៤.២. លេខពិជគណិត និងលេខឆ្លង

ពេលខ្លះចំនួនពិតក៏ត្រូវបានបែងចែកទៅជាពិជគណិត និងវិញ្ញាបនបត្រផងដែរ។

លេខពិជគណិតគឺជាលេខដែលជាឫសគល់នៃពហុនាមពិជគណិតដែលមានមេគុណចំនួនគត់ ឧទាហរណ៍ 4, ។ លេខផ្សេងទៀតទាំងអស់ (មិនមែនពិជគណិត) គឺវិសេស។ ដោយសាររាល់លេខសនិទាន p/q គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមដែលត្រូវគ្នានៃសញ្ញាប័ត្រទី 1 ដែលមានមេគុណចំនួនគត់ qx -p នោះលេខឆ្លងកាត់ទាំងអស់គឺមិនសមហេតុផល។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកលក្ខណៈពិសេសលក្ខណៈនៃលេខដែលបានពិចារណា (ធម្មជាតិ, ហេតុផល, ពិតប្រាកដ)៖ ពួកគេយកគំរូទ្រព្យសម្បត្តិតែមួយគត់ - បរិមាណ; ពួកវាមានវិមាត្រតែមួយ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលហៅថាអ័ក្សកូអរដោនេ។

5. លេខស្មុគស្មាញ

5.1. តួលេខស្រមើលស្រមៃ

សូម្បីតែចម្លែកជាងអ្វីដែលមិនសមហេតុផលគឺជាចំនួននៃធម្មជាតិថ្មីដែលបានរកឃើញដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអ៊ីតាលី Cardano ក្នុងឆ្នាំ 1545 ។ គាត់​បាន​បង្ហាញ​ថា​ប្រព័ន្ធ​សមីការ​ដែល​គ្មាន​ដំណោះស្រាយ​ក្នុង​សំណុំ​នៃ​ចំនួន​ពិត​មាន​ដំណោះស្រាយ​នៃ​ទម្រង់​។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ក្នុងការយល់ព្រមធ្វើសកម្មភាពលើកន្សោមបែបនេះដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃពិជគណិតធម្មតា ហើយសន្មត់ថា · = - ។

Cardano បានហៅបរិមាណបែបនេះថា "អវិជ្ជមានសុទ្ធសាធ" និងសូម្បីតែ "អវិជ្ជមាន" ចាត់ទុកថាវាគ្មានប្រយោជន៍ហើយព្យាយាមមិនប្រើវា។

អស់រយៈពេលជាយូរ លេខទាំងនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនអាចទៅរួច គ្មានការស្រមើលស្រមៃ។ Descartes បានហៅពួកគេថាជាស្រមើស្រមៃ Leibniz - "ភាពចម្លែកពីពិភពនៃគំនិត ដែលជាអង្គភាពដែលស្ថិតនៅចន្លោះរវាងភាពនិងមិនមែន"។

ជាការពិត ដោយមានជំនួយពីលេខបែបនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្ហាញពីលទ្ធផលនៃការវាស់វែងបរិមាណមួយចំនួន ឬការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណមួយចំនួន។

លេខស្រមើស្រមៃមិនមានកន្លែងនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានកត់សម្គាល់ថា ប្រសិនបើយើងយកចំនួនពិត b លើផ្នែកវិជ្ជមាននៃអ័ក្សកូអរដោនេ ហើយគុណនឹងវា នោះយើងទទួលបានលេខស្រមើស្រមៃ b គ្មាននរណាម្នាក់ដឹងថាស្ថិតនៅទីណានោះទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើលេខនេះត្រូវគុណនឹងម្តងទៀត នោះយើងទទួលបាន -b នោះគឺជាលេខដើម ប៉ុន្តែរួចហើយនៅលើផ្នែកអវិជ្ជមាននៃអ័ក្សកូអរដោនេ។ ដូច្នេះដោយការគុណពីរដោយយើងបានត្រឡប់លេខ b ពីវិជ្ជមានទៅអវិជ្ជមាន ហើយពិតប្រាកដណាស់នៅពាក់កណ្តាលនៃការបោះនេះ លេខគឺស្រមើលស្រមៃ។ ដូច្នេះពួកគេបានរកឃើញកន្លែងសម្រាប់លេខស្រមើស្រមៃនៅចំណុចនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេស្រមើលស្រមៃដែលកាត់កែងទៅពាក់កណ្តាលអ័ក្សកូអរដោនេពិតប្រាកដ។ ចំនុចនៃយន្តហោះរវាងអ័ក្សស្រមើស្រមៃ និងពិតបង្ហាញពីលេខដែលរកឃើញដោយ Cardano ដែលជាទូទៅបង្កើតជា a + b i មានលេខពិត a និង b i ស្រមើស្រមៃក្នុងស្មុគស្មាញមួយ (សមាសភាព) ដូច្នេះពួកវាត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។

វាគឺជាកម្រិតទី 4 នៃការធ្វើឱ្យទូទៅនៃលេខ។

បច្ចេកទេសនៃប្រតិបត្តិការលើលេខស្រមើលស្រមៃត្រូវបានអភិវឌ្ឍបន្តិចម្តងៗ។ នៅវេននៃសតវត្សទី 17 និងទី 17 ទ្រឹស្តីទូទៅនៃឫសគល់នៃអំណាចទី 1 ត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងពីអវិជ្ជមានហើយបន្ទាប់មកពីលេខស្មុគស្មាញណាមួយដោយផ្អែកលើរូបមន្តខាងក្រោមរបស់អ្នកគណិតវិទូអង់គ្លេស A. De Moivre:

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាក៏អាចទាញយករូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើនផងដែរ។

Leonhard Euler បានបង្កើតរូបមន្តដ៏អស្ចារ្យនៅឆ្នាំ 1748៖

ដែលភ្ជាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ ដោយមានជំនួយពីរូបមន្តរបស់អយល័រ វាអាចបង្កើនចំនួន e ទៅថាមពលស្មុគស្មាញណាមួយ។ វាជាការចង់ដឹងចង់ឃើញឧទាហរណ៍ថា។ អ្នកអាចរកឃើញ sin និង cos នៃចំនួនកុំផ្លិច គណនាលោការីតនៃលេខបែបនេះ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ សូម្បីតែគណិតវិទូបានចាត់ទុកចំនួនកុំផ្លិចជាអាថ៌កំបាំង ហើយប្រើវាសម្រាប់តែឧបាយកលគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ គណិតវិទូជនជាតិស្វីស Bernoulli បានប្រើចំនួនកុំផ្លិចដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាល។ បន្តិចក្រោយមក ដោយមានជំនួយពីលេខស្រមើលស្រមៃ ពួកគេបានរៀនបង្ហាញពីដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ឧទាហរណ៍ សមីការបែបនេះត្រូវបានជួបប្រទះនៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃការយោលនៃចំណុចសម្ភារៈនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកទប់ទល់។

ក្រុមម៉ាទ្រីសពិជគណិត

ប្រព័ន្ធពិជគណិតនៃការបិទ

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគំនិតនៃប្រតិបត្តិការពិជគណិត។ អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាពិជគណិតសកលជាមួយនឹងសំណុំនៃប្រតិបត្តិការពិជគណិត W. ប្រតិបត្តិការនីមួយៗ w ក្នុង W មាន aity ជាក់លាក់ n, nN(0)។ សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ ប្រតិបត្តិការ n-ary u គឺជាផែនទីពី An ដល់ A...

អំណាចនៃលេខបឋម

លេខសំខាន់ៗទៅវិញទៅមកគឺជាលេខធម្មជាតិ ឬលេខទាំងមូល ដូច្នេះអ្នកមិនអាចគិតពីចំនួនទ្វេដងធំបំផុតសម្រាប់ 1 ឬបើមិនដូច្នេះទេ វាហាក់ដូចជាថាចំនួនពីរដ៏ធំបំផុតរបស់អ្នកគឺល្អសម្រាប់ 1។ នៅក្នុងលំដាប់នេះ លេខ 2 និង 3 គឺសាមញ្ញទៅវិញទៅមក និង 2 i 4 -- nі (ចែកនឹង 2)...

ក្រាហ្វនិងមុខងាររបស់វា។

ពិចារណាអំពីប្រតិបត្តិការពិជគណិតជាមូលដ្ឋានលើអនុគមន៍ និងក្រាហ្វរបស់ពួកគេ ដូចជាការបូក និងដក (y = f(x) ±g(x)) គុណ (y = f(x) g(x)) ការបែងចែក (y = f( x) / g(x)) ។ ពេល​បង្កើត​ក្រាហ្វ​ប្រភេទ​នេះ គេ​គួរ​គិត​គូរ​ដល់​...

លេខស្មុគស្មាញ៖ អតីតកាល និងបច្ចុប្បន្ន

គណិតវិទ្យានៅយុគសម័យកណ្តាល

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Fang Cheng ទៅនឹងប្រព័ន្ធសមីការគឺការបញ្ចូលលេខអវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធមួយយើងទទួលបានតារាងមួយ។ ជំហានបន្ទាប់៖ ដកធាតុនៃជួរទី ៣ ពីខាងស្តាំ ចេញពីធាតុនៃទីមួយ...

លេខវិទ្យា

លេខនៅក្នុង Pythagoras ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនមែនគ្រាន់តែជាការជំនួសអរូបីសម្រាប់វត្ថុពិតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែធាតុមានជីវិតដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំហ ថាមពល ឬរំញ័រសំឡេង។ វិទ្យាសាស្ត្រសំខាន់នៃលេខ នព្វន្ធ...

លេខវិទ្យា

រឿងព្រេងនិទានថា លេខអាម៉ូនិក ដែលជាសមាមាត្រដែលនាំឱ្យតន្ត្រីនៃស្វ៊ែរត្រូវបានរកឃើញដោយ Pythagoras ។ Flammarion រៀបរាប់​ពី​រឿងព្រេង​នេះ​ដូច​តទៅ​៖ «​គេ​និយាយ​ថា​ដើរ​កាត់​ផ្លូវ​មួយ​ ស្រាប់តែ​ឮ​សំឡេង​ញញួរ...

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃរូបមន្ត quadrature ជាមួយនឹងទម្ងន់ Chebyshev-Hermite

អនុញ្ញាតឱ្យមានអនុគមន៍ទម្ងន់ស្មើគ្នានៅលើអ័ក្សទាំងមូល។ (1.1) ភាពខុសគ្នានៃមុខងារនេះជាបន្តបន្ទាប់ យើងរកឃើញ (1.2) វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ដោយការណែនាំថា ដេរីវេនៃលំដាប់ n នៃអនុគមន៍ (1.1) គឺជាផលិតផលនៃអនុគមន៍នេះដោយពហុធានៃដឺក្រេ n...

សូមណែនាំលេខមិនត្រឹមត្រូវថ្មី ដែលការ៉េស្មើនឹង -1។ យើងសម្គាល់លេខនេះដោយនិមិត្តសញ្ញា I ហើយហៅឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ដូច្នេះ (2.1) បន្ទាប់មក។ (2.2) 1. ទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ប្រសិនបើលេខ (2.3) ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច...

លំដាប់លេខដដែលៗ

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើន ជារឿយៗគេត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យម្តងហើយម្តងទៀត ប៉ុន្តែមិនដូចលំដាប់ Fibonacci ទេ វាមិនតែងតែអាចទទួលបានកិច្ចការវិភាគរបស់វា...

សមីការឆ្លងដែនជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនិងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

សមីការឆ្លងដែន គឺជាសមីការដែលមានអនុគមន៍ឆ្លងកាត់ (មិនសមហេតុផល លោការីត អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ត្រីកោណមាត្រ និងត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស) នៃអថេរមិនស្គាល់ (អថេរ) ឧទាហរណ៍ សមីការ...

លេខដ៏អស្ចារ្យ

តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ ដោយជួយខ្លួនឯងក្នុងការរាប់ជាមួយគ្រួស មនុស្សបានយកចិត្តទុកដាក់លើតួលេខត្រឹមត្រូវដែលអាចដាក់ចេញពីគ្រួស។ អ្នកគ្រាន់តែអាចដាក់គ្រួសក្នុងជួរមួយ៖ មួយ, ពីរ, បី។ បើ​អ្នក​ដាក់​វា​ជា​ពីរ​ជួរ​ដើម្បី​ធ្វើ​ចតុកោណ...

លេខដ៏អស្ចារ្យ

ពេលខ្លះលេខល្អឥតខ្ចោះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃលេខដែលរួសរាយរាក់ទាក់៖ រាល់លេខដែលល្អឥតខ្ចោះគឺមានភាពរួសរាយរាក់ទាក់ចំពោះខ្លួនឯង។ Nicomachus នៃ Geras ដែលជាទស្សនវិទូ និងគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ បានសរសេរថា "លេខល្អឥតខ្ចោះគឺស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែយើងដឹងថា...

លក្ខណៈសម្បត្តិប្រភាគនៃដំណើរការសង្គម

Geometric fractal គឺជាតួលេខឋិតិវន្ត។ វិធីសាស្រ្តបែបនេះគឺអាចទទួលយកបាន ដរាបណាមិនចាំបាច់គិតដល់បាតុភូតធម្មជាតិ ដូចជាទឹកធ្លាក់ ខ្យល់បក់បោក ផ្សែងហុយៗ...

លេខវិចារណញាណ

លេខ (ពិត ឬស្រមើស្រមៃ) ដែលមិនបំពេញសមីការពិជគណិតណាមួយ (សូមមើលសមីការពិជគណិត) ជាមួយមេគុណចំនួនគត់។ ដូច្នេះលេខគឺផ្ទុយនឹងលេខពិជគណិត (សូមមើលលេខពិជគណិត)។ អត្ថិភាពនៃ T. h. ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ J. Liouville (1844) ។ ចំណុចចាប់ផ្តើមសម្រាប់ Liouville គឺជាទ្រឹស្តីបទរបស់គាត់ ដែលយោងទៅតាមលំដាប់នៃការប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រភាគសនិទានជាមួយនឹងភាគបែងដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅលេខពិជគណិតមិនសមហេតុផលដែលផ្តល់ឱ្យមិនអាចខ្ពស់តាមអំពើចិត្ត។ ពោលគឺប្រសិនបើលេខពិជគណិត កបំពេញសមីការពិជគណិតដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាននៃសញ្ញាបត្រ នជាមួយមេគុណចំនួនគត់ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខសនិទានណាមួយ c អាស្រ័យតែលើ α ) ដូច្នេះ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនមិនសមហេតុផលដែលបានផ្តល់ឱ្យ α វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់សំណុំគ្មានកំណត់នៃការប៉ាន់ស្មានសមហេតុផលដែលមិនបំពេញនូវវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ណាមួយ។ ជាមួយនិង ន(ដូចគ្នាសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានទាំងអស់) បន្ទាប់មក α មាន T. h. ឧទាហរណ៍នៃលេខបែបនេះផ្តល់ឱ្យ:

ភ័ស្តុតាងមួយទៀតនៃអត្ថិភាពនៃ T. h. ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ G. Kantor (1874) ដោយកត់សម្គាល់ថាសំណុំនៃលេខពិជគណិតទាំងអស់គឺអាចរាប់បាន (ពោលគឺលេខពិជគណិតទាំងអស់អាចរាប់ឡើងវិញបាន សូមមើលទ្រឹស្តីកំណត់) ខណៈពេលដែលសំណុំនៃ ចំនួនពិតទាំងអស់មិនអាចរាប់បាន។ ពីនេះវាធ្វើតាមថាសំណុំនៃលេខគឺមិនអាចរាប់បាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត លេខនោះបង្កើតបានជាភាគច្រើននៃសំណុំនៃលេខទាំងអស់។

បញ្ហាសំខាន់បំផុតនៅក្នុងទ្រឹស្តីរបស់ T. p. គឺដើម្បីរកមើលថាតើតម្លៃនៃ T. p. គឺជាមុខងារវិភាគដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធ និងវិភាគជាក់លាក់សម្រាប់តម្លៃពិជគណិតនៃអាគុយម៉ង់។ បញ្ហា​ប្រភេទ​នេះ​ស្ថិត​ក្នុង​ចំណោម​បញ្ហា​ពិបាក​បំផុត​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ទំនើប។ នៅឆ្នាំ 1873 S. Hermite បានបង្ហាញថាលេខ Napier

នៅឆ្នាំ 1882 គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ F. Lindemann ទទួលបានលទ្ធផលទូទៅជាងនេះ៖ ប្រសិនបើ α ជាលេខពិជគណិត នោះ អ៊ីα - T. h. Lipdemann លទ្ធផលត្រូវបានសង្ខេបយ៉ាងសំខាន់ដោយគណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ K. Siegel (1930) ដែលបានបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ ការឆ្លងកាត់នៃតម្លៃនៃថ្នាក់ធំទូលាយនៃមុខងារស៊ីឡាំងសម្រាប់តម្លៃពិជគណិតនៃអាគុយម៉ង់។ នៅឆ្នាំ 1900 នៅឯសមាជគណិតវិទ្យានៅទីក្រុងប៉ារីស D. Hilbert ក្នុងចំណោមបញ្ហាគណិតវិទ្យាចំនួន 23 ដែលមិនបានដោះស្រាយបានចង្អុលបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ គឺជាលេខដែលលើស។ α β , កន្លែងណា α និង β - លេខពិជគណិត និង β - លេខមិនសមហេតុផល ហើយជាពិសេសថាតើលេខ e π មានលក្ខណៈវិសេសវិសាល (បញ្ហានៃការឆ្លងនៃលេខនៃទម្រង់ α β ត្រូវ​បាន​រៀបចំ​ជា​លើក​ដំបូង​ក្នុង​ទម្រង់​ឯកជន​ដោយ L. Euler, 1744)។ ដំណោះស្រាយពេញលេញចំពោះបញ្ហានេះ (ក្នុងន័យបញ្ជាក់) ត្រូវបានទទួលតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1934 ដោយ A. O. Gel'fond ។ ពីការរកឃើញរបស់ Gelfond ជាពិសេស វាធ្វើតាមថាលោការីតទសភាគទាំងអស់នៃលេខធម្មជាតិ (ឧទាហរណ៍ "លោការីតតារាង") គឺ t ។

ពន្លឺ៖ Gelfond A. O., លេខ Transcendental និង Algebraic, Moscow, 1952 ។

សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ។ - អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. 1969-1978 .

សូមមើលអ្វីដែល "លេខឆ្លងដែន" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

លេខដែលមិនបំពេញសមីការពិជគណិតណាមួយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ លេខឆ្លងគឺ៖ លេខ??៣,១៤១៥៩...; លោការីតទសភាគនៃចំនួនគត់ដែលមិនត្រូវបានតំណាងដោយឯកតាដែលមានលេខសូន្យ។ លេខ e=2.71828...។ល។ វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ

- (ពី lat. transcendere ទៅ pass, to over) គឺជាចំនួនពិត ឬកុំផ្លិច ដែលមិនមែនជាពិជគណិត ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត លេខដែលមិនអាចជាឫសគល់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់។ ខ្លឹមសារ ១ លក្ខណៈសម្បត្តិ ២ ... ... វិគីភីឌា

លេខដែលមិនបំពេញសមីការពិជគណិតណាមួយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ លេខវិញ្ញាសាគឺ៖ លេខ π = 3.14159...; លោការីតទសភាគនៃចំនួនគត់ដែលមិនត្រូវបានតំណាងដោយឯកតាដែលមានលេខសូន្យ។ លេខ e \u003d 2.71828 ... និងផ្សេងទៀត ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ

លេខដែលមិនពេញចិត្តពិជគណិតណាមួយ។ សមីការជាមួយមេគុណចំនួនគត់។ រួមទាំង៖ ចំនួន PI \u003d 3.14159 ...; លោការីតទសភាគនៃចំនួនគត់ដែលមិនត្រូវបានតំណាងដោយឯកតាដែលមានលេខសូន្យ។ លេខ e \u003d 2.71828 ... និងផ្សេងទៀត ... វិទ្យា​សា​ស្រ្ត​ធម្មជាតិ។ វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ

លេខដែលមិនមែនជាឫសគល់នៃពហុនាមណាមួយដែលមានមេគុណចំនួនគត់។ ដែននៃនិយមន័យនៃលេខទាំងនេះគឺជាលេខសូន្យនៃចំនួនពិត ស្មុគស្មាញ និងរ៉ាឌីកាល់។ អត្ថិភាព និងសំណង់ច្បាស់លាស់នៃ T. ម៉ោងពិតប្រាកដត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ J. Liouville ... ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

សមីការដែលមិនមែនជាពិជគណិត។ ជាធម្មតាទាំងនេះគឺជាសមីការដែលមានអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត ត្រីកោណមាត្រ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស ឧទាហរណ៍៖ និយមន័យដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះគឺ៖ សមីការឆ្លងដែន គឺជាសមីការ ... វិគីភីឌា

ចំនួនប្រហែលស្មើនឹង 2.718 ដែលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ឧទាហរណ៍ កំឡុងពេលរលួយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្មបន្ទាប់ពីពេលវេលា t ប្រភាគស្មើនឹង e kt នៅសល់ពីបរិមាណដំបូងនៃសារធាតុ ដែល k ជាលេខ ...... សព្វវចនាធិប្បាយ Collier

អ៊ី គឺជាថេរគណិតវិទ្យា មូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ លេខមិនសមហេតុផល និងវិសាលភាព។ ពេលខ្លះលេខ e ត្រូវបានគេហៅថាលេខអយល័រ (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយលេខអយល័រនៃប្រភេទទីមួយ) ឬលេខណាពីៀ។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចឡាតាំង "e" ... ... Wikipedia

អ៊ី គឺជាថេរគណិតវិទ្យា មូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ លេខមិនសមហេតុផល និងវិសាលភាព។ ពេលខ្លះលេខ e ត្រូវបានគេហៅថាលេខអយល័រ (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយលេខអយល័រនៃប្រភេទទីមួយ) ឬលេខណាពីៀ។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូចឡាតាំង "e" ... ... Wikipedia

នៅលើបន្ទាត់ពិតប្រាកដ បន្ថែមពីលើលេខពិជគណិត មានសំណុំមួយបន្ថែមទៀត ខាដែលស្របគ្នានឹងលេខខានៃបន្ទាត់ទាំងមូល - នេះគឺជាសំណុំនៃលេខឆ្លង។

និយមន័យ 6 : លេខដែលមិនមែនជាពិជគណិតត្រូវបានហៅ វិសាលភាពនោះ​គឺ​ជា​ចំនួន​ឆ្លង (lat. transcendere - to pass, over) គឺជា​ចំនួន​ពិត​ឬ​កុំផ្លិច​ដែល​មិន​អាច​ជា​ឫស​នៃ​ពហុធា (មិន​ដូចគ្នា​នឹង​សូន្យ) ជាមួយ​មេគុណ​សនិទាន។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខវិចារណញាណ៖

· សំណុំនៃលេខវិសេសគឺបន្ត។

· រាល់ចំនួនពិតដែលឆ្លងកាត់គឺមិនសមហេតុផល ប៉ុន្តែការសន្ទនាគឺមិនពិតទេ។ ជាឧទាហរណ៍ លេខមួយគឺមិនសមហេតុផល ប៉ុន្តែមិនមែនវិចារណញ្ញាណទេ៖ វាគឺជាឫសគល់នៃពហុនាម (ហើយដូច្នេះវាជាពិជគណិត)។

· លំដាប់លើសំណុំនៃចំនួន transcendental ពិតប្រាកដគឺ isomorphic ទៅលំដាប់នៅលើសំណុំនៃលេខមិនសមហេតុផល។

· រង្វាស់នៃភាពមិនសមហេតុផលនៃស្ទើរតែគ្រប់ចំនួនវិញ្ញាសាគឺស្មើនឹង 2 ។

អត្ថិភាពនៃលេខឆ្លងត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលើកដំបូងដោយ Liouville ។ ភស្តុតាងរបស់ Laouville នៃអត្ថិភាពនៃលេខវិសេសគឺមានប្រសិទ្ធភាព។ ដោយឈរលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម ដែលជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃទ្រឹស្តីបទទី៥ គំរូជាក់ស្តែងនៃលេខឆ្លងដែនត្រូវបានសាងសង់ឡើង។

ទ្រឹស្តីបទ ៦ [៣ ទំព័រ ៥៤].: អនុញ្ញាតឱ្យ គឺជាចំនួនពិត។ ប្រសិនបើសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន 1 និងពិតប្រាកដណាមួយ។ គ>0 យ៉ាងហោចណាស់មានប្រភាគសមហេតុផលមួយដូចជា (11) បន្ទាប់មក គឺ​ជា​លេខ​ឆ្លង។

ភស្តុតាង៖ប្រសិនបើ ជាពិជគណិត បន្ទាប់មកនឹងមាន (ទ្រឹស្តីបទ 5) ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ននិងត្រឹមត្រូវ។ គ> 0 ដែលសម្រាប់ប្រភាគណាមួយវានឹងមាន ហើយនេះផ្ទុយនឹងការពិតដែលថា (11) កើតឡើង។ ការសន្មត់ថា លេខពិជគណិត, i.e. លេខឆ្លង។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

លេខដែលសម្រាប់ណាមួយ។ ន 1 និង គ>0 វិសមភាព (11) មានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ កនិង ខត្រូវបានគេហៅថាលេខ Liouville ឆ្លងដែន។

ឥឡូវនេះ យើងមានឧបករណ៍សម្រាប់បង្កើតចំនួនពិតដែលមិនមែនជាពិជគណិត។ យើង​ត្រូវ​ការ​បង្កើត​លេខ​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​មាន​ចំនួន​ប្រហាក់ប្រហែល​នៃ​លំដាប់​ខ្ពស់​តាម​អំពើ​ចិត្ត។

ឧទាហរណ៍:

កគឺ​ជា​លេខ​ឆ្លង។

យកការពិតតាមអំពើចិត្ត ន 1 និង គ> 0 ។ ទុកកន្លែងណា kបានជ្រើសរើសធំណាស់។ kn, បន្ទាប់មក

ចាប់តាំងពីសម្រាប់ការបំពាន ន 1 និង គ> 0 អ្នកអាចរកឃើញប្រភាគដែលបន្ទាប់មកជាលេខវិចារណញាណ។

ចូរកំណត់លេខក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់៖ កន្លែងណា

បន្ទាប់មកសម្រាប់កន្លែងណា។ ដូច្នេះ ហើយនេះមានន័យថា វាទទួលយកការប៉ាន់ស្មាននៃលំដាប់ខ្ពស់ដោយបំពាន ដូច្នេះហើយមិនអាចជាពិជគណិតបានទេ។

នៅឆ្នាំ 1873 Sh. Hermit បានបង្ហាញពីភាពអស្ចារ្យនៃលេខ អ៊ីមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពអស្ចារ្យនៃលេខ អ៊ីត្រូវការ 2 គ្រាប់។

លេម៉ា ១.ប្រសិនបើ g(x) គឺជាពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់ បន្ទាប់មកសម្រាប់ណាមួយ។ kន មេគុណទាំងអស់។ k-អូ ដេរីវេ g (k) (x) ត្រូវបានបែងចែកទៅជា k!.

ភស្តុតាង។ចាប់តាំងពីប្រតិបត្តិករ d/dxលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់ការអះអាងនៃ lemma សម្រាប់តែពហុនាមនៃទម្រង់ g(x)=xស , ស 0.

ប្រសិនបើ k>ស, នោះ។ g (k) (x)=0 និង k!|0.

ប្រសិនបើ k< s , នោះ។

មេគុណ binomial គឺជាចំនួនគត់ និង g(k) ( x) ត្រូវបានបែងចែកម្តងទៀតដោយ k! ទាំងស្រុង។

Lemma 2 (អត្តសញ្ញាណរបស់ Hermit) ។អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) គឺជាពហុនាមសញ្ញាប័ត្រដែលបំពាន kជាមួយនឹងមេគុណពិតប្រាកដ

F( x)=f(x)+f" (x)+f"(x)+ … +f (k) (x) គឺជាផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់របស់វា។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ពិតណាមួយ (និងសូម្បីតែស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនត្រូវការវានៅឡើយទេ) xរួចរាល់៖

ភស្តុតាង។ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖

អាំងតេក្រាល​ត្រូវ​បាន​បញ្ចូល​ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត​ដោយ​ផ្នែក ហើយ​ដូច្នេះ​នៅ​លើ។ ដោយធ្វើបែបបទនេះឡើងវិញ k+1 ដង យើងទទួលបាន៖

ទ្រឹស្តីបទ 7 (Hermite, 1873). ចំនួន អ៊ី វិសាលភាព។

ភស្តុតាង។ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងនេះដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ ចូរសន្មតថា អ៊ី - លេខពិជគណិត, អំណាច ម. បន្ទាប់មក

ក ម អ៊ី ម + … +ក 1 អ៊ី+ក 0 =0

សម្រាប់ធម្មជាតិមួយចំនួន មនិងមួយចំនួនទាំងមូល ក ម ,… ក 1 , ក 0. អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសអត្តសញ្ញាណ Hermite (12) ជំនួសវិញ។ Xចំនួនគត់ kដែលយកតម្លៃពី 0 ទៅ ម; គុណសមីការនីមួយៗ

រៀងគ្នានៅលើ ក kហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមពួកវាទាំងអស់។ យើង​ទទួល​បាន:

ចាប់តាំងពី (នេះគឺជាការសន្មត់ដ៏អាក្រក់របស់យើង) វាប្រែថាសម្រាប់ពហុនាមណាមួយ។ f(x) សមភាពត្រូវតែពេញចិត្ត៖

ដោយជម្រើសសមស្របនៃពហុធា f(x) យើងអាចធ្វើឱ្យផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ (13) ជាចំនួនគត់មិនសូន្យ ខណៈផ្នែកខាងស្តាំនឹងស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ។

ពិចារណាពហុនាមជាកន្លែងដែល នកំណត់ពេលក្រោយ ( នន, និង នធំ) ។

លេខ 0 គឺជាឫសនៃពហុគុណ ន- ពហុនាម ១ f(x) លេខ ១, ២,…, ម- ឫសគុណ នដូច្នេះ៖

f (លីត្រ) (0)=0, លីត្រ=1,2,…, ន-2

f(n-1) (0)=(-1) mn (ម!) ន

f (លីត្រ) (k)=0, លីត្រ=0,1, …, ន-1; k=1,2,…, ម

ពិចារណា g( x)=x ន-1 (x-1) ន (x-2) ន … (x-m) ន គឺជាពហុនាមស្រដៀងនឹង f(x) ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ ដោយ លេម៉ា ១ មេគុណ g ( លីត្រ) (x) គឺជាចំនួនគត់ដែលបែងចែកដោយ លីត្រ!, ដូច្នេះ, ពេលណា លីត្រ< n , ដេរីវេ g ( លីត្រ) (x) មេគុណទាំងអស់គឺជាចំនួនគត់ដែលបែងចែកដោយ ន, ដោយសារតែ g( លីត្រ) (x) ត្រូវបានទទួលពី g (l) ( x) បែងចែកដោយ ( ន-១)!។ ហេតុដូច្នេះ

កន្លែងណា កជាចំនួនគត់សមរម្យ ហើយនៅពីលើសញ្ញាបូកគឺជាលេខ ( ម+1) ន-1 - សញ្ញាប័ត្រពហុធា f(x) ហើយទោះបីជាវាអាចទៅរួចក្នុងការបូកសរុបរហូតដល់គ្មានកំណត់ក៏ដោយ និស្សន្ទវត្ថុមិនមែនសូន្យនៃ y f(x) គឺពិតជាខ្លាំងណាស់។

ស្រដៀងគ្នា

កន្លែងណា ខ k- ចំនួនគត់សមរម្យ k = 1, 2,…, ម.

អនុញ្ញាតឱ្យឥឡូវនេះ នន - ចំនួនគត់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

ពិចារណាម្តងទៀតនូវសមភាព (១៣)៖

នៅក្នុងផលបូកនៅខាងឆ្វេង ពាក្យទាំងអស់គឺជាចំនួនគត់ និង ក k ច(k) នៅ k = 1, 2,…, មចែក​ដោយ ន, ក ក 0 ច(0) លើ នមិនចែករំលែក។ នេះមានន័យថាផលបូកទាំងមូលដែលជាចំនួនគត់។ នមិនចែករំលែក, i.e. មិនមែនជា null អាស្រ័យហេតុនេះ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងប៉ាន់ស្មានផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (13) ។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែកហើយដូច្នេះនៅលើផ្នែកនេះ។

តើអថេរនៅឯណា គ 0 និង គ 1 មិនអាស្រ័យលើ ន. វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា

ដូច្នេះសម្រាប់ទំហំធំល្មម នផ្នែកខាងស្តាំនៃ (13) គឺតិចជាងមួយ ហើយសមភាព (13) គឺមិនអាចទៅរួចទេ។

នៅឆ្នាំ 1882 Lindemann បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទឆ្លងអំណាច អ៊ីជាមួយនឹងនិទស្សន្តពិជគណិតដែលមិនមែនជាសូន្យ ដោយហេតុនេះការបង្ហាញពីវិសាលភាពនៃលេខ។

ទ្រឹស្តីបទ ៨ (Lindemann) [3 ទំព័រ 58]. ប្រសិនបើ​ជា​លេខ​ពិជគណិត ហើយ​លេខ​នោះ​ជា​លេខ​វិសេស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Lindemann អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់បង្កើតលេខឆ្លងដែន។

ឧទាហរណ៍:

ពីទ្រឹស្តីបទ Lindemann វាធ្វើតាមឧទាហរណ៍ថាលេខ ln២- វិសេស ព្រោះ 2=e ln ២ហើយលេខ 2 គឺជាពិជគណិត ហើយប្រសិនបើលេខ ln 2 ជាពិជគណិត បន្ទាប់មកដោយលេម៉ា លេខ 2 នឹងក្លាយជាលេខវិសេស។

ជាទូទៅសម្រាប់ពិជគណិតណាមួយ lnដោយទ្រឹស្តីបទ Lindemann គឺហួសហេតុ។ បើ​ឆ្លង​ផុត​ហើយ​ lnមិនចាំបាច់ជាលេខឆ្លងទេ ឧ. ក្នុងអ៊ី =1

វាប្រែថាយើងបានឃើញលេខដ៏អស្ចារ្យជាច្រើនត្រឡប់មកវិញនៅក្នុងវិទ្យាល័យ - ln 2, ln 3, ln() ល​ល។

យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា លេខនៃទម្រង់គឺវិសេសវិសាល សម្រាប់លេខពិជគណិតដែលមិនមែនជាសូន្យ (ដោយទ្រឹស្តីបទ Lindemann-Weierstrass ដែលជាទ្រឹស្តីទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទ Lindemann)។ ឧទាហរណ៍ លេខគឺវិសេសវិសាល។

ប្រសិនបើ​វា​ជា​វិញ្ញាសា នោះ​មិនមែន​ជា​លេខ​វិសេស​ទេ ឧទាហរណ៍​។

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Lindemann អាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើអត្តសញ្ញាណ Hermite ក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងការឆ្លងកាត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយមានភាពស្មុគស្មាញមួយចំនួននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរ។ នេះជារបៀបដែល Lindemann ខ្លួនឯងបានបង្ហាញវា។ ហើយ​អ្នក​អាច​បញ្ជាក់​ទ្រឹស្ដី​នេះ​តាម​វិធី​ផ្សេង ដូច​គណិតវិទូ​សូវៀត A.O. Gelfond ដែលគំនិតរបស់គាត់បានដឹកនាំនៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 20 ដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាទី 7 របស់ Hilbert ។

នៅឆ្នាំ 1900 នៅឯសមាជអន្តរជាតិលើកទី 2 នៃគណិតវិទូ ហ៊ីលប៊ឺត ក្នុងចំណោមបញ្ហាដែលគាត់បានបង្កើតនោះ បានបង្កើតបញ្ហាទីប្រាំពីរថា "ប្រសិនបើវាជាការពិតដែលថាលេខនៃទម្រង់ កន្លែងណាជាលេខពិជគណិត និងជាលេខដែលមិនសមហេតុផល?" . បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងឆ្នាំ 1934 ដោយ Gelfond ដែលបានបង្ហាញថាចំនួនទាំងអស់នេះគឺពិតជាវិសេសវិសាល។

ភស្តុតាងនៃការឆ្លងកាត់នៃតម្លៃនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលស្នើឡើងដោយ Gelfond គឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ interpolation ។

ឧទាហរណ៍:

1) នៅលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Gelfond មនុស្សម្នាក់អាចបញ្ជាក់បានថា លេខមួយគឺវិសេសវិសាល ពីព្រោះប្រសិនបើវាជាពិជគណិតមិនសមហេតុផល នោះ ចាប់តាំងពីលេខ 19 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gelfond នឹងមានវិសាលភាព ដែលមិនមែនជាការពិត។

2) អនុញ្ញាតឱ្យ កនិង ខ- លេខមិនសមហេតុផល។ អាចលេខមួយ។ ក ខមានហេតុផល?

ជាការពិតណាស់ដោយប្រើបញ្ហាទីប្រាំពីររបស់ Hilbert បញ្ហានេះមិនពិបាកក្នុងការដោះស្រាយទេ។ ពិត​ណាស់ លេខ​គឺ​លើស​ពី​នេះ (ព្រោះ​វា​ជា​លេខ​មិន​សម​ហេតុ​ផល​ពិជគណិត)។ ប៉ុន្តែលេខសមហេតុផលទាំងអស់គឺពិជគណិត ដូច្នេះ - មិនសមហេតុផល។ នៅ​ម្ខាងទៀត,

ដូច្នេះ យើងគ្រាន់តែបង្ហាញលេខទាំងនេះ៖, ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហានេះក៏អាចដោះស្រាយបានដោយមិនចាំបាច់យោងទៅលើលទ្ធផលរបស់ Gelfond នោះទេ។ យើងអាចវែកញែកដូចខាងក្រោមៈ ពិចារណាលេខមួយ។ ប្រសិនបើលេខនេះគឺសមហេតុផល នោះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ កនិង ខបានរកឃើញ។ បើ​មិន​សម​ហេតុ​ផល យើង​យក​ហើយ​។

ដូច្នេះ យើងបង្ហាញលេខពីរគូ កនិង ខមួយ​គូ​នេះ​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ ប៉ុន្តែ​គាត់​មិន​ដឹង​ថា​មួយ​ណា​ទេ។ ប៉ុន្តែ​ក្រោយ​មក​មិន​តម្រូវ​ឱ្យ​បង្ហាញ​គូ​បែប​នេះ​ទេ! ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនេះគឺជាទ្រឹស្តីបទអត្ថិភាព។

ដែលសម្រាប់ a = 1 បានបម្រើយើងដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ ដោយសន្មតថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss ត្រូវបានបញ្ជាក់ យើងសន្មត់ថា a = a 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ (17) ដូច្នេះ

	) = a n + a		មួយ n−1			មួយ n−2		a 1 + ក

ការដកកន្សោមនេះចេញពី f(x) ហើយរៀបចំពាក្យឡើងវិញ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + ។ . . + a1 (x − a1) ។

(21) ដោយប្រើរូបមន្តឥឡូវនេះ (20) យើងអាចដកកត្តា x − a 1 ចេញពីពាក្យនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកយកវាចេញពីតង្កៀប ហើយកម្រិតនៃពហុនាមដែលនៅសល់ក្នុងតង្កៀបនឹងក្លាយទៅជាតិចជាងមួយ។ ការរៀបចំលក្ខខណ្ឌម្តងទៀត យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ

f(x) = (x − a1 )g(x),

ដែល g(x) ជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + ។ . . + b1 x + b0 ។

(ការគណនានៃមេគុណដែលតំណាងដោយ b មិនចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងនៅទីនេះទេ។) ចូរយើងអនុវត្តអាគុយម៉ង់ដូចគ្នានេះបន្ថែមទៀតចំពោះពហុធា g(x)។ តាមទ្រឹស្តីបទ Gauss មានឫស a2 នៃសមីការ g(x) = 0 ដូច្នេះ

g(x) = (x − a2) h(x),

ដែល h(x) គឺជាពហុនាមថ្មីនៃសញ្ញាប័ត្ររួចទៅហើយ n − 2 ។ ការធ្វើឡើងវិញនូវអាគុយម៉ង់ទាំងនេះ n − 1 ដង (ជាការពិតណាស់ ការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កប់ន័យ) ទីបំផុតយើងមកដល់ការរលាយ

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) ។ . . (x − មួយ) ។

អត្តសញ្ញាណ (22) បញ្ជាក់មិនត្រឹមតែថាចំនួនកុំផ្លិច a1 , a2 ,

An គឺជាឫសគល់នៃសមីការ (17) ប៉ុន្តែក៏ការពិតដែលថាសមីការ (17) មិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើលេខ y គឺជាឫសនៃសមីការ (17) បន្ទាប់មកពី (22) វានឹងធ្វើតាម។

f(y) = (y − a1)(y − a2) ។ . . (y − មួយ) = 0 ។

ប៉ុន្តែយើងបានឃើញ (ទំ។ 115) ថាផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺសូន្យប្រសិនបើហើយលុះត្រាតែកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តាគឺសូន្យ។ ដូច្នេះកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តា y − ar គឺស្មើនឹង 0 ពោលគឺ y = ar ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យបង្កើត។

§ 6.

1. និយមន័យនិងសំណួរនៃអត្ថិភាព។ លេខពិជគណិតគឺជាលេខណាមួយ x ពិត ឬស្រមើលស្រមៃ ដែលបំពេញសមីការពិជគណិតមួយចំនួននៃទម្រង់

xn + an−1 xn−1 + ។ . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 ប្រព័ន្ធលេខគណិតវិទ្យា ch. II

ដែលលេខ ai ជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ លេខ 2 គឺជាពិជគណិត ព្រោះវាបំពេញសមីការ

x2 − 2 = 0 ។

ដូចគ្នាដែរ ឫសនៃសមីការណាមួយដែលមានមេគុណចំនួនគត់នៃទីបី ទីបួន ទីប្រាំ ដឺក្រេណាមួយ ហើយមិនថាវាត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬមិនបង្ហាញជារ៉ាឌីកាល់ទេ គឺជាលេខពិជគណិត។ គោលគំនិតនៃលេខពិជគណិតគឺជាការទូទៅធម្មជាតិនៃគោលគំនិតនៃចំនួនសនិទានកម្ម ដែលត្រូវនឹងករណីជាក់លាក់ n=1។

មិនមែនគ្រប់ចំនួនពិតសុទ្ធតែជាពិជគណិតទេ។ នេះមកពីទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមដែលបញ្ជាក់ដោយ Cantor៖ សំណុំនៃលេខពិជគណិតទាំងអស់អាចរាប់បាន។ ដោយសារសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់មិនអាចរាប់បាន ដូច្នេះត្រូវតែមានចំនួនពិតដែលមិនមែនជាពិជគណិត។

ចូរយើងបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តមួយសម្រាប់ការគណនាឡើងវិញនូវសំណុំលេខពិជគណិត។ សមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ (1) ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំនួនគត់វិជ្ជមាន

h = |an | + |an−1 | +. . . +|a1| + |a0 | +n,

ដែលសម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពខ្លី យើងនឹងហៅ "កម្ពស់" នៃសមីការ។ សម្រាប់តម្លៃថេរនីមួយៗនៃ n មានតែចំនួនកំណត់នៃសមីការនៃទម្រង់ (1) ដែលមានកម្ពស់ h ។ សមីការទាំងនេះនីមួយៗមានឫស n ច្រើនបំផុត។ ដូច្នេះវាអាចមានតែចំនួនកំណត់នៃលេខពិជគណិតដែលបង្កើតដោយសមីការដែលមានកម្ពស់ h ។ ដូច្នេះ លេខពិជគណិតទាំងអស់អាចត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់លំដោយ ដោយរាយបញ្ជីដំបូងដែលបង្កើតដោយសមីការកម្ពស់ 1 បន្ទាប់មកលេខដែលមានកម្ពស់ 2 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ភ័ស្តុតាងនេះបង្ហាញថា សំណុំលេខពិជគណិតអាចរាប់បាន បង្កើតអត្ថិភាពនៃចំនួនពិតដែលមិនមែនជាពិជគណិត។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា transcendental (ពីឡាតាំង transcendere - ឆ្លងកាត់, លើស); អយល័រ​បាន​ដាក់​ឈ្មោះ​នេះ​ឱ្យ​ពួក​គេ​ដោយ​សារ​ពួក​គេ "លើស​ពី​អំណាច​នៃ​វិធីសាស្ត្រ​ពិជគណិត"។

ភ័ស្តុតាងរបស់ Cantor នៃអត្ថិភាពនៃលេខវិចារណញាណគឺមិនមែនក្នុងចំនោមការស្ថាបនាទេ។ និយាយតាមទ្រឹស្ដី មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតលេខអក្ខរាវិរុទ្ធដោយនីតិវិធីអង្កត់ទ្រូងដែលបានអនុវត្តនៅលើបញ្ជីស្រមើលស្រមៃនៃការពង្រីកទសភាគនៃលេខពិជគណិតទាំងអស់។ ប៉ុន្តែនីតិវិធីបែបនេះគឺគ្មានតម្លៃជាក់ស្តែងណាមួយឡើយ ហើយនឹងមិននាំទៅដល់លេខដែលការពង្រីកទៅជាប្រភាគទសភាគ (ឬមួយចំនួនផ្សេងទៀត) អាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងពិតប្រាកដ។ បញ្ហាដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតដែលទាក់ទងជាមួយលេខវិចារណញាណ ស្ថិតនៅក្នុងការបង្ហាញថា លេខជាក់លាក់ជាក់លាក់ (នេះរាប់បញ្ចូលទាំងលេខ p និង e ដែលសូមមើលទំព័រ 319–322) គឺជាវិញ្ញាបនបត្រ។

លេខពិជគណិត និងលេខប្តូរ

** ២. ទ្រឹស្ដី Liouville និងការបង្កើតលេខឆ្លងដែន។ ភ័ស្តុតាងនៃអត្ថិភាពនៃលេខដែលឆ្លងកាត់សូម្បីតែមុនពេល Cantor ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ J. Liouville (1809-1862) ។ វាធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតឧទាហរណ៍នៃលេខបែបនេះ។ ភ័ស្តុតាងរបស់ Liouville គឺពិបាកជាង Cantor's ហើយនេះមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ ចាប់តាំងពីការសាងសង់ឧទាហរណ៍មួយគឺជាការនិយាយជាទូទៅគឺពិបាកជាងការបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាព។ ក្នុងការបង្ហាញភស្តុតាងរបស់ Liouville ខាងក្រោម យើងគិតតែអ្នកអានដែលបានទទួលការបណ្តុះបណ្តាលប៉ុណ្ណោះ ទោះបីជាចំណេះដឹងនៃគណិតវិទ្យាបឋមគឺគ្រប់គ្រាន់ទាំងស្រុងដើម្បីយល់ពីភស្តុតាងក៏ដោយ។

ដូចដែល Liouville បានរកឃើញ លេខពិជគណិតមិនសមហេតុផលមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលពួកគេមិនអាចប៉ាន់ស្មានបានដោយលេខសនិទានជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃភាពត្រឹមត្រូវនោះទេ លុះត្រាតែភាគបែងនៃប្រភាគប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានគេយកធំខ្លាំង។

ឧបមាថាលេខ z បំពេញសមីការពិជគណិតជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ។ . . + មួយ xn = 0 (មួយ 6 = 0),

ប៉ុន្តែមិនបំពេញសមីការដឺក្រេទាបជាងដូចគ្នា។ បន្ទាប់មក

និយាយថា x ខ្លួនវាជាលេខពិជគណិតនៃដឺក្រេ n ។ ឧទាហរណ៍,

លេខ z = 2 គឺជាលេខពិជគណិតនៃដឺក្រេ 2 ចាប់តាំងពីវាបំពេញសមីការ x2 − 2 = 0√ នៃដឺក្រេ 2 ប៉ុន្តែមិនបំពេញសមីការដឺក្រេទីមួយទេ។ លេខ z = 3 2 គឺជាដឺក្រេទី 3 ព្រោះវាបំពេញសមីការ x3 − 2 = 0 ប៉ុន្តែមិន (ដូចដែលយើងនឹងបង្ហាញក្នុងជំពូកទី III) បំពេញសមីការនៃដឺក្រេទាបនោះទេ។ ចំនួនពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រ n > 1

មិន​អាច​ជា​សនិទានភាព​ទេ ព្រោះ​ចំនួន​សនិទានភាព z = p q ពេញចិត្ត

បំពេញសមីការ qx − p = 0 នៃដឺក្រេ 1 ។ ចំនួនមិនសមហេតុផលនីមួយៗ z អាចត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណជាមួយនឹងកម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវណាមួយដោយប្រើលេខសនិទាន។ នេះមានន័យថាអ្នកតែងតែអាចបញ្ជាក់លំដាប់នៃលេខសនិទាន

p1, p2, ។ . .

q 1 q 2

ជាមួយនឹងភាគបែងរីកលូតលាស់គ្មានដែនកំណត់ ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិ

នោះ។

p r → z ។ qr

ទ្រឹស្ដីរបស់ Liouville ចែងថា: អ្វីក៏ដោយលេខពិជគណិត z នៃសញ្ញាបត្រ n> 1 វាមិនអាចត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយសមហេតុផលទេ។

ភាគបែងធំគ្រប់គ្រាន់ វិសមភាព

z−p q			> q n1 +1 ។

ប្រព័ន្ធលេខគណិតវិទ្យា

យើងនឹងផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះ ប៉ុន្តែជាដំបូង យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើតលេខឆ្លងដែន។ ពិចារណាលេខ

z = a1 10−1 ! + a2 10−2! + a3 10−3! +. . . +ព្រឹក · 10-m! +. . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 ។ . . ,

ដែលជាកន្លែងដែល ai ឈរសម្រាប់លេខតាមអំពើចិត្តពី 1 ដល់ 9 (វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការកំណត់ ai ទាំងអស់ស្មើនឹង 1) ហើយនិមិត្តសញ្ញា n! ជាធម្មតា (មើលទំព័រ 36) តំណាងឱ្យ 1 · 2 · ។ . . ន. លក្ខណៈលក្ខណៈនៃការពង្រីកទសភាគនៃចំនួននេះគឺថាក្រុមនៃលេខសូន្យកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័សនៅក្នុងប្រវែងឆ្លាស់គ្នានៅក្នុងវាជាមួយនឹងខ្ទង់នីមួយៗក្រៅពីសូន្យ។ សម្គាល់ដោយ zm ប្រភាគទសភាគចុងក្រោយដែលទទួលបានដោយយកលក្ខខណ្ឌទាំងអស់រហូតដល់ព្រឹក · 10−m! នៅក្នុងការពង្រីក។ បញ្ចូល​គ្នា។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវិសមភាព

ឧបមាថា z នឹងជាលេខពិជគណិតនៃដឺក្រេ n ។ បន្ទាប់មកកំណត់ក្នុងវិសមភាព Liouville (3) p q = zm = 10 p m! យើងត្រូវតែមាន

|z - zm | > 10(n+1)m!

សម្រាប់តម្លៃធំគ្រប់គ្រាន់នៃ m ។ ការប្រៀបធៀបវិសមភាពចុងក្រោយជាមួយនឹងវិសមភាព (4) ផ្តល់ឱ្យ

10(n+1)m!		10(m+1)!			១០(ម+១)!−១

ពីណាមក (n + 1)m! > (ម+១)! - 1 សម្រាប់ទំហំធំល្មម។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាការពិតសម្រាប់តម្លៃនៃ m ធំជាង n (ទុកឱ្យអ្នកអានយកបញ្ហាដើម្បីផ្តល់ភស្តុតាងលម្អិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ) ។ យើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះលេខ z គឺវិចារណញាណ។

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Liouville ។ ឧបមាថា z គឺជាលេខពិជគណិតនៃដឺក្រេ n > 1 សមីការពេញចិត្ត (1) ដូច្នេះ

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + ។ . . + មួយ (zm n − zn) ។

បែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ zm − z និងប្រើរូបមន្តពិជគណិត

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + ។ . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

យើង​ទទួល​បាន:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2) + ។ . .
	zm−z
		អាន (zm n−1 + ... + zn−1) ។ (6)

លេខពិជគណិត និងលេខប្តូរ

ដោយសារ zm ទំនោរទៅ z ដូច្នេះសម្រាប់ m ធំគ្រប់គ្រាន់ ចំនួនសមហេតុផល zm នឹងខុសគ្នាពី z ដោយតិចជាងមួយ។ ដូច្នេះ​សម្រាប់​ទំហំ​ធំ​ល្មម យើង​អាច​ធ្វើ​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm−z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

លើសពីនេះទៅទៀតលេខ M នៅខាងស្តាំគឺថេរព្រោះ z មិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលភស្តុតាង។ ឥឡូវ​នេះ​យើង​ជ្រើស​រើស​ទំហំ​ធំ​ប៉ុណ្ណឹង

ប្រភាគ z m = p m មានភាគបែង q m ធំជាង M; បន្ទាប់មក qm

|z - zm | >	|f(zm)|			|f(zm)|

|f(zm)| =							- qn
							1 ទំ + ។ . . + ក
ចំនួនសនិទាន zm =			មិនអាចជាឫសគល់នៃសមីការបានទេ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វាអាចទាញយកកត្តា (x − zm) ពីពហុធា f(x) ហើយដូច្នេះ z នឹងបំពេញសមីការនៃដឺក្រេទាបជាង n ។ ដូច្នេះ f(zm ) 6= 0. ប៉ុន្តែភាគយកនៅខាងស្តាំនៃសមភាព (9) គឺជាចំនួនគត់ ហើយដូច្នេះ ក្នុងតំលៃដាច់ខាត វាយ៉ាងហោចណាស់ស្មើនឹងមួយ។ ដូច្នេះការប្រៀបធៀបនៃទំនាក់ទំនង (8) និង (9) បង្ហាញពីវិសមភាព

|z - zm | >
					qn+1

ដែលជាខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទដែលបានចង្អុលបង្ហាញយ៉ាងជាក់លាក់។

ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានទស្សវត្សកន្លងមកនេះ ការស្រាវជ្រាវលើលទ្ធភាពនៃការប៉ាន់ស្មានចំនួនពិជគណិតដោយអ្នកសនិទានភាពបានរីកចម្រើនទៅមុខបន្ថែមទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ គណិតវិទូន័រវេស A. Thue (1863–1922) បានបង្កើតឡើងថានៅក្នុងវិសមភាពរបស់ Liouville (3) និទស្សន្ត n + 1 អាចត្រូវបានជំនួសដោយនិទស្សន្តតូចជាង n 2 + 1 ។

K. L. Siegel បានបង្ហាញថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីយកសូម្បីតែតូចជាង (សូម្បីតែតូចជាង

សម្រាប់ធំ n) និទស្សន្ត 2 n ។

លេខឆ្លងដែនតែងតែជាប្រធានបទដែលទាក់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់គណិតវិទូ។ ប៉ុន្តែរហូតមកដល់ពេលថ្មីៗនេះ បើប្រៀបធៀបក្នុងចំណោមលេខដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៅក្នុងខ្លួនគេ មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថា តួអក្សរឆ្លងដែនអាចត្រូវបានបង្កើតឡើង។ (ការឆ្លងកាត់នៃចំនួន p ដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងជំពូកទី 3 បង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃការគូសរង្វង់ដោយបន្ទាត់ និងត្រីវិស័យ។ ) នៅក្នុងសុន្ទរកថារបស់គាត់នៅឯសមាជគណិតវិទូអន្តរជាតិប៉ារីសក្នុងឆ្នាំ 1900 លោក David Hilbert បានស្នើគណិតវិទ្យាសាមសិប

ពិជគណិតនៃសំណុំ

បញ្ហាដែលទទួលស្គាល់ថាជារូបមន្តសាមញ្ញ ខ្លះជាបឋម និងពេញនិយម ដែលមិនត្រឹមតែមិនអាចដោះស្រាយបាននោះទេ ថែមទាំងហាក់ដូចជាអាចដោះស្រាយបានតាមរយៈគណិតវិទ្យានៃសម័យនោះ។ "បញ្ហា Hilbert" ទាំងនេះមានឥទ្ធិពលរំញោចខ្លាំងពេញមួយរយៈពេលបន្តបន្ទាប់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា។ ស្ទើរតែទាំងអស់នៃពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយបន្តិចម្តង ៗ ហើយក្នុងករណីជាច្រើនដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពច្បាស់លាស់ក្នុងការអភិវឌ្ឍវិធីសាស្រ្តទូទៅនិងកាន់តែស៊ីជម្រៅ។ បញ្ហាមួយដែលហាក់ដូចជាអស់សង្ឃឹមគឺ

ភស្តុតាងដែលថាលេខ

គឺហួសហេតុ (ឬយ៉ាងហោចណាស់មិនសមហេតុផល)។ អស់​រយៈពេល​បី​ទសវត្សរ៍​មក​ហើយ​នោះ គ្មាន​សូម្បី​តែ​តម្រុយ​នៃ​វិធីសាស្ត្រ​បែប​នេះ​ចំពោះ​បញ្ហា​ពី​ភាគី​នរណា​ម្នាក់​ដែល​នឹង​បើក​សង្ឃឹម​សម្រាប់​ជោគជ័យ។ ទីបំផុត Siegel និងដោយឯករាជ្យពីគាត់ គណិតវិទូជនជាតិរុស្សី A. Gelfond បានរកឃើញវិធីសាស្រ្តថ្មីសម្រាប់បញ្ជាក់ពីភាពអស្ចារ្យនៃមនុស្សជាច្រើន។

លេខដែលសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យា។ ជាពិសេសវាត្រូវបានកំណត់

ការឆ្លងកាត់មិនត្រឹមតែលេខ Hilbert លេខ 2 2 ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានចំណាត់ថ្នាក់ទូលំទូលាយនៃលេខនៃទម្រង់ ab ដែល a គឺជាលេខពិជគណិតក្រៅពី 0 និង 1 ហើយ b គឺជាលេខពិជគណិតមិនសមហេតុផល។

ឧបសម្ព័ន្ធទៅជំពូកទី II

ពិជគណិតនៃសំណុំ

1. ទ្រឹស្តីទូទៅ។ គោលគំនិតនៃថ្នាក់ ឬការប្រមូល ឬសំណុំនៃវត្ថុ គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះបំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ សំណុំត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន (“គុណលក្ខណៈ”) A ដែលវត្ថុនីមួយៗដែលកំពុងពិចារណាត្រូវតែមាន ឬមិនមាន។ វត្ថុទាំងនោះដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិ A បង្កើតជាសំណុំ A. ដូច្នេះប្រសិនបើយើងពិចារណាចំនួនគត់ ហើយទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ A គឺ "ជាបឋម" នោះសំណុំដែលត្រូវគ្នា A មានលេខបឋមទាំងអស់ 2, 3, 5, 7, ។ . .

ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យានៃសំណុំកើតឡើងពីការពិតដែលថាសំណុំថ្មីអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីសំណុំដោយមានជំនួយពីប្រតិបត្តិការជាក់លាក់ (ដូចគ្នានឹងលេខថ្មីដែលទទួលបានពីលេខតាមរយៈប្រតិបត្តិការនៃការបូកនិងគុណ) ។ ការសិក្សាអំពីប្រតិបត្តិការលើសំណុំគឺជាប្រធានបទនៃ "កំណត់ពិជគណិត" ដែលមានច្រើនដូចគ្នាជាមួយពិជគណិតលេខធម្មតា ទោះបីជាតាមរបៀបខ្លះវាខុសគ្នាពីវាក៏ដោយ។ ការពិតដែលថាវិធីសាស្ត្រពិជគណិតអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះការសិក្សាវត្ថុដែលមិនមែនជាលេខ ដូចជាសំណុំ គឺជាឧទាហរណ៍។

ពិជគណិតនៃសំណុំ

បង្ហាញពីភាពទូទៅដ៏អស្ចារ្យនៃគំនិតនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។ ថ្មីៗនេះ វាបានក្លាយទៅជាច្បាស់ថាកំណត់ពិជគណិតបានបញ្ចេញពន្លឺថ្មីលើផ្នែកជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា ឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីរង្វាស់ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ វាក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរក្នុងការរៀបចំគំនិតគណិតវិទ្យាជាប្រព័ន្ធ និងបញ្ជាក់ពីការតភ្ជាប់ឡូជីខលរបស់ពួកគេ។

ក្នុង​អ្វី​ដែល​នៅ​ខាង​ក្រោម​នេះ ខ្ញុំ​នឹង​បញ្ជាក់​អំពី​សំណុំ​ថេរ​មួយ​ចំនួន​ដែល​ជា​ធម្មជាតិ​នៃ​ការ​ព្រងើយ​កន្តើយ ហើយ​ដែល​យើង​អាច​ហៅ​ថា​សំណុំ​សាកល (ឬ​សាកល​នៃ​ការ​វែកញែក) និង

A, B, C, ។ . . វានឹងមានសំណុំរងមួយចំនួននៃ I. ប្រសិនបើខ្ញុំជាបណ្តុំនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ នោះ A និយាយថា អាចបង្ហាញពីសំណុំនៃលេខគូទាំងអស់ B គឺជាសំណុំនៃលេខសេសទាំងអស់ C គឺជាសំណុំនៃលេខបឋមទាំងអស់ ល។ ប្រសិនបើខ្ញុំបង្ហាញពីការប្រមូលពិន្ទុទាំងអស់នៅលើយន្តហោះ នោះ A អាចជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងរង្វង់មួយចំនួន B - សំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងរង្វង់មួយផ្សេងទៀត។ល។ ” ក៏ដូចជាសំណុំ “ទទេ” ដែលមិនមានធាតុណាមួយឡើយ។ គោលដៅដែលបន្តដោយការបន្ថែមសិប្បនិម្មិតបែបនេះគឺដើម្បីរក្សាទីតាំងដែលសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗនៃ A មានធាតុជាក់លាក់មួយពី I ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ប្រសិនបើ A គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិដែលមានសុពលភាពជាសកល ដូចដែលបានលើកឧទាហរណ៍ (ក្នុងករណីលេខ) ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបំពេញសមភាពមិនសំខាន់ x = x នោះផ្នែករងដែលត្រូវគ្នានៃ I នឹងក្លាយជា I ខ្លួនវាផ្ទាល់ ព្រោះធាតុនីមួយៗមានទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ។ ម៉្យាងវិញទៀត ប្រសិនបើ A ជាប្រភេទនៃទ្រព្យសម្បត្តិផ្ទុយខាងក្នុង (ដូចជា x 6 = x) នោះសំណុំរងដែលត្រូវគ្នាមិនមានធាតុណាមួយទាល់តែសោះ វាគឺ "ទទេ" ហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។

យើងនិយាយថា សំណុំ A គឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ B ដោយនិយាយឱ្យខ្លី "A ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង B" ឬ "B មាន A" ប្រសិនបើមិនមានធាតុបែបនេះនៅក្នុងសំណុំ A នោះក៏នឹងមិនមាននៅក្នុងសំណុំ B ដែរ។ ទំនាក់ទំនងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសញ្ញាណ

A B ឬ B A ។

ឧទាហរណ៍ សំណុំ A នៃចំនួនគត់ដែលបែងចែកដោយ 10 គឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ B នៃចំនួនគត់ដែលបែងចែកដោយ 5 ព្រោះរាល់លេខដែលបែងចែកដោយ 10 ក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ។ ទំនាក់ទំនង A B មិនរាប់បញ្ចូលទំនាក់ទំនង B A ។ ប្រសិនបើ ហើយតាមវិធីណាក៏ដោយ បន្ទាប់មក

នេះមានន័យថាធាតុនីមួយៗនៃ A ក៏ជាធាតុនៃ B ហើយផ្ទុយមកវិញ ដូច្នេះសំណុំ A និង B មានធាតុដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។

ទំនាក់ទំនង A B រវាងសំណុំក្នុងការគោរពជាច្រើនប្រហាក់ប្រហែលនឹងទំនាក់ទំនង a 6 b រវាងលេខ។ ជាពិសេសយើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោម

ពិជគណិតនៃសំណុំ

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមនៃសមាមាត្រនេះ:

1) អេ។

2) ប្រសិនបើ A B និង B A បន្ទាប់មក A = B ។

3) ប្រសិនបើ A B និង B C នោះ A C ។

សម្រាប់ហេតុផលនេះទំនាក់ទំនង A B ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា "ទំនាក់ទំនងលំដាប់" ។ ភាពខុសគ្នាសំខាន់រវាងទំនាក់ទំនងដែលកំពុងពិចារណា និងទំនាក់ទំនង a 6 b រវាងលេខគឺថារវាងលេខណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ពិតប្រាកដ) a និង b យ៉ាងហោចណាស់ទំនាក់ទំនងមួយ 6 b ឬ b 6 a ត្រូវបានអនុវត្តជាចាំបាច់ខណៈពេលដែលសម្រាប់ ទំនាក់ទំនង A B រវាងសំណុំសេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាគឺមិនពិត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A ជាសំណុំដែលមានលេខ 1, 2, 3,

និង B គឺជាសំណុំដែលមានលេខ 2, 3, 4,

បន្ទាប់មក ទំនាក់ទំនង A B និងទំនាក់ទំនង B A មិនជាប់។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងនិយាយថា សំណុំរង A, B, C, ។ . . សំណុំដែលខ្ញុំត្រូវបាន "បញ្ជាដោយផ្នែក" ខណៈពេលដែលចំនួនពិត a, b, c, ។ . .

បង្កើតសំណុំ "លំដាប់ល្អ" ។

ចំណាំ ដោយវិធីនេះ ពីនិយមន័យនៃទំនាក់ទំនង A B វាធ្វើតាមថា អ្វីក៏ដោយ សំណុំរង A នៃសំណុំ I

ទ្រព្យសម្បត្តិ 4) ប្រហែលជាហាក់ដូចជាផ្ទុយស្រឡះបន្តិច ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកគិតអំពីវា នោះវាសមហេតុផលយ៉ាងតឹងរ៉ឹងទៅនឹងអត្ថន័យពិតប្រាកដនៃនិយមន័យនៃសញ្ញា។ ជាការពិត ទំនាក់ទំនង A នឹងត្រូវបានរំលោភបំពានតែប៉ុណ្ណោះ

វ ក្នុងករណីដែលសំណុំទទេមានធាតុដែលនឹងមិនមាននៅក្នុង A; ប៉ុន្តែដោយសារសំណុំទទេមិនមានធាតុអ្វីទាំងអស់ វាមិនអាចជាអ្វីក៏ដោយ A អាចជា។

ឥឡូវនេះ យើងកំណត់ប្រតិបត្តិការពីរលើសំណុំដែលមានលក្ខណៈជាលក្ខណៈពិជគណិតជាច្រើននៃការបូក និងគុណលេខ ទោះបីជានៅក្នុងខ្លឹមសារខាងក្នុងរបស់វា វាមានភាពខុសគ្នាទាំងស្រុងពីប្រតិបត្តិការនព្វន្ធទាំងនេះក៏ដោយ។ ទុក A និង B ជាឈុតពីរ។ សហជីព ឬ "ផលបូកឡូជីខល" នៃ A និង B ត្រូវបានយល់ថាជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំទាំងនោះដែលមាននៅក្នុង A ឬ

វ ខ (រួមទាំងធាតុទាំងនោះដែលមានទាំង A និង B) ។ សំណុំនេះត្រូវបានតំណាង A + B ។ 1 "ប្រសព្វ" ឬ "ផលិតផលឡូជីខល" នៃ A និង B ត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំដែលមានធាតុទាំងនោះដែលមានទាំង A និង B ។ សំណុំនេះត្រូវបានតំណាងឱ្យ AB.2

ក្នុងចំណោមលក្ខណៈសម្បត្តិពិជគណិតសំខាន់ៗនៃប្រតិបត្តិការ A + B និង AB យើងរាយបញ្ជីដូចខាងក្រោម។ អ្នកអាននឹងអាចផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពរបស់ពួកគេដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការដោយខ្លួនឯង៖

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC ។		A + (BC) = (A + B) (A + C) ។
	ទំនាក់ទំនង A B គឺស្មើនឹងទំនាក់ទំនងនីមួយៗនៃទំនាក់ទំនងទាំងពីរ

ការពិនិត្យមើលច្បាប់ទាំងអស់នេះគឺជាបញ្ហានៃតក្កវិជ្ជាបឋមបំផុត។ ឧទាហរណ៍ វិធាន ១០) ចែងថា សំណុំនៃធាតុដែលមាននៅក្នុង A ឬ A គឺគ្រាន់តែជាសំណុំ A ប៉ុណ្ណោះ។ វិធាន 12) ចែងថា សំណុំនៃធាតុទាំងនោះដែលមាននៅក្នុង A និងនៅពេលតែមួយមាននៅក្នុង B ឬនៅក្នុង C ស្របពេលជាមួយនឹងសំណុំនៃធាតុដែលមានក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុង A និង B ឬមានក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុង A ។ និង C ហេតុផលឡូជីខលដែលប្រើក្នុងភស្តុតាងនៃច្បាប់ប្រភេទនេះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើយើងយល់ព្រមតំណាងឱ្យសំណុំ A, B, C, ។ . . នៅក្នុងទម្រង់នៃតួរលេខមួយចំនួននៅលើយន្តហោះ ហើយយើងនឹងមានការប្រុងប្រយ័ត្នបំផុតមិនឱ្យខកខានលទ្ធភាពឡូជីខលដែលកើតឡើងនៅពេលវាមកដល់វត្តមាននៃធាតុទូទៅនៃសំណុំពីរ ឬផ្ទុយទៅវិញវត្តមាននៅក្នុងសំណុំនៃធាតុដែល មិនមាននៅក្នុងផ្សេងទៀត។

ពិជគណិតនៃសំណុំ

អ្នកអានពិតជាបានទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះការពិតដែលថាច្បាប់ 6), 7), 8), 9) និង 12) គឺដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងច្បាប់បំប្លែង សមាគម និងចែកចាយដ៏ល្បីនៃពិជគណិតធម្មតា។ វាកើតឡើងពីនេះដែលច្បាប់ទាំងអស់នៃពិជគណិតធម្មតាដែលធ្វើតាមពីច្បាប់ទាំងនេះក៏មានសុពលភាពនៅក្នុងពិជគណិតនៃសំណុំផងដែរ។ ផ្ទុយទៅវិញ ច្បាប់ 10), 11) និង 13) មិនមាន analogues នៅក្នុងពិជគណិតធម្មតាទេ ហើយពួកគេបានផ្តល់ឱ្យពិជគណិតនៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធសាមញ្ញជាង។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត binomial ក្នុងសំណុំពិជគណិតកាត់បន្ថយទៅជាសមភាពសាមញ្ញបំផុត។

(A + B)n = (A + B) · (A + B) ។ . . (A+B)=A+B,

ដែលអនុវត្តតាមច្បាប់ ១១). ច្បាប់ 14), 15) និង 17) និយាយថាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសំណុំនិង I ទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការនៃសហជីពនិងចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំគឺស្រដៀងទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខ 0 និង 1 ទាក់ទងនឹងប្រតិបត្តិការនៃប្រតិបត្តិការលេខ។ ការបូកនិងគុណ។ ប៉ុន្តែច្បាប់ 16) មិនមាន analogue នៅក្នុងពិជគណិតលេខទេ។

វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ប្រតិបត្តិការមួយបន្ថែមទៀតនៅក្នុងពិជគណិតនៃសំណុំ។ អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាសំណុំរងមួយចំនួននៃសំណុំសកល I. បន្ទាប់មកការបំពេញបន្ថែមនៃ A ក្នុង I គឺជាសំណុំនៃធាតុទាំងអស់នៃ I ដែលមិនមាននៅក្នុង A ។ សម្រាប់សំណុំនេះ យើងណែនាំសញ្ញាណ A0 ។ ដូច្នេះប្រសិនបើខ្ញុំជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ ហើយ A គឺជាសំណុំនៃលេខបឋមទាំងអស់នោះ A0 គឺជាសំណុំដែលមានលេខផ្សំទាំងអស់ និងលេខ 1។ ប្រតិបត្តិការផ្លាស់ប្តូរពី A ទៅ A0 ដែលមិនមាន analogue ក្នុងពិជគណិតធម្មតា មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

	A + A0 = ខ្ញុំ។		AA0 = ។
	0 = ខ្ញុំ។		I0 = ។

23) A 00 = A ។

24) ទំនាក់ទំនង A B គឺស្មើនឹងទំនាក់ទំនង B 0 A0 ។

25) (A + B)0 = A0 B0 ។ 26) (AB)0 = A0 + B0 ។

យើង​ទុក​ការ​ផ្ទៀងផ្ទាត់​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ទាំង​នេះ​ជូន​អ្នក​អាន​ម្ដង​ទៀត។

ច្បាប់ 1)–26) គូសបញ្ជាក់ពិជគណិតនៃសំណុំ។ ពួកគេមានទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃ "duality" ក្នុងន័យដូចខាងក្រោម:

ប្រសិនបើនៅក្នុងច្បាប់មួយ 1)–26) យើងជំនួសការដែលត្រូវគ្នា។

(នៅក្នុងការកើតឡើងរបស់ពួកគេនីមួយៗ) បន្ទាប់មកលទ្ធផលគឺជាថ្មីម្តងទៀតនៃច្បាប់ដូចគ្នានេះ។ ឧទាហរណ៍ ច្បាប់ 6) ចូលទៅក្នុងច្បាប់ 7), 12) - ចូលទៅក្នុង 13), 17) - ចូលទៅក្នុង 16) ។ "ទ្វេ" ទៅវា ដែលត្រូវបានទទួលពីទីមួយដោយមធ្យោបាយនៃការបំប្លែងនិមិត្តសញ្ញាដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ជាការពិតចាប់តាំងពីភស្តុតាង

ឆ. II ពិជគណិតនៃសំណុំ 139

នៃទ្រឹស្តីបទទីមួយមានការអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់ (នៅដំណាក់កាលផ្សេងៗនៃការវែកញែក) នៃច្បាប់មួយចំនួន 1-26) បន្ទាប់មកការអនុវត្តច្បាប់ "ពីរ" នៅដំណាក់កាលដែលត្រូវគ្នានឹងបង្កើតជាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ "ទ្វេ" ។ . (សម្រាប់ "ភាពស្រដៀងគ្នា" នៅក្នុងធរណីមាត្រ សូមមើលជំពូកទី IV ។ )

2. ការអនុវត្តតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់ច្បាប់នៃពិជគណិតនៃសំណុំគឺផ្អែកលើការវិភាគនៃអត្ថន័យឡូជីខលនៃទំនាក់ទំនង A B និងប្រតិបត្តិការ A + B, AB និង A0 ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបញ្ច្រាសដំណើរការនេះ ហើយពិចារណាច្បាប់ 1)–26) ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ "ពិជគណិតនៃតក្កវិជ្ជា" ។ ចូរយើងនិយាយឱ្យកាន់តែច្បាស់៖ ផ្នែកនៃតក្កវិជ្ជាដែលទាក់ទងនឹងសំណុំ ឬដែលសំខាន់ដូចគ្នា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវត្ថុដែលកំពុងពិចារណា អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធពិជគណិតផ្លូវការដោយផ្អែកលើច្បាប់ 1)–26)។ ឡូជីខល "សាកលតាមលក្ខខណ្ឌ" កំណត់សំណុំ I; ទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗរបស់ A កំណត់សំណុំ A ដែលមានវត្ថុទាំងនោះនៅក្នុង I ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនោះ។ ច្បាប់សម្រាប់ការបកប្រែវាក្យស័ព្ទតក្កវិជ្ជាធម្មតាទៅជាភាសាកំណត់គឺច្បាស់លាស់

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
"មិនមែន A ឬ B"			(A + B)0 ឬ ដែលដូចគ្នា A0 B0
"វាមិនពិតទេ ទាំង A និង B"			(AB)0 ឬ ដែលដូចគ្នា A0 + B0
គឺ B", ឬ
"ប្រសិនបើ A នោះ B"
"ពី A តាម B"
"A ខ្លះគឺ B"
"គ្មាន A គឺ B"			AB =
"A ខ្លះមិនមែន B"			AB0 6=
"អត់មាន A"

នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសំណុំពិជគណិត សទ្ទានុក្រម "Barbara" ដែលមានន័យថា "ប្រសិនបើ A នីមួយៗជា B ហើយរាល់ B គឺជា C នោះរាល់ A គឺជា C" មានទម្រង់សាមញ្ញមួយ:

៣) ប្រសិនបើ A B និង B C នោះ A C ។

ដូចគ្នានេះដែរ "ច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា" ដែលចែងថា "វត្ថុមិនអាចក្នុងពេលដំណាលគ្នានិងមិនមានទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួន" ត្រូវបានសរសេរជា:

20) AA 0 = ,

ក "ច្បាប់នៃកណ្តាលដែលមិនរាប់បញ្ចូល" ដែលនិយាយថា "វត្ថុត្រូវតែមានឬមិនមានទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួន" ត្រូវបានសរសេរ:

19) A + A 0 = I ។

ពិជគណិតនៃសំណុំ

ដូច្នេះ ផ្នែក​នៃ​តក្កវិជ្ជា​ដែល​អាច​បង្ហាញ​បាន​ក្នុង​ន័យ​នៃ​និមិត្តសញ្ញា +, · និង 0 អាច​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ជា​ប្រព័ន្ធ​ពិជគណិត​ផ្លូវការ​ដែល​ជា​កម្មវត្ថុ​នៃ​ច្បាប់ 1)–26)។ ដោយផ្អែកលើការរួមបញ្ចូលគ្នានៃការវិភាគឡូជីខលនៃគណិតវិទ្យានិងការវិភាគគណិតវិទ្យានៃតក្កវិជ្ជាវិន័យថ្មីមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង - តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលបច្ចុប្បន្នកំពុងស្ថិតក្នុងដំណើរការនៃការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័ស។

តាមទស្សនៈ axiomatic ការពិតគួរឱ្យកត់សម្គាល់ដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1)–26) រួមជាមួយនឹងទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃពិជគណិតកំណត់ អាចត្រូវបានគណនាដោយសមហេតុផលពីសមភាពបីដូចខាងក្រោមៈ

២៧) A+B=B+A,

(A+B)+C=A+(B+C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A ។

វាធ្វើតាមថាពិជគណិតនៃសំណុំអាចត្រូវបានសាងសង់ជាទ្រឹស្តីដកសុទ្ធដូចជាធរណីមាត្រ Euclidean ដោយឈរលើមូលដ្ឋាននៃសំណើទាំងបីនេះដែលបានយកជា axioms ។ ប្រសិនបើ axioms ទាំងនេះត្រូវបានទទួលយក នោះប្រតិបត្តិការ AB និងទំនាក់ទំនង A B ត្រូវបានកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ A + B និង A0 :

	តំណាងឱ្យសំណុំ (A0 + B0 )0 ,
	B មានន័យថា A + B = B ។

ឧទាហរណ៍ខុសគ្នាទាំងស្រុងនៃប្រព័ន្ធគណិតវិទ្យាដែលច្បាប់ផ្លូវការទាំងអស់នៃពិជគណិតនៃសំណុំត្រូវបានពេញចិត្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រព័ន្ធនៃលេខប្រាំបី 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: នៅទីនេះ a + b តំណាងឱ្យ , ដោយ

តាមនិយមន័យ ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃ a និង b, ab គឺជាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃ a និង b, a b គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "b ត្រូវបានបែងចែកដោយ a" ហើយ a0 គឺជាលេខ 30 a ។ ស៊ូ-

អត្ថិភាពនៃឧទាហរណ៍បែបនេះបាននាំឱ្យមានការសិក្សាអំពីប្រព័ន្ធពិជគណិតទូទៅដែលពេញចិត្តនឹងច្បាប់ 27) ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា "Boolean algebras" បន្ទាប់ពី George Boole (1815-1864) ដែលជាគណិតវិទូអង់គ្លេស និងតក្កវិជ្ជា ដែលសៀវភៅការស៊ើបអង្កេតនៃច្បាប់នៃការគិតបានបង្ហាញខ្លួននៅឆ្នាំ 1854 ។

3. កម្មវិធីមួយក្នុងចំណោមកម្មវិធីសម្រាប់ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ កំណត់ពិជគណិតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលវានៅក្នុងពន្លឺថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត៖ ស្រមៃមើលការពិសោធន៍ជាមួយនឹងចំនួនកំណត់នៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមាន ដែលទាំងអស់នេះត្រូវបានគេគិតថា "អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា" ។ ជាឧទាហរណ៍ ការពិសោធន៍មួយអាចមាននៅក្នុងការគូរសន្លឹកបៀដោយចៃដន្យពីបន្ទះពេញដែលបានសាប់យ៉ាងល្អ។ ប្រសិនបើយើងសម្គាល់សំណុំនៃលទ្ធផលទាំងអស់នៃការពិសោធន៍ដោយ I ហើយ A បង្ហាញពីសំណុំរងមួយចំនួននៃ I នោះប្រូបាប៊ីលីតេដែលលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍នឹងស្ថិតនៅក្នុងសំណុំរង A ត្រូវបានកំណត់ជាសមាមាត្រ

p(A) = ចំនួនធាតុនៃ A ។ ចំនួនធាតុ I

ពិជគណិតនៃសំណុំ

ប្រសិនបើយើងយល់ព្រមបង្ហាញពីចំនួនធាតុនៅក្នុងសំណុំ A ដោយ n(A) នោះសមភាពចុងក្រោយអាចត្រូវបានផ្តល់ទម្រង់

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ដោយសន្មតថា A គឺជាក្រុមរងនៃក្លឹប យើងទទួលបាន
n(A) = 13, n(I) = 52 និង p(A) =

គំនិតនៃពិជគណិតនៃសំណុំត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដោយដឹងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃសំណុំមួយចំនួនដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេរបស់អ្នកដទៃ។ ឧទាហរណ៍ ដោយផ្តល់ប្រូបាប៊ីលីតេ p(A) p(B) និង p(AB) យើងអាចគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ p(A+B)៖

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB) ។

វានឹងមិនពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់រឿងនេះទេ។ យើង​មាន

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

ចាប់តាំងពីធាតុដែលមានក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុង A និង B ពោលគឺ ធាតុនៃ AB ត្រូវបានរាប់ពីរដងនៅពេលគណនាផលបូក n(A) + n(B) ហើយដូច្នេះ អ្នកត្រូវដក n(AB) ចេញពីផលបូកនេះនៅក្នុង ដើម្បីគណនា n (A + B) ត្រូវបានផលិតយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ បន្ទាប់មកបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយ n (I) យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង (2) ។

រូបមន្តដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បន្ថែមទៀតគឺត្រូវបានទទួលប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីបីសំណុំ A, B, C ពី I ។ ដោយប្រើទំនាក់ទំនង (2) យើងមាន

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C] ។

ច្បាប់ (12) ពីកថាខណ្ឌមុនផ្តល់ឱ្យយើង (A + B) C = AC + BC ។ នេះបង្កប់ន័យ៖

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC)។

ការជំនួសតម្លៃ p[(A+B)C] និងតម្លៃ p(A+B) ដែលយកពី (2) ទៅក្នុងទំនាក់ទំនងដែលទទួលបានមុននោះ យើងមកដល់រូបមន្តដែលយើងត្រូវការ៖

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC)។ (3)

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាការពិសោធន៍ខាងក្រោម។ លេខបី 1, 2, 3 ត្រូវបានសរសេរតាមលំដាប់ណាមួយ។ តើ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​យ៉ាងហោចណាស់​មួយ​ខ្ទង់​នឹង​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​កន្លែង​ត្រឹមត្រូវ (​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​លេខ​រៀង​)? អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាសំណុំនៃការបំប្លែងដែលលេខ 1 ស្ថិតនៅកន្លែងដំបូង B គឺជាសំណុំនៃការបំប្លែងដែលលេខ 2 ស្ថិតនៅកន្លែងទីពីរ C គឺជាសំណុំនៃការផ្លាស់ប្តូរដែលលេខ 3 ស្ថិតនៅទីបី។ កន្លែង។ យើងត្រូវគណនា p(A+B+C)។ វាច្បាស់ណាស់។

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើខ្ទង់ណាមួយស្ថិតក្នុងទីតាំងត្រឹមត្រូវ នោះមានលទ្ធភាពពីរក្នុងការរៀបចំឡើងវិញនូវចំនួនពីរខ្ទង់ដែលនៅសល់ពីចំនួនសរុប 3 · 2 · 1 = 6 ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៃចំនួនបីខ្ទង់។ បន្ថែមទៀត

លំហាត់ប្រាណ។ ទាញយករូបមន្តសមរម្យសម្រាប់ p(A + B + C + D) ហើយអនុវត្តវាទៅការពិសោធន៍ដែលនឹងរួមបញ្ចូល 4 ខ្ទង់។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាគឺ 5 8 = 0.6250 ។

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់សហជីពនៃសំណុំ n គឺ

p(A1 + A2 + ... + អាន) =
	ភី (អាយ) −
			p(Ai Aj) + p(Ai Aj Ak) − . . . ± p(A1 A2 ... An ), (4)
កន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញា				កំណត់ការបូកសរុបដែលអាចធ្វើទៅបាន

បន្សំដែលមានមួយ, ពីរ, បី, . . . , (n − 1) អក្សរពី A1 , A2 , ។ . .

មួយ រូបមន្ត​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា​ដូច​គ្នា​នឹង​រូបមន្ត (3) ដែល​បាន​មក​ពី​រូបមន្ត (2) ។

ពីរូបមន្ត (4) យើងអាចសន្និដ្ឋានថាប្រសិនបើលេខ n គឺ 1, 2, 3, ។ . . , n ត្រូវបានសរសេរតាមលំដាប់ណាមួយ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយនឹងស្ថិតនៅកន្លែងត្រឹមត្រូវគឺស្មើនឹង

pn = ១

ដែលពាក្យចុងក្រោយត្រូវនាំមុខដោយសញ្ញា + ឬ − អាស្រ័យលើថាតើ n ជាគូ ឬសេស។ ជាពិសេសសម្រាប់ n = 5 ប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺស្មើនឹង

p5 = 1 − 2 ! + ៣! – ៤! +5! = 30 = 0.6333 ។ . .

នៅក្នុងជំពូកទី VIII យើងនឹងឃើញថានៅពេលដែល n ទៅកាន់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ កន្សោម

1 1 1 1 Sn = 2 ! – ៣! +៤! − . . ±n!

ទំនោរទៅដែនកំណត់ 1 e ដែលជាតម្លៃដែលមានខ្ទង់ទសភាគប្រាំ

ស្មើនឹង 0.36788 ។ ដោយសារវាច្បាស់ពីរូបមន្ត (5) ថា pn = 1 − Sn វាធ្វើតាមពីនេះថា n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0.63212 ។