យោងទៅសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមូលដ្ឋាននៃលំយោល យើងនឹងសម្គាល់ឃើញថា នៅពេលយើងគុណពួកវាដោយ - = k 2 ពួកវានឹងមានពាក្យ ដែលមួយមានមេគុណមួយការ៉េជាមួយនឹងល្បឿន។ និងរំញ័រឆ្លងកាត់, ផ្សេងទៀត - ការ៉េនៃល្បឿន បណ្តោយ ភាពប្រែប្រួល។

ពាក្យទីមួយនៅក្នុងករណីនៃការយោលបណ្តោយត្រូវតែបាត់ពីសមីការ ហើយយើងទទួលបានក្រុមទីមួយ៖

ដោយសារផ្ទៃ p គឺតាមជម្រើសរបស់យើង ផ្ទៃនៃរលក ក្នុងសមីការនៃ§ 7 យើងត្រូវតែរក្សាលំយោលមួយ រនិងស្មើសូន្យយោល/?! និង R.2,កើតឡើងនៅក្នុងយន្តហោះតង់សង់ទៅរលក។ ជាលទ្ធផលយើងរកឃើញការកំណត់ // = 1:

ចាប់តាំងពី A = 0 បន្ទាប់មកសមីការ (1) នឹងយកទម្រង់៖

ការគុណដំបូងនៃសមីការ (2) ដោយ //i // 2 ភាពខុសគ្នាទាក់ទងនឹង p និងយកចិត្តទុកដាក់លើសមីការ (4) យើងរកឃើញ:

អ្វីយោងតាមសមីការ (2) B មិនអាស្រ័យលើ px ឬ [–] ទេ។ ដូច្នេះមានន័យថាតាមរយៈ &Fដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារ ចមួយនៃអថេរ ^, រ. ២ យើងទទួលបានពីសមីការ (៧)៖

ការជំនួសនៅក្នុងកន្សោមនេះបរិមាណ ហ ១ហ ២បានរកឃើញនៅក្នុង p.p. 3 ស្មើសូន្យមេគុណនៅដឺក្រេផ្សេងៗ យើងរកឃើញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម ដែលត្រូវតែពេញចិត្តដោយរលក Ф - i

ស្គាល់​វាដែលទំនាក់ទំនងបែបនេះមានតែសម្រាប់ រាងស្វ៊ែរ ស៊ីឡាំងមូល និងយន្តហោះ។

ដូច្នេះហើយ យើងមានអ្វី ផ្ទៃ​រលក​កម្ដៅ​អាច​សាយភាយ​រំញ័រ​តាម​បណ្តោយ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើផ្ទៃរញ្ជួយ ឬរលកដំបូងមិនមែនជារបស់ផ្ទៃនៃរលក isothermal នោះនៅជិតយោលរបស់វាកើតឡើង។ លាយ ប៉ុន្តែនៅចម្ងាយដ៏ច្រើនសន្ធឹកសន្ធាប់ រលកចូលទៅជិតទម្រង់នៃរលកអ៊ីសូម៉ាម ហើយការប្រែប្រួលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបាតុភូត បណ្តោយ។ ឈប់!!!

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលកាត់បន្ថយសម្រាប់ស្វ៊ែរ ដោយមាន ការប្រើប្រាស់ មុខងារអាម៉ូនិក!!!

ការពិសោធន៍របស់ក្រុមហ៊ុន Tesla – អាម៉ូនិកលំយោល - មិនអាចទទួលយកបាន!!!

សម្រាប់ ស្វ៊ែរនៅក្នុងកូអរដោនេដែលយើងបានប្រើរួចហើយ យើងមាន៖

ការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀតគឺមិនសំខាន់ទេ ហើយមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ ព្រោះវានាំទៅដល់ សមីការដើម ដែលមិនមានអត្ថន័យជាក់ស្តែងសម្រាប់រលកដូចសូលីតុន។

ការសន្និដ្ឋានដែលបានរកឃើញគឺអាចអនុវត្តបានស្មើៗគ្នាចំពោះបាតុភូតនៃពន្លឺនៅក្នុងអង្គធាតុដូចគ្នា ហើយលើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុងដែនកំណត់នៃការប្រហាក់ប្រហែលដែលកើតឡើងនៅក្នុងទ្រឹស្តីរបស់ Boussinesq!?

ពី​ទីនេះ:"ពេលឈឺចាប់"បានបង្ហាញ។

N. Umov mathematical collection, vol. 5, 1870 ។

ភាពមិនប្រាកដប្រជា "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" មួយទៀត

ការជជែកវែកញែកស្រដៀងគ្នា វានឹងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានកន្សោមស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ថាមពលម៉ាញេទិក ហើយជាលទ្ធផលសម្រាប់ចរន្ត។ យើង​ឃើញ​ថា សូម្បីតែការទទូចលើរូបមន្តសាមញ្ញបំផុតក៏ដោយ ក៏បញ្ហានៃការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មថាមពលនៅតែមិនអាចដោះស្រាយបាន។.

ហើយយើងមានដូចគ្នាសម្រាប់លំហូរនៃថាមពល។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបំប្លែងចលនានៃថាមពលបច្ចុប្បន្នតាមរបៀបបំពានដោយបន្ថែមវ៉ិចទ័រមួយទៀត (u, v, w) ទៅវ៉ិចទ័រ Poynting ដែលត្រូវតែបំពេញតែសមីការនៃវត្ថុរាវដែលមិនអាចបង្ហាប់បាន។

ក្នុងនាមជាផលវិបាកនៃសមីការទូទៅ វាមិនបន្ថែមអ្វីដល់ពួកគេទេ។

ដូច្នេះការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មនៃថាមពលគឺគ្មានប្រយោជន៍ទេ។(ហើយជួនកាលមានគ្រោះថ្នាក់) ។

ប៉ុន្តែមានទិដ្ឋភាពមួយដែលវាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណាទ្រឹស្តីបទរបស់ Poynting ។

ការពិតចម្បងដែលច្បាប់នៃការអភិរក្សថាមពលកើតឡើង និងនៅតែជាការពិតដែលបានរកឃើញដោយពិសោធន៍នៃភាពមិនអាចទៅរួច ចលនាជារៀងរហូត ការពិតមួយ - ដោយមិនគិតពីគំនិតរបស់យើង ហើយអាចត្រូវបានសន្មតថាជាផ្នែកនៃថាមពលដែលអេធើរគួរតែមាននៅក្នុងអវត្តមាននៃរូបធាតុ។

ច្បាប់នៃការអភិរក្សថាមពលនៅក្នុងទម្រង់បុរាណរបស់វា។ វ = Constពន្យល់ពីភាពមិនអាចទៅរួចនេះ។

ទ្រឹស្តីបទចង្អុលទាមទារសមត្ថភាពក្នុងការបំប្លែង អាំងតេក្រាលបរិមាណ(ដោយបំពានបន្តិច) ក្នុង ផ្ទៃ,បង្ហាញតិចជាងច្រើន។ វាងាយស្រួលទទួលស្គាល់ការបង្កើតចលនាអចិន្រ្តៃយ៍ដោយមិនអាចបង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួចរបស់វា។!

ជាការពិតរហូតដល់យើងណែនាំសម្មតិកម្ម សក្តានុពលពន្យាពេលការបញ្ចេញថាមពលឥតឈប់ឈរពីរលកបំប្លែងដែលមកពីភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៅតែហាក់ដូចជាការបាត់បង់ថាមពលជាក់ស្តែង។

ប្រសិនបើ​ម៉ាស៊ីន​អាច​យក​តែ​ថាមពល​របស់​អេធើរ​ជា​រៀង​រហូត ដោយមិន​គិតពី​វត្តមាន​នៃ​រូបធាតុ​នោះ​ទេ នោះ​អាច​មាន ចលនាជារៀងរហូត . ដូច្នេះ វាច្បាស់ណាស់ថា មុននឹងទទួលយករូបមន្តសម្រាប់សក្តានុពលពន្យារ យើងត្រូវបង្ហាញថា ភាគល្អិតដែលបានពន្លឿនបាត់បង់ថាមពល ហើយជាលទ្ធផល វាត្រូវបានទទួលរងនូវការប្រឆាំងសមាមាត្រទៅនឹងដេរីវេនៃការបង្កើនល្បឿនរបស់វា។

គ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា គ ដើម្បីទៅដល់សម្មតិកម្មនៃរលកបំប្លែង។

បន្ទាប់មកយើងនឹងរកឃើញអ្វីជាសញ្ញា វ៉ិចទ័រវិទ្យុសកម្មក៏នឹងផ្លាស់ប្តូរដែរ ហើយសម្មតិកម្មថ្មីនឹងនាំឱ្យនិយាយថា ក្នុងករណីនៃភាគល្អិតរំញ័រ ទៅជាការកើនឡើងបន្តិចម្តងៗនៃទំហំតាមពេលវេលា ប៉ុន្តែជាទូទៅ - ដើម្បីបង្កើនថាមពលនៃប្រព័ន្ធ?

នៅក្នុងធម្មជាតិ សូលីតុនគឺ៖

- នៅលើផ្ទៃនៃអង្គធាតុរាវ សូលីតុនដំបូងគេដែលរកឃើញក្នុងធម្មជាតិ ជួនកាលត្រូវបានចាត់ទុកថាជារលកយក្សស៊ូណាមិ។

- ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃញញួរទឹក។

- ស្គរ sonic - យកឈ្នះ "អស្ចារ្យ"

- សូលីតុងអ៊ីយ៉ូណូសូនិក និងម៉ាញ៉េតូសូនិកនៅក្នុងប្លាស្មា

គឺជាសូលីតុនក្នុងទម្រង់ជាពន្លឺខ្លីនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកឡាស៊ែរសកម្ម

- សន្មតឧទាហរណ៍នៃសូលីតុនគឺឆកោនយក្សនៅលើភពសៅរ៍

- អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ជា​ទម្រង់​នៃ​ការ​ជំរុញ​សរសៃប្រសាទ​សូលីតុង​, .

គំរូគណិតវិទ្យា សមីការ Korteweg-de Vries ។

គំរូមួយក្នុងចំណោមគំរូសាមញ្ញបំផុត និងល្បីបំផុតដែលអនុញ្ញាតឱ្យមានអត្ថិភាពនៃសូលីតុននៅក្នុងដំណោះស្រាយគឺសមីការ Korteweg-de Vries៖

អ្នក t + យូ x + β អ្នក xxx = 0.

ដំណោះស្រាយមួយដែលអាចធ្វើទៅបានចំពោះសមីការនេះគឺ ទោលទោល:

ប៉ុន្តែនៅទីនេះផងដែរ។ លំយោលគឺជាមុខងារអាម៉ូនិកដែល r, ស,α, យូគឺជាអថេរមួយចំនួន។

ទ្រឹស្តីបទមិនច្បាស់លាស់ក្នុងការវិភាគអាម៉ូនិក

លំយោលអាម៉ូនិក នៅក្នុង quantum mechanics វាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ Schrödinger,

(217.5)

សមីការ (217.5) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Schrödinger សម្រាប់រដ្ឋស្ថានី។

ស្ថានភាពស្ថានីនៃលំយោល quantum ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ Schrödingerប្រភេទ

(222.2)

កន្លែងណា អ៊ី គឺជាថាមពលសរុបរបស់លំយោល។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល វាត្រូវបានបង្ហាញថាសមីការ (222.2) ត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់តែ eigenvalues ​​ថាមពលប៉ុណ្ណោះ។

(222.3)

រូបមន្ត (222.3) បង្ហាញថាថាមពលរបស់ quantum oscillator ត្រូវ​បាន​កំណត់​បរិមាណ។

ថាមពលត្រូវបានចងពីខាងក្រោមក្រៅពីសូន្យ ដូចជាសម្រាប់រាងចតុកោណ "រណ្តៅ"ជាមួយនឹង "ជញ្ជាំង" ខ្ពស់គ្មានកំណត់ (សូមមើល M. § 220) តម្លៃថាមពលអប្បបរមា

អ៊ី 0 = 1/2 ℏ វ 0 . អត្ថិភាពនៃថាមពលអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ថាមពលសូន្យ- គឺជាតួយ៉ាងសម្រាប់ប្រព័ន្ធ quantum និងជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃ ទំនាក់ទំនងមិនច្បាស់លាស់។

IN ការវិភាគអាម៉ូនិកគោលការណ៍នៃភាពមិនច្បាស់លាស់មានន័យថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលបានតម្លៃនៃមុខងារមួយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ និងការគូសផែនទី Fourier របស់វា - ហើយដូច្នេះធ្វើការគណនាត្រឹមត្រូវ។.

