នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងរស់នៅលើគំនិតនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យចាំបាច់ សរសេររូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ រាយបញ្ជី និងបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងរស់នៅលើអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរហើយពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាផ្សេងៗ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

មុននឹងផ្តល់និយមន័យនៃផលិតផលឈើឆ្កាង ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងការតំរង់ទិសនៃវ៉ិចទ័របីដងដែលបានបញ្ជានៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។

ចូរពន្យារពេលវ៉ិចទ័រពីចំណុចមួយ។ អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ បីដងអាចស្តាំ ឬឆ្វេង។ សូមក្រឡេកមើលពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រថាតើការបត់ខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទៅ . ប្រសិនបើការបង្វិលខ្លីបំផុតគឺច្រាសទ្រនិចនាឡិកានោះ វ៉ិចទ័របីដងត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។បើមិនដូច្នេះទេ - ឆ្វេង.

ឥឡូវ​សូម​យក​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ​គ្នា​ពីរ និង . ញែកវ៉ិចទ័រនិងពីចំណុច A ។ ចូរយើងបង្កើតវ៉ិចទ័រមួយចំនួនដែលកាត់កែងទៅ និង និងក្នុងពេលតែមួយ។ ជាក់ស្តែង នៅពេលសាងសង់វ៉ិចទ័រ យើងអាចធ្វើរឿងពីរ ដោយផ្តល់ទិសដៅមួយ ឬផ្ទុយ (សូមមើលរូបភាព)។

អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័របីដងតាមលំដាប់អាចត្រូវ ឬឆ្វេង។

ដូច្នេះ​យើង​បាន​ខិត​ទៅ​ជិត​និយមន័យ​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ។ វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៃលំហរបីវិមាត្រ។

និយមន័យ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរនិង ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័របែបនោះ។

ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានតំណាងថាជា .

កូអរដោណេផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ឥឡូវនេះយើងផ្តល់និយមន័យទីពីរនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វាពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យនិង។

និយមន័យ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរ និង គឺជាវ៉ិចទ័រ ដែលជាវ៉ិចទ័រសំរបសំរួល។

និយមន័យនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវផលិតផលឆ្លងកាត់ក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។

វាងាយស្រួលតំណាងឱ្យផលិតផលវ៉ិចទ័រជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីបី ជួរទីមួយដែលជាអ័រត ជួរទីពីរមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយជួរទីបីមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុង ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ប្រសិនបើយើងពង្រីកកត្តាកំណត់នេះដោយធាតុនៃជួរទីមួយ នោះយើងទទួលបានសមភាពពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទ)៖

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាទម្រង់កូអរដោណេនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយនៃអត្ថបទនេះ។ លើសពីនេះទៅទៀត និយមន័យទាំងពីរនេះនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺសមមូល។ ភស្តុតាងនៃការពិតនេះអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅដែលបានបង្ហាញនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ។

លក្ខណៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ដោយសារផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោណេអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ខាងក្រោមនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋាន គុណលក្ខណៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិប្រឆាំងនឹងការចម្លងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

A-priory និង . យើងដឹងថាតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានបញ្ច្រាសនៅពេលដែលជួរដេកពីរត្រូវបានប្តូរ ដូច្នេះ។ ដែល​បង្ហាញ​ពី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​របស់​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ - ឧទាហរណ៍និងដំណោះស្រាយ។

ជាទូទៅមានភារកិច្ចបីប្រភេទ។

នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរនិងមុំរវាងពួកវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយវាត្រូវបានគេតម្រូវឱ្យស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាង។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តត្រូវបានប្រើ .

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ ហើយប្រសិនបើស្គាល់ .

ដំណោះស្រាយ។

យើងដឹងពីនិយមន័យថាប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងដងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា ដូច្នេះ .

ចម្លើយ៖

.

ភារកិច្ចនៃប្រភេទទីពីរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលផលិតផលវ៉ិចទ័រប្រវែងរបស់វាឬអ្វីផ្សេងទៀតត្រូវបានស្វែងរកតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ និង .

មានជម្រើសផ្សេងគ្នាជាច្រើនដែលមាននៅទីនេះ។ ឧទាហរណ៍ មិនមែនជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ និង , ប៉ុន្តែការពង្រីករបស់វានៅក្នុងកូអរដោនេវ៉ិចទ័រនៃទម្រង់ និង ឬវ៉ិចទ័រ និងអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់របស់វា។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។

វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ . ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមនិយមន័យទីពីរ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរនៅក្នុងកូអរដោណេត្រូវបានសរសេរជា៖

យើងនឹងបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងសរសេរផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈកត្តាកំណត់

ចម្លើយ៖

.

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងកន្លែងដែលជា orts នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ។

ជាដំបូង ស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដោយសារវ៉ិចទ័រ និងមានកូអរដោណេរៀងៗខ្លួន (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យទីពីរនៃផលិតផលឈើឆ្កាង យើងមាន

នោះគឺផលិតផលវ៉ិចទ័រ មានកូអរដោនេនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រជាឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា (យើងទទួលបានរូបមន្តនេះសម្រាប់ប្រវែងវ៉ិចទ័រក្នុងផ្នែកលើការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ)៖

ចម្លើយ៖

.

ឧទាហរណ៍។

កូអរដោនេនៃបីចំណុចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រមួយចំនួនដែលកាត់កែងទៅ និងក្នុងពេលតែមួយ។

ដំណោះស្រាយ។

វ៉ិចទ័រ និង​មាន​កូអរដោណេ និង​រៀង​គ្នា (មើល​អត្ថបទ​រក​កូអរដោណេ​វ៉ិចទ័រ​តាម​រយៈ​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច)។ ប្រសិនបើយើងរកឃើញផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ ហើយតាមនិយមន័យ វាគឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទាំងទៅ និងទៅ នោះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់យើង។ ចូរយើងស្វែងរកគាត់

ចម្លើយ៖

គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងមួយ។

នៅក្នុងភារកិច្ចនៃប្រភេទទីបីជំនាញនៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានពិនិត្យ។ បន្ទាប់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិត្រូវបានអនុវត្ត រូបមន្តដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

វ៉ិចទ័រ និងកាត់កែង ហើយប្រវែងរបស់វាគឺ 3 និង 4 រៀងគ្នា។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ .

ដំណោះស្រាយ។

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រយើងអាចសរសេរបាន។

ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិសមាគម យើងដកមេគុណលេខសម្រាប់សញ្ញានៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយ៖

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនិងស្មើនឹងសូន្យចាប់តាំងពី និង , បន្ទាប់មក។

ចាប់តាំងពីផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺប្រឆាំងនឹងការចម្លង ដូច្នេះ .

ដូច្នេះដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រយើងបានមកដល់សមភាព .

តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រ និងកាត់កែង ពោលគឺមុំរវាងពួកវាស្មើនឹង . នោះគឺយើងមានទិន្នន័យទាំងអស់ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងដែលត្រូវការ

ចម្លើយ៖

.

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

តាមនិយមន័យប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺ . ហើយពីវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រវិទ្យាល័យយើងដឹងថាតំបន់នៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលិតផលនៃប្រវែងនៃជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណនិងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺស្មើនឹងពីរដងនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានជ្រុងនៃវ៉ិចទ័រហើយប្រសិនបើពួកគេត្រូវបានពន្យារពេលពីចំណុចមួយ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រវែងនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រនិងស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមជាមួយភាគីនិងនិងមុំរវាងពួកវាស្មើនឹង . នេះគឺជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ការធ្វើតេស្តលេខ 1

វ៉ិចទ័រ។ ធាតុនៃពិជគណិតខ្ពស់។

1-20. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និង និងត្រូវបានគេស្គាល់; គឺជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

គណនា៖ 1) និង, 2) .3) រកផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ និង។

ធ្វើគំនូរ។

ដំណោះស្រាយ។ ការប្រើប្រាស់និយមន័យនៃផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ៖

និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖ ,

1) ស្វែងរកការ៉េនៃវ៉ិចទ័រ៖

នោះគឺបន្ទាប់មក។

ជជែក​គ្នា​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​យើង​ទទួល​បាន​

នោះគឺបន្ទាប់មក។

តាមនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖ ,

យកទៅក្នុងគណនីការពិតដែលថា

ផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ និងស្មើនឹង

21-40. កូអរដោណេនៃកំពូលបីត្រូវបានគេស្គាល់ A, B, Dប្រលេឡូក្រាម ABCD. តាមរយៈពិជគណិតវ៉ិចទ័រ អ្នកត្រូវការ៖

ក(3;0;-7), ខ(2;4;6), ឃ(-7;-5;1)

ដំណោះស្រាយ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមនៅចំណុចប្រសព្វត្រូវបានបែងចែកជាពាក់កណ្តាល។ ដូច្នេះកូអរដោនេនៃចំណុច អ៊ី- ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង - ស្វែងរកជាកូអរដោនេនៃផ្នែកកណ្តាល BD. សម្គាល់ពួកវាជាមួយ x អ៊ី ,y អ៊ី , z អ៊ីយើងទទួលបាននោះ។

យើង​ទទួល​បាន ។

ការដឹងពីកូអរដោនេនៃចំណុច អ៊ី- ចំណុចកណ្តាលអង្កត់ទ្រូង BDនិងកូអរដោនេនៃការបញ្ចប់របស់វា។ ក(3;0;-7), តាមរូបមន្ត យើងកំណត់កូអរដោនេដែលចង់បាននៃ vertex ជាមួយប៉ារ៉ាឡែល៖

ដូច្នេះកំពូល។

2) ដើម្បីស្វែងរកការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើវ៉ិចទ័រ យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ៖ ,

ដូចគ្នានេះដែរ។ ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើវ៉ិចទ័រ យើងរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

3) មុំរវាងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ

ហើយដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

បន្ទាប់មក

4) ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

5) បរិមាណនៃពីរ៉ាមីតត្រូវបានរកឃើញជា 1/6 នៃម៉ូឌុលនៃផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ ដែល O(0;0;0) បន្ទាប់មក

បន្ទាប់មកបរិមាណដែលចង់បាន (ឯកតាគូប)

41-60. ទិន្នន័យម៉ាទ្រីស៖

V C -1 +3A T

ការរចនា៖

ដំបូង​យើង​រក​ឃើញ​ការ​បញ្ច្រាស​នៃ​ម៉ាទ្រីស C ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញកត្តាកំណត់របស់វា:

កត្តាកំណត់គឺមិនមែនសូន្យ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសគឺមិនមែនឯកវចនៈទេ ហើយសម្រាប់វា អ្នកអាចរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស C -1

ចូរយើងស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតដោយរូបមន្ត តើអនីតិជននៃធាតុស្ថិតនៅត្រង់ណា៖

បន្ទាប់មក .

61–80. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ៖

វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer; 2. វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។

ដំណោះស្រាយ។

ក) វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer

ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ

ចាប់តាំងពី ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ស្វែងរកកត្តាកំណត់ ហើយជំនួសជួរទីមួយ ទីពីរ ទីបីក្នុងម៉ាទ្រីសនៃមេគុណ រៀងគ្នាជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

យោងតាមរូបមន្តរបស់ Cramer៖

ខ)វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស (ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស) ។

យើងសរសេរប្រព័ន្ធនេះជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

អនុញ្ញាតឱ្យ កគឺជាម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ Xគឺជាម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃមិនស្គាល់ x, y, zនិង ហគឺជាម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃប្រព័ន្ធ (1) អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស ហើយផ្នែកខាងស្តាំជាម៉ាទ្រីស ហ. ដូច្នេះ យើងមានសមីការម៉ាទ្រីស

ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស កគឺខុសពីសូន្យ (ធាតុ "a") បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស កមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាព (2) នៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស យើងទទួលបាន

តាំងពីណាមក អ៊ីគឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ ហើយបន្ទាប់មក

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ A៖

បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

កន្លែងណា ក អ៊ី- ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយ។ ក អ៊ីនៅក្នុងម៉ាទ្រីសកំណត់ កដែលជាផលិតផលនៃ (-1) i+j និងអនីតិជន (កត្តាកំណត់) n-1ការបញ្ជាទិញដែលទទួលបានដោយការលុប i-thបន្ទាត់ និង j-thជួរឈរក្នុងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A៖

ពីទីនេះយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

ជួរ X: X = A -1 H

81–100. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖

យើងអនុវត្តការបំប្លែងបឋមដោយប្រើខ្សែអក្សរ។

ពីជួរទី 2 យើងដកជួរទីមួយគុណនឹង 2។ ពីជួរទី 3 យើងដកជួរទីមួយគុណនឹង 4។ ពីជួរទី 4 យើងដកជួរទីមួយយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស៖

បន្ទាប់មក យើងទទួលបានសូន្យនៅក្នុងជួរទីមួយនៃជួរបន្តបន្ទាប់ សម្រាប់ការនេះ យើងដកជួរទីបីចេញពីជួរទីពីរ។ ពីជួរទីបីយើងដកជួរទីពីរគុណនឹង 2។ ពីជួរទីបួនយើងដកជួរទីពីរគុណនឹង 3។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់៖

ដកទីបីចេញពីជួរទីបួន។

ប្តូរបន្ទាត់ចុងក្រោយ និងចុងក្រោយ៖

ម៉ាទ្រីសចុងក្រោយគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធសមីការ៖

ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធយើងរកឃើញ។

ការជំនួសទៅក្នុងសមីការ penultimate យើងទទួលបាន .

វាធ្វើតាមសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ

ពីសមីការទីមួយយើងរកឃើញ x:

ចម្លើយ៖

ការប្រឡងលេខ ២

ធរណីមាត្រវិភាគ

1-20. ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​កំពូល​នៃ​ត្រីកោណ​ ABCស្វែងរក៖

1) ប្រវែងចំហៀង កIN;

2) សមីការចំហៀង ABនិង ព្រះអាទិត្យនិងជម្រាលរបស់ពួកគេ;

3) មុំ INក្នុងរ៉ាដ្យង់ទៅពីរខ្ទង់ទសភាគ;

4) សមីការកម្ពស់ ស៊ីឌីនិងប្រវែងរបស់វា។

5) សមីការមធ្យម អេ

កម្ពស់ ស៊ីឌី;

TOស្របទៅម្ខាង AB,

7) បង្កើតគំនូរ។

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

ដំណោះស្រាយ។

ការអនុវត្ត (1) យើងរកឃើញប្រវែងនៃចំហៀង AB:

2) សមីការចំហៀង ABនិង ព្រះអាទិត្យនិងជម្រាលរបស់ពួកគេ៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច និងមានទម្រង់

ការជំនួសទៅជា (2) កូអរដោនេនៃចំណុច កនិង INយើងទទួលបានសមីការចំហៀង AB:

(AB).

(BC).

3) មុំ INគិតជារ៉ាដ្យង់ដល់ខ្ទង់ទសភាគពីរ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាតង់សង់នៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ មេគុណជម្រាលដែលស្មើគ្នា និងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

មុំដែលចង់បាន INបង្កើតឡើងដោយផ្ទាល់ ABនិង ព្រះអាទិត្យមេគុណមុំត្រូវបានរកឃើញ៖ ; . ការដាក់ពាក្យ (3) យើងទទួលបាន

; , ឬ

4) សមីការកម្ពស់ ស៊ីឌីនិងប្រវែងរបស់វា។

ចម្ងាយពីចំណុច C ទៅបន្ទាត់ AB៖

5) សមីការមធ្យម អេនិងកូអរដោនេនៃចំនុច K នៃចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យាននេះជាមួយ

កម្ពស់ ស៊ីឌី.

កណ្តាល BC:

បន្ទាប់មកសមីការ AE៖

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

6) សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ TOស្របទៅម្ខាង AB:

ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ដែលចង់បានគឺស្របទៅចំហៀង ABបន្ទាប់មកជម្រាលរបស់វានឹងស្មើនឹងចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ AB. ការជំនួសទៅជា (4) កូអរដោនេនៃចំណុចដែលបានរកឃើញ TOនិងមេគុណមុំ យើងទទួលបាន

; (ខេអេហ្វ).

ផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាមគឺ 12 ម៉ែត្រការ៉េ។ ឯកតា ចំនុចកំពូលពីររបស់វាជាចំនុច A(-1;3)និង ខ(-២;៤)។ស្វែងរកចំនុចកំពូលពីរផ្សេងទៀតនៃប្រលេឡូក្រាមនេះ ប្រសិនបើគេដឹងថាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វាស្ថិតនៅលើអ័ក្ស x ។ ធ្វើគំនូរ។

ដំណោះស្រាយ។ សូមឱ្យចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងមានកូអរដោនេ។

បន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់។

ដូច្នេះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលពីរផ្សេងទៀតគឺ .

នៅក្នុងបញ្ហា 51-60 កូអរដោនេនៃចំណុច ក និង ខ. ទាមទារ៖

សរសេរសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក និង ខប្រសិនបើ foci នៃអ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅលើអ័ក្ស x;

ស្វែងរក semiaxes, foci, eccentricity និងសមីការនៃ asymptotes នៃ hyperbola នេះ;

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វទាំងអស់នៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានរង្វង់កណ្តាលនៅដើម ប្រសិនបើរង្វង់នេះឆ្លងកាត់ foci នៃអ៊ីពែបូឡា។

បង្កើតអ៊ីពែបូឡា សញ្ញាសម្គាល់របស់វា និងរង្វង់មួយ។

A(6;-2), B(-8;12) ។

ដំណោះស្រាយ។ សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែលចង់បានក្នុងទម្រង់ Canonical ត្រូវបានសរសេរ

កន្លែងណា កគឺជា semiaxis ពិតប្រាកដនៃអ៊ីពែបូឡា ខ-អ័ក្សស្រមៃ។ កូអរដោនេចំណុចជំនួស កនិង INនៅក្នុងសមីការនេះ យើងរកឃើញ semiaxes ទាំងនេះ៖

- សមីការនៃអ៊ីពែបូឡា៖ .

Semiaxes a=4,

ប្រវែងប្រសព្វ Foci (-8.0) និង (8.0)

ភាពប្លែក

Aciptotes៖

ប្រសិនបើរង្វង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនោះសមីការរបស់វា។

ការជំនួសមួយនៃ foci យើងក៏រកឃើញសមីការរង្វង់ផងដែរ។

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡា និងរង្វង់៖

ការកសាងគំនូរ៖

នៅក្នុងបញ្ហា 61-80 គ្រោងមុខងារនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូលដោយចំនុច ដោយផ្តល់តម្លៃ  ឆ្លងកាត់ចន្លោះពេល  /8 (0   ២)។ ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណ (អ័ក្សពាក់កណ្តាលវិជ្ជមាននៃ abscissa ស្របគ្នានឹងអ័ក្សប៉ូល ហើយបង្គោលស្របគ្នានឹងប្រភពដើម)។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងបង្កើតបន្ទាត់ដោយចំនុច ដោយបានបំពេញពីមុនក្នុងតារាងតម្លៃ និងφ។

ចំនួន	φ ,	φ, ដឺក្រេ			ចំនួន	φ , រីករាយ	ដឺក្រេ
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 យើងសន្និដ្ឋានថាសមីការនេះកំណត់ពងក្រពើ៖ ពិន្ទុដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក IN , គ, ឃ . ទាមទារដើម្បីស្វែងរក៖ 1. សមីការនៃយន្តហោះ (សំណួរ), ឆ្លងកាត់ចំណុច A, B, C ឃនៅក្នុងយន្តហោះ (សំណួរ); 2. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ (ខ្ញុំ)ឆ្លងកាត់ចំណុច INនិង D; 3. មុំរវាងយន្តហោះ (សំណួរ)និងដោយផ្ទាល់ (ខ្ញុំ); 4. សមីការនៃយន្តហោះ (រ)ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ កកាត់កែងទៅបន្ទាត់ (ខ្ញុំ); 5. មុំរវាងយន្តហោះ (រ)និង (សំណួរ) ; 6. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ (T),ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ កក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រកាំរបស់វា; 7. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ (ខ្ញុំ)និង (ត)។ A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),ឃ(6;4;0) 1. សមីការនៃយន្តហោះ (សំណួរ), ឆ្លងកាត់ចំណុច A, B, Cហើយពិនិត្យមើលថាតើចំណុចស្ថិតនៅ ឃក្នុងយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត Find : 1). 2) ការ៉េប្រលេឡូក្រាម សាងសង់ នៅលើនិង។ 3) បរិមាណនៃ parallelepiped, សាងសង់ នៅលើ វ៉ិចទ័រ, និង។ គ្រប់គ្រង ការងារលើប្រធានបទនេះ " ធាតុទ្រឹស្តីនៃលំហលីនេអ៊ែរ... សេចក្តីណែនាំសម្រាប់ការអនុវត្តការធ្វើតេស្តសម្រាប់វគ្គសិក្សាឆ្លើយឆ្លងថ្នាក់បរិញ្ញាបត្រសម្រាប់គុណវុឌ្ឍិ 080100. 62 ក្នុងទិសដៅ ការណែនាំ parallelepiped និងបរិមាណនៃពីរ៉ាមីត, សាងសង់ នៅលើ វ៉ិចទ័រ, និង។ ដំណោះស្រាយ៖ 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. ភារកិច្ចសម្រាប់ គ្រប់គ្រង ធ្វើការផ្នែក I. លីនេអ៊ែរ ពិជគណិត. 1 – 10. ដាណា...

