អតិបរមាគួរតែត្រូវបានគេហៅថាចំនួនធំបំផុតឬដែនកំណត់ធំបំផុតដែលអាចឈានដល់។ អប្បបរមាគឺដូចដែលយើងទាំងអស់គ្នាដឹងយ៉ាងច្បាស់ ផ្ទុយពីអតិបរមាគឺ i.e. វាជាចំនួនតូចបំផុត និងជាចំនួនកំណត់តូចបំផុត។ ពាក្យអប្បបរមា និងអតិបរមា ក៏ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោម និងឃ្លាដូចជា៖

ទទួលបានអត្ថប្រយោជន៍ច្រើនបំផុតពីការទំនាក់ទំនង។

ដើម្បីរៀនកំណាព្យអ្នកត្រូវអានវាយ៉ាងហោចណាស់ 3-4 ដង។

អ្វីដែលគាត់អាចធ្វើបានបំផុតគឺ...

ពួកគេមានមិត្តភ័ក្តិទៅវិញទៅមកយ៉ាងតិចពីរនាក់។

គាត់ទទួលបានពិន្ទុខ្ពស់បំផុត។

ប្រើឱកាសរបស់អ្នកឱ្យបានច្រើនបំផុត!

នេះគឺជាអប្បបរមាដែលអ្នកត្រូវដឹង។

ប្រាក់ឈ្នួលរស់នៅ។

សម្ពាធបរិយាកាសអប្បបរមា។

ត្រជាក់អប្បបរមា/អតិបរិមាសម្រាប់ .... ឆ្នាំ។

អ្នកនឹងត្រូវការយ៉ាងហោចណាស់ពីរបីម៉ោងដើម្បីបញ្ចប់ការងារនេះ។

គោលគំនិតបែបនេះជាអតិបរមា និងអប្បបរមាក៏អាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងពាក្យវិទ្យាសាស្ត្រពិសេសផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងគណិតវិទ្យាមានគោលគំនិតដូចជា អតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍។

ដូច្នេះ អតិបរមាក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ ក្នុងករណីនេះតម្លៃអតិបរមានៃអនុគមន៍គឺធំជាងតម្លៃទាំងអស់ដែលនៅជាប់នឹងវា។ អតិបរិមានៃអនុគមន៍ គឺជាតម្លៃរបស់វា នៅពេលដែលតម្លៃកើនឡើងដំបូង ហើយបន្ទាប់មកភ្លាមៗចាប់ផ្តើមថយចុះ ខណៈពេលដែលវាមានអតិបរមានៅចំណុចដែលការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារឆ្លងកាត់ពីមួយទៅមួយទៀត។ អប្បរមា​នៃ​អនុគមន៍​គឺ​តាម​នោះ​ជា​តម្លៃ​តូច​បំផុត​នៃ​អនុគមន៍។

ដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍អាចចាត់ទុកថាជាវិជ្ជមាន ប្រសិនបើវាកើនឡើងនៅពេលដែលយើងបង្កើនអថេរនោះ អនុគមន៍អាចចាត់ទុកថាជាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើអថេរទីមួយថយចុះជាមួយនឹងការកើនឡើងដេរីវេ នោះមុខងារគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាអវិជ្ជមាន។

ដេរីវេទីវ គឺជាតម្លៃចម្បងដែលប្រើក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ការសិក្សាអំពីដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលជួយសិក្សាអនុគមន៍គណិតវិទ្យា) វាអាចយល់បានថាជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។ ល្បឿនកាន់តែធំ មុខងារផ្លាស់ប្តូរកាន់តែខ្លាំង តូចជាង យឺត (ទោះជាយ៉ាងណា នេះជាការពិតលុះត្រាតែមុខងារវិជ្ជមាន)។ ដូច្នេះវាគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលកំណត់ជម្រាល និងប៉ោងរបស់វា។ អថេរគឺជាបរិមាណដែលអាចផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វា។ វាត្រូវបានតំណាងថាជា x ឬពេលវេលា។

អថេរអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាគុណលក្ខណៈនៃប្រព័ន្ធមួយ (ទាំងរូបវន្ត និងអរូបី) ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វា។ ក្នុងន័យជាសកល អថេរអាចត្រូវបានគេហៅថាទាំងពេលវេលា និងសីតុណ្ហភាព ហើយជាទូទៅជីវិតទាំងអស់ (ពួកគេអាចផ្លាស់ប្តូរបាន)។ អថេរមួយមានតម្លៃជាច្រើនដែលវាអាចទទួលយកបាន។ យើងអាចសន្មត់ថាសំណុំនេះគឺជាអថេរ។

ចំពោះមុខងារខ្លួនវាត្រូវតែចេញពីតម្លៃវិជ្ជមានទៅអវិជ្ជមានតាមរយៈសូន្យ។ ដូច្នេះនៅតម្លៃនៃអថេរដែលត្រូវគ្នានឹងអតិបរមានៃអនុគមន៍ ដេរីវេរបស់វានឹងស្មើនឹងសូន្យ។ វាជាលក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ដែលធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់តម្លៃនៃ x ដែលអនុគមន៍ឈានដល់អតិបរមារបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងបង្កើនអថេរ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានោះ មុខងារដំបូងនឹងកើនឡើង ហើយបន្ទាប់មកថយចុះ នោះមុខងារនៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីតម្លៃអវិជ្ជមានទៅជាវិជ្ជមាន (ឆ្លងកាត់សូន្យ) នឹងមិនឈានដល់អតិបរមានោះទេ ប៉ុន្តែ ផ្ទុយទៅវិញតម្លៃអប្បបរមា។ ទោះបីជា, ឡូជីខល, នេះអាចត្រូវបានគេយកជាតម្លៃអតិបរមា (វាគឺនៅផ្នែកខាងលើនៃមុខងារ) ។

ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍ ត្រូវបានគេហៅផងដែរថា ចំណុចខ្លាំង។

ដូច្នេះ ទាំងក្នុងជីវិតធម្មតា និងក្នុងគណិតវិទ្យា អតិបរមា និងអប្បរមា គឺជាភាពផ្ទុយគ្នាខ្លាំងពីរ ដែលតំណាងឱ្យអ្វីមួយដែលធំជាងគេ និងអ្វីដែលតូចជាងគេ។

ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ គឺជាចំណុចនៅក្នុងដែនរបស់អនុគមន៍ ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមា។ តម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា extrema (អប្បបរមានិងអតិបរមា) នៃមុខងារ.

និយមន័យ. ចំណុច x1 វិសាលភាពមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះធំជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជិតល្មមនឹងវា ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាព f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 អតិបរមា។

និយមន័យ. ចំណុច x2 វិសាលភាពមុខងារ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះតិចជាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជិតល្មមនឹងវា ដែលមានទីតាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វា (នោះគឺវិសមភាព f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) ក្នុងករណីនេះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថាមាននៅចំណុច x2 អប្បបរមា។

ចូរនិយាយចំណុច x1 - ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x1 មុខងារកើនឡើងដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0 ) និងក្នុងចន្លោះពេលក្រោយ x1 ដូច្នេះមុខងារកំពុងថយចុះ ដេរីវេនៃមុខងារតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ចូរយើងសន្មតថាចំណុចនោះ។ x2 - ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលរហូតដល់ x2 អនុគមន៍កំពុងថយចុះ ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺតិចជាងសូន្យ ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 មុខងារកំពុងកើនឡើង ហើយដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺធំជាងសូន្យ ( f "(x) > 0) ។ ក្នុងករណីនេះផងដែរនៅចំណុច x2 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺសូន្យ ឬមិនមាន។

ទ្រឹស្តីបទ Fermat (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត). ប្រសិនបើចំណុច x0 - ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ( f "(x) = 0 ) ឬមិនមាន។

និយមន័យ. ចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ .

ឧទាហរណ៍ ១តោះពិចារណាមុខងារមួយ។

នៅចំណុច x= 0 ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះចំនុច x= 0 គឺជាចំណុចសំខាន់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ វាកើនឡើងនៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ ដូច្នេះចំណុច x= 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះទេ។

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ដោយសារឧទាហរណ៍នៃមុខងារផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលលក្ខខណ្ឌទាំងនេះពេញចិត្ត ប៉ុន្តែមុខងារ មិនមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ត្រូវតែមានសូចនាករគ្រប់គ្រាន់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវិនិច្ឆ័យថាតើមានកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចសំខាន់ជាក់លាក់មួយ និងមួយណា - អតិបរមា ឬអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត)។ចំណុចសំខាន់ x0 f(x) ប្រសិនបើដេរីវេនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ ហើយប្រសិនបើសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" បន្ទាប់មកចំណុចអប្បបរមា .

ប្រសិនបើនៅជិតចំណុច x0 នៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំរបស់វា ដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វា មានន័យថាមុខងារថយចុះ ឬកើនឡើងតែនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច។ x0 . ក្នុងករណីនេះនៅចំណុច x0 មិនមានជ្រុល។

ដូច្នេះ ដើម្បីកំណត់ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោម :

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ ហើយកំណត់ចំណុចសំខាន់។
3. ផ្លូវចិត្តឬនៅលើក្រដាសសម្គាល់ចំណុចសំខាន់នៅលើអ័ក្សលេខនិងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៃមុខងារនៅក្នុងចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី "បូក" ទៅ "ដក" នោះចំនុចសំខាន់គឺជាចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពី "ដក" ទៅ "បូក" នោះចំនុចសំខាន់គឺជាចំនុចអប្បបរមា។
4. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចខ្លាំង។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត។ .

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដើម្បី​រក​ចំណុច​សំខាន់៖

.

ដោយសារសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "x" ភាគបែងមិនស្មើនឹងសូន្យទេ នោះយើងយកភាគយកទៅសូន្យ៖

ទទួលបានចំណុចសំខាន់មួយ។ x= ៣. យើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេលកំណត់ដោយចំណុចនេះ៖

នៅក្នុងជួរពីដកអគ្មានកំណត់ទៅ 3 - សញ្ញាដក នោះគឺមុខងារថយចុះ។

នៅក្នុងជួរពី 3 ដល់បូកគ្មានកំណត់ - សញ្ញាបូក មានន័យថាមុខងារកើនឡើង។

នោះគឺចំណុច x= 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអប្បបរមា៖

ដូច្នេះ ចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារត្រូវបានរកឃើញ៖ (3; 0) ហើយវាគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត) ។ចំណុចសំខាន់ x0 គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ f(x) ប្រសិនបើដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះមិនស្មើនឹងសូន្យ ( f ""(x) ≠ 0 ) លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ( f ""(x) > 0 ) បន្ទាប់មកចំណុចអតិបរមា ហើយប្រសិនបើដេរីវេទីពីរតិចជាងសូន្យ ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

ចំណាំ 1. ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ។ x0 ទាំងនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីររលាយបាត់ បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិនិច្ឆ័យវត្តមាននៃភាពខ្លាំងនៅលើមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

កំណត់សម្គាល់ 2. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារមួយក៏មិនអាចអនុវត្តបានដែរ នៅពេលដែលដេរីវេទី 1 មិនមាននៅចំណុចស្ថានី (បន្ទាប់មកដេរីវេទី 2 ក៏មិនមានដែរ) ។ ក្នុងករណីនេះវាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ដំបូងសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ធម្មជាតិក្នុងតំបន់នៃមុខងារជ្រុល

ពីនិយមន័យខាងលើ វាដូចខាងក្រោមថា ភាពខ្លាំងនៃមុខងារគឺមានលក្ខណៈមូលដ្ឋាន - នេះគឺជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ បើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃជិតបំផុត។

ឧបមាថាអ្នកពិចារណាលើប្រាក់ចំណូលរបស់អ្នកក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងខែឧសភាអ្នករកបាន 45,000 rubles ហើយនៅក្នុងខែមេសា 42,000 rubles ហើយនៅក្នុងខែមិថុនា 39,000 rubles នោះប្រាក់ចំណូលខែឧសភាគឺជាអតិបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃដែលនៅជិតបំផុត។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងខែតុលាអ្នករកបាន 71,000 rubles ក្នុងខែកញ្ញា 75,000 rubles និងក្នុងខែវិច្ឆិកា 74,000 rubles ដូច្នេះប្រាក់ចំណូលខែតុលាគឺជាអប្បបរមានៃមុខងាររកប្រាក់ចំណូលបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃក្បែរនោះ។ ហើយអ្នកអាចមើលឃើញយ៉ាងងាយស្រួលថាអតិបរមាក្នុងចំណោមតម្លៃនៃខែមេសា - ឧសភា - មិថុនាគឺតិចជាងអប្បបរមានៃខែកញ្ញា - តុលា - វិច្ឆិកា។

និយាយជាទូទៅ មុខងារមួយអាចមានភាពជ្រុលនិយមជាច្រើននៅចន្លោះពេល ហើយវាអាចបង្ហាញថាអប្បរមានៃមុខងារគឺធំជាងអតិបរមាណាមួយ។ ដូច្នេះ សម្រាប់មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ។

នោះគឺគេមិនគួរគិតថាអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារគឺរៀងគ្នាតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅលើផ្នែកទាំងមូលដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណា។ នៅចំណុចនៃអតិបរមា អនុគមន៍មានតម្លៃធំបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះដែលវាមាននៅគ្រប់ចំណុចគ្រប់គ្រាន់ជិតដល់ចំណុចអតិបរមា ហើយនៅចំណុចអប្បបរមា តម្លៃតូចបំផុតត្រឹមតែប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃទាំងនោះប៉ុណ្ណោះ។ ថាវាមានគ្រប់ចំណុចគ្រប់គ្រាន់ នៅជិតចំណុចអប្បបរមា។

ដូច្នេះហើយ យើងអាចកែលម្អគោលគំនិតខាងលើនៃចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃមុខងារមួយ ហើយហៅចំណុចអប្បរមា ចំណុចអប្បបរមាក្នុងស្រុក និងចំណុចអតិបរមា - ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក។

យើងកំពុងស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ។ មុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ដេរីវេរបស់វា។ ក៏មាននៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូលផងដែរ។ ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ មានតែចំណុចដែល , i.e. បម្រើជាចំណុចសំខាន់ប៉ុណ្ណោះ។ មកពីណា និង។ ចំណុចសំខាន់ និងបែងចែកដែនទាំងមូលនៃអនុគមន៍ទៅជាបីចន្លោះពេលនៃ monotonicity: . យើងជ្រើសរើសចំណុចត្រួតពិនិត្យមួយនៅក្នុងពួកវានីមួយៗ ហើយស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ។

សម្រាប់ចន្លោះពេល ចំណុចយោងអាចជា៖ យើងរកឃើញ . យកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងទទួលបាន ហើយយកចំណុចមួយក្នុងចន្លោះពេល យើងមាន . ដូច្នេះក្នុងចន្លោះពេល និង និងក្នុងចន្លោះពេល។ យោងទៅតាមសញ្ញាដំបូងគ្រប់គ្រាន់នៃភាពជ្រុលនិយម វាមិនមានភាពខ្លាំងនៅចំណុចនោះទេ (ចាប់តាំងពីដេរីវេរក្សាសញ្ញារបស់វាក្នុងចន្លោះពេល) ហើយមុខងារមានអប្បបរមានៅចំណុច (ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីដកទៅបូកនៅពេលឆ្លងកាត់។ តាមរយៈចំណុចនេះ)។ ស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍៖ , និង . នៅក្នុងចន្លោះពេល មុខងារថយចុះ ចាប់តាំងពីចន្លោះពេលនេះ ហើយក្នុងចន្លោះពេលវាកើនឡើង ចាប់តាំងពីក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីការសាងសង់ក្រាហ្វ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ នៅពេលដែលយើងទទួលបានសមីការដែលមានឫស និង ពោលគឺ ពីរពិន្ទុ (0; 0) និង (4; 0) នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានរកឃើញ។ ដោយប្រើព័ត៌មានទាំងអស់ដែលទទួលបាន យើងបង្កើតក្រាហ្វ (សូមមើលនៅដើមឧទាហរណ៍)។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

ដែននៃអនុគមន៍គឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច ឧ។ .

ដើម្បីសង្ខេបការសិក្សា យើងអាចប្រើការពិតដែលថាមុខងារនេះគឺសូម្បីតែ, ចាប់តាំងពី . ដូច្នេះក្រាហ្វរបស់វាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូហើយការសិក្សាអាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ចន្លោះពេលប៉ុណ្ណោះ។

ការស្វែងរកដេរីវេ និងចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ៖

1) ;

2) ,

ប៉ុន្តែមុខងារទទួលរងការសម្រាកនៅចំណុចនេះ ដូច្នេះវាមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។

ដូច្នេះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមានចំណុចសំខាន់ពីរ: និង . ដោយគិតគូរពីភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍ យើងពិនិត្យតែចំណុចដោយសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចខ្លាំង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេទីពីរ ហើយកំណត់សញ្ញារបស់វានៅ៖ យើងទទួលបាន។ ចាប់តាំងពី និង , បន្ទាប់មកគឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ ខណៈពេលដែល .

ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពេញលេញនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ ចូរយើងស្វែងយល់ពីអាកប្បកិរិយារបស់វានៅលើព្រំដែននៃនិយមន័យនៃដែន៖

(នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញាបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នា xទៅសូន្យនៅខាងស្តាំ និង xនៅតែវិជ្ជមាន; ដូចគ្នានេះដែរមានន័យថាសេចក្តីប្រាថ្នា xទៅសូន្យនៅខាងឆ្វេង និង xនៅតែអវិជ្ជមាន) ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ

,

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើ .

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សទេ។ រូបភាពគឺនៅដើមដំបូងនៃឧទាហរណ៍។

សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងកំឡុងពេលគណនាអ្នកអាចប្រើ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមអ៊ីនធឺណិត .

យើងបន្តស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារជាមួយគ្នា

ឧទាហរណ៍ ៨ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។ ដោយសារវិសមភាពត្រូវតែរក្សា យើងទទួលបានពី .

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ។

ទ្រឹស្តីបទ។ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x \u003d x 1 ហើយចំនុច x 1 គឺជាចំណុចខ្លាំង នោះដេរីវេនៃមុខងារនឹងរលាយបាត់នៅចំណុចនេះ។

ភស្តុតាង។ ឧបមាថាអនុគមន៍ f(x) មានអតិបរមានៅចំណុច x = x 1 ។

បន្ទាប់មក សម្រាប់ Dх>0 វិជ្ជមានតូចគ្រប់គ្រាន់ វិសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

A-priory៖

ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើDх®0 ប៉ុន្តែ Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0 បន្ទាប់មក f¢(x 1) £ 0 ។

ហើយនេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែនៅ Dх®0 f¢(x 1) = 0 ។

សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលអនុគមន៍ f(x) មានអប្បរមានៅចំណុច x 2 ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ផលវិបាក។ ការសន្ទនាមិនពិតទេ។ ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចខ្លះស្មើនឹងសូន្យ នោះមិនមានន័យថាអនុគមន៍មានកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចនេះទេ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ឧត្ដុង្គឧត្ដមនៃនេះគឺជាមុខងារ y \u003d x 3 ដែលដេរីវេនៅចំណុច x \u003d 0 គឺស្មើនឹងសូន្យ ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះ មុខងារមានតែការបំផ្លិចបំផ្លាញប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនជាអតិបរមា ឬអប្បបរមានោះទេ។

និយមន័យ។ចំណុចសំខាន់អនុគមន៍ គឺជាចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មិនមាន ឬស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទដែលបានពិចារណាខាងលើផ្តល់ឱ្យយើងនូវលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម ប៉ុន្តែនេះមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។

ឧទាហរណ៍៖ f(x) = អូច ឧទាហរណ៍៖ f(x) =

y y

នៅចំណុច x = 0 អនុគមន៍មានអប្បបរមា ប៉ុន្តែនៅចំណុច x = 0 មុខងារមិនមានទេ។

មិនមានដេរីវេទេ។ អតិបរមា, គ្មានអប្បបរមា, ទេ។

និយាយជាទូទៅ អនុគមន៍ f(x) អាចមានភាពខ្លាំងនៅចំណុចដែលដេរីវេមិនមាន ឬស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទ។ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម)

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) បន្តក្នុងចន្លោះពេល (a, b) ដែលមានចំណុចសំខាន់ x 1 ហើយអាចខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះនេះ (លើកលែងតែចំណុច x 1 ខ្លួនវា)។

ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 1 ពីឆ្វេងទៅស្តាំ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f¢(x) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "-" បន្ទាប់មកនៅចំណុច x = x 1 មុខងារ f(x) មាន អតិបរមា ហើយប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "-" ទៅ "+" - នោះមុខងារមានអប្បបរមា។

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange៖ f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x − x 1),កន្លែងណា x< e < x 1 .