នោះគឺ ការធ្វើគំរូ ការបង្កើត និងភាពស្រដៀងគ្នាក្នុងការអនុលោមតាមគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នានៃដំណើរការ និងទម្រង់នៅក្នុងធម្មជាតិ ដោយប្រើ លំយោលអាម៉ូនិក – មិនអាច​ទៅរួច។

ប្រភេទផ្សេងគ្នា គណិតវិទ្យាសូលីតុនតិចតួចត្រូវបានគេស្គាល់រហូតមកដល់ពេលនេះ ហើយពួកវាទាំងអស់មិនសមរម្យសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុនៅក្នុង បីវិមាត្រលំហ ជាពិសេសដំណើរការដែលកើតឡើងនៅក្នុង ធម្មជាតិ។

ឧទាហរណ៍, solitons ធម្មតា។ដែលកើតឡើងនៅក្នុងសមីការ Korteweg–de Vries ត្រូវបានធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មក្នុងវិមាត្រតែមួយ ប្រសិនបើ "រត់"នៅក្នុងពិភពបីវិមាត្រ បន្ទាប់មកវានឹងមើលទៅដូច ភ្នាសរាបស្មើគ្មានទីបញ្ចប់ហោះហើរទៅមុខយកទៅដាក់ abracadabra តិចៗ!!!

នៅក្នុងធម្មជាតិភ្នាសគ្មានកំណត់បែបនេះមិនត្រូវបានគេសង្កេតឃើញទេដែលមានន័យថា សមីការដើមមិនស័ក្តិសមសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុបីវិមាត្រ។

នេះគឺជាកន្លែងដែលកំហុសនៃការណែនាំមុខងារអាម៉ូនិកស្ថិតនៅ។ - oscillators, ការតភ្ជាប់នៅក្នុងករណីនៃការយោលចម្រុះ។ច្បាប់នៃភាពស្រដៀងគ្នាដែលបានភ្ជាប់, , ប៉ុន្តែនោះជារឿងមួយទៀត ដែលនឹងដឹកនាំ ទ្រឹស្តីនៃសូលីតុនពី ជាប្រព័ន្ធ ភាពមិនប្រាកដប្រជា, .

លំយោលដោយឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ

លក្ខណៈពិសេសចម្បងនៃដំណើរការនៃលំយោលដោយសេរីនៃប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពគ្មានកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៃចំនួនប្រេកង់ធម្មជាតិ និងរបៀបនៃការយោល។ នេះក៏ទាក់ទងទៅនឹងលក្ខណៈពិសេសនៃធម្មជាតិគណិតវិទ្យាផងដែរ៖ ជំនួសឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាដែលពិពណ៌នាអំពីលំយោលនៃប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនកំណត់នៃដឺក្រេនៃសេរីភាព នៅទីនេះអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក។ បន្ថែមពីលើលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលកំណត់ការផ្លាស់ទីលំនៅនិងល្បឿនដំបូងវាចាំបាច់ត្រូវគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលកំណត់លក្ខណៈនៃការជួសជុលប្រព័ន្ធ។

៦.១. រំញ័របណ្តោយនៃកំណាត់

នៅពេលវិភាគរំញ័របណ្តោយនៃដំបង rectilinear (រូបភាព 67, ក) យើងនឹងសន្មត់ថាផ្នែកឈើឆ្កាងនៅតែសំប៉ែត ហើយថាភាគល្អិតរបស់ដំបងមិនធ្វើចលនាឆ្លងកាត់ទេ ប៉ុន្តែផ្លាស់ទីតែក្នុងទិសបណ្តោយប៉ុណ្ណោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ យូ - ការផ្លាស់ទីលំនៅបណ្តោយនៃផ្នែកបច្ចុប្បន្ននៃដំបងកំឡុងពេលរំញ័រ; ការផ្លាស់ទីលំនៅនេះអាស្រ័យលើទីតាំងនៃផ្នែក (កូអរដោនេ x) និងទាន់ពេលវេលា t ។ ដូច្នេះមានមុខងារនៃអថេរពីរ; និយមន័យរបស់វាគឺភារកិច្ចចម្បង។ ចលនានៃផ្នែកជិតស្និទ្ធគ្មានដែនកំណត់គឺស្មើគ្នា ដូច្នេះការពន្លូតដាច់ខាតនៃធាតុតូចគ្មានកំណត់គឺ (រូបភាព 67, ខ) ហើយការពន្លូតដែលទាក់ទងរបស់វាគឺ .

ដូច្នោះហើយកម្លាំងបណ្តោយនៅក្នុងផ្នែកដែលមានកូអរដោនេ Xអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់

,(173)

តើភាពតឹងតែង (បង្ហាប់) នៃដំបងនៅឯណា។ កម្លាំង N ក៏ជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ពីរផងដែរ - កូអរដោនេ Xនិងពេលវេលា t ។

ពិចារណាធាតុដំបងដែលស្ថិតនៅចន្លោះផ្នែកបិទជិតពីរ (រូបភាព 67, គ)។ កម្លាំង N ត្រូវបានអនុវត្តទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃធាតុ ហើយកម្លាំងមួយត្រូវបានអនុវត្តទៅផ្នែកខាងស្តាំ។ ប្រសិនបើតំណាងដោយដង់ស៊ីតេនៃសម្ភារៈនៃដំបងនោះម៉ាស់នៃធាតុដែលកំពុងពិចារណាគឺ . ដូច្នេះសមីការនៃចលនានៅក្នុងការព្យាករលើអ័ក្ស X

,

ពិចារណា (១៧៣) និងសន្មត ក= const យើងទទួលបាន

តាមវិធីសាស្ត្រ Fourier យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (175) ក្នុងទម្រង់

,(177)

ទាំងនោះ។ ចូរសន្មតថាមានចលនា យូអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះអាស្រ័យតែលើអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះ។ Xនិងមួយទៀតមកពីអាគុយម៉ង់ t ។ បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យការកំណត់មុខងារនៃអថេរពីរ u (x , t) វាចាំបាច់ត្រូវកំណត់មុខងារពីរ X(x) និង T(t) ដែលនីមួយៗអាស្រ័យលើអថេរតែមួយ។

ការជំនួស (177) ទៅជា (174) យើងទទួលបាន

ដែលជាកន្លែងដែល primes បង្ហាញពីប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នាទាក់ទងនឹង xនិងចំណុចនៅលើ t. ចូរយើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញ៖

នៅទីនេះផ្នែកខាងឆ្វេងអាស្រ័យតែលើ x ហើយផ្នែកខាងស្តាំអាស្រ័យតែលើ t ។ សម្រាប់ការបំពេញដូចគ្នានៃសមភាពនេះ (សម្រាប់ណាមួយ។ xនិង t) វាចាំបាច់ដែលផ្នែកនីមួយៗរបស់វាស្មើនឹងចំនួនថេរ ដែលយើងសម្គាល់ដោយ៖

; .(178)

សមីការពីរតាមពីនេះ៖

;.(179)

សមីការទីមួយមានដំណោះស្រាយ៖

,(180)

បង្ហាញពីតួអក្សរលំយោល ហើយពី (180) វាច្បាស់ណាស់ថាបរិមាណដែលមិនស្គាល់មានអត្ថន័យនៃភាពញឹកញាប់នៃការយោលដោយសេរី។

សមីការទីពីរ (១៧៩) មានដំណោះស្រាយ៖

,(181)

កំណត់ទម្រង់នៃការរំញ័រ។

សមីការប្រេកង់ដែលកំណត់តម្លៃនៃ , ត្រូវបានចងក្រងដោយប្រើលក្ខខណ្ឌព្រំដែន។ សមីការ​នេះ​គឺ​តែង​តែ​ឆ្លង​កាត់ និង​មាន​ចំនួន​ឫស​មិន​ចេះ​ចប់។ ដូច្នេះចំនួននៃប្រេកង់ eigen គឺគ្មានកំណត់ ហើយតម្លៃប្រេកង់នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងមុខងាររបស់វាផ្ទាល់ T n (t) ដែលកំណត់ដោយការពឹងផ្អែក (180) និងមុខងាររបស់វាផ្ទាល់ Xn (x) ដែលកំណត់ដោយការពឹងផ្អែក (181) ។ ដំណោះស្រាយ (177) គ្រាន់តែជាផ្នែកមួយប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនផ្តល់ការពិពណ៌នាពេញលេញនៃចលនានោះទេ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញត្រូវបានទទួលដោយការបញ្ចូលដំណោះស្រាយពិសេសទាំងអស់៖

.

មុខងារ X n (x) ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារផ្ទាល់ខ្លួនភារកិច្ច និងពិពណ៌នាអំពីរបៀបនៃការយោលផ្ទាល់របស់ពួកគេ។ ពួកគេមិនអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូង និងបំពេញលក្ខខណ្ឌ orthogonality ដែលសម្រាប់ A=const មានទម្រង់

, ប្រសិនបើ .

តោះពិចារណាវ៉ារ្យ៉ង់មួយចំនួននៃលក្ខខណ្ឌព្រំដែន។

ចុងដំបងថេរ(រូបភាព 68, ក) ។ នៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ ការផ្លាស់ទីលំនៅ u ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមវានៅក្នុងផ្នែកនេះ។

X=0(182)

ចុងដំបងដោយឥតគិតថ្លៃ(រូបភាព 68 ខ) ។ នៅក្នុងផ្នែកចុងបញ្ចប់កម្លាំងបណ្តោយ

(183)

ត្រូវតែដូចគ្នាទៅនឹងសូន្យ ដែលអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើ X"=0 នៅក្នុងផ្នែកបញ្ចប់។

ជួសជុលដោយភាពធន់ ចុងដំបង(រូបភាព 68, គ) ។

នៅពេលផ្លាស់ទី យូនៃដំបងចុង ប្រតិកម្មយឺតនៃការគាំទ្រកើតឡើង ដែលជាកន្លែងដែល C អំពី - ភាពរឹងនៃការគាំទ្រ។ ដោយគិតពី (183) សម្រាប់កម្លាំងបណ្តោយ យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌព្រំដែន

ប្រសិនបើការគាំទ្រមានទីតាំងនៅចុងខាងឆ្វេងនៃដំបង (រូបភាព 68, គ) និង

ប្រសិនបើការគាំទ្រមានទីតាំងនៅចុងខាងស្តាំនៃដំបង (រូបភាព 68, ឃ) ។

ម៉ាស់ប្រមូលផ្តុំនៅចុងបញ្ចប់នៃដំបង។

កម្លាំងនៃនិចលភាពដែលបង្កើតឡើងដោយម៉ាស់៖

.

ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមសមីការទីមួយ (179) បន្ទាប់មកកម្លាំងនៃនិចលភាពអាចត្រូវបានសរសេរជា . យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌព្រំដែន

,

ប្រសិនបើម៉ាស់គឺនៅចុងខាងឆ្វេង (រូបភាព 68, អ៊ី) និង

, (184)

ប្រសិនបើម៉ាស់ត្រូវបានភ្ជាប់ទៅចុងខាងស្តាំ (រូបភាព 68, f) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រេកង់ធម្មជាតិនៃដំបង cantilever (រូបភាព 68, a") ។

យោងតាម ​​(182) និង (183) លក្ខខណ្ឌព្រំដែន

X=0 នៅ x=0;

X"=0 នៅពេល x=។

ការជំនួសលក្ខខណ្ឌទាំងនេះម្តងមួយៗចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយ (181) យើងទទួលបាន

លក្ខខណ្ឌ C0 នាំទៅរកសមីការប្រេកង់៖

ឫសគល់នៃសមីការនេះ។

(n=1,2,…)

កំណត់ប្រេកង់ធម្មជាតិ៖

(n=1,2,…).(185)

ប្រេកង់ទីមួយ (ទាបបំផុត) នៅ n=1៖

.

ប្រេកង់ទីពីរ (ពេល n=2):

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រេកង់ធម្មជាតិនៃដំបងជាមួយនឹងម៉ាស់នៅចុងបញ្ចប់ (រូបភាព 68, f) ។

យោងតាម ​​(182) និង (184) យើងមាន

X=0 នៅ x=0;

នៅ x = ។

ការជំនួសលក្ខខណ្ឌទាំងនេះទៅជាដំណោះស្រាយ (181) យើងទទួលបាន៖

D=0; .

អាស្រ័យហេតុនេះ សមីការប្រេកង់ដោយគិតគូរ (176) មានទម្រង់

.

នៅទីនេះផ្នែកខាងស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃម៉ាស់ដំបងទៅនឹងម៉ាស់នៃបន្ទុកចុង។

ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​វិសាលភាព​ជា​លទ្ធផល វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​ប្រហាក់ប្រហែល។

សម្រាប់ និងតម្លៃនៃឫសទាបបំផុតដ៏សំខាន់បំផុតនឹងមាន 0.32 និង 0.65 រៀងគ្នា។

ជាមួយនឹងសមាមាត្រតូចមួយបន្ទុកមានឥទ្ធិពលសម្រេចចិត្តហើយលទ្ធផលល្អត្រូវបានទទួលដោយដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែល

.

សម្រាប់របារនៃផ្នែកឆ្លងកាត់អថេរ i.e. នៅ Аconst ពី (173) និង (174) សមីការនៃចលនាត្រូវបានទទួលក្នុងទម្រង់

.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះមិនអាចដោះស្រាយជាទម្រង់បិទបានទេ។ ដូច្នេះក្នុងករណីបែបនេះ មនុស្សម្នាក់ត្រូវងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់កំណត់ប្រេកង់ធម្មជាតិ។

៦.២. ការរំញ័របង្វិលនៃអ័ក្ស

រំញ័របង្វិលនៃអ័ក្សជាមួយនឹងម៉ាស់ចែកចាយជាបន្តបន្ទាប់ (រូបភាព 69, ក) ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការដែលស្របគ្នាទាំងស្រុងនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធជាមួយនឹងសមីការនៃការរំញ័របណ្តោយនៃកំណាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។

កម្លាំងបង្វិលជុំ M នៅក្នុងផ្នែកជាមួយ abscissa Xគឺទាក់ទងទៅនឹងមុំនៃការបង្វិលដោយការពឹងផ្អែកឌីផេរ៉ង់ស្យែលស្រដៀងនឹង (173):

កន្លែងណា Jpគឺជាពេលប៉ូលនៃនិចលភាពនៃផ្នែកឆ្លងកាត់។

នៅក្នុងផ្នែកមួយនៅចម្ងាយ dx, កម្លាំងបង្វិលជុំគឺ (រូបភាព 69, ខ):

កំណត់តាមរយៈ (តើដង់ស៊ីតេនៃសម្ភារៈនៅត្រង់ណា) អាំងតង់ស៊ីតេនៃពេលវេលានៃនិចលភាពនៃម៉ាស់អ័ក្សដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សរបស់វា (ឧទាហរណ៍ គ្រានិចលភាពនៃប្រវែងឯកតា) សមីការនៃចលនានៃផ្នែកបឋមនៃ អ័ក្សអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

,

ឬចូលចិត្ត (174):

.

ការជំនួសកន្សោម (186) នៅទីនេះ ជាមួយ Jp=const យើងទទួលបាន ស្រដៀងនឹង (175):

, (187)

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (187) ក៏ដូចជាសមីការ (175) មានទម្រង់

,

(188)

Eigenfrequencies និង eigenfunctions ត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌព្រំដែនជាក់លាក់។

នៅក្នុងករណីសំខាន់នៃការជួសជុលចុង ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីនៃការរំញ័របណ្តោយ យើងទទួលបាន

ក) ចុងថេរ (=0)៖ X=0;

ខ) ចុងទំនេរ (M=0): X"=0;

វី) ជួសជុលដោយយឺតចុងខាងឆ្វេង៖ СoХ=GJpX "(សហមេគុណនៃភាពរឹង);

ឆ) ជួសជុលដោយយឺតចុងខាងស្តាំ៖ -CoX=GJpX ";

e) ថាសនៅចុងខាងឆ្វេង៖ (Jo គឺជាពេលនៃនិចលភាពនៃថាសទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនៃដំបង);

f) ថាសនៅចុងខាងស្តាំ៖ .

ប្រសិនបើអ័ក្សត្រូវបានជួសជុលនៅចុងខាងឆ្វេង (x=0) ហើយចុងខាងស្តាំ (x=) គឺមិនគិតថ្លៃទេនោះ X=0 នៅ x=0 និង X”=0 នៅ x=; ប្រេកង់ធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹង ( ១៨៥)៖

(n=1,2,…)

ប្រសិនបើចុងខាងឆ្វេងត្រូវបានជួសជុល ហើយមានថាសនៅខាងស្ដាំ យើងទទួលបានសមីការវិសាលភាព៖

.

ប្រសិនបើចុងទាំងពីរនៃអ័ក្សត្រូវបានជួសជុល នោះលក្ខខណ្ឌព្រំដែននឹងជា X=0 នៅ x=0 និង x= ។ ក្នុងករណីនេះពី (188) យើងទទួលបាន

ទាំងនោះ។

(n=1,2,…),

ពីទីនេះយើងរកឃើញប្រេកង់ធម្មជាតិ៖

ប្រសិនបើចុងខាងឆ្វេងនៃអ័ក្សទំនេរ ហើយមានថាសនៅចុងខាងស្តាំ នោះ X"=0 នៅ x=0; Jo X=GJpX" នៅ x=។

ដោយប្រើ (188) យើងរកឃើញ

C=0; ,

ឬសមីការប្រេកង់ឆ្លងកាត់៖

.

6.3 រំញ័របត់បែននៃធ្នឹម

6.3.1 សមីការមូលដ្ឋាន

ពីវគ្គនៃភាពធន់នៃវត្ថុធាតុដើម ភាពអាស្រ័យឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាសម្រាប់ធ្នឹមពត់កោង៖

ដែលជាកន្លែងដែល EJ - ពត់កោងរឹង; y \u003d y (x, t) - ផ្លាត; M = M (x, t) - ពេលពត់កោង; q គឺជាអាំងតង់ស៊ីតេនៃបន្ទុកចែកចាយ។

ការរួមបញ្ចូលគ្នា (189) និង (190) យើងទទួលបាន

.(191)

នៅក្នុងបញ្ហានៃការយោលដោយសេរី បន្ទុកសម្រាប់គ្រោងឆ្អឹងយឺត គឺជាកម្លាំងនិចលភាពចែកចាយ៖

ដែល m គឺជាអាំងតង់ស៊ីតេនៃធ្នឹម (ម៉ាស់ក្នុងមួយឯកតាប្រវែង) ហើយសមីការ (191) ក្លាយជា

.

ក្នុងករណីពិសេសនៃផ្នែកឆ្លងកាត់ថេរនៅពេលដែល EJ = const , m = const យើងមាន៖

.(192)

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ (192) យើងសន្មត់ដូចខាងលើ។

y=X( x)× T( t ) (193)

ការជំនួស (193) ទៅជា (192) យើងមកដល់សមីការ៖

.

ដើម្បីឱ្យសមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នាបេះបិទ វាចាំបាច់ដែលផ្នែកនីមួយៗនៃសមភាពត្រូវតែថេរ។ ដោយកំណត់តម្លៃថេរនេះ យើងទទួលបានសមីការពីរ៖

.(195)

សមីការទីមួយបង្ហាញថាចលនាគឺយោលជាមួយនឹងប្រេកង់។

សមីការទីពីរកំណត់រូបរាងនៃលំយោល។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (195) មានចំនួនថេរចំនួនបួន និងមានទម្រង់

វាងាយស្រួលប្រើវ៉ារ្យ៉ង់នៃការសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅដែលស្នើឡើងដោយ A.N. Krylov៖

(198)

គឺជាមុខងាររបស់ A.N. Krylov ។

ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះការពិតដែលថា S=1, T=U=V=0 នៅ x=0។ មុខងារ S, T, U, V ត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាដូចខាងក្រោមៈ

ដូច្នេះ កន្សោមដេរីវេ (197) ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់

(200)

នៅក្នុងបញ្ហានៃថ្នាក់ដែលកំពុងពិចារណា ចំនួននៃ eigenfrequencies គឺមានទំហំធំគ្មានកំណត់។ ពួកវានីមួយៗមានមុខងារពេលវេលាផ្ទាល់ខ្លួន T n និងមុខងារមូលដ្ឋានរបស់វា X n ។ ដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានទទួលដោយការដាក់ដំណោះស្រាយដោយផ្នែកនៃទម្រង់ (193)

.(201)

ដើម្បីកំណត់ប្រេកង់និងរូបមន្តធម្មជាតិវាចាំបាច់ដើម្បីពិចារណាលក្ខខណ្ឌព្រំដែន។

៦.៣.២. លក្ខខណ្ឌព្រំដែន

សម្រាប់ការបញ្ចប់របារនីមួយៗ លក្ខខណ្ឌព្រំដែនពីរអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ .

ចុងដំបងដោយឥតគិតថ្លៃ(រូបភព 70, ក)។ កម្លាំងឆ្លងកាត់ Q=EJX"""T និងពេលពត់កោង M=EJX""T គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះហើយលក្ខខណ្ឌព្រំដែនមានទម្រង់

X""=0; X"""=0 .(202)

ចុងបញ្ចប់នៃដំបង(រូបភព 70 ខ)។ ការផ្លាត y=XT និងពេលពត់កោង M=EJX""T គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌព្រំដែនគឺ៖

X=0 ; X""=0 .(203)

ចុងខ្ទាស់(រូបភាព 70, គ) ។ ការផ្លាត y=XT និងមុំបង្វិលស្មើនឹងសូន្យ។ លក្ខខណ្ឌព្រំដែន៖

X=0; X"=0 . (204)

នៅចុងបញ្ចប់នៃដំបងមានម៉ាស់ចំណុច(រូបភាព 70 ឃ) ។ កម្លាំងនៃនិចលភាពរបស់គាត់។ អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសមីការ (194) ដូចខាងក្រោម: ; វាត្រូវតែស្មើនឹងកម្លាំងឆ្លងកាត់ Q=EJX"""T ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌព្រំដែនយកទម្រង់

; X""=0 .(205)

នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទីមួយ សញ្ញាបូកត្រូវបានទទួលយកក្នុងករណីដែលទម្ងន់ចំនុចត្រូវបានភ្ជាប់ទៅចុងខាងឆ្វេងនៃដំបង ហើយសញ្ញាដកនៅពេលដែលវាត្រូវបានភ្ជាប់ទៅចុងខាងស្តាំនៃដំបង។ លក្ខខណ្ឌទីពីរកើតឡើងពីអវត្តមាននៃពេលពត់កោង។

ចុងដំបងដែលគាំទ្រដោយភាពបត់បែន(រូបភាព 70, អ៊ី) ។ នៅទីនេះ ពេលដែលពត់គឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយកម្លាំងឆ្លងកាត់ Q=EJX""T គឺស្មើនឹងប្រតិកម្មនៃការគាំទ្រ (C o - មេគុណនៃភាពរឹងនៃការគាំទ្រ) ។

លក្ខខណ្ឌព្រំដែន៖

X""=0; (206)

(សញ្ញាដកត្រូវបានយកនៅពេលដែលការគាំទ្រយឺតនៅខាងឆ្វេង និងសញ្ញាបូកនៅពេលខាងស្តាំ)។

៦.៣.៣. សមីការប្រេកង់ និងទម្រង់អេហ្គេន

ការពង្រីកកំណត់ត្រានៃលក្ខខណ្ឌព្រំដែននាំឱ្យមានសមីការដូចគ្នាសម្រាប់ថេរ C 1 , C 2 , C 3 , C 4 ។

សម្រាប់ថេរទាំងនេះមិនស្មើនឹងសូន្យ កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃប្រព័ន្ធត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ នេះនាំឱ្យមានសមីការប្រេកង់។ ក្នុងអំឡុងពេលប្រតិបត្តិការទាំងនេះទំនាក់ទំនងរវាង C 1 , C 2 , C 3 , C 4 ត្រូវបានរកឃើញ, i.e. eigenmodes នៃលំយោលត្រូវបានកំណត់ (រហូតដល់កត្តាថេរ) ។

ចូរយើងតាមដានការចងក្រងនៃសមីការប្រេកង់ដោយប្រើឧទាហរណ៍។

សម្រាប់ធ្នឹមដែលមានចុង hinged យោងតាម ​​(203) យើងមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដូចខាងក្រោម: X = 0; X""=0 នៅពេល x=0 និង x= . ដោយមានជំនួយពី (197)-(200) យើងទទួលបានពីលក្ខខណ្ឌពីរដំបូង: C 1 = C 3 = 0 ។ លក្ខខណ្ឌពីរដែលនៅសល់អាចត្រូវបានសរសេរជា

សម្រាប់ C 2 និង C 4 មិនស្មើសូន្យ កត្តាកំណត់ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ៖

.

ដូច្នេះសមីការប្រេកង់មានទម្រង់

.

ការជំនួសកន្សោម T និង U យើងទទួលបាន

ចាប់តាំងពីពេលនោះមកសមីការប្រេកង់ចុងក្រោយត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

. (207)

ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ៖

,(n=1,2,3,...)។

ពិចារណា (196) យើងទទួលបាន

.(208)

ចូរបន្តទៅការកំណត់ទម្រង់ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់យើង។ ពីសមីការដូចគ្នាដែលបានសរសេរខាងលើ ទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមរវាងថេរ C 2 និង C 4៖

.

ដូច្នេះ (197) យកទម្រង់

យោងតាម ​​(207) យើងមាន

,(209)

កន្លែងណាជាថេរថ្មី តម្លៃដែលនៅតែមិនទាន់កំណត់រហូតដល់លក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានយកមកពិចារណា។

៦.៣.៤. និយមន័យនៃចលនាដោយលក្ខខណ្ឌដំបូង

ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ចលនាបន្ទាប់ពីការរំខានដំបូង នោះវាចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ទាំងការផ្លាស់ទីលំនៅដំបូង និងល្បឿនដំបូងសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃធ្នឹម៖

(210)

និងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ orthogonality នៃ eigenshapes:

.

យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ (២០១) ដូចខាងក្រោម៖

.(211)

ល្បឿនត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម

.(212)

ការជំនួសផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (211) និង (212) ហើយនៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេង - ការផ្លាស់ទីលំនៅ និងល្បឿនដែលគេស្គាល់ដំបូងដែលគេសន្មត់ថា យើងទទួលបាន

.

ការគុណកន្សោមទាំងនេះដោយ និងរួមបញ្ចូលលើប្រវែងទាំងមូល យើងមាន

(213)

ផល​បូក​មិន​កំណត់​នៅ​ខាង​ស្តាំ​ដៃ​បាន​រលត់​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក​ដោយ​សារ​ទ្រព្យ​អ័រតូហ្គោន។ ពី (213) រូបមន្តធ្វើតាមសម្រាប់ចំនួនថេរ និង

(214)

ឥឡូវនេះលទ្ធផលទាំងនេះត្រូវតែត្រូវបានជំនួសដោយដំណោះស្រាយ (211) ។

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងសង្កត់ធ្ងន់ថាជម្រើសនៃមាត្រដ្ឋាននៃរូបរាងត្រឹមត្រូវគឺមិនសំខាន់ទេ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងការបញ្ចេញមតិនៃទម្រង់ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា (209) យើងយកជំនួសតម្លៃដែលធំជាងនោះ (214) នឹងផ្តល់លទ្ធផលដែលតូចជាង។ បន្ទាប់ពីការជំនួសទៅក្នុងដំណោះស្រាយ (211) ភាពខុសគ្នាទាំងនេះលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មុខងារ eigens ធម្មតាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ ដោយជ្រើសរើសមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេ ដើម្បីឱ្យភាគបែងនៃកន្សោម (214) ស្មើនឹងមួយ ដែលជួយសម្រួលដល់កន្សោម និង .

៦.៣.៥. ឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងបណ្តោយថេរ

ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលធ្នឹមលំយោលជួបប្រទះសកម្មភាពនៃកម្លាំងបណ្តោយ N ដែលតម្លៃមិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលដំណើរការលំយោល។ ក្នុង​ករណី​នេះ សមីការ​ពត់​ឋិតិវន្ត​កាន់​តែ​ស្មុគស្មាញ និង​មាន​ទម្រង់ (សន្មត់​ថា​កម្លាំង​បង្ហាប់​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ជា​វិជ្ជមាន)

.

ដោយសន្មត់ និងសន្មត់ថាភាពរឹងគឺថេរ យើងទទួលបានសមីការនៃការរំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃ

.(215)

យើងនៅតែយកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់

បន្ទាប់មកសមីការ (២១៥) ចែកចេញជាសមីការពីរ៖

សមីការទីមួយបង្ហាញពីលក្ខណៈលំយោលនៃដំណោះស្រាយ ទីពីរកំណត់រូបរាងនៃលំយោល និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រេកង់ផងដែរ។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចនេះ៖

(216)

កន្លែងណា ខេត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (196) និង

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (216) មានទម្រង់

ពិចារណាករណីនៅពេលដែលចុងទាំងពីរនៃដំបងមានការគាំទ្រ hinged ។ លក្ខខណ្ឌនៅខាងឆ្វេង ផ្តល់ឱ្យ។ ការបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានៅចុងបញ្ចប់ត្រឹមត្រូវយើងទទួលបាន

សមីការ​ទៅ​សូន្យ​កត្តា​កំណត់​ដែល​ផ្សំ​ឡើង​ដោយ​មេគុណ​នៅ​តម្លៃ ហើយ​យើង​មក​ដល់​សមីការ

ឫសគល់នៃសមីការប្រេកង់នេះគឺ៖

ដូច្នេះប្រេកង់ធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់ពីសមីការ

.

ដូច្នេះដោយពិចារណាលើ (217) យើងរកឃើញ

.(219)

នៅពេលដែលលាតសន្ធឹងប្រេកង់កើនឡើងនៅពេលដែលបង្ហាប់វាថយចុះ។ នៅពេលដែលកម្លាំងបង្ហាប់ N ជិតដល់តម្លៃសំខាន់ ឫសមានទំនោរទៅសូន្យ។

៦.៣.៦. ឥទ្ធិពលនៃខ្សែសង្វាក់

ពីមុនកម្លាំងបណ្តោយត្រូវបានគេចាត់ទុកថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនិងឯករាជ្យនៃការផ្លាស់ទីលំនៅនៃប្រព័ន្ធ។ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួនកម្លាំងបណ្តោយដែលអមដំណើរដំណើរការនៃការរំញ័រឆ្លងកាត់កើតឡើងដោយសារតែការពត់កោងនៃធ្នឹមហើយស្ថិតនៅក្នុងធម្មជាតិនៃប្រតិកម្មនៃការគាំទ្រ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាអំពីធ្នឹមមួយនៅលើផ្នែកទ្រទ្រង់ពីរដែលជាប់នឹងហ៊ីង។ នៅពេលដែលវាពត់ ប្រតិកម្មផ្តេកនៃការគាំទ្រកើតឡើង ដែលបណ្តាលឱ្យធ្នឹមលាតសន្ធឹង។ កម្លាំងផ្ដេកដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថា កម្លាំងខ្សែសង្វាក់. ប្រសិនបើធ្នឹមធ្វើឱ្យរំញ័រឆ្លងកាត់ នោះកម្លាំងសង្វាក់នឹងផ្លាស់ប្តូរទៅតាមពេលវេលា។

ប្រសិនបើភ្លាមៗ ការផ្លាតរបស់ធ្នឹមត្រូវបានកំណត់ដោយមុខងារ នោះការពន្លូតអ័ក្សអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

.

កម្លាំងខ្សែសង្វាក់ដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើច្បាប់របស់ Hooke

.

យើងជំនួសលទ្ធផលនេះនៅក្នុង (215) ជំនួសឱ្យកម្លាំងបណ្តោយ N (គិតគូរពីសញ្ញា)

.(220)

លទ្ធផលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ អាំងតេក្រាល - ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសមីការត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដោយការជំនួស

,(221)

ដែលជាមុខងារគ្មានវិមាត្រនៃពេលវេលា តម្លៃអតិបរមាដែលអាចត្រូវបានកំណត់ស្មើនឹងចំនួនណាមួយ ឧទាហរណ៍ មួយ; លំយោលលំយោល។

ការជំនួស (221) ទៅជា (220) យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

,(222)

មេគុណដែលមានតម្លៃដូចខាងក្រោមៈ

;.

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (222) គឺមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះភាពញឹកញាប់នៃការយោលដោយសេរីអាស្រ័យទៅលើទំហំរបស់វា។

ដំណោះស្រាយពិតប្រាកដសម្រាប់ភាពញឹកញាប់នៃការរំញ័រឆ្លងកាត់មានទម្រង់

តើភាពញឹកញាប់នៃលំយោលឆ្លងកាត់ គណនាដោយមិនគិតពីកម្លាំងសង្វាក់; កត្តាកែតម្រូវអាស្រ័យលើសមាមាត្រនៃទំហំនៃលំយោលទៅនឹងកាំនៃ gyration នៃផ្នែកឈើឆ្កាង; តម្លៃត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍យោង។

នៅពេលដែលទំហំ និងកាំនៃ gyration នៃផ្នែកឈើឆ្កាងគឺអាចប្រៀបធៀបបាន ការកែតម្រូវទៅប្រេកង់កាន់តែសំខាន់។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើទំហំលំយោលនៃកំណាត់នៃផ្នែកឆ្លងកាត់រាងជារង្វង់គឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា នោះហើយប្រេកង់គឺស្ទើរតែពីរដងធំជាងនៅក្នុងករណីនៃការផ្លាស់ទីលំនៅដោយឥតគិតថ្លៃនៃការគាំទ្រ។

ករណីត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃសូន្យនៃកាំនៃនិចលភាព នៅពេលដែលភាពរឹងនៃការពត់កោងនៃធ្នឹមគឺតូចបាត់ទៅ - ខ្សែមួយ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តសម្រាប់ផ្តល់ភាពមិនច្បាស់លាស់។ ដោយបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ភាពញឹកញាប់នៃការរំញ័រនៃខ្សែអក្សរ

.

រូបមន្តនេះសំដៅទៅលើករណីនៅពេលដែលភាពតានតឹងគឺសូន្យនៅក្នុងទីតាំងលំនឹង។ បញ្ហានៃការរំញ័រខ្សែអក្សរច្រើនតែកើតឡើងក្រោមការសន្មត់ផ្សេងទៀត៖ វាត្រូវបានគេសន្មត់ថាការផ្លាស់ទីលំនៅគឺតូច ហើយកម្លាំង tensile ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលរំញ័រ។

ក្នុងករណីនេះរូបមន្តសម្រាប់ប្រេកង់មានទម្រង់

ដែល N គឺជាកម្លាំង tensile ថេរ។

៦.៤. ឥទ្ធិពលនៃការកកិត viscous

ពីមុនវាត្រូវបានគេសន្មត់ថាសម្ភារៈនៃកំណាត់គឺមានភាពបត់បែនតាមឧត្ដមគតិហើយមិនមានការកកិតទេ។ ពិចារណាពីឥទ្ធិពលនៃការកកិតខាងក្នុងដោយសន្មតថាវាមាន viscous; បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងរវាងភាពតានតឹង និងភាពតានតឹងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយទំនាក់ទំនង

;.(223)

អនុញ្ញាតឱ្យដំបងដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយធ្វើរំញ័របណ្តោយ។ ក្នុងករណីនេះកម្លាំងបណ្តោយនឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់

ពីសមីការនៃចលនានៃធាតុដំបងទំនាក់ទំនង (174) ត្រូវបានទទួល

ការជំនួស (224) នៅទីនេះ យើងមកដល់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំខាន់

,(225)

ដែលខុសពី (175) ដោយពាក្យទីពីរ ដែលបង្ហាញពីឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងកកិត viscous ។

តាមវិធីសាស្ត្រ Fourier យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (225) ក្នុងទម្រង់

,(226)

ដែលអនុគមន៍មានតែ x កូអរដោណេប៉ុណ្ណោះ ហើយមុខងារមានតែពេលវេលា t ។

ក្នុងករណីនេះ សមាជិកនីមួយៗនៃស៊េរីត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែននៃបញ្ហា ហើយផលបូកទាំងមូលក៏ត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងផងដែរ។ ការជំនួស (226) ទៅជា (225) និងទាមទារសមភាពនោះត្រូវបានពេញចិត្តសម្រាប់លេខណាមួយ។ r, យើង​ទទួល​បាន

,(227)

ដែលជាកន្លែងដែល primes បង្ហាញពីភាពខុសគ្នាទាក់ទងនឹងកូអរដោណេ xហើយចំនុចគឺខុសគ្នាទាក់ទងនឹងពេលវេលា t ។

ការបែងចែក (227) ដោយផលិតផល យើងមកដល់សមភាព

,(228)

ផ្នែកខាងឆ្វេង ដែលអាចពឹងផ្អែកលើកូអរដោណេប៉ុណ្ណោះ។ xនិងត្រឹមត្រូវមួយ - តែពីពេលវេលា t ។ សម្រាប់ការបំពេញដូចគ្នានៃសមភាព (228) វាចាំបាច់ដែលផ្នែកទាំងពីរស្មើនឹងថេរដូចគ្នា ដែលយើងកំណត់ដោយ .

ពីនេះធ្វើតាមសមីការ

(229)

.(230)

សមីការ (229) មិនអាស្រ័យលើមេគុណ viscosity K ទេ ហើយជាពិសេសគឺនៅដដែលនៅក្នុងករណីនៃប្រព័ន្ធយឺតឥតខ្ចោះនៅពេលដែល . ដូច្នេះ លេខទាំងអស់ស្របគ្នាជាមួយនឹងលេខដែលបានរកឃើញមុននេះ; ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលនឹងត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម តម្លៃផ្តល់ឱ្យតែតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រេកង់ធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ចំណាំថា eigenforms គឺឯករាជ្យទាំងស្រុងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិ viscous នៃដំបង, i.e. ទម្រង់នៃការយោលសើមដោយសេរី ស្របគ្នានឹងទម្រង់នៃលំយោលគ្មានសំណើម។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅសមីការ (230) ដែលពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនៃលំយោលសើម។ ដំណោះស្រាយរបស់វាមើលទៅដូចជា

.(233)

កន្សោម (232) កំណត់អត្រាសើម ហើយ (233) កំណត់ប្រេកង់លំយោល។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយពេញលេញនៃសមីការបញ្ហា

.(234)

ថេរ និងតែងតែអាចត្រូវបានរកឃើញដោយលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យការផ្លាស់ទីលំនៅដំបូង និងល្បឿនដំបូងនៃផ្នែកទាំងអស់នៃដំបងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:

;,(235)

កន្លែង និងមុខងារដែលគេស្គាល់។

បន្ទាប់មកសម្រាប់ យោងទៅតាម (211) និង (212) យើងមាន

ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពទាំងនេះដោយ និងការរួមបញ្ចូលលើប្រវែងទាំងមូលនៃដំបង យើងទទួលបាន

(236)

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃ orthogonality នៃ eigenforms ពាក្យផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពទាំងនេះបាត់។ ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកពីសមភាព (236) សម្រាប់លេខណាមួយ r ។

ដោយពិចារណាលើ (232) និង (234) យើងកត់សំគាល់ថាចំនួននៃរបៀបរំញ័រកាន់តែខ្ពស់ ការសើមរបស់វាកាន់តែលឿន។ លើសពីនេះទៀតពាក្យនៅក្នុង (234) ពិពណ៌នាអំពីលំយោលសើមប្រសិនបើមានចំនួនពិតប្រាកដ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពី (233) ដែលវាកើតឡើងសម្រាប់តែតម្លៃដំបូងមួយចំនួននៃ r ដរាបណាវិសមភាព

សម្រាប់តម្លៃធំគ្រប់គ្រាន់ rវិសមភាព (237) ត្រូវបានបំពាន ហើយបរិមាណក្លាយជាការស្រមើលស្រមៃ។ ក្នុងករណីនេះ លក្ខខណ្ឌដែលត្រូវគ្នានៃដំណោះស្រាយទូទៅ (234) នឹងមិនពិពណ៌នាអំពីលំយោលសើមទៀតទេ ប៉ុន្តែនឹងតំណាងឱ្យចលនាសើមតាមខ្យល់។ ម្យ៉ាងទៀត ភាពប្រែប្រួល ក្នុងន័យធម្មតានៃពាក្យ បង្ហាញតែផ្នែកខ្លះនៃផលបូក (២៣៤)។

ការសន្និដ្ឋានប្រកបដោយគុណភាពទាំងអស់នេះមិនត្រឹមតែអនុវត្តចំពោះករណីនៃការរំញ័របណ្តោយប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងករណីនៃការរំញ័របង្វិល និងពត់កោងផងដែរ។

៦.៥. រំញ័រនៃរបារនៃផ្នែកឆ្លងកាត់អថេរ

ក្នុងករណីទាំងនោះនៅពេលដែលម៉ាស់ដែលបានចែកចាយ និងផ្នែកឈើឆ្កាងនៃដំបងមានភាពប្រែប្រួលតាមប្រវែងរបស់វា ជំនួសឱ្យសមីការនៃការរំញ័របណ្តោយ (175) អ្នកគួរតែបន្តពីសមីការ។

.(238)

សមីការរំញ័របង្វិល (187) គួរតែត្រូវបានជំនួសដោយសមីការ

,(239)

និងសមីការនៃលំយោលឆ្លងកាត់ (192) - ដោយសមីការ

.(240)

សមីការ (238)-(240) ដោយមានជំនួយពីការជំនួសនៃប្រភេទដូចគ្នា ;; អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាសម្រាប់អនុគមន៍

មេកានិក

UDC 531.01/534.112

រំញ័របណ្តោយនៃកញ្ចប់ RODS

A.M. Pavlov, A.N. តេមណូវ

MSTU អ៊ឹម។ N.E. Bauman, Moscow, សហព័ន្ធរុស្ស៊ី អ៊ីមែល៖ [អ៊ីមែលការពារ]; [អ៊ីមែលការពារ]

នៅក្នុងសំណួរនៃសក្ដានុពលនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតរាវ តួនាទីដ៏សំខាន់មួយត្រូវបានលេងដោយបញ្ហានៃស្ថេរភាពនៃចលនារបស់រ៉ុក្កែតនៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការកើតឡើងនៃលំយោលបណ្តោយបណ្តោយ។ រូបរាងនៃលំយោលបែបនេះអាចនាំឱ្យមានការបង្កើតលំយោលដោយខ្លួនឯងដែលប្រសិនបើរ៉ុក្កែតមិនស្ថិតស្ថេរក្នុងទិសដៅបណ្តោយអាចនាំឱ្យមានការបំផ្លិចបំផ្លាញយ៉ាងឆាប់រហ័សរបស់វា។ បញ្ហានៃលំយោលបណ្តោយនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតត្រូវបានបង្កើត កញ្ចប់នៃកំណាត់ត្រូវបានប្រើជាគំរូគណនា។ វាត្រូវបានគេសន្មត់ថារាវនៅក្នុងធុងរ៉ុក្កែត "កក" ពោលគឺឧ។ ចលនាត្រឹមត្រូវនៃសារធាតុរាវមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណាទេ។ ច្បាប់តុល្យភាពថាមពលសរុបសម្រាប់បញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានបង្កើត ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ប្រតិបត្តិកររបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍ជាលេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រេកង់ត្រូវបានកំណត់ ហើយ eigenmodes ត្រូវបានសាងសង់ និងវិភាគ។

ពាក្យគន្លឹះ៖ រំញ័របណ្តោយ, ប្រេកង់ និងរូបរាងនៃរំញ័រ, កញ្ចប់ដំបង, ច្បាប់តុល្យភាពថាមពលសរុប, ប្រតិបត្តិករភ្ជាប់ដោយខ្លួនឯង, វិសាលគមរំញ័រ, POGO ។

ប្រព័ន្ធនៃការរំញ័របណ្តោយបណ្តោយ A.M. Pavlov, អាល់។ តេមណូវ

សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Bauman Moscow, Moscow, សហព័ន្ធរុស្ស៊ី អ៊ីមែល៖ [អ៊ីមែលការពារ]; [អ៊ីមែលការពារ]

នៅក្នុងសំណួរនៃសក្ដានុពលនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតឥន្ធនៈរាវ បញ្ហានៃស្ថេរភាពនៃចលនាសម្រាប់រ៉ុក្កែតនេះមានតួនាទីសំខាន់ជាមួយនឹងរូបរាងនៃរំញ័របត់បែនតាមបណ្តោយ។ ការកើតឡើងនៃប្រភេទនៃការរំញ័របែបនេះអាចបង្កឱ្យមានការរំញ័រដោយខ្លួនឯង ដែលអាចបណ្តាលឱ្យមានការបំផ្លិចបំផ្លាញយ៉ាងឆាប់រហ័សនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែត ក្នុងករណីមានអស្ថេរភាពរ៉ុក្កែតក្នុងទិសដៅបណ្តោយ។ បញ្ហានៅលើរំញ័របណ្តោយនៃរ៉ុក្កែតឥន្ធនៈរាវដោយផ្អែកលើគ្រោងការណ៍កញ្ចប់ត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើកំណាត់កញ្ចប់ជាគំរូគណនា។ វាត្រូវបានគេសន្មត់ថារាវនៅក្នុងធុងរ៉ុក្កែត "កក" ពោលគឺឧ។ ចលនាត្រឹមត្រូវនៃអង្គធាតុរាវមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលទេ។ ចំពោះបញ្ហានេះ គោលការណ៍អភិរក្សថាមពលត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយដំណើរការរបស់ប្រតិបត្តិកររបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ មានឧទាហរណ៍ជាលេខ ដែលប្រេកង់ត្រូវបានកំណត់ ទម្រង់នៃការរំញ័រ Eigen ត្រូវបានបង្កើតឡើង និងវិភាគ។

ពាក្យគន្លឹះ៖ រំញ័ររបៀបបណ្តោយ, របៀប eigen និងប្រេកង់, គំរូកំណាត់, គោលការណ៍អភិរក្សថាមពល, ប្រតិបត្តិករភ្ជាប់ដោយខ្លួនឯង, វិសាលគមរំញ័រ, POGO ។

សេចក្តីផ្តើម។ នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ នៅក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ី និងនៅបរទេស ដើម្បីបើកដំណើរការបន្ទុកចូលទៅក្នុងគន្លងដែលត្រូវការ យានជំនិះ (LV) នៃប្លង់កញ្ចប់ដែលមានប្លុកចំហៀងដូចគ្នាបេះបិទ ចែកចាយរាបស្មើនៅជុំវិញប្លុកកណ្តាលត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

ការសិក្សាអំពីលំយោលនៃរចនាសម្ព័ន្ធកញ្ចប់ជួបប្រទះការលំបាកមួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងសកម្មភាពថាមវន្តនៃប្លុកចំហៀង និងកណ្តាល។ នៅក្នុងករណីនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្លង់នៃយានបើកដំណើរការ អន្តរកម្មលំហស្មុគស្មាញនៃប្លុកនៃការរចនាកញ្ចប់អាចបែងចែកជាចំនួនកំណត់នៃប្រភេទរំញ័រ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះគឺជាការរំញ័របណ្តោយនៃប្លុកកណ្តាល និងចំហៀង។ គំរូគណិតវិទ្យានៃការរំញ័របណ្តោយនៃការរចនាស្រដៀងគ្នានៅក្នុងទម្រង់នៃកញ្ចប់នៃកំណាត់ជញ្ជាំងស្តើងត្រូវបានពិចារណាលម្អិតនៅក្នុងការងារ។ អង្ករ។ 1. គ្រោងការណ៍នៃកណ្តាល

ការរំញ័រសំខាន់ៗនៃកំណាត់កំណាត់ បន្ថែមលើការសិក្សាដែលធ្វើឡើងដោយ A.A. គួរឲ្យអាណិត។

ការបង្កើតបញ្ហា។ ពិចារណាពីរំញ័របណ្តោយផ្សេងទៀតនៃកំណាត់កំណាត់ ដែលរួមមានកំណាត់កណ្តាលប្រវែង l0 និងកំណាត់ចំហៀង N ដែលមានប្រវែងដូចគ្នា j = l, (l0 > lj), j = 1, 2, ..., N, តោងនៅ ចំណុច A (xA = l) (រូបភាពទី 1) ជាមួយនឹងធាតុនិទាឃរដូវកណ្តាលនៃភាពរឹង k ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំស៊ុមថេរនៃសេចក្តីយោង ОХ ហើយសន្មត់ថាភាពរឹងរបស់កំណាត់ EFj (x) ម៉ាស់ចែកចាយ mj (x) និងការរំខាន q (x, t) គឺជាមុខងារព្រំដែននៃកូអរដោនេ x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

អនុញ្ញាតឱ្យការផ្លាស់ទីលំនៅ Uj (x, t) លេចឡើងនៅក្នុងផ្នែកឈើឆ្កាងនៃកំណាត់ជាមួយកូអរដោនេ x ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ

mj(x)^- ¿(eFj(x)^= qj(x,t),j=0,1,2,...,N,(2)

លក្ខខណ្ឌព្រំដែនសម្រាប់អវត្តមាននៃកម្លាំងធម្មតានៅចុងបញ្ចប់នៃកំណាត់

3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

លក្ខខណ្ឌនៃសមភាពនៃកម្លាំងធម្មតាដែលកើតឡើងនៅក្នុងកំណាត់,

EF-3 = F x = l

កម្លាំងយឺតនៃធាតុនិទាឃរដូវ

FпPJ = k(u(ha) - u(¡,)); (4)

EUodX (xa − 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

លក្ខខណ្ឌនៃសមភាពនៃការផ្លាស់ទីលំនៅនៅចំណុច xa នៃដំបងកណ្តាល

W (ha-o) \u003d W (ha + o) និងលក្ខខណ្ឌដំបូង

W y (x, 0) - W (x); , _

u(x, 0) = u(x),

ដែល u(x, 0) = "q^1(x, 0) ។

ច្បាប់នៃតុល្យភាពថាមពលសរុប។ យើងគុណសមីការ (2) ដោយ u(x, t) បញ្ចូលលើប្រវែងនៃដំបងនីមួយៗ ហើយបន្ថែមលទ្ធផលដោយប្រើលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (3) និងលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវគ្នា (4)។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន

(( 1 ^ [ (ឌីអិល ២

tz (x) "BT" (x +

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x " h 2 .. N "i ។

1 ⩽ Г " " , f dn3\ , 1 ⩽ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Yo N (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6)

ដែល 8(x - y) គឺជាអនុគមន៍ Dirac delta ។ នៅក្នុងសមីការ (6) ពាក្យទីមួយនៅក្នុងតង្កៀបអង្កាញ់គឺជាថាមពល kinetic T (¿) នៃប្រព័ន្ធ ទីពីរគឺថាមពលសក្តានុពល Pr (£) ដោយសារតែការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃកំណាត់ ហើយទីបីគឺជាថាមពលសក្តានុពល Pk (£) នៃធាតុនិទាឃរដូវដែលនៅក្នុងវត្តមាននៃកំណាត់ខូចទ្រង់ទ្រាយយឺតអាចត្រូវបានសរសេរជា

Pk(*)=2£/Cy(¡y)8(x − ¡1)E^(¡y)(ddit(¡1))2(x,Cy=Ey.

សមីការ (6) បង្ហាញថាការផ្លាស់ប្តូរថាមពលសរុបក្នុងមួយឯកតាពេលវេលានៃប្រព័ន្ធមេកានិចដែលបានពិចារណាគឺស្មើនឹងថាមពល

ឥទ្ធិពលខាងក្រៅ។ អវត្ដមាននៃការរំខានពីខាងក្រៅ q (x,t) យើងទទួលបានច្បាប់នៃការអភិរក្សថាមពលសរុប៖

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0) ។

ការកំណត់ប្រតិបត្តិករ។ ច្បាប់តុល្យភាពថាមពលបង្ហាញថាគ្រប់ពេលវេលា t មុខងារ Uj (x, t) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាធាតុនៃលំហ Hilbert L2j(; m3 (x)) ដែលកំណត់លើប្រវែង ¡i ដោយផលិតផលមាត្រដ្ឋាន

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

និងបទប្បញ្ញត្តិពាក់ព័ន្ធ។

ចូរយើងណែនាំ Hilbert space H ដែលស្មើនឹងផលបូក orthogonal L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, អនុគមន៍វ៉ិចទ័រ U = (uo, Ui,..., uN)m, និង ប្រតិបត្តិករ A ដើរតួក្នុងលំហ H យោងទៅតាមទំនាក់ទំនង

AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun) ។

mj(x)dx\jdx"

ប្រតិបត្តិករដែលបានកំណត់នៅលើ

កំណត់ B (A33) C H នៃមុខងារបំពេញលក្ខខណ្ឌ (3) និង (4) ។

បញ្ហាដើម (1)-(5) រួមជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងអាចត្រូវបានសរសេរជា

Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7)

ដែល f (*) = (to (*) ,51 (*),..., Yam (¿)) i.e.

លេម៉ា។ 1. ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពីរដំបូង (1) ត្រូវបានពេញចិត្ត នោះប្រតិបត្តិករ A ក្នុងបញ្ហាវិវត្តន៍ (7) គឺជាប្រតិបត្តិករដែលមិនមានការជាប់គាំង ដោយខ្លួនឯង និងកំណត់ជាវិជ្ជមាននៅក្នុងលំហ H

(Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n ។

2. ប្រតិបត្តិករ A បង្កើតលំហថាមពល HA ជាមួយនឹងបទដ្ឋានស្មើនឹងពីរដងនៃតម្លៃថាមពលសក្តានុពលនៃលំយោលនៃកញ្ចប់កំណាត់។

3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0 ។

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x)

+^^/EF-(x)u-(x)vo(x)dx-^^EF-(x)u-(x)v-(x)

J E Fo (x) uo (x) v "(x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -= 100

+ £ / EF ។,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?”- (/-) = EFo (x) uo (x) v?” o (x) dx+ -= 10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -= 1 0 -

+£k(uo(xa)-u-(/-))(vo(xa)-v-(/-))=(U,A?)H

(AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u " 0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+^^/EFj(x)u"2(x)dx-^^EFj(x)uj(x)u3(x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l))) =

EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

វាធ្វើតាមលទ្ធផលខាងលើដែលបទដ្ឋានថាមពលរបស់ប្រតិបត្តិករ A ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត (8) ។

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាវិវត្តន៍។ យើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ 1. អនុញ្ញាតឱ្យលក្ខខណ្ឌ

U0£D(A1/2), U0£H,f(t)£C(;H),

បន្ទាប់មកបញ្ហា (7) មានដំណោះស្រាយខ្សោយតែមួយគត់ U (t) នៅលើផ្នែកដែលបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds ។

5 ក្នុងករណីដែលគ្មានការរំខានពីខាងក្រៅ f (£) ច្បាប់នៃការអភិរក្សថាមពលត្រូវបានពេញចិត្ត

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

រំញ័រធម្មជាតិនៃកញ្ចប់នៃកំណាត់មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាវាលនៃកម្លាំងខាងក្រៅមិនធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធដំបង: f (t) = 0. ក្នុងករណីនេះចលនារបស់កំណាត់នឹងត្រូវបានគេហៅថាឥតគិតថ្លៃ។ ចលនាសេរីនៃកំណាត់ដែលអាស្រ័យលើពេលវេលា t យោងទៅតាមច្បាប់ exp (iwt) នឹងត្រូវបានគេហៅថា eigenoscillations ។ ទទួលយកសមីការ (7) U (x, t) = U (x) eiWU យើងទទួលបានបញ្ហាវិសាលគមសម្រាប់ប្រតិបត្តិករ A:

AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2 ។ (9)

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ប្រតិបត្តិករ A អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទលើវិសាលគម និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ eigen ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. បញ្ហាវិសាលគម (9) លើលំយោលធម្មជាតិនៃកំណាត់មានវិសាលគមវិជ្ជមានដាច់ដោយឡែក

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

និងប្រព័ន្ធនៃមុខងារ eigenfunctions (Uk (x))^=0, ពេញលេញ និង orthogonal ក្នុងចន្លោះ H និង HA ហើយរូបមន្ត orthogonality ខាងក្រោមមាន៖

(Ufe, Us)H = £m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/U^) d*+

K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes ។ j=i

ការស៊ើបអង្កេតលើបញ្ហាវិសាលគមនៅក្នុងករណីនៃកញ្ចប់ដូចគ្នានៃកំណាត់។ តំណាងឱ្យមុខងារផ្លាស់ទីលំនៅ m-(x, t) ក្នុងទម្រង់ m-(x, t) = m-(x) បន្ទាប់ពីបំបែកអថេរ យើងទទួលបានបញ្ហាវិសាលគមសម្រាប់ដំបងនីមួយៗ៖

^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

ដែលយើងសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស

4 ផោន + លី = 0,

ក = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

u = (u0, u1, u2, ..., u') i.e.

ដំណោះស្រាយ និងការវិភាគលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់មុខងារផ្លាស់ទីលំនៅសម្រាប់ដំបងកណ្តាលនៅក្នុងផ្នែកជា u01 និងនៅក្នុងផ្នែកជា u02 (g) ។ ក្នុងករណីនេះសម្រាប់អនុគមន៍ u02 យើងផ្លាស់ទីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេទៅចំណុចជាមួយកូអរដោនេ / ។ សម្រាប់ដំបងនីមួយៗយើងតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយនៃសមីការ (10) ក្នុងទម្រង់

ដើម្បីស្វែងរកថេរមិនស្គាល់នៅក្នុង (11) យើងប្រើលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលបានបង្កើតខាងលើ។ ពីលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដូចគ្នា ថេរមួយចំនួនអាចត្រូវបានកំណត់ដូចជា៖

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0 ។

ជាលទ្ធផលវានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកថេរ N + 3: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41, ..., CN1 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការ N + 3 សម្រាប់ N + 3 មិនស្គាល់។

យើងសរសេរប្រព័ន្ធលទ្ធផលក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖ (A) (C) = (0) ។ នៅទីនេះ (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m គឺជាវ៉ិចទ័រនៃមិនស្គាល់។ (ក) - ម៉ាទ្រីសលក្ខណៈ,

cos (L1) EF0 L sin (L1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 (.40-01L) 1/2 ^;

7 \u003d (A4 "-1 លីត្រ) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + ទៅសត្វទីទុយ ((A "1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0 ។

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយដែលមិនសំខាន់ យើងយកថេរ C01 €M ជាអថេរ យើងមានជម្រើសពីរគឺ C01 = 0; C01 = 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ С01 = 0 បន្ទាប់មក С03 = С04 = 0. ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយមិនសំខាន់អាចទទួលបានប្រសិនបើ 7 = 0 ពី (12) ក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម

£ c-1 = 0, (13)

ដែលអាចទទួលបានពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ (12) ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការប្រេកង់សាមញ្ញ

EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P +

zz y \ V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

ស្របពេលជាមួយនឹងសមីការប្រេកង់សម្រាប់ដំបងដែលត្រូវបានជួសជុលដោយយឺតនៅចុងម្ខាង ដែលអាចចាត់ទុកថាជាប្រព័ន្ធផ្នែកទីមួយ។

ក្នុងករណីនេះការបញ្ចូលគ្នាដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃចលនានៃកំណាត់ចំហៀងដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (13) អាចត្រូវបានបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌទៅជាក្រុមដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃដំណាក់កាលផ្សេងៗគ្នា (ក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណាដំណាក់កាលត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញា S.d) ។ ប្រសិនបើយើងយកកំណាត់ចំហៀងដូចគ្នា នោះយើងមានជម្រើសពីរ៖

1) ស៊ីឌី \u003d 0 បន្ទាប់មកចំនួននៃបន្សំបែបនេះ n សម្រាប់ N ផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត n \u003d N 2 ដែលជាមុខងារបែងចែកដោយគ្មានសល់;

2) ណាមួយ (ឬណាមួយ) នៃ C- ថេរគឺស្មើនឹង 0 បន្ទាប់មកចំនួនបន្សំដែលអាចធ្វើបានកើនឡើង ហើយអាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

£ [(N - m) div 2] ។

ឱ្យ Coi = 0 បន្ទាប់មក Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t) ដែល c និង y ជាស្មុគស្មាញក្នុង (12) ។ ពីប្រព័ន្ធ (12) យើងក៏មាន: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), i.e. ថេរទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ C01 ។ សមីការប្រេកង់យកទម្រង់

Efo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l))-

K2 cos | អ៊ី!-,1 អិល

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាប្រព័ន្ធមួយដែលមានកំណាត់ចំហៀងបួន។ បន្ថែមពីលើវិធីសាស្រ្តដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ សម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះ អ្នកអាចសរសេរសមីការប្រេកង់សម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងមូលដោយគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A និងស្មើនឹងសូន្យ។ យើងបង្ហាញទម្រង់របស់វា។

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+

L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4c)) -

4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0 ។

ក្រាហ្វនៃសមីការប្រេកង់ឆ្លងកាត់សម្រាប់ករណីដែលបានពិចារណាខាងលើត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 2. ទិន្នន័យខាងក្រោមត្រូវបានគេយកជាទិន្នន័យដំបូង: EF = 2109 N; EF0 = 2.2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 គីឡូក្រាម / m; mo = 6000 គីឡូក្រាម / m; // ២៣; /o = 33 m. តម្លៃនៃប្រេកង់លំយោលបីដំបូងនៃគ្រោងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:

ន ...................................

និង រ៉ាដ/ស ………………….

1 2 3 20,08 31,53 63,50

អង្ករ។ 2. គ្រោងនៃសមីការប្រេកង់ឆ្លងសម្រាប់ Coi = 0 (i) និង Coi = 0 (2)

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញរបៀបរំញ័រដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយដែលទទួលបាន (ក្នុងករណីទូទៅ របៀបរំញ័រមិនត្រូវបានធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតាទេ)។ ទម្រង់រលកដែលត្រូវគ្នានឹងប្រេកង់ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ទីបួន ទី 13 និងទី 14 ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 3. នៅប្រេកង់លំយោលដំបូង កំណាត់ចំហៀងយោលមានរូបរាងដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាគូក្នុង antiphase

រូប ៣. របៀបរំញ័រនៃចំហៀង (1) និងកណ្តាល (2) កំណាត់ដែលត្រូវគ្នានឹង V ទីមួយ = 3.20 Hz (a), V ទីពីរ = 5.02 Hz (b), ទីបី V = 10.11 Hz (c), ទីបួន V = 13.60 Hz (d), 13th V = 45.90 Hz (d) និង 14th V = 50.88 Hz (e) ប្រេកង់

(រូបភពទី 3, ក) នៅលើកទីពីរ - ដំបងកណ្តាលលំយោល ហើយផ្នែកក្រោយក៏យោលក្នុងទម្រង់ដូចគ្នាក្នុងដំណាក់កាល (រូបភាពទី 3, ខ) ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រេកង់លំយោលទីមួយនិងទីពីរនៃប្រព័ន្ធដំបងដែលត្រូវបានពិចារណាត្រូវគ្នាទៅនឹងលំយោលនៃប្រព័ន្ធដែលមានតួរឹង។

នៅពេលដែលប្រព័ន្ធយោលជាមួយនឹងប្រេកង់ធម្មជាតិទីបី ថ្នាំងលេចឡើងជាលើកដំបូង (រូបភាព 3c) ។ ប្រេកង់ទីបី និងជាបន្តបន្ទាប់ (រូបភាពទី 3 ឃ) ត្រូវគ្នាទៅនឹងលំយោលយឺតនៃប្រព័ន្ធ។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃភាពញឹកញាប់នៃលំយោលដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការថយចុះនៃឥទ្ធិពលនៃធាតុយឺត ភាពញឹកញាប់ និងទម្រង់នៃការយោលមានទំនោរទៅជាផ្នែក (រូបភាពទី 3, អ៊ី, ច)។

ខ្សែកោងនៃមុខងារ ចំនុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស abscissa គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឆ្លងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 4. យោងតាមតួលេខប្រេកង់លំយោលធម្មជាតិនៃប្រព័ន្ធមានទីតាំងនៅជិតប្រេកង់ផ្នែក។ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើ នៅពេលដែលប្រេកង់កើនឡើង ការបញ្ចូលគ្នានៃប្រេកង់ធម្មជាតិជាមួយនឹងផ្នែកខ្លះកើនឡើង។ ជាលទ្ធផលប្រេកង់ដែលលំយោលនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាពីរក្រុម: ប្រេកង់ដែលនៅជិតផ្នែកខ្លះនៃដំបងចំហៀងនិងប្រេកង់នៅជិតប្រេកង់ផ្នែកនៃដំបងកណ្តាល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។ បញ្ហានៃការរំញ័របណ្តោយនៃកញ្ចប់នៃកំណាត់មួយត្រូវបានពិចារណា។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃបញ្ហាតម្លៃព្រំដែនដែលបានបង្កើត និងវិសាលគមនៃ eigenvalues ​​របស់វាត្រូវបានពិពណ៌នា។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាវិសាលគមសម្រាប់ចំនួនដែលបំពាននៃកំណាត់ចំហៀងដូចគ្នាត្រូវបានស្នើឡើង។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ជាលេខ តម្លៃនៃប្រេកង់លំយោលដំបូងត្រូវបានរកឃើញ ហើយទម្រង់ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានសាងសង់។ លក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមួយចំនួននៃរបៀបរំញ័រដែលបានសាងសង់ក៏ត្រូវបានបង្ហាញផងដែរ។

អង្ករ។ 4. ខ្សែកោងនៃមុខងារ ចំនុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស abscissa គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ transcendental សម្រាប់ Cox = 0 (1) Cox = 0 (2) ស្របពេលជាមួយនឹងប្រព័ន្ធផ្នែកទីមួយ (ដំបងចំហៀងត្រូវបានជួសជុលនៅលើធាតុយឺត។ នៅចំណុច x = I) និងនៃប្រព័ន្ធផ្នែកទីពីរ (5) (ដំបងកណ្តាលត្រូវបានជួសជុលនៅលើធាតុយឺតចំនួនបួននៅចំណុច A)

អក្សរសាស្ត្រ

1. Kolesnikov K.S. ឌីណាមិករ៉ុក្កែត។ M.: Mashinostroenie, 2003. 520 ទំ។

2. មីស៊ីលផ្លោង និងយានបាញ់បង្ហោះ / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin et al. M.: Drofa, 2004. 511 ទំ។

3. Rabinovich B.I. ការណែនាំអំពីសក្ដានុពលនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតដឹកជញ្ជូនយានអវកាស។ M.: Mashinostroenie, 1974. 396 ទំ។

4. ការសិក្សាប៉ារ៉ាម៉ែត្រលើស្ថេរភាព POGO នៃរ៉ុក្កែតរាវ / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. នៃយានអវកាស និងរ៉ុក្កែត។ ឆ្នាំ ២០១១ វ៉ុល។ 48. គឺ។ 3. ទំ. 537-541 ។

5. Balakirev Yu.G. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការវិភាគនៃលំយោលបណ្តោយនៃរ៉ុក្កែតដឹកជញ្ជូនជាមួយម៉ាស៊ីនរាវ // វិស្វកម្មអវកាស និងរ៉ុក្កែត។ 1995. លេខ 5. S. 50-58 ។

6. Balakirev Yu.G. ភាពប្លែកនៃគំរូគណិតវិទ្យានៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតរាវដែលបានវេចខ្ចប់ជាវត្ថុបញ្ជា // បញ្ហាដែលបានជ្រើសរើសនៃភាពខ្លាំងនៃវិស្វកម្មមេកានិចទំនើប។ 2008. ស. 43-55 ។

7. Dokuchaev L.V. ការកែលម្អវិធីសាស្រ្តសម្រាប់សិក្សាពីសក្ដានុពលនៃយានបើកដំណើរការរចនាកញ្ចប់ ដោយគិតគូរពីភាពស៊ីមេទ្រីរបស់ពួកគេ // វិស្វកម្មអវកាស និងរ៉ុក្កែត។ 2005. លេខ 2. S. 112-121 ។

8. Pozhalostin A.A. ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តវិភាគប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់ការគណនារំញ័រធម្មជាតិ និងបង្ខំនៃសែលអេស្ទីកជាមួយនឹងសារធាតុរាវ៖ កំប៉ុង។ ... បណ្ឌិតបច្ចេកវិទ្យា។ វិទ្យាសាស្ត្រ។ M. , 2005. 220 ទំ។

9. Kerin S.G. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងលំហ Banach ។ M.: Nauka, 1967. 464 ទំ។

10. Kopachevsky I.D. វិធីសាស្រ្តប្រតិបត្តិករនៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា។ Simferopol: OOO "Forma", 2008. 140 ទំ។

Kolesnikov K.S. កាំជ្រួចឌីណាមីកា។ មូស្គូ, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 ទំ។

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds ។ Ballisticheskie rakety និង rakety-nositeli ។ មូស្គូ, Drofa Publ., 2003. 511 ទំ។

Rabinovich B.I. Vvedenie និង dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 ទំ។

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. ការសិក្សាប៉ារ៉ាម៉ែត្រលើស្ថេរភាព POGO នៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតឥន្ធនៈរាវ។ J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. ៤៨, អេស។ 3, ទំ។ ៥៣៧-៥៤១។

Balakirev Yu.G. វិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគរំញ័របណ្តោយនៃយានដែលបើកដំណើរការជាមួយម៉ាស៊ីនរុញរាវ។ កុសុម. ខ្ញុំ rockettostr ។ , 1995, ទេ។ 5, ទំ។ 50-58 (ជាភាសារុស្សី)។

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" ។ Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 2054 p. (cited ទំព័រ 43 ។

Dokuchaev L.V. ការកែលម្អវិធីសាស្រ្តសម្រាប់សិក្សាពីសក្ដានុពលនៃយានដែលបើកដំណើរការជាចង្កោម ដោយពិចារណាលើភាពស៊ីមេទ្រីរបស់ពួកគេ។ កុសុម. ខ្ញុំ rockettostr ។ , 2005, ទេ។ 2, ទំ។ ១១២-១២១ (ជាភាសារុស្សី)។

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh ខ្ញុំ vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk ។

Kreyn S.G. Lineynye differentsial "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 ទំ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានទទួលដោយអ្នកកែសម្រួលនៅថ្ងៃទី 28 ខែមេសា 2014

Pavlov Arseniy Mikhailovich - និស្សិតនៃនាយកដ្ឋាន "យានអវកាសនិងយានអវកាស" នៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋម៉ូស្គូ។ N.E. បាម៉ាន់។ មានជំនាញក្នុងវិស័យបច្ចេកវិទ្យារ៉ុក្កែត និងអវកាស។

MSTU អ៊ឹម។ N.E. Baumash, សហព័ន្ធរុស្ស៊ី, 105005, Moscow, 2nd Baumanskaya st., 5.

Pavlov A.M. - និស្សិតនៃនាយកដ្ឋាន "យានអវកាស និងយានបាញ់បង្ហោះ" នៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Bauman Moscow ។ អ្នកជំនាញផ្នែកបច្ចេកវិទ្យារ៉ុក្កែត និងអវកាស។ សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Bauman Moscow, 2-ya Baumanskaya ul ។ 5, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, 105005 សហព័ន្ធរុស្ស៊ី។

Temnov Alexander Nikolaevich - បណ្ឌិត។ រូបវិទ្យា - គណិតវិទ្យា។ Sci., សាស្ត្រាចារ្យរង, នាយកដ្ឋានយានអវកាស និងយានបាញ់បង្ហោះ, សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋម៉ូស្គូ។ N.E. បាម៉ាន់។ អ្នកនិពន្ធនៃឯកសារវិទ្យាសាស្ត្រជាង 20 នៅក្នុងវិស័យមេកានិចរាវ និងឧស្ម័ន និងបច្ចេកវិទ្យារ៉ុក្កែត និងអវកាស។ MSTU អ៊ឹម។ N.E. Baumash, សហព័ន្ធរុស្ស៊ី, 105005, Moscow, 2nd Baumanskaya st., 5.

Temnov A.N. - ស្ករគ្រាប់។ វិទ្យាសាស្ត្រ (រូបវិទ្យា-គណិតវិទ្យា), assoc. សាស្ត្រាចារ្យនៃនាយកដ្ឋាន "យានអវកាស និងយានបាញ់បង្ហោះ" នៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Bauman Moscow ។ អ្នកនិពន្ធនៃការបោះពុម្ពជាង 20 នៅក្នុងវិស័យមេកានិចរាវ និងឧស្ម័ន និងបច្ចេកវិទ្យារ៉ុក្កែត និងអវកាស។

សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Bauman Moscow, 2-ya Baumanskaya ul ។ 5, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, 105005 សហព័ន្ធរុស្ស៊ី។

ចូរយើងពិចារណាអំពីដំបងប្រវែងស្មើគ្នា ពោលគឺ តួរាងស៊ីឡាំង ឬរាងផ្សេងទៀត សម្រាប់លាតសន្ធឹង ឬពត់ ដែលកម្លាំងជាក់លាក់ត្រូវតែអនុវត្ត។ កាលៈទេសៈចុងក្រោយបែងចែកសូម្បីតែដំបងស្តើងបំផុតពីខ្សែអក្សរដែលដូចដែលយើងដឹងហើយពត់ដោយសេរី។

នៅក្នុងជំពូកនេះ យើងនឹងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃលក្ខណៈសម្រាប់ការសិក្សាអំពីរំញ័របណ្តោយនៃដំបង ហើយយើងនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងក្នុងការសិក្សាតែការរំញ័របែបនេះ ដែលផ្នែកឈើឆ្កាងផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សរបស់ដំបងនៅតែរាបស្មើ និងស្របទៅនឹង គ្នាទៅវិញទៅមក (រូបភាពទី 6) ។ ការសន្មត់បែបនេះគឺត្រឹមត្រូវប្រសិនបើវិមាត្រឆ្លងកាត់នៃដំបងគឺតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងប្រវែងរបស់វា។

ប្រសិនបើដំបងត្រូវបានលាតសន្ធឹងបន្តិច ឬបង្ហាប់តាមអ័ក្សបណ្តោយ ហើយបន្ទាប់មកទុកទៅខ្លួនវា នោះរំញ័របណ្តោយនឹងកើតឡើងនៅក្នុងវា។ ចូរ​យើង​តម្រង់​អ័ក្ស​តាម​អ័ក្ស​របស់​ដំបង ហើយ​សន្មត​ថា​នៅ​សល់​ចុង​ដំបង​នៅ​ចំណុច។ ទុក​ឱ្យ​ជា abscissa នៃ​ផ្នែក​ខ្លះ​នៃ​ដំបង​នៅ​ពេល​ដែល​ចុង​ក្រោយ​គឺ​នៅ​សល់។ សម្គាល់ដោយការផ្លាស់ទីលំនៅនៃផ្នែកនេះនៅពេលនោះ បន្ទាប់មកការផ្លាស់ទីលំនៅនៃផ្នែកជាមួយ abscissa នឹងស្មើនឹង

ពីទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាការពន្លូតដែលទាក់ទងនៃដំបងនៅក្នុងផ្នែកជាមួយ abscissa x ត្រូវបានបង្ហាញដោយដេរីវេ

ដោយ​សន្មត​ថា​ឥឡូវ​នេះ​ថា​ដំបង​ធ្វើ​ការ​រំញ័រ​តូច​, យើង​អាច​គណនា​ភាព​តានតឹង​ពិត​នៅ​ក្នុង​ផ្នែក​នេះ​ដោយ​អនុវត្ត​ច្បាប់​របស់ Hooke យើង​រក​ឃើញ​ថា

កន្លែងដែលជាម៉ូឌុលនៃការបត់បែននៃសម្ភារៈដំបង តំបន់កាត់របស់វា។ យកធាតុនៃដំបង, រុំព័ទ្ធ

រវាងផ្នែកទាំងពីរ អាប់ស៊ីសដែលនៅសេសសល់គឺស្មើគ្នា ធាតុនេះត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកម្លាំងភាពតានតឹងដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងផ្នែកទាំងនេះ ហើយដឹកនាំតាមអ័ក្ស លទ្ធផលនៃកម្លាំងទាំងនេះមានតម្លៃ

និងបានដឹកនាំផងដែរ។ ម៉្យាងវិញទៀត ការបង្កើនល្បឿននៃធាតុគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះយើងអាចសរសេរសមភាពបាន។

តើដង់ស៊ីតេភាគច្រើននៃដំបងនៅឯណា។ ដាក់

និងកាត់បន្ថយដោយយើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃរំញ័របណ្តោយនៃដំបងដូចគ្នា

ទម្រង់នៃសមីការនេះបង្ហាញថា លំយោលបណ្តោយនៃដំបងគឺមានលក្ខណៈរលក ហើយល្បឿន a នៃការសាយភាយនៃរលកបណ្តោយត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (4) ។

ប្រសិនបើកម្លាំងខាងក្រៅគណនាក្នុងមួយឯកតានៃបរិមាណរបស់វាក៏ធ្វើសកម្មភាពលើដំបងដែរនោះ ជំនួសឱ្យ (3) យើងទទួលបាន

នេះគឺជាសមីការនៃការរំញ័របណ្តោយបណ្តោយនៃដំបង។ ដូចនៅក្នុងឌីណាមិកជាទូទៅ សមីការមួយនៃចលនា (6) មិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់ចលនារបស់ដំបងទាំងស្រុងនោះទេ។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់លក្ខខណ្ឌដំបូង ពោលគឺកំណត់ការផ្លាស់ទីលំនៅនៃផ្នែកដំបង និងល្បឿនរបស់វានៅដំណាក់កាលដំបូងនៃពេលវេលា។

កន្លែង និងត្រូវបានផ្តល់មុខងារក្នុងចន្លោះពេល (

លើសពីនេះទៀតលក្ខខណ្ឌព្រំដែននៅចុងរបារត្រូវតែបញ្ជាក់។ ឧទាហរណ៍។

នៅក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងពិចារណាពីបញ្ហានៃការរំញ័របណ្តោយនៃដំបងដូចគ្នា។ ដំបងគឺជាតួនៃរាងស៊ីឡាំង (ជាពិសេស prismatic) សម្រាប់លាតសន្ធឹង ឬបង្ហាប់ ដែលកម្លាំងដែលគេស្គាល់ត្រូវតែអនុវត្ត។ យើងនឹងសន្មត់ថាកម្លាំងទាំងអស់ធ្វើសកម្មភាពតាមអ័ក្សរបស់ដំបង ហើយផ្នែកឈើឆ្កាងនីមួយៗនៃដំបង (រូបភាព 23) ផ្លាស់ទីបកប្រែតាមអ័ក្សរបស់ដំបងប៉ុណ្ណោះ។

ការសន្មត់នេះជាធម្មតាត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតប្រសិនបើវិមាត្រឆ្លងកាត់នៃដំបងមានទំហំតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងប្រវែងរបស់វា ហើយកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពតាមអ័ក្សរបស់ដំបងគឺតូច។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ការរំញ័រតាមបណ្តោយច្រើនតែកើតឡើងនៅពេលដែលដំបងដំបូងត្រូវបានលាតសន្ធឹងបន្តិច ឬផ្ទុយទៅវិញត្រូវបានបង្ហាប់ ហើយបន្ទាប់មកបានចាកចេញទៅដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ក្នុងករណីនេះការរំញ័របណ្តោយដោយសេរីកើតឡើងនៅក្នុងវា។ ចូរយើងទាញយកសមីការសម្រាប់ការយោលទាំងនេះ។

ចូរដឹកនាំអ័ក្ស abscissa តាមបណ្តោយអ័ក្សនៃដំបង (រូបភាព 23); នៅពេលសម្រាក ចុងបញ្ចប់នៃដំបងមាន abscissas រៀងៗខ្លួន។ ពិចារណាផ្នែក ; - abscissa របស់វាសម្រាក។

ការផ្លាស់ទីលំនៅនៃផ្នែកនេះនៅពេលណាក៏បាន t នឹងត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយមុខងារដើម្បីស្វែងរកដែលយើងត្រូវបង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ជាដំបូងយើងរកឃើញការពន្លូតដែលទាក់ទងនៃផ្នែកនៃដំបងដែលចងដោយផ្នែក។ ប្រសិនបើ abscissa នៃផ្នែកនៅសម្រាកគឺ

ដូច្នេះការពន្លូតដែលទាក់ទងនៃដំបងនៅក្នុងផ្នែកជាមួយ abscissa នៅពេល t គឺស្មើនឹង

ដោយសន្មតថាកម្លាំងដែលបណ្តាលឱ្យមានការពន្លូតនេះគោរពតាមច្បាប់របស់ Hooke យើងរកឃើញទំហំនៃកម្លាំងភាពតានតឹង T ដែលដើរតួនៅលើផ្នែកឆ្លងកាត់:

(5.2)

កន្លែងណាជាផ្នែកកាត់នៃដំបង ហើយជាម៉ូឌុលនៃការបត់បែន (ម៉ូឌុលយុវជន) នៃសម្ភារៈដំបង។ រូបមន្ត (5.2) គួរតែត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះអ្នកអានពីកម្លាំងនៃសម្ភារៈ។

ដូច្នោះហើយកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើផ្នែកគឺស្មើនឹង

ចាប់តាំងពីកងកម្លាំងជំនួសសកម្មភាពនៃផ្នែកដែលត្រូវបានច្រានចោលនៃដំបងលទ្ធផលរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នា

ដោយពិចារណាលើផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសនៃដំបងជាចំណុចសម្ភារៈដែលមានម៉ាស់ តើដង់ស៊ីតេភាគច្រើននៃដំបងនៅឯណា ហើយអនុវត្តច្បាប់ទីពីររបស់ញូតុនទៅវា យើងបង្កើតសមីការ

កាត់បន្ថយ និងណែនាំសញ្ញាណសំគាល់ យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការរំញ័របណ្តោយបណ្តោយនៃដំបង

ប្រសិនបើយើងសន្មត់បន្ថែមថាកម្លាំងខាងក្រៅគណនាក្នុងមួយឯកតាបរិមាណ ហើយធ្វើសកម្មភាពតាមអ័ក្សរបស់ដំបង នោះពាក្យមួយនឹងត្រូវបានបន្ថែមទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃទំនាក់ទំនង (5 3) ហើយសមីការ (5.4) នឹងយក ទម្រង់

ដែលពិតជាស្របគ្នានឹងសមីការនៃការរំញ័រដោយបង្ខំនៃខ្សែអក្សរ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅរកការបង្កើតលក្ខខណ្ឌដំបូង និងព្រំដែននៃបញ្ហា ហើយពិចារណាករណីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដែលចុងម្ខាងនៃដំបងត្រូវបានជួសជុល ហើយមួយទៀតគឺឥតគិតថ្លៃ។

នៅចុងបញ្ចប់ដោយឥតគិតថ្លៃលក្ខខណ្ឌព្រំដែននឹងមានទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ដោយសារមិនមានកម្លាំងខាងក្រៅនៅចុងបញ្ចប់នេះ កម្លាំង T ដែលដើរតួក្នុងផ្នែកក៏ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យដែរ i.e.

ការយោលកើតឡើងដោយសារតែនៅពេលដំបូង ដំបងត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយ (លាតសន្ធឹង ឬបង្ហាប់) ហើយល្បឿនដំបូងមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ទៅចំណុចនៃដំបង។ ដូច្នេះយើងត្រូវដឹងពីការផ្លាស់ទីលំនៅនៃផ្នែកឈើឆ្កាងនៃដំបងនៅពេលនេះ

ក៏ដូចជាល្បឿនដំបូងនៃចំណុចនៃដំបង

ដូច្នេះបញ្ហានៃការរំញ័របណ្តោយបណ្តោយនៃដំបងដែលបានជួសជុលនៅចុងម្ខាងដែលកើតឡើងដោយសារតែការបង្ហាប់ឬភាពតានតឹងដំបូងបាននាំយើងទៅរកសមីការ។

ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង

និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែន

វាគឺជាលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយដែលបែងចែកពីចំណុចគណិតវិទ្យានៃទិដ្ឋភាពនៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាពីបញ្ហានៃការរំញ័រនៃខ្សែអក្សរដែលបានជួសជុលនៅចុងទាំងពីរ។

យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានបង្កើតដោយវិធីសាស្ត្រ Fourier ពោលគឺស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (5.8) ក្នុងទម្រង់

ដោយសារវគ្គបន្ថែមនៃដំណោះស្រាយគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានរៀបរាប់រួចហើយនៅក្នុង§ 3 យើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងការចង្អុលបង្ហាញខ្លីៗ។ ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជា (5.6) និងការបំបែកអថេរ យើងទទួលបាន

(យើងទុកវាឱ្យអ្នកអានបង្កើតដោយខ្លួនឯងថា ដោយសារលក្ខខណ្ឌព្រំដែន ថេរនៅខាងស្តាំដៃមិនអាចជាលេខវិជ្ជមាន ឬសូន្យបានទេ។) ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការមានទម្រង់

ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌដែលបានកំណត់នៅលើមុខងារយើងនឹងមាន

ដំណោះស្រាយ​ដែល​មិន​ដូចគ្នា​នឹង​សូន្យ​នឹង​ត្រូវ​បាន​ទទួល​បាន​លុះត្រា​តែ​លក្ខខណ្ឌ​ត្រូវ​បាន​ជួប ពោល​គឺ​សម្រាប់​ដែល k អាច​យក​តម្លៃ

ដូច្នេះ eigenvalues ​​នៃបញ្ហាគឺជាលេខ

នីមួយៗមានមុខងារផ្ទាល់ខ្លួន

ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយថា ការគុណមុខងារ eigen ណាមួយដោយថេរដែលបំពាន យើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលបានកំណត់។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាដោយផ្តល់តម្លៃអវិជ្ជមានដល់លេខ k យើងនឹងមិនទទួលបានមុខងារ eigen ថ្មីទេ (ឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលយើងទទួលបានមុខងារដែលខុសពី eigenfunction) តែនៅក្នុងសញ្ញា)។

ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ជា​បឋម​ថា​មុខងារ eigenfunctions (5.11) គឺ​ជា​រាង​ជ្រុង​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល។ ជាការពិតនៅ

បើអញ្ចឹង

វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ orthogonality នៃ eigenfunctions នៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត, មិនពឹងផ្អែកលើកន្សោមច្បាស់លាស់របស់ពួកគេ, ប៉ុន្តែប្រើតែសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងលក្ខខណ្ឌព្រំដែន។ អនុញ្ញាតឱ្យនិងជា eigenvalues ​​ពីរផ្សេងគ្នា និងជា eigenfunctions ដែលត្រូវគ្នា។ តាមនិយមន័យ មុខងារទាំងនេះបំពេញសមីការ

និងលក្ខខណ្ឌគែម។ គុណនឹងទីមួយនៃសមីការដោយទីពីរដោយ និងដកមួយពីមួយទៀត។