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការពីរបន្ថែមទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ (តំណភ្ជាប់ភ្លាមៗសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវការវា). វាមិនអីទេ ជួនកាលវាកើតឡើងថាសម្រាប់សុភមង្គលពេញលេញ បន្ថែមពីលើ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រត្រូវការកាន់តែច្រើនឡើង។ នេះគឺជាការញៀនវ៉ិចទ័រ។ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានការចាប់អារម្មណ៍ថាយើងកំពុងចូលទៅក្នុងព្រៃនៃធរណីមាត្រវិភាគ។ នេះ​គឺ​ខុស។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ ជាទូទៅមានអុសតិចតួច លើកលែងតែអាចគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Pinocchio ។ តាមពិតសម្ភារៈគឺសាមញ្ញនិងសាមញ្ញ - ពិបាកជាងដូចគ្នា។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានទោះបីជាមានកិច្ចការធម្មតាតិចជាងនេះក៏ដោយ។ រឿងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើននឹងឃើញ ឬបានឃើញរួចហើយ គឺមិនត្រូវច្រឡំការគណនាឡើយ។ ធ្វើម្តងទៀតដូចអក្ខរាវិរុទ្ធហើយអ្នកនឹងសប្បាយចិត្ត =)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របញ្ចេញពន្លឺនៅកន្លែងឆ្ងាយៗ ដូចជាផ្លេកបន្ទោរលើជើងមេឃ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដើម្បីស្ដារ ឬទទួលបានចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំកាន់តែច្រើនអាចស្គាល់ព័ត៌មានដោយជ្រើសរើសខ្ញុំបានព្យាយាមប្រមូលការប្រមូលគំរូពេញលេញបំផុតដែលជាញឹកញាប់ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការងារជាក់ស្តែង។

តើអ្វីនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្ត? កាលខ្ញុំនៅតូច ខ្ញុំអាចលេងបាល់បានពីរ និងបីគ្រាប់។ វាដំណើរការបានល្អ។ ឥឡូវនេះ មិនចាំបាច់និយាយលេងទេ ព្រោះយើងនឹងពិចារណា មានតែវ៉ិចទ័រអវកាសប៉ុណ្ណោះ។ហើយវ៉ិចទ័រសំប៉ែតដែលមានកូអរដោណេពីរនឹងត្រូវទុកចោល។ ហេតុអ្វី? នេះជារបៀបដែលសកម្មភាពទាំងនេះបានកើត - វ៉ិចទ័រ និងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ និងដំណើរការក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។ កាន់តែងាយស្រួលហើយ!

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការនេះ, នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងផលិតផល scalar, វ៉ិចទ័រពីរ. សូមឱ្យវាក្លាយជាអក្សរដែលមិនអាចរលួយបាន។

សកម្មភាពខ្លួនឯង តំណាងតាមវិធីខាងក្រោម៖ . មានជម្រើសផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំធ្លាប់ប្រើក្នុងការរចនាផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រតាមរបៀបនេះ ក្នុងតង្កៀបការ៉េជាមួយឈើឆ្កាង។

ហើយភ្លាមៗ សំណួរ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុង ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ ហើយនៅទីនេះ វ៉ិចទ័រពីរក៏ត្រូវបានគុណផងដែរ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ភាពខុសគ្នាច្បាស់លាស់ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់នៅក្នុងលទ្ធផល៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺវ៉ិចទ័រ: នោះគឺយើងគុណវ៉ិចទ័រ ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រម្តងទៀត។ ក្លឹបបិទ។ តាមពិតទៅឈ្មោះនៃប្រតិបត្តិការ។ នៅ​ក្នុង​អក្សរសិល្ប៍​អប់រំ​ផ្សេងៗ ការ​កំណត់​ក៏​អាច​ខុស​គ្នា​ដែរ ខ្ញុំ​នឹង​ប្រើ​អក្សរ។

និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំបូងនឹងមាននិយមន័យជាមួយរូបភាព បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ

និយមន័យ: ផលិតផលឆ្លងកាត់ non-collinearវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។ត្រូវបានគេហៅថា VECTOR, ប្រវែងដែលជាលេខ ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាមបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ; វ៉ិចទ័រ រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានដឹកនាំដើម្បីឱ្យមូលដ្ឋានមានទិសដៅត្រឹមត្រូវ៖

យើង​វិភាគ​និយមន័យ​តាម​ឆ្អឹង មាន​រឿង​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ច្រើន​ណាស់!

ដូច្នេះ យើងអាចលើកយកចំណុចសំខាន់ៗដូចខាងក្រោមនេះ៖

1) ប្រភពវ៉ិចទ័រ បង្ហាញដោយព្រួញក្រហម តាមនិយមន័យ មិនជាប់គ្នា។. វានឹងជាការសមរម្យដើម្បីពិចារណាករណីនៃវ៉ិចទ័រ collinear បន្តិចក្រោយមក។

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ដ៏តឹងរឹងមួយ។: – "a" ត្រូវបានគុណនឹង "be"មិនមែន "be" ទៅ "a" ទេ។ លទ្ធផលនៃគុណវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR ដែលត្រូវបានតំណាងជាពណ៌ខៀវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស នោះយើងទទួលបានវ៉ិចទ័រស្មើប្រវែង និងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅ (ពណ៌ក្រហម)។ នោះគឺសមភាព .

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្គាល់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ នេះជាចំណុចសំខាន់ណាស់! ប្រវែង​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ខៀវ (ហើយ​ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ​ក្រហម) គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង AREA នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងរូបភាព ប៉ារ៉ាឡែលនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោលខ្មៅ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ហើយជាការពិតណាស់ ប្រវែងបន្ទាប់បន្សំនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺមិនស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមទេ។

យើងរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តធរណីមាត្រមួយ៖ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា. ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ រូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់ថានៅក្នុងរូបមន្តយើងកំពុងនិយាយអំពី LENGTH នៃវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនអំពីវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងនោះទេ។ តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យជាក់ស្តែង? ហើយអត្ថន័យគឺដូចជានៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់តាមរយៈគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

យើងទទួលបានរូបមន្តសំខាន់ទីពីរ។ អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម (បន្ទាត់ចំនុចក្រហម) ចែកវាទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរ។ ដូច្នេះផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសាងសង់លើវ៉ិចទ័រ (ការដាក់ស្រមោលក្រហម) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

4) ការពិតសំខាន់ស្មើគ្នាគឺថាវ៉ិចទ័រគឺរាងពងក្រពើទៅនឹងវ៉ិចទ័រ នោះគឺ . ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ទិស​ផ្ទុយ​គ្នា (ព្រួញ​ពណ៌​ក្រហម) ក៏​មាន​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដើម។

5) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំដូច្នេះ មូលដ្ឋានវា​មាន ត្រឹមត្រូវ។ការតំរង់ទិស។ នៅក្នុងមេរៀនអំពី ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ខ្ញុំបាននិយាយលម្អិតអំពី ការតំរង់ទិសយន្តហោះហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងយល់ថាតើការតំរង់ទិសនៃលំហគឺជាអ្វី។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់នៅលើម្រាមដៃរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ. ផ្សំផ្លូវចិត្ត មេដៃជាមួយវ៉ិចទ័រនិង ម្រាមដៃកណ្តាលជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ម្រាមដៃរោទ៍ និងម្រាមដៃតូចចុចទៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក។ ជា​លទ្ធផល មេដៃ- ផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងរកមើល។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសខាងស្ដាំ (វាមាននៅក្នុងរូប) ។ ឥឡូវប្តូរវ៉ិចទ័រ ( លិបិក្រមនិងម្រាមដៃកណ្តាល) នៅកន្លែងខ្លះ ជាលទ្ធផល មេដៃនឹងបង្វែរ ហើយផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងមើលចុះរួចហើយ។ នេះក៏ជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសត្រឹមត្រូវ។ ប្រហែល​ជា​អ្នក​មាន​សំណួរ​មួយ​ថា តើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី​ដែល​មាន​ទិស​ខាង​ឆ្វេង? "កំណត់" ម្រាមដៃដូចគ្នា។ ដៃឆ្វេងវ៉ិចទ័រ និងទទួលបានមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង និងការតំរង់ទិសលំហខាងឆ្វេង (ក្នុងករណីនេះមេដៃនឹងមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាប). និយាយក្នុងន័យធៀប មូលដ្ឋានទាំងនេះ "បង្វិល" ឬលំហរទិសក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ហើយគំនិតនេះមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអ្វីដែលវែងឆ្ងាយ ឬអរូបីនោះទេ - ឧទាហរណ៍ កញ្ចក់ធម្មតាបំផុតផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិសនៃលំហ ហើយប្រសិនបើអ្នក "ទាញវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងចេញពីកញ្ចក់" នោះជាទូទៅ វានឹងមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការ ផ្សំវាជាមួយ "ដើម" ។ ដោយវិធីនេះ យកម្រាមដៃបីទៅកញ្ចក់ ហើយវិភាគការឆ្លុះបញ្ចាំង ;-)

... តើ​វា​ល្អ​ប៉ុណ្ណា​ដែល​អ្នក​ឥឡូវ​បាន​ដឹង​អំពី តម្រង់ទិសស្តាំ និងឆ្វេងមូលដ្ឋាន, ដោយសារតែសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យមួយចំនួនអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃការតំរង់ទិសគឺគួរឱ្យភ័យខ្លាច =)

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear

និយមន័យ​ត្រូវ​បាន​គេ​ធ្វើ​យ៉ាង​លម្អិត វា​នៅ​តែ​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ថា​តើ​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​ដែល​វ៉ិចទ័រ​នៅ​ជាប់​គ្នា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះពួកវាអាចដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយប្រលេឡូក្រាមរបស់យើងក៏ "បត់" ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ តំបន់​ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​និយាយ​ថា degenerateប្រលេឡូក្រាមគឺសូន្យ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត - ស៊ីនុសនៃសូន្យឬ 180 ដឺក្រេគឺស្មើនឹងសូន្យដែលមានន័យថាតំបន់គឺសូន្យ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ និង . សូមចំណាំថាផលិតផលឈើឆ្កាងខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែក្នុងការអនុវត្តវាជារឿយៗត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយសរសេរថាវាក៏ស្មើនឹងសូន្យផងដែរ។

ករណីពិសេសគឺជាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ និងខ្លួនវាផ្ទាល់៖

ដោយប្រើផលិតផលឈើឆ្កាង អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ ហើយយើងក៏នឹងវិភាគបញ្ហានេះផងដែរ ក្នុងចំណោមបញ្ហាផ្សេងទៀត។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង វាអាចចាំបាច់ តារាងត្រីកោណមាត្រដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុសពីវា។

តោះចាប់ផ្តើមភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ក) រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ

ខ) រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ if

ដំណោះស្រាយ៖ ទេ នេះមិនមែនជាការវាយអក្សរទេ ខ្ញុំបានបង្កើតទិន្នន័យដំបូងដោយចេតនានៅក្នុងធាតុលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា។ ដោយសារតែការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងខុសគ្នា!

ក) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ផលិតផលវ៉ិចទ័រ) ។ យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ:

ដោយសារវាត្រូវបានសួរអំពីប្រវែងបន្ទាប់មកនៅក្នុងចម្លើយយើងបង្ហាញពីវិមាត្រ - ឯកតា។

ខ) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ការ៉េ parallelogram បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​នេះ​គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ប្រវែង​ផលិតផល​ឈើ​ឆ្កាង៖

ចម្លើយ:

សូមចំណាំថានៅក្នុងចម្លើយអំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រមិនមានការនិយាយអ្វីទាំងអស់យើងត្រូវបានគេសួរអំពី តំបន់រូបភាពរៀងគ្នា វិមាត្រគឺជាឯកតាការ៉េ។

យើងតែងតែពិនិត្យមើលអ្វីដែលតម្រូវឱ្យត្រូវបានរកឃើញដោយលក្ខខណ្ឌ ហើយផ្អែកលើនេះ យើងបង្កើត ច្បាស់ចម្លើយ។ វាហាក់បីដូចជាអក្សរសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមានអ្នកសរសេរអក្សរគ្រប់គ្រាន់ក្នុងចំណោមគ្រូ ហើយកិច្ចការដែលមានឱកាសល្អនឹងត្រូវបានប្រគល់ជូនវិញសម្រាប់ការពិនិត្យឡើងវិញ។ ទោះបីជានេះមិនមែនជា nitpick ដែលមានភាពតានតឹងជាពិសេស - ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវនោះមនុស្សម្នាក់ទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាមនុស្សនោះមិនយល់ពីរឿងសាមញ្ញនិង / ឬមិនបានយល់ពីខ្លឹមសារនៃភារកិច្ច។ ពេល​នេះ​គួរ​តែ​ត្រូវ​បាន​រក្សា​ឱ្យ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ការ​គ្រប់​គ្រង​ជា​និច្ច ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​ណា​មួយ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់​ខ្ពស់ និង​មុខ​វិជ្ជា​ផ្សេង​ទៀត​ផង​ដែរ។

តើអក្សរធំ "en" ទៅណា? ជាគោលការណ៍ វាអាចត្រូវបានជាប់គាំងបន្ថែមទៅនឹងដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែដើម្បីកាត់បន្ថយកំណត់ត្រា ខ្ញុំមិនបានធ្វើទេ។ ខ្ញុំ​សង្ឃឹម​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ថា​ជា​ការ​កំណត់​នៃ​រឿង​ដូច​គ្នា​នេះ​។

ឧទាហរណ៍ដ៏ពេញនិយមសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ២

រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ if

រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​តាម​រយៈ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មតិយោបល់​ចំពោះ​និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត, ភារកិច្ចគឺពិតជាជារឿងធម្មតាណាស់, ត្រីកោណអាចត្រូវបានធ្វើទារុណកម្ម។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀត យើងត្រូវការ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររួចហើយ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលពួកវានៅក្នុងបញ្ជីនេះ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន និងលេខបំពាន លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1) នៅក្នុងប្រភពព័ត៌មានផ្សេងទៀត ធាតុនេះជាធម្មតាមិនត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងន័យជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះសូមឱ្យវាក្លាយជា។

2) - ទ្រព្យ​ក៏​បាន​ពិភាក្សា​ខាង​លើ​ដែរ ជួនកាល​គេ​ហៅ ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល. និយាយម្យ៉ាងទៀតលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមានសារៈសំខាន់។

3) - ការរួមបញ្ចូលគ្នាឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ថេរត្រូវបានយកចេញយ៉ាងងាយស្រួលចេញពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តាមពិតតើពួកគេកំពុងធ្វើអ្វីនៅទីនោះ?

4) - ការចែកចាយឬ ការចែកចាយច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តង្កៀបបើកក៏មិនមានបញ្ហាដែរ។

ជាការបង្ហាញ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខ្លីមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖តាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារម្តងទៀតដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តោះគូររូបតូចរបស់យើង៖

(1) យោងតាមច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរលើសពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងដកថេរចេញពីម៉ូឌុល ខណៈពេលដែលម៉ូឌុល "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

(៣) អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​គឺ​ច្បាស់​លាស់។

ចម្លើយ:

ដល់​ពេល​បោះ​អុស​ទៅ​លើ​ភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត  . snag គឺថា វ៉ិចទ័រ "ce" និង "te" គឺពួកគេតំណាងឱ្យផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ក្បួនដោះស្រាយនៅទីនេះគឺជាស្តង់ដារ ហើយត្រូវបានគេនឹកឃើញខ្លះៗអំពីឧទាហរណ៍លេខ 3 និងទី 4 នៃមេរៀន។ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ. ចូរបំបែកវាទៅជាបីជំហានដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់៖

1) នៅជំហានដំបូង យើងបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមពិត បង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ. មិនទាន់​មាន​ពាក្យ​វែង​នៅឡើយ​ទេ​!

(1) យើងជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) ដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ បើកតង្កៀបដោយយោងតាមក្បួនគុណនៃពហុនាម។

(3) ដោយប្រើច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរទាំងអស់ចេញពីផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍តិចតួច សកម្មភាពទី 2 និងទី 3 អាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

(4) ពាក្យ​ដំបូង​និង​ចុង​ក្រោយ​ស្មើ​សូន្យ (សូន្យ​វ៉ិចទ័រ) ដោយ​សារ​តែ​ទ្រព្យ​រីករាយ។ នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទីពីរ យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

(5) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល វ៉ិចទ័របានប្រែទៅជាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យសម្រេចបាន៖

2) នៅជំហានទីពីរយើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលយើងត្រូវការ។ សកម្មភាពនេះគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 3៖

3) ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលត្រូវការ:

ជំហានទី 2-3 នៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានរៀបចំក្នុងមួយជួរ។

ចម្លើយ:

បញ្ហាដែលបានពិចារណាគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងការធ្វើតេស្ត នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យមួយ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ សូមមើលពីរបៀបដែលអ្នកយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាឧទាហរណ៍ពីមុន ;-)

ឆ្លងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal , ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត:

រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រកូអរដោណេនៅក្នុងបន្ទាត់ខាងលើនៃកត្តាកំណត់ យើង "ខ្ចប់" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងជួរទីពីរ និងទីបី ហើយយើងដាក់ នៅក្នុងលំដាប់តឹងរឹង- ទីមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "ve" បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "double-ve" ។ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​គុណ​តាម​លំដាប់​ផ្សេង នោះ​បន្ទាត់​ក៏​គួរ​ត្រូវ​បាន​ប្តូរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានលក្ខណៈជាប់គ្នាឬអត់៖
ក)
ខ)

ដំណោះស្រាយ៖ ការធ្វើតេស្តគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយក្នុងមេរៀននេះ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះផលិតផលឆ្លងកាត់របស់ពួកគេគឺសូន្យ (សូន្យវ៉ិចទ័រ)៖ .

ក) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ: ក) មិនជាប់គ្នា, ខ)

នៅទីនេះ ប្រហែលជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានទាំងអស់អំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកនេះនឹងមិនមានទំហំធំខ្លាំងទេ ដោយសារមានបញ្ហាតិចតួចដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងស្ថិតនៅលើនិយមន័យ អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបមន្តការងារមួយចំនួន។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របី:

នេះ​ជា​របៀប​ដែល​ពួក​គេ​តម្រង់​ជួរ​គ្នា​ដូច​ជា​រថភ្លើង​ហើយ​រង់ចាំ ពួកគេ​មិន​អាច​រង់ចាំ​រហូត​ដល់​គេ​គណនា​បាន​ទេ។

ជាដំបូង និយមន័យ និងរូបភាព៖

និយមន័យ៖ ផលិតផលចម្រុះ មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។, ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ បំពាក់ដោយសញ្ញា "+" ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវ និងសញ្ញា "-" ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។

តោះធ្វើគំនូរ។ បន្ទាត់ដែលមើលមិនឃើញសម្រាប់យើងគឺត្រូវបានគូសដោយបន្ទាត់ចំនុច៖

ចូរយើងចូលទៅក្នុងនិយមន័យ៖

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។នោះគឺការផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រនៅក្នុងផលិតផល ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាស្មានមិនទៅដោយគ្មានផលវិបាកទេ។

៣) មុននឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើអត្ថន័យធរណីមាត្រ ខ្ញុំនឹងកត់សម្គាល់ការពិតជាក់ស្តែង៖ ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER:. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ការរចនាអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នាខ្លះ ខ្ញុំធ្លាប់កំណត់ផលិតផលចម្រុះតាមរយៈ និងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយអក្សរ "pe"។

A-priory ផលិតផលចម្រុះគឺជាបរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ (រូបភាពត្រូវបានគូរដោយវ៉ិចទ័រក្រហម និងបន្ទាត់ខ្មៅ)។ នោះគឺចំនួនស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ។

4) ចូរកុំរំខានម្តងទៀតជាមួយនឹងគំនិតនៃការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននិងលំហ។ អត្ថន័យនៃផ្នែកចុងក្រោយគឺថាសញ្ញាដកអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតសំឡេង។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ ផលិតផលចម្រុះអាចជាអវិជ្ជមាន: .

រូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ។