គោលគំនិតសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាមុខងារ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចស្រមៃមើលដំណើរការជាច្រើនដែលកើតឡើងនៅក្នុងធម្មជាតិ ឆ្លុះបញ្ចាំងពីទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណជាក់លាក់ដោយប្រើរូបមន្ត តារាង និងរូបភាពនៅលើក្រាហ្វ។ ឧទាហរណ៏មួយគឺការពឹងផ្អែកនៃសម្ពាធនៃស្រទាប់រាវនៅលើរាងកាយនៅលើជម្រៅនៃការពន្លិច, ការបង្កើនល្បឿន - លើសកម្មភាពនៃកម្លាំងជាក់លាក់មួយនៅលើវត្ថុមួយ, ការកើនឡើងសីតុណ្ហភាព - នៅលើថាមពលបញ្ជូននិងដំណើរការផ្សេងទៀតជាច្រើន។ ការសិក្សាអំពីមុខងារមួយពាក់ព័ន្ធនឹងការគូសក្រាហ្វ ការស្វែងរកលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែននៃនិយមន័យ និងតម្លៃ ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះ។ ចំណុចសំខាន់មួយនៅក្នុងដំណើរការនេះគឺការស្វែងរកចំណុចខ្លាំងបំផុត។ អំពីរបៀបធ្វើវាឱ្យត្រឹមត្រូវហើយការសន្ទនានឹងបន្ត។

អំពីគំនិតខ្លួនឯងលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

នៅក្នុងវេជ្ជសាស្ត្រការសាងសង់ក្រាហ្វមុខងារអាចប្រាប់អំពីដំណើរនៃការវិវត្តនៃជំងឺនៅក្នុងខ្លួនរបស់អ្នកជំងឺដោយឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងច្បាស់ពីស្ថានភាពរបស់គាត់។ ឧបមាថាពេលវេលាជាថ្ងៃត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស OX ហើយសីតុណ្ហភាពនៃរាងកាយមនុស្សត្រូវបានកំណត់តាមអ័ក្ស OY ។ តួលេខបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីរបៀបដែលសូចនាករនេះកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង ហើយបន្ទាប់មកធ្លាក់ចុះ។ វាក៏ងាយស្រួលក្នុងការកត់សម្គាល់ចំណុចឯកវចនៈដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីគ្រាដែលមុខងារ បានកើនឡើងពីមុន ចាប់ផ្តើមថយចុះ និងផ្ទុយមកវិញ។ ទាំងនេះគឺជាចំណុចខ្លាំង ពោលគឺតម្លៃសំខាន់ (អតិបរមា និងអប្បបរមា) នៅក្នុងករណីនៃសីតុណ្ហភាពរបស់អ្នកជំងឺនេះ បន្ទាប់ពីនោះការផ្លាស់ប្តូរស្ថានភាពរបស់គាត់កើតឡើង។

មុំលំអៀង

វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ពីតួលេខពីរបៀបដែលដេរីវេនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់នៃក្រាហ្វឡើងលើពេលវេលា នោះវាមានភាពវិជ្ជមាន។ ហើយ​កាន់តែ​ចោត​ទៅៗ តម្លៃ​នៃ​ដេរីវេ​កាន់តែ​ធំ​ឡើង ដោយសារ​មុំ​ទំនោរ​កើនឡើង​។ កំឡុងពេលនៃការថយចុះ តម្លៃនេះគិតលើតម្លៃអវិជ្ជមាន ងាកទៅសូន្យនៅចំណុចខ្លាំង ហើយក្រាហ្វនៃដេរីវេក្នុងករណីចុងក្រោយត្រូវបានគូរស្របទៅនឹងអ័ក្ស OX ។

ដំណើរការផ្សេងទៀតណាមួយគួរតែត្រូវបានព្យាបាលតាមរបៀបដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែវិធីដ៏ល្អបំផុតដើម្បីប្រាប់អំពីគំនិតនេះគឺចលនានៃរូបកាយផ្សេងៗ ដែលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅលើក្រាហ្វ។

ចលនា

ឧបមាថា វត្ថុខ្លះផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ បង្កើនល្បឿនស្មើគ្នា។ ក្នុងអំឡុងពេលនេះ ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងកូអរដោណេនៃរាងកាយតំណាងឱ្យខ្សែកោងជាក់លាក់មួយ ដែលគណិតវិទូនឹងហៅថាសាខានៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ទន្ទឹមនឹងនេះមុខងារកំពុងកើនឡើងឥតឈប់ឈរចាប់តាំងពីសូចនាករកូអរដោនេផ្លាស់ប្តូរលឿននិងលឿនជាងរាល់វិនាទី។ ក្រាហ្វល្បឿនបង្ហាញពីឥរិយាបថនៃដេរីវេដែលតម្លៃក៏កើនឡើងផងដែរ។ នេះមានន័យថាចលនាមិនមានចំណុចសំខាន់ទេ។

នេះនឹងបន្តដោយគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាវិញ ប្រសិនបើរាងកាយភ្លាមៗសម្រេចចិត្តបន្ថយល្បឿន ឈប់ ហើយចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅផ្សេង? ក្នុងករណីនេះសូចនាករកូអរដោនេនឹងចាប់ផ្តើមថយចុះ។ ហើយមុខងារនឹងហុចតម្លៃសំខាន់មួយ ហើយប្តូរពីការកើនឡើងទៅជាការថយចុះ។

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ អ្នក​អាច​យល់​ម្ដង​ទៀត​ថា ចំណុច​ខ្លាំង​នៅ​លើ​ក្រាហ្វ​នៃ​មុខងារ​បង្ហាញ​នៅ​ពេល​ដែល​វា​ឈប់​ធ្វើ​ជា​ឯកតា។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

អ្វី​ដែល​បាន​ពិពណ៌នា​ខាង​ដើម​បាន​បង្ហាញ​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា​ដេរីវេ​ជា​កត្តា​សំខាន់​នៃ​អត្រា​នៃ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​មុខងារ។ ការកែលម្អនេះមានអត្ថន័យរាងកាយរបស់វា។ ចំណុចខ្លាំងគឺជាតំបន់សំខាន់នៅលើតារាង។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកនិងរកឃើញពួកវាដោយការគណនាតម្លៃនៃដេរីវេដែលប្រែទៅជាស្មើសូន្យ។

មានសញ្ញាមួយទៀតដែលជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។ ដេរីវេនៅក្នុងកន្លែងនៃការបំភាន់បែបនេះផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា: ពី "+" ទៅ "-" នៅក្នុងតំបន់នៃអតិបរមានិងពី "-" ទៅ "+" នៅក្នុងតំបន់នៃអប្បបរមា។

ចលនានៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃទំនាញផែនដី

ចូរយើងស្រមៃមើលស្ថានភាពមួយទៀត។ ក្មេងៗដែលលេងបាល់បានបោះវាតាមរបៀបដែលវាចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីនៅមុំមួយទៅជើងមេឃ។ នៅពេលដំបូង ល្បឿននៃវត្ថុនេះគឺធំជាងគេ ប៉ុន្តែក្រោមឥទិ្ធពលនៃទំនាញផែនដី វាចាប់ផ្តើមថយចុះ ហើយជាមួយនឹងវិនាទីនីមួយៗដោយតម្លៃដូចគ្នា ស្មើនឹងប្រមាណ 9.8 m/s 2 ។ នេះគឺជាតម្លៃនៃការបង្កើនល្បឿនដែលកើតឡើងក្រោមឥទិ្ធពលនៃទំនាញផែនដីក្នុងអំឡុងពេលធ្លាក់ដោយសេរី។ នៅលើព្រះច័ន្ទ វានឹងមានទំហំតូចជាងប្រហែលប្រាំមួយដង។

ក្រាហ្វដែលពិពណ៌នាអំពីចលនារបស់រាងកាយគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកឈើចង្អុលចុះក្រោម។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកចំណុចខ្លាំង? ក្នុងករណីនេះនេះគឺជាចំនុចកំពូលនៃមុខងារដែលល្បឿននៃរាងកាយ (បាល់) យកតម្លៃសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្លាយជាសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះ ទិសដៅ ហើយហេតុដូច្នេះតម្លៃនៃល្បឿនផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។ រាងកាយហោះហើរចុះក្រោមរាល់វិនាទីកាន់តែលឿន និងលឿន ហើយបង្កើនល្បឿនដូចគ្នា - 9.8 m/s 2 ។

ដេរីវេទីពីរ

ក្នុងករណីមុន គ្រោងនៃម៉ូឌុលល្បឿនត្រូវបានគូរជាបន្ទាត់ត្រង់។ ខ្សែនេះត្រូវបានដឹកនាំចុះក្រោមជាលើកដំបូង ចាប់តាំងពីតម្លៃនៃបរិមាណនេះកំពុងធ្លាក់ចុះឥតឈប់ឈរ។ ដោយបានឈានដល់សូន្យនៅចំណុចពេលវេលាមួយ នោះសូចនាករនៃតម្លៃនេះចាប់ផ្តើមកើនឡើង ហើយទិសដៅនៃតំណាងក្រាហ្វិកនៃម៉ូឌុលល្បឿនផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង។ ឥឡូវនេះបន្ទាត់កំពុងចង្អុលឡើង។

ល្បឿនដែលជាដេរីវេនៃកូអរដោណេដោយគោរពតាមពេលវេលាក៏មានចំណុចសំខាន់ផងដែរ។ នៅក្នុងតំបន់នេះមុខងារ, ការថយចុះដំបូង, ចាប់ផ្តើមកើនឡើង។ នេះគឺជាកន្លែងនៃចំណុចខ្លាំងនៃដេរីវេនៃមុខងារ។ ក្នុងករណីនេះ ជម្រាលនៃតង់សង់ក្លាយជាសូន្យ។ ហើយការបង្កើនល្បឿនដែលជាដេរីវេទី 2 នៃកូអរដោណេទាក់ទងនឹងពេលវេលា ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "-" ទៅ "+" ។ ហើយ​ចលនា​ពី​យឺត​ស្មើ​គ្នា​ទៅ​ជា​មាន​ល្បឿន​ស្មើគ្នា។

ក្រាហ្វបង្កើនល្បឿន

ឥឡូវពិចារណាតួលេខបួន។ ពួកវានីមួយៗបង្ហាញក្រាហ្វនៃការផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលានៃបរិមាណរូបវន្តដូចជាការបង្កើនល្បឿន។ ក្នុងករណី "A" តម្លៃរបស់វានៅតែវិជ្ជមាននិងថេរ។ នេះមានន័យថាល្បឿននៃរាងកាយដូចជាកូអរដោនេរបស់វាកំពុងកើនឡើងឥតឈប់ឈរ។ ប្រសិនបើយើងស្រមៃថាវត្ថុនឹងផ្លាស់ទីតាមរបៀបនេះក្នុងរយៈពេលយូរគ្មានកំណត់ មុខងារដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីការពឹងផ្អែកនៃកូអរដោណេតាមពេលវេលានឹងកើនឡើងឥតឈប់ឈរ។ វាកើតឡើងពីនេះថាវាមិនមានតំបន់សំខាន់ទេ។ មិនមានចំណុចខ្លាំងនៅលើក្រាហ្វនៃដេរីវេទេ ពោលគឺល្បឿនផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ។

ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះករណី "ខ" ដែលមានការបង្កើនល្បឿនវិជ្ជមាននិងឥតឈប់ឈរ។ ពិត ក្រាហ្វសម្រាប់កូអរដោនេ និងល្បឿននឹងមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិចនៅទីនេះ។

នៅពេលដែលការបង្កើនល្បឿនទៅសូន្យ

សម្លឹងមើលរូប "B" មនុស្សម្នាក់អាចសង្កេតឃើញរូបភាពខុសគ្នាទាំងស្រុងដែលបង្ហាញពីចលនានៃរាងកាយ។ ល្បឿនរបស់វានឹងត្រូវបានបង្ហាញជាក្រាហ្វិកថាជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកឈើចង្អុលចុះក្រោម។ ប្រសិនបើយើងបន្តបន្ទាត់ដែលពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃការបង្កើនល្បឿនរហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស OX ហើយបន្ថែមទៀតនោះ យើងអាចស្រមៃថារហូតដល់តម្លៃសំខាន់នេះ ដែលការបង្កើនល្បឿននឹងស្មើនឹងសូន្យ នោះល្បឿននៃវត្ថុនឹងកើនឡើង។ កាន់តែយឺត។ ចំណុចខ្លាំងនៃដេរីវេនៃមុខងារកូអរដោណេនឹងស្ថិតនៅផ្នែកខាងលើនៃប៉ារ៉ាបូឡា បន្ទាប់ពីនោះរាងកាយនឹងផ្លាស់ប្តូរធម្មជាតិនៃចលនា ហើយចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅផ្សេង។

ក្នុងករណីចុងក្រោយ "G" ធម្មជាតិនៃចលនាមិនអាចកំណត់បានច្បាស់លាស់ទេ។ នៅទីនេះយើងគ្រាន់តែដឹងថាមិនមានការបង្កើនល្បឿនសម្រាប់រយៈពេលមួយចំនួនដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណា។ នេះមានន័យថាវត្ថុអាចនៅនឹងកន្លែង ឬចលនាកើតឡើងក្នុងល្បឿនថេរ។

សម្របសម្រួលកិច្ចការបន្ថែម

ចូរបន្តទៅកិច្ចការដែលតែងតែជួបប្រទះនៅពេលសិក្សាពិជគណិតនៅសាលា ហើយត្រូវបានផ្តល់ជូនដើម្បីរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡង។ រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីក្រាហ្វនៃមុខងារ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាផលបូកនៃចំណុចខ្លាំង។

យើងនឹងធ្វើដូចនេះសម្រាប់អ័ក្ស y ដោយកំណត់កូអរដោនេនៃតំបន់សំខាន់ៗដែលការផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈនៃមុខងារត្រូវបានអង្កេត។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ យើងរកឃើញតម្លៃតាមអ័ក្ស x សម្រាប់ចំណុចបញ្ឆេះ ហើយបន្ទាប់មកបន្តបន្ថែមលក្ខខណ្ឌលទ្ធផល។ យោងតាមក្រាហ្វវាច្បាស់ណាស់ដែលពួកគេយកតម្លៃដូចខាងក្រោម: -8; -៧; -៥; -៣; -២; 1; 3. នេះបន្ថែមរហូតដល់ -21 ដែលជាចម្លើយ។

ដំណោះស្រាយល្អបំផុត

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការពន្យល់ពីសារៈសំខាន់នៃជម្រើសនៃដំណោះស្រាយដ៏ប្រសើរបំផុតអាចមាននៅក្នុងការអនុវត្តការងារជាក់ស្តែងនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ មានវិធីជាច្រើនដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅ ហើយវិធីដែលល្អបំផុតចេញជាក្បួនគឺមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ នេះជាការចាំបាច់បំផុត ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលរចនាកប៉ាល់ យានអវកាស និងយន្តហោះ រចនាសម្ព័ន្ធស្ថាបត្យកម្ម ដើម្បីស្វែងរកទម្រង់ដ៏ល្អប្រសើរនៃវត្ថុដែលបង្កើតដោយមនុស្សទាំងនេះ។

ល្បឿននៃយានជំនិះភាគច្រើនអាស្រ័យទៅលើការបង្រួមអប្បបរមាដែលមានសមត្ថកិច្ចនៃភាពធន់ទ្រាំដែលពួកគេជួបប្រទះនៅពេលផ្លាស់ទីតាមទឹក និងខ្យល់ លើការផ្ទុកលើសចំណុះដែលកើតឡើងក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងទំនាញ និងសូចនាករជាច្រើនទៀត។ កប៉ាល់នៅសមុទ្រត្រូវការគុណភាពដូចជាស្ថេរភាពអំឡុងពេលមានព្យុះ។ សម្រាប់កប៉ាល់ទន្លេ សេចក្តីព្រាងអប្បបរមាមានសារៈសំខាន់។ នៅពេលគណនាការរចនាដ៏ល្អប្រសើរ ចំនុចខ្លាំងនៅលើក្រាហ្វអាចផ្តល់ជាគំនិតនៃដំណោះស្រាយដ៏ល្អបំផុតចំពោះបញ្ហាស្មុគស្មាញមួយ។ ភារកិច្ចនៃផែនការបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយជាញឹកញាប់នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច, នៅក្នុងវិស័យសេដ្ឋកិច្ច, នៅក្នុងស្ថានភាពជីវិតជាច្រើនទៀត។

ពីប្រវត្តិសាស្ត្របុរាណ

ភារកិច្ចខ្លាំងបានកាន់កាប់សូម្បីតែអ្នកប្រាជ្ញបុរាណ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិក ស្រាយអាថ៌កំបាំងនៃតំបន់ និងបរិមាណដោយជោគជ័យ តាមរយៈការគណនាគណិតវិទ្យា។ ពួកគេជាមនុស្សដំបូងគេដែលយល់ថានៅលើយន្តហោះនៃតួលេខផ្សេងៗដែលមានបរិវេណដូចគ្នា រង្វង់តែងតែមានផ្ទៃដីធំជាងគេ។ ដូចគ្នានេះដែរ បាល់មួយត្រូវបានផ្តល់ដោយបរិមាណអតិបរមាក្នុងចំណោមវត្ថុផ្សេងទៀតនៅក្នុងលំហដែលមានផ្ទៃដូចគ្នា។ បុគ្គលិកលក្ខណៈដ៏ល្បីល្បាញដូចជា Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius បានលះបង់ខ្លួនឯងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ។ Heron ទទួលបានជោគជ័យយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការស្វែងរកចំណុចខ្លាំង ដែលបានប្រើការគណនា បានបង្កើតឧបករណ៍ដ៏ប៉ិនប្រសប់។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលម៉ាស៊ីនស្វ័យប្រវត្តិដែលផ្លាស់ទីដោយមធ្យោបាយនៃចំហាយទឹក ស្នប់ និងទួរប៊ីនដែលដំណើរការលើគោលការណ៍ដូចគ្នា។

ការសាងសង់ Carthage

មានរឿងព្រេងមួយ, គ្រោងនៃការដែលផ្អែកលើការដោះស្រាយមួយនៃភារកិច្ចធ្ងន់ធ្ងរ។ លទ្ធផលនៃវិធីសាស្រ្តអាជីវកម្មដែលបង្ហាញដោយព្រះនាង Phoenician ដែលបានងាកទៅរកអ្នកប្រាជ្ញដើម្បីសុំជំនួយគឺការសាងសង់ Carthage ។ ដីឡូតិ៍សម្រាប់ទីក្រុងបុរាណ និងល្បីល្បាញនេះត្រូវបានបង្ហាញដល់ ឌីដូ (នោះជាឈ្មោះអ្នកគ្រប់គ្រង) ដោយមេដឹកនាំកុលសម្ព័ន្ធអាហ្វ្រិកមួយ។ ផ្ទៃដីនៃការបែងចែកនេះហាក់ដូចជាគាត់មិនមានទំហំធំទេពីដំបូងឡើយព្រោះយោងទៅតាមកិច្ចសន្យាវាត្រូវតែគ្របដណ្ដប់ដោយអុក។ ប៉ុន្តែ ព្រះនាង​បាន​បញ្ជា​ឲ្យ​ទាហាន​របស់​នាង​កាត់​វា​ជា​បន្ទះស្តើងៗ ហើយ​ធ្វើ​ខ្សែក្រវាត់​ចេញពី​ពួកគេ។ វា​បាន​ក្លាយ​ជា​យូរ​មក​ហើយ​ដែល​វា​គ្រប​ដណ្តប់​លើ​តំបន់​ដែល​ទីក្រុង​ទាំងមូល​សម។

ប្រភពដើមនៃការគណនា

ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរពីសម័យបុរាណទៅសម័យក្រោយ។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៅក្នុងសតវត្សទី 17 Kepler ត្រូវបានជំរុញឱ្យយល់ពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដោយការប្រជុំជាមួយអ្នកលក់ស្រា។ ពាណិជ្ជកររូបនេះមានជំនាញច្បាស់លាស់ក្នុងវិជ្ជាជីវៈរបស់គាត់ ដែលគាត់អាចកំណត់បរិមាណនៃភេសជ្ជៈនៅក្នុងធុងបានយ៉ាងងាយស្រួល ដោយគ្រាន់តែទម្លាក់ដុំដែកចូលទៅក្នុងនោះ។ ដោយឆ្លុះបញ្ចាំងពីការចង់ដឹងចង់ឃើញបែបនេះ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ល្បីល្បាញបានគ្រប់គ្រងដោះស្រាយបញ្ហានេះសម្រាប់ខ្លួនគាត់។ វាប្រែថាអ្នកសហការដ៏ប៉ិនប្រសប់នៅសម័យនោះបានទទួលការព្យួរនៃការបង្កើតនាវាតាមរបៀបដែលនៅកម្ពស់ជាក់លាក់មួយនិងកាំនៃរង្វង់នៃចិញ្ចៀនភ្ជាប់ពួកវានឹងមានសមត្ថភាពអតិបរមា។

នេះបានក្លាយជាឱកាសសម្រាប់ Kepler សម្រាប់ការឆ្លុះបញ្ចាំងបន្ថែមទៀត។ Bochars បានមកដល់ដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរដោយការស្វែងរកដ៏វែងឆ្ងាយ កំហុស និងការប៉ុនប៉ងថ្មី ឆ្លងកាត់បទពិសោធន៍របស់ពួកគេពីជំនាន់មួយទៅជំនាន់មួយ។ ប៉ុន្តែ Kepler ចង់បង្កើនល្បឿនដំណើរការ និងរៀនពីរបៀបធ្វើដូចគ្នាក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី តាមរយៈការគណនាគណិតវិទ្យា។ រាល់ការវិវឌ្ឍន៍របស់គាត់ដែលត្រូវបានប្រមូលដោយសហសេវិកបានប្រែទៅជាទ្រឹស្តីបទ Fermat និង Newton - Leibniz ។

បញ្ហានៃការស្វែងរកតំបន់អតិបរមា

ស្រមៃថាយើងមានខ្សែដែលមានប្រវែង 50 សង់ទីម៉ែត្រ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីធ្វើចតុកោណកែងចេញពីវាដែលមានផ្ទៃដីធំជាងគេ?

ចាប់ផ្តើមការសម្រេចចិត្ត មនុស្សម្នាក់គួរតែបន្តពីការពិតសាមញ្ញ និងល្បី។ វាច្បាស់ណាស់ថាបរិវេណនៃតួរលេខរបស់យើងនឹងមាន 50 សង់ទីម៉ែត្រ វាក៏មានប្រវែងពីរដងនៃភាគីទាំងពីរផងដែរ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា ដោយ​បាន​កំណត់​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួក​គេ​ជា "X" ហើយ​មួយ​ទៀត​អាច​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ជា (25 - X) ។

ពីទីនេះយើងទទួលបានផ្ទៃដីស្មើនឹង X (25 - X) ។ កន្សោមនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាមុខងារដែលយកតម្លៃជាច្រើន។ ដំណោះ​ស្រាយ​នៃ​បញ្ហា​តម្រូវ​ឱ្យ​ស្វែង​រក​អតិបរមា​នៃ​ពួក​គេ​ដែល​មាន​ន័យ​ថា​អ្នក​គួរ​តែ​ស្វែង​រក​ចំណុច​ខ្លាំង​បំផុត.

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេទី 1 ហើយយកវាទៅសូន្យ។ លទ្ធផលគឺសមីការសាមញ្ញ៖ 25 − 2X = 0 ។

ពីវាយើងរៀនថាម្ខាងគឺ X = 12.5 ។

ដូច្នេះមួយទៀត៖ ២៥ - ១២.៥ \u003d ១២.៥ ។

វាប្រែថាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានឹងជាការ៉េដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 12.5 សង់ទីម៉ែត្រ។

របៀបស្វែងរកល្បឿនអតិបរមា

សូម​ពិចារណា​ឧទាហរណ៍​មួយ​ទៀត។ ស្រមៃថាមានរាងកាយមួយដែលចលនា rectilinear ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 ដែលចម្ងាយធ្វើដំណើរត្រូវបានបង្ហាញជាម៉ែត្រនិងពេលវេលាគិតជាវិនាទី។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកល្បឿនអតិបរមា។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ទាញយក ស្វែងរកល្បឿន នោះគឺជាដេរីវេទី 1 ។

យើងទទួលបានសមីការ៖ V = - 3t 2 + 18t - 24 ។ ឥឡូវនេះ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងត្រូវស្វែងរកចំណុចខ្លាំងម្តងទៀត។ នេះត្រូវធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នានឹងកិច្ចការមុនដែរ។ យើងរកឃើញដេរីវេដំបូងនៃល្បឿន ហើយយកវាទៅសូន្យ។

យើងទទួលបាន: - 6t + 18 = 0. ដូច្នេះ t = 3 s ។ នេះគឺជាពេលវេលាដែលល្បឿននៃរាងកាយត្រូវចំណាយលើតម្លៃសំខាន់។ យើងជំនួសទិន្នន័យដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការល្បឿន ហើយទទួលបាន៖ V = 3 m/s ។

ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ថានេះពិតជាល្បឿនអតិបរមាពីព្រោះចំណុចសំខាន់នៃមុខងារអាចជាតម្លៃធំបំផុតឬតូចបំផុតរបស់វា? ដើម្បីពិនិត្យមើលអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេទីពីរនៃល្បឿន។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលេខ 6 ជាមួយនឹងសញ្ញាដក។ នេះមានន័យថាចំណុចដែលបានរកឃើញគឺអតិបរមា។ ហើយនៅក្នុងករណីនៃតម្លៃវិជ្ជមាននៃដេរីវេទី 2 នឹងមានអប្បបរមា។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញគឺត្រឹមត្រូវ។

ភារកិច្ចដែលបានផ្តល់ឱ្យជាឧទាហរណ៍គឺគ្រាន់តែជាផ្នែកនៃការងារដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយអាចស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារមួយ។ តាមពិតមានច្រើនទៀត។ ហើយចំណេះដឹងបែបនេះបើកលទ្ធភាពគ្មានដែនកំណត់សម្រាប់អរិយធម៌របស់មនុស្ស។

ពិចារណាធ្មេញពីរនៃទម្រង់ saw ដ៏ល្បីល្បាញ។ ចូរដឹកនាំអ័ក្សតាមបណ្តោយផ្នែករាបស្មើនៃ saw ហើយអ័ក្ស - កាត់កែងទៅវា។ ចូរយើងទទួលបានក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន ដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ ១.

វាច្បាស់ណាស់ថាទាំងនៅចំណុចនិងនៅចំណុចតម្លៃនៃមុខងារប្រែទៅជាធំបំផុតបើប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃនៅចំណុចជិតខាងនៅខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេងហើយនៅចំណុច - តូចបំផុតបើប្រៀបធៀបជាមួយចំណុចជិតខាង។ ចំណុចត្រូវបានគេហៅថាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ (ពីឡាតាំងជ្រុល - "ខ្លាំង") ចំណុច និងជាចំណុចអតិបរមា ហើយចំណុចគឺជាចំណុចអប្បបរមា (ពីឡាតាំងអតិបរមា និងអប្បបរមា - "ធំបំផុត" និង "តូចបំផុត" ។ ”)

ចូរយើងកំណត់និយមន័យនៃភាពជ្រុលនិយម។

អនុគមន៍​នៅ​ចំណុច​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​អតិបរមា ប្រសិន​បើ​មាន​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​មាន​ចំណុច និង​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​ដែន​នៃ​អនុគមន៍ ដូច​ជា​សម្រាប់​ចំណុច​ទាំងអស់​នៃ​ចន្លោះ​ពេល​នេះ​វា​ក្លាយ​ជា . ដូច្នោះហើយ មុខងារនៅចំណុចមួយមានអប្បបរមា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពេញចិត្តសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។

នៅលើរូបភព។ រូបភាពទី 2 និងទី 3 បង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារដែលមានកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចមួយ។

ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាតាមនិយមន័យ ចំណុចខ្លាំងត្រូវតែស្ថិតនៅខាងក្នុងចន្លោះពេលនៃការកំណត់មុខងារ ហើយមិនមែននៅចុងបញ្ចប់របស់វានោះទេ។ ដូច្នេះ សម្រាប់មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 1, វាមិនអាចត្រូវបានសន្មត់ថាវាមានអប្បបរមានៅចំណុច។

ប្រសិនបើនៅក្នុងនិយមន័យនៃអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃអនុគមន៍មួយ យើងជំនួសវិសមភាពដ៏តឹងរ៉ឹងជាមួយនឹងភាពមិនតឹងរ៉ឹង។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃអតិបរមាដែលមិនតឹងរ៉ឹង (អប្បបរមាមិនតឹងរ៉ឹង)។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាអំពីទម្រង់នៃកំពូលភ្នំ (រូបភាពទី 4)។ ចំណុចនីមួយៗនៃតំបន់ផ្ទះល្វែង - ផ្នែកមួយគឺជាចំណុចអតិបរមាដែលមិនតឹងរ៉ឹង។

នៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ការសិក្សាអំពីមុខងារសម្រាប់ extrema គឺមានប្រសិទ្ធភាពណាស់ ហើយត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងសាមញ្ញដោយប្រើដេរីវេ។ ទ្រឹស្តីបទសំខាន់មួយនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបង្កើតលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់មុខងារដែលខុសគ្នាខ្លាំងបំផុតគឺទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat (សូមមើលទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat)។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនៅចំណុចមួយមានភាពជ្រុលនិយម។ ប្រសិនបើមានដេរីវេនៅចំណុចនេះ នោះវាស្មើនឹងសូន្យ។

នៅក្នុងភាសាធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat មានន័យថា នៅចំណុចខ្លាំងបំផុត តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺផ្ដេក (រូបភាព 5) ។ ជាការពិតណាស់ សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាគឺមិនពិតទេ ដែលត្រូវបានបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ ដោយក្រាហ្វក្នុងរូបភព។ ៦.

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិបារាំង P. Fermat ដែលជាអ្នកដំបូងគេដែលដោះស្រាយបញ្ហាជ្រុលនិយមមួយចំនួន។ គាត់មិនទាន់មានគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងការចោលរបស់គាត់នៅឡើយទេ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការស៊ើបអង្កេតរបស់គាត់គាត់បានប្រើវិធីសាស្រ្តដែលខ្លឹមសារត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ។

លក្ខខណ្ឌ​គ្រប់គ្រាន់​សម្រាប់​ភាព​ខ្លាំង​នៃ​មុខងារ​ដែល​អាច​ខុសគ្នា​បាន​គឺ​ជា​ការ​ផ្លាស់ប្តូរ​សញ្ញា​នៃ​ដេរីវេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ឧ។ ការថយចុះរបស់វាត្រូវបានជំនួសដោយការកើនឡើងបន្ទាប់មកចំណុចនឹងក្លាយជាចំណុចអប្បបរមា។ ផ្ទុយទៅវិញ ចំនុចនឹងក្លាយជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក, i.e. ពី​ឡើង​ទៅ​ចុះ។

ចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី។ ប្រសិនបើមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានកំពុងត្រូវបានស៊ើបអង្កេតសម្រាប់កម្រិតខ្លាំង នោះចំណុចស្ថានីទាំងអស់របស់វាគួរតែត្រូវបានរកឃើញ ហើយសញ្ញានៃដេរីវេគួរតែត្រូវបានពិចារណានៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា។

យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា៖ .

ចូរយើងងាកទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 3 - 3x 2 ។ ពិចារណាពីសង្កាត់នៃចំនុច x = 0, i.e. ចន្លោះពេលខ្លះដែលមានចំណុចនេះ។ វាជាឡូជីខលដែលថាមានសង្កាត់នៃចំនុច x \u003d 0 ដែលមុខងារ y \u003d x 3 - 3x 2 យកតម្លៃធំបំផុតនៅក្នុងសង្កាត់នេះនៅចំណុច x \u003d 0 ។ ឧទាហរណ៍ នៅចន្លោះពេល (- 1; 1) តម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង 0 មុខងារយកនៅចំណុច x = 0 ។ ចំនុច x = 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍នេះ។

ដូចគ្នានេះដែរ ចំណុច x \u003d 2 ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ x 3 - 3x 2 ចាប់តាំងពីនៅចំណុចនេះ តម្លៃនៃអនុគមន៍មិនធំជាងតម្លៃរបស់វា នៅចំណុចផ្សេងទៀតក្នុងបរិវេណនៃចំនុច x \u003d 2 ឧទាហរណ៍ សង្កាត់ (1.5; 2.5) ។

ដូច្នេះចំនុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f (x) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំនុច x 0 - នោះវិសមភាព f (x) ≤ f (x 0) ពេញចិត្តសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីនេះ សង្កាត់។

ឧទាហរណ៍ ចំណុច x 0 \u003d 0 គឺជាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 1 - x 2 ចាប់តាំងពី f (0) \u003d 1 និងវិសមភាព f (x) ≤ 1 គឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ នៃ x ។

ចំនុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f (x) ត្រូវបានគេហៅថាចំនុច x 0 ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំនុច x 0 ដែលវិសមភាព f (x) ≥ f (x 0) ពេញចិត្តសម្រាប់ x ទាំងអស់ពីសង្កាត់នេះ។

ឧទាហរណ៍ ចំណុច x 0 \u003d 2 គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 3 + (x − 2) 2 ចាប់តាំងពី f (2) \u003d 3 និង f (x) ≥ 3 សម្រាប់ x ទាំងអស់ .

ចំណុចខ្លាំងត្រូវបានគេហៅថា ពិន្ទុអប្បបរមា និងពិន្ទុអតិបរមា។

ចូរយើងងាកទៅរកអនុគមន៍ f(x) ដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច x 0 ហើយមានដេរីវេនៅចំណុចនេះ។

ប្រសិនបើ x 0 គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) នោះ f "(x 0) \u003d 0 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Fermat មានអត្ថន័យធរណីមាត្រច្បាស់លាស់៖ នៅចំណុចខ្លាំង តង់សង់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ហើយដូច្នេះជម្រាលរបស់វា
f "(x 0) គឺសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ f (x) \u003d 1 - 3x 2 មានអតិបរមានៅចំណុច x 0 \u003d 0 ដេរីវេរបស់វា f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0 ។

មុខងារ f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 មានអប្បបរមានៅចំណុច x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

ចំណាំថាប្រសិនបើ f "(x 0) \u003d 0 នោះវាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា x 0 ចាំបាច់ជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) នោះទេ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ f (x) \u003d x 3 នោះ f "(0) \u003d 0 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនុច x \u003d 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងទេ ព្រោះមុខងារ x 3 កើនឡើងនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល។

ដូច្នេះ ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបានត្រូវតែស្វែងរកតែក្នុងចំណោមឫសគល់នៃសមីការ
f "(x) \u003d 0 ប៉ុន្តែឫសនៃសមីការនេះមិនតែងតែជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។

ចំណុចស្ថានី គឺជាចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយស្មើនឹងសូន្យ។

ដូច្នេះ ដើម្បីអោយចំនុច x 0 ជាចំនុចខ្លាំង វាជារឿងចាំបាច់ដែលវាជាចំនុចស្ថានី។

ពិចារណាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចំណុចស្ថានីមួយដើម្បីជាចំណុចខ្លាំង ពោលគឺឧ។ លក្ខខណ្ឌដែលចំណុចស្ថានី គឺជាចំណុចអប្បបរមា ឬអតិបរមានៃអនុគមន៍។

ប្រសិនបើដេរីវេនៅខាងឆ្វេងនៃចំនុចស្ថានីគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅខាងស្តាំវាគឺជាអវិជ្ជមាន ពោលគឺឧ។ ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញា "+" ដើម្បីចុះហត្ថលេខា "-" នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ បន្ទាប់មកចំណុចស្ថានីនេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។

ជាការពិតណាស់នៅក្នុងករណីនេះនៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចស្ថានីមុខងារកើនឡើងហើយនៅខាងស្តាំវាថយចុះ i.e. ចំណុចនេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។

ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា "-" ដើម្បីចុះហត្ថលេខា "+" នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចស្ថានី នោះចំនុចស្ថានីនេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

ប្រសិនបើដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចស្ថានី ឧ។ ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំនៃចំណុចស្ថានី បន្ទាប់មកចំណុចនេះមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។

ចូរយើងពិចារណាលើកិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d x 4 - 4x 3 ។

ដំណោះស្រាយ។

១) ស្វែងរកដេរីវេ៖ f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3) ។

2) ស្វែងរកចំណុចស្ថានី៖ 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d ៣.

3) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល យើងកំណត់ថាដេរីវេ f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) គឺវិជ្ជមានសម្រាប់ x\u003e 3 អវិជ្ជមានសម្រាប់ x< 0 и при 0 < х < 3.

4) ចាប់តាំងពីពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x 1 \u003d 0 សញ្ញានៃដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរចំណុចនេះមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។

5) និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា "-" ទៅសញ្ញា "+" នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x 2 \u003d 3 ។ ដូច្នេះ x 2 \u003d 3 គឺជាចំណុចអប្បបរមា។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

និយមន័យ៖

ខ្លាំងដាក់ឈ្មោះតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារនៅលើសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណុចខ្លាំងគឺជាចំណុចដែលតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារត្រូវបានទៅដល់។

ចំណុចអតិបរមាគឺជាចំណុចដែលតម្លៃអតិបរមានៃមុខងារត្រូវបានទៅដល់។

ចំណុចទាបគឺជាចំណុចដែលតម្លៃអប្បបរមានៃមុខងារត្រូវបានទៅដល់។

ការពន្យល់។

នៅក្នុងរូបភាព នៅក្នុងតំបន់ជុំវិញនៃចំនុច x = 3 មុខងារឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់វា (នោះគឺនៅក្នុងបរិវេណនៃចំណុចពិសេសនេះ មិនមានចំណុចខ្ពស់ជាងនេះទេ)។ នៅក្នុងសង្កាត់នៃ x = 8 វាម្តងទៀតមានតម្លៃអតិបរមា (ម្តងទៀតសូមបញ្ជាក់: វាស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់នេះដែលមិនមានចំណុចខាងលើទេ) ។ នៅចំណុចទាំងនេះការកើនឡើងត្រូវបានជំនួសដោយការថយចុះ។ ពួកគេគឺជាពិន្ទុអតិបរមា៖

xmax = 3, xmax = 8 ។

នៅក្នុងបរិវេណនៃចំនុច x = 5 តម្លៃអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានឈានដល់ (នោះគឺនៅក្នុងតំបន់ជុំវិញ x = 5 មិនមានចំណុចខាងក្រោមទេ) ។ នៅចំណុចនេះការថយចុះត្រូវបានជំនួសដោយការកើនឡើង។ វាជាចំណុចអប្បបរមា៖

ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាគឺ ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារហើយតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះគឺជារបស់វា។ ខ្លាំង.

ចំណុចសំខាន់ និងស្ថានីនៃមុខងារ៖

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពធ្ងន់ធ្ងរ៖

លក្ខខណ្ឌ​គ្រប់គ្រាន់​សម្រាប់​កម្រិត​ខ្លាំង​មួយ​:

នៅលើផ្នែក, មុខងារ y = f(x) អាចឈានដល់តម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមារបស់វា ទាំងនៅចំណុចសំខាន់ ឬនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាមុខងារបន្តy = f(x) សម្រាប់ monotonicity និង extrema:

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច $(x_0,y_0)$ ។ វាត្រូវបានគេនិយាយថា $(x_0,y_0)$ គឺជាចំណុចនៃ (មូលដ្ឋាន) អតិបរមា ប្រសិនបើសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ $(x,y)$ នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃ $(x_0,y_0)$ វិសមភាព $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$ បន្ទាប់មកចំនុច $(x_0,y_0)$ ត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចអប្បបរមា (local)។

ចំណុចខ្ពស់ និងទាប ច្រើនតែសំដៅលើពាក្យទូទៅ ចំណុចខ្លាំង។

ប្រសិនបើ $(x_0,y_0)$ គឺជាចំណុចអតិបរមា នោះតម្លៃនៃអនុគមន៍ $f(x_0,y_0)$ នៅចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមានៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$។ ដូច្នោះហើយ តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា អប្បរមានៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$។ អប្បបរមា និងអតិបរមានៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយពាក្យសាមញ្ញមួយ - extrema នៃអនុគមន៍មួយ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាមុខងារ $z=f(x,y)$ សម្រាប់ extremum

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃ $\frac(\partial z)(\partial x)$ និង $\frac(\partial z)(\partial y)$ ។ តែង និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 .\ end(aligned) \right.$ ចំនុចដែលសំរបសំរួលបំពេញតាមប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី។
2. ស្វែងរក $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ហើយគណនាតម្លៃ $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ នៅគ្រប់ចំណុចស្ថានី។ បន្ទាប់ពីនោះសូមប្រើគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម:
   1. ប្រសិនបើ $\Delta > 0$ និង $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (ឬ $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)> 0$), បន្ទាប់មកនៅចំណុចដែលកំពុងសិក្សាគឺជាចំណុចអប្បបរមា។
   2. ប្រសិនបើ $\Delta > 0$ និង $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. ប្រសិនបើ $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. ប្រសិនបើ $\Delta = 0$ នោះគ្មានអ្វីច្បាស់លាស់អាចនិយាយបានអំពីវត្តមានរបស់ extremum នោះទេ។ ការស្រាវជ្រាវបន្ថែមត្រូវបានទាមទារ។

ចំណាំ (ចង់បានសម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរឡើងនៃអត្ថបទ): បង្ហាញ\លាក់

ប្រសិនបើ $\Delta > 0$ បន្ទាប់មក $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2> 0$។ ហើយពីនេះវាធ្វើតាមថា $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$ ។ ទាំងនោះ។ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$ ។ ប្រសិនបើផលិតផលនៃបរិមាណមួយចំនួនធំជាងសូន្យ នោះបរិមាណទាំងនេះមានសញ្ញាដូចគ្នា។ នោះជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)> 0$ បន្ទាប់មក $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)> 0$។ សរុបមក ប្រសិនបើ $\Delta > 0$ នោះសញ្ញានៃ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ និង $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ គឺ ដូច​គ្នា។

ឧទាហរណ៍ #1

ស៊ើបអង្កេតមុខងារ $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ សម្រាប់ភាពខ្លាំងបំផុត។

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42។ $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

ចូរកាត់បន្ថយសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនេះដោយ $2$ ហើយផ្ទេរលេខទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ៖

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

យើងបានទទួលប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងស្ថានភាពនេះវាហាក់ដូចជាខ្ញុំជាកម្មវិធីងាយស្រួលបំផុតនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផល។

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11; \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22; \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aligned) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

តម្លៃ $x=2$, $y=-3$ គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចស្ថានី $(2;-3)$ ។

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x\partial y)=-6. $$

តោះគណនាតម្លៃ $\Delta$៖

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44។ $$

ចាប់តាំងពី $\Delta > 0$ និង $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)> 0$ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមចំនុច $(2;-3)$ គឺជាចំនុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $ z$។ យើងរកឃើញអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$ ដោយជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច $(2;-3)$ ទៅក្នុងអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$ z_(នាទី)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2\cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90។ $$

ចម្លើយ: $(2;-3)$ - ចំណុចអប្បបរមា; $z_(នាទី)=-90$។

ឧទាហរណ៍ #2

ស៊ើបអង្កេតមុខងារ $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។

យើងនឹងអនុវត្តតាមខាងលើ។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ៖

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12។ $$

ផ្សំប្រព័ន្ធសមីការ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ បញ្ចប់(តម្រឹម)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

កាត់បន្ថយសមីការទីមួយដោយ 3 និងទីពីរដោយ 6 ។

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

ប្រសិនបើ $x=0$ នោះសមីការទីពីរនឹងនាំយើងទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា៖ $0\cdot y-2=0$, $-2=0$ ។ ដូច្នេះការសន្និដ្ឋាន៖ $x\neq 0$ ។ បន្ទាប់មកពីសមីការទីពីរ យើងមាន៖ $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$។ ការជំនួស $y=\frac(2)(x)$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងមាន៖

$$ x^2+\left(\frac(2)(x)\right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0 ។ $$

យើងទទួលបានសមីការ biquadratic ។ យើងធ្វើការជំនួស $t=x^2$ (យើងចាំថា $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

ប្រសិនបើ $t=1$ បន្ទាប់មក $x^2=1$។ ដូច្នេះ​យើង​មាន​តម្លៃ​ពីរ​គឺ $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$ ។ ប្រសិនបើ $t=4$ នោះ $x^2=4$, i.e. $x_3=2$, $x_4=-2$ ។ ដោយចងចាំថា $y=\frac(2)(x)$ យើងទទួលបាន៖

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(តម្រឹម)

ដូច្នេះ យើងមានចំនុចថេរចំនួនបួន៖ $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$ ។ វាបញ្ចប់ជំហានដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយ។

ឥឡូវនេះសូមចុះទៅ algorithm ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ៖

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x\partial y)=6y ។ $$

ស្វែងរក $\Delta$៖

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2)។ $$

ឥឡូវនេះយើងនឹងគណនាតម្លៃនៃ $\Delta$ នៅចំនុចស្ថានីនីមួយៗដែលបានរកឃើញពីមុន។ ចូរចាប់ផ្តើមពីចំណុច $M_1(1;2)$ ។ នៅចំណុចនេះ យើងមាន៖ $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$។ ចាប់តាំងពី $\Delta (M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

តោះស្វែងយល់ពីចំណុច $M_2(-1;-2)$ ។ នៅចំណុចនេះ យើងមាន៖ $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$។ ចាប់តាំងពី $\Delta (M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

ចូរយើងពិនិត្យមើលចំណុច $M_3(2;1)$ ។ នៅចំណុចនេះយើងទទួលបាន:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12។ $$

ចាប់តាំងពី $\Delta(M_3) > 0$ និង $\left។\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)> 0$ បន្ទាប់មកយោងទៅតាម $M_3(2; 1) $ គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$ ។ យើងរកឃើញអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$ ដោយជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុច $M_3$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$ z_(នាទី)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27 ។ $$

វានៅសល់ដើម្បីរុករកចំណុច $M_4(-2;-1)$ ។ នៅចំណុចនេះយើងទទួលបាន:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

ចាប់តាំងពី $\Delta(M_4) > 0$ និង $\left។\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(អតិបរមា)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29។ $$

ការសិក្សាជ្រុលត្រូវបានបញ្ចប់។ វានៅសល់តែសរសេរចម្លើយប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ:

• $(2;1)$ - ចំណុចអប្បបរមា $z_(នាទី)=-27$;
• $(-2;-1)$ - ចំណុចអតិបរមា $z_(អតិបរមា)=29$ ។

ចំណាំ

ក្នុងករណីទូទៅ មិនចាំបាច់គណនាតម្លៃ $\Delta$ ទេ ព្រោះយើងចាប់អារម្មណ៍តែលើសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនតម្លៃជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះទេ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ឧទាហរណ៍លេខ 2 ដែលបានពិចារណាខាងលើ នៅចំណុច $M_3(2;1)$ យើងមាន $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ ។ វាច្បាស់ណាស់ថា $\Delta > 0$ (ដោយសារកត្តាទាំងពីរ $36$ និង $(2^2-1^2)$ គឺវិជ្ជមាន) ហើយវាមិនអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរកតម្លៃជាក់លាក់នៃ $\Delta$ ទេ។ ពិត ការកត់សម្គាល់នេះគឺគ្មានប្រយោជន៍សម្រាប់ការគណនាធម្មតាទេ - ពួកគេតម្រូវឱ្យនាំយកការគណនាទៅជាលេខ :)

ឧទាហរណ៍ #3

ស៊ើបអង្កេតមុខងារ $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ សម្រាប់ភាពខ្លាំងបំផុត។

យើងនឹងធ្វើតាម។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ៖

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y ។ $$

ផ្សំប្រព័ន្ធសមីការ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ បញ្ចប់(តម្រឹម)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

តោះកាត់បន្ថយសមីការទាំងពីរដោយ $4$៖

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

ចូរបន្ថែមសមីការទីមួយទៅសមីការទីពីរ ហើយបង្ហាញ $y$ ក្នុងលក្ខខណ្ឌ $x$៖

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x ។ $$

ការជំនួស $y=-x$ ទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ យើងនឹងមាន៖

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0 ។ $$

ពីសមីការលទ្ធផលយើងមាន៖ $x=0$ ឬ $x^2-2=0$។ វាធ្វើតាមពីសមីការ $x^2-2=0$ ដែល $x=-\sqrt(2)$ ឬ $x=\sqrt(2)$ ។ ដូច្នេះតម្លៃបីនៃ $x$ ត្រូវបានរកឃើញគឺ៖ $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$ ។ ចាប់តាំងពី $y=-x$ បន្ទាប់មក $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$ ។

ជំហានដំបូងនៃដំណោះស្រាយបានបញ្ចប់។ យើងទទួលបានពិន្ទុថេរចំនួនបី៖ $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

ឥឡូវនេះសូមចុះទៅ algorithm ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ៖

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x\partial y)=4. $$

ស្វែងរក $\Delta$៖

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1)។ $$

ឥឡូវនេះយើងនឹងគណនាតម្លៃនៃ $\Delta$ នៅចំនុចស្ថានីនីមួយៗដែលបានរកឃើញពីមុន។ ចូរចាប់ផ្តើមពីចំណុច $M_1(0;0)$ ។ នៅចំណុចនេះ យើងមាន៖ $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$ ។ ចាប់តាំងពី $\Delta(M_1) = 0$ ការស្រាវជ្រាវបន្ថែមគឺត្រូវបានទាមទារ ពីព្រោះគ្មានអ្វីច្បាស់លាស់អាចនិយាយបានអំពីវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចដែលបានពិចារណានោះទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងទុកចំណុចនេះតែម្នាក់ឯងសម្រាប់ពេលនេះ ហើយបន្តទៅចំណុចផ្សេងទៀត។

ចូរយើងពិនិត្យមើលចំណុច $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ ។ នៅចំណុចនេះយើងទទួលបាន:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2)) )^2-4=24-4=20។ \end(តម្រឹម)

ចាប់តាំងពី $\Delta(M_2) > 0$ និង $\left។\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)> 0$ បន្ទាប់មកយោងទៅតាម $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$។ យើងរកឃើញអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$ ដោយជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុច $M_2$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5។ $$

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងចំណុចមុន យើងពិនិត្យមើលចំណុច $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ ។ នៅចំណុចនេះយើងទទួលបាន:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20។ \end(តម្រឹម)

ចាប់តាំងពី $\Delta(M_3) > 0$ និង $\left។\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)> 0$ បន្ទាប់មកយោងទៅតាម $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$។ យើងរកឃើញអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$ ដោយជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុច $M_3$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5។ $$

វាដល់ពេលដែលត្រូវត្រលប់ទៅចំណុច $M_1(0;0)$ ដែល $\Delta(M_1) = 0$។ ការស្រាវជ្រាវបន្ថែមត្រូវបានទាមទារ។ ឃ្លាគេចវេសនេះមានន័យថា "ធ្វើអ្វីដែលអ្នកចង់បាន" :) ។ មិនមានវិធីទូទៅដើម្បីដោះស្រាយស្ថានភាពបែបនេះទេ - ហើយនេះអាចយល់បាន។ បើ​មាន​វិធីសាស្ត្រ​បែប​នេះ នោះ​វា​នឹង​ចូល​ក្នុង​សៀវភៅ​សិក្សា​ទាំងអស់​ជា​យូរ​មក​ហើយ។ ក្នុងពេលនេះ យើងត្រូវស្វែងរកវិធីសាស្រ្តពិសេសមួយចំពោះចំណុចនីមួយៗ ដែល $\Delta = 0$ ។ ជាការប្រសើរណាស់ ចូរយើងស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារដែលនៅជិតចំនុច $M_1(0;0)$។ យើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថា $z(M_1)=z(0;0)=3$ ។ សន្មតថា $M_1(0;0)$ គឺជាចំណុចអប្បបរមា។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចណាមួយ $M$ ពីសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច $M_1(0;0)$ យើងទទួលបាន $z(M) > z(M_1) $, i.e. $z(M) > 3$ ។ ចុះបើសង្កាត់ណាមួយមានចំណុចដែល $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

ពិចារណាចំណុចណាដែល $y=0$, i.e. ចំណុចនៃទម្រង់ $(x,0)$ ។ នៅចំណុចទាំងនេះ មុខងារ $z$ នឹងយកតម្លៃដូចខាងក្រោម៖

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

នៅក្នុងសង្កាត់តូចៗទាំងអស់ $M_1(0;0)$ យើងមាន $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

ប៉ុន្តែប្រហែលជាចំណុច $M_1(0;0)$ គឺជាចំណុចអតិបរមា? ប្រសិនបើនេះគឺដូច្នេះមែននោះ សម្រាប់ចំណុចណាមួយ $M$ ពីសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច $M_1(0;0)$ យើងទទួលបាន $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? បន្ទាប់មក វានឹងមិនមានអតិបរមានៅចំណុច $M_1$ ទេ។

ពិចារណាចំណុចណាដែល $y=x$, i.e. ចំណុចនៃទម្រង់ $(x,x)$ ។ នៅចំណុចទាំងនេះ មុខងារ $z$ នឹងយកតម្លៃដូចខាងក្រោម៖

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3។ $$

ដោយសារនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយនៃចំណុច $M_1(0;0)$ យើងមាន $2x^4> 0$ បន្ទាប់មក $2x^4+3> 3$។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សង្កាត់ណាមួយនៃចំណុច $M_1(0;0)$ មានចំណុចដែល $z > 3$ ដូច្នេះចំនុច $M_1(0;0)$ មិនអាចជាចំណុចអតិបរមាបានទេ។

ចំណុច $M_1(0;0)$ មិនមែនជាអតិបរមា ឬអប្បបរមាទេ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ $M_1$ មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងទាល់តែសោះ។

ចម្លើយ៖ $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - ចំនុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z$ ។ នៅចំណុចទាំងពីរ $z_(នាទី)=-5$ ។