មាន​ចំនួន​ច្រើន​មិន​គួរ​ឱ្យ​ជឿ ធំ​មិន​គួរ​ឱ្យ​ជឿ​ដែល​វា​នឹង​យក​សាកលលោក​ទាំង​មូល​សូម្បី​តែ​សរសេរ​វា​ចុះ។ ប៉ុន្តែនេះគឺជាអ្វីដែលគួរឱ្យស្ញប់ស្ញែង... មួយចំនួនធំដែលមិនអាចយល់បានទាំងនេះ មានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីពិភពលោក។

នៅពេលខ្ញុំនិយាយថា "ចំនួនធំបំផុតនៅក្នុងសកលលោក" ខ្ញុំពិតជាមានន័យថាធំបំផុត សំខាន់លេខ ជាចំនួនអតិបរមាដែលអាចធ្វើទៅបាន ដែលមានប្រយោជន៍ក្នុងមធ្យោបាយណាមួយ។ មានគូប្រជែងជាច្រើនសម្រាប់ចំណងជើងនេះ ប៉ុន្តែខ្ញុំព្រមានអ្នកភ្លាមៗ៖ វាពិតជាមានហានិភ័យដែលការព្យាយាមយល់ពីរឿងទាំងអស់នេះនឹងធ្វើឱ្យអ្នកចាប់អារម្មណ៍។ ហើយក្រៅពីនេះ ជាមួយនឹងគណិតវិទ្យាច្រើនពេក អ្នកទទួលបានភាពសប្បាយរីករាយតិចតួច។

Googol និង googolplex

លោក Edward Kasner

យើងអាចចាប់ផ្តើមដោយលេខពីរ ដែលទំនងជាលេខដ៏ធំបំផុតដែលអ្នកមិនធ្លាប់បានឮ ហើយទាំងនេះគឺជាលេខដ៏ធំបំផុតទាំងពីរដែលបានទទួលនិយមន័យជាទូទៅនៅក្នុងភាសាអង់គ្លេស។ (មាននាមវចនានុក្រមច្បាស់លាស់ដែលប្រើសម្រាប់លេខធំតាមដែលអ្នកចង់បាន ប៉ុន្តែលេខទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានរកឃើញក្នុងវចនានុក្រមនាពេលបច្ចុប្បន្នទេ។) Google ចាប់តាំងពីវាមានភាពល្បីល្បាញទូទាំងពិភពលោក (ទោះបីជាមានកំហុសក៏ដោយ ចំណាំ។ តាមពិតវាគឺជាហ្គូហ្គោល) នៅក្នុង ទម្រង់នៃ Google កើតនៅឆ្នាំ 1920 ជាមធ្យោបាយមួយដើម្បីឱ្យកុមារចាប់អារម្មណ៍លើចំនួនធំ។

ដល់ទីបញ្ចប់នេះ Edward Kasner (រូបភាព) បាននាំក្មួយប្រុសពីរនាក់របស់គាត់គឺ Milton និង Edwin Sirott ទៅដំណើរកម្សាន្តនៅ New Jersey Palisades ។ គាត់បានអញ្ជើញពួកគេឱ្យបង្កើតគំនិតណាមួយ ហើយបន្ទាប់មក មីលតុន អាយុប្រាំបួនឆ្នាំបានស្នើ "ហ្គូហ្គោល" ។ គាត់​បាន​ពាក្យ​នេះ​មក​ពី​ណា​គេ​មិន​ដឹង​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ Kasner បាន​សម្រេច​ចិត្ត ឬលេខមួយរយសូន្យ តាមលេខមួយនឹងត្រូវបានគេហៅថា ហ្គូហ្គោល។

ប៉ុន្តែ Milton វ័យក្មេងមិនបានឈប់នៅទីនោះទេ គាត់បានមកជាមួយនឹងលេខធំជាងនេះគឺ googolplex ។ វាជាលេខយោងទៅតាម Milton ដែលមានលេខ 1 ដំបូងហើយបន្ទាប់មកលេខសូន្យច្រើនតាមដែលអ្នកអាចសរសេរមុនពេលអ្នកអស់កម្លាំង។ ខណៈពេលដែលគំនិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ Kasner មានអារម្មណ៍ថាត្រូវការនិយមន័យផ្លូវការបន្ថែមទៀត។ ដូចដែលគាត់បានពន្យល់នៅក្នុងសៀវភៅ Mathematics and the Imagination ឆ្នាំ 1940 របស់គាត់ និយមន័យរបស់ Milton ទុកនូវលទ្ធភាពដ៏គ្រោះថ្នាក់ដែលថា អ្នកកំប្លែងម្តងម្កាលអាចក្លាយជាគណិតវិទូពូកែជាង Albert Einstein ដោយគ្រាន់តែគាត់មានការស៊ូទ្រាំច្រើនជាង។

ដូច្នេះ Kasner បានសម្រេចចិត្តថា googolplex នឹងជា , ឬ 1 បន្តដោយ googol នៃសូន្យ។ បើមិនដូច្នេះទេ ហើយនៅក្នុងសញ្ញាណស្រដៀងនឹងលេខដែលយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយលេខផ្សេងទៀត យើងនឹងនិយាយថា googolplex គឺ . ដើម្បីបង្ហាញពីភាពទាក់ទាញនេះ លោក Carl Sagan ធ្លាប់បានកត់សម្គាល់ថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសរសេរលេខសូន្យទាំងអស់នៃ googolplex ពីព្រោះវាមិនមានបន្ទប់គ្រប់គ្រាន់នៅក្នុងសកលលោក។ ប្រសិនបើបរិមាណទាំងមូលនៃចក្រវាឡដែលអាចសង្កេតបានគឺពោរពេញទៅដោយភាគល្អិតធូលីល្អិតៗដែលមានទំហំប្រហែល 1.5 មីក្រូន នោះចំនួននៃវិធីផ្សេងគ្នាដែលភាគល្អិតទាំងនេះអាចត្រូវបានរៀបចំនឹងមានប្រហែលស្មើនឹង googolplex មួយ។

និយាយតាមភាសាវិទ្យា googol និង googolplex ប្រហែលជាលេខសំខាន់ពីរ (យ៉ាងហោចណាស់ជាភាសាអង់គ្លេស) ប៉ុន្តែដូចដែលយើងនឹងបង្កើតឥឡូវនេះ មានវិធីជាច្រើនមិនចេះចប់ដើម្បីកំណត់ "សារៈសំខាន់" ។

ពិភព​ពិត

ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីចំនួនដ៏សំខាន់បំផុតនោះ មានអំណះអំណាងសមហេតុផលដែលនេះពិតជាមានន័យថាអ្នកត្រូវស្វែងរកលេខធំបំផុតជាមួយនឹងតម្លៃដែលពិតជាមាននៅក្នុងពិភពលោក។ យើងអាចចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងចំនួនប្រជាជនបច្ចុប្បន្ន ដែលបច្ចុប្បន្នមានប្រហែល 6920 លាននាក់។ GDP ពិភពលោកក្នុងឆ្នាំ 2010 ត្រូវបានគេប៉ាន់ប្រមាណថាមានប្រហែល $61,960 ពាន់លានដុល្លារ ប៉ុន្តែចំនួនទាំងពីរនេះគឺតូចបើធៀបនឹងកោសិកាប្រហែល 100 ពាន់ពាន់លានដែលបង្កើតជារាងកាយរបស់មនុស្ស។ ជាការពិតណាស់ គ្មានលេខណាមួយអាចប្រៀបធៀបជាមួយនឹងចំនួនសរុបនៃភាគល្អិតក្នុងសកលលោក ដែលជាធម្មតាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមានចំនួនប្រហែល ហើយចំនួននេះមានទំហំធំដែលភាសារបស់យើងមិនមានពាក្យសម្រាប់វានោះទេ។

យើង​អាច​លេង​ជាមួយ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​រង្វាស់​បន្តិច ដោយ​ធ្វើ​ឱ្យ​លេខ​កាន់តែ​ធំ​ទៅៗ។ ដូច្នេះម៉ាស់ព្រះអាទិត្យគិតជាតោននឹងមានតិចជាងគិតជាផោន។ មធ្យោបាយដ៏ល្អក្នុងការធ្វើនេះគឺត្រូវប្រើឯកតា Planck ដែលជាវិធានការតូចបំផុតដែលច្បាប់រូបវិទ្យានៅតែរក្សា។ ឧទាហរណ៍ អាយុនៃសកលលោកនៅក្នុងពេលវេលា Planck គឺប្រហែល . ប្រសិនបើយើងត្រលប់ទៅអង្គភាពពេលវេលា Planck ដំបូងបន្ទាប់ពី Big Bang យើងនឹងឃើញថាដង់ស៊ីតេនៃសកលលោកគឺនៅពេលនោះ។ យើង​កាន់​តែ​ច្រើន​ឡើងៗ ប៉ុន្តែ​យើង​មិន​ទាន់​បាន​ទៅ​ដល់ googol នៅ​ឡើយ​ទេ។

ចំនួនដ៏ធំបំផុតជាមួយនឹងកម្មវិធីពិភពលោកពិតណាមួយ—ឬក្នុងករណីនេះ កម្មវិធីពិភពលោកពិត—គឺប្រហែលជាការប៉ាន់ប្រមាណចុងក្រោយបំផុតមួយនៃចំនួនសកលលោកនៅក្នុងពហុវិស័យ។ ចំនួននេះធំណាស់ ដែលខួរក្បាលមនុស្សមិនអាចយល់ឃើញពីចក្រវាឡផ្សេងៗទាំងអស់នោះទេ ព្រោះខួរក្បាលមានសមត្ថភាពត្រឹមតែកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធប្រហាក់ប្រហែលប៉ុណ្ណោះ។ តាមពិតលេខនេះប្រហែលជាលេខធំបំផុតដែលមានអត្ថន័យជាក់ស្តែងណាមួយ ប្រសិនបើអ្នកមិនគិតពីគំនិតនៃពហុវចនៈទាំងមូល។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ នៅ​មាន​ចំនួន​ច្រើន​ទៀត​កំពុង​លាក់​ខ្លួន​នៅ​ទី​នោះ។ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងត្រូវចូលទៅក្នុងអាណាចក្រនៃគណិតវិទ្យាសុទ្ធ ហើយគ្មានកន្លែងណាល្អជាងការចាប់ផ្តើមលេខដំបូងឡើយ។

Mersenne primes

ផ្នែកមួយនៃការលំបាកកំពុងកើតឡើងជាមួយនឹងនិយមន័យដ៏ល្អនៃអ្វីដែលជាលេខ "មានន័យ" ។ វិធីមួយគឺត្រូវគិតក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ primes និង composites។ លេខបឋម ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាចងចាំពីគណិតវិទ្យារបស់សាលា គឺជាចំនួនធម្មជាតិណាមួយ (មិនស្មើនឹងមួយ) ដែលអាចបែងចែកបានដោយខ្លួនវាប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ហើយ​ជា​លេខ​សំខាន់ និង​ជា​លេខ​ផ្សំ។ នេះមានន័យថាលេខផ្សំណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយផ្នែកសំខាន់ៗរបស់វា។ ក្នុងន័យមួយ លេខគឺសំខាន់ជាងនិយាយ ពីព្រោះគ្មានវិធីដើម្បីបង្ហាញវាទាក់ទងនឹងផលិតផលនៃលេខតូចជាងនោះទេ។

ជាក់ស្តែង យើងអាចទៅបានបន្តិចទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ តាមពិតទៅគឺគ្រាន់តែ មានន័យថានៅក្នុងពិភពសម្មតិកម្មមួយ ដែលចំណេះដឹងរបស់យើងអំពីចំនួនត្រូវបានកំណត់ត្រឹម អ្នកគណិតវិទូនៅតែអាចបង្ហាញបាន។ ប៉ុន្តែលេខបន្ទាប់គឺសំខាន់រួចទៅហើយ ដែលមានន័យថាមធ្យោបាយតែមួយគត់ដើម្បីបង្ហាញវាគឺត្រូវដឹងដោយផ្ទាល់អំពីអត្ថិភាពរបស់វា។ នេះមានន័យថាលេខបឋមដែលគេស្គាល់ធំជាងគេដើរតួយ៉ាងសំខាន់ ប៉ុន្តែនិយាយថា ហ្គូហ្គោល - ដែលចុងក្រោយគ្រាន់តែជាបណ្តុំនៃលេខ ហើយគុណនឹងគ្នា - តាមពិតមិនមែនទេ។ ហើយចាប់តាំងពីលេខបឋមភាគច្រើនគឺចៃដន្យ វាមិនមានវិធីដែលអាចដឹងដើម្បីទស្សន៍ទាយថាចំនួនដ៏ធំមិនគួរឱ្យជឿនឹងក្លាយជាលេខសំខាន់នោះទេ។ រហូត​មក​ដល់​សព្វ​ថ្ងៃ​នេះ ការ​រក​ឃើញ​លេខ​សំខាន់​ថ្មី​គឺ​ជា​កិច្ចការ​ដ៏​លំបាក។

គណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិចបុរាណមានគំនិតនៃលេខបឋមយ៉ាងហោចណាស់នៅដើមឆ្នាំ 500 មុនគ្រឹស្តសករាជ ហើយ 2000 ឆ្នាំក្រោយមកមនុស្សនៅតែដឹងតែចំនួនបឋមរហូតដល់ប្រហែល 750 ។ អ្នកគិតរបស់ Euclid បានមើលឃើញពីលទ្ធភាពនៃភាពសាមញ្ញ ប៉ុន្តែរហូតដល់គណិតវិទូក្រុមហ៊ុន Renaissance អាច ពិតជាមិនប្រើវាក្នុងការអនុវត្ត។ លេខទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាលេខ Mersenne ហើយត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំង Marina Mersenne ក្នុងសតវត្សទី 17 ។ គំនិតនេះគឺសាមញ្ញណាស់៖ លេខ Mersenne គឺជាលេខណាមួយនៃទម្រង់។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ហើយលេខនេះគឺសំខាន់ គឺដូចគ្នាសម្រាប់ .

Mersenne primes គឺលឿនជាង និងងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ជាងប្រភេទ primes ផ្សេងទៀត ហើយកុំព្យូទ័រមានការលំបាកក្នុងការស្វែងរកពួកវាក្នុងរយៈពេលប្រាំមួយទសវត្សរ៍កន្លងមកនេះ។ រហូតមកដល់ឆ្នាំ 1952 លេខបឋមដែលគេស្គាល់ច្រើនបំផុតគឺលេខ - លេខដែលមានលេខ។ ក្នុងឆ្នាំដដែលនោះ វាត្រូវបានគណនាលើកុំព្យូទ័រថាលេខគឺសំខាន់ ហើយលេខនេះមានខ្ទង់ ដែលធ្វើឱ្យវាធំជាង ហ្គូហ្គោលរួចទៅហើយ។

កុំព្យូទ័របានឈានមុខគេតាំងពីពេលនោះមក ហើយលេខ Mersenne បច្ចុប្បន្នគឺជាលេខធំបំផុតដែលមនុស្សជាតិស្គាល់។ រកឃើញក្នុងឆ្នាំ ២០០៨ វាជាលេខដែលមានខ្ទង់ជិតរាប់លានខ្ទង់។ នេះគឺជាលេខដែលគេស្គាល់ធំជាងគេ ដែលមិនអាចបង្ហាញជាលេខតូចជាងនេះបានទេ ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់ជួយស្វែងរកលេខ Mersenne ធំជាងនេះ អ្នក (និងកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក) តែងតែអាចចូលរួមការស្វែងរកនៅ http://www.mersenne ។ org/ ។

លេខ Skewes

Stanley Skuse

ចូរយើងត្រលប់ទៅលេខបឋមវិញ។ ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយពីមុនមក ពួកគេមានឥរិយាបទខុសជាមូលដ្ឋាន ដែលមានន័យថាគ្មានវិធីដើម្បីទស្សន៍ទាយថាតើលេខបន្ទាប់នឹងទៅជាយ៉ាងណានោះទេ។ គណិតវិទូត្រូវបានបង្ខំឱ្យងាកទៅរកការវាស់ស្ទង់ដ៏អស្ចារ្យមួយចំនួន ដើម្បីមករកវិធីមួយចំនួនដើម្បីទស្សន៍ទាយអនាគត សូម្បីតែនៅក្នុងវិធី nebulous មួយចំនួនក៏ដោយ។ ជោគជ័យបំផុតនៃការប៉ុនប៉ងទាំងនេះគឺប្រហែលជាមុខងារលេខសំខាន់ដែលត្រូវបានបង្កើតនៅចុងសតវត្សទី 18 ដោយគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Carl Friedrich Gauss ។

ខ្ញុំនឹងទុកអ្នកនូវគណិតវិទ្យាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ - ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនៅមានរឿងជាច្រើនដែលត្រូវមក ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៃមុខងារគឺនេះ៖ សម្រាប់ចំនួនគត់ គេអាចប៉ាន់ស្មានថាតើចំនួនបឋមមានតិចជាងប៉ុន្មាន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ , មុខងារព្យាករណ៍ថាគួរតែមានលេខបឋម ប្រសិនបើ - លេខបឋមតិចជាង , ហើយប្រសិនបើ , នោះមានលេខតូចជាងដែលជាលេខបឋម។

ការរៀបចំរបស់ primes ពិតជាមិនទៀងទាត់ ហើយគ្រាន់តែជាចំនួនប្រហាក់ប្រហែលនៃចំនួន primes ពិតប្រាកដប៉ុណ្ណោះ។ តាមការពិត យើងដឹងថាមាន primes តិចជាង , primes តិចជាង , និង primes តិចជាង . វាជាការប៉ាន់ស្មានដ៏អស្ចារ្យ ដើម្បីឱ្យប្រាកដ ប៉ុន្តែវាតែងតែគ្រាន់តែជាការប៉ាន់ស្មាន... ហើយជាពិសេសជាងនេះទៅទៀត ការប៉ាន់ស្មានពីខាងលើ។

នៅក្នុងករណីដែលគេស្គាល់ទាំងអស់រហូតដល់ មុខងារដែលរកឃើញចំនួន primes បំផ្លើសបន្តិចនូវចំនួន primes ពិតប្រាកដតិចជាង . គណិតវិទូធ្លាប់គិតថា នេះតែងតែជាករណី មិនកំណត់ការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម ហើយថានេះពិតជាអនុវត្តចំពោះចំនួនដ៏ធំដែលមិននឹកស្មានដល់ ប៉ុន្តែនៅឆ្នាំ 1914 លោក John Edensor Littlewood បានបង្ហាញថា សម្រាប់ចំនួនដែលមិនស្គាល់ និងច្រើនដែលមិនអាចនឹកស្មានដល់ មុខងារនេះនឹងចាប់ផ្តើមបង្កើតចំនួនបឋមតិចជាងមុន។ ហើយ​បន្ទាប់​មក​វា​នឹង​ប្តូរ​រវាង​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​លើស​និង​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​ចំនួន​ដង​គ្មាន​កំណត់។

ការបរបាញ់គឺសម្រាប់ចំណុចចាប់ផ្តើមនៃការប្រណាំង ហើយនោះជាកន្លែងដែល Stanley Skuse បានបង្ហាញខ្លួន (សូមមើលរូបថត)។ នៅឆ្នាំ 1933 គាត់បានបង្ហាញថាដែនកំណត់ខាងលើនៅពេលដែលមុខងារដែលប្រហាក់ប្រហែលនឹងចំនួន primes ជាលើកដំបូងផ្តល់តម្លៃតូចជាងគឺជាលេខ។ វាពិតជាពិបាកយល់ណាស់ សូម្បីតែក្នុងន័យអរូបីបំផុត ថាតើលេខនេះពិតជាអ្វី ហើយតាមទស្សនៈនេះ វាគឺជាចំនួនដ៏ធំបំផុតដែលមិនធ្លាប់មាននៅក្នុងភស្តុតាងគណិតវិទ្យាដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក គណិតវិទូអាចកាត់បន្ថយចំណងខាងលើទៅជាចំនួនតិចតួច ប៉ុន្តែលេខដើមនៅតែត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាលេខ Skewes ។

ដូច្នេះ តើ​ចំនួន​ដែល​ធ្វើ​ឱ្យ​មនុស្ស​តឿ googolplex ខ្លាំង​ប៉ុនណា? នៅក្នុងវចនានុក្រម Penguin នៃលេខដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ លោក David Wells ពិពណ៌នាអំពីវិធីមួយដែលគណិតវិទូ Hardy អាចយល់អំពីទំហំនៃលេខ Skewes៖

"Hardy គិតថាវាជា 'ចំនួនដ៏ធំបំផុតដែលមិនធ្លាប់មានដើម្បីបម្រើគោលបំណងជាក់លាក់ណាមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា' ហើយបានស្នើថា ប្រសិនបើអុកត្រូវបានលេងជាមួយភាគល្អិតទាំងអស់នៃសកលលោកជាបំណែក ចលនាមួយនឹងមានការផ្លាស់ប្តូរភាគល្អិតពីរ ហើយហ្គេមនឹងឈប់នៅពេល ទីតាំងដដែលនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាលើកទីបី បន្ទាប់មកចំនួនហ្គេមដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នឹងស្មើនឹងចំនួន Skuse''។

រឿងចុងក្រោយមុននឹងបន្ត៖ យើងបាននិយាយអំពីលេខតូចជាងនៃលេខ Skewes ទាំងពីរ។ មានលេខ Skewes មួយទៀត ដែលគណិតវិទូបានរកឃើញនៅឆ្នាំ ១៩៥៥។ លេខទីមួយគឺមកពីហេតុផលដែលហៅថា Riemann សម្មតិកម្មគឺជាការពិត - សម្មតិកម្មពិបាកជាពិសេសនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលនៅតែមិនអាចបញ្ជាក់បាន មានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅពេលនិយាយអំពីលេខបឋម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើសម្មតិកម្ម Riemann មិនពិត Skewes បានរកឃើញថា ចំណុចចាប់ផ្តើមលោតកើនឡើងដល់ .

បញ្ហានៃទំហំ

មុនពេលយើងឈានដល់លេខដែលធ្វើឱ្យសូម្បីតែលេខរបស់ Skuse មើលទៅតូច យើងត្រូវនិយាយបន្តិចអំពីមាត្រដ្ឋាន ពីព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ យើងគ្មានវិធីប៉ាន់ស្មានកន្លែងដែលយើងនឹងទៅនោះទេ។ ចូរយើងយកលេខមួយជាមុនសិន - វាជាលេខតូច ដូច្នេះមនុស្សពិតជាអាចយល់ច្បាស់អំពីអត្ថន័យរបស់វា។ មានលេខតិចតួចណាស់ដែលសមនឹងការពិពណ៌នានេះ ចាប់តាំងពីលេខធំជាងប្រាំមួយឈប់ជាលេខដាច់ដោយឡែក ហើយក្លាយជា "ច្រើន" "ច្រើន" ជាដើម។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងយក , i.e. . ទោះបីជាយើងពិតជាមិនអាចយល់បានក៏ដោយ ដូចដែលយើងបានធ្វើសម្រាប់លេខ ស្វែងយល់ពីអ្វី ស្រមៃថាវាជាអ្វី វាងាយស្រួលណាស់។ រហូតមកដល់ពេលនេះអ្វីៗដំណើរការល្អ។ ប៉ុន្តែតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងទៅ? នេះស្មើនឹង ឬ . យើងនៅឆ្ងាយពីលទ្ធភាពនៃការស្រមៃពីតម្លៃនេះ ដូចជាទំហំធំផ្សេងទៀត - យើងកំពុងបាត់បង់សមត្ថភាពក្នុងការយល់ផ្នែកនីមួយៗនៅកន្លែងណាមួយប្រហែលមួយលាន។ (ទទួលស្គាល់ថា វានឹងចំណាយពេលយូរយ៉ាងឆ្កួតលីលា ដើម្បីរាប់ដល់រាប់លាននៃអ្វីមួយ ប៉ុន្តែចំនុចនោះគឺថាយើងនៅតែអាចដឹងពីចំនួននោះ។)

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទោះបីជាយើងមិនអាចស្រមៃបានក៏ដោយ យ៉ាងហោចណាស់យើងអាចយល់បានក្នុងន័យទូទៅថា 7600 ពាន់លានគឺជាអ្វី ប្រហែលជាដោយការប្រៀបធៀបវាទៅនឹងអ្វីមួយដូចជា GDP របស់សហរដ្ឋអាមេរិក។ យើងបានឆ្លងកាត់វិចារណញាណទៅជាតំណាងឱ្យការយល់ដឹង ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់យើងនៅតែមានគម្លាតខ្លះក្នុងការយល់ដឹងរបស់យើងអំពីអ្វីដែលជាលេខ។ វាហៀបនឹងផ្លាស់ប្តូរ នៅពេលដែលយើងផ្លាស់ទីមួយជួរទៀតឡើងលើជណ្ដើរ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវប្តូរទៅសញ្ញាណដែលណែនាំដោយ Donald Knut ដែលគេស្គាល់ថាជាសញ្ញាព្រួញ។ សញ្ញាណទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា . នៅពេលយើងទៅ លេខដែលយើងទទួលបាននឹងជាលេខ។ នេះគឺស្មើនឹងចំនួនសរុបនៃបី។ ឥឡូវនេះ យើងបានលើសចំនួនដ៏ទៃទៀតដែលបានរៀបរាប់រួចហើយយ៉ាងធំធេង និងពិតប្រាកដ។ យ៉ាងណាមិញសូម្បីតែអ្នកធំជាងគេមានសមាជិកតែ 3 ឬ 4 នាក់ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុងស៊េរីសន្ទស្សន៍។ ឧទាហរណ៍ សូម្បីតែលេខកំពូលរបស់ Skuse គឺ "តែប៉ុណ្ណោះ" - ទោះបីជាការពិតដែលថាទាំងមូលដ្ឋាន និងនិទស្សន្តមានទំហំធំជាងក៏ដោយ វានៅតែគ្មានអ្វីសោះបើប្រៀបធៀបទៅនឹងទំហំនៃប៉មលេខដែលមានសមាជិករាប់ពាន់លាននាក់។

ជាក់ស្តែង វាគ្មានវិធីណាដែលអាចយល់បាននូវចំនួនដ៏ច្រើនបែបនេះទេ... ហើយយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណើរការដែលពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅតែអាចយល់បាន។ យើងមិនអាចយល់ពីចំនួនពិតដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉មនៃអំណាចដែលជាពាន់លានបីដងនោះទេ ប៉ុន្តែយើងអាចស្រមៃជាមូលដ្ឋានថាប៉មបែបនេះដែលមានសមាជិកជាច្រើន ហើយកុំព្យូទ័រទំនើបដ៏សមរម្យមួយនឹងអាចរក្សាទុកប៉មបែបនេះនៅក្នុងសតិ ទោះបីជាវាក៏ដោយ។ មិនអាចគណនាតម្លៃពិតរបស់ពួកគេបានទេ។

វា​កាន់​តែ​មាន​លក្ខណៈ​អរូបី ប៉ុន្តែ​វា​នឹង​កាន់​តែ​អាក្រក់​ទៅៗ។ អ្នកប្រហែលជាគិតថាប៉មនៃអំណាចដែលប្រវែងនិទស្សន្តគឺ (លើសពីនេះទៅទៀត នៅក្នុងកំណែមុននៃការប្រកាសនេះ ខ្ញុំបានធ្វើខុសយ៉ាងពិតប្រាកដ) ប៉ុន្តែវាគ្រាន់តែជា . នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត, ស្រមៃថាអ្នកមានសមត្ថភាពក្នុងការគណនាតម្លៃពិតប្រាកដនៃប៉មថាមពលបីដងដែលមានធាតុ, ហើយបន្ទាប់មកអ្នកយកតម្លៃនេះនិងបង្កើតប៉មថ្មីជាមួយនឹងជាច្រើននៅក្នុងវា ... ដែលផ្តល់ឱ្យ។

ដំណើរការនេះម្តងទៀតជាមួយនឹងលេខបន្តបន្ទាប់គ្នា ( ចំណាំចាប់ផ្តើមពីខាងស្តាំ) រហូតដល់អ្នកធ្វើវាម្តង ហើយបន្ទាប់មកអ្នកទទួលបាន។ នេះ​ជា​ចំនួន​ដែល​មាន​ទំហំ​ធំ​មិន​គួរ​ឱ្យ​ជឿ ប៉ុន្តែ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ជំហាន​ក្នុង​ការ​ទទួល​បាន​វា​ហាក់​ដូច​ជា​ច្បាស់​ប្រសិន​បើ​អ្វីៗ​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​យឺត​ខ្លាំង​ណាស់។ យើងមិនអាចយល់លេខ ឬស្រមៃពីនីតិវិធីដែលពួកគេទទួលបាននោះទេ ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់យើងអាចយល់ពីក្បួនដោះស្រាយជាមូលដ្ឋានបានតែក្នុងរយៈពេលយូរគ្រប់គ្រាន់ប៉ុណ្ណោះ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​រៀបចំ​ចិត្ត​ដើម្បី​បំផ្ទុះ​វា។

លេខរបស់ Graham (Graham)

លោក Ronald Graham

នេះជារបៀបដែលអ្នកទទួលបានលេខរបស់ Graham ដែលជាប់ក្នុងសៀវភៅកំណត់ត្រាពិភពលោក Guinness ជាលេខធំបំផុតមិនធ្លាប់មាននៅក្នុងភស្តុតាងគណិតវិទ្យា។ វាពិតជាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រមៃមើលថាតើវាធំប៉ុនណា ហើយវាក៏ពិបាកនឹងពន្យល់យ៉ាងច្បាស់ថាវាជាអ្វីដែរ។ ជាទូទៅលេខរបស់ Graham ចូលមកលេងនៅពេលដោះស្រាយជាមួយ hypercubes ដែលជាទម្រង់ធរណីមាត្រទ្រឹស្តីដែលមានវិមាត្រច្រើនជាងបី។ គណិតវិទូ Ronald Graham (មើលរូបថត) ចង់រកឱ្យឃើញនូវអ្វីដែលជាចំនួនតូចបំផុតនៃវិមាត្រដែលនឹងរក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់នៃ hypercube មានស្ថេរភាព។ (សូមអភ័យទោសចំពោះការពន្យល់មិនច្បាស់លាស់នេះ ប៉ុន្តែខ្ញុំប្រាកដថាយើងទាំងអស់គ្នាត្រូវការសញ្ញាបត្រគណិតវិទ្យាយ៉ាងតិចពីរដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែត្រឹមត្រូវ។)

ក្នុងករណីណាក៏ដោយលេខ Graham គឺជាការប៉ាន់ស្មានខាងលើនៃចំនួនអប្បបរមានៃវិមាត្រនេះ។ ដូច្នេះ​តើ​ព្រំដែន​ខាងលើ​នេះ​ធំ​ប៉ុនណា​? ចូរយើងត្រលប់ទៅលេខដែលមានទំហំធំ ដើម្បីឱ្យយើងអាចយល់ពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការទទួលបានវាដោយមិនច្បាស់លាស់។ ឥឡូវនេះ ជំនួសឱ្យការលោតឡើងមួយកម្រិតទៀត យើងនឹងរាប់ចំនួនដែលមានព្រួញនៅចន្លោះបីដងដំបូង និងចុងក្រោយ។ ឥឡូវនេះយើងហួសពីការយល់តិចតួចបំផុតនៃចំនួននេះ ឬសូម្បីតែអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវធ្វើដើម្បីគណនាវា។

ឥឡូវនេះ ដំណើរការនេះម្តងទៀត ( ចំណាំនៅជំហានបន្ទាប់នីមួយៗ យើងសរសេរចំនួនព្រួញស្មើនឹងលេខដែលទទួលបាននៅជំហានមុន)។

នេះ​ជា​ចំនួន​របស់​លោក Graham ដែល​មាន​ទំហំ​លើស​ពី​ការ​យល់​ដឹង​របស់​មនុស្ស។ វាគឺជាលេខដែលធំជាងលេខណាមួយដែលអ្នកអាចស្រមៃបាន - វាធំជាងភាពគ្មានដែនកំណត់ដែលអ្នកអាចសង្ឃឹមក្នុងការស្រមៃ - វាគ្រាន់តែប្រឆាំងនឹងការពិពណ៌នាអរូបីបំផុត។

ប៉ុន្តែ​នេះ​ជា​រឿង​ចម្លែក។ ដោយសារចំនួនរបស់ Graham ជាមូលដ្ឋានគ្រាន់តែគុណនឹងបីជាមួយគ្នា យើងដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់វាដោយមិនបានគណនាពិតប្រាកដ។ យើងមិនអាចតំណាងឱ្យលេខរបស់លោក Graham នៅក្នុងសញ្ញាសម្គាល់ណាមួយដែលយើងធ្លាប់ស្គាល់នោះទេ ទោះបីជាយើងបានប្រើសកលលោកទាំងមូលដើម្បីសរសេរវាក៏ដោយ ប៉ុន្តែខ្ញុំអាចផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវដប់ពីរខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខរបស់ Graham នៅពេលនេះ៖ . ហើយនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ៖ យើងដឹងយ៉ាងហោចណាស់ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខរបស់ Graham ។

ជាការពិតណាស់ វាគួរអោយចងចាំថា លេខនេះគឺគ្រាន់តែជាចំណងខាងលើនៅក្នុងបញ្ហាដើមរបស់ Graham ប៉ុណ្ណោះ។ វាអាចទៅរួចដែលថាចំនួនពិតប្រាកដនៃរង្វាស់ដែលត្រូវការដើម្បីបំពេញទ្រព្យសម្បត្តិដែលចង់បានគឺច្រើនតិច។ ជាការពិត ចាប់តាំងពីទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1980 មក វាត្រូវបានអ្នកជំនាញភាគច្រើននៅក្នុងវិស័យនេះជឿថា វាមានវិមាត្រត្រឹមតែប្រាំមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលជាចំនួនតូចមួយដែលយើងអាចយល់បានក្នុងកម្រិតវិចារណញាណ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ព្រំដែនទាបត្រូវបានកើនឡើងដល់ ប៉ុន្តែនៅតែមានឱកាសដ៏ល្អដែលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់លោក Graham មិនស្ថិតនៅជិតចំនួនធំដូចលោក Graham នោះទេ។

ទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់

ដូច្នេះមានលេខធំជាងលេខរបស់ Graham? ជាការពិតណាស់ មានលេខ Graham សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង។ ចំពោះចំនួនសំខាន់ៗ... ផងដែរ វាមានផ្នែកលំបាកមួយចំនួននៃគណិតវិទ្យា (ជាពិសេសតំបន់ដែលគេស្គាល់ថាជាបន្សំ) និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ដែលក្នុងនោះមានលេខធំជាងលេខ Graham ។ ប៉ុន្តែយើងស្ទើរតែឈានដល់ដែនកំណត់នៃអ្វីដែលខ្ញុំសង្ឃឹមថាអាចពន្យល់ដោយសមហេតុផល។ សម្រាប់អ្នកដែលមិនប្រុងប្រយ័ត្នគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបន្តទៅមុខទៀត ការអានបន្ថែមត្រូវបានផ្តល់ជូនដោយហានិភ័យផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។

ឥឡូវនេះ សម្រង់ដ៏អស្ចារ្យមួយដែលត្រូវបានសន្មតថាជា Douglas Ray ( ចំណាំនិយាយឱ្យត្រង់ទៅ វាស្តាប់ទៅគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់៖

“ខ្ញុំឃើញចង្កោមលេខមិនច្បាស់លាស់ដែលលាក់ខ្លួននៅទីនោះក្នុងទីងងឹត នៅពីក្រោយកន្លែងពន្លឺតិចតួចដែលទៀនគំនិតផ្តល់ឱ្យ។ ពួកគេខ្សឹបប្រាប់គ្នាទៅវិញទៅមក; និយាយអំពីអ្នកណាដឹង។ ប្រហែល​ជា​គេ​មិន​ចូល​ចិត្ត​យើង​ខ្លាំង​ណាស់​ដែល​ចាប់​ចិត្ត​បង​ប្អូន​តូច​ៗ​របស់​ពួក​គេ​តាម​ចិត្ត។ ឬប្រហែលជាពួកគេគ្រាន់តែដឹកនាំវិធីជាលេខដែលមិនច្បាស់លាស់នៃជីវិត នៅទីនោះ ហួសពីការយល់ដឹងរបស់យើង។

បញ្ហាទស្សនវិជ្ជាធ្វើឱ្យខ្លួនឯងមានអារម្មណ៍នៅពេលដែលមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានបង្ហាញភ្លាមៗនៅក្នុងភាពគ្មានទីបញ្ចប់មួយ។ ជាឧទាហរណ៍ ការជ្រើសរើសតែលេខគូក្នុងចំនោមលេខទាំងអស់ យើងម្តងទៀតទទួលបានលំដាប់គ្មានកំណត់ 2, 4, 6, ... ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំជាមួយភាពគ្មានកំណត់ គណិតវិទូបានចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីសំណុំ និងអំណាច៖ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ ទោះបីជាគ្មានកំណត់ក៏ដោយ គឺស្មើនឹងអំណាចនៃសំណុំគូ។ វាកើតឡើងពីអត្ថិភាពនៃច្បាប់សាមញ្ញដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងសំណុំទាំងពីរនេះ៖ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបែងចែកដោយ 2 លេខគូណាមួយ ឬគុណលេខធម្មជាតិណាមួយដោយ 2 ដើម្បីប្រាកដថាច្បាប់នេះគឺមួយទៅមួយ។

ច្បាប់ស្រដៀងគ្នា - មានតែភាពស្មុគស្មាញបន្តិចប៉ុណ្ណោះ - ពីមួយទៅមួយទាក់ទងនឹងលេខធម្មជាតិទៅនឹងប្រភាគសាមញ្ញទាំងអស់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រភាគសាមញ្ញក៏អាចត្រូវបានប្តូរលេខផងដែរ។ នេះមានន័យថា សំណុំនៃលេខសនិទានភាពមានអានុភាពដូចគ្នាទៅនឹងសំណុំនៃលេខសនិទាន ពោលគឺ ភាពគ្មានកំណត់ទាំងពីរនេះគឺ "ស្មើ" គ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូច្នេះ ប្រហែលជា Infinity គឺជាមួយ ហើយសំណុំគ្មានដែនកំណត់ទាំងអស់នៅក្នុងន័យនេះតែងតែ "ស្មើគ្នា" គ្នាទៅវិញទៅមក? ប៉ុន្តែទេ៖ ទីមួយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការប្តូរលេខមិនសមហេតុផល - ហើយសំណុំនេះប្រែទៅជា "ធំ" ជាងសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ - ហើយទីពីរសម្រាប់សំណុំណាមួយអាចបង្កើត "ធំជាង" ។

គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដាច់ឆ្ងាយ

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងពីរនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ Georg Cantor (, 1845-1918) ។ ដោយសារភាពគ្មានដែនកំណត់គឺខុសគ្នា ដូច្នេះសម្រាប់ពួកគេ អ្នកក៏អាចបញ្ចូលឈ្មោះរបស់អ្នកផងដែរ - ដូច្នេះដើម្បីនិយាយ លេខឆ្លងកាត់។ Cantor តំណាងឱ្យអំណាចនៃស៊េរីធម្មជាតិដោយអក្សរ aleph ពីអក្ខរក្រមហេប្រ៊ូដែលមានសន្ទស្សន៍សូន្យ: អេ o ហើយសម្រាប់ថាមពលនៃផ្នែកបន្តវាគឺជាផ្នែកបន្តនៃបន្ទាត់ត្រង់ឬបន្ទាត់ត្រង់ទាំងមូល - គាត់ប្រើអក្សរដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងឯកតាលិបិក្រម៖ a l ដោយហេតុនេះផ្តល់យោបល់ថាគ្មានទេ មិនអាចមានលេខឆ្លងកាត់ផ្សេងទៀតរវាង អេ o និង អេ ល ទេ។

ការពិតដែលថាការបន្តអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសំណុំនៃចំណុចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ភ្លាមៗមុនពេល Cantor ប៉ុន្តែគាត់អាចបង្ហាញវាម្តងទៀតដោយអាច "ប្តូរលេខ" ចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់ - កាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតផ្នែកឯកតា។ មានតែនៅក្នុងតួនាទីនៃ "លេខ" ក្នុងករណីនេះមិនមែនជាលេខធម្មជាតិទេប៉ុន្តែជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់។ សូម្បីតែលេខសូន្យ និងលេខមួយក៏គ្រប់គ្រាន់ដែរ (សន្មត់ថា "លេខ" នីមួយៗត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធគោលពីរ)៖ សំណុំប្រភាគនៃទម្រង់ 0.100010100111… បញ្ចូលយ៉ាងពេញលេញនូវសំណុំនៃលេខសនិទានរួមជាមួយនឹងលេខមិនសមហេតុផលពី 0 ដល់ 1។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាបានធ្វើតាមទ្រឹស្ដីរបស់ Cantor ថាមានអ្វីម្យ៉ាងទៀត៖ "អាលហ្វ" របស់គាត់បានអនុញ្ញាតឱ្យរាប់ពិន្ទុដែលបន្ទាត់ត្រង់ខ្លីពេក (ហេតុដូច្នេះហើយបានជាឈ្មោះ transfinite - ដែលមានទីតាំងនៅ "លើសពីភាពគ្មានទីបញ្ចប់") ។

គំនិតរបស់ Kantor ធ្វើឱ្យគាត់មានសំណាងអាក្រក់។ សហសេវិកជាច្រើនរបស់គាត់បានរកឃើញនៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃ "alefs" មិនមែនគ្រាន់តែជាការប្រៀបធៀបគណិតវិទ្យានិងភាពមិនទំនងទាល់តែសោះ - នោះនឹងជាបញ្ហាពាក់កណ្តាល។ នៅក្នុងការវែកញែករបស់ Kantor ជំនឿដ៏ជ្រាលជ្រៅរបស់គាត់ និងបំណងប្រាថ្នាដើម្បីយល់ពី "ដាច់ខាត" អាចមើលឃើញ។ នៅពេលដែលគាត់បានបង្កើតទ្រឹស្ដីរបស់គាត់ ទំនាក់ទំនងរបស់គាត់ជាមួយអាជ្ញាធរនៅសកលវិទ្យាល័យក្នុងទីក្រុង Halle កាន់តែខូច ហើយសូម្បីតែគណិតវិទូដែលដំបូងមានប្រតិកម្មយ៉ាងក្លៀវក្លាចំពោះវាក៏បោះបង់ចោលវាដែរ។ ប្រទេសបារាំងគឺជាមជ្ឈមណ្ឌលនៃគំនិតគណិតវិទ្យានៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ប៉ុន្តែគណិតវិទូជនជាតិបារាំងនាំមុខគេពីរនាក់គឺ Charles Hermite (Charles Hermite, 1822-1901) និង Paul Emile Appel (, 1855-1930) ថែមទាំងបាននិយាយប្រឆាំងនឹងការបកប្រែស្នាដៃរបស់ Cantor ទៅជាភាសាបារាំងទៀតផង។ វាអាចត្រូវបានគេរំពឹងថា គំនិតថ្មីនឹងត្រូវបានគាំទ្រដោយបុព្វបុរសនៃគណិតវិទូបារាំង បុរសម្នាក់ដែលតាមវិធីជាច្រើនបានគិតទុកជាមុនអំពីការអភិវឌ្ឍន៍នាពេលអនាគតរបស់ខ្លួនក្នុងសតវត្សទី 20 គឺ Henri Poincaré (, 1854-1912) ... ប៉ុន្តែទេ - ហើយគាត់ក៏ បដិសេធមិននិយាយអំពី "ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ" ។

នៅចុងសតវត្សន៍ Cantor ខ្លួនគាត់ត្រូវបានវាយប្រហារកាន់តែខ្លាំងឡើងដោយជំងឺធ្លាក់ទឹកចិត្ត។ បន្តិចម្ដងៗវាច្បាស់ណាស់ថាយើងកំពុងនិយាយអំពីជំងឺធ្ងន់ធ្ងរ - ជំងឺផ្លូវចិត្ត - ជំងឺធ្លាក់ទឹកចិត្ត។ Emile Borel (Émile Borel, 1871-1956) ដែលជាអ្នកកោតសរសើរវ័យក្មេងនៃទ្រឹស្ដីសំណុំ បានចាប់ផ្តើមមានអារម្មណ៍បដិសេធចំពោះវាបន្តិចម្តងៗ ដែលកាន់តែខ្លាំងឡើងដោយពាក្យចចាមអារ៉ាមអំពីជំងឺរបស់គណិតវិទូដទៃទៀត។ ជាច្រើនឆ្នាំក្រោយមក គាត់បានសរសេរទៅមិត្តរបស់គាត់ឈ្មោះ Paul Valéry (Paul Valéry, 1871-1945) ថាគាត់ត្រូវតែបោះបង់ការសិក្សារបស់គាត់នៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំ "ដោយសារតែការងារហួសប្រមាណ ដែលបានធ្លាក់មកលើគាត់ ហើយធ្វើឱ្យគាត់ភ័យខ្លាចជំងឺធ្ងន់ធ្ងរ នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ ថាគាត់បានបន្តការងាររបស់គាត់។

សំណួរនេះត្រូវបានបិទដោយគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញម្នាក់ទៀតគឺលោក Jacques Hadamard (, 1865-1963) ដែលបានសន្និដ្ឋានថាគ្រោងទាំងមូលបានហួសពី "ដែនកំណត់នៃគណិតវិទ្យា" ហើយចាប់ផ្តើមទាក់ទងនឹង "ចិត្តវិទ្យា ទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចិត្តរបស់យើង" ។ ការសម្រេចចិត្តនេះហាក់ដូចជាមានប្រាជ្ញាសម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ប៉ុន្តែយោងទៅតាម Lauren Graham និង Jean-Michel Kantor វានាំទៅដល់ការចាកចេញរបស់គណិតវិទូបារាំងពីជួរមុខ។ ដោយមើលឃើញខ្លឹមសារគណិតវិទ្យាដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយក្នុងការប្រៀបធៀបទំហំនៃសំណុំគ្មានកំណត់ និងបញ្ជាសំណុំរងគ្មានកំណត់របស់ពួកគេ គណិតវិទូជនជាតិរុស្សីអាចសាងសង់សាលាដែលតាំងពីយូរយារណាស់មកហើយនៅតែជាដំបូង ហើយរហូតមកដល់ពេលនេះមិនបានបាត់បង់សារៈសំខាន់ទាំងស្រុងនោះទេ។

លេខព្រះ

អ្នកបង្កើតទ្រឹស្តីកំណត់បានចំណាយពេល 11 ឆ្នាំដំបូងនៃជីវិតរបស់គាត់នៅ St. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អាកាសធាតុនៃទីក្រុងនេះពិតជាមានគ្រោះថ្នាក់ខ្លាំងពេកសម្រាប់ឪពុករបស់គាត់ ហើយនៅឆ្នាំ 1856 គ្រួសារទាំងមូលបានផ្លាស់ទៅរស់នៅទីក្រុង Frankfurt am Main ដែលមានអាកាសធាតុអំណោយផលជាង។ ការសិក្សាអំពីវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងបច្ចេកទេសត្រូវបានអនុវត្តដោយ Cantor វ័យក្មេងនៅក្នុងទីក្រុងនានានៃទ្វីបអឺរ៉ុប - ពី Darmstadt ទៅ Zurich - ហើយត្រូវបានអមដោយការតស៊ូដែលរំពឹងទុកជាមួយឪពុកម្តាយដែលសប្បាយចិត្តជាងក្នុងការឃើញវិស្វករនៅក្នុងកូនរបស់ពួកគេ ជាជាង គណិតវិទូដែលមានទំនោរទស្សនវិជ្ជាជាក់ស្តែង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ George បានយកឈ្នះលើការតស៊ូរបស់ពួកគេបន្តិចម្តង ៗ ហើយដូចដែលបានរៀបរាប់រួចហើយបានរកឃើញខ្លួនឯងនៅសាកលវិទ្យាល័យ Halle ។

គាត់បានកំណត់ទស្សនៈទស្សនវិជ្ជារបស់គាត់ជាមួយនឹងរូបមន្ត "ភាពប្រាកដនិយម Aristotelian កម្រិតមធ្យម" ប៉ុន្តែពួកគេយល់យ៉ាងច្បាស់ពី Platonism នៃការបញ្ចុះបញ្ចូល Pythagorean ។ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដដែលបង្ហាញដោយលេខ transfinite កាន់កាប់សម្រាប់គាត់នូវទីតាំងមធ្យមរវាង finite និង infinite យ៉ាងពិតប្រាកដ - នោះគឺជាទេវភាព។ ដោយដឹងថាការបង្កើតសំណួរបែបនេះទំនងជាមានភាពស្និទ្ធស្នាលជាមួយទស្សនវិទូជាជាងគណិតវិទូ គាត់បានលើកឡើងពីការងារចម្បងរបស់គាត់ "បទពិសោធន៍គណិតវិទ្យា-ទស្សនវិជ្ជានៅក្នុងគោលលទ្ធិនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់" ជាជាងចំពោះទស្សនវិទូជាជាងគណិតវិទូ៖

[ខ្ញុំមានន័យថា] អ្នកអានពីរប្រភេទ - នៅលើដៃមួយ ទស្សនវិទូដែលបានតាមដានការវិវឌ្ឍន៍នៃគណិតវិទ្យារហូតដល់សម័យទំនើប ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត គណិតវិទូដែលស្គាល់ការពិតដ៏សំខាន់បំផុតនៃទស្សនវិជ្ជាបុរាណ និងសម័យទំនើប។.

ហើយគាត់បានរកឃើញអ្នកអានបែបនេះ - នៅក្នុងប្រទេសកំណើតរបស់គាត់។ វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលដំបូងបង្អស់ពួកគេក៏ជា Pythagorean Platonists និងអាថ៌កំបាំងគ្រីស្ទានផងដែរ។ ប្រហែលជាល្បីល្បាញបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេឥឡូវនេះ - (1882-1937) - យល់ក្នុងន័យអ្វីដែលយើងអាចនិយាយអំពីលេខដែលធំជាងលេខធម្មជាតិណាមួយ:

ក្នុងន័យដូចគ្នា យើងអាចនិយាយបានថា អំណាចនៃព្រះគឺពិតជាគ្មានកំណត់ ពីព្រោះថា ការកំណត់ (សម្រាប់ព្រះមិនមានការកែប្រែទេ) ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ វាធំជាងអំណាចកំណត់ណាមួយ។.

ពាក្យប្រៀបធៀបនេះមិនមែនជាពាក្យប្រៀបធៀបទាល់តែសោះនៅក្នុងភ្នែករបស់ Florensky ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់ដែលមិនមានសូម្បីតែព្រំដែនពិសេសរវាងទ្រឹស្ដីនិងគណិតវិទ្យា។ ហើយក្រៅពីនេះ ទិសដៅសាសនា និងទស្សនវិជ្ជាដែល Florensky បានបង្កើតនៅដើមសតវត្សទី 20 បានប្រកាសថា "ព្រះនាមរបស់ព្រះគឺជាព្រះផ្ទាល់" ។ ប៉ុន្តែ​ឈ្មោះ​ខ្លួន​វា​ជា​ចំនួន​គ្មាន​កំណត់​នៃ​ឈ្មោះ​រួម​ទាំង​លេខ​ផង​។

លាហើយ Lusitania!

នៅឆ្នាំ 1900 Florensky បានចូលមហាវិទ្យាល័យរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យានៅសាកលវិទ្យាល័យ Moscow State University ប៉ុន្តែបួនឆ្នាំក្រោយមកបានចាកចេញពីគណិតវិទ្យាសម្រាប់អាជីពខាងសាសនា និងទ្រឹស្ដី។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងសម័យសូវៀតរួចហើយ គាត់ក៏បានឈប់សិក្សាទស្សនវិជ្ជា និងទ្រឹស្ដី ដោយដាក់ខ្លួនគាត់ទាំងស្រុងនៅក្នុងបញ្ហាវិស្វកម្មជាក់ស្តែងទាំងស្រុង។ គាត់ធ្វើវិស្វកម្មអគ្គិសនីជាច្រើនបានចូលរួមក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ផែនការ GOELRO សិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ permafrost ។ ទាំងអស់នេះមិនបានជួយសង្គ្រោះគាត់ពីការគាបសង្កត់របស់រដ្ឋាភិបាលថ្មីទេ ហើយបន្ទាប់ពីការចាប់ខ្លួនជាច្រើនដងនៅឆ្នាំ 1937 គាត់ត្រូវបានគេបាញ់។

ការចាកចេញពីគណិតវិទ្យាមិនមានន័យសម្រាប់ Florensky ចាកចេញពីសហគមន៍គណិតវិទ្យាទេ។ ក្នុងចំណោមមនុស្សដែលជិតស្និទ្ធបំផុតជាមួយគាត់គឺ Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) និង Dmitry Fedorovich Egorov (1869-1931) ។ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការនិយាយថាអ្នកទាំងពីរគឺជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ៖ នៅឆ្នាំ 1923 Egorov ត្រូវបានជ្រើសរើសជាប្រធាន និងត្រូវបានតែងតាំងជានាយកវិទ្យាស្ថានគណិតវិទ្យា និងមេកានិចនៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋមូស្គូដំបូង វាគឺនៅក្នុងគាត់ដែលអ្នកប្រវត្តិសាស្រ្តសម័យទំនើបមើលឃើញថាជាតួអង្គសំខាន់នៅក្នុង ការបង្កើតនិងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃមុខងារ។ ក្នុងចំណោមជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យរបស់ Luzin មិនត្រឹមតែជាលទ្ធផលគណិតវិទ្យាត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានថាមពលគរុកោសល្យពិសេសផងដែរ៖ គណិតវិទូរុស្សីសំខាន់ៗស្ទើរតែទាំងអស់សុទ្ធតែជាសិស្ស ឬសិស្សរបស់សិស្សរបស់គាត់។ ដែលបានអភិវឌ្ឍរួចហើយនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 20 ត្រូវបានគេហៅថា "Lusitania" ។ វាគឺជាពួកគេដែលរួចទៅហើយនៅក្នុង 30s ត្រូវតែបង្កើតការរកឃើញដែលបើកផ្លូវទៅកាន់ប្រធានបទពេញនិយមនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះដូចជា fractal និងភាពវឹកវរ។

ជាញឹកញាប់ជោគវាសនានៃវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានកំណត់ក្នុងកម្រិតតិចជាងដោយជោគជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា និងក្នុងកម្រិតកាន់តែច្រើនដោយជម្រើសត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេ។ តើអ្នកណាដឹងថាអ្នកគណិតវិទូផ្តល់អំណះអំណាងអ្វីខ្លះដល់ខ្លួនគាត់ដោយបញ្ចុះបញ្ចូលខ្លួនឯងឱ្យទទួលយកដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមពួកគេហើយមិនទទួលយកដំណោះស្រាយរបស់អ្នកដទៃ។ ក្នុងករណី Egorov និង Luzin យោងតាម ​​Lauren Graham និង Jean-Michel Kantor ទស្សនៈសាសនារបស់ពួកគេ និងសមត្ថភាពក្នុងការមើលឃើញទស្សនវិស័យគណិតវិទ្យាពីចម្ងាយនៅពីក្រោយហ្គេមដាក់ឈ្មោះមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាន។ គំនិតទស្សនវិជ្ជារបស់ Cantor ដែលធ្វើឱ្យវាពិបាកខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការអនុម័តគណិតវិទ្យារបស់គាត់នៅក្នុងបណ្តាប្រទេសនៃអឺរ៉ុបខាងលិចនិងលើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុងប្រទេសបារាំងនិយមនិយមបានដើរតួនាទីផ្ទុយគ្នាពិតប្រាកដនៅក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ីដែលជាកន្លែងដែលផ្ទុយ, អាថ៌កំបាំង, ប្រពៃណីទស្សនវិជ្ជាមាន។

ជាការពិតណាស់ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះពិតជាពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់ ហើយវាគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភាពស្រស់ស្អាត និងប្រកបដោយផលិតភាព ប៉ុន្តែនៅតែជាសម្មតិកម្ម។ វាត្រូវបានរិះគន់រួចហើយ - ប្រហែលជាត្រឹមត្រូវណាស់ - ដោយគណិតវិទូ និងទស្សនវិទូរបស់យើង។ ប៉ុន្តែទោះបីជាជាសម្មតិកម្មក៏ដោយ រូបភាពដែលស្នើឡើងដោយអ្នកស្រាវជ្រាវលោកខាងលិចគឺមានភាពទាក់ទាញខ្លាំង៖ បន្ទាប់ពី "យុគសម័យប្រាក់" នៃកំណាព្យ និងសិល្បៈរបស់រុស្ស៊ី ជាទូទៅមាន "សម័យថ្មី" នៃទស្សនវិជ្ជា វាត្រូវបានជំនួសដោយ "យុគមាស" នៃ គណិតវិទ្យា។ បន្ទាប់មក ពិតណាស់ អ្វីៗបានកន្លងផុតទៅ ភាពស្រស់ស្អាតទាំងអស់ ប្រសិនបើវាមិនស្លាប់ទេ យ៉ាងហោចណាស់ក៏ពិការដែរ៖ នៅថ្ងៃទី 31 Yegorov ត្រូវបានបាញ់ ភ្លាមៗបន្ទាប់ពីនោះករណីមួយត្រូវបានបើកប្រឆាំងនឹង Luzin វាគ្រាន់តែជាអព្ភូតហេតុដែលគាត់បានគេចផុតពី គុកងងឹត ប៉ុន្តែកន្លែងនៃការគាបសង្កត់មិនទុកសិស្សរបស់គាត់ទេ ... ហើយយ៉ាងណាក៏ដោយ ការចងចាំនៃភាពស្រស់ស្អាតនៅតែមាននៅក្នុងអតីតកាល ហើយការសញ្ជឹងគិតវាធ្វើឱ្យមានទំនុកចិត្ត - វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យនោះទេ។

ព័ត៌មានដៃគូ

វាក៏មានក្រុមនៃលេខដែលវែងជាងនេះផងដែរ ដែលនៅចុងបញ្ចប់នៃលេខ ក៏ត្រូវបានរក្សាទុកនៅក្នុងផលិតផលរបស់ពួកគេផងដែរ។ ចំនួននៃក្រុមនៃតួលេខដូចដែលយើងនឹងបង្ហាញគឺមានទំហំធំគ្មានកំណត់។

យើងដឹងពីក្រុមលេខពីរខ្ទង់ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនេះ៖ ទាំងនេះគឺ 25 និង 76។ ដើម្បីស្វែងរកក្រុមបីខ្ទង់ អ្នកត្រូវដាក់បុព្វបទលេខ 25 ឬ 76 ជាមួយនឹងខ្ទង់បែបនេះនៅខាងមុខ ដូច្នេះលទ្ធផលបីខ្ទង់។ ក្រុមលេខក៏មានទ្រព្យសម្បត្តិដែលត្រូវការផងដែរ។

តើ​លេខ​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​កំណត់​ទៅ​លេខ ៧៦? ចូរសម្គាល់វាដោយ k ។ បន្ទាប់មកលេខបីខ្ទង់ដែលចង់បាននឹងត្រូវបានបង្ហាញ៖

100k + 76.

កន្សោមទូទៅសម្រាប់លេខដែលបញ្ចប់ក្នុងក្រុមលេខនេះគឺ៖

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 ល។

គុណចំនួនពីរនៃប្រភេទនេះ; យើង​ទទួល​បាន:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776 ។

ពាក្យទាំងអស់ លើកលែងតែពីរចុងក្រោយ មានយ៉ាងហោចណាស់សូន្យបីនៅចុងបញ្ចប់។ ដូច្នេះផលិតផលបញ្ចប់ក្នុង 1006+76 ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1000 ។ វាច្បាស់ណាស់សម្រាប់តែ k = 3 ប៉ុណ្ណោះ។

ដូច្នេះ ក្រុមលេខដែលចង់បានមានទម្រង់ 376។ ដូច្នេះថាមពលណាមួយនៃលេខ 376 បញ្ចប់ដោយ 376។ ឧទាហរណ៍៖

376 2 = 141376.

ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងចង់ស្វែងរកក្រុមលេខ 4 ខ្ទង់ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចគ្នានោះ យើងនឹងត្រូវបន្ថែមមួយខ្ទង់ទៀតទៅខាងមុខ 376 ។ ប្រសិនបើយើងសម្គាល់តួលេខនេះដោយ l នោះយើងទៅដល់បញ្ហា៖ សម្រាប់ផលិតផលមួយណា

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

បញ្ចប់ដោយ 1000l + 376? ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបនៅក្នុងការងារនេះ ហើយបោះបង់លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលបញ្ចប់ដោយសូន្យ 4 ឬច្រើនជាងនេះ នោះលក្ខខណ្ឌនៅតែមាន

752000l + 141376 ។

ផលិតផលបញ្ចប់ក្នុង 1000l + 376 ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

ត្រូវបានបែងចែកដោយ 10000 ។ វាច្បាស់ណាស់សម្រាប់តែ l = 9 ប៉ុណ្ណោះ។

ក្រុមលេខបួនខ្ទង់ដែលចង់បានគឺ 9376 ។

ក្រុមលទ្ធផលនៃខ្ទង់បួនខ្ទង់អាចត្រូវបានបំពេញបន្ថែមមួយខ្ទង់ទៀត ដែលអ្នកត្រូវវែកញែកតាមវិធីដូចគ្នាដូចខាងលើ។ យើងទទួលបាន 09376។ ឈានមួយជំហានទៀត យើងរកឃើញក្រុមនៃលេខ 109376 បន្ទាប់មក 7109376 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ការចាត់តាំងលេខនៅខាងឆ្វេងនេះអាចត្រូវបានធ្វើចំនួនដងមិនកំណត់។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន "លេខ" ដែលមានចំនួនខ្ទង់គ្មានកំណត់៖

7109376.

"លេខ" បែបនេះអាចត្រូវបានបន្ថែមនិងគុណដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតា: បន្ទាប់ពីទាំងអស់ពួកគេត្រូវបានសរសេរពីស្តាំទៅឆ្វេងហើយការបូកនិងគុណ ("ជួរឈរ") ក៏ត្រូវបានអនុវត្តពីស្តាំទៅឆ្វេងដូច្នេះនៅក្នុងផលបូកនិងផលិតផល។ នៃចំនួនពីរបែបនេះ អ្នកអាចគណនាលេខមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត - ច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្តខ្ទង់។

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ "ចំនួន" ដែលគ្មានកំណត់ដែលបានសរសេរខាងលើពេញចិត្ត មិនទំនងដូចដែលវាហាក់ដូចជា សមីការ

X 2 \u003d x ។

តាមពិតការ៉េនៃ "លេខ" នេះ (នោះគឺផលិតផលរបស់វាដោយខ្លួនឯង) បញ្ចប់ដោយ 76 ចាប់តាំងពីកត្តានីមួយៗមាន 76 នៅចុងបញ្ចប់។ សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នាការ៉េនៃ "លេខ" ដែលបានសរសេរបញ្ចប់នៅក្នុង 376; បញ្ចប់ដោយ 9376 ។ល។ ម្យ៉ាងទៀត ដោយគណនាលេខមួយដោយខ្ទង់នៃ "លេខ" x 2 ដែល x = ... 7109376 យើងនឹងទទួលបានលេខដូចគ្នាដែលមាននៅក្នុងលេខ x ដូច្នេះ x 2 = x.

យើងបានពិចារណាក្រុមនៃលេខដែលបញ្ចប់ដោយ 76 * ។ ប្រសិនបើហេតុផលស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ក្រុមនៃខ្ទង់ដែលបញ្ចប់ដោយ 5 នោះយើងទទួលបានក្រុមនៃខ្ទង់ដូចខាងក្រោម:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 ជាដើម។

* (ចំណាំថាក្រុមពីរខ្ទង់នៃខ្ទង់ 76 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើអាគុយម៉ង់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ: វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការសម្រេចចិត្តថាតើលេខមួយណាគួរតែត្រូវបានកំណត់ជាមុនទៅលេខ 6 ដើម្បីឱ្យក្រុមលទ្ធផលនៃលេខពីរខ្ទង់មាន ទ្រព្យសម្បត្តិដែលកំពុងពិចារណា។ ដូច្នេះ "លេខ" ... 7109376 អាចទទួលបានដោយការសរសេរលេខទៅប្រាំមួយនៅខាងមុខមួយបន្ទាប់ពីផ្សេងទៀត។)

ជាលទ្ធផល យើងអាចសរសេរ "លេខ" ផ្សេងទៀតដែលគ្មានកំណត់។

2890625,

ក៏បំពេញសមីការ x 2 = x ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា "ចំនួន" ដែលគ្មានកំណត់នេះគឺ "ស្មើនឹង"

5 2 2 2...

លទ្ធផលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលទទួលបាននៅក្នុងភាសានៃ "លេខ" គ្មានដែនកំណត់ត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: សមីការ x 2 \u003d x មាន (លើកលែងតែ x \u003d 0 និង x \u003d 1) ដំណោះស្រាយ "គ្មានកំណត់" ពីរ:

X = ...7109376 និង x = ...2890625,

និងដំណោះស្រាយផ្សេងទៀត (ក្នុងសញ្ញាគោលដប់) មិនមាន * .

* ("លេខ" ដែលគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនត្រឹមតែនៅក្នុងទសភាគប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខផ្សេងទៀតផងដែរ។ លេខបែបនេះដែលត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខ p មូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថាលេខ p-adic ។ អ្វីមួយអំពីលេខទាំងនេះអាចត្រូវបានអាននៅក្នុងសៀវភៅ "ការសន្ទនាគណិតវិទ្យា" ដោយ E. B. Dynkin និង V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952) ។)

រឿងពីរគឺពិតជាគ្មានទីបញ្ចប់៖
សកលលោកនិងភាពល្ងង់ខ្លៅរបស់មនុស្ស។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយអំពីសកលលោកដែលខ្ញុំមាន
មានការសង្ស័យមួយចំនួន។
Albert Einstein

ថ្មីៗនេះ យើងបានលើកឡើងពីបញ្ហានេះ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ដែលវាមានតម្លៃរស់នៅលើវាឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត។

ប្រសិនបើពេលខ្លះពាក្យដដែលៗត្រូវបាននិយាយអំពីវត្ថុមួយ និងអំពីវត្ថុមួយផ្សេងទៀត នោះមិនមែនមានន័យថាវត្ថុទាំងនេះមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នានោះទេ។

មានប្រយោគវែង និងមិនអាចយល់បាន ដូច្នេះខ្ញុំនឹងពន្យល់ជាមួយឧទាហរណ៍៖
អ្នកអាចនិយាយថា "ហៅទូរស័ព្ទ" ឬអ្នកអាចនិយាយថា "កណ្តឹង" - សកម្មភាពខុសគ្នាខ្លាំងណាស់ប៉ុន្តែកិរិយាស័ព្ទមួយ។ ពីនេះវាមិនអាចសន្និដ្ឋានបានថាសកម្មភាពផ្សេងទៀតទាំងអស់ជាមួយទូរស័ព្ទ (ការទទួលសារ SMS អង្គចងចាំសម្រាប់ 200 លេខនិងផ្សេងទៀត) គឺជាលក្ខណៈនៃកណ្តឹង។ នេះច្បាស់ណាស់ថាកថាខណ្ឌនេះមើលទៅមិនទំនងទាល់តែសោះ។

ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាមនុស្សជាច្រើនធ្វើយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយពាក្យ Infinity ដូចជាប្រសិនបើវាជាលេខ? បាទ/ចាស អ្នក​អាច​អនុវត្ត​សកម្មភាព​មួយ​ចំនួន​ចំពោះ​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ដែល​ដំណើរការ​ដោយ​ជោគជ័យ​ជាមួយ​លេខ ( ធ្វើការកក់ទុកចាំបាច់):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (លើសពីនេះ ស៊េរីនៃចំនួនពិតជារឿយៗត្រូវបានពង្រីកដោយគូផ្សេងទៀតនៃធាតុ +∞ និង -∞ កំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹងរបៀបដោះស្រាយជាមួយពួកគេ) ។

នេះ​មាន​ន័យ​ថា​មិន​មែន​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ដោយ​ "ភាព​គ្មាន​កំណត់" បែប​នេះ​។ ឧទាហរណ៍ ∞ − ∞ = ? (នៅទីនេះ យើងមានភាពមិនប្រាកដប្រជា ពីព្រោះយើងមិនអាចផ្តល់ចម្លើយដោយមិនដឹងពីធម្មជាតិនៃ "ភាពមិនចេះរីងស្ងួត" ទាំងពីរនេះទេ)។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយវាជាការឆោតល្ងង់ក្នុងការនិយាយភ្លាមៗថាភាពខុសគ្នានឹងសូន្យ។

ហើយប្រសិនបើអ្នកចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីការពិតដែលថាតម្លៃមួយចំនួនមានទំនោរទៅសូន្យ ឬគ្មានដែនកំណត់ នោះជារឿយៗបញ្ហាមិនឈានដល់ការវែកញែកត្រឹមត្រូវនោះទេ។ ដោយវិធីនេះ ប្រាំមួយខែមុន យើងបានដោះស្រាយជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់ប្រចាំថ្ងៃនៃគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ បន្ទាប់មកយើងគ្រប់គ្រងដើម្បី "បញ្ជាក់" ថាផលបូកនៃជើងនៃត្រីកោណគឺតែងតែស្មើនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ នេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញទេ ប៉ុន្តែមានប្រយោជន៍។ មានសំណង់បុរាណ និងល្បីល្បាញជាច្រើនទៀត ដែលមើលទៅសាមញ្ញណាស់ ដែលវាមិនច្បាស់ថា តើអាចមានបញ្ហាអ្វីកើតឡើងជាមួយពួកគេ។

តោះ​ចាំ​មើល​អាប៉ូរី​បុរាណ​របស់ Zeno៖
ប្រសិនបើគេដឹងថា Achilles រត់លឿនជាងសត្វអណ្តើក 10 ដង ហើយនៅចម្ងាយ 1 គីឡូម៉ែត្រពីវា នោះនៅពេល Achilles ចំណាយលើគីឡូម៉ែត្រនេះ អណ្តើកនឹងវារបាន 100 ម៉ែត្រ។ ដូច្នោះហើយ នៅពេលដែល Achilles រត់បាន 100 ម៉ែត្រទៀត អណ្តើកវារបាន 10 ម៉ែត្រ។ល។ ដំណើរការនេះនឹងបន្តដោយគ្មានកំណត់ ហើយ Achilles នឹងមិនអាចតាមទាន់សត្វអណ្តើកបានទេ ទោះបីជាគាត់ផ្លាស់ទីលឿនជាងមុនក៏ដោយ។

សមត្ថភាពក្នុងការនិយាយអ្វីដែលអាចយល់បានអំពីកិច្ចការបែបនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីយល់អំពីហេតុផលអំពីសេចក្តីប្រាថ្នា ដែនកំណត់ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងគំនិតវិចារណញាណដ៏ច្បាស់លាស់ផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែជាគំនិតស្មុគស្មាញ។ បើគ្មាននេះទេ ការសន្ទនាជាធម្មតាប្រែទៅជា "អ្នកណាដែលមានសំឡេងខ្លាំងជាង" ទោះបីជាចំណុចនៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានគេបញ្ចុះបញ្ចូលក្នុងតម្លៃណាមួយក៏ដោយ។ Alas ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានទសវត្សរ៍ថ្មីៗនេះ មានមនុស្សតិចទៅតិចបែងចែកភាពត្រឹមត្រូវពីវិទ្យាសាស្ត្រ ដូច្នេះហើយ ជារឿយៗវាត្រូវបានចាត់ទុកថាសំខាន់ជាងក្នុងការស្រែកដើម្បីបញ្ចុះបញ្ចូលជាជាងចូលទៅជិតការពិត។

ដូច្នេះតើអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយ Achilles និងអណ្តើកដោយរបៀបណា? សូម​កុំ​សរសេរ​ថា ដរាបណា Achilles រត់​ចម្ងាយ​គីឡូម៉ែត្រ​ទី​ពីរ សត្វ​អណ្តើក​នឹង​ត្រូវ​ទុក​ចោល​ឆ្ងាយ។ នេះ​គឺ​ច្បាស់​សម្រាប់​អ្នក​រាល់​គ្នា ប៉ុន្តែ​មិន​បាន​ជួយ​អ្វី​ទាំង​អស់។ នៅទីនេះអ្នកត្រូវមានអារម្មណ៍ថាមានបញ្ហានៅក្នុងដំណោះស្រាយដើម ហើយមិនត្រូវមកជាមួយនឹងទស្សនៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកនៅលើលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានោះទេ។

មានថ្ងៃល្អ!