បន្ទាប់មក៖ ១) ប្រសិនបើ x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x − x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) ប្រសិនបើ x > x 1 បន្ទាប់មក e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

ដោយសារចម្លើយគឺដូចគ្នា យើងអាចនិយាយបានថា f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសម្រាប់ចំណុចអប្បបរមាគឺស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ វាអាចបង្កើតដំណើរការតែមួយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើផ្នែកមួយ៖

1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ។

2) ស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់។

3) ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក។

4) ជ្រើសរើសក្នុងចំណោមតម្លៃដែលទទួលបានធំបំផុតនិងតូចបំផុត។

ការស៊ើបអង្កេតនៃមុខងារមួយទៅខ្លាំងបំផុតដោយប្រើ

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

អនុញ្ញាតឱ្យ f¢(x 1) = 0 នៅចំណុច x = x 1 ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ f¢¢(x 1) មាន ហើយបន្តនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច x 1 ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ f¢(x 1) = 0 នោះអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x = x 1 មានអតិបរមា ប្រសិនបើ f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ f¢(x 1) = 0 និង f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

ដោយសារតែ f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 នៅ x x 1 ។ នេះមានន័យថានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x = x 1 ដេរីវេ f¢(x) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "-" ពោលគឺឧ។

នៅចំណុចនេះ អនុគមន៍ f(x) មានអតិបរមា។

ចំពោះករណីនៃអនុគមន៍អប្បបរមា ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា។

ប្រសិនបើ f¢¢(x) = 0 នោះធម្មជាតិនៃចំណុចសំខាន់គឺមិនស្គាល់។ ការស្រាវជ្រាវបន្ថែមគឺចាំបាច់ដើម្បីកំណត់វា។

convexity និង concavity នៃខ្សែកោងមួយ។

ចំណុចឆ្លង។

និយមន័យ។ ខ្សែកោងគឺប៉ោង ឡើងនៅលើចន្លោះពេល (a, b) ប្រសិនបើចំណុចទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅក្រោមតង់ហ្សង់ណាមួយរបស់វានៅលើចន្លោះពេលនេះ។ ខ្សែកោងដែលមានចំណុចប៉ោងឡើងលើត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោងហើយខ្សែកោងប៉ោងចុះក្រោមត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោង.

នៅ

រូប​នេះ​បង្ហាញ​ពី​ការ​បង្ហាញ​ពី​និយមន័យ​ខាង​លើ។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើនៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៃចន្លោះពេល (a, b) ដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ f(x) គឺអវិជ្ជមាន នោះខ្សែកោង y = f(x) គឺប៉ោងឡើង (ប៉ោង)។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យ x 0 О (a, b) ។ គូរតង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុចនេះ។

សមីការខ្សែកោង៖ y = f(x);

សមីការតង់សង់៖

វាត្រូវតែត្រូវបានបញ្ជាក់ថា។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Lagrange សម្រាប់ f(x) - f(x 0): , x 0< c < x.

នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Lagrange សម្រាប់

អនុញ្ញាតឱ្យ x > x 0 បន្ទាប់មក x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 និង c - x 0 > 0 ហើយលើសពីនេះទៀត តាមលក្ខខណ្ឌ

ដូច្នេះ, ។

អនុញ្ញាតឱ្យ x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាថាប្រសិនបើ f¢¢(x) > 0 នៅលើចន្លោះពេល (a, b) នោះខ្សែកោង y = f(x) គឺ concave នៅចន្លោះ (a, b) ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

និយមន័យ។ ចំណុចបំបែកផ្នែកប៉ោងនៃខ្សែកោងពីផ្នែកប៉ោងត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចឆ្លង.

ជាក់ស្តែង ត្រង់ចំណុចបញ្ឆេះ តង់សង់កាត់ខ្សែកោង។

ទ្រឹស្តីបទ ២. អនុញ្ញាតឱ្យខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ y = f (x) ។ ប្រសិនបើដេរីវេទីពីរ f¢¢(a) = 0 ឬ f¢¢(a) មិនមានទេ ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x = a f¢¢(x) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា នោះចំនុចនៃខ្សែកោងជាមួយ abscissa x = a គឺជាចំណុចបញ្ឆេះ។

ភស្តុតាង។ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ f¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 សម្រាប់ x > a ។ បន្ទាប់មកនៅ

x< a кривая выпукла, а при x >ខ្សែកោងគឺ concave, i.e. ចំនុច x = a គឺជាចំនុចបញ្ឆេះ។

2) អនុញ្ញាតឱ្យ f¢¢(x) > 0 សម្រាប់ x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >ខ - ប៉ោងឡើង។ បន្ទាប់មក x = b គឺជាចំណុចបញ្ឆេះ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

រោគសញ្ញា។

នៅក្នុងការសិក្សាអំពីមុខងារ វាច្រើនតែកើតឡើងនៅពេលដែល x-coordinate នៃចំនុចនៃខ្សែកោងមួយត្រូវបានដកចេញទៅជា infinity នោះខ្សែកោងមិនកំណត់ចូលទៅដល់បន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយ។

និយមន័យ។ ហៅផ្ទាល់ asymptoteខ្សែកោង ប្រសិនបើចម្ងាយពីចំណុចអថេរនៃខ្សែកោងទៅបន្ទាត់ត្រង់នេះមានទំនោរទៅសូន្យ នៅពេលដែលចំណុចត្រូវបានដកចេញទៅជាគ្មានកំណត់។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់ខ្សែកោងមាន asymptote ទេ។ Asymptotes អាចត្រង់ឬ oblique ។ ការសិក្សាអំពីមុខងារសម្រាប់វត្តមានរបស់ asymtotes គឺមានសារៈសំខាន់ និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់បានកាន់តែត្រឹមត្រូវអំពីលក្ខណៈនៃមុខងារ និងឥរិយាបថនៃក្រាហ្វខ្សែកោង។

និយាយជាទូទៅ ខ្សែកោងដែលខិតជិត asymptote របស់វាដោយគ្មានកំណត់ អាចប្រសព្វវា ហើយមិនមែននៅចំណុចមួយ ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងក្រាហ្វនៃមុខងារខាងក្រោម។ . asymptote oblique របស់វា y = x ។

ចូរយើងពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរក asymtotes នៃខ្សែកោង។

រោគសញ្ញាបញ្ឈរ។

វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃ asymptote ដែលថាប្រសិនបើ ឬ ឬ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ x = a គឺជា asymptote នៃខ្សែកោង y = f(x) ។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍មួយ បន្ទាត់ x = 5 គឺជា asymptote បញ្ឈរ។

រោគសញ្ញា Oblique ។

សន្មត់ថា ខ្សែកោង y = f(x) មាន asymptote oblique y = kx + b ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងនិងកាត់កែងទៅនឹង asymptote - M, P - ចំណុចប្រសព្វនៃកាត់កែងនេះជាមួយ asymptote ។ មុំរវាង asymptote និងអ័ក្ស x នឹងត្រូវបានតាងដោយ j ។ MQ កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x កាត់ asymptote នៅចំណុច N ។

បន្ទាប់មក MQ = y គឺជាការកំណត់នៃចំណុចនៃខ្សែកោង NQ = គឺជាការចាត់តាំងនៃចំនុច N នៅលើ asymptote ។

តាមលក្ខខណ្ឌ៖ , РNMP = j, .

មុំ j គឺថេរ និងមិនស្មើនឹង 90 0 បន្ទាប់មក

បន្ទាប់មក .

ដូច្នេះបន្ទាត់ y = kx + b គឺជា asymptote នៃខ្សែកោង។ ដើម្បីកំណត់បន្ទាត់នេះឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ចាំបាច់ត្រូវរកវិធីគណនាមេគុណ k និង b ។

នៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល យើងយក x ចេញពីតង្កៀប៖

ដោយសារតែ x®¥ បន្ទាប់មក , ដោយសារតែ b = const បន្ទាប់មក .

បន្ទាប់មក ដូច្នេះ,

.

ដោយសារតែ , នោះ។ ដូច្នេះ,

ចំណាំថា asymptotes ផ្ដេកគឺជាករណីពិសេសនៃ asymptotes oblique សម្រាប់ k =0 ។

ឧទាហរណ៍។ .

1) សញ្ញាបញ្ឈរ៖ y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0 ដូច្នេះ x = 0 គឺជា asymptote បញ្ឈរ។

2) រោគសញ្ញា Oblique៖

ដូច្នេះ បន្ទាត់ត្រង់ y = x + 2 គឺជា asymptote oblique ។

ចូរយើងកំណត់មុខងារ៖

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរក asymtotes និងក្រាហ្វិកមុខងារ។

បន្ទាត់ x=3 និង x=-3 គឺជា asymtotes បញ្ឈរនៃខ្សែកោង។

ស្វែងរក asymtotes oblique៖

y = 0 គឺជា asymptote ផ្ដេក។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរក asymtotes និងក្រាហ្វិកមុខងារ .

បន្ទាត់ x = -2 គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃខ្សែកោង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញ asymptotes oblique ។

សរុបមក បន្ទាត់ y = x − 4 គឺជា asymptote oblique ។

គ្រោងការណ៍សិក្សាមុខងារ

ដំណើរការនៃការស្រាវជ្រាវមុខងារមួយមានដំណាក់កាលជាច្រើន។ សម្រាប់គំនិតពេញលេញបំផុតនៃអាកប្បកិរិយានៃមុខងារនិងធម្មជាតិនៃក្រាហ្វរបស់វាវាចាំបាច់ត្រូវស្វែងរក:

1) វិសាលភាពនៃមុខងារ។

គំនិតនេះរួមបញ្ចូលទាំងដែននៃតម្លៃ និងវិសាលភាពនៃមុខងារមួយ។

2) ចំណុចបំបែក។ (ប្រសិនបើពួកគេអាចរកបាន) ។

3) ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើងនិងថយចុះ។

4) ពិន្ទុអតិបរមានិងអប្បបរមា។

5) តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារនៅលើដែននិយមន័យរបស់វា។

6) តំបន់នៃប៉ោងនិង concavity ។

7) ចំណុចប្រសព្វ (ប្រសិនបើមាន) ។

៨) រោគសញ្ញា (ប្រសិនបើមាន)។

9) ការកសាងក្រាហ្វ។

ចូរយើងប្រើគ្រោងការណ៍នេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងគ្រោងក្រាហ្វរបស់វា។

ស្វែងរកតំបន់ដែលមានមុខងារ។ វាច្បាស់ណាស់។ ដែននៃនិយមន័យមុខងារគឺជាតំបន់ (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥) ។

នៅក្នុងវេនវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាបន្ទាត់ x = 1, x = −1 គឺ asymtotes បញ្ឈរកោង។

តំបន់តម្លៃនៃអនុគមន៍នេះគឺជាចន្លោះពេល (-¥; ¥) ។

ចំណុចបំបែកអនុគមន៍គឺ x=1, x=-1។

យើង​ស្វែងរក ចំណុចសំខាន់.

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ចំនុចសំខាន់៖ x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = ១.

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ភាពប៉ោងនិង concavity នៃខ្សែកោងនៅចន្លោះពេល។

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, កោងកោង

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, កោងកោង

< x < ¥, y¢¢ >0, កោងកោង

ការស្វែងរកចន្លោះ កើនឡើងនិង ចុះក្រោមមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេល។

-¥ < x < - , y¢ >0, មុខងារកំពុងកើនឡើង

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, មុខងារកំពុងកើនឡើង

គេ​អាច​មើល​ឃើញ​ថា ចំណុច x = − ជា​ចំណុច អតិបរមាហើយចំនុច x = គឺជាចំនុច អប្បបរមា. តម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះគឺ -3/2 និង 3/2 រៀងគ្នា។

អំពីបញ្ឈរ asymtotesបាននិយាយខាងលើរួចហើយ។ ឥឡូវនេះសូមស្វែងរក asymtotes oblique.

ដូច្នេះសមីការ asymptote oblique គឺ y = x ។

ចូរយើងសាងសង់ កាលវិភាគលក្ខណៈពិសេស៖

មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

នៅពេលពិចារណាមុខងារនៃអថេរជាច្រើន យើងកំណត់ខ្លួនយើងទៅនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃមុខងារនៃអថេរពីរ ចាប់តាំងពី លទ្ធផលទាំងអស់ដែលទទួលបាននឹងមានសុពលភាពសម្រាប់មុខងារនៃចំនួនអថេរដែលបំពាន។

និយមន័យ៖ ប្រសិនបើគូនីមួយៗនៃលេខឯករាជ្យ (x, y) ពីសំណុំជាក់លាក់មួយត្រូវបានផ្តល់តម្លៃមួយ ឬច្រើននៃអថេរ z យោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន នោះអថេរ z ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃអថេរពីរ។

និយមន័យ៖ ប្រសិនបើគូនៃលេខ (x, y) ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមួយនៃ z នោះមុខងារត្រូវបានហៅ មិនច្បាស់លាស់ហើយប្រសិនបើច្រើនជាងមួយ នោះ - មិនច្បាស់លាស់.

និយមន័យ៖វិសាលភាពនៃនិយមន័យអនុគមន៍ z គឺជាសំណុំនៃគូ (x, y) ដែលអនុគមន៍ z មាន។

និយមន័យ៖ចំណុចអ្នកជិតខាង M 0 (x 0, y 0) នៃកាំ r គឺជាបណ្តុំនៃចំនុចទាំងអស់ (x, y) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ .

និយមន័យ៖ លេខ A ត្រូវបានហៅ ដែនកំណត់អនុគមន៍ f(x,y) ជាចំនុច M(x,y) ទំនោរទៅចំនុច M 0 (x 0, y 0) ប្រសិនបើសម្រាប់លេខនីមួយៗ e > 0 មានលេខបែបនេះ r > 0 ដែលសម្រាប់ចំនុចណាមួយ M (x, y) ដែលលក្ខខណ្ឌ

លក្ខខណ្ឌក៏ពិតដែរ។ .

កត់ទុក:

និយមន័យ៖ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុច M 0 (x 0, y 0) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ f(x, y)។ បន្ទាប់មកមុខងារ z = f (x, y) ត្រូវបានហៅ បន្តនៅចំណុច M 0 (x 0, y 0) ប្រសិនបើ

(1)

លើសពីនេះទៅទៀតចំនុច M (x, y) មានទំនោរទៅចំណុច M 0 (x 0, y 0) តាមអំពើចិត្ត។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ (1) មិនពេញចិត្តនៅចំណុចណាមួយនោះចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបំបែកមុខងារ f (x, y) ។ នេះអាចជាករណីដូចខាងក្រោមៈ

1) មុខងារ z \u003d f (x, y) មិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច M 0 (x 0, y 0) ទេ។

2) គ្មានដែនកំណត់។

3) ដែនកំណត់នេះមាន ប៉ុន្តែវាមិនស្មើនឹង f(x 0 , y 0)។

ទ្រព្យសម្បត្តិ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x, y, …) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តក្នុង បិទ និង

តំបន់ព្រំដែន D បន្ទាប់មកនៅក្នុងតំបន់នេះមានយ៉ាងហោចណាស់មួយចំណុច

N(x 0 , y 0 , ... ) នោះវិសមភាព

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

ក៏ដូចជាចំណុច N 1 (x 01 , y 01 , ... ) ដែលសម្រាប់ចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់ វិសមភាពគឺពិត

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

បន្ទាប់មក f(x 0 , y 0 , …) = M – តម្លៃខ្ពស់បំផុតអនុគមន៍ និង f(x 01, y 01, ...) = m - តម្លៃតូចបំផុត។មុខងារ f(x, y, …) ក្នុង domain D.

មុខងារបន្តនៅក្នុងដែនបិទ និងព្រំដែន D ឈានដល់យ៉ាងហោចណាស់ម្តងតម្លៃអតិបរមារបស់វា និងម្តងតម្លៃអប្បបរមារបស់វា។

ទ្រព្យសម្បត្តិ។ ប្រសិនបើមុខងារ f(x, y, …) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅក្នុងដែនបិទជិត D ហើយ M និង m គឺជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅក្នុងដែននេះ រៀងគ្នា បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចណាមួយ m នៅទីនោះ គឺជាចំណុចមួយ។

N 0 (x 0 , y 0 , …) ដូចនេះ f(x 0 , y 0 , …) = m ។

និយាយឱ្យសាមញ្ញ មុខងារបន្តត្រូវចំណាយពេលនៅក្នុងដែន D តម្លៃមធ្យមទាំងអស់រវាង M និង m ។ ផលវិបាកនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចជាការសន្និដ្ឋានថាប្រសិនបើលេខ M និង m មានសញ្ញាផ្សេងគ្នានោះនៅក្នុងដែន D មុខងារបាត់យ៉ាងហោចណាស់ម្តង។

ទ្រព្យសម្បត្តិ។ អនុគមន៍ f(x, y, …) បន្តនៅក្នុងដែនបិទជិត D, មានកំណត់នៅក្នុងតំបន់នេះ ប្រសិនបើមានលេខ K ដែលសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃតំបន់នោះ វិសមភាពគឺពិត .

ទ្រព្យសម្បត្តិ។ ប្រសិនបើមុខងារ f(x, y, …) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅក្នុងដែនបិទជិត D នោះវា ជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងតំបន់នេះ, i.e. សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ e មានដូចជាលេខ D > 0 ដែលសម្រាប់ចំណុចពីរណាមួយ (x 1, y 1) និង (x 2, y 2) នៃផ្ទៃដែលស្ថិតនៅចម្ងាយតិចជាង D នោះវិសមភាព

លក្ខណសម្បត្តិខាងលើគឺស្រដៀងទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារនៃអថេរមួយ ដែលបន្តនៅចន្លោះពេលមួយ។ សូមមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារបន្តនៅលើចន្លោះពេលមួយ។

ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ

អថេរច្រើន។

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ z = f(x, y) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងដែនមួយចំនួន។ យកចំណុចបំពាន M(x, y) ហើយកំណត់ការបន្ថែម Dx ទៅអថេរ x ។ បន្ទាប់មកបរិមាណ D x z = f (x + Dx, y) - f (x, y) ត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនផ្នែកនៃអនុគមន៍ក្នុង x ។

អាចសរសេរបាន។

.

បន្ទាប់មកបានហៅ ដេរីវេដោយផ្នែកអនុគមន៍ z = f(x, y) ក្នុង x ។

ការកំណត់:

ដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍ដែលទាក់ទងនឹង y ត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។

អារម្មណ៍ធរណីមាត្រដេរីវេដោយផ្នែក (ឧបមាថា) គឺជាតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់ដែលទាញនៅចំណុច N 0 (x 0, y 0, z 0) ទៅកាន់ផ្នែកផ្ទៃដោយយន្តហោះ y \u003d y 0 ។

ការកើនឡើងសរុប និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

យន្តហោះតង់ហ្សង់

អនុញ្ញាតឱ្យ N និង N 0 ជាចំណុចនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ NN 0 ។ យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុច N 0 ត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះតង់ហ្សង់ទៅលើផ្ទៃ ប្រសិនបើមុំរវាង secant NN 0 និងយន្តហោះនេះមានទំនោរទៅសូន្យ នៅពេលដែលចម្ងាយ NN 0 មានទំនោរទៅសូន្យ។

និយមន័យ។ធម្មតា។ទៅផ្ទៃនៅចំណុច N 0 ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច N 0 កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះតង់ហ្សង់ទៅផ្ទៃនេះ។

នៅចំណុចខ្លះ ផ្ទៃមានយន្តហោះតង់សង់តែមួយ ឬមិនមានវាទាល់តែសោះ។

ប្រសិនបើផ្ទៃត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ z \u003d f (x, y) ដែល f (x, y) គឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៅចំណុច M 0 (x 0, y 0) យន្តហោះតង់សង់នៅចំណុច N 0 (x 0, y 0, ( x 0 , y 0)) មាន ហើយមានសមីការ៖

សមីការ​សម្រាប់​ផ្ទៃ​ធម្មតា​ត្រង់​ចំណុច​នេះ​គឺ៖

អារម្មណ៍ធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ f (x, y) នៅចំណុច (x 0, y 0) គឺជាការកើនឡើងនៃ applicate (z-coordinate) នៃយន្តហោះតង់ហ្សង់ទៅផ្ទៃកំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរពីចំណុច (x 0, y 0) ដល់ចំណុច (x 0 + Dx, y 0 + Dy) ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារនៃអថេរពីរគឺជា analogue spatial នៃអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះតង់សង់ និងធម្មតាទៅនឹងផ្ទៃ

នៅចំណុច M (1, 1, 1) ។

សមីការយន្តហោះតង់សង់៖

សមីការធម្មតា៖

ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលដោយប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារ u គឺ៖

តម្លៃពិតប្រាកដនៃកន្សោមនេះគឺ 1.049275225687319176។

ដេរីវេនៃផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

ប្រសិនបើមុខងារ f(x, y) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងដែន D មួយចំនួន នោះនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែករបស់វា ហើយនឹងត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងដែនដូចគ្នា ឬផ្នែករបស់វាផងដែរ។

យើងនឹងហៅឧបករណ៍និស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះ ដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ។

ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះនឹងមាន ដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ។

ដោយបន្តបែងចែកភាពស្មើគ្នាដែលទទួលបាន យើងទទួលបានដេរីវេមួយផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងនេះ។

ពីអត្ថបទនេះ អ្នកអាននឹងរៀនអំពីអ្វីដែលជាតម្លៃនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត ក៏ដូចជាអំពីលក្ខណៈពិសេសនៃការប្រើប្រាស់របស់វាក្នុងការអនុវត្ត។ ការសិក្សាអំពីគោលគំនិតបែបនេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ ប្រធានបទនេះគឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅនៃវគ្គសិក្សា។

នៅក្នុងការទំនាក់ទំនងជាមួយ

តើអ្វីទៅជាភាពជ្រុលនិយម?

នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា និយមន័យជាច្រើននៃគោលគំនិតនៃ "ជ្រុលនិយម" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អត្ថបទនេះមានគោលបំណងផ្តល់ការយល់ដឹងយ៉ាងស៊ីជម្រៅ និងច្បាស់លាស់បំផុតអំពីពាក្យសម្រាប់អ្នកដែលមិនដឹងអំពីបញ្ហា។ ដូច្នេះ ពាក្យ​នេះ​ត្រូវ​បាន​យល់​ថា​កម្រិត​ណា​ដែល​ចន្លោះ​ពេល​មុខងារ​ទទួល​បាន​តម្លៃ​អប្បបរមា ឬ​អតិបរមា​លើ​សំណុំ​ជាក់លាក់​មួយ។

ភាពខ្លាំងគឺជាតម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារ និងអតិបរមាក្នុងពេលតែមួយ។ មានចំណុចអប្បបរមា និងចំណុចអតិបរមា ពោលគឺតម្លៃខ្លាំងនៃអាគុយម៉ង់នៅលើក្រាហ្វ។ វិទ្យាសាស្ត្រសំខាន់ៗដែលគំនិតនេះត្រូវបានប្រើ៖

• ស្ថិតិ;
• ការគ្រប់គ្រងម៉ាស៊ីន;
• សេដ្ឋកិច្ច។

ចំណុចខ្លាំងដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការកំណត់លំដាប់នៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលនៅលើក្រាហ្វដែលល្អបំផុតបង្ហាញពីការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងខ្លាំងអាស្រ័យលើការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ។

ជ្រុលនៃអនុគមន៍ដេរីវេ

វាក៏មានរឿងដូចជា "ដេរីវេ" ផងដែរ។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ចំណុចខ្លាំង។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំពិន្ទុអប្បបរមា ឬអតិបរមាជាមួយនឹងតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។ ទាំងនេះគឺជាគោលគំនិតផ្សេងគ្នា ទោះបីជាវាហាក់ដូចជាស្រដៀងគ្នាក៏ដោយ។

តម្លៃនៃមុខងារគឺជាកត្តាចម្បងក្នុងការកំណត់របៀបស្វែងរកចំណុចអតិបរមា។ និស្សន្ទវត្ថុមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងពីតម្លៃទេ ប៉ុន្តែទាំងស្រុងពីទីតាំងខ្លាំងរបស់វាក្នុងលំដាប់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។

ដេរីវេដោយខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យនៃចំណុចខ្លាំង ហើយមិនមែនជាតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនោះទេ។ នៅក្នុងសាលារុស្ស៊ី បន្ទាត់រវាងគំនិតទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានគូរច្បាស់លាស់ទេ ដែលប៉ះពាល់ដល់ការយល់ដឹងអំពីប្រធានបទនេះជាទូទៅ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ចាត់​ទុក​រឿង​មួយ​នេះ​ថា​ជា​«ភាព​ជ្រុល​និយម»។ មកដល់បច្ចុប្បន្ន មានតម្លៃអប្បបរមាស្រួចស្រាវ និងតម្លៃអតិបរមាស្រួចស្រាវ។ និយមន័យត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយអនុលោមតាមចំណាត់ថ្នាក់រុស្ស៊ីនៃចំណុចសំខាន់នៃមុខងារមួយ។ គោលគំនិតនៃចំណុចខ្លាំង គឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៅលើតារាង។

ដើម្បីកំណត់គោលគំនិតបែបនេះ ទ្រឹស្តីបទ Fermat ត្រូវបានប្រើ។ វាមានសារៈសំខាន់បំផុតក្នុងការសិក្សាអំពីចំណុចខ្លាំង និងផ្តល់នូវគំនិតច្បាស់លាស់អំពីអត្ថិភាពរបស់ពួកគេក្នុងទម្រង់មួយឬមួយផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធានាបាននូវភាពខ្លាំង វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់សម្រាប់ការថយចុះ ឬកើនឡើងនៅលើតារាង។

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរ "របៀបរកចំណុចអតិបរមា" ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ អ្នកត្រូវតែអនុវត្តតាមបទប្បញ្ញត្តិទាំងនេះ៖

1. ការស្វែងរកតំបន់ជាក់លាក់នៃនិយមន័យនៅលើតារាង។
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និងចំណុចខ្លាំង។
3. ដោះស្រាយវិសមភាពស្តង់ដារសម្រាប់ដែននៃអាគុយម៉ង់។
4. អាច​បញ្ជាក់​ថា​មុខងារ​ណា​មួយ​ដែល​ចំណុច​នៅ​លើ​ក្រាហ្វ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​និង​បន្ត។

យកចិត្តទុកដាក់!ការស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានដេរីវេនៃយ៉ាងហោចណាស់លំដាប់ទីពីរ ដែលត្រូវបានធានាដោយសមាមាត្រខ្ពស់នៃវត្តមាននៃចំណុចខ្លាំងមួយ។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អតិបរមានៃមុខងារ

ដើម្បីឱ្យភាពជ្រុលនិយមមាន វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមានទាំងពិន្ទុអប្បបរមា និងអតិបរមា។ ប្រសិនបើច្បាប់នេះត្រូវបានគេសង្កេតឃើញតែផ្នែកខ្លះ នោះលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយមត្រូវបានបំពាន។

មុខងារនីមួយៗនៅក្នុងមុខតំណែងណាមួយត្រូវតែមានភាពខុសប្លែកគ្នា ដើម្បីកំណត់អត្ថន័យថ្មីរបស់វា។ វាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវយល់ថា ករណីនៅពេលដែលចំនុចមួយបាត់ មិនមែនជាគោលការណ៍សំខាន់នៃការស្វែងរកចំណុចខុសគ្នានោះទេ។

កម្រិតខ្ពស់បំផុត ក៏ដូចជាមុខងារអប្បបរមា គឺជាទិដ្ឋភាពដ៏សំខាន់បំផុតនៃការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាដោយប្រើតម្លៃខ្លាំង។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីសមាសភាគនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការយោងទៅលើតម្លៃតារាងសម្រាប់ការចាត់តាំងមុខងារ។

ការស្វែងរកពេញលេញនៃអត្ថន័យ

ការគណនាតម្លៃ

1. ការកំណត់ចំណុចនៃការកើនឡើងនិងការថយចុះនៃតម្លៃ។ 2. ការស្វែងរកចំណុចបំបែក ចំណុចខ្លាំង និងចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ 3. ដំណើរការនៃការកំណត់ការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងនៅលើតារាង។ 4. ការកំណត់សន្ទស្សន៍និងទិសដៅនៃប៉ោងនិងប៉ោងដោយគិតគូរពីវត្តមានរបស់ asymptotes ។ 5. ការបង្កើតតារាងសង្ខេបនៃការសិក្សាក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការកំណត់កូអរដោនេរបស់វា។ 6. ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃចំណុចខ្លាំង និងស្រួចស្រាវ។ 7. ការកំណត់ភាពប៉ោង និង concavity នៃខ្សែកោង។ 8. ការកសាងក្រាហ្វដោយផ្អែកលើការសិក្សាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកអប្បបរមាឬអតិបរមា។

ធាតុសំខាន់នៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការជាមួយ extremums គឺជាការសាងសង់ពិតប្រាកដនៃក្រាហ្វរបស់វា។ គ្រូបង្រៀននៅសាលាជារឿយៗមិនយកចិត្តទុកដាក់ជាអតិបរមាចំពោះទិដ្ឋភាពសំខាន់បែបនេះ ដែលជាការបំពានយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរលើដំណើរការអប់រំ។ ក្រាហ្វត្រូវបានបង្កើតឡើងតែលើមូលដ្ឋាននៃលទ្ធផលនៃការសិក្សាទិន្នន័យមុខងារ និយមន័យនៃស្រួច ក៏ដូចជាចំណុចនៅលើក្រាហ្វ។ Sharp extrema នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានបង្ហាញនៅលើគ្រោងនៃតម្លៃពិតប្រាកដដោយប្រើនីតិវិធីស្តង់ដារសម្រាប់កំណត់ asymptotes ។ ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍ ត្រូវបានអមដោយការគូសប្លង់កាន់តែស្មុគស្មាញ។ នេះគឺដោយសារតែតម្រូវការកាន់តែស៊ីជម្រៅដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃភាពធ្ងន់ធ្ងរខ្លាំង។ វាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងសាមញ្ញ ព្រោះនេះគឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងបញ្ហានៃភាពជ្រុលនិយម។

មុខងារជ្រុល

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃខាងលើ អ្នកត្រូវតែប្រកាន់ខ្ជាប់នូវច្បាប់ខាងក្រោម៖

• កំណត់លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់សមាមាត្រខ្លាំង;
• យកទៅក្នុងគណនីលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចខ្លាំងនៅលើក្រាហ្វ;
• អនុវត្តការគណនានៃចុងស្រួចស្រាវ។

វាក៏មានគោលគំនិតដូចជា អប្បបរមាខ្សោយ និងអប្បបរមាខ្លាំង។ នេះត្រូវតែត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីនៅពេលកំណត់ភាពខ្លាំងបំផុតនិងការគណនាពិតប្រាកដរបស់វា។ ទន្ទឹមនឹងនេះមុខងារមុតស្រួចគឺជាការស្វែងរកនិងការបង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ទាំងអស់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយក្រាហ្វមុខងារ។

ពិចារណាមុខងារ y = f (x) ដែលត្រូវបានពិចារណាលើចន្លោះពេល (a, b) ។

ប្រសិនបើអាចបញ្ជាក់ b-neighborhood នៃចំនុច x1 ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល (a, b) ដែលសម្រាប់ x (x1, b) វិសមភាព f(x1) > f(x) គឺពេញចិត្ត បន្ទាប់មក y1 = f1(x1) ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារអតិបរមា y = f (x) សូមមើលរូបភព។

អតិបរមានៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានតាងដោយ max f(x)។ ប្រសិនបើអាចបញ្ជាក់ 6-neighbourhood នៃចំនុច x2 ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល (a, b) ដូចនេះសម្រាប់ x ទាំងអស់វាជារបស់ O(x2, 6) x មិនស្មើនឹង x2 នោះវិសមភាព f(x2)< f(x) បន្ទាប់មក y2= f(x2) ត្រូវបានគេហៅថាអប្បរមានៃអនុគមន៍ y-f(x) (សូមមើលរូប)។

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកអតិបរមា សូមមើលវីដេអូខាងក្រោម

មុខងារអប្បបរមា

អប្បបរមានៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានតាងដោយ min f(x)។ ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, អតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារ y = f(x) ហៅតម្លៃរបស់វាដែលធំជាង (តិចជាង) ជាងតម្លៃផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលបានយកនៅចំណុចគ្រប់គ្រាន់ជិតទៅនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងខុសគ្នាពីវា។

ចំណាំ ១. មុខងារអតិបរមាកំណត់ដោយវិសមភាពត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមាតឹងរឹង; អតិបរិមាដែលមិនតឹងរ៉ឹងត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាព f(x1) > = f(x2)

ចំណាំ ២. មានតួអក្សរក្នុងតំបន់ (ទាំងនេះគឺជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុចដែលត្រូវគ្នា); អប្បបរមាបុគ្គលនៃមុខងារមួយចំនួនអាចធំជាងអតិបរមានៃមុខងារដូចគ្នា។

ជាលទ្ធផលអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារត្រូវបានគេហៅថា អតិបរមាក្នុងស្រុក(អប្បបរមាក្នុងស្រុក) ផ្ទុយទៅនឹងអតិបរមាដាច់ខាត (អប្បបរមា) - តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៅក្នុងដែននៃមុខងារ។

អតិបរមា និងអប្បរមានៃមុខងារត្រូវបានគេហៅថា ជ្រុល។ . ភាពខ្លាំងនៅក្នុងការស្វែងរកសម្រាប់មុខងារគ្រោង

ឡាតាំង extremum មានន័យថា "ខ្លាំង" អត្ថន័យ។ តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x ដែលឈានដល់កម្រិតខ្លាំងត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំង។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមត្រូវបានបង្ហាញដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ. នៅចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន និងដេរីវេរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទមានអត្ថន័យធរណីមាត្រសាមញ្ញ៖ តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាននៅចំណុចដែលត្រូវគ្នាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស x