លេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

រូបមន្ត De Moivre

សូម z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) និង z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2) ។

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺងាយស្រួលប្រើដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការនៃគុណ ការបែងចែក ការបង្កើនទៅជាចំនួនគត់ និងស្រង់ឫសនៃដឺក្រេ n ។

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)) ។

នៅពេលគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ម៉ូឌុលរបស់ពួកគេត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេត្រូវបានបន្ថែម។ នៅពេលបែងចែកម៉ូឌុល​របស់​ពួកគេ​ត្រូវ​បាន​បែងចែក ហើយ​អាគុយម៉ង់​របស់​ពួកគេ​ត្រូវ​បាន​ដក។

លទ្ធផលនៃច្បាប់សម្រាប់គុណចំនួនកុំផ្លិច គឺជាក្បួនសម្រាប់បង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលមួយ។

z = r(cos  + i sin ) ។

z n \u003d r n (cos n + isin n) ។

សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ De Moivre ។

ឧទាហរណ៍ 8.1 ស្វែងរកផលិតផល និងបរិមាណនៃលេខ៖

និង

ដំណោះស្រាយ

z1∙z2
∙

=

;

ឧទាហរណ៍ 8.2 សរសេរលេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

∙
-i) ៧.

ដំណោះស្រាយ

សម្គាល់
និង z 2 =
– ខ្ញុំ

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 ;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2| = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) ៥ ២ ៧
=

2 9

§ 9 ការស្រង់ឫសនៃចំនួនកុំផ្លិច

និយមន័យ។ ឫសនth power នៃចំនួនកុំផ្លិច z (តំណាង
) គឺជាចំនួនកុំផ្លិច w ដូចនេះ w n = z ។ ប្រសិនបើ z = 0 បន្ទាប់មក
= 0.

ឱ្យ z  0, z = r(cos + isin) ។ សម្គាល់ w = (cos + sin) បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការ w n = z ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin) ។

ដូច្នេះ  n = r,

 =

ដូច្នេះ w k =
·
.

មានតម្លៃជាក់លាក់ n ខុសគ្នាក្នុងចំណោមតម្លៃទាំងនេះ។

ដូច្នេះ k = 0, 1, 2, …, n − 1 ។

នៅលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញ ចំនុចទាំងនេះគឺជាចំនុចកំពូលនៃ n-gon ធម្មតាដែលចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានកាំ
ចំកណ្តាលចំណុច O (រូបភាពទី 12) ។

រូបភាពទី 12

ឧទាហរណ៍ 9.1ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។
.

ដំណោះស្រាយ។

ចូរតំណាងឱ្យលេខនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ស្វែងរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា។

w k =
ដែល k = 0, 1, 2, 3 ។

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

នៅលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញ ចំនុចទាំងនេះគឺជាចំនុចកំពូលនៃការ៉េដែលចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលមានកាំ
ផ្តោតលើប្រភពដើម (រូបភាពទី 13) ។

រូបភាពទី 13 រូបភាពទី 14

ឧទាហរណ៍ 9.2ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។
.

ដំណោះស្រាយ។

z = − 64 = 64(cos + isin);

w k =
ដែល k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ។

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

នៅលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញ ចំនុចទាំងនេះគឺជាចំនុចកំពូលនៃឆកោនធម្មតាដែលចារក្នុងរង្វង់ដែលមានកាំ 2 ចំកណ្តាលត្រង់ចំនុច O (0; 0) - រូបភាពទី 14 ។

§ 10 ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច។

រូបមន្តអយល័រ

សម្គាល់
= cos  + isin  និង
= cos  - isin  ។ សមាមាត្រទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តអយល័រ .

មុខងារ
មានលក្ខណៈសម្បត្តិធម្មតានៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

សូមឲ្យចំនួនកុំផ្លិច z សរសេរក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ z = r(cos + isin) ។

ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រយើងអាចសរសេរ៖

z = r
.

ធាតុនេះត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ចង្អុលបង្ហាញចំនួនកុំផ្លិច។ ដោយប្រើវា យើងទទួលបានច្បាប់សម្រាប់គុណ ចែក និទស្សន្ត និងដកឫស។

ប្រសិនបើ z 1 = r 1
និង z 2 = r 2
?នោះ

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

ដែល k = 0, 1, … , n − 1 ។

ឧទាហរណ៍ 10.1សរសេរលេខក្នុងទម្រង់ពិជគណិត

z=
.

ដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ 10.2ដោះស្រាយសមីការ z 2 + (4 − 3i)z + 4 − 6i = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់មេគុណស្មុគស្មាញណាមួយ សមីការនេះមានឫសពីរ z 1 និង z 1 (អាចស្របគ្នា)។ ឫសទាំងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នានឹងករណីពិតដែរ។ ដោយសារតែ
យកតម្លៃពីរដែលខុសគ្នាតែក្នុងសញ្ញា បន្ទាប់មករូបមន្តនេះមានទម្រង់៖

ចាប់តាំងពី –9 \u003d 9 អ៊ី  i បន្ទាប់មកតម្លៃ
លេខនឹងមានៈ

បន្ទាប់មក
និង
.

ដំណោះស្រាយ។

ឫសដែលចង់បាននៃសមីការនឹងជាតម្លៃ
.

សម្រាប់ z = –1 យើងមាន r = 1, arg(–1) =  ។

w k =
, k = 0, 1, 2 ។

លំហាត់

9 បង្ហាញក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លេខ៖

10 សរសេរជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងពិជគណិតនៃលេខ៖

11 សរសេរជាលេខពិជគណិត និងធរណីមាត្រ៖

12 លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ

បង្ហាញពួកវាក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ស្វែងរក
.

13 ដោយប្រើទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច សូមធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

ក)
ខ)

វី)
ឆ)

ជាមួយនិងលេខធម្មជាតិ ន 2 .

លេខស្មុគស្មាញ Zហៅ ឫសន– គ, ប្រសិនបើ Z ន = គ.

ស្វែងរកតម្លៃ root ទាំងអស់។ ន– th degree ពីចំនួនកុំផ្លិច ជាមួយ. អនុញ្ញាតឱ្យ គ=| គ|·(cos Arg គ+ ខ្ញុំ· អំពើបាប Argជាមួយ),ក Z = | Z|·(ជាមួយos Arg Z + ខ្ញុំ· អំពើបាប Arg Z) , កន្លែងណា Zឫស ន- th degree ពីចំនួនកុំផ្លិច ជាមួយ. បន្ទាប់មកវាត្រូវតែ = គ = | គ|·(cos Arg គ+ ខ្ញុំ· អំពើបាប Argជាមួយ). ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។
និង ន· Arg Z = Argជាមួយ
Arg Z =
(k=0,1,…) . អាស្រ័យហេតុនេះ Z =
(cos
+ ខ្ញុំ· អំពើបាប
), (k=0,1,…) . វាងាយស្រួលមើលថាតម្លៃណាមួយ។
, (k=0,1,…) ខុសគ្នាពីតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។
,(k = 0,1,…, ន-1) ទៅច្រើន។ 2π. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល , (k = 0,1,…, ន-1) .

ឧទាហរណ៍។

គណនាឫសនៃ (-1).

ជាក់ស្តែង |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + ខ្ញុំ· អំពើបាប π )

, (k = 0, 1) ។

= ខ្ញុំ

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផលតាមអំពើចិត្ត

យកចំនួនកុំផ្លិចដោយបំពាន ជាមួយ. ប្រសិនបើ នបន្ទាប់មកលេខធម្មជាតិ ជាមួយ ន = | គ| ន ·(ជាមួយos nArgជាមួយ +ខ្ញុំ· អំពើបាប nArgជាមួយ)(៦). រូបមន្តនេះក៏ជាការពិតផងដែរនៅក្នុងករណី ន = 0 (គ≠0)
. អនុញ្ញាតឱ្យ ន < 0 និង ន Zនិង គ ≠ ០, បន្ទាប់មក

ជាមួយ ន =
(cos nArgជាមួយ+i sin nArgជាមួយ) = (cos nArgជាមួយ+ ខ្ញុំ sin nArgជាមួយ) . ដូច្នេះរូបមន្ត (6) មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ ន.

ចូរយើងយកលេខសមហេតុផល , កន្លែងណា qលេខធម្មជាតិ និង រគឺជាចំនួនគត់។

បន្ទាប់មកនៅក្រោម សញ្ញាបត្រ គ rចូរយើងយល់ពីលេខ
.

យើងទទួលបាននោះ។ ,

(k = 0, 1, …, q-1). តម្លៃទាំងនេះ qបំណែកប្រសិនបើប្រភាគមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយ។

ការបង្រៀន №3 ដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិចមួយ។

មុខងារដែលមានតម្លៃស្មុគស្មាញនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិចនិងតំណាង (ជាមួយ ន ) ឬ ជាមួយ 1 , ជាមួយ 2 , ... , ជាមួយ ន . ជាមួយ ន = ក ន + ខ ន · ខ្ញុំ (ន = 1,2, ...) លេខស្មុគស្មាញ។

ជាមួយ 1 , ជាមួយ 2 , ... - សមាជិកនៃលំដាប់; ជាមួយ ន - សមាជិកទូទៅ

លេខស្មុគស្មាញ ជាមួយ = ក+ ខ· ខ្ញុំហៅ ដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (គ ន ) , កន្លែងណា ជាមួយ ន = ក ន + ខ ន · ខ្ញុំ (ន = 1, 2, …) កន្លែងណា

នោះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ន > នវិសមភាព
. លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់កំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបង្រួបបង្រួមលំដាប់។

ទ្រឹស្តីបទ។

សម្រាប់លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាមួយ ន ) (ជាមួយ ន = ក ន + ខ ន · ខ្ញុំ) បានបំប្លែងទៅជាលេខ = ក+ ខ· ខ្ញុំគឺចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សមភាពលីម ក ន = ក, លីម ខ ន = ខ.

ភស្តុតាង។

យើងនឹងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដោយផ្អែកលើវិសមភាពទ្វេជាក់ស្តែងដូចខាងក្រោម

, កន្លែងណា Z = x + y· ខ្ញុំ (2)

ភាព​ចាំបាច់។អនុញ្ញាតឱ្យ លីម(ជាមួយ ន ) = ជាមួយ. ចូរយើងបង្ហាញថាសមភាព លីម ក ន = កនិង លីម ខ ន = ខ (3).

ជាក់ស្តែង (4)

ដោយសារតែ
, ពេលណា​ ន → ∞ បន្ទាប់មកវាបន្តពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (4) នោះ។
និង
, ពេលណា​ ន → ∞ . ដូច្នេះសមភាព (៣) រក្សា។ តម្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភាពគ្រប់គ្រាន់។ឥឡូវនេះសូមឱ្យសមភាព (3) កាន់។ វាធ្វើតាមសមភាព (3) នោះ។
និង
, ពេលណា​ ន → ∞ ដូច្នេះដោយសារផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាព (4) វានឹងក្លាយជា
, ពេលណា​ ន→∞ , មានន័យថា លីម(ជាមួយ ន ) = ស. ភាពគ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដូច្នេះ សំណួរនៃការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិចគឺស្មើនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ចំនួនពិតពីរ ដូច្នេះហើយ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ចំនួនពិតអនុវត្តចំពោះលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy មានសុពលភាព៖ សម្រាប់លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាមួយ ន ) បង្រួបបង្រួម វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ណាមួយ។

ថាសម្រាប់ណាមួយ។ន, ម > នវិសមភាព
.

ទ្រឹស្តីបទ។

អនុញ្ញាតឱ្យលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាមួយ ន ) និង (z ន ) បង្រួបបង្រួមគ្នាជាមួយ និងzបន្ទាប់មកសមភាពលីម(ជាមួយ ន z ន ) = គ z, លីម(ជាមួយ ន · z ន ) = គ· z. បើគេដឹងច្បាស់zមិនស្មើនឹង 0 បន្ទាប់មកសមភាព
.