ការពង្រីកស៊េរី Fourier យោងតាមឧទាហរណ៍ក្រាហ្វ។ ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពល

របៀបបញ្ចូលរូបមន្តគណិតវិទ្យានៅលើគេហទំព័រ?

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបន្ថែមរូបមន្តគណិតវិទ្យាមួយ ឬពីរទៅគេហទំព័រ នោះវិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើដូចបានរៀបរាប់ក្នុងអត្ថបទ៖ រូបមន្តគណិតវិទ្យាត្រូវបានបញ្ចូលយ៉ាងងាយស្រួលទៅក្នុងគេហទំព័រក្នុងទម្រង់ជារូបភាពដែល Wolfram Alpha បង្កើតដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ បន្ថែមពីលើភាពសាមញ្ញ វិធីសាស្ត្រជាសកលនេះនឹងជួយកែលម្អភាពមើលឃើញនៃគេហទំព័រនៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរក។ វាបានដំណើរការជាយូរមកហើយ (ហើយខ្ញុំគិតថាវានឹងដំណើរការជារៀងរហូត) ប៉ុន្តែវាហួសសម័យហើយ។

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងប្រើរូបមន្តគណិតវិទ្យាជាប្រចាំនៅលើគេហទំព័ររបស់អ្នក នោះខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យប្រើ MathJax ដែលជាបណ្ណាល័យ JavaScript ពិសេសដែលបង្ហាញសញ្ញាណគណិតវិទ្យានៅក្នុងកម្មវិធីរុករកតាមអ៊ីនធឺណិតដោយប្រើ MathML, LaTeX ឬ ASCIIMathML markup ។

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ MathJax៖ (1) ដោយប្រើកូដសាមញ្ញ អ្នកអាចភ្ជាប់ស្គ្រីប MathJax ទៅកាន់គេហទំព័ររបស់អ្នកបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ដែលនឹងត្រូវបានផ្ទុកដោយស្វ័យប្រវត្តិពីម៉ាស៊ីនមេពីចម្ងាយនៅពេលត្រឹមត្រូវ (បញ្ជីម៉ាស៊ីនមេ); (2) ផ្ទុកឡើងស្គ្រីប MathJax ពីម៉ាស៊ីនមេពីចម្ងាយទៅកាន់ម៉ាស៊ីនមេរបស់អ្នក ហើយភ្ជាប់វាទៅគ្រប់ទំព័រនៃគេហទំព័ររបស់អ្នក។ វិធីសាស្ត្រទីពីរគឺកាន់តែស្មុគស្មាញ និងចំណាយពេលច្រើន ហើយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនល្បឿននៃការផ្ទុកទំព័រនៃគេហទំព័ររបស់អ្នក ហើយប្រសិនបើម៉ាស៊ីនមេ MathJax មេមិនអាចប្រើបានជាបណ្ដោះអាសន្នដោយសារហេតុផលមួយចំនួន វានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់គេហទំព័រផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ ទោះបីជាមានគុណសម្បត្តិទាំងនេះក៏ដោយ ខ្ញុំបានជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រដំបូង ព្រោះថាវាសាមញ្ញជាង លឿនជាងមុន ហើយមិនត្រូវការជំនាញបច្ចេកទេសទេ។ ធ្វើតាមគំរូរបស់ខ្ញុំ ហើយក្នុងរយៈពេល 5 នាទី អ្នកនឹងអាចប្រើមុខងារទាំងអស់របស់ MathJax នៅលើគេហទំព័ររបស់អ្នក។

អ្នកអាចភ្ជាប់ស្គ្រីបបណ្ណាល័យ MathJax ពីម៉ាស៊ីនមេពីចម្ងាយ ដោយប្រើជម្រើសកូដពីរដែលយកចេញពីគេហទំព័រ MathJax មេ ឬពីទំព័រឯកសារ៖

ជម្រើសកូដមួយក្នុងចំណោមជម្រើសកូដទាំងនេះត្រូវការចម្លង និងបិទភ្ជាប់ទៅក្នុងកូដនៃទំព័របណ្ដាញរបស់អ្នក ជាជម្រើសរវាងស្លាក និងឬភ្លាមៗបន្ទាប់ពីស្លាក . យោងតាមជម្រើសដំបូង MathJax ផ្ទុកលឿនជាងមុន និងបន្ថយទំព័រតិចជាងមុន។ ប៉ុន្តែជម្រើសទីពីរតាមដាន និងផ្ទុកកំណែចុងក្រោយបំផុតរបស់ MathJax ដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលលេខកូដដំបូង នោះវានឹងចាំបាច់ត្រូវធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជាប្រចាំ។ ប្រសិនបើអ្នកបិទភ្ជាប់កូដទីពីរ នោះទំព័រនឹងផ្ទុកយឺតជាងមុន ប៉ុន្តែអ្នកនឹងមិនចាំបាច់តាមដានការអាប់ដេត MathJax ជានិច្ចនោះទេ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីភ្ជាប់ MathJax គឺនៅក្នុង Blogger ឬ WordPress៖ នៅក្នុងផ្ទាំងគ្រប់គ្រងគេហទំព័រ បន្ថែមធាតុក្រាហ្វិកដែលត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីបញ្ចូលកូដ JavaScript ភាគីទីបី ចម្លងកំណែទីមួយ ឬទីពីរនៃកូដផ្ទុកខាងលើទៅក្នុងវា ហើយដាក់ធាតុក្រាហ្វិកឱ្យជិត។ ការចាប់ផ្តើមនៃគំរូ (ដោយវិធីនេះ វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ ចាប់តាំងពីស្គ្រីប MathJax ត្រូវបានផ្ទុកដោយអសមកាល)។ អស់ហើយ។ ឥឡូវនេះរៀនវាក្យសម្ព័ន្ធសម្គាល់ MathML, LaTeX និង ASCIIMathML ហើយអ្នកត្រៀមខ្លួនរួចរាល់ហើយក្នុងការបង្កប់រូបមន្តគណិតវិទ្យាទៅក្នុងគេហទំព័ររបស់អ្នក។

ប្រភាគណាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់មួយ ដែលត្រូវបានអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់ចំនួនដងគ្មានដែនកំណត់។ រាល់ពេលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាការធ្វើម្តងទៀត។

ក្បួនដោះស្រាយដដែលៗសម្រាប់ការសាងសង់អេប៉ុង Menger គឺសាមញ្ញណាស់៖ គូបដើមដែលមានជ្រុង 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងមុខរបស់វាទៅជា 27 គូបស្មើគ្នា។ គូបកណ្តាលមួយនិង 6 គូបដែលនៅជាប់នឹងវានៅតាមបណ្តោយមុខត្រូវបានយកចេញពីវា។ វាប្រែចេញនូវសំណុំមួយដែលមាន 20 គូបតូចៗដែលនៅសល់។ ធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងគូបនីមួយៗនេះ យើងទទួលបានសំណុំមួយដែលមាន 400 គូបតូចជាង។ ការបន្តដំណើរការនេះដោយគ្មានកំណត់ យើងទទួលបានអេប៉ុង Menger ។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃស៊េរីមុខងារ ផ្នែកដែលឧទ្ទិសដល់ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីមួយកាន់កាប់កន្លែងកណ្តាល។

ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានបង្កឡើង: សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកស៊េរីថាមពលបែបនេះ

ដែលបង្រួបបង្រួមនៅចន្លោះពេលខ្លះ ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង
, ទាំងនោះ។

= ..

ភារកិច្ចនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហានៃការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពល។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពលគឺជាភាពខុសប្លែកគ្នារបស់វាចំនួនដងគ្មានកំណត់ - នេះធ្វើតាមលក្ខណៈនៃស៊េរីថាមពលរួម។ លក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានពេញចិត្ត ជាក្បួនសម្រាប់មុខងារបឋមនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យរបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះសន្មតថាមុខងារ
មានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញណាមួយ។ តើវាអាចពង្រីកទៅជាស៊េរីថាមពលបានទេ បើដូច្នេះ តើត្រូវរកស៊េរីនេះដោយរបៀបណា? ផ្នែកទីពីរនៃបញ្ហាគឺងាយស្រួលដោះស្រាយ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមជាមួយវា។

ចូរសន្មតថាមុខងារ
អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃស៊េរីថាមពលដែលបង្រួបបង្រួមក្នុងចន្លោះពេលដែលមានចំណុចមួយ។ X 0 :

= .. (*)

កន្លែងណា ក 0 , ក 1 , ក 2 ,..., ក ទំ ,... - មេគុណមិនច្បាស់លាស់ (មិនទាន់មាន) ។

ចូរយើងដាក់តម្លៃស្មើគ្នា (*) x = x 0 , បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

យើងបែងចែកស៊េរីថាមពល (*) តាមពាក្យ

= ..

ហើយដាក់នៅទីនេះ x = x 0 , យើងទទួលបាន

ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាបន្ទាប់យើងទទួលបានស៊េរី

= ..

សន្មត់ x = x 0 , យើងទទួលបាន
កន្លែងណា
.

បន្ទាប់ពី ទំ- ភាពខុសប្លែកគ្នាដែលយើងទទួលបាន

សន្មតថានៅក្នុងសមភាពចុងក្រោយ x = x 0 , យើងទទួលបាន
កន្លែងណា

ដូច្នេះមេគុណត្រូវបានរកឃើញ

,
,
, …,
,….,

ការជំនួសដែលចូលទៅក្នុងជួរ (*) យើងទទួលបាន

ស៊េរីលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា នៅជិត Taylor សម្រាប់មុខងារ
.

ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្កើតវាឡើង ប្រសិនបើមុខងារអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីថាមពលនៅក្នុងថាមពល (x − x 0 ) បន្ទាប់មកការពង្រីកនេះគឺមានតែមួយគត់ ហើយស៊េរីលទ្ធផលគឺចាំបាច់ជាស៊េរី Taylor ។

ចំណាំថាស៊េរី Taylor អាចទទួលបានសម្រាប់មុខងារណាមួយដែលមានដេរីវេនៃលំដាប់ណាមួយនៅចំណុច x = x 0 . ប៉ុន្តែនេះមិនទាន់មានន័យថា អាចដាក់សញ្ញាស្មើគ្នារវាងមុខងារ និងស៊េរីលទ្ធផលនោះទេ ពោលគឺឧ។ ថាផលបូកនៃស៊េរីគឺស្មើនឹងមុខងារដើម។ ទីមួយ សមភាពបែបនេះអាចយល់បានតែនៅក្នុងតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នាប៉ុណ្ណោះ ហើយស៊េរី Taylor ដែលទទួលបានសម្រាប់មុខងារអាចខុសគ្នា ហើយទីពីរ ប្រសិនបើស៊េរី Taylor បញ្ចូលគ្នា នោះផលបូករបស់វាប្រហែលជាមិនស្របគ្នានឹងមុខងារដើមនោះទេ។

៣.២. លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅក្នុងស៊េរី Taylor

ចូរយើងបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ ដោយមានជំនួយពីបញ្ហាដែលបានបញ្ជាក់នឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។

ប្រសិនបើមុខងារ
នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x 0 មាននិស្សន្ទវត្ថុរហូតដល់ (ន+ 1)-th order inclusive, then in this neighborhood we haveរូបមន្ត ថេល័រ

កន្លែងណារ ន (X)-ពាក្យសំណល់នៃរូបមន្ត Taylor - មានទម្រង់ (Lagrange form)

កន្លែងណា ចំណុចξ ស្ថិតនៅចន្លោះ x និង x 0 .

ចំណាំថាមានភាពខុសគ្នារវាងស៊េរី Taylor និងរូបមន្ត Taylor៖ រូបមន្ត Taylor គឺជាផលបូកកំណត់ ពោលគឺឧ។ ទំ -លេខថេរ។

សូមចាំថាផលបូកនៃស៊េរី ស(x) អាចត្រូវបានកំណត់ជាដែនកំណត់នៃលំដាប់មុខងារនៃផលបូកផ្នែក ស ទំ (x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ X:

យោងទៅតាមនេះ ដើម្បីពង្រីកមុខងារចូលទៅក្នុងស៊េរី Taylor មានន័យថាស្វែងរកស៊េរីបែបនេះសម្រាប់ណាមួយ។ XX

យើងសរសេររូបមន្ត Taylor ក្នុងទម្រង់ជាកន្លែងដែល

បានកត់សម្គាល់ឃើញថា
កំណត់កំហុសដែលយើងទទួលបាន ជំនួសមុខងារ f(x) ពហុនាម ស ន (x).

ប្រសិនបើ
, នោះ។
ទាំងនោះ។ មុខងារពង្រីកទៅជាស៊េរី Taylor ។ ផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើ
, នោះ។
.

ដូច្នេះហើយ យើងបានបញ្ជាក់ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅក្នុងស៊េរី Taylor ។

នៅក្នុងលំដាប់ថានៅក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួនមុខងារf(x) ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Taylor វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ក្នុងចន្លោះពេលនេះ។
, កន្លែងណារ ន (x) គឺនៅសល់នៃស៊េរី Taylor ។

ដោយមានជំនួយពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដែលបានបង្កើតមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបាន គ្រប់គ្រាន់លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅក្នុងស៊េរី Taylor ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x 0 តម្លៃដាច់ខាតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់ដោយលេខដូចគ្នា M≥ 0, i.e.

, ធo នៅក្នុងសង្កាត់នេះ មុខងារពង្រីកទៅជាស៊េរី Taylor ។

ពីខាងលើវាធ្វើតាម ក្បួនដោះស្រាយការពង្រីកមុខងារ f(x) នៅក្នុងស៊េរី Taylorនៅជិតចំណុច X 0 :

1. ការស្វែងរកអនុគមន៍ដេរីវេ f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ និងតម្លៃនៃដេរីវេរបស់វានៅចំណុច X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), ច (n) (x 0 ),…

3. យើងសរសេរជាផ្លូវការនូវស៊េរី Taylor ហើយស្វែងរកតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីថាមពលលទ្ធផល។

4. យើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ i.e. បង្កើតឡើងសម្រាប់អ្វីដែល Xពីតំបន់ convergence ពាក្យដែលនៅសល់ រ ន (x) ទំនោរទៅសូន្យនៅ
ឬ
.

ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Taylor យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយនេះត្រូវបានគេហៅថា ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Taylor តាមនិយមន័យឬ ការរំលាយដោយផ្ទាល់។

របៀបបញ្ចូលរូបមន្តគណិតវិទ្យានៅលើគេហទំព័រ?

ប្រសិនបើមុខងារ f(x)មានចន្លោះពេលខ្លះដែលមានចំណុច កដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់ បន្ទាប់មករូបមន្ត Taylor អាចត្រូវបានអនុវត្តទៅវា៖

កន្លែងណា rn- អ្វីដែលហៅថាពាក្យសេសសល់ ឬពាក្យសេសសល់នៃស៊េរី វាអាចត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយប្រើរូបមន្ត Lagrange៖

ដែលជាកន្លែងដែលលេខ x ត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាង Xនិង ក.

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួន x r n®0 នៅ ន®¥ បន្ទាប់មកនៅក្នុងដែនកំណត់ រូបមន្ត Taylor សម្រាប់តម្លៃនេះប្រែទៅជារូបមន្តរួម ស៊េរី Taylor:

ដូច្នេះមុខងារ f(x)អាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Taylor នៅចំណុចដែលបានពិចារណា X, ប្រសិនបើ៖

1) វាមានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់;

2) ស៊េរីដែលបានសាងសង់បញ្ចូលគ្នានៅចំណុចនេះ។

នៅ ក=0 យើងទទួលបានស៊េរីមួយហៅថា នៅជិត Maclaurin:

ឧទាហរណ៍ ១ f(x)= 2x.

ដំណោះស្រាយ. អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍និងដេរីវេរបស់វានៅ X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2xនៅក្នុង 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln ន 2, f(n)( 0) = 2 0 ln ន 2=ln ន 2.

ការជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃនិស្សន្ទវត្ថុទៅក្នុងរូបមន្តស៊េរី Taylor យើងទទួលបាន៖

កាំនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះគឺស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដូច្នេះការពង្រីកនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ -¥<x<+¥.

ឧទាហរណ៍ ២ X+4) សម្រាប់មុខងារ f(x)=អ៊ី x.

ដំណោះស្រាយ. ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ e xនិងតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច X=-4.

f(x)= អ៊ី x, f(-4) = អ៊ី -4 ;

f¢(x)= អ៊ី x, f¢(-4) = អ៊ី -4 ;

f¢¢(x)= អ៊ី x, f¢¢(-4) = អ៊ី -4 ;

f(n)(x)= អ៊ី x, f(n)( -4) = អ៊ី -4 .

ដូច្នេះ ស៊េរី Taylor ដែលចង់បាននៃមុខងារមានទម្រង់៖

ការបំបែកនេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ -¥ ផងដែរ។<x<+¥.

ឧទាហរណ៍ ៣ . ពង្រីកមុខងារ f(x)=ln xនៅក្នុងស៊េរីដោយដឺក្រេ ( X- 1),

(ឧ. នៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅជិតចំនុច X=1).

ដំណោះស្រាយ. យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ។

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបានស៊េរី Taylor ដែលចង់បាន៖

ដោយមានជំនួយពីការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert មនុស្សម្នាក់អាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នានៅពេលណា

½ X- 1½<1. Действительно,

ស៊េរីបង្រួបបង្រួមប្រសិនបើ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 យើងទទួលបានស៊េរីជំនួសដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត Leibniz ។ នៅ X=0 មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ដូច្នេះ តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Taylor គឺជាចន្លោះពេលពាក់កណ្តាលបើក (0;2] ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញការពង្រីកដែលទទួលបានតាមវិធីនេះនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin (ឧ. នៅក្នុងសង្កាត់មួយនៃចំណុច X=0) សម្រាប់មុខងារបឋមមួយចំនួន៖

(2) ,

(3) ,

(ការពង្រីកចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរី binomial)

ឧទាហរណ៍ 4 . ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពល

ដំណោះស្រាយ. នៅក្នុង decomposition (1) យើងជំនួស Xនៅលើ - X 2, យើងទទួលបាន:

ឧទាហរណ៍ 5 . ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin

ដំណោះស្រាយ. យើងមាន

ដោយប្រើរូបមន្ត (៤) យើងអាចសរសេរ៖

ជំនួសជំនួស Xចូលទៅក្នុងរូបមន្ត -X, យើងទទួលបាន:

ពីទីនេះយើងរកឃើញ៖

ការពង្រីកតង្កៀប ការរៀបចំឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី និងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន

ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមក្នុងចន្លោះពេល

(-1;1) ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានចេញមកពីស៊េរីពីរ ដែលនីមួយៗបញ្ចូលគ្នាក្នុងចន្លោះនេះ។

មតិយោបល់ .

រូបមន្ត (1)-(5) ក៏អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពង្រីកមុខងារដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងស៊េរី Taylor ពោលគឺឧ។ សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងអំណាចចំនួនគត់វិជ្ជមាន ( ហា) ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដើម្បីទទួលបានមុខងារមួយ (1) - (5) ដែលជំនួសឱ្យ Xការចំណាយ k( ហា) m ដែល k ជាចំនួនថេរ m គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t=ហានិងពង្រីកមុខងារលទ្ធផលដោយគោរពតាម t នៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ។

វិធីសាស្រ្តនេះបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពប្លែកនៃការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពល។ ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺថា នៅក្នុងតំបន់ជុំវិញចំណុចដូចគ្នា ស៊េរីថាមពលពីរផ្សេងគ្នាមិនអាចទទួលបានដែលនឹងបញ្ចូលគ្នាទៅជាមុខងារដូចគ្នានោះទេ ទោះបីជាការពង្រីករបស់វាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងណាក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៍ ៦ . ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។ X=3.

ដំណោះស្រាយ. បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចពីមុន ដោយប្រើនិយមន័យនៃស៊េរី Taylor ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និងតម្លៃរបស់វានៅ X=៣. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលប្រើការរលាយដែលមានស្រាប់ (5)៖

ស៊េរីលទ្ធផលបានបង្រួបបង្រួមនៅ ឬ -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

ឧទាហរណ៍ ៧ . សរសេរស៊េរី Taylor នៅក្នុងអំណាច ( X-1) លក្ខណៈពិសេស .

ដំណោះស្រាយ.

ស៊េរីនេះបានបង្រួបបង្រួមនៅ ឬ ២< x£5

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល 2π ។

ស៊េរី Fourier អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសិក្សាមុខងារតាមកាលកំណត់ដោយបំបែកពួកវាទៅជាសមាសធាតុ។ ចរន្តឆ្លាស់ និងវ៉ុល ការផ្លាស់ទីលំនៅ ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃយន្តការ crank និងរលកសូរស័ព្ទ គឺជាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងនៃការអនុវត្តមុខងារតាមកាលកំណត់ក្នុងការគណនាវិស្វកម្ម។

ការពង្រីកស៊េរី Fourier គឺផ្អែកលើការសន្មត់ថាមុខងារទាំងអស់នៃសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងនៅក្នុងចន្លោះពេល -π ≤ x ≤ π អាចត្រូវបានបង្ហាញជាស៊េរីត្រីកោណមាត្ររួម (ស៊េរីមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកដែលបង្កើតឡើងដោយសមាជិករបស់វាបញ្ចូលគ្នា) :

ការសម្គាល់ស្តង់ដារ (=usual) តាមរយៈផលបូកនៃ sinx និង cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

ដែល a o , a 1 ,a 2 ,... ,b 1 ,b 2 ,.. គឺជាចំនួនថេរពិតប្រាកដ ពោលគឺឧ។

ដែលជាកន្លែងដែលសម្រាប់ជួរពី -π ទៅ π មេគុណនៃស៊េរី Fourier ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

មេគុណ a o ,a n និង b n ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ Fourierហើយប្រសិនបើពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញ នោះស៊េរី (1) ត្រូវបានហៅ នៅជិត Fourier,អនុគមន៍ f(x)។ សម្រាប់ស៊េរី (1) ពាក្យ (a 1 cosx+b 1 sinx) ត្រូវបានគេហៅថា ទីមួយ ឬ អាម៉ូនិកចម្បង,

វិធីមួយទៀតដើម្បីសរសេរស៊េរីគឺប្រើទំនាក់ទំនង acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

ដែល o ជាថេរ c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 គឺជាទំហំនៃសមាសធាតុផ្សេងៗ ហើយស្មើនឹង n \ u003d arctg a n / b n ។

សម្រាប់ស៊េរី (1) ពាក្យ (a 1 cosx + b 1 sinx) ឬ c 1 sin (x + α 1) ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬ អាម៉ូនិកចម្បង,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ឬ c 2 sin(2x+α 2) ត្រូវបានគេហៅថា អាម៉ូនិកទីពីរលល។

ដើម្បីតំណាងឱ្យសញ្ញាស្មុគ្រស្មាញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ ជាធម្មតាចំនួនពាក្យមិនកំណត់គឺត្រូវបានទាមទារ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើន វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែលក្ខខណ្ឌដំបូងប៉ុណ្ណោះ។

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល 2π ។

ការរលួយនៃមុខងារមិនទៀងទាត់។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) មិនមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ នោះវាមិនអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គេអាចកំណត់ស៊េរី Fourier ដែលតំណាងឱ្យមុខងារលើជួរទទឹង 2π ណាមួយ។

ដោយបានផ្តល់ឱ្យនូវអនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ អ្នកអាចបង្កើតមុខងារថ្មីដោយជ្រើសរើសតម្លៃ f(x) ក្នុងជួរជាក់លាក់មួយ ហើយធ្វើវាឡើងវិញនៅក្រៅជួរនេះនៅចន្លោះពេល 2π ។ ដោយសារអនុគមន៍ថ្មីមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2π វាអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Fourier សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ f(x)=x មិនមែនតាមកាលកំណត់ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើចាំបាច់ត្រូវពង្រីកវាទៅជាស៊េរី Fourier នៅចន្លោះពេលពី 0 ទៅ 2π នោះមុខងារតាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 2π ត្រូវបានសាងសង់នៅខាងក្រៅចន្លោះពេលនេះ (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម)។

សម្រាប់អនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ដូចជា f(x)=x ផលបូកនៃស៊េរី Fourier គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃ f(x) នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ក្នុងជួរដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប៉ុន្តែវាមិនស្មើនឹង f(x) សម្រាប់ពិន្ទុ នៅខាងក្រៅជួរ។ ដើម្បីស្វែងរកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ក្នុងជួរ 2π រូបមន្តដូចគ្នានៃមេគុណ Fourier ត្រូវបានប្រើ។

មុខងារគូនិងសេស។

ពួកគេនិយាយថាមុខងារ y = f (x) សូម្បីតែប្រសិនបើ f(-x)=f(x) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺតែងតែស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y (នោះគឺពួកគេត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំង) ។ ឧទាហរណ៍ពីរនៃអនុគមន៍គូ៖ y = x 2 និង y = cosx ។

ពួកគេនិយាយថាមុខងារ y = f (x) សេសប្រសិនបើ f(-x)=-f(x) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ក្រាហ្វនៃមុខងារសេសគឺតែងតែស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។

មុខងារជាច្រើនមិនសូម្បីតែឬសេស។

ការពង្រីកស៊េរី Fourier នៅក្នុងកូស៊ីនុស។

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ f(x) ជាមួយរយៈពេល 2π មានតែពាក្យកូស៊ីនុស (ពោលគឺមិនមានពាក្យស៊ីនុស) ហើយអាចរួមបញ្ចូលពាក្យថេរ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

តើមេគុណនៃស៊េរី Fourier នៅឯណា?

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដ៏សេស f(x) ជាមួយនឹងរយៈពេល 2π មានតែពាក្យដែលមានស៊ីនុស (ពោលគឺមិនមានពាក្យជាមួយកូស៊ីនុសទេ)។

អាស្រ័យហេតុនេះ

តើមេគុណនៃស៊េរី Fourier នៅឯណា?

ស៊េរី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្ត។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ជួរមួយ និយាយថា 0 ដល់ π ហើយមិនមែនត្រឹមតែ 0 ទៅ 2π ទេ វាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស ឬតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។ ស៊េរី Fourier លទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា នៅជិត Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្ត។

ប្រសិនបើអ្នកចង់ទទួលបានកំទេចកំទី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្តនៅក្នុងកូស៊ីនុសអនុគមន៍ f(x) ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ π នោះ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតអនុគមន៍តាមកាលកំណត់។ នៅលើរូបភព។ ខាងក្រោមគឺជាអនុគមន៍ f(x)=x បង្កើតនៅលើចន្លោះពេលពី x=0 ដល់ x=π ។ ដោយសារមុខងារគូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស f(x) យើងគូរបន្ទាត់ AB ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ខាងក្រោម។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថានៅខាងក្រៅចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា រូបរាងត្រីកោណលទ្ធផលគឺតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2π បន្ទាប់មកក្រាហ្វចុងក្រោយមានទម្រង់បង្ហាញ។ នៅក្នុងរូបភព។ ខាងក្រោម។ ដោយសារវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីទទួលបានការពង្រីក Fourier នៅក្នុងកូស៊ីនុស ដូចពីមុន យើងគណនាមេគុណ Fourier a o និង a n

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដើម្បីទទួលបាន ស៊ីនុសពាក់កណ្តាលវដ្តនៃការពង្រីក Fourierអនុគមន៍ f(x) ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ π នោះ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដ៏សេស។ នៅលើរូបភព។ ខាងក្រោមគឺជាអនុគមន៍ f(x)=x បង្កើតនៅលើចន្លោះពេលពី x=0 ដល់ x=π ។ ដោយសារមុខងារសេសមានភាពស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម យើងបង្កើតបន្ទាត់ស៊ីឌី ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថានៅខាងក្រៅចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា សញ្ញា sawtooth ដែលទទួលបានគឺតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2π នោះក្រាហ្វចុងក្រោយមានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូបភព។ ដោយសារវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីទទួលបានការពង្រីក Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្តនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុសដូចពីមុនយើងគណនាមេគុណ Fourier ។ ខ

ស៊េរី Fourier សម្រាប់ចន្លោះពេលបំពាន។

ការពង្រីកមុខងារតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល L.

អនុគមន៍តាមកាលកំណត់ f(x) ធ្វើម្តងទៀតនៅពេលដែល x កើនឡើងដោយ L, i.e. f(x+L)=f(x)។ ការផ្លាស់ប្តូរពីអនុគមន៍ដែលបានពិចារណាពីមុនដែលមានរយៈពេល 2π ទៅអនុគមន៍ដែលមានរយៈពេល L គឺសាមញ្ញណាស់ ព្រោះវាអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

ដើម្បីស្វែងរកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) ក្នុងជួរ -L/2≤x≤L/2 យើងណែនាំអថេរថ្មី u ដូច្នេះអនុគមន៍ f(x) មានរយៈពេល 2π ទាក់ទងនឹង u ។ ប្រសិនបើ u=2πx/L បន្ទាប់មក x=-L/2 សម្រាប់ u=-π និង x=L/2 សម្រាប់ u=π ។ ក៏អនុញ្ញាតឱ្យ f(x)=f(Lu/2π)=F(u)។ ស៊េរី Fourier F(u) មានទម្រង់

(ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានជំនួសដោយចន្លោះពេលណាមួយនៃប្រវែង L ឧទាហរណ៍ ពី 0 ដល់ L)

ស៊េរី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្តសម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេល L≠2π។

សម្រាប់ការជំនួស u=πx/L ចន្លោះពេលពី x=0 ទៅ x=L ត្រូវគ្នាទៅនឹងចន្លោះពេលពី u=0 ទៅ u=π។ ដូច្នេះមុខងារអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូស៊ីនុស ឬតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស៊ីនុស ពោលគឺឧ។ វ ស៊េរី Fourier នៅលើពាក់កណ្តាលវដ្ត.

ការពង្រីកនៅក្នុងកូស៊ីនុសក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ L មានទម្រង់

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

៣.២. លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារទៅក្នុងស៊េរី Taylor

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង