ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត (GCD) - និយមន័យ ឧទាហរណ៍ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ។ ហេតុអ្វីត្រូវណែនាំគោលគំនិតនៃ "Greatest Common Divisor (GCD)" និង "Least Common Multiple (LCM)" នៃចំនួននៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា?

ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហា។ យើងមានខូឃីពីរប្រភេទ។ ខ្លះជាសូកូឡា ហើយខ្លះទៀតគឺធម្មតា។ មានសូកូឡាចំនួន 48 ដុំ និងសាមញ្ញចំនួន 36 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យចំនួនអំណោយអតិបរមាដែលអាចធ្វើបានពីខូគីទាំងនេះ ហើយពួកវាទាំងអស់ត្រូវតែប្រើ។

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរលេខចែកទាំងអស់នៃលេខទាំងពីរនេះ ព្រោះលេខទាំងពីរនេះត្រូវតែបែងចែកដោយចំនួនអំណោយ។

យើង​ទទួល​បាន

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

ចូរយើងស្វែងរកក្នុងចំនោមអ្នកចែកដែលជាចំនួនធម្មតាដែលទាំងលេខទីមួយ និងលេខទីពីរមាន។

ការបែងចែកទូទៅនឹងមានៈ ១, ២, ៣, ៤, ៦, ១២។

លេខចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតគឺ 12។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃ 36 និង 48 ។

ដោយផ្អែកលើលទ្ធផលយើងអាចសន្និដ្ឋានថាអំណោយចំនួន 12 អាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីខូឃីទាំងអស់។ អំណោយមួយនោះនឹងមានខូគីសូកូឡាចំនួន 4 និងខូគីធម្មតាចំនួន 3 ។

ការស្វែងរកផ្នែករួមដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

  • លេខធម្មជាតិធំបំផុតដែលលេខពីរ a និង b អាចបែងចែកបានដោយគ្មានសល់ ត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះ។

ពេលខ្លះអក្សរកាត់ GCD ត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរអក្សរកាត់។

គូមួយចំនួននៃលេខមានមួយជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា លេខ coprime ។ឧទាហរណ៍ លេខ 24 និង 35។ មាន GCD =1។

របៀបស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុត

ដើម្បីស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត វាមិនចាំបាច់ក្នុងការសរសេរចេញពីផ្នែកទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះទេ។

អ្នកអាចធ្វើបានបើមិនដូច្នេះទេ។ ទីមួយ បញ្ចូលលេខទាំងពីរទៅជាកត្តាសំខាន់។

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

ឥឡូវនេះពីកត្តាដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទីមួយយើងលុបទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទីពីរ។ ក្នុងករណីរបស់យើងទាំងនេះគឺជា deuces ពីរ។

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

កត្តា 2, 2 និង 3 នៅតែមាន។ ផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 12 ។ លេខនេះនឹងជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 48 និង 36 ។

ច្បាប់នេះអាចត្រូវបានពង្រីកទៅករណីបី, បួន, ហើយដូច្នេះនៅលើ។ លេខ។

គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកផ្នែកទូទៅធំបំផុត

  • 1. បំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់។
  • 2. ពីកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនមួយក្នុងចំណោមចំនួនទាំងនេះ កាត់ចេញនូវចំនួនដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនផ្សេងទៀត។
  • 3. គណនាផលគុណនៃកត្តាដែលនៅសល់។

ការស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរក gcd នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។ យើងបានលើកឡើងរឿងនេះនៅពេលសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD ។ នៅទីនោះ យើងបានបង្កើត និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ៖ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនជាច្រើន។ a 1 , a 2 , … , កគឺស្មើនឹងចំនួន ឃដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការគណនាតាមលំដាប់លំដោយ GCD(a 1 , a 2) = d 2, GCD(d 2, a 3) = ឃ ៣, GCD(d 3, a 4) = ឃ ៤, …,GCD(d k-1, a k) = d k.

សូមមើលពីរបៀបដែលដំណើរការនៃការស្វែងរក GCD នៃលេខជាច្រើនមើលទៅដូចដោយពិចារណាលើដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបួន 78 , 294 , 570 និង 36 .

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។ a 1 = 78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.

ជាដំបូង ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid យើងកំណត់ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត ឃ២លេខពីរដំបូង 78 និង 294 . នៅពេលបែងចែកយើងទទួលបានសមភាព ២៩៤=៧៨ ៣+៦០; ៧៨=៦០ ១+១៨;៦០=១៨ ៣+៦និង ១៨=៦ ៣. ដូច្នេះ d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.

ឥឡូវ​យើង​គណនា d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). ចូរប្រើក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ម្តងទៀត៖ ៥៧០=៦ ៩៥ដូច្នេះ, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.

វានៅសល់ដើម្បីគណនា d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). ដោយសារតែ 36 ចែក​ដោយ 6 , នោះ។ d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d ៦.

ដូច្នេះ ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃចំនួនបួនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ d4=6នោះគឺ gcd(78, 294, 570, 36)=6.

ចម្លើយ៖

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

ការបំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់ក៏អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនា GCD នៃលេខបីឬច្រើន។ ក្នុងករណីនេះ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតត្រូវបានរកឃើញថាជាផលិតផលនៃកត្តាបឋមទូទៅទាំងអស់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

គណនា GCD នៃលេខពីឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើកត្តាចម្បងរបស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ។

តោះបំបែកលេខ 78 , 294 , 570 និង 36 ចូលទៅក្នុងកត្តាចម្បងយើងទទួលបាន ៧៨=២ ៣ ១៣,២៩៤=២ ៣ ៧ ៧, ៥៧០=២ ៣ ៥ ១៩, ៣៦=២ ២ ៣ ៣. កត្តាសំខាន់ទូទៅនៃលេខទាំងបួនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺលេខ 2 និង 3 . អាស្រ័យហេតុនេះ GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

ចម្លើយ៖

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

កំពូលនៃទំព័រ

ការស្វែងរក gcd នៃលេខអវិជ្ជមាន

ប្រសិនបើលេខមួយ ច្រើន ឬទាំងអស់នៃលេខដែលបែងចែកធំបំផុតគឺត្រូវរកឃើញជាលេខអវិជ្ជមាន នោះ gcd របស់ពួកគេគឺស្មើនឹងការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះ។ នេះគឺដោយសារតែលេខផ្ទុយ កនិង -កមានការបែងចែកដូចគ្នា ដែលយើងបានពិភាក្សានៅពេលសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែក។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរក gcd នៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាន −231 និង −140 .

ដំណោះស្រាយ។

តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខមួយ។ −231 ស្មើ 231 និងម៉ូឌុលនៃលេខ −140 ស្មើ 140 , និង gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមភាពដូចខាងក្រោមៈ 231=140 1+91; ១៤០=៩១ ១+៤៩; ៩១=៤៩ ១+៤២; ៤៩=៤២ ១+៧និង ៤២=៧ ៦. អាស្រ័យហេតុនេះ gcd(231, 140)=7. បន្ទាប់មក ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាននៃចំនួនអវិជ្ជមាន −231 និង −140 ស្មើ 7 .


ចម្លើយ៖

GCD(−231,−140)=7.

ឧទាហរណ៍។

កំណត់ gcd នៃចំនួនបី −585 , 81 និង −189 .

ដំណោះស្រាយ។

នៅពេលស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុត លេខអវិជ្ជមានអាចត្រូវបានជំនួសដោយតម្លៃដាច់ខាតរបស់ពួកគេ ពោលគឺ gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). ការពង្រីកចំនួន 585 , 81 និង 189 កត្តាសំខាន់គឺរៀងគ្នានៃទម្រង់ ៥៨៥=៣ ៣ ៥ ១៣, ៨១=៣ ៣ ៣ ៣និង ១៨៩=៣ ៣ ៣ ៧. កត្តាសំខាន់ទូទៅនៃលេខទាំងបីនេះគឺ 3 និង 3 . បន្ទាប់មក GCD(585, 81, 189)=3 3=9ដូច្នេះ, gcd(−585, 81, −189)=៩.

ចម្លើយ៖

gcd(−585, 81, −189)=៩.

35. ឫសគល់នៃពហុធា។ ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ (33 ឡើងទៅ)

36. ឫសច្រើន, លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃគុណនៃឫស។

ប៉ុន្តែលេខធម្មជាតិជាច្រើនត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខធម្មជាតិផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍:

លេខ 12 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 ដោយ 6 ដោយ 12;

លេខ 36 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 គុណ 6 ដោយ 12 ដោយ 18 ដោយ 36 ។

លេខដែលលេខអាចបែងចែកបាន (សម្រាប់ 12 វាគឺ 1, 2, 3, 4, 6 និង 12) ត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកលេខ. ការបែងចែកលេខធម្មជាតិ កគឺជាលេខធម្មជាតិដែលបែងចែកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ កដោយគ្មានដាន។ លេខធម្មជាតិដែលមានកត្តាច្រើនជាងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមាសធាតុ. ចំណាំថាលេខ 12 និង 36 មានការបែងចែកទូទៅ។ ទាំងនេះគឺជាលេខ៖ 1, 2, 3, 4, 6, 12. ការបែងចែកធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះគឺ 12 ។

ការបែងចែកធម្មតានៃចំនួនពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ កនិង ខគឺ​ជា​លេខ​ដែល​លេខ​ទាំង​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​គឺ​អាច​បែងចែក​បាន​ដោយ​មិន​មាន​សល់ កនិង ខ. ការបែងចែកទូទៅនៃលេខច្រើន (GCD)គឺ​ជា​លេខ​ដែល​ធ្វើ​ជា​អ្នក​ចែក​សម្រាប់​ពួកគេ​នីមួយៗ។

ដោយសង្ខេប ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ កនិង ខត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍: gcd (12; 36) = 12 ។

ការបែងចែកលេខនៅក្នុងកំណត់ត្រាដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរធំ "D" ។

ឧទាហរណ៍៖

gcd (7; 9) = 1

លេខ 7 និង 9 មានការបែងចែកធម្មតាតែមួយ - លេខ 1 ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ចម្លងឈី ស្លេម.

លេខចម្លងគឺ​ជា​លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​មាន​ធាតុ​ចែក​ទូទៅ​តែ​មួយ​គត់ គឺ​លេខ 1 ។ gcd របស់​ពួកគេ​គឺ 1 ។

Greatest Common Divisor (GCD) លក្ខណៈសម្បត្តិ។

  • ទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង៖ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត មនិង នត្រូវបានបែងចែកដោយផ្នែកទូទៅនៃលេខទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រាប់លេខ 12 និង 18 ការបែងចែកធម្មតាបំផុតគឺ 6; វាត្រូវបានបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅនៃលេខទាំងនេះ: 1, 2, 3, 6 ។
  • កូរ៉ូឡារីទី១៖ សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅ មនិង នស្របពេលជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែក gcd( ម, ន).
  • កូរ៉ូឡារីទី២៖ សំណុំនៃគុណទូទៅ មនិង នស្របពេលជាមួយនឹងសំណុំនៃ LCMs ច្រើន ( ម, ន).

ជាពិសេស នេះមានន័យថា ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ gcd របស់ពួកគេ។

  • ការបែងចែកលេខទូទៅធំបំផុត មនិង នអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាធាតុវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃសំណុំនៃបន្សំលីនេអ៊ែរទាំងអស់របស់ពួកគេ៖

ដូច្នេះ តំណាង​ឱ្យ​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​លេខ មនិង ន:

សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា សមាមាត្រ Bezoutនិងមេគុណ យូនិង v — មេគុណ bezout. មេគុណ Bézout ត្រូវ​បាន​គណនា​យ៉ាង​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​ដោយ​ក្បួន​ដោះស្រាយ Euclid ដែល​បាន​ពង្រីក។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានធ្វើជាទូទៅទៅសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ - អត្ថន័យរបស់វាគឺថាក្រុមរងនៃក្រុមដែលបង្កើតដោយសំណុំគឺរង្វិលហើយត្រូវបានបង្កើតដោយធាតុមួយ: gcd ( ក 1 , ក 2 , … , មួយ n).

ការគណនានៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (gcd) ។

វិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាពក្នុងការគណនា gcd នៃចំនួនពីរគឺ ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclidនិង គោលពីរក្បួនដោះស្រាយ. លើសពីនេះទៀតតម្លៃ GCD ( ម,ន) អាចត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើការពង្រីក Canonical នៃលេខត្រូវបានគេស្គាល់ មនិង នសម្រាប់កត្តាចម្បង៖

កន្លែងណាជាបឋមដាច់ដោយឡែក និងជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន (វាអាចជាសូន្យ ប្រសិនបើបឋមដែលត្រូវគ្នាមិនស្ថិតនៅក្នុងការពង្រីក)។ បន្ទាប់មក gcd ( ម,ន) និង LCM ( ម,ន) ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

ប្រសិនបើមានលេខច្រើនជាងពីរ៖ GCD របស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖

- នេះគឺជា GCD ដែលចង់បាន។

ផងដែរដើម្បីស្វែងរក ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតអ្នកអាចបំបែកលេខនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាកត្តាសំខាន់។ បន្ទាប់មកសរសេរដោយឡែកពីគ្នាតែកត្តាទាំងនោះដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់។ បន្ទាប់មកយើងគុណលេខដែលសរសេរចេញក្នុងចំណោមពួកគេ - លទ្ធផលនៃគុណគឺជាភាគចែកទូទៅធំបំផុត .

ចូរយើងវិភាគការគណនានៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយជំហានម្តងមួយៗ៖

1. បំបែកផ្នែកនៃលេខទៅជាកត្តាចម្បង៖

ការគណនាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរបារបញ្ឈរ។ នៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ដំបូងសរសេរភាគលាភទៅខាងស្តាំ - ការបែងចែក។ បន្ថែមទៀតនៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងយើងសរសេរចុះតម្លៃនៃឯកជន។ ចូរយើងពន្យល់ភ្លាមៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយើងធ្វើកត្តាលេខ 28 និង 64 ទៅជាកត្តាសំខាន់។

2. យើងគូសបញ្ជាក់កត្តាសំខាន់ដូចគ្នានៅក្នុងលេខទាំងពីរ៖

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. យើងរកឃើញផលិតផលនៃកត្តាចម្បងដូចគ្នា ហើយសរសេរចម្លើយ៖

GCD (28; 64) = 2 ។ ២ = ៤

ចម្លើយ៖ GCD (28; 64) = 4

អ្នកអាចរៀបចំទីតាំងរបស់ GCD តាមពីរវិធី៖ នៅក្នុងជួរឈរមួយ (ដូចដែលបានធ្វើខាងលើ) ឬ "នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ" ។

វិធីដំបូងដើម្បីសរសេរ GCD៖

ស្វែងរក GCD 48 និង 36 ។

GCD (48; 36) = 2 ។ ២. ៣ = ១២

វិធីទីពីរដើម្បីសរសេរ GCD៖

ឥឡូវនេះសូមសរសេរដំណោះស្រាយស្វែងរក GCD នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ។ ស្វែងរក GCD 10 និង 15 ។

ឃ(១០) = (១, ២, ៥, ១០)

ឃ(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

និយមន័យ ២

ប្រសិនបើចំនួនធម្មជាតិ a ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនធម្មជាតិ $b$ នោះ $b$ ត្រូវបានគេហៅថា ចែក $a$ ហើយចំនួន $a$ ត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណនៃ $b$ ។

សូមឱ្យ $a$ និង $b$ ជាលេខធម្មជាតិ។ លេខ $c$ ត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅសម្រាប់ទាំង $a$ និង $b$។

សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $a$ និង $b$ គឺកំណត់ដោយហេតុថាគ្មានផ្នែកណាមួយអាចធំជាង $a$ បានទេ។ នេះមានន័យថា ក្នុងចំណោមអ្នកចែកទាំងនេះ មានមួយធំជាងគេ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ $a$ និង $b$ ហើយសញ្ញាណត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់វា៖

$gcd \\ (a; b) \\ ឬ \\ D \\ (a; b) $

ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ៖

  1. ស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក gcd នៃលេខ $121$ និង $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    ជ្រើសរើសលេខដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    ស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

    $gcd=2\cdot 11=22$

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក GCD នៃ monomials $63$ និង $81$។

យើងនឹងរកឃើញយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបង្ហាញ។ សម្រាប់​ការ​នេះ:

    ចូរបំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    យើងជ្រើសរើសលេខដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    ចូរយើងស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

    $gcd=3\cdot 3=9$

អ្នកអាចស្វែងរក GCD នៃលេខពីរតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដោយប្រើសំណុំនៃការបែងចែកលេខ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរក gcd នៃលេខ $48$ និង $60$។

ដំណោះស្រាយ៖

រកសំណុំនៃផ្នែកចែក $48$៖ $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ឥឡូវ​យើង​រក​ឃើញ​សំណុំ​នៃ​ការ​ចែក​ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំទាំងនេះ៖ $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - សំណុំនេះនឹងកំណត់សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $48$ និង $60 $ ធាតុដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងឈុតនេះនឹងមានលេខ $12 ។ ដូច្នេះ ការបែងចែកធម្មតាបំផុតគឺ $48$ និង $60$ គឺ $12។

និយមន័យ NOC

និយមន័យ ៣

ពហុគុណទូទៅនៃលេខធម្មជាតិ$a$ និង $b$ គឺជាលេខធម្មជាតិដែលជាពហុគុណនៃ $a$ និង $b$ ។

ផលគុណទូទៅនៃលេខគឺជាលេខដែលបែងចែកដោយដើមដោយគ្មានសល់។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខ $25$ និង $50$ ផលគុណទូទៅនឹងជាលេខ $50,100,150,200$ ។ល។

ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនឹងត្រូវបានគេហៅថា ពហុគុណសាមញ្ញបំផុត ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ LCM$(a;b)$ ឬ K$(a;b).$

ដើម្បីស្វែងរក LCM នៃលេខពីរ អ្នកត្រូវការ៖

  1. បំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់
  2. សរសេរកត្តាដែលជាផ្នែកមួយនៃលេខទីមួយ ហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវកត្តាដែលជាផ្នែកនៃទីពីរ ហើយកុំទៅលេខទីមួយ

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរក LCM នៃលេខ $99$ និង $77$។

យើងនឹងរកឃើញយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបង្ហាញ។ សម្រាប់​ការ​នេះ

    បំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់

    99$=3\cdot 3\cdot 11$

    សរសេរកត្តាដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងទីមួយ

    បន្ថែមទៅកត្តាដែលជាផ្នែកមួយនៃទីពីរហើយកុំទៅទីមួយ

    ស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផលគុណសាមញ្ញបំផុតដែលចង់បាន

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    ការចងក្រងបញ្ជីនៃការបែងចែកលេខច្រើនតែចំណាយពេលច្រើន។ មានវិធីមួយដើម្បីស្វែងរក GCD ដែលហៅថាក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ។

    សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ត្រូវបានផ្អែកលើ៖

    ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ ជាលេខធម្មជាតិ ហើយ $a\vdots b$ នោះ $D(a;b)=b$

    ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា $b

ដោយប្រើ $D(a;b)= D(a-b;b)$ យើងអាចបន្ថយលេខដែលកំពុងពិចារណាជាបន្តបន្ទាប់ រហូតដល់យើងឈានដល់លេខមួយគូ ដែលមួយក្នុងចំនោមពួកវាត្រូវបានបែងចែកដោយផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកចំនួនតូចជាងនៃលេខទាំងនេះនឹងជាផ្នែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បានសម្រាប់លេខ $a$ និង $b$ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD និង LCM

  1. ផលគុណទូទៅនៃ $a$ និង $b$ គឺអាចបែងចែកដោយ K$(a;b)$
  2. ប្រសិនបើ $a\vdots b$ នោះ K$(a;b)=a$

    3. ប្រសិនបើ K$(a;b)=k$ និង $m$-natural number នោះ K$(am;bm)=km$

    ប្រសិនបើ $d$ គឺជាអ្នកចែកទូទៅសម្រាប់ $a$ និង $b$ នោះ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\frac(k)(d) ) $

    ប្រសិនបើ $a\vdots c$ និង $b\vdots c$ នោះ $\frac(ab)(c)$ គឺជាពហុគុណទូទៅនៃ $a$ និង $b$

    សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ $a$ និង $b$ សមភាព

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    ការបែងចែកទូទៅនៃ $a$ និង $b$ គឺជាអ្នកចែក $D(a;b)$

អត្ថបទនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់សំណួរដូចជាការស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។ ដំបូង យើងនឹងពន្យល់ថាវាជាអ្វី ហើយផ្តល់ឧទាហរណ៍ខ្លះ ណែនាំនិយមន័យនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 2, 3 ឬច្រើន បន្ទាប់មកយើងនឹងរស់នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃគោលគំនិតនេះ ហើយបញ្ជាក់ពួកគេ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

អ្វីដែលជាការបែងចែកទូទៅ

ដើម្បីយល់ថាតើអ្វីជាការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតគឺ ជាដំបូងយើងបង្កើតអ្វីដែលជាផ្នែកចែកទូទៅសម្រាប់ចំនួនគត់។

នៅក្នុងអត្ថបទស្តីពីគុណ និងចែក យើងបាននិយាយថាចំនួនគត់តែងតែមានការបែងចែកច្រើន។ នៅទីនេះយើងចាប់អារម្មណ៍លើការបែងចែកចំនួនជាក់លាក់នៃចំនួនគត់ក្នុងពេលតែមួយ ជាពិសេសជារឿងធម្មតា (ដូចគ្នាបេះបិទ) សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។ ចូរយើងសរសេរនិយមន័យចម្បង។

និយមន័យ ១

ការបែងចែកទូទៅនៃចំនួនគត់ជាច្រើននឹងជាលេខដែលអាចជាផ្នែកចែកនៃចំនួននីមួយៗពីសំណុំដែលបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ១

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកបែបនេះ៖ បីដងនឹងជាការបែងចែកធម្មតាសម្រាប់លេខ - 12 និង 9 ចាប់តាំងពីសមភាព 9 = 3 · 3 និង − 12 = 3 · (− 4) ជាការពិត។ លេខ 3 និង - 12 មានការបែងចែកទូទៅផ្សេងទៀតដូចជា 1 , - 1 និង - 3 ។ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយទៀត។ ចំនួនគត់ទាំងបួន 3 , − 11 , − 8 និង 19 នឹងមានការបែងចែកធម្មតាពីរ៖ 1 និង − 1 ។

ដោយដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែក យើងអាចនិយាយបានថាចំនួនគត់ណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយមួយ និងដកមួយ ដែលមានន័យថា សំណុំនៃចំនួនគត់នឹងមានការបែងចែកធម្មតាយ៉ាងហោចណាស់ពីររួចហើយ។

សូមចំណាំផងដែរថាប្រសិនបើយើងមានការបែងចែកទូទៅសម្រាប់លេខជាច្រើន b នោះលេខដូចគ្នាអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្ទុយ នោះគឺដោយ - ខ។ ជាគោលការណ៍ យើងអាចយកតែផ្នែកវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ បន្ទាប់មកការបែងចែកទូទៅទាំងអស់ក៏នឹងធំជាង 0 ផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តនេះក៏អាចប្រើបានដែរ ប៉ុន្តែលេខអវិជ្ជមានមិនគួរត្រូវបានអើពើទាំងស្រុងនោះទេ។

តើអ្វីជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (gcd)

យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែក ប្រសិនបើ b គឺជាផ្នែកនៃចំនួនគត់ a ដែលមិនស្មើនឹង 0 នោះម៉ូឌុលនៃ b មិនអាចធំជាងម៉ូឌុលនៃ a ទេ ដូច្នេះចំនួនណាមួយដែលមិនស្មើនឹង 0 មានចំនួនកំណត់នៃការបែងចែក។ . នេះមានន័យថាចំនួននៃការបែងចែកទូទៅនៃចំនួនគត់ជាច្រើន យ៉ាងហោចណាស់មួយដែលខុសពីសូន្យ ក៏នឹងត្រូវបានកំណត់ផងដែរ ហើយពីសំណុំទាំងមូលរបស់វា យើងតែងតែអាចជ្រើសរើសចំនួនធំបំផុត (យើងបាននិយាយរួចហើយអំពីគោលគំនិតនៃធំបំផុត និង ចំនួនគត់តូចបំផុត យើងណែនាំអ្នកឱ្យធ្វើឡើងវិញនូវសម្ភារៈដែលបានផ្តល់ឱ្យ)។

នៅក្នុងការវែកញែកបន្ថែមទៀត យើងនឹងសន្មត់ថា យ៉ាងហោចណាស់សំណុំនៃលេខមួយ ដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនឹងខុសពី 0 ។ ប្រសិនបើពួកវាទាំងអស់ស្មើនឹង 0 នោះផ្នែកចែករបស់ពួកគេអាចជាចំនួនគត់ ហើយដោយសារមានពួកវាជាច្រើនគ្មានកំណត់ យើងមិនអាចជ្រើសរើសធំបំផុតបានទេ។ ម្យ៉ាង​ទៀត វា​មិន​អាច​រក​ឃើញ​ផ្នែក​ចែក​ទូទៅ​ដ៏​ធំ​បំផុត​សម្រាប់​សំណុំ​លេខ​ដែល​ស្មើ​នឹង 0 នោះ​ទេ។

យើងឆ្លងទៅការបង្កើតនិយមន័យសំខាន់។

និយមន័យ ២

ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនច្រើនគឺជាចំនួនគត់ធំបំផុតដែលបែងចែកលេខទាំងអស់នោះ។

នៅក្នុងការសរសេរ ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតត្រូវបានបញ្ជាក់ជាញឹកញាប់បំផុតដោយអក្សរកាត់ GCD ។ សម្រាប់លេខពីរ វាអាចត្រូវបានសរសេរជា gcd (a, b) ។

ឧទាហរណ៍ ២

តើអ្វីជាឧទាហរណ៍នៃ GCD សម្រាប់ចំនួនគត់ពីរ? ឧទាហរណ៍សម្រាប់ 6 និង -15 វានឹងមាន 3 ។ ចូរយើងបញ្ជាក់រឿងនេះ។ ដំបូងយើងសរសេរការបែងចែកទាំងអស់នៃប្រាំមួយ: ± 6, ± 3, ± 1 ហើយបន្ទាប់មកផ្នែកទាំងអស់នៃដប់ប្រាំ: ± 15, ± 5, ± 3 និង ± 1 ។ បន្ទាប់​មក យើង​ជ្រើស​រើស​ពាក្យ​ធម្មតា​គឺ − 3 , − 1 , 1 និង 3 ។ ក្នុងចំណោមទាំងនេះ អ្នកត្រូវជ្រើសរើសលេខធំបំផុត។ នេះនឹងជា 3 ។

សម្រាប់លេខបី ឬច្រើន និយមន័យនៃការបែងចែកធម្មតាបំផុតនឹងមានច្រើនដូចគ្នា។

និយមន័យ ៣

ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបីឬច្រើនគឺជាចំនួនគត់ធំបំផុតដែលបែងចែកលេខទាំងអស់នៅពេលតែមួយ។

សម្រាប់លេខ a 1 , a 2 , … , a n ការបែងចែកត្រូវបានសម្គាល់យ៉ាងងាយស្រួលថាជា GCD (a 1 , a 2 , … , a n) ។ តម្លៃបែងចែកខ្លួនវាត្រូវបានសរសេរជា GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b ។

ឧទាហរណ៍ ៣

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃចំនួនគត់ជាច្រើន៖ 12 , - 8 , 52 , 16 ។ វានឹងស្មើនឹងបួន ដែលមានន័យថាយើងអាចសរសេរថា gcd (12, - 8, 52, 16) = 4 ។

អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះដោយសរសេរផ្នែកបែងចែកទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះ ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសធំបំផុតនៃពួកគេ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត មានករណីជាញឹកញាប់នៅពេលដែលផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតគឺស្មើនឹងលេខមួយ។ វាកើតឡើងនៅពេលដែលលេខផ្សេងទៀតទាំងអស់អាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ (នៅក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទដែលយើងបានផ្តល់ភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ) ។

ឧទាហរណ៍ 4

ដូច្នេះ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 60, 15 និង - 45 គឺ 15 ចាប់តាំងពីដប់ប្រាំត្រូវបានបែងចែកមិនត្រឹមតែដោយ 60 និង - 45 ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ដោយខ្លួនវាផងដែរហើយមិនមានការបែងចែកធំជាងសម្រាប់លេខទាំងអស់នេះទេ។

លេខ Coprime គឺជាករណីពិសេស។ ពួកវាជាចំនួនគត់ដែលមានចែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃ 1 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃ GCD និងក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតមានលក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមួយចំនួន។ យើងបង្កើតវានៅក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់ពួកវានីមួយៗ។

ចំណាំថាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់ចំនួនគត់ធំជាងសូន្យ ហើយយើងពិចារណាតែផ្នែកវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

និយមន័យ ៤

លេខ a និង b មានការបែងចែកទូទៅធំបំផុតស្មើនឹង gcd សម្រាប់ b និង a ពោលគឺ gcd (a , b) = gcd (b , a) ។ ការផ្លាស់ប្តូរកន្លែងលេខមិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលចុងក្រោយទេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃ GCD ហើយមិនត្រូវការភស្តុតាងទេ។

និយមន័យ ៥

ប្រសិនបើលេខ a អាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខ b នោះសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃចំនួនទាំងពីរនេះនឹងស្រដៀងទៅនឹងសំណុំនៃការបែងចែកនៃលេខ b នោះគឺ gcd (a, b) = b ។

ចូរយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។

ភស្តុតាង ១

ប្រសិនបើលេខ a និង b មានការបែងចែកធម្មតា នោះលេខណាមួយអាចបែងចែកបានដោយពួកគេ។ នៅពេលដំណាលគ្នានោះ ប្រសិនបើ a ជាពហុគុណនៃ b នោះផ្នែកណាមួយនៃ b ក៏នឹងក្លាយជាផ្នែកនៃ a ដែរ ដោយសារការបែងចែកមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចជាអន្តរកាល។ ដូច្នេះ ការបែងចែក b នឹងជារឿងធម្មតាសម្រាប់លេខ a និង b ។ នេះសបញ្ជាក់ឱ្យឃើញថា ប្រសិនបើយើងអាចបែងចែក a ដោយ b នោះសំណុំនៃការបែងចែកទាំងអស់នៃលេខទាំងពីរស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែកនៃចំនួនមួយ b ។ ហើយចាប់តាំងពីការបែងចែកដ៏ធំបំផុតនៃចំនួនណាមួយគឺជាចំនួនខ្លួនវា នោះការបែងចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃលេខ a និង b ក៏នឹងស្មើនឹង b, i.e. gcd(a, b) = ខ។ ប្រសិនបើ a = b នោះ gcd (a , b) = gcd (a , a) = gcd (b , b) = a = b ឧ. gcd (132 , 132) = 132 ។

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនេះ យើងអាចរកឃើញអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចបែងចែកដោយផ្សេងទៀត។ ការបែងចែកបែបនេះស្មើនឹងលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងពីរនេះ ដែលលេខទីពីរអាចបែងចែកបាន។ ឧទាហរណ៍ gcd (8, 24) = 8 ពីព្រោះ 24 គឺជាពហុគុណនៃប្រាំបី។

និយមន័យ ៦ ភស្តុតាង ២

តោះព្យាយាមបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ដំបូងយើងមានសមភាព a = b q + c ហើយការបែងចែកទូទៅណាមួយនៃ a និង b នឹងបែងចែក c ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយទ្រព្យសម្បត្តិបែងចែកដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះ ការបែងចែកទូទៅនៃ b និង c នឹងបែងចែក a ។ នេះមានន័យថា សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅ a និង b នឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែក b និង c រួមទាំងធំបំផុតនៃពួកគេ ដែលមានន័យថា សមភាព gcd (a, b) = gcd (b, c) គឺពិត។

និយមន័យ ៧

ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា ក្បួនដោះស្រាយ Euclid ។ ជាមួយវា អ្នកអាចគណនាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ ក៏ដូចជាបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតរបស់ GCD ។

មុននឹងបង្កើតលក្ខណសម្បត្តិ យើងណែនាំអ្នកឱ្យធ្វើទ្រឹស្តីបទឡើងវិញ ដែលយើងបានបង្ហាញនៅក្នុងអត្ថបទស្តីពីការបែងចែកជាមួយផ្នែកដែលនៅសល់។ យោងតាមវា លេខបែងចែក a អាចត្រូវបានតំណាងជា b q + r ហើយនៅទីនេះ b គឺជាការបែងចែក q គឺជាចំនួនគត់មួយចំនួន (វាត្រូវបានគេហៅថាជាកូតាមិនពេញលេញ) ហើយ r គឺជាចំនួនដែលនៅសល់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ 0 ≤ r ≤ ខ.

ឧបមាថាយើងមានចំនួនគត់ពីរធំជាង 0 ដែលសមភាពខាងក្រោមនឹងជាការពិត៖

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

សមភាពទាំងនេះបញ្ចប់នៅពេលដែល r k + 1 ក្លាយជាស្មើ 0 ។ វា​នឹង​កើត​ឡើង​យ៉ាង​ប្រាកដ ដោយ​សារ​លំដាប់ b > r 1 > r 2 > r 3 , … គឺ​ជា​ស៊េរី​នៃ​ចំនួន​គត់​ថយ​ចុះ ដែល​អាច​រួម​បញ្ចូល​តែ​ចំនួន​កំណត់​នៃ​ពួក​វា​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ r k គឺជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃ a និង b នោះគឺ r k = gcd (a , b) ។

ជាដំបូង យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា r k គឺជាអ្នកចែកទូទៅនៃលេខ a និង b ហើយបន្ទាប់ពីនោះ r k មិនមែនគ្រាន់តែជាការចែកនោះទេ ប៉ុន្តែជាផ្នែកចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតនៃលេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សូមក្រឡេកមើលបញ្ជីសមភាពខាងលើ ពីក្រោមដល់កំពូល។ យោងតាមសមភាពចុងក្រោយ។
r k − 1 អាចត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ។ ដោយផ្អែកលើការពិតនេះ ក៏ដូចជាទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញពីមុននៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត វាអាចត្រូវបានអះអាងថា r k − 2 អាចបែងចែកដោយ r k ចាប់តាំងពី
r k − 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ហើយ r k ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ។

សមភាពទីបីពីបាតអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថា r k − 3 អាចបែងចែកដោយ r k ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ទីពីរពីខាងក្រោមគឺថា b ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ហើយទីមួយគឺ a ត្រូវបានបែងចែកដោយ r k ។ ពីទាំងអស់នេះយើងសន្និដ្ឋានថា r k គឺជាការបែងចែកទូទៅនៃ a និង b ។

ឥឡូវ​សូម​បញ្ជាក់​ថា r k = gcd (a , b) ។ តើខ្ញុំត្រូវធ្វើអ្វី? បង្ហាញថាផ្នែកទូទៅណាមួយនៃ a និង b នឹងបែងចែក r k ។ ចូរសម្គាល់វា r 0 ។

សូមក្រឡេកមើលបញ្ជីសមភាពដូចគ្នាប៉ុន្តែពីកំពូលទៅបាត។ ដោយផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិមុន យើងអាចសន្និដ្ឋានថា r 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r 0 ដែលមានន័យថាយោងទៅតាមសមភាពទីពីរ r 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ r 0 ។ យើងចុះតាមសមភាពទាំងអស់ ហើយពីចុងក្រោយយើងសន្និដ្ឋានថា r k ត្រូវបានបែងចែកដោយ r 0 ។ ដូច្នេះ r k = gcd (a , b) ។

ដោយបានពិចារណាលើទ្រព្យសម្បត្តិនេះ យើងសន្និដ្ឋានថា សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃ a និង b គឺស្រដៀងទៅនឹងសំណុំនៃការបែងចែក gcd នៃលេខទាំងនេះ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះដែលជាលទ្ធផលនៃក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាការបែងចែកទូទៅនៃចំនួនពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចូរបន្តទៅអចលនទ្រព្យផ្សេងទៀត។

និយមន័យ ៨

ប្រសិនបើ a និង b ជាចំនួនគត់មិនស្មើនឹង 0 នោះត្រូវតែមានចំនួនគត់ពីរផ្សេងទៀត u 0 និង v 0 ដែលសមភាព gcd (a , b) = a u 0 + b v 0 នឹងមានសុពលភាព។

សមភាព​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​គឺ​ជា​តំណាង​លីនេអ៊ែរ​នៃ​ការ​ចែក​ទូទៅ​បំផុត​នៃ a និង b ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសមាមាត្រ Bezout ហើយលេខ u 0 និង v 0 ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ Bezout ។

ភស្តុតាង ៣

ចូរយើងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ យើងសរសេរលំដាប់នៃសមភាពយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ Euclid៖

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

សមភាពទីមួយប្រាប់យើងថា r 1 = a − b · q 1 ។ សម្គាល់ 1 = s 1 និង − q 1 = t 1 ហើយសរសេរសមភាពនេះឡើងវិញជា r 1 = s 1 · a + t 1 · b ។ នៅទីនេះលេខ s 1 និង t 1 នឹងក្លាយជាចំនួនគត់។ សមភាពទីពីរអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថា r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b ។ សម្គាល់ − s 1 q 2 = s 2 និង 1 − t 1 q 2 = t 2 ហើយសរសេរសមភាពឡើងវិញជា r 2 = s 2 a + t 2 b ដែល s 2 និង t 2 នឹងជាចំនួនគត់ផងដែរ។ នេះគឺដោយសារតែផលបូកនៃចំនួនគត់ ផលិតផល និងភាពខុសគ្នារបស់វាក៏ជាចំនួនគត់ផងដែរ។ តាមវិធីដូចគ្នានេះ យើងទទួលបានពីសមភាពទីបី r 3 = s 3 · a + t 3 · b ពី r 4 = s 4 · a + t 4 · b ។ល។ ជាចុងក្រោយ យើងសន្និដ្ឋានថា r k = s k a + t k b សម្រាប់ចំនួនគត់ s k និង t k ។ ចាប់តាំងពី r k \u003d GCD (a, b) យើងសម្គាល់ s k \u003d u 0 និង t k \u003d v 0 ។ ជាលទ្ធផល យើងអាចទទួលបានតំណាងលីនេអ៊ែរនៃ GCD ក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖ GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0 ។

និយមន័យ ៩

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) សម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយ m ។

ភស្តុតាង ៤

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដូចខាងក្រោម។ គុណនឹងចំនួន m ទាំងសងខាងនៃសមភាពនីមួយៗក្នុងក្បួនដោះស្រាយ Euclid ហើយយើងទទួលបាន gcd (m a , m b) = m r k ហើយ r k គឺ gcd (a , b) ។ ដូច្នេះ gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) ។ វាគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលស្វែងរក GCD ដោយវិធីសាស្ត្រកត្តា។

និយមន័យ ១០

ប្រសិនបើលេខ a និង b មានការបែងចែកទូទៅ p នោះ gcd (a: p , b: p) = gcd (a , b): p ។ ក្នុងករណីដែល p = gcd (a , b) យើងទទួលបាន gcd (a: gcd (a , b), b: gcd (a , b) = 1 ដូច្នេះលេខ a: gcd (a , b) និង b : gcd (a , b) គឺជា coprime ។

ចាប់តាំងពី a = p (a: p) និង b = p (b: p) បន្ទាប់មកដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុន យើងអាចបង្កើតភាពស្មើគ្នានៃទម្រង់ gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p), ក្នុងចំណោមនោះនឹងមានភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ យើងប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ នៅពេលដែលយើងកាត់បន្ថយប្រភាគធម្មតាទៅជាទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

និយមន័យ ១១

ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត a 1 , a 2 , … , a k នឹងជាលេខ d k ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការគណនាជាបន្តបន្ទាប់ gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3, a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើន។ ជាមួយវា អ្នកអាចកាត់បន្ថយសកម្មភាពនេះទៅជាប្រតិបត្តិការដែលមានលេខពីរ។ មូលដ្ឋានរបស់វាគឺជា corollary ពីក្បួនដោះស្រាយ Euclidean៖ ប្រសិនបើសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅ a 1 , a 2 និង a 3 ស្របគ្នាជាមួយនឹង set d 2 និង a 3 នោះវាក៏ស្របគ្នាជាមួយនឹង d 3 ផងដែរ។ ការបែងចែកនៃលេខ a 1 , a 2 , a 3 និង a 4 នឹងផ្គូផ្គងនឹងចែកនៃ d 3 ដែលមានន័យថាពួកគេក៏នឹងផ្គូផ្គងអ្នកចែកនៃ d 4 ជាដើម។ នៅទីបញ្ចប់ យើងទទួលបានថា ការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a 1 , a 2 , … , a k នឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងការបែងចែក d k ហើយចាប់តាំងពីលេខខ្លួនវានឹងក្លាយជាអ្នកចែកដ៏ធំបំផុតនៃលេខ d k បន្ទាប់មក gcd (a 1 , a 2 , … , a k) = d k ។

នោះហើយជាអ្វីដែលយើងចង់និយាយអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង