ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញសម្រាប់ការស្វែងរក extrema ..

• ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
• ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​នេះ​ទៅ​សូន្យ
• យើងរកឃើញតម្លៃនៃអថេរនៃកន្សោមលទ្ធផល (តម្លៃនៃអថេរដែលដេរីវេត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសូន្យ)
• យើងបែងចែកបន្ទាត់កូអរដោណេជាចន្លោះពេលជាមួយនឹងតម្លៃទាំងនេះ (ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងមិនគួរភ្លេចអំពីចំណុចបំបែកដែលត្រូវអនុវត្តចំពោះបន្ទាត់) ចំណុចទាំងអស់នេះត្រូវបានគេហៅថា "គួរឱ្យសង្ស័យ" ចំណុចខ្លាំង។
• យើងគណនាលើចន្លោះពេលទាំងនេះ ដេរីវេនឹងវិជ្ជមាន ហើយនៅលើនោះវានឹងអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវជំនួសតម្លៃពីចន្លោះពេលទៅជាដេរីវេ។

ក្នុង​ចំណោម​ចំណុច​ដែល​គេ​សង្ស័យ​ថា​មាន​ភាព​ជ្រុល​និយម វា​ជា​ការ​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក​ឲ្យ​បាន​ច្បាស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងមើលចន្លោះរបស់យើងនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។ ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចណាមួយ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក នោះចំណុចនេះនឹងក្លាយជា អតិបរមាហើយប្រសិនបើពីដកទៅបូក អប្បបរមា.

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចខ្លាំងបំផុត។ បន្ទាប់មកជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។
យើងរកឃើញដេរីវេ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖

យើងអនុវត្តតម្លៃដែលទទួលបាននៃអថេរទៅបន្ទាត់កូអរដោណេ ហើយគណនាសញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។ ជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ការយកដំបូង-2 បន្ទាប់មក ដេរីវេនឹងត្រូវបាន-0,24 សម្រាប់ការយកលើកទីពីរ0 បន្ទាប់មក ដេរីវេនឹងត្រូវបាន2 ហើយសម្រាប់ទីបីយើងយក2 បន្ទាប់មក ដេរីវេនឹងត្រូវបាន-0.24 ។ យើងដាក់សញ្ញាសមរម្យ។

យើងឃើញថានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច -1 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក នោះគឺវានឹងជាចំណុចអប្បបរមា ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ 1 ពីបូកទៅដករៀងគ្នា នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។

1°

1° កំណត់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

គោលគំនិតនៃអតិបរមា អប្បបរមា អតិបរមានៃមុខងារនៃអថេរពីរគឺស្រដៀងទៅនឹងគោលគំនិតដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារនៃអថេរឯករាជ្យមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ z=f(x; y)កំណត់នៅក្នុងតំបន់មួយចំនួន ឃចំណុច N(x 0 ;y0) ឃ.

ចំណុច (x 0 ;y0)ហៅថាចំណុចមួយ។ អតិបរមាមុខងារ z= f(x;y)ប្រសិនបើមានដូចជា  - អ្នកជិតខាងនៃចំណុចមួយ។ (x 0 ;y 0)នោះសម្រាប់ចំណុចនីមួយៗ (x; y),ខុសគ្នាពី (x 0 ;y0)សង្កាត់នេះបំពេញនូវវិសមភាព f(x;y)< f(x 0 ;y0)រូបភាពទី ១២៖ N 1 -ចំណុចអតិបរមា, ក N 2 -មុខងារចំណុចអប្បបរមា z=f(x;y)

ចំណុច​នេះ អប្បបរមាមុខងារ៖ សម្រាប់គ្រប់ចំណុច (x 0 ;y 0)ក្រៅពី (x 0 ;y 0)ពី d-សង្កាត់នៃចំណុច (x 0 ;y0)វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ f(x 0 ;y ០) >f(x 0 ;y0)

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរបី ឬច្រើនត្រូវបានកំណត់។

តម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) ត្រូវបានហៅ អតិបរមា (អប្បបរមា)មុខងារ។

អតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានហៅ ខ្លាំង។

ចំណាំថាដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យ ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារស្ថិតនៅក្នុងដែននៃអនុគមន៍។ អតិបរមា និងអប្បបរមា ក្នុងស្រុក(local) character: តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។ (x 0 ;y0)ត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វានៅចំណុចគ្រប់គ្រាន់នៅជិត (x 0 ;y0)ក្នុងតំបន់ ឃមុខងារមួយអាចមានច្រើនជ្រុល ឬគ្មាន។

2° លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ជ្រុល។

ពិចារណាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត។

ធរណីមាត្រស្មើគ្នា f"y (x 0 ;y0)= 0 និង f"y (x 0 ;y 0) = 0 មានន័យថានៅចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ z = f(x; y)ប្លង់តង់សង់ទៅផ្ទៃដែលពណ៌នាអំពីមុខងារ f(x; y)ស្របទៅនឹងយន្តហោះ អូហូចាប់តាំងពីសមីការយន្តហោះតង់សង់គឺ z=z0.

មតិយោបល់។អនុគមន៍​មួយ​អាច​មាន​កម្រិត​ខ្លាំង​នៅ​ចំណុច​ដែល​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​និស្សន្ទវត្ថុ​ផ្នែក​មិន​មាន។ ឧទាហរណ៍មុខងារ មានអតិបរមានៅចំណុច អំពី(0;0) ប៉ុន្តែ​មិន​មាន​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​ផ្នែក​នៅ​ចំណុច​នេះ​ទេ។

ចំណុចដែលលំដាប់ទីមួយជាដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ z = f(x;y)គឺស្មើនឹងសូន្យ, i.e. f"x = 0, f" y= 0, ហៅ ចំណុចស្ថានីមុខងារ z.

ចំណុចស្ថានី និងចំណុចដែលយ៉ាងហោចណាស់និស្សន្ទវត្ថុមួយផ្នែកមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់។

នៅចំណុចសំខាន់ មុខងារអាចមាន ឬមិនមានជ្រុល។ សមភាពទៅនឹងសូន្យនៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាព។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មុខងារ z = ហ៊សម្រាប់វា ចំណុច 0(0; 0) គឺសំខាន់ (ពួកវាបាត់ទៅវិញ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមុខងារខ្លាំងនៅក្នុងវា។ z = xyមិនមានទេ ពីព្រោះនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយនៃចំណុច O(0;0) មានចំណុចសម្រាប់នោះ។ z > 0 (ពិន្ទុ I និង III ត្រីមាស) និង z< 0 (ពិន្ទុ II និង IV ត្រីមាស) ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់ណាមួយ ចាំបាច់ត្រូវដាក់ចំណុចសំខាន់នីមួយៗនៃមុខងារទៅសិក្សាបន្ថែម។

ចំណុចស្ថានីត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0

(លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ជ្រុល).

ប្រព័ន្ធ (1) ស្មើនឹងសមីការមួយ។ df(x, y) = 0 ។ជាទូទៅនៅចំណុចខ្លាំង P(a, ខ)មុខងារ f(x, y)ឬ df(x, y) = 0, ឬ df(a, b) មិន​មាន។

3° ល័ក្ខខ័ណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម. អនុញ្ញាតឱ្យ P(a; ខ)- ចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ f(x, y) i.e. . df(а, b) = 0. បន្ទាប់មក៖

ហើយ​ប្រសិន​បើ d2f (a, b)< 0 នៅ, បន្ទាប់មក f(ក, ខ) មាន អតិបរមាមុខងារ f (x, y);

ខ) ប្រសិនបើ d2f (а, b) > 0នៅ, បន្ទាប់មក f(ក, ខ)មាន អប្បបរមាមុខងារ f (x, y);

គ) ប្រសិនបើ d2f (a, b)ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាបន្ទាប់មក f (ក, ខ) មិនមែនជាមុខងារលើសលប់ទេ។ f (x, y) ។

ល័ក្ខខ័ណ្ឌខាងលើគឺស្មើនឹងដូចខាងក្រោម៖ អនុញ្ញាតឱ្យ និង។ ចូរយើងតែង រើសអើង ∆=AC-ខ២.

1) ប្រសិនបើ Δ > 0 នោះមុខងារមានចំនុចខ្លាំង P (a; ខ)ឧទាហរណ៍អតិបរមាប្រសិនបើ ក<0 (ឬ ជាមួយ<0 ) និងអប្បបរមាប្រសិនបើ A> 0(ឬ ស៊ី>០);

2) ប្រសិនបើ Δ< 0, то экстремума в точке P(a; ខ)ទេ

3) ប្រសិនបើ Δ = 0 បន្ទាប់មកសំណួរនៃវត្តមាននៃមុខងារខ្លាំងនៅចំណុចមួយ។ P(a; ខ)នៅតែបើកចំហ (ទាមទារការសិក្សាបន្ថែម) ។

4° ករណីនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។. សម្រាប់មុខងារនៃអថេរបី ឬច្រើន លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាពគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌ (1) ហើយលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់គឺស្រដៀងនឹងលក្ខខណ្ឌ a) ខ) គ) 3°។

ឧទាហរណ៍. ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ជ្រុល z=x³+3xy²-15x-12y.

ដំណោះស្រាយ។ ចូរ​យើង​រក​ឃើញ​និស្សន្ទវត្ថុ​ដោយ​ផ្នែក ហើយ​បង្កើត​ប្រព័ន្ធ​សមីការ (1)៖

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានចំណុចស្ថានីចំនួនបួន៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទី 2

និងធ្វើឱ្យមានការរើសអើង ∆ = AC - B²សម្រាប់ចំណុចស្ថានីនីមួយៗ។

1) សម្រាប់ចំណុច: , ∆=AC-B²=36-144<0 . ដូច្នេះ​មិន​មាន​ចំណុច​ខ្លាំង​ណា​មួយ​ទេ។

២) សម្រាប់ចំណុច P2៖ A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. នៅចំណុច P2 មុខងារមានអប្បបរមា។ អប្បបរមានេះគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅ x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

៣) ចំណុច៖ A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . មិនមានអ្វីជ្រុលនិយមទេ។

៤) ចំពោះចំណុច P ៤៖ A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. នៅចំណុច P4 អនុគមន៍មានអតិបរមាស្មើនឹង Zmax=-8-6+30+12=28.

5° លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម. ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌមុខងារ f(x, y) គឺជាអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍នេះ ដែលឈានដល់ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានទាក់ទងដោយសមីការ φ(x,y)=0 (សមីការនៃការតភ្ជាប់) ដើម្បីស្វែងរកភាពជ្រុលនៃលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារមួយ។ f(x, y) នៅក្នុងវត្តមាននៃទំនាក់ទំនង φ(x, y) = 0បង្កើតបានជាអ្វីដែលគេហៅថា មុខងារ Lagrange

F(x ,y) =f(x ,y) +λφ (x ,y)

ដែល λ គឺជាកត្តាថេរដែលមិនអាចកំណត់បាន ហើយរកមើលភាពខ្លាំងធម្មតានៃមុខងារជំនួយនេះ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការបី

ជាមួយអ្នកមិនស្គាល់ចំនួនបី x, y, λពីនោះ ជាទូទៅ ការមិនស្គាល់ទាំងនេះអាចកំណត់បាន។

សំណួរអំពីអត្ថិភាព និងធម្មជាតិនៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើការសិក្សាអំពីសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃមុខងារ Lagrange

សម្រាប់ប្រព័ន្ធតម្លៃដែលបានសាកល្បង x, y, λទទួលបានពី (២) ផ្តល់ឲ្យ dxនិង ឌូទាក់ទងដោយសមីការ

.

ពោលគឺមុខងារ f(x, y) មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមាប្រសិនបើ d²F< 0 និងអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើ d²F> 0. ជាពិសេសប្រសិនបើការរើសអើងΔសម្រាប់មុខងារ F(x, y)នៅចំណុចស្ថានីគឺវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះមានអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ f(x, y), ប្រសិនបើ ក< 0 (ឬ ជាមួយ< 0) និងអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើ ក > អូ(ឬ ស៊ី>០).

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ភាពលើសលប់តាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរបី ឬច្រើនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវត្តមាននៃសមីការការតភ្ជាប់មួយ ឬច្រើន (ចំនួនដែលទោះជាយ៉ាងណាត្រូវតែតិចជាងចំនួនអថេរ)។ នៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីណែនាំកត្តាមិនកំណត់ជាច្រើនចូលទៅក្នុងមុខងារ Lagrange ព្រោះមានសមីការនៃការតភ្ជាប់។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ z=6-4x-3yបានផ្តល់ថាអថេរ Xនិង នៅបំពេញសមីការ x²+y²=1.

ដំណោះស្រាយ។ តាមធរណីមាត្រ បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃកម្មវិធី zយន្តហោះ z=6 − 4x − Zuសម្រាប់ចំនុចប្រសព្វជាមួយស៊ីឡាំង x2+y2=1។

តែងមុខងារ Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

យើង​មាន . លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ផ្តល់ឱ្យប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយដែលយើងរកឃើញ៖

.

,

d²F=2λ (dx²+ឌី²)។

ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក d²F > 0ដូច្នេះហើយ នៅចំណុចនេះ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា។ ប្រសិនបើ ហើយ​បន្ទាប់​មក d²ច<0, ដូច្នេះហើយ នៅចំណុចនេះ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា។

ដូច្នេះ

6° តម្លៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃមុខងារ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ z=f(x; y)បានកំណត់ និងបន្តនៅក្នុងដែនបិទជិតដែលមានព្រំដែន . បន្ទាប់មកវាឈានដល់ចំណុចមួយចំនួន ដ៏អស្ចារ្យបំផុតរបស់គាត់។ មនិងយ៉ាងហោចណាស់ ធតម្លៃ (ហៅថា។ ជ្រុលពិភពលោក) ។តម្លៃទាំងនេះត្រូវបានឈានដល់ដោយមុខងារនៅចំណុចដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងតំបន់ , ឬនៅចំណុចដែលស្ថិតនៅលើព្រំដែននៃតំបន់។

តម្លៃមុខងារ និងពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមា

តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ

តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ

ដូច​ឪ​ពុក​បាន​និយាយ​ថា​៖ ​«​មិន​មាន​អ្វី​ជា​បុគ្គល​នោះ​ទេ​»​។ និស្សន្ទវត្ថុតែប៉ុណ្ណោះ!

កិច្ចការទី 12 នៅក្នុងស្ថិតិត្រូវបានចាត់ទុកថាពិបាកណាស់ហើយទាំងអស់ដោយសារតែបុរសមិនបានអានអត្ថបទនេះ (កំប្លែង) ។ ក្នុងករណីភាគច្រើន ការធ្វេសប្រហែសគឺត្រូវស្តីបន្ទោស។

កិច្ចការ ១២ មានពីរប្រភេទ៖

1. ស្វែងរកចំណុចខ្ពស់/ទាប (បានសួររកតម្លៃ "x")។
2. ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត/តូចបំផុតនៃលក្ខណៈពិសេសមួយ (បានសួររកតម្លៃ "y")។

តើត្រូវធ្វើដូចម្តេចក្នុងករណីទាំងនេះ?

ស្វែងរកចំណុចខ្ពស់/ទាប

1. ស្មើនឹងសូន្យ។
2. បានរកឃើញ ឬរកឃើញ "x" ហើយនឹងជាពិន្ទុអប្បបរមា ឬអតិបរមា។
3. កំណត់សញ្ញាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល ហើយជ្រើសរើសចំណុចណាមួយដែលត្រូវការនៅក្នុងកិច្ចការ។

ភារកិច្ចជាមួយការប្រឡង៖

ស្វែងរកចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ

• យើងយកដេរីវេ៖

ត្រឹមត្រូវហើយ ជាដំបូងមុខងារកើនឡើង បន្ទាប់មកថយចុះ - នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា!
ចម្លើយ៖ -១៥

ស្វែងរកចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ

• បំប្លែង និងយកនិស្សន្ទវត្ថុ៖

• អស្ចារ្យ! ទីមួយមុខងារថយចុះបន្ទាប់មកកើនឡើង - នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា!

ចម្លើយ៖ -២

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត/តូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

1. យកដេរីវេនៃមុខងារដែលបានស្នើឡើង។
   
2. ស្មើនឹងសូន្យ។
   
3. "x" ដែលបានរកឃើញនឹងជាចំណុចអប្បបរមា ឬអតិបរមា។
   
4. កំណត់សញ្ញាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល ហើយជ្រើសរើសចំណុចណាមួយដែលត្រូវការនៅក្នុងកិច្ចការ។
5. ក្នុងកិច្ចការបែបនេះ គម្លាតមួយតែងតែត្រូវបានកំណត់៖ x ដែលរកឃើញក្នុងកថាខណ្ឌទី 3 ត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងគម្លាតនេះ។
6. ជំនួសនៅក្នុងសមីការដើម លទ្ធផលអតិបរមា ឬចំណុចអប្បបរមា យើងទទួលបានតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។

ភារកិច្ចជាមួយការប្រឡង៖

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល [−4; −1]

ចម្លើយ៖ -៦

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែក

• តម្លៃខ្ពស់បំផុតនៃមុខងារគឺ "11" នៅចំណុចអតិបរមា (នៅលើផ្នែកនេះ) "0" ។

ចម្លើយ៖ ១១

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

1. 70% នៃកំហុសគឺថាបុរសមិនចាំថាឆ្លើយតបទៅនឹងអ្វី តម្លៃធំបំផុត/តូចបំផុតនៃអនុគមន៍ដែលអ្នកត្រូវសរសេរ "y", និងនៅលើ សរសេរចំណុចអតិបរមា / អប្បបរមា "x" ។
2. តើដេរីវេមានដំណោះស្រាយនៅពេលស្វែងរកតម្លៃមុខងារ?វាមិនសំខាន់ទេ ជំនួសចំណុចខ្លាំងនៃគម្លាត!
3. ចម្លើយ​អាច​សរសេរ​ជា​លេខ ឬ​ទសភាគ។ទេ? បន្ទាប់មកផ្លាស់ប្តូរឧទាហរណ៍។
4. នៅក្នុងកិច្ចការភាគច្រើន ចំណុចមួយនឹងត្រូវបានទទួល ហើយភាពខ្ជិលរបស់យើងក្នុងការត្រួតពិនិត្យអតិបរមា ឬអប្បបរមានឹងត្រូវបានរាប់ជាសុចរិត។ យើងទទួលបានចំណុចមួយ - អ្នកអាចសរសេរឆ្លើយតបដោយសុវត្ថិភាព។
5. ហើយនៅទីនេះ ជាមួយនឹងការស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារមួយ អ្នកមិនគួរធ្វើបែបនេះទេ!ត្រូវប្រាកដថានេះគឺជាចំណុចដែលចង់បាន បើមិនដូច្នេះទេតម្លៃខ្លាំងនៃគម្លាតអាចធំជាង ឬតូចជាង។

ពីអត្ថបទនេះ អ្នកអាននឹងរៀនអំពីអ្វីដែលជាតម្លៃនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត ក៏ដូចជាអំពីលក្ខណៈពិសេសនៃការប្រើប្រាស់របស់វាក្នុងការអនុវត្ត។ ការសិក្សាអំពីគោលគំនិតបែបនេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ ប្រធានបទនេះគឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅនៃវគ្គសិក្សា។

នៅក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ

តើអ្វីទៅជាភាពជ្រុលនិយម?

នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា និយមន័យជាច្រើននៃគោលគំនិតនៃ "ជ្រុលនិយម" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អត្ថបទនេះមានគោលបំណងផ្តល់ការយល់ដឹងយ៉ាងស៊ីជម្រៅ និងច្បាស់លាស់បំផុតអំពីពាក្យសម្រាប់អ្នកដែលមិនដឹងអំពីបញ្ហា។ ដូច្នេះ ពាក្យ​នេះ​ត្រូវ​បាន​យល់​ថា​កម្រិត​ណា​ដែល​ចន្លោះ​ពេល​មុខងារ​ទទួល​បាន​តម្លៃ​អប្បបរមា ឬ​អតិបរមា​លើ​សំណុំ​ជាក់លាក់​មួយ។

ភាពខ្លាំងគឺជាតម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារ និងអតិបរមាក្នុងពេលតែមួយ។ មានចំណុចអប្បបរមា និងចំណុចអតិបរមា ពោលគឺតម្លៃខ្លាំងនៃអាគុយម៉ង់នៅលើក្រាហ្វ។ វិទ្យាសាស្ត្រសំខាន់ៗដែលគំនិតនេះត្រូវបានប្រើ៖

• ស្ថិតិ;
• ការគ្រប់គ្រងម៉ាស៊ីន;
• សេដ្ឋកិច្ច។

ចំណុចខ្លាំងដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការកំណត់លំដាប់នៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលនៅលើក្រាហ្វដែលល្អបំផុតបង្ហាញពីការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងខ្លាំងអាស្រ័យលើការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ។

ជ្រុលនៃអនុគមន៍ដេរីវេ

វាក៏មានរឿងដូចជា "ដេរីវេ" ផងដែរ។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ចំណុចខ្លាំង។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំពិន្ទុអប្បបរមា ឬអតិបរមាជាមួយនឹងតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។ ទាំងនេះគឺជាគោលគំនិតផ្សេងគ្នា ទោះបីជាវាហាក់ដូចជាស្រដៀងគ្នាក៏ដោយ។

តម្លៃនៃមុខងារគឺជាកត្តាចម្បងក្នុងការកំណត់របៀបស្វែងរកចំណុចអតិបរមា។ និស្សន្ទវត្ថុមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងពីតម្លៃទេ ប៉ុន្តែទាំងស្រុងពីទីតាំងខ្លាំងរបស់វាក្នុងលំដាប់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។

ដេរីវេដោយខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យនៃចំណុចខ្លាំង ហើយមិនមែនជាតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនោះទេ។ នៅក្នុងសាលារុស្ស៊ី បន្ទាត់រវាងគំនិតទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានគូរច្បាស់លាស់ទេ ដែលប៉ះពាល់ដល់ការយល់ដឹងអំពីប្រធានបទនេះជាទូទៅ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ចាត់​ទុក​រឿង​មួយ​នេះ​ថា​ជា​«ភាព​ជ្រុល​និយម»។ មកដល់បច្ចុប្បន្ន មានតម្លៃអប្បបរមាស្រួចស្រាវ និងតម្លៃអតិបរមាស្រួចស្រាវ។ និយមន័យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយអនុលោមតាមចំណាត់ថ្នាក់រុស្ស៊ីនៃចំណុចសំខាន់នៃមុខងារមួយ។ គោលគំនិតនៃចំណុចខ្លាំង គឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៅលើតារាង។

ដើម្បីកំណត់គោលគំនិតបែបនេះ ទ្រឹស្តីបទ Fermat ត្រូវបានប្រើ។ វាមានសារៈសំខាន់បំផុតក្នុងការសិក្សាអំពីចំណុចខ្លាំង និងផ្តល់នូវគំនិតច្បាស់លាស់អំពីអត្ថិភាពរបស់ពួកគេក្នុងទម្រង់មួយឬមួយផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធានាបាននូវភាពខ្លាំង វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់សម្រាប់ការថយចុះ ឬកើនឡើងនៅលើតារាង។

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរ "របៀបរកចំណុចអតិបរមា" ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ អ្នកត្រូវតែអនុវត្តតាមបទប្បញ្ញត្តិទាំងនេះ៖

1. ការស្វែងរកតំបន់ជាក់លាក់នៃនិយមន័យនៅលើតារាង។
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និងចំណុចខ្លាំង។
3. ដោះស្រាយវិសមភាពស្តង់ដារសម្រាប់ដែននៃអាគុយម៉ង់។
4. អាច​បញ្ជាក់​ថា​មុខងារ​ណា​មួយ​ដែល​ចំណុច​នៅ​លើ​ក្រាហ្វ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​និង​បន្ត។

យកចិត្តទុកដាក់!ការស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានដេរីវេនៃយ៉ាងហោចណាស់លំដាប់ទីពីរ ដែលត្រូវបានធានាដោយសមាមាត្រខ្ពស់នៃវត្តមាននៃចំណុចខ្លាំងមួយ។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អតិបរមានៃមុខងារ

ដើម្បីឱ្យភាពជ្រុលនិយមមាន វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមានទាំងពិន្ទុអប្បបរមា និងអតិបរមា។ ប្រសិនបើច្បាប់នេះត្រូវបានគេសង្កេតឃើញតែផ្នែកខ្លះ នោះលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយមត្រូវបានបំពាន។

មុខងារនីមួយៗនៅក្នុងមុខតំណែងណាមួយត្រូវតែមានភាពខុសប្លែកគ្នា ដើម្បីកំណត់អត្ថន័យថ្មីរបស់វា។ វាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវយល់ថា ករណីនៅពេលដែលចំនុចមួយបាត់ មិនមែនជាគោលការណ៍សំខាន់នៃការស្វែងរកចំណុចខុសគ្នានោះទេ។

កម្រិតខ្ពស់បំផុត ក៏ដូចជាមុខងារអប្បបរមា គឺជាទិដ្ឋភាពដ៏សំខាន់បំផុតនៃការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាដោយប្រើតម្លៃខ្លាំង។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីសមាសភាគនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការយោងទៅលើតម្លៃតារាងសម្រាប់ការចាត់តាំងមុខងារ។

ការស្វែងរកពេញលេញនៃអត្ថន័យ

ការគណនាតម្លៃ

1. ការកំណត់ចំណុចនៃការកើនឡើងនិងការថយចុះនៃតម្លៃ។ 2. ការស្វែងរកចំណុចបំបែក ចំណុចខ្លាំង និងចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ 3. ដំណើរការនៃការកំណត់ការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងនៅលើតារាង។ 4. ការកំណត់សន្ទស្សន៍និងទិសដៅនៃប៉ោងនិងប៉ោងដោយគិតគូរពីវត្តមានរបស់ asymptotes ។ 5. ការបង្កើតតារាងសង្ខេបនៃការសិក្សាក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការកំណត់កូអរដោនេរបស់វា។ 6. ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃចំណុចខ្លាំង និងស្រួចស្រាវ។ 7. ការកំណត់ភាពប៉ោង និង concavity នៃខ្សែកោង។ 8. ការកសាងក្រាហ្វដោយផ្អែកលើការសិក្សាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកអប្បបរមាឬអតិបរមា។

ធាតុសំខាន់នៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការជាមួយ extremums គឺជាការសាងសង់ពិតប្រាកដនៃក្រាហ្វរបស់វា។ គ្រូបង្រៀននៅសាលាជារឿយៗមិនយកចិត្តទុកដាក់ជាអតិបរមាចំពោះទិដ្ឋភាពសំខាន់បែបនេះ ដែលជាការបំពានយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរលើដំណើរការអប់រំ។ ក្រាហ្វត្រូវបានបង្កើតឡើងតែលើមូលដ្ឋាននៃលទ្ធផលនៃការសិក្សាទិន្នន័យមុខងារ និយមន័យនៃស្រួច ក៏ដូចជាចំណុចនៅលើក្រាហ្វ។ Sharp extrema នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានបង្ហាញនៅលើគ្រោងនៃតម្លៃពិតប្រាកដដោយប្រើនីតិវិធីស្តង់ដារសម្រាប់កំណត់ asymptotes ។ ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍ ត្រូវបានអមដោយការគូសប្លង់កាន់តែស្មុគស្មាញ។ នេះគឺដោយសារតែតម្រូវការកាន់តែស៊ីជម្រៅដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃភាពធ្ងន់ធ្ងរខ្លាំង។ វាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងសាមញ្ញ ព្រោះនេះគឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងបញ្ហានៃភាពជ្រុលនិយម។

មុខងារជ្រុល

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃខាងលើ អ្នកត្រូវតែប្រកាន់ខ្ជាប់នូវច្បាប់ខាងក្រោម៖

• កំណត់លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់សមាមាត្រខ្លាំង;
• យកទៅក្នុងគណនីលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចខ្លាំងនៅលើក្រាហ្វ;
• អនុវត្តការគណនានៃចុងស្រួចស្រាវ។

វាក៏មានគោលគំនិតដូចជា អប្បបរមាខ្សោយ និងអប្បបរមាខ្លាំង។ នេះត្រូវតែត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីនៅពេលកំណត់ភាពខ្លាំងបំផុតនិងការគណនាពិតប្រាកដរបស់វា។ ទន្ទឹមនឹងនេះមុខងារមុតស្រួចគឺជាការស្វែងរកនិងការបង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ទាំងអស់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយក្រាហ្វមុខងារ។

ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ គឺជាចំណុចនៅក្នុងដែនរបស់អនុគមន៍ ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមា។ តម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា extrema (អប្បបរមានិងអតិបរមា) នៃមុខងារ.

និយមន័យ. ចំណុច x1 វិសាលភាពមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជិតល្មមនឹងវា ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាព f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 អតិបរមា។

និយមន័យ. ចំណុច x2 វិសាលភាពមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះតិចជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជិតល្មមនឹងវា ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាព f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) ក្នុងករណីនេះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថាមាននៅចំណុច x2 អប្បបរមា។

ចូរនិយាយចំណុច x1 - ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x1 មុខងារកើនឡើងដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0 ) និងក្នុងចន្លោះពេលក្រោយ x1 ដូច្នេះមុខងារកំពុងថយចុះ ដេរីវេនៃមុខងារតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ចូរយើងសន្មតថាចំណុចនោះ។ x2 - ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x2 អនុគមន៍កំពុងថយចុះ ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 មុខងារកំពុងកើនឡើង ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0) ។ ក្នុងករណីនេះផងដែរនៅចំណុច x2 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺសូន្យ ឬមិនមាន។

ទ្រឹស្តីបទ Fermat (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត). ប្រសិនបើចំណុច x0 - ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ( f "(x) = 0 ) ឬមិនមាន។

និយមន័យ. ចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ .

ឧទាហរណ៍ ១តោះពិចារណាមុខងារមួយ។

នៅចំណុច x= 0 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះចំនុច x= 0 គឺជាចំណុចសំខាន់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ វាកើនឡើងនៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ដូច្នេះចំណុច x= 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះទេ។

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ដោយសារឧទាហរណ៍នៃមុខងារផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលលក្ខខណ្ឌទាំងនេះពេញចិត្ត ប៉ុន្តែមុខងារ មិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ត្រូវតែមានសូចនាករគ្រប់គ្រាន់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវិនិច្ឆ័យថាតើមានកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចសំខាន់ជាក់លាក់មួយ និងមួយណា - អតិបរមា ឬអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត)។ចំណុចសំខាន់ x0 f(x) ប្រសិនបើដេរីវេនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ ហើយប្រសិនបើសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" បន្ទាប់មកចំណុចអប្បបរមា .

ប្រសិនបើនៅជិតចំណុច x0 នៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំរបស់វា ដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វា មានន័យថាមុខងារថយចុះ ឬកើនឡើងតែនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច។ x0 . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច x0 មិនមានជ្រុល។

ដូច្នេះ ដើម្បីកំណត់ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោម :

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ ហើយកំណត់ចំណុចសំខាន់។
3. ផ្លូវចិត្តឬនៅលើក្រដាសសម្គាល់ចំណុចសំខាន់នៅលើអ័ក្សលេខនិងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៃមុខងារនៅក្នុងចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះចំនុចសំខាន់គឺជាចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" នោះចំនុចសំខាន់គឺជាចំនុចអប្បបរមា។
4. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត។ .

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដើម្បី​រក​ចំណុច​សំខាន់៖

.

ដោយសារសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "x" ភាគបែងមិនស្មើនឹងសូន្យទេ នោះយើងយកភាគយកទៅសូន្យ៖

ទទួលបានចំណុចសំខាន់មួយ។ x= ៣. យើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេលកំណត់ដោយចំណុចនេះ៖

នៅក្នុងជួរពីដកអគ្មានកំណត់ទៅ 3 - សញ្ញាដក នោះគឺមុខងារថយចុះ។

នៅក្នុងជួរពី 3 ដល់បូកគ្មានកំណត់ - សញ្ញាបូក មានន័យថាមុខងារកើនឡើង។

នោះគឺចំណុច x= 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអប្បបរមា៖

ដូច្នេះ ចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារត្រូវបានរកឃើញ៖ (3; 0) ហើយវាគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត) ។ចំណុចសំខាន់ x0 គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះមិនស្មើនឹងសូន្យ ( f ""(x) ≠ 0 ) លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ( f ""(x) > 0 ) បន្ទាប់មកចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើដេរីវេទីពីរតិចជាងសូន្យ ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

ចំណាំ 1. ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ។ x0 ទាំងនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីររលាយបាត់ បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិនិច្ឆ័យវត្តមាននៃភាពខ្លាំងនៅលើមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

កំណត់សម្គាល់ 2. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយក៏មិនអាចអនុវត្តបានដែរ នៅពេលដែលដេរីវេទី 1 មិនមាននៅចំណុចស្ថានី (បន្ទាប់មកដេរីវេទី 2 ក៏មិនមានដែរ) ។ ក្នុងករណីនេះវាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ធម្មជាតិក្នុងតំបន់នៃមុខងារជ្រុល

ពីនិយមន័យខាងលើ វាដូចខាងក្រោមថា ភាពខ្លាំងនៃមុខងារគឺមានលក្ខណៈមូលដ្ឋាន - នេះគឺជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ បើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃជិតបំផុត។

ឧបមាថាអ្នកពិចារណាលើប្រាក់ចំណូលរបស់អ្នកក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងខែឧសភាអ្នករកបាន 45,000 rubles ហើយនៅក្នុងខែមេសា 42,000 rubles ហើយនៅក្នុងខែមិថុនា 39,000 rubles នោះប្រាក់ចំណូលខែឧសភាគឺជាអតិបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃដែលនៅជិតបំផុត។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងខែតុលាអ្នករកបាន 71,000 rubles ក្នុងខែកញ្ញា 75,000 rubles និងក្នុងខែវិច្ឆិកា 74,000 rubles ដូច្នេះប្រាក់ចំណូលខែតុលាគឺជាអប្បបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃក្បែរនោះ។ ហើយអ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងងាយស្រួលថាអតិបរមាក្នុងចំណោមតម្លៃនៃខែមេសា - ឧសភា - មិថុនាគឺតិចជាងអប្បបរមានៃខែកញ្ញា - តុលា - វិច្ឆិកា។

និយាយជាទូទៅ មុខងារមួយអាចមានភាពជ្រុលនិយមជាច្រើននៅចន្លោះពេល ហើយវាអាចបង្ហាញថាអប្បរមានៃមុខងារគឺធំជាងអតិបរមាណាមួយ។ ដូច្នេះ សម្រាប់មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ។

នោះគឺគេមិនគួរគិតថាអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារគឺរៀងគ្នាតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅលើផ្នែកទាំងមូលដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណា។ នៅចំណុចនៃអតិបរមា អនុគមន៍មានតម្លៃធំបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះដែលវាមាននៅគ្រប់ចំណុចគ្រប់គ្រាន់ជិតដល់ចំណុចអតិបរមា ហើយនៅចំណុចអប្បបរមា តម្លៃតូចបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះប៉ុណ្ណោះ។ ថាវាមានគ្រប់ចំណុចគ្រប់គ្រាន់ នៅជិតចំណុចអប្បបរមា។

ដូច្នេះហើយ យើងអាចកែលម្អគោលគំនិតខាងលើនៃចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារមួយ ហើយហៅចំណុចអប្បរមា ចំណុចអប្បបរមាក្នុងស្រុក និងចំណុចអតិបរមា - ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក។

យើងកំពុងស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ។ មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ដេរីវេរបស់វា។ ក៏មាននៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលផងដែរ។ ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ មានតែចំណុចដែល , i.e. បម្រើជាចំណុចសំខាន់ប៉ុណ្ណោះ។ មកពីណា និង។ ចំណុចសំខាន់ និងបែងចែកដែនទាំងមូលនៃអនុគមន៍ទៅជាបីចន្លោះពេលនៃ monotonicity: . យើងជ្រើសរើសចំណុចត្រួតពិនិត្យមួយនៅក្នុងពួកវានីមួយៗ ហើយស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ។

សម្រាប់ចន្លោះពេល ចំណុចយោងអាចជា៖ យើងរកឃើញ . យកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងទទួលបាន ហើយយកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងមាន . ដូច្នេះក្នុងចន្លោះពេល និង និងក្នុងចន្លោះពេល។ យោងទៅតាមសញ្ញាដំបូងគ្រប់គ្រាន់នៃភាពជ្រុលនិយម វាមិនមានភាពខ្លាំងនៅចំណុចនោះទេ (ចាប់តាំងពីដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វាក្នុងចន្លោះពេល) ហើយមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុច (ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីដកទៅបូកនៅពេលឆ្លងកាត់។ តាមរយៈចំណុចនេះ)។ ស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍៖ , និង . នៅក្នុងចន្លោះពេល មុខងារថយចុះ ចាប់តាំងពីចន្លោះពេលនេះ ហើយក្នុងចន្លោះពេលវាកើនឡើង ចាប់តាំងពីក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីការសាងសង់ក្រាហ្វ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ នៅពេលដែលយើងទទួលបានសមីការដែលមានឫស និង ពោលគឺ ពីរពិន្ទុ (0; 0) និង (4; 0) នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានរកឃើញ។ ដោយប្រើព័ត៌មានទាំងអស់ដែលទទួលបាន យើងបង្កើតក្រាហ្វ (សូមមើលនៅដើមឧទាហរណ៍)។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

ដែននៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច ឧ។ .

ដើម្បីសង្ខេបការសិក្សា យើងអាចប្រើការពិតដែលថាមុខងារនេះគឺសូម្បីតែ, ចាប់តាំងពី . ដូច្នេះក្រាហ្វរបស់វាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូហើយការសិក្សាអាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ចន្លោះពេលប៉ុណ្ណោះ។

ការស្វែងរកដេរីវេ និងចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ៖

1) ;

2) ,

ប៉ុន្តែមុខងារទទួលរងការសម្រាកនៅចំណុចនេះ ដូច្នេះវាមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។

ដូច្នេះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមានចំណុចសំខាន់ពីរ: និង . ដោយគិតគូរពីភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍ យើងពិនិត្យតែចំណុចដោយសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចខ្លាំង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេទីពីរ ហើយកំណត់សញ្ញារបស់វានៅ៖ យើងទទួលបាន។ ចាប់តាំងពី និង , បន្ទាប់មកគឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ ខណៈពេលដែល .

ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពេញលេញនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ ចូរយើងស្វែងយល់ពីអាកប្បកិរិយារបស់វានៅលើព្រំដែននៃនិយមន័យនៃដែន៖

(នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញាបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នា xទៅសូន្យនៅខាងស្តាំ និង xនៅតែវិជ្ជមាន; ដូចគ្នានេះដែរមានន័យថាសេចក្តីប្រាថ្នា xទៅសូន្យនៅខាងឆ្វេង និង xនៅតែអវិជ្ជមាន) ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ

,

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើ .

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សទេ។ រូបភាពគឺនៅដើមដំបូងនៃឧទាហរណ៍។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមអ៊ីនធឺណិត .

យើងបន្តស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៨ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។ ដោយសារវិសមភាពត្រូវតែរក្សា យើងទទួលបានពី .

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ។