កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស

ការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស គឺជាបញ្ហាទូទៅមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិតខ្ពស់។ តាមក្បួនមួយមិនអាចធ្វើដោយគ្មានតម្លៃនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធស្មុគស្មាញនៃសមីការ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer សម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើការគណនានៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស។ ដោយប្រើនិយមន័យនៃកត្តាកំណត់ វត្តមាន និងលក្ខណៈពិសេសនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានកំណត់។ ដូច្នេះហើយ វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណពីសារៈសំខាន់នៃសមត្ថភាពក្នុងការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសក្នុងគណិតវិទ្យាបានយ៉ាងត្រឹមត្រូវ និងត្រឹមត្រូវ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយកត្តាកំណត់តាមទ្រឹស្ដីគឺសាមញ្ញណាស់ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលទំហំនៃម៉ាទ្រីសកើនឡើង ការគណនាកាន់តែស្មុគស្មាញ ហើយទាមទារការថែទាំដ៏អស្ចារ្យ និងចំណាយពេលច្រើន។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការធ្វើកំហុសតូចតាច ឬវាយអក្សរនៅក្នុងការគណនាគណិតវិទ្យាដ៏ស្មុគស្មាញបែបនេះ ដែលនឹងនាំឱ្យមានកំហុសនៅក្នុងចម្លើយចុងក្រោយ។ ដូច្នេះហើយ ទោះបីជាអ្នករកឃើញក៏ដោយ។ កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសដោយឯករាជ្យ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យលទ្ធផល។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យសេវាកម្មរបស់យើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសតាមអ៊ីនធឺណិត។ សេវាកម្មរបស់យើងតែងតែផ្តល់នូវលទ្ធផលត្រឹមត្រូវពិតប្រាកដ ដែលមិនមានកំហុស ឬការវាយអក្សរណាមួយឡើយ។ អ្នកអាចបដិសេធការគណនាឯករាជ្យពីព្រោះពីចំណុចដែលបានអនុវត្តការស្វែងរក កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសមិនមានតួអក្សរបង្រៀនទេប៉ុន្តែគ្រាន់តែត្រូវការពេលវេលាច្រើននិងការគណនាលេខ។ ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងភារកិច្ចរបស់អ្នក។ ការកំណត់ម៉ាទ្រីសកំណត់គឺជាជំនួយ ការគណនាចំហៀង ប្រើប្រាស់សេវាកម្មរបស់យើង និង ស្វែងរកម៉ាទ្រីសកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិត!

ការគណនាទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់បំផុត និងពិតជាឥតគិតថ្លៃ។ យើងមានចំណុចប្រទាក់ងាយស្រួលបំផុតសម្រាប់ការបញ្ចូលធាតុម៉ាទ្រីស។ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នាសំខាន់រវាងសេវាកម្មរបស់យើង និងសេវាកម្មស្រដៀងគ្នាគឺលទ្ធភាពនៃការទទួលបានដំណោះស្រាយលម្អិត។ សេវាកម្មរបស់យើងនៅ ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិតតែងតែប្រើវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុត និងខ្លីបំផុត ហើយពិពណ៌នាលម្អិតជំហាននីមួយៗនៃការបំប្លែង និងភាពសាមញ្ញ។ ដូច្នេះអ្នកទទួលបានមិនត្រឹមតែតម្លៃនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសទេ លទ្ធផលចុងក្រោយ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយលម្អិតទាំងមូល។

គោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់គឺជាចំណុចសំខាន់មួយនៅក្នុងវគ្គនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ គំនិតនេះគឺមាននៅក្នុង ONLY SQUARE MATRIXES ហើយអត្ថបទនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់គោលគំនិតនេះ។ នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលធាតុរបស់ពួកគេគឺជាចំនួនពិត (ឬស្មុគស្មាញ) ។ ក្នុងករណីនេះ កត្តាកំណត់គឺជាចំនួនពិត (ឬស្មុគស្មាញ)។ ការបង្ហាញបន្ថែមទៀតទាំងអស់នឹងក្លាយជាចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីរបៀបគណនាកត្តាកំណត់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលវាមាន។

ដំបូងយើងផ្តល់និយមន័យនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ដោយ n ជាផលបូកនៃផលិតផលនៃការផ្លាស់ប្តូរធាតុម៉ាទ្រីស។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនេះ យើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីមួយ ទីពីរ និងទីបី ហើយវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

បន្ទាប់មក យើងងាកទៅរកលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ ដែលយើងនឹងបង្កើតជាទម្រង់ទ្រឹស្តីបទ ដោយគ្មានភស្តុតាង។ នៅទីនេះ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នឹងត្រូវបានទទួលតាមរយៈការពង្រីករបស់វាលើធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរ។ វិធីសាស្រ្តនេះកាត់បន្ថយការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ n ដោយ n ទៅការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 3 ដោយ 3 ឬតិចជាងនេះ។ ត្រូវប្រាកដថាបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

សរុបសេចក្តីមក ចូរយើងពឹងផ្អែកលើការគណនាកត្តាកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺល្អសម្រាប់ការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ម៉ាទ្រីសធំជាង 3 គុណនឹង 3 ព្រោះវាត្រូវការការខិតខំប្រឹងប្រែងក្នុងការគណនាតិច។ យើងក៏នឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ផងដែរ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់តាមនិយមន័យ។

យើងរំលឹកឡើងវិញនូវគំនិតជំនួយមួយចំនួន។

និយមន័យ។

Permutation of order nត្រូវបានគេហៅថាសំណុំលេខលំដាប់ដែលមានធាតុ n ។

សម្រាប់សំណុំដែលមានធាតុ n មាន n! (n factorial) of permutations of order n. ការផ្លាស់ប្តូរខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែតាមលំដាប់នៃធាតុប៉ុណ្ណោះ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសំណុំដែលមានបីលេខ៖ . យើងសរសេរការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ (សរុបមានប្រាំមួយចាប់តាំងពី ):

