და გამოიყენონ დიდი ამოხსნისას. თეორიული და გამოყენებითი ხასიათის ამოცანების რაოდენობა.

ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა ქმნის წინაპირობებს სტუდენტების ცოდნის სისტემატიზაციისთვის, რომელიც დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიის ყველა სასწავლო მასალასთან (მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები, ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების გარდაქმნის მეთოდები და ა.შ.) და შესაძლებელს ხდის ეფექტური კავშირების დამყარებას. შესწავლილი მასალა ალგებრაში (განტოლებები, განტოლებათა ეკვივალენტობა, უტოლობა, ალგებრული გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები და სხვ.).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდების გათვალისწინება გულისხმობს ამ უნარების ახალ შინაარსზე გადატანას.

თეორიის მნიშვნელობა და მისი მრავალრიცხოვანი გამოყენება არჩეული თემის აქტუალურობის დასტურია. ეს, თავის მხრივ, საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ სასწავლო კურსის მიზნები, ამოცანები და კვლევის საგანი.

კვლევის მიზანი: განაზოგადოს ტრიგონომეტრიული უტოლობების არსებული ტიპები, მათი ამოხსნის ძირითადი და სპეციალური მეთოდები, შეარჩიოს სკოლის მოსწავლეების მიერ ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ამოცანების ნაკრები.

კვლევის მიზნები:

1. საკვლევ თემაზე არსებული ლიტერატურის ანალიზის საფუძველზე მოახდინოს მასალის სისტემატიზაცია.

2. მიეცით ამოცანების ნაკრები, რომელიც აუცილებელია თემის „ტრიგონომეტრიული უტოლობების“ გასამყარებლად.

კვლევის ობიექტი არის ტრიგონომეტრიული უტოლობები სასკოლო მათემატიკის კურსში.

კვლევის საგანი: ტრიგონომეტრიული უტოლობების სახეები და მათი ამოხსნის მეთოდები.

თეორიული მნიშვნელობა არის მასალის ორგანიზება.

პრაქტიკული მნიშვნელობა: თეორიული ცოდნის გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში; ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ძირითადი ხშირად გავრცელებული მეთოდების ანალიზი.

Კვლევის მეთოდები : სამეცნიერო ლიტერატურის ანალიზი, მიღებული ცოდნის სინთეზი და განზოგადება, პრობლემის გადაჭრის ანალიზი, უტოლობების ამოხსნის ოპტიმალური მეთოდების ძიება.

§ერთი. ტრიგონომეტრიული უტოლობების სახეები და მათი ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

1.1. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობა

ორ ტრიგონომეტრიულ გამონათქვამს, რომლებიც დაკავშირებულია ნიშნით ან > ტრიგონომეტრიული უტოლობები ეწოდება.

ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს უტოლობაში შემავალი უცნობი მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნას, რომლის მიხედვითაც უტოლობა დაკმაყოფილებულია.

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ძირითადი ნაწილი ამოხსნილია მათი შემცირებით უმარტივესთა ამოხსნამდე:

ეს შეიძლება იყოს ფაქტორიზაციის მეთოდი, ცვლადის შეცვლა (
,
და ა.შ.), სადაც ჯერ იხსნება ჩვეულებრივი უტოლობა, შემდეგ კი ფორმის უტოლობა
და ა.შ., ან სხვა გზები.

უმარტივესი უტოლობა წყდება ორი გზით: ერთეული წრის გამოყენებით ან გრაფიკულად.

დაე იყოსf(x  არის ერთ-ერთი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია. უტოლობის გადასაჭრელად
საკმარისია მისი ამოხსნის პოვნა ერთ პერიოდში, ე.ი. ნებისმიერ სეგმენტზე, რომლის სიგრძე ფუნქციის პერიოდის ტოლიავ  x  . მაშინ აღმოჩნდება თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნაx , ისევე როგორც იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც განსხვავდება ფუნქციის პერიოდების ნებისმიერი მთელი რიცხვით ნაპოვნი მნიშვნელობებისგან. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია გრაფიკული მეთოდის გამოყენება.

მოვიყვანოთ უტოლობების ამოხსნის ალგორითმის მაგალითი
(
) და
.

უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი
(
).

1. ჩამოაყალიბეთ რიცხვის სინუსის განმარტებაx ერთეულ წრეზე.

3. y ღერძზე მონიშნეთ წერტილი კოორდინატითა .

4. ამ წერტილის გავლით გაავლეთ OX ღერძის პარალელურად და მონიშნეთ მისი გადაკვეთის წერტილები წრესთან.

5. აირჩიეთ წრის რკალი, რომლის ყველა წერტილს აქვს ორდინატი ნაკლებია .

6. მიუთითეთ შემოვლითი მოძრაობის მიმართულება (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით) და ჩაწერეთ პასუხი ფუნქციის პერიოდის ინტერვალის ბოლოებში დამატებით.2πn ,
.

უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი
.

1. ჩამოაყალიბეთ რიცხვის ტანგენსის განმარტებაx ერთეულ წრეზე.

2. დახაზეთ ერთეული წრე.

3. დახაზეთ ტანგენტების ხაზი და მონიშნეთ მასზე წერტილი ორდინატითა .

4. დააკავშირეთ ეს წერტილი საწყისთან და მონიშნეთ მიღებული სეგმენტის გადაკვეთის წერტილი ერთეულ წრესთან.

5. აირჩიეთ წრის რკალი, რომლის ყველა წერტილს აქვს ორდინატი ტანგენტის წრფეზე, რომელიც ნაკლებიაა .

6. მიუთითეთ გავლის მიმართულება და ჩაწერეთ პასუხი ფუნქციის მოცულობის გათვალისწინებით, წერტილის დამატება.pn ,
(ჩანაწერის მარცხენა მხარეს რიცხვი ყოველთვის ნაკლებია ვიდრე მარჯვენა მხარეს).

უმარტივესი განტოლებების ამონახსნების გრაფიკული ინტერპრეტაცია და უტოლობების ზოგადი ფორმით ამოხსნის ფორმულები მოცემულია დანართში (დანართები 1 და 2).

მაგალითი 1 უტოლობის ამოხსნა
.

დახაზეთ ხაზი ერთეულ წრეზე
, რომელიც კვეთს წრეს A და B წერტილებში.

ყველა ღირებულებაწ ინტერვალზე NM მეტი , AMB რკალის ყველა წერტილი აკმაყოფილებს ამ უტოლობას. ბრუნვის ყველა კუთხით, დიდი , მაგრამ უფრო პატარა ,
მიიღებს იმაზე მეტ ღირებულებებს, ვიდრე (მაგრამ არა ერთზე მეტი).

ნახ.1

ამრიგად, უთანასწორობის გადაწყვეტა იქნება ყველა მნიშვნელობა ინტერვალში
, ე.ი.
. ამ უტოლობის ყველა ამოხსნის მისაღებად საკმარისია ამ ინტერვალის ბოლოებში დამატება
, სად
, ე.ი.
,
. გაითვალისწინეთ, რომ ღირებულებები
და
არის განტოლების ფესვები
,

იმათ.
;
.

პასუხი:
,
.

1.2. გრაფიკული მეთოდი

პრაქტიკაში ხშირად გამოსადეგია ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი. განვიხილოთ მეთოდის არსი უთანასწორობის მაგალითზე
:

1. თუ არგუმენტი რთულია (განსხვავებულიX ), შემდეგ ჩვენ ვცვლით მასტ .

2. ვაშენებთ ერთ კოორდინატულ სიბრტყეშიძალიანოი ფუნქციის გრაფიკები
და
.

3. ჩვენ ვპოულობთ ასეთებსგრაფიკების გადაკვეთის ორი მიმდებარე წერტილი, რომელთა შორისსინუსოიდიმდებარეობსუფრო მაღალი სწორი
. იპოვეთ ამ წერტილების აბსცისები.

4. არგუმენტისთვის დაწერეთ ორმაგი უტოლობატ კოსინუსის პერიოდის გათვალისწინებით (ტ აღმოჩენილ აბსციებს შორის იქნება).

5. გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება (დაბრუნდით თავდაპირველ არგუმენტზე) და გამოხატეთ მნიშვნელობაX ორმაგი უტოლობიდან პასუხს ვწერთ რიცხვითი ინტერვალის სახით.

მაგალითი 2 ამოხსენით უტოლობა: .

უტოლობების გრაფიკული მეთოდით ამოხსნისას აუცილებელია ფუნქციების გრაფიკების რაც შეიძლება ზუსტად აგება. გადავიყვანოთ უტოლობა ფორმად:

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში
და
(ნახ. 2).

ნახ.2

ფუნქციის გრაფიკები იკვეთება წერტილშიმაგრამ კოორდინატებით
;
. Შორის
გრაფიკის წერტილები
გრაფიკის წერტილების ქვემოთ
. Და როცა
ფუნქციის მნიშვნელობები იგივეა. Ისე
ზე
.

პასუხი:
.

1.3. ალგებრული მეთოდი

ხშირად, ორიგინალური ტრიგონომეტრიული უტოლობა, კარგად შერჩეული ჩანაცვლებით, შეიძლება შემცირდეს ალგებრულ (რაციონალურ ან ირაციონალურ) უტოლობამდე. ეს მეთოდი გულისხმობს უტოლობის ტრანსფორმაციას, ჩანაცვლების შემოღებას ან ცვლადის ჩანაცვლებას.

განვიხილოთ ამ მეთოდის გამოყენება კონკრეტულ მაგალითებზე.

მაგალითი 3 შემცირება უმარტივეს ფორმამდე
.

(ნახ. 3)

ნახ.3

,
.

პასუხი:
,

მაგალითი 4 ამოხსენით უტოლობა:

ODZ:
,
.

ფორმულების გამოყენება:
,

ჩვენ ვწერთ უტოლობას სახით:
.

ან, ვივარაუდოთ
მარტივი გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ

,

,

.

ბოლო უტოლობის ამოხსნის ინტერვალის მეთოდით, მივიღებთ:

ნახ.4

, შესაბამისად
. შემდეგ ნახ. 4 მოყვება
, სად
.

ნახ.5

პასუხი:
,
.

1.4. ინტერვალის მეთოდი

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ინტერვალის მეთოდით:

ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით ფაქტორიზაცია.

იპოვეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილები და ნულები, დადეთ ისინი წრეზე.

მიიღეთ ნებისმიერი წერტილირომ (მაგრამ ადრე არ იქნა ნაპოვნი) და გაარკვიეთ პროდუქტის ნიშანი. თუ პროდუქტი დადებითია, მაშინ დადეთ წერტილი ერთეული წრის გარეთ კუთხის შესაბამის სხივზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩადეთ წერტილი წრეში.

თუ წერტილი არის ლუწი რაოდენობის ჯერ, ჩვენ მას ვუწოდებთ ლუწი სიმრავლის წერტილს, თუ კენტი რაოდენობის ჯერ, ჩვენ ვუწოდებთ კენტი სიმრავლის წერტილს. დახაზეთ რკალი შემდეგნაირად: დაიწყეთ წერტილიდანრომ , თუ შემდეგი წერტილი არის კენტი სიმრავლის, მაშინ რკალი კვეთს წრეს ამ წერტილში, მაგრამ თუ წერტილი ლუწი სიმრავლისაა, მაშინ ის არ იკვეთება.

წრის უკან რკალი დადებითი ხარვეზებია; წრის შიგნით არის უარყოფითი ინტერვალები.

მაგალითი 5 უტოლობის ამოხსნა

,
.

პირველი სერიის პუნქტები:
.

მეორე სერიის პუნქტები:
.

ყოველი წერტილი ხდება კენტი რაოდენობის ჯერ, ანუ კენტი სიმრავლის ყველა წერტილი.

შეიტყვეთ პროდუქტის ნიშანი აქ
: . ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა წერტილს ერთეულ წრეზე (ნახ. 6):

ბრინჯი. 6

პასუხი:
,
;
,
;
,
.

მაგალითი 6 . უტოლობის ამოხსნა.

გადაწყვეტილება:

ვიპოვოთ გამოხატვის ნულები .

მიიღეთაემ :

,
;

,
;

,
;

,
;

ერთეულის წრეზე, სერიების მნიშვნელობებიX 1 წარმოდგენილია წერტილებით
. სერიალიX 2 ქულებს აძლევს
. ᲡერიებიX 3 ჩვენ ვიღებთ ორ ქულას
. და ბოლოს, სერიაX 4 წარმოადგენს ქულებს
. ჩვენ ყველა ამ წერტილს ვსვამთ ერთეულ წრეზე, ფრჩხილებში აღვნიშნავთ თითოეული მისი სიმრავლის გვერდით.

ახლა მოდით ნომერი თანაბარი იქნება. ჩვენ ვაკეთებთ შეფასებას ნიშნით:

ასე რომ, წერტილია უნდა შეირჩეს კუთხის ფორმირებულ სხივზე სხივითოჰ, ერთეული წრის გარეთ. (გაითვალისწინეთ, რომ დამხმარე სხივიო ა ის არ უნდა იყოს ნაჩვენები სურათზე. Წერტილია შერჩეული დაახლოებით.)

ეხლა წერტილიდანა ყველა მონიშნულ წერტილს თანმიმდევრულად ვხაზავთ ტალღოვან უწყვეტ ხაზს. და პუნქტებში
ჩვენი ხაზი გადის ერთი რეგიონიდან მეორეში: თუ ის იყო ერთეული წრის გარეთ, მაშინ გადადის მასში. წერტილის მიახლოება , ხაზი უბრუნდება შიდა რეგიონს, რადგან ამ წერტილის სიმრავლე ლუწია. ანალოგიურად წერტილში (ლუწი სიმრავლით) ხაზი უნდა შემობრუნდეს გარე რეგიონში. ასე რომ, ჩვენ დავხატეთ გარკვეული სურათი, რომელიც გამოსახულია ნახ. 7. ხელს უწყობს ერთეულის წრეზე სასურველი უბნების ხაზგასმას. ისინი აღინიშნება "+"-ით.

ნახ.7

საბოლოო პასუხი:

Შენიშვნა. თუ ტალღოვანი ხაზი, ერთეულ წრეზე მონიშნული ყველა წერტილის გადაკვეთის შემდეგ, ვერ დაბრუნდება წერტილშია , წრის "უკანონო" ადგილზე გადაკვეთის გარეშე, ეს ნიშნავს, რომ დაშვებულია შეცდომა გამოსავალში, კერძოდ, გამოტოვებულია კენტი რაოდენობის ფესვები.

უპასუხე: .

§2. ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ამოცანების ერთობლიობა

სკოლის მოსწავლეების ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის უნარის განვითარების პროცესში ასევე შეიძლება გამოიყოს 3 ეტაპი.

1. მოსამზადებელი,

2. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის უნარების ჩამოყალიბება;

3. სხვა ტიპის ტრიგონომეტრიული უტოლობების დანერგვა.

მოსამზადებელი ეტაპის მიზანია სკოლის მოსწავლეებში ჩამოყალიბდეს უნარი, გამოიყენონ ტრიგონომეტრიული წრე ან გრაფიკი უტოლობების ამოსახსნელად, კერძოდ:

ფორმის მარტივი უტოლობების ამოხსნის უნარი
,
,
,
, სინუსის და კოსინუსური ფუნქციების თვისებების გამოყენება;

რიცხვითი წრის რკალებისთვის ან ფუნქციათა გრაფიკის რკალებისთვის ორმაგი უტოლობების გაკეთების უნარი;

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების სხვადასხვა ტრანსფორმაციის შესრულების უნარი.

ამ ეტაპის განხორციელება რეკომენდებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების შესახებ სკოლის მოსწავლეების ცოდნის სისტემატიზაციის პროცესში. ძირითადი საშუალება შეიძლება იყოს მოსწავლეებისთვის შეთავაზებული და მასწავლებლის ხელმძღვანელობით ან დამოუკიდებლად შესრულებული ამოცანები, ასევე ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას მიღებული უნარები.

აქ მოცემულია ასეთი დავალებების მაგალითები:

1 . მონიშნეთ წერტილი ერთეულ წრეზე , თუ

.

2. კოორდინატთა სიბრტყის რომელ მეოთხედშია წერტილი , თუ უდრის:

3. მონიშნეთ წერტილები ტრიგონომეტრიულ წრეზე , თუ:

4. მიიტანეთ გამოხატულება ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზემემეოთხედი.

ა)
, ბ)
, in)

5. მოცემული რკალი MR.მ - შუამემეოთხე კვარტალი,რ - შუაIIკვარტალი. შეზღუდეთ ცვლადის მნიშვნელობატ ამისთვის: (შეადგინეთ ორმაგი უტოლობა) ა) რკალი MP; ბ) RM რკალი.

6. ჩაწერეთ ორმაგი უტოლობა გრაფიკის არჩეული მონაკვეთებისთვის:

ბრინჯი. ერთი

7. უტოლობების ამოხსნა
,
,
,
.

8. გამოხატვის კონვერტაცია .

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის სწავლის მეორე საფეხურზე შეგვიძლია შემოგთავაზოთ შემდეგი რეკომენდაციები მოსწავლეთა საქმიანობის ორგანიზების მეთოდოლოგიასთან დაკავშირებით. ამავდროულად აუცილებელია მოსწავლეთა ტრიგონომეტრიულ წრესთან ან გრაფიკთან მუშაობის უნარ-ჩვევებზე გამახვილება, რომლებიც წარმოიქმნება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის დროს.

პირველ რიგში, შესაძლებელია უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი მეთოდის მოპოვების მიზანშეწონილობის მოტივაცია, მაგალითად, ფორმის უტოლობის მითითებით.
. მოსამზადებელ ეტაპზე შეძენილი ცოდნისა და უნარების გამოყენებით მოსწავლეები შემოთავაზებულ უთანასწორობას ფორმამდე მიიყვანენ
, მაგრამ შეიძლება გაუჭირდეს მიღებული უთანასწორობის ამონახსნების ნაკრების პოვნა, ვინაიდან მისი ამოხსნა შეუძლებელია მხოლოდ სინუსური ფუნქციის თვისებების გამოყენებით. ამ სირთულის თავიდან აცილება შესაძლებელია შესაბამისი ილუსტრაციით (განტოლების ამოხსნა გრაფიკულად ან ერთეული წრის გამოყენებით).

მეორეც, მასწავლებელმა მოსწავლეების ყურადღება უნდა მიაპყროს დავალების შესრულების სხვადასხვა ხერხს, მისცეს შესაბამისი მაგალითი უტოლობის ამოხსნის როგორც გრაფიკულად, ასევე ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით.

განვიხილოთ უთანასწორობის გადაჭრის ასეთი ვარიანტები
.

1. უტოლობის ამოხსნა ერთეული წრის გამოყენებით.

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის პირველ გაკვეთილზე მოსწავლეებს შევთავაზებთ ამოხსნის დეტალურ ალგორითმს, რომელიც ნაბიჯ-ნაბიჯ პრეზენტაციაში ასახავს უტოლობის ამოხსნისთვის აუცილებელ ყველა ძირითად უნარს.

Ნაბიჯი 1.დახაზეთ ერთეული წრე, მონიშნეთ წერტილი y ღერძზე და გავავლოთ სწორი ხაზი მასში x ღერძის პარალელურად. ეს ხაზი გადაკვეთს ერთეულ წრეს ორ წერტილში. თითოეული ეს წერტილი ასახავს რიცხვებს, რომელთა სინუსი ტოლია .

ნაბიჯი 2ეს სწორი ხაზი ყოფდა წრეს ორ რკალად. მოდით გამოვყოთ ის, რომელზედაც გამოსახულია რიცხვები, რომელთა სინუსი აღემატება . ბუნებრივია, ეს რკალი მდებარეობს შედგენილი სწორი ხაზის ზემოთ.

ბრინჯი. 2

ნაბიჯი 3ავირჩიოთ მონიშნული რკალის ერთ-ერთი ბოლო. ჩამოვწეროთ ერთ-ერთი რიცხვი, რომელიც წარმოდგენილია ერთეული წრის ამ წერტილით .

ნაბიჯი 4იმისათვის, რომ ავირჩიოთ არჩეული რკალის მეორე ბოლოსთვის შესაბამისი რიცხვი, ამ რკალის გასწვრივ „გავდივართ“ დასახელებული ბოლოდან მეორეზე. ამავდროულად, გავიხსენებთ, რომ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მოძრაობისას რიცხვები, რომლებსაც გავივლით, იზრდება (საპირისპირო მიმართულებით მოძრაობისას რიცხვები მცირდება). ჩავწეროთ რიცხვი, რომელიც გამოსახულია ერთეულ წრეზე მონიშნული რკალის მეორე ბოლოთი .

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ უთანასწორობა
დააკმაყოფილეთ რიცხვები, რომლებისთვისაც არის უტოლობა
. ჩვენ ამოვხსენით უტოლობა იმ რიცხვებისთვის, რომლებიც მდებარეობს სინუსური ფუნქციის იმავე პერიოდში. მაშასადამე, უტოლობის ყველა ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს როგორც

მოსწავლეებს უნდა სთხოვონ, ყურადღებით განიხილონ ფიგურა და გაარკვიონ, რატომ არის ყველა ამონახსნული უტოლობა
შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში
,
.

ბრინჯი. 3

აუცილებელია მოსწავლეთა ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ კოსინუს ფუნქციის უტოლობების ამოხსნისას ვხაზავთ y-ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს.

უტოლობის ამოხსნის გრაფიკული გზა.

შენობის სქემები
და
, იმის გათვალისწინებით, რომ
.

ბრინჯი. 4

შემდეგ ვწერთ განტოლებას
და მისი გამოსავალი
,
,
ნაპოვნია ფორმულების გამოყენებით
,
,
.

(გაცემან მნიშვნელობები 0, 1, 2, ჩვენ ვპოულობთ შედგენილი განტოლების სამ ფესვს). ღირებულებები
არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების სამი ზედიზედ აბსციზა
და
. ცხადია, ყოველთვის ინტერვალით
უთანასწორობა
და ინტერვალზე
- უთანასწორობა
. ჩვენ გვაინტერესებს პირველი შემთხვევა და შემდეგ ამ ინტერვალის ბოლოებს დავუმატებთ რიცხვს, რომელიც არის სინუს პერიოდის ჯერადი, მივიღებთ უტოლობის ამოხსნას.
როგორც:
,
.

ბრინჯი. 5

შეაჯამეთ. უტოლობის გადასაჭრელად
, თქვენ უნდა დაწეროთ შესაბამისი განტოლება და ამოხსნათ იგი. მიღებული ფორმულიდან იპოვნეთ ფესვები და და ჩაწერეთ უტოლობის პასუხი ფორმით: ,
.

მესამე, შესაბამისი ტრიგონომეტრიული უტოლობის ფესვთა სიმრავლის ფაქტი ძალიან მკაფიოდ დასტურდება მისი გრაფიკული ამოხსნისას.

ბრინჯი. 6

აუცილებელია მოსწავლეებს ვაჩვენოთ, რომ ხვეული, რომელიც არის უტოლობის ამონახსნი, მეორდება იმავე ინტერვალით, ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პერიოდის ტოლი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ განიხილოთ მსგავსი ილუსტრაცია სინუსური ფუნქციის გრაფიკისთვის.

მეოთხე, მიზანშეწონილია ჩატარდეს მუშაობა სტუდენტებს შორის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) პროდუქტად გადაქცევის მეთოდების განახლებაზე, სკოლის მოსწავლეების ყურადღების მიქცევა ამ მეთოდების როლზე ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნაში.

ასეთი სამუშაოს ორგანიზება შესაძლებელია სტუდენტების მიერ მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებული ამოცანების დამოუკიდებელი შესრულების გზით, რომელთა შორის გამოვყოფთ შემდეგს:

მეხუთე, მოსწავლეებს უნდა მოეთხოვონ თითოეული მარტივი ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამოხსნის ილუსტრირება გრაფიკის ან ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. დარწმუნდით, რომ ყურადღება მიაქციეთ მის მიზანშეწონილობას, განსაკუთრებით წრის გამოყენებას, რადგან ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნისას, შესაბამისი ილუსტრაცია არის ძალიან მოსახერხებელი საშუალება მოცემულ უტოლობაზე ამონახსნების სიმრავლის დასაფიქსირებლად.

სტუდენტების გაცნობა ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებთან, რომლებიც არ არის უმარტივესი, უნდა განხორციელდეს შემდეგი სქემის მიხედვით: კონკრეტული ტრიგონომეტრიული უტოლობის მითითება შესაბამისი ტრიგონომეტრიული განტოლების ერთობლივი ძიება (მასწავლებელი - მოსწავლეები) ამოხსნის დამოუკიდებელი გადაცემისთვის. ნაპოვნი ტექნიკის იგივე ტიპის სხვა უტოლობა.

სტუდენტების ტრიგონომეტრიის ცოდნის სისტემატიზაციის მიზნით, ჩვენ გირჩევთ კონკრეტულად შეარჩიოთ ისეთი უტოლობები, რომელთა ამოხსნა მოითხოვს სხვადასხვა ტრანსფორმაციას, რომელიც შეიძლება განხორციელდეს მისი ამოხსნის პროცესში, სტუდენტების ყურადღების გამახვილება მათ მახასიათებლებზე.

როგორც ასეთი პროდუქტიული უთანასწორობა, ჩვენ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ, მაგალითად, შემდეგი:

დასასრულს, ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს ტრიგონომეტრიული უტოლობების გადასაჭრელად ამოცანების ნაკრების შესახებ.

1. ამოხსენით უტოლობა:

2. ამოხსენით უტოლობა: 3. იპოვეთ უტოლობების ყველა ამონახსნები: 4. იპოვეთ უტოლობების ყველა ამონახსნები:

ა)
, აკმაყოფილებს პირობას
;

ბ)
, აკმაყოფილებს პირობას
.

5. იპოვეთ უტოლობების ყველა ამონახსნები:

ა) ;

ბ) ;

in)
;

გ)
;

ე)
.

6. ამოხსენით უტოლობა:

ა) ;

ბ) ;

in) ;

გ)
;

ე) ;

ე) ;

ზ)
.

7. ამოხსენით უტოლობა:

ა)
;

ბ) ;

in) ;

გ) .

8. ამოხსენით უტოლობა:

ა) ;

ბ) ;

in) ;

გ)
;

ე)
;

ე) ;

ზ)
;

თ) .

მიზანშეწონილია შესთავაზოთ 6 და 7 დავალებები მოსწავლეებს, რომლებიც სწავლობენ მათემატიკას მოწინავე დონეზე, დავალება 8 - მოსწავლეებს კლასებში მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით.

§3. ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის სპეციალური მეთოდები

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის სპეციალური მეთოდები - ეს არის ის მეთოდები, რომელთა გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად. ეს მეთოდები ეფუძნება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების გამოყენებას, ასევე სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ფორმულებისა და იდენტობების გამოყენებას.

3.1. სექტორის მეთოდი

განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის სექტორის მეთოდი. ფორმის უტოლობების ამოხსნა

, სადპ ( x ) დაქ ( x ) - რაციონალური ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (სინუსები, კოსინუსები, ტანგენტები და კოტანგენტები მათში რაციონალურად შედის), რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მსგავსად. მოსახერხებელია რაციონალური უტოლობების ამოხსნა რეალურ ღერძზე ინტერვალების მეთოდით. მისი ანალოგი რაციონალური ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნისას არის სექტორების მეთოდი ტრიგონომეტრიულ წრეში.სინქსი დაcosx (
) ან ტრიგონომეტრიული ნახევარწრე ამისთვისtgx დაctgx (
).

ინტერვალის მეთოდში, ფორმის მრიცხველის და მნიშვნელის თითოეული წრფივი ფაქტორი
წერტილი რიცხვის ღერძზე და ამ წერტილის გავლისას
ცვლის ნიშანს. სექტორის მეთოდში, ფორმის თითოეული მულტიპლიკატორი
, სად
- ერთ-ერთი ფუნქციასინქსი ანcosx და
ტრიგონომეტრიულ წრეში შეესაბამება ორი კუთხე და
, რომელიც წრეს ორ სექტორად ყოფს. გავლისას და ფუნქცია
ცვლის ნიშანს.

შემდეგი უნდა გახსოვდეთ:

ა) ფორმის მამრავლები
და
, სად
, შეინარჩუნეთ ნიშანი ყველა მნიშვნელობისთვის . მრიცხველისა და მნიშვნელის ასეთი მამრავლები უგულებელყოფილია, იცვლება (თუ
) ყოველი ასეთი უარყოფისთვის, უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებულია.

ბ) ფორმის მამრავლები
და
ასევე გაუქმებულია. უფრო მეტიც, თუ ეს არის მნიშვნელის ფაქტორები, მაშინ ფორმის უტოლობები ემატება უტოლობების ეკვივალენტურ სისტემას.
და
. თუ ეს არის მრიცხველის ფაქტორები, მაშინ შეზღუდვების ეკვივალენტურ სისტემაში ისინი შეესაბამება უტოლობებს
და
მკაცრი საწყისი უთანასწორობის შემთხვევაში და თანასწორობა
და
არამკაცრი საწყისი უტოლობის შემთხვევაში. მულტიპლიკატორის ჩამოშვებისას
ან
უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებულია.

მაგალითი 1 უტოლობების ამოხსნა: ა)
, ბ)
. გვაქვს ფუნქცია, ბ). ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს

3.2. კონცენტრული წრის მეთოდი

ეს მეთოდი რაციონალური უტოლობების სისტემების ამოხსნის პარალელური რიცხვითი ღერძების მეთოდის ანალოგია.

განვიხილოთ უტოლობების სისტემის მაგალითი.

მაგალითი 5 მარტივი ტრიგონომეტრიული უტოლობების სისტემის ამოხსნა

ჯერ თითოეულ უტოლობას ცალ-ცალკე ვხსნით (სურათი 5). ფიგურის ზედა მარჯვენა კუთხეში მივუთითებთ, თუ რომელი არგუმენტისთვის არის განხილული ტრიგონომეტრიული წრე.

ნახ.5

შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ კონცენტრული წრეების სისტემას არგუმენტისთვისX . ვხატავთ წრეს და ვჩრდილავთ მას პირველი უტოლობის ამოხსნის მიხედვით, შემდეგ ვხატავთ უფრო დიდი რადიუსის წრეს და ვჩრდილავთ მეორეს ამონახსნის მიხედვით, შემდეგ ვაგებთ წრეს მესამე უტოლობისთვის და ფუძის წრეს. . ჩვენ ვხატავთ სხივებს სისტემის ცენტრიდან რკალების ბოლოებში ისე, რომ ისინი კვეთენ ყველა წრეს. ჩვენ ვქმნით ხსნარს საბაზისო წრეზე (სურათი 6).

სურ.6

პასუხი:
,
.

დასკვნა

კურსის ყველა მიზანი დასრულებულია. თეორიული მასალა სისტემატიზებულია: მოცემულია ტრიგონომეტრიული უტოლობების ძირითადი ტიპები და მათი ამოხსნის ძირითადი მეთოდები (გრაფიკული, ალგებრული, ინტერვალების მეთოდი, სექტორები და კონცენტრული წრეების მეთოდი). თითოეული მეთოდისთვის მოცემულია უტოლობის ამოხსნის მაგალითი. თეორიულ ნაწილს მოჰყვა პრაქტიკული ნაწილი. იგი შეიცავს ამოცანების ერთობლიობას ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოსახსნელად.

ეს კურსი სტუდენტებს შეუძლიათ გამოიყენონ დამოუკიდებელი სამუშაოსთვის. სტუდენტებს შეუძლიათ შეამოწმონ ამ თემის ათვისების დონე, ივარჯიშონ სხვადასხვა სირთულის დავალებების შესრულებაში.

ამ საკითხზე შესაბამისი ლიტერატურის შემუშავების შემდეგ, ცხადია, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ალგებრის სასკოლო კურსში ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალზე მნიშვნელოვანია და ანალიზის დაწყება, რომლის განვითარებაც დიდ ძალისხმევას მოითხოვს. მათემატიკის მასწავლებელი.

აქედან გამომდინარე, ეს ნაშრომი გამოადგება მათემატიკის მასწავლებლებს, რადგან შესაძლებელს ხდის მოსწავლეთა ტრენინგის ეფექტურად ორგანიზებას თემაზე „ტრიგონომეტრიული უტოლობები“.

სწავლა შეიძლება გაგრძელდეს მისი გაფართოებით საბოლოო საკვალიფიკაციო სამუშაოებამდე.

გამოყენებული ლიტერატურის სია

ბოგომოლოვი, ნ.ვ. მათემატიკაში ამოცანების კრებული [ტექსტი] / ნ.ვ. ბოგომოლოვი. – M.: Bustard, 2009. – 206გვ.

ვიგოდსკი, მ.ია. დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო [ტექსტი] / M.Ya. ვიგოდსკი. – M.: Bustard, 2006. – 509გვ.

ჟურბენკო, ლ.ნ. მათემატიკა მაგალითებში და ამოცანებში [ტექსტი] / ლ.ნ. ჟურბენკო. – M.: Infra-M, 2009. – 373გვ.

ივანოვი, ო.ა. დაწყებითი მათემატიკა სკოლის მოსწავლეებისთვის, სტუდენტებისთვის და მასწავლებლებისთვის [ტექსტი] / O.A. ივანოვი. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 გვ.

კარპი, ა.პ. ამოცანები ალგებრაში და ანალიზის დასაწყისი მე-11 კლასში საბოლოო გამეორებისა და სერტიფიცირების ორგანიზებისთვის [ტექსტი] / A.P. კობრი. – მ.: განმანათლებლობა, 2005. – 79გვ.

კულანინი, ე.დ. 3000 საკონკურსო ამოცანა მათემატიკაში [ტექსტი] / ე.დ. კულანინი. – M.: Iris-press, 2007. – 624გვ.

ლეიბსონი, კ.ლ. პრაქტიკული დავალებების კრებული მათემატიკაში [ტექსტი] / კ.ლ. ლეიბსონი. – M.: Bustard, 2010. – 182გვ.

იდაყვი, V.V. პარამეტრების პრობლემები და მათი გადაწყვეტა. ტრიგონომეტრია: განტოლებები, უტოლობა, სისტემები. მე-10 კლასი [ტექსტი] / V.V. იდაყვი. – მ.: ARKTI, 2008. – 64გვ.

მანოვა, ა.ნ. მათემატიკა. ექსპრეს დამრიგებელი გამოცდისთვის მოსამზადებლად: ანგარიში. შემწეობა [ტექსტი] / A.N. მანოვა. - როსტოვ-დონზე: ფენიქსი, 2012. - 541 გვ.

მორდკოვიჩი, ა.გ. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. 10-11 კლასები. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის [ტექსტი] / ა.გ. მორდკოვიჩი. – M.: Iris-press, 2009. – 201გვ.

ნოვიკოვი, ა.ი. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, განტოლებები და უტოლობა [ტექსტი] / A.I. ნოვიკოვი. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260გვ.

ოგანესიანი, ვ.ა. მათემატიკის სწავლების მეთოდები საშუალო სკოლაში: ზოგადი მეთოდოლოგია. პროკ. შემწეობა ფიზიკის სტუდენტებისთვის. - ხალიჩა. ყალბი. პედ. თანამებრძოლი. [ტექსტი] / V.A. ოგანესიანი. – მ.: განმანათლებლობა, 2006. – 368გვ.

ოლეჩნიკი, ს.ნ. განტოლებები და უტოლობა. გადაწყვეტის არასტანდარტული მეთოდები [ტექსტი] / S.N. ოლეხნიკი. - M .: გამომცემლობა Factorial, 1997. - 219გვ.

სევრიუკოვი, პ.ფ. ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა [ტექსტი] / P.F. სევრიუკოვი. – მ.: ეროვნული განათლება, 2008. – 352გვ.

სერგეევი, ი.ნ. გამოყენება: 1000 დავალება პასუხებითა და ამონახსნებით მათემატიკაში. C ჯგუფის ყველა დავალება [ტექსტი] / I.N. სერგეევი. – მ.: გამოცდა, 2012. – 301გვ.

სობოლევი, ა.ბ. დაწყებითი მათემატიკა [ტექსტი] / ა.ბ. სობოლევი. - ეკატერინბურგი: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81გვ.

ფენკო, ლ.მ. უტოლობების ამოხსნისა და ფუნქციების შესწავლის ინტერვალების მეთოდი [ტექსტი] / ლ.მ. ფენკო. – M.: Bustard, 2005. – 124გვ.

ფრიდმანი, ლ.მ. მათემატიკის სწავლების მეთოდოლოგიის თეორიული საფუძვლები [ტექსტი] / ლ.მ. ფრიდმენი. - M .: წიგნის სახლი "LIBROKOM", 2009. - 248გვ.

დანართი 1

უმარტივესი უტოლობების ამონახსნების გრაფიკული ინტერპრეტაცია

ბრინჯი. ერთი

ბრინჯი. 2

ნახ.3

ნახ.4

ნახ.5

სურ.6

ნახ.7

სურ.8

დანართი 2

უმარტივესი უტოლობების გადაწყვეტილებები

1.5 ტრიგონომეტრიული უტოლობა და მათი ამოხსნის მეთოდები

1.5.1 მარტივი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა

მათემატიკის თანამედროვე სახელმძღვანელოების ავტორთა უმეტესობა გვთავაზობს, რომ ამ თემის განხილვა დავიწყოთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნით. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის პრინციპი ემყარება ცოდნას და უნარს, განსაზღვროს ტრიგონომეტრიულ წრეზე არა მხოლოდ მთავარი ტრიგონომეტრიული კუთხეების, არამედ სხვა მნიშვნელობების მნიშვნელობებიც.

იმავდროულად, , , ფორმის უტოლობების ამოხსნა შეიძლება განხორციელდეს შემდეგნაირად: ჯერ ვპოულობთ ინტერვალს () რომელზედაც ეს უტოლობა არის ჭეშმარიტი და შემდეგ ვწერთ საბოლოო პასუხს ნაპოვნი ინტერვალის ბოლოების მიმატებით. სინუსის ან კოსინუსის პერიოდის ჯერადი: ( ). ამ შემთხვევაში, ღირებულება ადვილად მოიძებნება, რადგან ან . მნიშვნელობის ძიება ეყრდნობა სტუდენტების ინტუიციას, მათ უნარს შეამჩნიონ რკალების ან სეგმენტების თანასწორობა, სინუსის ან კოსინუს გრაფიკის ცალკეული ნაწილების სიმეტრიის გამოყენებით. და ეს ზოგჯერ სცილდება სტუდენტების საკმაოდ დიდ რაოდენობას. სახელმძღვანელოებში ბოლო წლებში აღნიშნული სირთულეების დასაძლევად, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გადასაჭრელად გამოიყენეს განსხვავებული მიდგომა, მაგრამ ამან არ გააუმჯობესა სწავლის შედეგები.

რამდენიმე წლის განმავლობაში ჩვენ საკმაოდ წარმატებით ვიყენებდით შესაბამისი განტოლებების ფესვების ფორმულებს ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამონახსნების მოსაძებნად.

ჩვენ ვსწავლობთ ამ თემას შემდეგნაირად:

1. ჩვენ ვაშენებთ გრაფიკებს და y \u003d a, იმ ვარაუდით, რომ .

შემდეგ ვწერთ განტოლებას და მის ამონახს. n 0-ის მიცემა; ერთი; 2, ჩვენ ვპოულობთ შედგენილი განტოლების სამ ფესვს: . მნიშვნელობები არის გრაფიკების სამი თანმიმდევრული გადაკვეთის წერტილის აბსცისი და y = a. აშკარაა, რომ უტოლობა ყოველთვის მოქმედებს ინტერვალზე (), ხოლო ინტერვალზე () - უტოლობაზე.

ამ ინტერვალების ბოლოებს დავუმატოთ რიცხვი, რომელიც არის სინუსის პერიოდის ჯერადი, პირველ შემთხვევაში ვიღებთ უტოლობის ამონახსას სახით: ; ხოლო მეორე შემთხვევაში უტოლობის ამოხსნა სახით:

მხოლოდ სინუსისგან განსხვავებით ფორმულიდან, რომელიც არის განტოლების ამონახსნი, n = 0-სთვის ვიღებთ ორ ფესვს, ხოლო მესამე ფესვს n = 1-ის სახით. . და ისევ არის სამი ზედიზედ აბსციზა გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებისა და . ინტერვალში () უტოლობა სრულდება, ინტერვალში () უტოლობა

ახლა ადვილია უტოლობათა ამონახსნების ჩაწერა და . პირველ შემთხვევაში ვიღებთ: ;

ხოლო მეორეში: .

შეაჯამეთ. ან უტოლობის ამოსახსნელად საჭიროა შესაბამისი განტოლების შედგენა და ამოხსნა. მიღებული ფორმულიდან იპოვეთ ფესვები და და დაწერეთ უტოლობის პასუხი სახით: .

უტოლობების ამოხსნისას შესაბამისი განტოლების ფესვების ფორმულიდან ვპოულობთ ფესვებს და , და უტოლობის პასუხს ვწერთ სახით: .

ეს ტექნიკა საშუალებას გაძლევთ ასწავლოთ ყველა სტუდენტს ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა. ეს ტექნიკა მთლიანად ეყრდნობა იმ უნარებს, რომლებიც მტკიცედ აითვისეს სტუდენტებმა. ეს არის უმარტივესი ამოხსნის და ფორმულის გამოყენებით ცვლადის მნიშვნელობის პოვნის შესაძლებლობა. გარდა ამისა, სრულიად არჩევითი ხდება მასწავლებლის ხელმძღვანელობით დიდი რაოდენობის სავარჯიშოების გულდასმით გადაჭრა, რათა აჩვენოს ყველა სახის მსჯელობის ტექნიკა, რაც დამოკიდებულია უთანასწორობის ნიშანზე, რიცხვის a მოდულის მნიშვნელობაზე და მის ნიშანზე. და უთანასწორობის ამოხსნის პროცესი ხდება ხანმოკლე და, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია, ერთგვაროვანი.

ამ მეთოდის კიდევ ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის აადვილებს უტოლობების ამოხსნას მაშინაც კი, როდესაც მარჯვენა მხარე არ არის სინუსის ან კოსინუსის ცხრილის მნიშვნელობა.

მოდით ვაჩვენოთ ეს კონკრეტული მაგალითით. დაე საჭირო იყოს უტოლობის გადასაჭრელად. დავწეროთ შესაბამისი განტოლება და ამოვხსნათ:

მოდი ვიპოვოთ და მნიშვნელობები.

n = 1-ისთვის

n = 2-ისთვის

ჩვენ ვწერთ საბოლოო პასუხს ამ უტოლობაზე:

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გადაჭრის განხილულ მაგალითში შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ნაკლი - ფორმალიზმის გარკვეული რაოდენობის არსებობა. მაგრამ თუ ყველაფერი შეფასდება მხოლოდ ამ პოზიციებიდან, მაშინ შესაძლებელი იქნება ფორმალიზმში დადანაშაულება როგორც კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებში, ასევე ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ყველა ფორმულაში და მრავალი სხვა.

შემოთავაზებული მეთოდი, მიუხედავად იმისა, რომ იგი ღირსეულ ადგილს იკავებს ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირებაში, არ შეიძლება შეფასდეს ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის სხვა მეთოდების მნიშვნელობა და მახასიათებლები. ეს მოიცავს ინტერვალის მეთოდს.

განვიხილოთ მისი არსი.

კომპლექტი რედაქტირებულია A.G. მორდკოვიჩი, თუმცა სხვა სახელმძღვანელოებიც არ უნდა იყოს უგულებელყოფილი. § 3. თემის „ტრიგონომეტრიული ფუნქციების“ სწავლების მეთოდები ალგებრის კურსში და ანალიზის დასაწყისი სკოლაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესწავლისას შეიძლება გამოიყოს ორი ძირითადი ეტაპი: ü ტრიგონომეტრიული ფუნქციების საწყისი გაცნობა ...

კვლევის დროს გადაწყდა შემდეგი ამოცანები: 1) გაანალიზდა ალგებრის მიმდინარე სახელმძღვანელოები და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი მათში წარმოდგენილი ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდების გამოსავლენად. ჩატარებული ანალიზი საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები: საშუალო სკოლაში არასაკმარისი ყურადღება ექცევა სხვადასხვა ირაციონალური განტოლების ამოხსნის მეთოდებს, ძირითადად ...

პრაქტიკულ გაკვეთილზე ჩვენ გავიმეორებთ დავალებების ძირითად ტიპებს თემიდან "ტრიგონომეტრია", დამატებით გავაანალიზებთ გაზრდილი სირთულის პრობლემებს და განვიხილავთ სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული უტოლობების და მათი სისტემების ამოხსნის მაგალითებს.

ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ მოამზადოთ ერთ-ერთი ტიპის დავალება B5, B7, C1 და C3.

დავიწყოთ იმ ძირითადი ტიპის ამოცანების გამეორებით, რომლებიც განვიხილეთ ტრიგონომეტრიის თემაში და გადავწყვიტოთ რამდენიმე არასტანდარტული ამოცანა.

დავალება #1. გადააქციეთ კუთხეები რადიანებად და გრადუსებად: ა) ; ბ) .

ა) გამოიყენეთ ფორმულა გრადუსების რადიანად გადაქცევისთვის

ჩაანაცვლეთ მოცემული მნიშვნელობა მასში.

ბ) გამოიყენეთ რადიანების გრადუსამდე გადაყვანის ფორმულა

შევასრულოთ ჩანაცვლება .

უპასუხე. ა) ; ბ) .

დავალება #2. გამოთვალეთ: ა) ; ბ) .

ა) ვინაიდან კუთხე შორს არის ცხრილის მიღმა, ვამცირებთ მას სინუსის პერიოდის გამოკლებით. იმიტომ რომ კუთხე მოცემულია რადიანებში, მაშინ წერტილი ჩაითვლება როგორც .

ბ) ამ შემთხვევაშიც ანალოგიური სიტუაციაა. ვინაიდან კუთხე მითითებულია გრადუსებში, მაშინ ჩვენ განვიხილავთ ტანგენტის პერიოდს, როგორც .

შედეგად მიღებული კუთხე, თუმცა პერიოდზე ნაკლებია, მაგრამ უფრო დიდია, რაც ნიშნავს, რომ ის აღარ ეხება ცხრილის მთავარ, არამედ გაფართოებულ ნაწილს. იმისათვის, რომ კიდევ ერთხელ არ გავავარჯიშოთ ჩვენი მეხსიერება ტრიგოფუნქციის მნიშვნელობების გაფართოებული ცხრილის დამახსოვრების გზით, ჩვენ კვლავ გამოვაკლებთ ტანგენტის პერიოდს:

ჩვენ ვისარგებლეთ ტანგენტის ფუნქციის უცნაურობით.

უპასუხე. ა) 1; ბ) .

დავალება #3. გამოთვალეთ , თუ .

წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფით მთელ გამოსახულებას მივყავართ ტანგენტებზე. ამავე დროს, ამის არ შეიძლება გვეშინოდეს, რადგან ამ შემთხვევაში, ტანგენტის მნიშვნელობა არ იარსებებს.

დავალება #4. გამოხატვის გამარტივება.

მითითებული გამონათქვამები გარდაიქმნება cast ფორმულების გამოყენებით. უბრალოდ, ისინი არაჩვეულებრივად იწერება გრადუსების გამოყენებით. პირველი გამოთქმა ზოგადად რიცხვია. გაამარტივეთ ყველა ტრიგოფუნქცია თავის მხრივ:

იმიტომ რომ , შემდეგ ფუნქცია იცვლება თანაფუნქციად, ე.ი. კოტანგენსამდე და კუთხე ეცემა მეორე მეოთხედში, რომელშიც საწყისი ტანგენტის ნიშანი უარყოფითია.

იგივე მიზეზების გამო, როგორც წინა გამონათქვამში, ფუნქცია იცვლება თანაფუნქციად, ე.ი. კოტანგენსამდე და კუთხე მოდის პირველ მეოთხედში, რომელშიც საწყის ტანგენტს აქვს დადებითი ნიშანი.

ყველაფრის ჩანაცვლება გამარტივებულ გამოხატულებაში:

დავალება #5. გამოხატვის გამარტივება.

დავწეროთ ორმაგი კუთხის ტანგენსი შესაბამისი ფორმულის მიხედვით და გავამარტივოთ გამოთქმა:

ბოლო იდენტურობა არის კოსინუსის ერთ-ერთი უნივერსალური შემცვლელი ფორმულა.

დავალება #6. გამოთვალეთ.

მთავარია არ დაუშვათ სტანდარტული შეცდომა და არ გასცეთ პასუხი, რომელსაც გამოთქმა უდრის. შეუძლებელია რკალის ტანგენტის ძირითადი თვისების გამოყენება მაშინ, როცა მის მახლობლად არის ორის სახით ფაქტორი. მისგან თავის დასაღწევად გამოსახულებას ვწერთ ორმაგი კუთხის ტანგენსის ფორმულის მიხედვით, ხოლო მას ჩვეულებრივ არგუმენტად ვექცევით.

ახლა უკვე შესაძლებელია რკალის ტანგენტის ძირითადი თვისების გამოყენება, გახსოვდეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები მის რიცხვობრივ შედეგზე.

დავალება #7. ამოხსენით განტოლება.

წილადი განტოლების ამოხსნისას, რომელიც უდრის ნულს, ყოველთვის მითითებულია, რომ მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არა, რადგან ნულზე ვერ გაყოფ.

პირველი განტოლება არის უმარტივესი განტოლების სპეციალური შემთხვევა, რომელიც ამოხსნილია ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. თავად იფიქრეთ ამ გამოსავალზე. მეორე უტოლობა ამოხსნილია როგორც უმარტივესი განტოლება ტანგენტის ფესვების ზოგადი ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ მხოლოდ ნიშნით არატოლი.

როგორც ვხედავთ, ფესვების ერთი ოჯახი გამორიცხავს მეორეს ფესვების ზუსტად იმავე ოჯახს, რომელიც არ აკმაყოფილებს განტოლებას. იმათ. ფესვები არ არის.

უპასუხე. ფესვები არ არის.

დავალება #8. ამოხსენით განტოლება.

დაუყოვნებლივ გაითვალისწინეთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი და გააკეთოთ ეს:

განტოლება დაყვანილია ერთ-ერთ სტანდარტულ ფორმამდე, როდესაც რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ამ შემთხვევაში ან ერთი მათგანი ნულის ტოლია, ან მეორე, ან მესამე. ჩვენ ამას ვწერთ განტოლებათა სიმრავლის სახით:

პირველი ორი განტოლება უმარტივესთა განსაკუთრებული შემთხვევებია, მსგავსი განტოლებები უკვე არაერთხელ შეგვხვედრია, ამიტომ დაუყოვნებლივ მივუთითებთ მათ ამონახსნებს. ჩვენ ვამცირებთ მესამე განტოლებას ერთ ფუნქციამდე ორმაგი კუთხის სინუს ფორმულის გამოყენებით.

ცალ-ცალკე გადავჭრათ ბოლო განტოლება:

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან სინუსის ღირებულება არ შეიძლება გასცდეს .

ამრიგად, ფესვების მხოლოდ პირველი ორი ოჯახი არის გამოსავალი, ისინი შეიძლება გაერთიანდეს ერთში, რაც მარტივია ტრიგონომეტრიულ წრეზე:

ეს არის ყველა ნახევრის ოჯახი, ე.ი.

გადავიდეთ ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნაზე. ჯერ გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნის მიდგომა ზოგადი ამოხსნის ფორმულების გამოყენების გარეშე, მაგრამ ტრიგონომეტრიული წრის დახმარებით.

დავალება #9. ამოხსენით უტოლობა.

დახაზეთ დამხმარე ხაზი ტრიგონომეტრიულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება ტოლი სინუსის მნიშვნელობას და აჩვენეთ კუთხეების ინტერვალი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას.

ძალიან მნიშვნელოვანია იმის გაგება, თუ როგორ უნდა მიუთითოთ მიღებული კუთხის ინტერვალი, ე.ი. რა არის მისი დასაწყისი და რა არის მისი დასასრული. უფსკრულის დასაწყისი იქნება წერტილის შესაბამისი კუთხე, რომელშიც შევალთ უფსკრულის დასაწყისშივე, თუ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ გადავალთ. ჩვენს შემთხვევაში, ეს ის წერტილია, რომელიც მარცხნივ არის, რადგან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მოძრაობთ და სწორ წერტილს გავდივართ, პირიქით, გამოვდივართ საჭირო კუთხის ინტერვალიდან. შესაბამისად, სწორი წერტილი შეესაბამება უფსკრულის დასასრულს.

ახლა ჩვენ უნდა გვესმოდეს უთანასწორობის გადაწყვეტის ჩვენი უფსკრული საწყისი და დასასრული კუთხის მნიშვნელობები. ტიპიური შეცდომაა დაუყოვნებლივ მიუთითოთ, რომ მარჯვენა წერტილი შეესაბამება კუთხეს, მარცხნივ და გასცეს პასუხი. Ეს არ არის სიმართლე! გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ ახლახან მივუთითეთ წრის ზედა ნაწილის შესაბამისი ინტერვალი, თუმცა ჩვენ გვაინტერესებს ქვედა, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ავურიეთ ჩვენთვის საჭირო ამონახსნების ინტერვალის დასაწყისი და დასასრული.

იმისათვის, რომ ინტერვალი დაიწყოს მარჯვენა წერტილის კუთხიდან და დასრულდეს მარცხენა წერტილის კუთხეში, პირველი მითითებული კუთხე უნდა იყოს მეორეზე ნაკლები. ამისათვის ჩვენ მოგვიწევს გავზომოთ სწორი წერტილის კუთხე უარყოფითი მიმართულების მიმართულებით, ე.ი. საათის ისრის მიმართულებით და ტოლი იქნება. შემდეგ, მისგან დაწყებული საათის ისრის მიმართულებით, ჩვენ მივიღებთ მარჯვენა წერტილს მარცხენა წერტილის შემდეგ და მივიღებთ მისთვის კუთხის მნიშვნელობას. ახლა კუთხეების ინტერვალის დასაწყისი ნაკლებია, ვიდრე ბოლო, და ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ამონახსნების ინტერვალი პერიოდის გათვალისწინების გარეშე:

თუ გავითვალისწინებთ, რომ ასეთი ინტერვალები უსასრულო რაოდენობის ბრუნვის შემდეგ განმეორდება, ჩვენ ვიღებთ ზოგად ამონახსნებს სინუს პერიოდის გათვალისწინებით:

ვდებთ მრგვალ ფრჩხილებს, რადგან უთანასწორობა მკაცრია და წრეზე ვპუნდებით წერტილებს, რომლებიც შეესაბამება ინტერვალის ბოლოებს.

შეადარეთ თქვენი პასუხი ზოგადი ამოხსნის ფორმულას, რომელიც ლექციაზე ვისაუბრეთ.

უპასუხე. .

ეს მეთოდი კარგია იმის გასაგებად, თუ საიდან მოდის უმარტივესი ტრიგონალური უტოლობების ზოგადი ამონახსნების ფორმულები. გარდა ამისა, სასარგებლოა მათთვის, ვისაც ძალიან ეზარება, ისწავლოს ყველა ეს უხერხული ფორმულა. თუმცა, თავად მეთოდი ასევე არ არის მარტივი, აირჩიე გადაწყვეტის რომელი მიდგომაა თქვენთვის ყველაზე მოსახერხებელი.

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოსახსნელად, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფუნქციის გრაფიკები, რომლებზედაც აგებულია დამხმარე ხაზი, ისევე როგორც მეთოდი, რომელიც ნაჩვენებია ერთეული წრის გამოყენებით. თუ გაინტერესებთ, შეეცადეთ თავად გაიგოთ გადაწყვეტის ეს მიდგომა. შემდეგში, ჩვენ გამოვიყენებთ ზოგად ფორმულებს უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოსახსნელად.

დავალება #10. ამოხსენით უტოლობა.

ჩვენ ვიყენებთ გადაწყვეტის ზოგად ფორმულას, იმის გათვალისწინებით, რომ უტოლობა არ არის მკაცრი:

ჩვენს შემთხვევაში ვიღებთ:

უპასუხე.

დავალება #11. ამოხსენით უტოლობა.

ჩვენ ვიყენებთ გადაწყვეტის ზოგად ფორმულას შესაბამისი მკაცრი უტოლობისთვის:

უპასუხე. .

დავალება #12. უტოლობების ამოხსნა: ა) ; ბ) .

ამ უთანასწორობებში არ უნდა იჩქაროთ ფორმულების გამოყენება ზოგადი ამონახსნებისთვის ან ტრიგონომეტრიული წრისთვის, საკმარისია მხოლოდ დაიმახსოვროთ სინუსისა და კოსინუსების მნიშვნელობების დიაპაზონი.

ა) იმიტომ , მაშინ უთანასწორობა უაზროა. ამიტომ, გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

ბ) იმიტომ ანალოგიურად, ნებისმიერი არგუმენტის სინუსი ყოველთვის აკმაყოფილებს პირობაში მითითებულ უთანასწორობას. ამრიგად, უთანასწორობა კმაყოფილდება არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობით.

უპასუხე. ა) არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ბ) .

დავალება 13. უტოლობის ამოხსნა .

ალგებრის პროექტი „ტრიგონომეტრიული უტოლობათა ამოხსნა“ დაასრულა მე-10 „ბ“ კლასის მოსწავლე იულია კაზაჩკოვა ხელმძღვანელი: მათემატიკის მასწავლებელი კოჩაკოვა ნ.ნ.

მიზანი თემაზე „ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა“ მასალის კონსოლიდაცია და მოსწავლეთათვის მომზადებული მემორანდუმის შექმნა მომავალი გამოცდისთვის.

მიზნები მასალის შეჯამება თემაზე. მიღებული ინფორმაციის ორგანიზება. განიხილეთ ეს თემა გამოცდაზე.

აქტუალობა ჩემს მიერ არჩეული თემის აქტუალობა მდგომარეობს იმაში, რომ ამოცანები თემაზე „ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა“ შედის გამოცდის ამოცანებში.

ტრიგონომეტრიული უტოლობა უტოლობა არის მიმართება, რომელიც აკავშირებს ორ რიცხვს ან გამოსახულებას ერთ-ერთი ნიშნის მეშვეობით: (უფრო მეტი); ≥ (ზე მეტი ან ტოლი). ტრიგონომეტრიული უტოლობა არის უტოლობა, რომელიც შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

ტრიგონომეტრიული უტოლობები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი უტოლობების ამონახსნები, როგორც წესი, მცირდება ფორმის უმარტივესი უტოლობების ამოხსნამდე: sin x>a, sin x. a, cos x a, tgx a, ctg x

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი მოცემული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის შესაბამის ღერძზე მონიშნეთ ამ ფუნქციის მოცემული რიცხვითი მნიშვნელობა. დახაზეთ ხაზი მონიშნულ წერტილში, რომელიც კვეთს ერთეულ წრეს. აირჩიეთ წრფისა და წრის გადაკვეთის წერტილები მკაცრი ან არამკაცრი უთანასწორობის ნიშნის გათვალისწინებით. შეარჩიეთ წრის რკალი, რომელზედაც მდებარეობს უტოლობის ამონახსნები. განსაზღვრეთ კუთხეების მნიშვნელობები წრიული რკალის საწყის და ბოლო წერტილებში. ჩამოწერეთ უტოლობის ამონახსნი მოცემული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პერიოდულობის გათვალისწინებით.

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ფორმულები sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). სინქსი ა; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxა; x (arctg a + πn ; + πn). tgx ა; x (πn ; arctg + πn). ctgx

მთავარი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა sinx >a

მთავარი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა sinx

ძირითადი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა cosx >a

ძირითადი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა cosx

ძირითადი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა tgx >a

ძირითადი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა tgx

ძირითადი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა ctgx >a

ძირითადი ტრიგონომეტრიული უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა ctgx

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის გზები ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა რიცხვითი წრის გამოყენებით; ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით. :

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა რიცხვითი წრის გამოყენებით მაგალითი 1: : პასუხი:

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა რიცხვითი წრის გამოყენებით მაგალითი 1: პასუხი:

ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით მაგალითი: პასუხი:

სამუშაოს შედეგმა გავამყარე ცოდნა თემაზე „ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა“. ამ თემაზე მიღებული ინფორმაციის სისტემატიზაცია აღქმის მოხერხებულობისთვის: გამოყვანილია ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი; გამოკვეთა გადაჭრის ორი გზა; აჩვენა გადაწყვეტილებების მაგალითები. :

სამუშაოს შედეგი ასევე, როგორც მზა პროდუქტი, ჩემს პროექტს ერთვის „შეხსენება სტუდენტებისთვის ალგებრის გამოცდისთვის მომზადებისას“. Microsoft Office Word დოკუმენტი (2). docx:

გამოყენებული ლიტერატურა ალგებრა სახელმძღვანელო მე-10 კლასისთვის "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი" რედაქციით A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

უტოლობები არის a › b ფორმის მიმართებები, სადაც a და b არის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს მინიმუმ ერთ ცვლადს. უტოლობა შეიძლება იყოს მკაცრი - ‹, › და არა მკაცრი - ≥, ≤.

ტრიგონომეტრიული უტოლობები არის გამოსახულებები: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, რომელშიც F(x) წარმოდგენილია ერთი ან მეტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციით. .

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობის მაგალითია: sin x ‹ 1/2. ჩვეულებრივია ასეთი პრობლემების გრაფიკულად გადაჭრა; ამისათვის შემუშავებულია ორი მეთოდი.

მეთოდი 1 - უტოლობების ამოხსნა ფუნქციის გამოსახულებით

იმისათვის, რომ იპოვოთ ინტერვალი, რომელიც აკმაყოფილებს sin x ‹ 1/2 უტოლობის პირობებს, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1. კოორდინატთა ღერძზე ააგეთ სინუსოიდი y = sin x.
2. იმავე ღერძზე დახაზეთ უტოლობის რიცხვითი არგუმენტის გრაფიკი, ანუ სწორი ხაზი, რომელიც გადის OY ორდინატის ½ წერტილში.
3. მონიშნეთ ორი გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები.
4. დაჩრდილეთ სეგმენტი, რომელიც არის მაგალითის ამოხსნა.

როდესაც გამოხატულებაში არის ძლიერი ნიშნები, გადაკვეთის წერტილები არ არის გამოსავალი. ვინაიდან სინუსოიდის უმცირესი დადებითი პერიოდია 2π, პასუხს ვწერთ შემდეგნაირად:

თუ გამოხატვის ნიშნები არ არის მკაცრი, მაშინ ამოხსნის ინტერვალი უნდა იყოს ჩასმული კვადრატულ ფრჩხილებში - . პრობლემის პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს სხვა უტოლობად:

მეთოდი 2 - ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნა ერთეული წრის გამოყენებით

მსგავსი ამოცანები ადვილად წყდება ტრიგონომეტრიული წრის დახმარებით. ძიების ალგორითმი ძალიან მარტივია:

1. პირველი, დახაზეთ ერთეული წრე.
2. შემდეგ თქვენ უნდა შენიშნოთ წრის რკალზე უტოლობის მარჯვენა მხარის არგუმენტის რკალის ფუნქციის მნიშვნელობა.
3. აუცილებელია სწორი ხაზის დახაზვა, რომელიც გადის რკალის ფუნქციის მნიშვნელობას x-ღერძის (OX) პარალელურად.
4. ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ წრის რკალის შერჩევა, რომელიც წარმოადგენს ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამონახსნებს.
5. დაწერეთ პასუხი საჭირო ფორმით.

მოდით გავაანალიზოთ ამოხსნის ეტაპები უტოლობის sin x › 1/2 მაგალითის გამოყენებით. წრეზე აღინიშნება α და β წერტილები - მნიშვნელობები

α და β ზევით მდებარე რკალის წერტილები არის მოცემული უტოლობის ამოხსნის ინტერვალი.

თუ თქვენ გჭირდებათ მაგალითის ამოხსნა cos-ისთვის, მაშინ პასუხების რკალი განლაგდება სიმეტრიულად OX ღერძთან და არა OY. თქვენ შეგიძლიათ განიხილოთ განსხვავება ცოდვისა და cos-ის ამოხსნის ინტერვალებს შორის ტექსტის ქვემოთ მოცემულ დიაგრამებში.

ტანგენტებისა და კოტანგენტების უტოლობების გრაფიკული ამონახსნები განსხვავდება როგორც სინუსისგან, ასევე კოსინუსისგან. ეს გამოწვეულია ფუნქციების თვისებებით.

არქტანგენსი და არკოტანგენსი არის ტრიგონომეტრიული წრის ტანგენტები და ორივე ფუნქციის მინიმალური დადებითი პერიოდია π. იმისათვის, რომ სწრაფად და სწორად გამოიყენოთ მეორე მეთოდი, უნდა გახსოვდეთ, რომელ ღერძზეა გამოსახული sin, cos, tg და ctg მნიშვნელობები.

ტანგენტური ტანგენსი მიემართება OY ღერძის პარალელურად. თუ arctg a-ს მნიშვნელობას გამოვსახავთ ერთეულ წრეზე, მაშინ მეორე საჭირო წერტილი განთავსდება დიაგონალურ კვარტალში. კუთხეები

ისინი ფუნქციის წყვეტის წერტილებია, რადგან გრაფიკი მათკენ მიისწრაფვის, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.

კოტანგენტის შემთხვევაში ტანგენსი მიემართება OX ღერძის პარალელურად და ფუნქცია წყდება π და 2π წერტილებში.

რთული ტრიგონომეტრიული უტოლობა

თუ უტოლობის ფუნქციის არგუმენტი წარმოდგენილია არა მხოლოდ ცვლადით, არამედ მთელი გამოსახულებით, რომელიც შეიცავს უცნობს, მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთ კომპლექსურ უტოლობაზე. მისი გადაწყვეტის კურსი და თანმიმდევრობა გარკვეულწილად განსხვავდება ზემოთ აღწერილი მეთოდებისგან. დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გამოსავალი შემდეგი უტოლობისთვის:

გრაფიკული გადაწყვეტა ითვალისწინებს ჩვეულებრივი სინუსოიდის y = sin x აგებას x-ის თვითნებურად არჩეული მნიშვნელობებისთვის. მოდით გამოვთვალოთ ცხრილი სქემის საცნობარო წერტილების კოორდინატებით:

შედეგი უნდა იყოს ლამაზი მრუდი.

გამოსავლის პოვნის გამარტივებისთვის, ჩვენ ვცვლით რთული ფუნქციის არგუმენტს