នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបបំបែកត្រីកោណការ៉េទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ។ ចំពោះបញ្ហានេះ វាចាំបាច់ក្នុងការរំលឹកទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងការបញ្ច្រាសរបស់វា។ ជំនាញនេះនឹងជួយយើងក្នុងការបំប្លែងត្រីកោណការ៉េទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងងាយស្រួល ហើយថែមទាំងជួយសម្រួលដល់ការកាត់បន្ថយប្រភាគដែលមានកន្សោមផងដែរ។

ដូច្នេះត្រឡប់ទៅសមីការការ៉េវិញ ដែលជាកន្លែងដែល .

អ្វីដែលយើងមាននៅខាងឆ្វេងត្រូវបានគេហៅថា trinomial ការ៉េ។

ទ្រឹស្តីបទគឺពិត៖ប្រសិនបើជាឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ នោះអត្តសញ្ញាណគឺពិត

តើមេគុណឈានមុខគេនៅឯណា គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។

ដូច្នេះ យើងមានសមីការការ៉េ - ត្រីកោណការ៉េ ដែលឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃត្រីកោណមាត្រផងដែរ។ ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើយើងមានឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ នោះត្រីភាគីនេះត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង៖

ភស្តុតាងនៃការពិតនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ដែលយើងបានពិចារណាក្នុងមេរៀនមុនៗ។

ចូរយើងចងចាំនូវអ្វីដែលទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ប្រាប់យើង៖

ប្រសិនបើជាឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េដែល នោះ .

ទ្រឹស្តីបទនេះបង្កប់ន័យការអះអាងដូចខាងក្រោមថា .

យើងឃើញថាយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ពោលគឺការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តខាងលើ យើងទទួលបានកន្សោមដូចខាងក្រោម។

Q.E.D.

សូមចាំថា យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទថា ប្រសិនបើជាឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ នោះការរលួយមានសុពលភាព។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវឧទាហរណ៍នៃសមីការបួនជ្រុង ដែលយើងជ្រើសរើសឫសដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ពីការពិតនេះ យើងអាចទទួលបានសមភាពដូចខាងក្រោម ដោយសារទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញ៖

ឥឡូវនេះ សូមពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃការពិតនេះ ដោយគ្រាន់តែពង្រីកតង្កៀប៖

យើងឃើញថា យើងបានបែងចែកយ៉ាងត្រឹមត្រូវ ហើយត្រីភាគីណាក៏ដោយ ប្រសិនបើវាមានឫស អាចត្រូវបានបង្កាត់តាមទ្រឹស្តីបទនេះទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរតាមរូបមន្ត

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើសមីការណាមួយដែលកត្តាបែបនេះអាចធ្វើទៅបាន៖

ចូរយើងយកសមីការជាឧទាហរណ៍។ ជាដំបូង សូមពិនិត្យមើលសញ្ញានៃអ្នករើសអើង

ហើយយើងចាំថា ដើម្បីបំពេញទ្រឹស្តីបទដែលយើងបានរៀន D ត្រូវតែធំជាង 0 ដូច្នេះនៅក្នុង ករណីនេះកត្តាកត្តាដោយទ្រឹស្តីបទដែលបានសិក្សាគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ដូច្នេះហើយ យើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទថ្មីមួយ៖ ប្រសិនបើត្រីកោណការ៉េគ្មានឫស នោះវាមិនអាចរលាយទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរបានទេ។

ដូច្នេះ យើងបានពិចារណាទ្រឹស្តីបទ Vieta លទ្ធភាពនៃការបំបែកត្រីកោណការ៉េទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន។

កិច្ចការទី 1

ក្នុង​ក្រុម​នេះ យើង​ពិត​ជា​នឹង​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​បញ្ច្រាស​ទៅ​នឹង​បញ្ហា​ដែល​បាន​ដាក់។ យើង​មាន​សមីការ​មួយ ហើយ​យើង​បាន​រក​ឃើញ​ឫស​របស់​វា ដែល​រលាយ​ទៅ​ជា​កត្តា។ នៅទីនេះយើងនឹងធ្វើផ្ទុយពីនេះ។ ឧបមាថាយើងមានឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

បញ្ហាបញ្ច្រាសគឺនេះ៖ សរសេរសមីការបួនជ្រុង ដូច្នេះហើយបានជាឫសគល់របស់វា។

មាន 2 វិធីដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

ចាប់តាំងពីមានឫសគល់នៃសមីការ គឺ​ជា​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​ឫស​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​លេខ។ ឥឡូវនេះសូមបើកតង្កៀបហើយពិនិត្យមើល៖

នេះជាវិធីដំបូងដែលយើងបង្កើតសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ ព្រោះសមីការការ៉េណាមួយមានឫសពីរច្រើនបំផុត។

វិធីសាស្រ្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស។

ប្រសិនបើជាឫសគល់នៃសមីការ នោះពួកគេបំពេញលក្ខខណ្ឌនោះ។

សម្រាប់សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ , , i.e. ក្នុងករណីនេះ , និង .

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្កើត​សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង​ដែល​មាន​ឫស​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។

កិច្ចការទី ២

អ្នកត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគ។

យើងមាន trinomial នៅក្នុងភាគយក និង trinomial នៅក្នុងភាគបែង ហើយ trinomials អាចឬមិនអាចជាកត្តា។ ប្រសិនបើទាំងភាគយក និងភាគបែងត្រូវបានបង្កាត់ នោះក្នុងចំណោមពួកវាអាចមានកត្តាស្មើគ្នាដែលអាចកាត់បន្ថយបាន។

ជាដំបូង ចាំបាច់ត្រូវធ្វើកត្តាភាគយក។

ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​ពិនិត្យ​មើល​ថា​តើ​សមីការ​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ជា​កត្តា​ដែរ​ឬ​ទេ រក​អ្នក​រើស​អើង។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក សញ្ញាអាស្រ័យលើផលិតផល (ត្រូវតែតិចជាង 0) ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ឧ. សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសគល់។

ដើម្បីដោះស្រាយ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta៖

ក្នុង​ករណី​នេះ ដោយសារ​យើង​កំពុង​ដោះស្រាយ​ជាមួយ​ឫស វា​នឹង​ពិបាក​ណាស់​ក្នុង​ការ​យក​ឬស​ដោយ​សាមញ្ញ។ ប៉ុន្តែយើងឃើញថាមេគុណមានតុល្យភាព ពោលគឺប្រសិនបើយើងសន្មត់ថា ហើយជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការ នោះប្រព័ន្ធខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖ i.e. 5-5=0 ។ ដូច្នេះ យើងបានជ្រើសរើសឫសគល់មួយនៃសមីការការ៉េនេះ។

យើងនឹងស្វែងរកឫសទីពីរដោយជំនួសនូវអ្វីដែលគេស្គាល់រួចហើយទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការ ឧទាហរណ៍ , i.e. .

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញឫសទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ និងអាចជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងសមីការដើមដើម្បីដាក់កត្តាវា៖

រំលឹកឡើងវិញនូវបញ្ហាដើម យើងត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគ។

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាដោយការជំនួស ជំនួសឲ្យ ភាគយក។

ចាំបាច់ត្រូវកុំភ្លេចថា ក្នុងករណីនេះ ភាគបែងមិនអាចស្មើនឹង 0 ពោលគឺឧ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ នោះយើងបានកាត់បន្ថយប្រភាគដើមទៅជាទម្រង់។

កិច្ចការទី 3 (ភារកិច្ចដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ)

នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺជាផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េ

ប្រសិនបើឫសនៃសមីការនេះមាន សំណួរគឺនៅពេលណា។

កត្តាកំណត់នៃត្រីកោណការ៉េគឺជាកិច្ចការមួយក្នុងចំណោមកិច្ចការសាលាដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាប្រឈមមុខឆាប់ឬក្រោយមក។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? តើ​អ្វី​ជា​រូបមន្ត​សម្រាប់​បង្កើត​ត្រីកោណមាត្រ​ការ៉េ? តោះឆ្លងកាត់វាមួយជំហានម្តង ៗ ជាមួយឧទាហរណ៍។

រូបមន្តទូទៅ

កត្តាកំណត់នៃត្រីកោណការ៉េត្រូវបានអនុវត្តដោយការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ នេះគឺជាកិច្ចការដ៏សាមញ្ញមួយដែលអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្រ្តជាច្រើន ដោយស្វែងរកអ្នករើសអើង ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta វាក៏មានវិធីក្រាហ្វិកដើម្បីដោះស្រាយផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តពីរដំបូងត្រូវបានសិក្សានៅវិទ្យាល័យ។

រូបមន្តទូទៅមើលទៅដូចនេះ៖lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

ក្បួនដោះស្រាយការប្រតិបត្តិភារកិច្ច

ដើម្បី​ធ្វើ​កត្តា​ត្រីកោណមាត្រ​ការ៉េ អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ទ្រឹស្ដី​របស់ Wit មាន​កម្មវិធី​សម្រាប់​ដោះស្រាយ​នៅ​នឹង​ដៃ អាច​រក​ដំណោះស្រាយ​តាម​ក្រាហ្វិក ឬ​ស្វែងរក​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ដឺក្រេ​ទីពីរ​តាម​រូបមន្ត​រើសអើង។ ប្រសិនបើ trinomial ការ៉េត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយវាត្រូវតែជាកត្តា នោះក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពមានដូចខាងក្រោម៖

1) ស្មើកន្សោមដើមទៅសូន្យ ដើម្បីទទួលបានសមីការ។

2) ផ្តល់លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា (ប្រសិនបើចាំបាច់) ។

3) ស្វែងរកឫសដោយវិធីសាស្រ្តដែលគេស្គាល់។ វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិចត្រូវបានប្រើយ៉ាងល្អបំផុតប្រសិនបើវាត្រូវបានដឹងជាមុនថាឫសគឺជាចំនួនគត់ និងលេខតូច។ វាត្រូវតែចងចាំថាចំនួនឫសគឺស្មើនឹងកម្រិតអតិបរមានៃសមីការ ពោលគឺសមីការការ៉េមានឫសពីរ។

4) តម្លៃជំនួស Xទៅក្នុងការបញ្ចេញមតិ (1) ។

5) សរសេរកត្តានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ។

ឧទាហរណ៍

ការអនុវត្តអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទីបំផុតយល់ពីរបៀបដែលភារកិច្ចនេះត្រូវបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍បង្ហាញពីកត្តានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ៖

អ្នកត្រូវពង្រីកកន្សោម៖

តោះប្រើក្បួនដោះស្រាយរបស់យើង៖

1) x 2 −17x+32=0

2) ពាក្យស្រដៀងគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយ

3) យោងតាមរូបមន្ត Vieta វាពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសសម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើកន្សោមសម្រាប់អ្នករើសអើង៖

D=289-128=161=(12.69) ២

4) ជំនួសឫសដែលយើងបានរកឃើញនៅក្នុងរូបមន្តចម្បងសម្រាប់ការពង្រីក:

(x-2.155) * (x-14.845)

៥) បន្ទាប់មក ចម្លើយគឺ៖

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

តោះពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយដែលរកឃើញដោយអ្នករើសអើងត្រូវគ្នានឹងរូបមន្ត Vieta៖

14,845 . 2,155=32

ចំពោះឫសទាំងនេះ ទ្រឹស្តីបទ Vieta ត្រូវបានអនុវត្ត ពួកវាត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ ដែលមានន័យថាកត្តាកត្តាដែលយើងទទួលបានក៏ត្រឹមត្រូវផងដែរ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងពង្រីក 12x 2 + 7x-6 ។

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

ក្នុងករណីមុន ដំណោះស្រាយមិនមែនជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែជាចំនួនពិត ដែលងាយស្រួលរកដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅពីមុខអ្នក។ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀត ដែលឫសមានភាពស្មុគស្មាញ៖ កត្តា x 2 + 4x + 9 ។ យោងតាមរូបមន្ត Vieta ឫសមិនអាចរកឃើញទេហើយការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ ឫសនឹងស្ថិតនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ។

ឃ=-២០

ដោយផ្អែកលើនេះយើងទទួលបានឫសដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ -4 + 2i * 5 1/2 និង -4-2i * 5 1/2 ព្រោះ (−20) 1/2 = 2i*5 1/2 ។

យើងទទួលបានការពង្រីកដែលចង់បានដោយជំនួសឫសទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ អ្នកត្រូវបែងចែកកន្សោម 23x 2 -14x + 7 ។

យើងមានសមីការ 23x 2 −14x+7 =0

ឃ=-៤៤៨

ដូច្នេះឫសគឺ 14+21,166i និង ១៤-២១.១៦៦i. ចម្លើយនឹងមានៈ

23x 2 −14x+7 =23(x- ១៤-២១.១៦៦i )*(X- 14+21.166i ).

ចូរយើងលើកឧទាហរណ៍មួយដែលអាចដោះស្រាយបាន ដោយគ្មានជំនួយពីអ្នករើសអើង។

អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីបំបែកសមីការការ៉េ x 2 −32x + 255 ។ ជាក់ស្តែង វាក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយអ្នករើសអើងផងដែរ ប៉ុន្តែវាលឿនជាងក្នុងករណីនេះ ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់។

x 1 = 15

x2=17

មធ្យោបាយ x 2 −32x + 255 =(x-15)(x-17)។

ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត។
ការជ្រើសរើសការេនៃ binomial និង factorization នៃ trinomial ការ៉េ។

កម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ។ ដក​ការេ​នៃ​លេខ​ពីរ​ចេញ​ពី​ត្រីកោណ​ការ៉េ, i.e. ធ្វើឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរទម្រង់៖
\(ax^2+bx+c \\rightarrow a(x+p)^2+q \\) និង ធ្វើកត្តាបីបួនជ្រុង៖ \\(ax^2+bx+c \\rightarrow a(x+n)(x+m) \\)

ទាំងនោះ។ បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកលេខ \(p, q \) និង \(n, m \)

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយផងដែរ។

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការចូលទៅក្នុងត្រីកោណការ៉េទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកគេ។

ច្បាប់សម្រាប់បញ្ចូលពហុនាមការ៉េ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។
ជាងនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែក្នុងទម្រង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគពីចំនួនគត់អាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើតង្កៀប. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយ កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានសម្រួលដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយលម្អិត

ការជ្រើសរើសការ៉េនៃ binomial ។$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$$$$2x^2+2x-4 = $$$$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \\right)\cdot x+2 \cdot ឆ្វេង(\frac(1)(2)\right)^2-\frac(9)(2)=$$$$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2)\right)\cdot x+\left(\frac(1)(2)\right)^2\right)-\frac(9 )(2)=$$$$2\left(x+\frac(1)(2)\right)^2-\frac(9)(2)$$ ចម្លើយ៖$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2)\right)^2-\frac(9)(2)$$ ការបំបែកឯកតា។$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$$$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2\right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$$$2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right)$$ ចម្លើយ៖$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

អ្នកបានបិទ JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូម​មេត្តា​រង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

ការ​ស្រង់​ចេញ​នៃ​ទ្វេ​នាម​ការ៉េ​ពី​ត្រីកោណ​ការ៉េ

ប្រសិនបើអ័ក្សត្រីកោណការ៉េ 2 + bx + c ត្រូវបានតំណាងជា a (x + p) 2 + q ដែល p និង q ជាចំនួនពិត នោះពួកគេនិយាយថាមកពី ការេ trinomial ការ៉េនៃ binomial ត្រូវបានបន្លិច.

ចូរ​យើង​ដក​ការេ​នៃ​ទ្វេ​នាម​ពី​ត្រីកោណមាត្រ 2x 2 +12x+14 ។

\(2x^2+12x+14=2(x^2+6x+7) \\)

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងតំណាងឱ្យ 6x ជាផលិតផលនៃ 2 * 3 * x ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមនិងដក 3 2 ។ យើង​ទទួល​បាន:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$$$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

នោះ។ យើង បាន​ជ្រើស​ការ៉េ​នៃ binomial ពី trinomial ការ៉េហើយ​បាន​បង្ហាញ​ថា​:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

ការបំបែកឯកតានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ

ប្រសិនបើអ័ក្សត្រីកោណការ៉េ 2 +bx+c ត្រូវបានតំណាងជា a(x+n)(x+m) ដែល n និង m ជាចំនួនពិត នោះប្រតិបត្តិការត្រូវបានគេនិយាយថានឹងត្រូវបានអនុវត្ត កត្តានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ.

ចូរយើងប្រើឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពីរបៀបដែលការបំប្លែងនេះត្រូវបានធ្វើ។

ចូរធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េ 2x 2 +4x-6 ។

ចូរយើងយកមេគុណចេញពីតង្កៀប i.e. ២៖
\(2x^2+4x-6=2(x^2+2x-3) \\)

ចូរបំប្លែងកន្សោមក្នុងតង្កៀប។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងតំណាងឱ្យ 2x ជាភាពខុសគ្នា 3x-1x និង -3 ជា -1 * 3 ។ យើង​ទទួល​បាន:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3)$$

នោះ។ យើង ធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េហើយ​បាន​បង្ហាញ​ថា​:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ចំណាំថា កត្តាកំណត់នៃត្រីកោណការ៉េគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែសមីការការ៉េដែលត្រូវគ្នានឹងត្រីកោណមាត្រនេះមានឫសគល់។
ទាំងនោះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង កត្តាត្រីកោណមាត្រ 2x 2 +4x-6 គឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើសមីការការ៉េ 2x 2 +4x-6 = 0 មានឫស។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការបង្កើតកត្តា យើងបានរកឃើញថាសមីការ 2x 2 +4x-6 =0 មានឫសពីរ 1 និង −3 ពីព្រោះ ជាមួយនឹងតម្លៃទាំងនេះ សមីការ 2(x-1)(x+3)=0 ប្រែទៅជាសមភាពពិត។

សៀវភៅ (សៀវភៅសិក្សា) អរូបីនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម និងការធ្វើតេស្ត OGE តាមអ៊ីនធឺណិត ហ្គេម ល្បែងផ្គុំរូប ក្រាហ្វនៃមុខងារ វចនានុក្រមអក្ខរាវិរុទ្ធនៃភាសារុស្សី វចនានុក្រមពាក្យស្លោកយុវជន កាតាឡុកសាលារុស្ស៊ី កាតាឡុកសាលាមធ្យមសិក្សាក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ី កាតាឡុកនៃសាកលវិទ្យាល័យរុស្ស៊ី បញ្ជីកិច្ចការ

ការបំបែកឯកតានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េអាចមានប្រយោជន៍នៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពពីបញ្ហា C3 ឬបញ្ហាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ C5 ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ បញ្ហាពាក្យ B13 ជាច្រើននឹងត្រូវបានដោះស្រាយកាន់តែលឿន ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ជាការពិតណាស់ទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានពិចារណាពីទស្សនៈនៃថ្នាក់ទី 8 ដែលវាត្រូវបានឆ្លងកាត់ជាលើកដំបូង។ ប៉ុន្តែភារកិច្ចរបស់យើងគឺត្រូវរៀបចំឱ្យបានល្អសម្រាប់ការប្រឡង និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយភារកិច្ចប្រឡងឱ្យមានប្រសិទ្ធភាពតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ដូច្នេះហើយ ក្នុងមេរៀននេះ វិធីសាស្រ្តគឺខុសគ្នាបន្តិចពីសាលា។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vietaដឹង (ឬយ៉ាងហោចណាស់បានឃើញ) ជាច្រើន៖

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ដែល `a, b` និង `c` គឺជាមេគុណនៃត្រីកោណការ៉េ `ax^2+bx+c` ។

ដើម្បីរៀនពីរបៀបប្រើទ្រឹស្តីបទយ៉ាងងាយស្រួល ចូរយើងយល់ថាវាមកពីណា (វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំតាមវិធីនេះ)។

ចូរ​យើង​មាន​សមីការ `ax^2+ bx+ c=0`។ ដើម្បីភាពងាយស្រួលបន្ថែមទៀត យើងបែងចែកវាដោយ `a` ហើយទទួលបាន `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`។ សមីការបែបនេះ ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ។

ចំណុចសំខាន់នៃមេរៀន៖ ពហុធាការ៉េណាមួយដែលមានឫសអាចត្រូវបានបំបែកទៅជាតង្កៀប។ឧបមាថារបស់យើងអាចត្រូវបានតំណាងជា `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` ដែល `k` និង `l` - អថេរមួយចំនួន។

សូមមើលពីរបៀបដែលតង្កៀបបើក៖

$$(x+k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

ដូច្នេះ `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`។

នេះគឺខុសគ្នាបន្តិចពីការបកស្រាយបុរាណ ទ្រឹស្ដីរបស់វីតា- នៅក្នុងវាយើងកំពុងស្វែងរកឫសនៃសមីការ។ ខ្ញុំស្នើឱ្យរកមើលលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ ការពង្រីកតង្កៀប- ដូច្នេះអ្នកមិនចាំបាច់ចាំអំពីដកពីរូបមន្តទេ (មានន័យថា `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`)។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជ្រើសរើសលេខបែបនេះចំនួនពីរដែលផលបូកស្មើនឹងមេគុណមធ្យម ហើយផលិតផលស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។

ប្រសិនបើយើងត្រូវការដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ នោះវាច្បាស់ណាស់៖ ឫស `x=-k` ឬ `x=-l` (ចាប់តាំងពីក្នុងករណីទាំងនេះ តង្កៀបមួយត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ វាមានន័យថាកន្សោមទាំងមូលនឹង ស្មើនឹងសូន្យ) ។

ឧទាហរណ៍ ខ្ញុំនឹងបង្ហាញ algorithm, របៀបបំប្លែងពហុនាមការ៉េទៅជាតង្កៀប។

ឧទាហរណ៍មួយ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការបំបែកត្រីកោណការ៉េ

ផ្លូវដែលយើងមានគឺត្រីកោណការ៉េ `x^2+5x+4`។

វាត្រូវបានកាត់បន្ថយ (មេគុណនៃ `x^2` គឺស្មើនឹងមួយ)។ គាត់មានឫស។ (ដើម្បីឱ្យប្រាកដ អ្នកអាចប៉ាន់ស្មានអ្នករើសអើង ហើយត្រូវប្រាកដថាវាធំជាងសូន្យ។ )

ជំហានបន្ថែមទៀត (ពួកគេត្រូវរៀនដោយការបំពេញកិច្ចការបណ្តុះបណ្តាលទាំងអស់)៖

1. កំណត់ចំណាំខាងក្រោម៖ $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots)។$$ ទុកកន្លែងទំនេរជំនួសឱ្យចំនុច យើងនឹងបន្ថែមលេខសមរម្យ និងសញ្ញានៅទីនោះ។
2. មើលទាំងអស់។ ជម្រើសដែលអាចធ្វើបានរបៀប​ដែល​អ្នក​អាច​បំបែក​លេខ `4` ទៅជា​ផលគុណ​នៃ​លេខ​ពីរ។ យើងទទួលបានគូនៃ "បេក្ខជន" សម្រាប់ឫសនៃសមីការ៖ `2, 2` និង `1, 4` ។
3. ប៉ាន់ស្មានពីគូណាដែលអ្នកអាចទទួលបានមេគុណមធ្យម។ ជាក់ស្តែងវាគឺ `1, 4`។
4. សរសេរ $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ ។
5. ជំហានបន្ទាប់គឺត្រូវដាក់សញ្ញានៅពីមុខលេខដែលបានបញ្ចូល។

   តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់និងចងចាំជារៀងរហូតថាតើសញ្ញាអ្វីខ្លះគួរតែនៅពីមុខលេខនៅក្នុងតង្កៀប? ព្យាយាមពង្រីកពួកវា (តង្កៀប) ។ មេគុណមុន `x` ដល់ថាមពលទីមួយនឹងជា `(± 4 ± 1)` (យើងមិនទាន់ដឹងពីសញ្ញា - យើងត្រូវជ្រើសរើស) ហើយវាគួរតែស្មើនឹង `5` ។ ជាក់ស្តែង នឹងមានបូកពីរនៅទីនេះ $$x^2+5x+4=(x+4)(x+1)$$។

   អនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះច្រើនដង (ជំរាបសួរ កិច្ចការបណ្តុះបណ្តាល!) ហើយនឹងមិនមានបញ្ហាអ្វីទៀតជាមួយនេះទេ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដោះស្រាយសមីការ `x^2+5x+4` នោះឥឡូវនេះដំណោះស្រាយរបស់វាមិនពិបាកទេ។ ឫសរបស់វាគឺ `-4, -1` ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ។ ការបំបែកឯកតានៃត្រីកោណការ៉េដែលមានមេគុណនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការ `x^2-x-2=0` ។ Offhand អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន។

យើងធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយ។

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. មាន​តែ​កត្តា​ចំនួនគត់​មួយ​នៃ 2: `2 · 1`។
3. យើងរំលងចំណុច - គ្មានអ្វីដែលត្រូវជ្រើសរើសទេ។
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. ផលិតផលនៃលេខរបស់យើងគឺអវិជ្ជមាន (`-2` គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ) ដែលមានន័យថាមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានអវិជ្ជមាន និងមួយទៀតវិជ្ជមាន។
   ដោយសារផលបូករបស់ពួកគេស្មើនឹង `-1` (មេគុណនៃ `x`) នោះ `2` នឹងអវិជ្ជមាន (ការពន្យល់ដោយវិចារណញាណ - ពីរគឺធំជាងនៃចំនួនទាំងពីរ វានឹង "ទាញ" បន្ថែមទៀតក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន)។ យើងទទួលបាន $$x^2-x-2=(x − 2) (x + 1).$$

ឧទាហរណ៍ទីបី។ ការបំបែកឯកតានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ

សមីការ `x^2+5x −84 = 0` ។

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots) ។$$
2. ការរលាយនៃ 84 ទៅជាកត្តាចំនួនគត់៖ `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`។
3. ដោយសារយើងត្រូវការភាពខុសគ្នា (ឬផលបូក) នៃលេខទៅជា 5 នោះគូ `7, 12` នឹងធ្វើ។
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7)។$$
5. $$x+ 5x-84=(x+12)(x − 7).$$

ក្តីសង្ឃឹម ការរលាយនៃត្រីកោណការ៉េនេះទៅជាតង្កៀបច្បាស់។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ នោះវាគឺ៖ `12, -7`។

ភារកិច្ចសម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាល

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលងាយស្រួលធ្វើ ត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។(ឧទាហរណ៍ដកស្រង់ចេញពីគណិតវិទ្យា ឆ្នាំ ២០០២។ )

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

ពីរបីឆ្នាំបន្ទាប់ពីអត្ថបទនេះត្រូវបានសរសេរ បណ្តុំនៃកិច្ចការចំនួន 150 បានលេចឡើងសម្រាប់ការពង្រីកពហុធាចតុកោណដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ចូលចិត្តនិងសួរសំណួរនៅក្នុងមតិយោបល់!

ឧទាហរណ៍ចំនួន 8 នៃកត្តានៃពហុនាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពួកវារួមបញ្ចូលឧទាហរណ៍ជាមួយការដោះស្រាយសមីការការ៉េ និងចតុកោណ គំរូដែលមានពហុនាមកើតឡើងដដែលៗ និងឧទាហរណ៍ជាមួយការស្វែងរកឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដឺក្រេទីបី និងទីបួន។

1. ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ

ឧទាហរណ៍ 1.1

x 4 + x 3 − 6 x 2.

ដំណោះស្រាយ

យក x 2 សម្រាប់តង្កៀប៖
.
2 + x − 6 = 0:
.
ឫសសមីការ៖
, .

.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ 1.2

កត្តាពហុធាដឺក្រេទីបី៖
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

ដំណោះស្រាយ

យើងយក x ចេញពីតង្កៀប៖
.
យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 + 6 x + 9 = 0:
ការរើសអើងរបស់វាគឺ។
ដោយសារការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ ឫសនៃសមីការគឺគុណនឹង៖ ;
.

ពីទីនេះយើងទទួលបាន decomposition នៃ polynomial ទៅជាកត្តា៖
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ 1.3

កត្តាពហុនាមដឺក្រេទីប្រាំ៖
x 5 − 2 x 4 + 10 x 3.

ដំណោះស្រាយ

យក x 3 សម្រាប់តង្កៀប៖
.
យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 − 2 x + 10 = 0.
ការរើសអើងរបស់វាគឺ។
ដោយសារការរើសអើងមានតិចជាងសូន្យ ឫសគល់នៃសមីការគឺស្មុគស្មាញ៖ ;
, .

កត្តាបែងចែកពហុនាមមានទម្រង់៖
.

ប្រសិនបើយើងចាប់អារម្មណ៍លើកត្តាជាមួយមេគុណពិត នោះ៖
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍នៃកត្តាពហុនាមដោយប្រើរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍ជាមួយពហុនាមទ្វេ

ឧទាហរណ៍ 2.1

ធ្វើ​កត្តា​ពហុធា​ទ្វេភាគី៖
x 4 + x 2 − 20.

ដំណោះស្រាយ

អនុវត្តរូបមន្ត៖
ក 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) ២;
ក 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ 2.2

កត្តាពហុនាមដែលកាត់បន្ថយទៅជា biquadratic៖
x 8 + x 4 + 1.

ដំណោះស្រាយ

អនុវត្តរូបមន្ត៖
ក 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) ២;
ក 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ 2.3 ជាមួយពហុនាមដែលកើតឡើងដដែលៗ

ការចាត់ថ្នាក់ពហុនាមដែលកើតឡើងវិញ៖
.

ដំណោះស្រាយ

ពហុវចនៈដែលប្រើឡើងវិញមានកម្រិតសេស។ ដូច្នេះវាមានឫស x = - 1 . យើងបែងចែកពហុនាមដោយ x - (−1) = x + 1. ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
.
យើងធ្វើការជំនួស៖
, ;
;


;
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍នៃកត្តាពហុនាមដែលមានចំនួនគត់ឬស

ឧទាហរណ៍ 3.1

កត្តាពហុនាម៖
.

ដំណោះស្រាយ

ឧបមាថាសមីការ

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(−6) 3 − 6 (−6) 2 + 11 (−6) − 6 = -504;
(−3) 3 − 6 (−3) 2 + 11 (−3) − 6 = −120;
(−2) 3 − 6 (−2) 2 + 11 (−2) − 6 = −60;
(−1) 3 − 6 (−1) 2 + 11 (−1) − 6 = −24;
1 3 − 6 1 2 + 11 1 − 6 = 0;
2 3 − 6 2 2 + 11 2 − 6 = 0;
3 3 − 6 3 2 + 11 3 − 6 = 0;
6 3 − 6 6 2 + 11 6 − 6 = 60.

ដូច្នេះយើងបានរកឃើញឫសចំនួនបី៖
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
ដោយសារពហុធាដើមមានសញ្ញាបត្រទី 3 វាមិនមានឫសលើសពីបីទេ។ ចាប់តាំងពីយើងបានរកឃើញឫសបីពួកគេមានលក្ខណៈសាមញ្ញ។ បន្ទាប់មក
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ 3.2

កត្តាពហុនាម៖
.

ដំណោះស្រាយ

ឧបមាថាសមីការ

មានឫសចំនួនគត់យ៉ាងតិចមួយ។ បន្ទាប់មកវាគឺជាការបែងចែកលេខ 2 (សមាជិកដោយគ្មាន x) ។ នោះគឺឫសទាំងមូលអាចជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខ៖
-2, -1, 1, 2 .
ជំនួសតម្លៃទាំងនេះម្តងមួយៗ៖
(−2) 4 + 2 (−2) 3 + 3 (−2) 3 + 4 (−2) + 2 = 6 ;
(−1) 4 + 2 (−1) 3 + 3 (−1) 3 + 4 (−1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមីការនេះមានឫសចំនួនគត់ នោះវាគឺជាផ្នែកចែកនៃចំនួន 2 (សមាជិកដោយគ្មាន x) ។ នោះគឺឫសទាំងមូលអាចជាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខ៖
1, 2, -1, -2 .
ជំនួស x = -1 :
.

ដូច្នេះយើងបានរកឃើញ root x មួយទៀត 2 = -1 . វាអាចទៅរួចដូចករណីមុន ដើម្បីបែងចែកពហុនាមដោយ ប៉ុន្តែយើងនឹងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌ៖
.

ចាប់តាំងពីសមីការ x 2 + 2 = 0 មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ បន្ទាប់មកកត្តានៃពហុធាមានទម្រង់។