និយមន័យ។

Inversion in a permutation of order nគូណាមួយនៃសន្ទស្សន៍ p និង q ត្រូវបានហៅ ដែលធាតុ p-th នៃការផ្លាស់ប្តូរគឺធំជាង q-th ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន ធាតុបញ្ច្រាសនៃការផ្លាស់ប្តូរ 4 , 9 , 7 គឺ p = 2 , q = 3 ពីព្រោះធាតុទីពីរនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺ 9 ហើយធំជាងធាតុទីបីដែលជា 7 ។ ច្រាសនៃការផ្លាស់ប្តូរ 9 , 7 , 4 នឹងមានបីគូ៖ p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) និង p=2, q=3 (7>4)។

យើង​នឹង​ចាប់​អារម្មណ៍​កាន់​តែ​ច្រើន​ទៅ​លើ​ចំនួន​បញ្ច្រាស​ក្នុង​ការ​បំប្លែង​ជា​ជាង​ការ​បញ្ច្រាស​ខ្លួន​ឯង។

ទុកជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ដោយ n លើវាលនៃចំនួនពិត (ឬស្មុគស្មាញ) ។ សូមឱ្យជាសំណុំនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់នៃលំដាប់ n នៃសំណុំ។ ឈុតមាន n! ការផ្លាស់ប្តូរ។ ចូរសម្គាល់ការបំប្លែង kth នៃសំណុំជា , និងចំនួននៃការបញ្ច្រាសក្នុងការផ្លាស់ប្តូរ kth ជា .

និយមន័យ។

កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសហើយមានលេខស្មើនឹង .

ចូរពណ៌នារូបមន្តនេះជាពាក្យ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ដោយ n គឺជាផលបូកដែលមាន n! លក្ខខណ្ឌ។ ពាក្យនីមួយៗគឺជាផលិតផលនៃធាតុ n នៃម៉ាទ្រីស ហើយផលិតផលនីមួយៗមានធាតុពីជួរនីមួយៗ និងពីជួរឈរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស A ។ មេគុណ (-1) លេចឡើងមុនពាក្យ kth ប្រសិនបើធាតុនៃម៉ាទ្រីស A នៅក្នុងផលិតផលត្រូវបានតម្រៀបតាមលេខជួរដេក ហើយចំនួននៃការបញ្ច្រាសនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរ kth នៃសំណុំលេខជួរឈរគឺសេស។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងថាជា ហើយ det(A) ក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ។ អ្នកក៏អាចឮថាកត្តាកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា កំណត់។

ដូច្នេះ .

នេះបង្ហាញថាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីមួយគឺជាធាតុនៃម៉ាទ្រីសនេះ។

ការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីពីរ - រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍។

ជាទូទៅប្រហែល 2 គុណ 2 ។

ក្នុងករណីនេះ n=2 ដូច្នេះ n!=2!=2 ។

.

យើង​មាន

ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 2 ដោយ 2 វាមានទម្រង់ .

ឧទាហរណ៍។

លំដាប់។

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ យើងអនុវត្តរូបមន្តលទ្ធផល :

ការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីបី - រូបមន្តនិងឧទាហរណ៍។

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ ជាទូទៅប្រហែល 3 គុណនឹង 3 ។

ក្នុងករណីនេះ n=3 ដូច្នេះ n!=3!=6 ។

ចូរយើងរៀបចំជាទម្រង់តារាងនូវទិន្នន័យចាំបាច់សម្រាប់អនុវត្តរូបមន្ត .

យើង​មាន

ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់លេខ 3 គុណនឹង 3 វាមានទម្រង់

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ គេអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់លេខ 4 ដោយ 4, 5 ដោយ 5 និងខ្ពស់ជាងនេះ។ ពួកគេនឹងមើលទៅសំពីងសំពោងណាស់។

ឧទាហរណ៍។

ការគណនាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ ប្រហែល ៣ គុណ ៣ ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។

យើងអនុវត្តរូបមន្តលទ្ធផលដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបី៖

រូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបីត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់ ដូច្នេះយើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកចងចាំពួកគេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស ការគណនានៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ។

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យខាងលើ ខាងក្រោមនេះជាការពិត។ លក្ខណៈសម្បត្តិកំណត់ម៉ាទ្រីស.

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសផ្ទេរ A T ពោលគឺ .

ឧទាហរណ៍។

ត្រូវប្រាកដថាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស transposed ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងប្រើរូបមន្តដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់លេខ 3 ដោយ 3៖



យើងបញ្ជូនម៉ាទ្រីស A៖


គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស transposed៖



ពិតប្រាកដណាស់ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងគឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

ប្រសិនបើនៅក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ ធាតុទាំងអស់យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃជួរដេក (មួយនៃជួរឈរ) គឺសូន្យ នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ឧទាហរណ៍។

ពិនិត្យមើលថាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស លំដាប់លេខ 3 គុណនឹង 3 គឺសូន្យ។

ដំណោះស្រាយ។




ជាការពិត កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានជួរឈរសូន្យគឺសូន្យ។

ប្រសិនបើអ្នកប្តូរជួរពីរ (ជួរ) ក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងផ្ទុយពីជួរដើម (នោះគឺសញ្ញានឹងផ្លាស់ប្តូរ)។

ឧទាហរណ៍។

ផ្តល់ម៉ាទ្រីសការ៉េពីរនៃលំដាប់ 3 គុណនឹង 3 និង . បង្ហាញថាកត្តាកំណត់របស់ពួកគេគឺផ្ទុយគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

ម៉ាទ្រីស B ត្រូវបានទទួលពីម៉ាទ្រីស A ដោយជំនួសជួរទីបីជាមួយទីមួយ និងទីមួយជាមួយទីបី។ យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណា កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវតែខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញា។ ចូរយើងពិនិត្យមើលវាដោយគណនាកត្តាកំណត់ដោយប្រើរូបមន្តល្បី។



ពិត។

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ជួរដេកពីរ (ជួរឈរពីរ) គឺដូចគ្នានៅក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ នោះកត្តាកំណត់របស់វាគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ឧទាហរណ៍។

បង្ហាញថាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស ស្មើសូន្យ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ ជួរទីពីរ និងទីបីគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានពិចារណា កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។



តាមពិត កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានជួរឈរដូចគ្នាបេះបិទពីរគឺសូន្យ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ ធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយ (ជួរឈរ) ត្រូវបានគុណដោយលេខមួយចំនួន k នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម គុណនឹង k ។ ឧទាហរណ៍,



ឧទាហរណ៍។

បង្ហាញថាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស គឺស្មើនឹងបីដងនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស .

ដំណោះស្រាយ។

ធាតុនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស B ត្រូវបានទទួលពីធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A ដោយគុណនឹង 3 ។ បន្ទាប់មកដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណាសមភាពគួរមាន។ ចូរយើងពិនិត្យមើលវាដោយគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A និង B ។



ដូច្នេះ ដែលត្រូវបញ្ជាក់។

ចំណាំ។

កុំច្រឡំ ឬច្រឡំគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីស និងកត្តាកំណត់! ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស និងប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខគឺនៅឆ្ងាយពីវត្ថុដូចគ្នា។
, ប៉ុន្តែ .

ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃជួរ (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺជាផលបូកនៃពាក្យ s (s ជាចំនួនធម្មជាតិធំជាងមួយ) នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពី ដើមមួយ ប្រសិនបើជាធាតុនៃជួរ (ជួរ) ទុកពាក្យមួយក្នុងពេលតែមួយ។ ឧទាហរណ៍,


ឧទាហរណ៍។

បង្ហាញថាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស .

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ ដូច្នេះដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស សមភាព . យើងពិនិត្យមើលវាដោយគណនាកត្តាកំណត់ដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 2 ដោយ 2 ដោយប្រើរូបមន្ត .


តាម​លទ្ធផល​ដែល​ទទួល​បាន​គេ​អាច​មើល​ឃើញ​ថា​ . នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរមួយចំនួន (ជួរ) នៃម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនបំពាន k នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

ឧទាហរណ៍។

ត្រូវប្រាកដថាប្រសិនបើធាតុនៃជួរឈរទីបីនៃម៉ាទ្រីស បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសនេះ គុណនឹង (-2) ហើយបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស គុណនឹងចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងស្មើនឹង កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

ដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណារបស់កត្តាកំណត់ នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីការបំលែងទាំងអស់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងបញ្ហានឹងស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ។

ដំបូងយើងគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម A៖



ឥឡូវនេះ ចូរយើងធ្វើការបំប្លែងចាំបាច់នៃម៉ាទ្រីស A។

ចូរបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទី 3 នៃម៉ាទ្រីស នូវធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស ដោយបានគុណពួកវាពីមុនដោយ (-2) ។ បន្ទាប់ពីនោះម៉ាទ្រីសនឹងមើលទៅដូចនេះ:


ទៅធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគុណនឹង៖


គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាវាស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A នោះគឺ -24៖



កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរណាមួយ (ជួរឈរ) ដោយពួកវា ការបន្ថែមពិជគណិត.



នេះជាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុម៉ាទ្រីស .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអនុញ្ញាតឱ្យគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង 3 គុណនឹង 3 ដោយកាត់បន្ថយពួកវាទៅផលបូកនៃកត្តាកំណត់ជាច្រើននៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទាបជាងមួយ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត នេះគឺជារូបមន្តដដែលៗសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ណាមួយ។ យើងណែនាំអ្នកឱ្យចងចាំវា ដោយសារការអនុវត្តញឹកញាប់គួរសម។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

បញ្ជាទិញ 4 ដោយ 4 ពង្រីកវា។

• ដោយធាតុនៃជួរទី 3,
• ដោយធាតុនៃជួរឈរទី 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពង្រីកកត្តាកំណត់ដោយធាតុនៃជួរទី 3



យើង​មាន



ដូច្នេះបញ្ហានៃការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 4 ដោយ 4 ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនានៃកត្តាកំណត់ចំនួនបីនៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 3 ដោយ 3៖



ជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន យើងទៅដល់លទ្ធផល៖


យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពង្រីកកត្តាកំណត់ដោយធាតុនៃជួរទី 2


ហើយយើងធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នា។

យើងនឹងមិនពិពណ៌នាលម្អិតអំពីការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបីនោះទេ។



ឧទាហរណ៍។

ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់ ប្រហែល ៤ គុណ ៤ ។

ដំណោះស្រាយ។

អ្នកអាច decompose matrix determinant ទៅជាធាតុនៃ column ឬ row ណាមួយ ប៉ុន្តែវាមានប្រយោជន៍ជាងក្នុងការជ្រើសរើស row ឬ column ដែលមានលេខសូន្យច្រើនជាងគេ ព្រោះវានឹងជួយជៀសវាងការគណនាដែលមិនចាំបាច់។ ចូរយើងពង្រីកកត្តាកំណត់ដោយធាតុនៃជួរទីមួយ៖



យើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលទទួលបាននៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់លេខ 3 គុណនឹង 3 តាមរូបមន្តដែលគេស្គាល់យើង៖



យើងជំនួសលទ្ធផលហើយទទួលបានតម្លៃដែលចង់បាន


ឧទាហរណ៍។

ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់ ប្រហែល ៥ គុណ ៥ ។

ដំណោះស្រាយ។

ជួរទីបួននៃម៉ាទ្រីសមានចំនួនធាតុសូន្យច្រើនជាងគេក្នុងចំណោមជួរដេក និងជួរឈរទាំងអស់ ដូច្នេះគួរពង្រីកកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសយ៉ាងជាក់លាក់ដោយធាតុនៃជួរទីបួន ព្រោះក្នុងករណីនេះយើងត្រូវការការគណនាតិច។



កត្តាកំណត់ដែលទទួលបាននៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 4 គុណនឹង 4 ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដូច្នេះយើងនឹងប្រើលទ្ធផលដែលត្រៀមរួចជាស្រេច៖



ឧទាហរណ៍។

ការគណនាម៉ាទ្រីសកំណត់ ប្រហែល ៧ គុណ ៧ ។

ដំណោះស្រាយ។

អ្នកមិនគួរប្រញាប់ប្រញាល់ភ្លាមៗដើម្បីបំបែកកត្តាកំណត់ដោយធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរណាមួយឡើយ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីសឱ្យបានដិតដល់ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថាធាតុនៃជួរទីប្រាំមួយនៃម៉ាទ្រីសអាចទទួលបានដោយការគុណធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរដោយពីរ។ នោះគឺប្រសិនបើយើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរគុណនឹង (-2) ទៅធាតុនៃជួរទីប្រាំមួយ នោះកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិទី 7 ហើយជួរទីប្រាំមួយនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងមាន។ សូន្យ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺស្មើនឹងសូន្យដោយទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ។

ចម្លើយ៖

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ណាមួយទោះជាយ៉ាងណាមនុស្សម្នាក់ត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការគណនាជាច្រើន។ ក្នុងករណីភាគច្រើន វាជាការប្រសើរក្នុងការស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃលំដាប់លំដោយខ្ពស់ជាងលំដាប់ទីបីដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលយើងនឹងពិចារណាខាងក្រោម។

ផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរណាមួយ (ជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ។


ឧទាហរណ៍។

បង្ហាញថាផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីស នៅលើការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដំណោះស្រាយ។




កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នាគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់របស់ពួកគេ ពោលគឺ ដែល m ជាលេខធម្មជាតិធំជាងមួយ A k , k = 1,2,…,m គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

ត្រូវប្រាកដថាកត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសពីរ និងស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់របស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងស្វែងរកផលិតផលនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A និង B ជាដំបូង៖


ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការគុណម៉ាទ្រីស ហើយគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល៖



ដូច្នេះ ដែលត្រូវបង្ហាញ។

ការគណនាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រនេះ។ ដោយ​ប្រើ​ការ​បំប្លែង​បឋម ម៉ាទ្រីស A ត្រូវ​បាន​កាត់​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ដែល​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ដំបូង​ធាតុ​ទាំង​អស់ លើក​លែង​តែ​ក្លាយ​ជា​សូន្យ (វា​តែង​តែ​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ប្រសិន​បើ​កត្តា​កំណត់​ម៉ាទ្រីស A មិន​សូន្យ)។ យើងនឹងពណ៌នាអំពីនីតិវិធីនេះបន្តិចក្រោយមក ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងនឹងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលវាត្រូវបានធ្វើ។ ធាតុសូន្យត្រូវបានទទួលដើម្បីទទួលបានការពង្រីកសាមញ្ញបំផុតនៃកត្តាកំណត់លើធាតុនៃជួរឈរទីមួយ។ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស A បែបនេះដោយគិតគូរពីទ្រព្យសម្បត្តិទីប្រាំបីហើយយើងទទួលបាន

កន្លែងណា - អនីតិជន (n-1)-th លំដាប់ទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយលុបធាតុនៃជួរទីមួយ និងជួរទីមួយរបស់វា។

ជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលអនីតិជនត្រូវគ្នា នីតិវិធីដូចគ្នាសម្រាប់ការទទួលបានធាតុសូន្យនៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានធ្វើ។ ហើយបន្តរហូតដល់ការគណនាចុងក្រោយនៃកត្តាកំណត់។

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីឆ្លើយសំណួរ: "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទទួលបានធាតុទទេនៅក្នុងជួរទីមួយ"?

ចូរពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាព។

ប្រសិនបើ នោះធាតុនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរ kth ដែលក្នុងនោះ . (ប្រសិនបើដោយគ្មានករណីលើកលែង ធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A គឺសូន្យ នោះកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យដោយទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ ហើយមិនត្រូវការវិធីសាស្ត្រ Gaussian) ។ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះធាតុ "ថ្មី" នឹងខុសពីសូន្យ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស "ថ្មី" នឹងស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិទីប្រាំពីរ។

ឥឡូវនេះយើងមានម៉ាទ្រីសដែលមាន។ ពេលណាទៅធាតុនៃជួរទីពីរ យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ គុណនឹង , ទៅធាតុនៃជួរទីបី ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ គុណនឹង . ល​ល។ សរុបសេចក្តីមក ធាតុនៃជួរទី 9 យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ គុណនឹង . ដូច្នេះម៉ាទ្រីសដែលបានបំប្លែង A នឹងត្រូវបានទទួល ធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយដែលលើកលែងតែ , នឹងមានសូន្យ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិទីប្រាំពីរ។

ចូរយើងវិភាគវិធីសាស្រ្តនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយដូច្នេះវានឹងកាន់តែច្បាស់។

ឧទាហរណ៍។

គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ 5 ដោយ 5 .

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីស A ដូច្នេះធាតុទាំងអស់នៃជួរទីមួយរបស់វា លើកលែងតែ , ក្លាយជាសូន្យ។

ដោយសារធាតុដំបូង នោះយើងបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នា ឧទាហរណ៍ ជួរទីពីរ ចាប់តាំងពី៖

សញ្ញា "~" មានន័យថាសមមូល។

ឥឡូវនេះយើងបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទីពីរ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ គុណនឹង ទៅធាតុនៃជួរទីបី - ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគុណនឹង ហើយបន្តដូចគ្នារហូតដល់ជួរទីប្រាំមួយ៖

យើង​ទទួល​បាន

ជាមួយម៉ាទ្រីស យើងអនុវត្តនីតិវិធីដូចគ្នាសម្រាប់ការទទួលបានធាតុសូន្យនៅក្នុងជួរទីមួយ៖

អាស្រ័យហេតុនេះ

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរជាមួយម៉ាទ្រីស :

មតិយោបល់។

នៅដំណាក់កាលខ្លះនៃការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ស្ថានភាពអាចកើតឡើងនៅពេលដែលធាតុទាំងអស់នៃជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសក្លាយជាសូន្យ។ នេះនឹងនិយាយអំពីសមភាពនៃកត្តាកំណត់ទៅសូន្យ។

សង្ខេប។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមានធាតុជាលេខជាលេខ។ យើងបានពិចារណាវិធីបីយ៉ាងដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់៖

1. តាមរយៈផលបូកនៃផលិតផលនៃបន្សំនៃធាតុម៉ាទ្រីស;
2. តាមរយៈការពង្រីកកត្តាកំណត់ដោយធាតុនៃជួរដេកឬជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស;
3. វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសទៅត្រីកោណខាងលើ (ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss) ។

រូបមន្តត្រូវបានទទួលសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់លេខ 2 ដោយ 2 និង 3 ដោយ 3 ។

យើងបានវិភាគលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស។ ពួកវាខ្លះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកយល់យ៉ាងឆាប់រហ័សថាកត្តាកំណត់គឺសូន្យ។

នៅពេលគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង 3 គុណនឹង 3 វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss: ធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃម៉ាទ្រីសហើយនាំវាទៅត្រីកោណខាងលើ។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុទាំងអស់នៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ។

រំលឹកទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace៖
ទ្រឹស្តីបទ Laplace៖

អនុញ្ញាតឱ្យជួរ k (ឬជួរឈរ k) ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្តនៅក្នុងកត្តាកំណត់ d នៃលំដាប់ n, . បន្ទាប់មកផលបូកនៃផលិតផលនៃអនីតិជនលំដាប់ k-th ទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងជួរដែលបានជ្រើសរើស និងការបន្ថែមពិជគណិតរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់ d ។

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់នៅក្នុងករណីទូទៅ k ត្រូវបានគេយកស្មើនឹង 1. នោះគឺ នៅក្នុងការកំណត់ d នៃលំដាប់ n ជួរដេក (ឬជួរឈរ) ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងជួរដេកដែលបានជ្រើសរើស (ឬជួរឈរ) និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់ ឃ។

ឧទាហរណ៍៖
កត្តាកំណត់គណនា

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរ​យើង​ជ្រើសរើស​ជួរ​ដេក ឬ​ជួរ​ឈរ​ដោយ​បំពាន។ សម្រាប់ហេតុផលដែលនឹងក្លាយជាជាក់ស្តែងបន្តិចក្រោយមក យើងនឹងកំណត់ជម្រើសរបស់យើងទៅជួរទីបី ឬជួរទីបួន។ ហើយឈប់នៅជួរទីបី។

ចូរយើងប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace ។

ធាតុទីមួយនៃជួរដេកដែលបានជ្រើសរើសគឺ 10 វាស្ថិតនៅក្នុងជួរទីបី និងជួរទីមួយ។ ចូរយើងគណនាការបន្ថែមពិជគណិតទៅវា ឧ. ស្វែងរកកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានដោយការលុបជួរឈរ និងជួរដេកដែលធាតុនេះឈរ (10) ហើយស្វែងរកសញ្ញា។

msgstr "បូក​ប្រសិនបើ​ផលបូក​នៃ​លេខ​នៃ​ជួរ​ដេក​និង​ជួរ​ឈរ​ទាំងអស់​ដែល​អនីតិជន M មាន​ទីតាំង​ស្មើ និង​ដក​ប្រសិនបើ​ផលបូក​នេះ​ជា​លេខសេស។"
ហើយយើងបានយកអនីតិជនដែលមានធាតុតែមួយ 10 ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរទីមួយនៃជួរទីបី។

ដូច្នេះ៖


ពាក្យទីបួននៃផលបូកនេះគឺ 0 ដែលនេះជាមូលហេតុដែលវាមានតម្លៃក្នុងការជ្រើសរើសជួរដេក ឬជួរឈរដែលមានចំនួនអតិបរមានៃធាតុសូន្យ។

ចម្លើយ៖ -1228

ឧទាហរណ៍៖
គណនាកត្តាកំណត់៖

ដំណោះស្រាយ៖
ចូរយើងជ្រើសរើសជួរទីមួយព្រោះ ធាតុពីរនៅក្នុងវាស្មើនឹង 0។ ចូរយើងពង្រីកកត្តាកំណត់នៅក្នុងជួរទីមួយ។


យើងពង្រីកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនីមួយៗនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃជួរទីមួយ និងទីពីរ


យើងពង្រីកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរនីមួយៗនៅក្នុងជួរទីមួយ


ចម្លើយ៖ 48
មតិយោបល់៖នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានេះ រូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃការបញ្ជាទិញទី 2 និងទី 3 មិនត្រូវបានប្រើទេ។ មានតែការពង្រីកតាមជួរ ឬជួរឈរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ដែលនាំឱ្យមានការថយចុះលំដាប់នៃកត្តាកំណត់។

ការគណនាកត្តាកំណត់ ន-លំដាប់៖

គំនិតនៃកត្តាកំណត់ ន- លំដាប់

ដោយប្រើអត្ថបទនេះអំពីកត្តាកំណត់ អ្នកប្រាកដជានឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដូចខាងក្រោម៖

ដោះស្រាយសមីការ៖

និងជាច្រើនទៀតដែលគ្រូចូលចិត្តមកជាមួយខ្លាំងណាស់។

កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស ឬជាធម្មតា កត្តាកំណត់ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាទូទៅ កត្តាកំណត់ត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់គោលបំណងនេះ។ ដោយសារវាត្រូវបានគេនិយាយជាញឹកញាប់ថា "កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស" យើងនឹងនិយាយអំពីម៉ាទ្រីសនៅទីនេះផងដែរ។ ម៉ាទ្រីសគឺ​ជា​តារាង​រាង​ចតុកោណ​ដែល​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​លេខ​ដែល​មិន​អាច​ដូរ​គ្នា​បាន។ ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​គឺ​ជា​តារាង​ដែល​មាន​ចំនួន​ជួរ​ដេក​និង​ជួរ​ឈរ​ដូចគ្នា។ មានតែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះដែលអាចមានកត្តាកំណត់.

វាងាយស្រួលក្នុងការយល់ពីតក្កវិជ្ជានៃការសរសេរកត្តាកំណត់ដោយយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម។ ចូរយើងយកប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអ្នកមិនស្គាល់ពីរដែលធ្លាប់ស្គាល់ពីសាលា៖

នៅក្នុងកត្តាកំណត់ មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ត្រូវបានសរសេរជាលំដាប់៖ ក្នុងជួរទីមួយ - ពីសមីការទីមួយ ក្នុងជួរទីពីរ - ពីសមីការទីពីរ៖

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើបានផ្តល់ឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ

បន្ទាប់មកកត្តាកំណត់ខាងក្រោមត្រូវបានបង្កើតឡើងពីមេគុណនៃមិនស្គាល់៖

ដូច្នេះ ឧបមាថា យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​តារាង​ការ៉េ​ដែល​មាន​លេខ​ដែល​បាន​រៀប​ចំ​នៅ​ក្នុង នជួរដេក (ជួរដេកផ្ដេក) និងក្នុង នជួរឈរ (ជួរបញ្ឈរ) ។ ដោយមានជំនួយពីលេខទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួនដែលយើងនឹងសិក្សាខាងក្រោមពួកគេរកឃើញលេខដែលពួកគេហៅ កត្តាកំណត់ នលំដាប់ទី និងត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

(1)

លេខត្រូវបានហៅ ធាតុកត្តាកំណត់ (1) (សន្ទស្សន៍ទីមួយមានន័យថាចំនួនជួរដេកទីពីរ - ចំនួនជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វដែលមានធាតុមួយ; ខ្ញុំ = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ... , ន) ។ លំដាប់នៃកត្តាកំណត់គឺជាចំនួនជួរដេក និងជួរឈររបស់វា។

បន្ទាត់ត្រង់ស្រមើលស្រមៃដែលភ្ជាប់ធាតុនៃកត្តាកំណត់ដែលសន្ទស្សន៍ទាំងពីរគឺដូចគ្នា ពោលគឺឧ។ ធាតុ

ហៅ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់អង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតគឺ ចំហៀង.

ការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរនិងទីបី

ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលកត្តាកំណត់នៃការបញ្ជាទិញបីដំបូងត្រូវបានគណនា។

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីមួយគឺធាតុខ្លួនវា i.e.

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ គឺជាលេខដែលទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

, (2)

ផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងបន្ទាប់បន្សំរៀងគ្នា។

សមភាព (2) បង្ហាញថាផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ត្រូវបានយកជាមួយសញ្ញារបស់វាហើយផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំត្រូវបានយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។ .

ឧទាហរណ៍ ១គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយ។ តាមរូបមន្ត (២) យើងរកឃើញ៖

កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី គឺជាលេខដែលទទួលបានដូចនេះ៖

(3)

វាពិបាកក្នុងការចងចាំរូបមន្តនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានច្បាប់សាមញ្ញមួយហៅថា ច្បាប់ត្រីកោណ ដែលធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតការបញ្ចេញមតិឡើងវិញ (3). ដោយបង្ហាញពីធាតុនៃកត្តាកំណត់ជាមួយនឹងចំណុច យើងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់កាត់ផ្នែកទាំងនោះដែលផ្តល់ឱ្យផលិតផលនៃធាតុនៃកត្តាកំណត់ (រូបភាពទី 1) ។

រូបមន្ត (3) បង្ហាញថាផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ក៏ដូចជាធាតុដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណពីរដែលជាមូលដ្ឋានដែលស្របទៅនឹងវាត្រូវបានយកសញ្ញារបស់ពួកគេ; ជាមួយធាតុផ្ទុយ - ផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំក៏ដូចជាធាតុដែលមានទីតាំងនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណពីរដែលស្របនឹងវា .

នៅក្នុងរូបភាពទី 1 អង្កត់ទ្រូងសំខាន់ និងមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណដែលត្រូវគ្នានឹងវា ហើយអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ និងមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណដែលត្រូវគ្នានឹងវាត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ក្រហម។

នៅពេលគណនាកត្តាកំណត់ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ដូចនៅវិទ្យាល័យដែរ ដែលត្រូវចាំថា លេខដកគុណនឹងលេខដក បង្កើតជាសញ្ញាបូក ហើយសញ្ញាបូកគុណនឹងលេខដក នាំឱ្យលេខដែលមានសញ្ញាដក។

ឧទាហរណ៍ ២គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី៖

ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើច្បាប់នៃត្រីកោណយើងទទួលបាន

ការគណនាកត្តាកំណត់ ន- លំដាប់

ការពង្រីកជួរ ឬជួរឈរនៃកត្តាកំណត់

ដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់ ន th order, វាចាំបាច់ដើម្បីដឹងនិងប្រើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ Laplace ។កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរណាមួយ និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់ពួកគេ i.e.

និយមន័យ. ប្រសិនបើនៅក្នុងកត្តាកំណត់ នលំដាប់ទី ជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត ទំបន្ទាត់ និង ទំជួរឈរ ( ទំ < ន) បន្ទាប់មកធាតុនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរទាំងនេះបង្កើតជាម៉ាទ្រីសលំដាប់។

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគេហៅថា អនីតិជន កត្តាកំណត់ដើម។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកត្តាកំណត់៖

ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសពីជួរដេក និងជួរឈរដែលមានលេខគូ៖

កំណត់

ហៅ អនីតិជនកត្តាកំណត់។ បានទទួលអនីតិជននៃការបញ្ជាទិញទីពីរ។ វាច្បាស់ណាស់ថាអនីតិជនផ្សេងៗនៃលំដាប់ទីមួយ ទីពីរ និងទីបីអាចត្រូវបានសាងសង់ពី។

ប្រសិន​បើ​យើង​យក​ធាតុ​មួយ​ចេញ​ហើយ​កាត់​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​ត្រង់​ចំណុច​ប្រសព្វ​ដែល​វា​ឈរ​ក្នុង​កត្តា​កំណត់ នោះ​យើង​នឹង​ទទួល​បាន​អនីតិជន​មួយ​ដែល​គេ​ហៅ​ថា អនីតិជន​នៃ​ធាតុ ដែល​យើង​បញ្ជាក់​ដោយ៖

.

ប្រសិនបើអនីតិជនត្រូវបានគុណដោយ ដែល 3 + 2 គឺជាផលបូកនៃលេខជួរដេក និងជួរនៅចំនុចប្រសព្វនៃធាតុដែលឈរនោះ ផលិតផលលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា ការបន្ថែមពិជគណិតធាតុ និងត្រូវបានតំណាងដោយ ,

ជាទូទៅ អនីតិជននៃធាតុមួយនឹងត្រូវបានតំណាងដោយ , និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតដោយ ,

(4)

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី៖

តាមរូបមន្ត (4) យើងទទួលបាន

នៅពេលដែល decomposing determinant មួយ ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមរបស់ determinant ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ ន-លំដាប់៖

ប្រសិនបើផលិតផលនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេក ឬជួរឈរផ្សេងទៀតដោយកត្តាថេរត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេក ឬជួរឈរណាមួយនោះ តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ឧទាហរណ៍ 4

ចូរយើងដកធាតុនៃជួរទី 4 ជាបឋមចេញពីជួរទីមួយ និងទីបី បន្ទាប់មកយើងនឹង

នៅក្នុងជួរទីបួននៃកត្តាកំណត់ដែលទទួលបាន ធាតុបីគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការពង្រីកកត្តាកំណត់នេះដោយធាតុនៃជួរទីបួន ព្រោះផលិតផលទាំងបីដំបូងនឹងសូន្យ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

អ្នកអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយជាមួយ ម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិត .

ហើយឧទាហរណ៍ខាងក្រោមបង្ហាញពីរបៀបដែលការគណនានៃកត្តាកំណត់ណាមួយ (ក្នុងករណីនេះ លំដាប់ទីបួន) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនានៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ 5គណនាកត្តាកំណត់៖

ចូរយើងដកធាតុនៃជួរទីមួយចេញពីជួរទីបី ហើយបន្ថែមធាតុនៃជួរទីមួយទៅធាតុនៃជួរទីបួន នោះយើងនឹងមាន

នៅក្នុងជួរទីមួយ ធាតុទាំងអស់ លើកលែងតែទីមួយគឺសូន្យ។ នោះគឺកត្តាកំណត់អាចត្រូវបាន decomposed រួចហើយនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ប៉ុន្តែយើងពិតជាមិនចង់គណនាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីទេ។ ដូច្នេះ យើងនឹងធ្វើការបំប្លែងបន្ថែមទៀត៖ ចំពោះធាតុនៃជួរទីបី យើងបន្ថែមធាតុនៃជួរទីពីរ គុណនឹង 2 ហើយពីធាតុនៃជួរទី 4 យើងដកធាតុនៃជួរទីពីរ។ ជាលទ្ធផល កត្តាកំណត់ ដែលជាការបន្ថែមពិជគណិត អាចត្រូវបានពង្រីកដោយខ្លួនវានៅក្នុងជួរទីមួយ ហើយយើងនឹងត្រូវគណនាតែកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញានោះទេ៖

នាំកត្តាកំណត់ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

កត្តាកំណត់ដែលធាតុទាំងអស់ស្ថិតនៅម្ខាងនៃអង្កត់ទ្រូងមួយស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ។ ករណីនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាករណីនៃអង្កត់ទ្រូងមេដោយបញ្ច្រាសលំដាប់នៃជួរដេកឬជួរឈរ។ កត្តាកំណត់បែបនេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់។

ដើម្បីកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ទ្រព្យសម្បត្តិដូចគ្នានៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានប្រើ នលំដាប់ទី ដែលយើងធ្លាប់ប្រើក្នុងកថាខណ្ឌមុន៖ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមផលិតផលនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេក ឬជួរឈរផ្សេងទៀតដោយកត្តាថេរទៅធាតុនៃជួរ ឬជួរឈរណាមួយនោះ តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

អ្នកអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយជាមួយ ម៉ាស៊ីនគិតលេខកំណត់តាមអ៊ីនធឺណិត .

លក្ខណៈសម្បត្តិកំណត់ ន- លំដាប់

នៅក្នុងកថាខណ្ឌពីរមុន យើងបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃកត្តាកំណត់រួចហើយ ន- លំដាប់។ ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីសម្រួលការគណនានៃកត្តាកំណត់ អ្នកអាចប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃកត្តាកំណត់។ ឧទាហរណ៍ មួយអាចកាត់បន្ថយកត្តាកំណត់ទៅផលបូកនៃកត្តាកំណត់ពីរ ដែលមួយ ឬទាំងពីរអាចពង្រីកបានយ៉ាងងាយស្រួលតាមជួរ ឬជួរឈរមួយចំនួន។ មានករណីជាច្រើននៃភាពសាមញ្ញបែបនេះ ហើយសំណួរនៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិមួយ ឬផ្សេងទៀតរបស់អ្នកកំណត់គួរតែត្រូវបានសម្រេចជាលក្ខណៈបុគ្គល។

1. ទ្រឹស្ដីនៃការបំបែក៖

កត្តាកំណត់ណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលគូនៃធាតុនៃស៊េរីណាមួយ និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។

សម្រាប់ ខ្ញុំ-បន្ទាត់៖

ឬសម្រាប់ j- ជួរ​ឈរ​:

ឧទាហរណ៍ 7.1 ។ គណនាកត្តាកំណត់ដោយពង្រីកលើធាតុនៃជួរទីមួយ៖

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

ទ្រឹស្តីបទ decomposition អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសការគណនានៃកត្តាកំណត់មួយ។ n-ការគណនាលំដាប់ នកត្តាកំណត់ ( n- 1) លំដាប់។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ វាគួរតែប្រើវិធី "គុណលេខសូន្យ" សម្រាប់ការកំណត់នៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ ដោយផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិ 6 នៃផ្នែកទី 5 ។ គំនិតរបស់វាគឺ៖

ទីមួយ "គុណសូន្យ" នៅក្នុងជួរមួយចំនួន i.e. ទទួលបានស៊េរីដែលធាតុតែមួយមិនស្មើនឹងសូន្យ នៅសល់គឺសូន្យ។

បន្ទាប់មកពង្រីកកត្តាកំណត់លើធាតុនៃស៊េរីនេះ។

ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ decomposition កត្តាកំណត់ដើមគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុ nonzero និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 7.2 ។ គណនាកត្តាកំណត់៖

.

"គុណលេខសូន្យ" នៅក្នុងជួរទីមួយ។

ពីជួរទីពីរយើងដកលេខទីមួយគុណនឹង 2 ពីជួរទីបីយើងដកលេខទីមួយគុណនឹង 3 ហើយពីជួរទីបួនយើងដកលេខទីមួយគុណនឹង 4។ ជាមួយនឹងការបំលែងបែបនេះ តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិទី 4 នៃផ្នែកទី 5 យើងអាចដកសញ្ញាកំណត់ពីជួរឈរទី 1 ពីជួរឈរទី 2 និងពីជួរឈរទី 3 ។

លទ្ធផល៖កត្តាកំណត់ដែលមានស៊េរីសូន្យគឺស្មើនឹងសូន្យ។

2. ទ្រឹស្តីបទជំនួស៖

ផលបូកនៃផលិតផលដែលបានផ្គូផ្គងនៃលេខណាមួយ និងការបន្ថែមពិជគណិតនៃស៊េរីជាក់លាក់នៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើធាតុនៃស៊េរីនេះត្រូវបានជំនួសនៅក្នុងវាដោយលេខដែលបានយក។

សម្រាប់ជួរទី៖

1. ទ្រឹស្តីបទនៃការលុបចោល៖

ផលបូកនៃផលិតផលជាគូនៃធាតុនៃស៊េរីណាមួយ និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃស៊េរីប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ជាការពិត តាមរយៈទ្រឹស្តីបទជំនួស យើងទទួលបានកត្តាកំណត់សម្រាប់នោះ។ k-th line មានធាតុដូចគ្នានឹងក្នុង ខ្ញុំ- បន្ទាត់

ប៉ុន្តែដោយទ្រព្យសម្បត្តិ 3 នៃផ្នែកទី 5 កត្តាកំណត់បែបនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទ decomposition និង corollaries របស់វាអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

8. ព័ត៌មានទូទៅអំពីម៉ាទ្រីស។ និយមន័យមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ ៨.១ . ម៉ាទ្រីសហៅថាតារាងចតុកោណខាងក្រោម៖

ការរចនាម៉ាទ្រីសខាងក្រោមក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ៖ ឬ ឬ .

ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​មួយ​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ឈ្មោះ ជួរ។

តម្លៃត្រូវបានគេហៅថា ទំហំម៉ាទ្រីស។

ប្រសិនបើយើងប្តូរជួរដេក និងជួរឈរក្នុងម៉ាទ្រីស នោះយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសហៅថា ឆ្លង. ម៉ាទ្រីស transposed ជាមួយ , ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា .

ឧទាហរណ៍:

និយមន័យ 8.2. ម៉ាទ្រីសពីរ កនិង ខហៅ ស្មើ, ប្រសិនបើ

1) ម៉ាទ្រីសទាំងពីរមានទំហំដូចគ្នា, i.e. និង ;

2) ធាតុដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់គឺស្មើគ្នា, i.e.

បន្ទាប់មក។ (8.2)

នៅទីនេះសមភាពម៉ាទ្រីសមួយ (8.2) គឺស្មើនឹងសមភាពមាត្រដ្ឋាន (8.1)។

9. ប្រភេទនៃម៉ាទ្រីស។

1) ម៉ាទ្រីស ធាតុទាំងអស់ដែលស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីស null៖

2) ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមានតែមួយជួរ នោះគេហៅថា ម៉ាទ្រីសជួរ,ឧទាហរណ៍ . ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ម៉ាទ្រីសដែលមានជួរឈរតែមួយត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសជួរឈរ,ឧទាហរណ៍ .

Transposition បំប្លែងម៉ាទ្រីសជួរឈរទៅជាម៉ាទ្រីសជួរដេក និងច្រាសមកវិញ។

3) ប្រសិនបើ ម=នបន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទី n ។

អង្កត់ទ្រូងនៃលក្ខខណ្ឌនៃម៉ាទ្រីសការ៉េដែលចេញពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើទៅជ្រុងខាងស្តាំខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា មេ. អង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតនៃសមាជិករបស់វាដែលចេញពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងក្រោមទៅជ្រុងខាងស្តាំខាងលើត្រូវបានគេហៅថា ចំហៀង.

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ កត្តាកំណត់អាចត្រូវបានគណនា det(A).