វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយមិនមានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាវា។ ដេរីវេគឺជាគំនិតសំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ តើអ្វីជាអត្ថន័យរូបវន្ត និងធរណីមាត្ររបស់វា របៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?
អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបវន្តនៃដេរីវេ
សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) ផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន (ក, ខ) . ចំនុច x និង x0 ជារបស់ចន្លោះនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចពីរ។ និយមន័យដេរីវេ៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។
បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:
តើអ្វីជាចំណុចក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់បែបនេះ? ប៉ុន្តែមួយណា៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃផ្លូវគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។
ពិតហើយ តាំងពីនៅរៀនមក គ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវឯកជន។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖
ដើម្បីដឹងពីល្បឿននៃចលនាក្នុងពេលតែមួយ t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖
ច្បាប់ទីមួយ៖ ដកចំនួនថេរចេញ
ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវតែធ្វើ។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកជាក្បួន ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញមតិ ត្រូវប្រាកដថាធ្វើឱ្យសាមញ្ញ .
ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖
វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍
ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។
យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ
ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ដំណោះស្រាយ៖ 
នៅទីនេះវាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនានៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងជួបកន្សោម៖
ក្នុងករណីនេះអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ទៅថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ជាដំបូងយើងពិចារណាពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាទាក់ទងទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។
វិធានទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ
រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖
យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ននៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។
ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយការគ្រប់គ្រងដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយកិច្ចការនានា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុពីមុនមកក៏ដោយ។
និងទ្រឹស្តីបទស្តីពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញមួយ ការបង្កើតដែលមានដូចខាងក្រោម៖
អនុញ្ញាតឱ្យ 1) អនុគមន៍ $u=\varphi (x)$ មានដេរីវេ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ នៅចំណុចខ្លះ $x_0$, 2) អនុគមន៍ $y=f(u)$ មាននៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា $u_0=\varphi (x_0)$ ដេរីវេ $y_(u)"=f"(u)$ ។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y=f\left(\varphi(x)\right)$ នៅចំណុចដែលបានរៀបរាប់ក៏នឹងមានដេរីវេស្មើនឹងផលគុណនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(u)$ និង $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0)\right)\cdot \varphi"(x_0) $$
ឬក្នុងន័យខ្លីជាងនេះ៖ $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$ ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃផ្នែកនេះ មុខងារទាំងអស់មានទម្រង់ $y=f(x)$ (ឧ. យើងពិចារណាតែមុខងារនៃអថេរមួយ $x$)។ ដូច្នោះហើយ ក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ ដេរីវេ $y"$ ត្រូវបានគេយកទាក់ទងនឹងអថេរ $x$។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថា ដេរីវេត្រូវបានយកដោយគោរពទៅអថេរ $x$ ជារឿយៗគេសរសេរ $y"_x$ ជំនួសឱ្យ $ y"$។
ឧទាហរណ៍ #1, #2, និង #3 ផ្តល់នូវដំណើរការលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍លេខ 4 គឺមានបំណងសម្រាប់ការយល់ដឹងពេញលេញបន្ថែមទៀតអំពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយវាសមហេតុផលក្នុងការស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយវា។
បន្ទាប់ពីសិក្សាសម្ភារៈក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 1-3 គួរតែបន្តទៅការដោះស្រាយដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍លេខ 5 លេខ 6 និងលេខ 7 ។ ឧទាហរណ៍ #5, #6 និង #7 មានដំណោះស្រាយខ្លីមួយដើម្បីឱ្យអ្នកអានអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលរបស់គាត់។
ឧទាហរណ៍ #1
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=e^(\cos x)$ ។
យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y"$។ ចាប់តាំងពី $y=e^(\cos x)$ បន្ទាប់មក $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ ។ ស្វែងរកដេរីវេ $\left(e^(\cos x)\right)"$ ប្រើរូបមន្ត #6 ពីតារាងដេរីវេ។ ដើម្បីប្រើរូបមន្តលេខ 6 អ្នកត្រូវពិចារណាថាក្នុងករណីរបស់យើង $u=\cos x$ ។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមមាននៅក្នុងការជំនួស banal នៃកន្សោម $\cos x$ ជំនួសឱ្យ $u$ ទៅក្នុងរូបមន្តលេខ 6៖
$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម $(\cos x)"$។ ម្តងទៀត យើងងាកទៅតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដោយជ្រើសរើសរូបមន្តលេខ 10 ពីវា។ ការជំនួស $u=x$ ទៅជារូបមន្តលេខ 10 យើងមាន : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ ។ ឥឡូវនេះ យើងបន្តសមភាព (1.1) ដោយបន្ថែមវាជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលបានរកឃើញ៖
$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
ចាប់តាំងពី $x"=1$ យើងបន្តសមភាព (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
ដូច្នេះ ពីសមភាព (1.3) យើងមាន៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$។ តាមធម្មជាតិ ការពន្យល់ និងសមភាពមធ្យមជាធម្មតាត្រូវបានរំលង ដោយសរសេរនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចនៅក្នុងសមភាព (១.៣) ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញត្រូវបានរកឃើញ វានៅសល់តែសរសេរចម្លើយប៉ុណ្ណោះ។
ចម្លើយ៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ ។
ឧទាហរណ៍ #2
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ។
យើងត្រូវគណនាដេរីវេ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងកត់សំគាល់ថា ថេរ (ឧ. លេខ ៩) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
ឥឡូវយើងងាកទៅកន្សោម $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$។ ដើម្បីឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការជ្រើសរើសរូបមន្តដែលចង់បានពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ ខ្ញុំនឹងបង្ហាញកន្សោម នៅក្នុងសំណួរក្នុងទម្រង់នេះ៖ $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$ ។ ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាវាចាំបាច់ក្នុងការប្រើរូបមន្តលេខ 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ជំនួស $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ និង $\alpha=12$ ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ៖
ការបំពេញសមភាព (2.1) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
ក្នុងស្ថានភាពនេះ កំហុសច្រើនតែកើតឡើងនៅពេលអ្នកដោះស្រាយនៅជំហានដំបូងជ្រើសរើសរូបមន្ត $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ជំនួសឱ្យរូបមន្ត $\left(u^\alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ចំនុចនោះគឺថាដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅត្រូវតែរកឃើញជាមុនសិន។ ដើម្បីយល់ពីមុខងារណាមួយនឹងនៅខាងក្រៅកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ស្រមៃថាអ្នកកំពុងរាប់តម្លៃនៃកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ $x$ ។ ដំបូងអ្នកគណនាតម្លៃ $5^x$ បន្ទាប់មកគុណលទ្ធផលនឹង 4 ដើម្បីទទួលបាន $4\cdot 5^x$។ ឥឡូវនេះយើងយក arctangent ពីលទ្ធផលនេះ ដោយទទួលបាន $\arctg(4\cdot 5^x)$ ។ បន្ទាប់មកយើងលើកលេខលទ្ធផលទៅថាមពលទីដប់ពីរ ដោយទទួលបាន $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ។ សកម្មភាពចុងក្រោយ, i.e. ការកើនឡើងដល់ថាមពល 12, - ហើយនឹងជាមុខងារខាងក្រៅ។ ហើយវាគឺមកពីវាដែលមនុស្សម្នាក់គួរតែចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេដែលត្រូវបានធ្វើឡើងដោយសមភាព (2.2) ។
ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរក $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ ។ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 19 នៃតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=4\cdot \ln x$ ទៅក្នុងវា៖
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
ចូរសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលបន្តិច ដោយគិតទៅ $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ។
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
សមភាព (2.2) ឥឡូវនេះនឹងក្លាយជា៖
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(4\cdot \ln x)"$ ។ យើងយកថេរ (ឧ. 4) ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖ $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$។ ដើម្បីស្វែងរក $(\ln x)"$ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 8 ដោយជំនួស $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ ជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅជារូបមន្ត (2.3) យើងទទួលបាន៖
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)))$ $
ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺច្រើនតែនៅក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចដែលបានសរសេរនៅក្នុងសមភាពចុងក្រោយ។ ដូច្នេះនៅពេលធ្វើការគណនាស្តង់ដារ ឬការធ្វើតេស្ត វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះក្នុងការលាបពណ៌ដំណោះស្រាយក្នុងលម្អិតដូចគ្នា។
ចម្លើយ៖ $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$ ។
ឧទាហរណ៍ #3
ស្វែងរក $y"$ នៃអនុគមន៍ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ ។
ដំបូងយើងបំប្លែងអនុគមន៍ $y$ បន្តិចដោយបង្ហាញរ៉ាឌីកាល់ (root) ជាថាមពល៖ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$។ ឥឡូវនេះសូមចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេ។ ចាប់តាំងពី $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ បន្ទាប់មក៖
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
យើងប្រើរូបមន្តលេខ 2 ពីតារាងដេរីវេដោយជំនួស $u=\sin(5\cdot 9^x)$ និង $\alpha=\frac(3)(7)$ ទៅក្នុងវា៖
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1)(\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" $$
យើងបន្តសមភាព (3.1) ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន៖
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
ឥឡូវនេះ យើងត្រូវស្វែងរក $(\sin(5\cdot 9^x))"$។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 9 ពីតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=5\cdot 9^x$ ទៅក្នុងវា៖
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
ការបំពេញសមភាព (៣.២) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(5\cdot 9^x)"$ ជាដំបូង យើងយកថេរ (លេខ $5$) ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ ពោលគឺ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$ ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី $(9^x)"$ យើងអនុវត្តរូបមន្តលេខ 5 នៃតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ ដោយជំនួស $a=9$ និង $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $ (9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តសមភាព (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x ។ $$
អ្នកអាចត្រឡប់ពីអំណាចទៅជារ៉ាឌីកាល់ (ឧ. ឫស) ម្តងទៀតដោយសរសេរ $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ as $\frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^) x)))$ ។ បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
ចម្លើយ៖ $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$ ។
ឧទាហរណ៍ #4
បង្ហាញថារូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេគឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងនេះ។
នៅក្នុងរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេទីវ័រ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ $u^\alpha$ ត្រូវបានសរសេរ។ ការជំនួស $\alpha=-1$ ទៅក្នុងរូបមន្ត #2 យើងទទួលបាន៖
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
ចាប់តាំងពី $u^(-1)=\frac(1)(u)$ និង $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, សមភាព (4.1) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម: $ \left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$ ។ នេះគឺជារូបមន្តលេខ 3 នៃតារាងដេរីវេ។
ចូរយើងបង្វែរម្តងទៀតទៅរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេ។ ជំនួស $\alpha=\frac(1)(2)$ ទៅក្នុងវា៖
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
ចាប់តាំងពី $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ និង $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ បន្ទាប់មកសមភាព (4.2) អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u)) )\cdot u" $$
សមភាពលទ្ធផល $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ គឺជារូបមន្តលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ រូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេទទួលបានពីរូបមន្តលេខ 2 ដោយជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ $\alpha$ ។
ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យ នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:
អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែព្យាយាមគណនាដោយរូបមន្តនេះ និយាយថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម
អនុគមន៍បឋមគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបានរាយខាងក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនពិបាកក្នុងការទន្ទេញចាំពួកគេទេ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖
| ឈ្មោះ | មុខងារ | ដេរីវេ |
| ថេរ | f(x) = គ, គ ∈ រ | 0 (បាទ/ចាស៎ សូន្យ!) |
| សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល | f(x) = x ន | ន · x ន − 1 |
| ស៊ីនុស | f(x) = បាប x | cos x |
| កូស៊ីនុស | f(x) = ខូស x | - អំពើបាប x(ដកស៊ីនុស) |
| តង់សង់ | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| កូតង់សង់ | f(x) = ctg x | - ១/ បាប ២ x |
| លោការីតធម្មជាតិ | f(x) = កំណត់ហេតុ x | 1/x |
| លោការីតតាមអំពើចិត្ត | f(x) = កំណត់ហេតុ ក x | 1/(x ln ក) |
| អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល | f(x) = អ៊ី x | អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ) |
ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖
(គ · f)’ = គ · f ’.
ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:
(2x 3)' = 2 ( x៣)' = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .
ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង លែងជាបឋម ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាតាមច្បាប់ជាក់លាក់ផងដែរ។ ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។
ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) និង g(x) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.
និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖
f ’(x) = (x 2+ អំពើបាប x)’ = (x២)' + (បាប x)’ = 2x+ cosx;
យើងប្រកែកដូចគ្នាចំពោះមុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
ដេរីវេនៃផលិតផល
គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"\u003e ស្មើនឹងផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែឧទុម្ពរអ្នក! ដេរីវេនៃផលិតផលត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ពោលគឺ៖
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជារឿយៗត្រូវបានបំភ្លេចចោល។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .
មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ខូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 cos x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)
មុខងារ g(x) មេគុណទីមួយមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែគ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងមេគុណទីមួយនៃអនុគមន៍ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើងមាន:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x(២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .
ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី
x
.
ចំណាំថានៅជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងយល់ពីមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការបញ្ចេញមតិដែលត្រូវបានបំបែកជាកត្តា។
ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មីមួយ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖
មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? ហើយបែបនេះ! នេះគឺជារូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
មានអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖
តាមទំនៀមទម្លាប់ យើងដាក់លេខភាគទៅជាកត្តា - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖
មុខងារស្មុគ្រស្មាញមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទទួលយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2+ ln x. វាប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2+ ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ នាងក៏មានដេរីវេផងដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការទេក្នុងការស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។
តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖
f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).
តាមក្បួនមួយស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះ វាក៏ជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃជំហាននីមួយៗ។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2+ ln x)
ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’
ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! អនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ 3. យើងទទួលបាន៖
f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងត្រូវការជំនួស។ x 2+ ln x = t. យើងមាន:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (អំពើបាប t)’ · t' = ខូស t · t ’
ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2+ ln x. បន្ទាប់មក៖
g ’(x) = cos( x 2+ ln x) · ( x 2+ ln x)' = cos ( x 2+ ln x) · (២ x + 1/x).
អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។
ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ ln x).
ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" ។ ឧទាហរណ៍ ការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។
ដូច្នេះការគណនានៃដេរីវេបានចុះមកដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយ៉ាងខ្លាំងទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត៖
(x ន)’ = ន · x ន − 1
មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x 0.5 ប៉ុន្ដែចុះយ៉ាងណាបើមានអ្វីពិបាកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតមុខងារស្មុគ្រស្មាញនឹងប្រែជា - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់សំណង់បែបនេះនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−០.៥ t ’.
យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x- ៧.យើងមាន៖
f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− ៧) −០.៥ ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖
កម្រិតដំបូង
ដេរីវេនៃមុខងារ។ មគ្គុទ្ទេសក៍ទូលំទូលាយ (2019)
ស្រមៃមើលផ្លូវត្រង់ឆ្លងកាត់តំបន់ភ្នំ។ ពោលគឺឡើងចុះ ប៉ុន្តែមិនបត់ស្តាំ ឬឆ្វេងទេ។ ប្រសិនបើអ័ក្សត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ដេកតាមបណ្តោយផ្លូវ និងបញ្ឈរ នោះខ្សែផ្លូវនឹងស្រដៀងទៅនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តមួយចំនួន៖
អ័ក្សគឺជាកម្រិតជាក់លាក់នៃកម្ពស់សូន្យនៅក្នុងជីវិតយើងប្រើកម្រិតទឹកសមុទ្រដូចវា។
ការឆ្ពោះទៅមុខតាមផ្លូវបែបនេះ យើងក៏កំពុងរំកិលឡើង ឬចុះក្រោម។ យើងក៏អាចនិយាយបានដែរថា: នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស abscissa) តម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សកំណត់)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតពីរបៀបដើម្បីកំណត់ "ភាពចោត" នៃផ្លូវរបស់យើង? តើតម្លៃនេះអាចជាអ្វី? សាមញ្ញណាស់៖ តើកម្ពស់នឹងផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាននៅពេលឈានទៅមុខចម្ងាយជាក់លាក់។ ជាការពិតណាស់នៅលើផ្នែកផ្សេងគ្នានៃផ្លូវឆ្ពោះទៅមុខ (តាមបណ្តោយ abscissa) មួយគីឡូម៉ែត្រយើងនឹងកើនឡើងឬធ្លាក់ចុះចំនួនផ្សេងគ្នានៃម៉ែត្រទាក់ទងទៅនឹងកម្រិតទឹកសមុទ្រ (តាមលំដាប់) ។
យើងបង្ហាញពីវឌ្ឍនភាពទៅមុខ (អាន "delta x") ។
អក្សរក្រិក (ដីសណ្តរ) ត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាបុព្វបទមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" ។ នោះគឺ - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរទំហំ, - ការផ្លាស់ប្តូរមួយ; បន្ទាប់មកតើវាជាអ្វី? ត្រឹមត្រូវហើយ ការផ្លាស់ប្តូរទំហំ។
សំខាន់៖ កន្សោមគឺជាអង្គភាពតែមួយ អថេរមួយ។ អ្នកមិនគួរហែក "ដីសណ្ត" ចេញពី "x" ឬអក្សរផ្សេងទៀតទេ! នោះជាឧទាហរណ៍។
ដូច្នេះ យើងបានឈានទៅមុខដោយផ្ដេក។ ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបបន្ទាត់នៃផ្លូវជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ តើយើងសម្គាល់ការកើនឡើងដោយរបៀបណា? ប្រាកដណាស់, ។ នោះគឺនៅពេលដែលឈានទៅមុខយើងឡើងខ្ពស់នៅលើ។
វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាតម្លៃ៖ ប្រសិនបើនៅដើមដំបូងយើងនៅកម្ពស់មួយ ហើយបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីយើងនៅកម្ពស់មួយ បន្ទាប់មក។ ប្រសិនបើចំណុចបញ្ចប់ប្រែទៅជាទាបជាងចំណុចចាប់ផ្តើម វានឹងអវិជ្ជមាន - នេះមានន័យថាយើងមិនឡើងទេ ប៉ុន្តែចុះ។
ត្រលប់ទៅ "ភាពចោត"៖ នេះគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាកម្ពស់កើនឡើងប៉ុន្មាន (ចោត) នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខក្នុងមួយឯកតាចម្ងាយ៖
ឧបមាថានៅលើផ្នែកខ្លះនៃផ្លូវនេះ នៅពេលទៅមុខដោយគីឡូម៉ែត្រ ផ្លូវឡើងដោយគីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកភាពចោតនៅកន្លែងនេះគឺស្មើគ្នា។ ហើយបើផ្លូវលិចតាមគ.ម? បន្ទាប់មកជម្រាលគឺស្មើគ្នា។
ឥឡូវពិចារណាលើកំពូលភ្នំ។ ប្រសិនបើអ្នកយកការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្រទៅកំពូលហើយចុងបញ្ចប់ - ពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្របន្ទាប់ពីវាអ្នកអាចមើលឃើញថាកម្ពស់គឺស្ទើរតែដូចគ្នា។
នោះគឺយោងទៅតាមតក្កវិជ្ជារបស់យើងវាប្រែថាជម្រាលនៅទីនេះគឺស្ទើរតែស្មើនឹងសូន្យដែលច្បាស់ណាស់មិនពិត។ ជាច្រើនអាចផ្លាស់ប្តូរបានត្រឹមតែពីរបីម៉ាយល៍ប៉ុណ្ណោះ។ តំបន់តូចៗចាំបាច់ត្រូវពិចារណាសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ និងត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតអំពីភាពចោត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់នៅពេលផ្លាស់ទីមួយម៉ែត្រ លទ្ធផលនឹងមានភាពត្រឹមត្រូវជាង។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែភាពត្រឹមត្រូវនេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើមានបង្គោលនៅកណ្តាលផ្លូវយើងអាចរអិលឆ្លងកាត់វាបាន។ តើយើងត្រូវជ្រើសរើសចម្ងាយប៉ុន្មាន? សង់ទីម៉ែត្រ? មីលីម៉ែត្រ? តិចគឺល្អ!
នៅក្នុងជីវិតពិត ការវាស់ចម្ងាយទៅមីលីម៉ែត្រដែលនៅជិតបំផុតគឺច្រើនជាងគ្រប់គ្រាន់។ ប៉ុន្តែអ្នកគណិតវិទូតែងតែព្យាយាមដើម្បីភាពល្អឥតខ្ចោះ។ ដូច្នេះគំនិតគឺ គ្មានកំណត់នោះគឺតម្លៃម៉ូឌុលគឺតិចជាងលេខណាមួយដែលយើងអាចដាក់ឈ្មោះបាន។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិយាយថា៖ មួយពាន់ពាន់លាន! តិចប៉ុន្មាន? ហើយអ្នកចែកលេខនេះដោយ - ហើយវានឹងតិចជាង។ លល។ បើយើងចង់សរសេរថាតម្លៃគឺតូចបំផុត យើងសរសេរដូចនេះ៖ (យើងអាន “x ទំនោរទៅសូន្យ”)។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ ថាចំនួននេះមិនស្មើនឹងសូន្យ!ប៉ុន្តែនៅជិតវា។ នេះមានន័យថាវាអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា។
គំនិតផ្ទុយពីតូចគ្មានកំណត់ គឺធំគ្មានកំណត់ ()។ អ្នកប្រហែលជាបានជួបប្រទះវារួចហើយ នៅពេលអ្នកកំពុងធ្វើការលើវិសមភាព៖ លេខនេះគឺធំជាងនៅក្នុងម៉ូឌុលជាងចំនួនណាមួយដែលអ្នកអាចគិតបាន។ ប្រសិនបើអ្នកឡើងជាមួយនឹងចំនួនធំបំផុតដែលអាចធ្វើបាន គ្រាន់តែគុណវាដោយពីរ ហើយអ្នកនឹងទទួលបានកាន់តែច្រើន។ ហើយភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺលើសពីអ្វីដែលកើតឡើង។ តាមការពិត ទំហំធំ និងតូចគ្មានកំណត់ គឺបញ្ច្រាស់គ្នាទៅវិញទៅមក ពោលគឺ នៅ និងច្រាសមកវិញ៖ នៅ។
ឥឡូវនេះត្រឡប់ទៅផ្លូវរបស់យើងវិញ។ ជម្រាលដែលបានគណនាតាមឧត្ដមគតិ គឺជាជម្រាលដែលបានគណនាសម្រាប់ផ្នែកតូចបំផុតនៃផ្លូវ នោះគឺ៖
ខ្ញុំចំណាំថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅតូចមិនចេះចប់ ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់ក៏នឹងតូចមិនចេះចប់។ ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា តូចមិនចេះចប់ មិនមែនមានន័យថាស្មើសូន្យទេ។ ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកលេខមិនកំណត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក អ្នកអាចទទួលបានលេខធម្មតាទាំងស្រុង ឧទាហរណ៍។ នោះគឺតម្លៃតូចមួយអាចធំជាងតម្លៃមួយទៀតពីរដង។
ហេតុអ្វីទាំងអស់នេះ? ផ្លូវ ផ្លូវចោត... យើងមិនដើរលេងទេ តែយើងរៀនគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហៅខុសគ្នាតែប៉ុណ្ណោះ។
គំនិតនៃដេរីវេ
ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ដែលមិនកំណត់។
បង្កើននៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។ តើអាគុយម៉ង់ () បានផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាននៅពេលផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ហើយកំណត់ដោយចំនួនមុខងារ (កម្ពស់) បានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខតាមអ័ក្សដោយចម្ងាយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនមុខងារនិងត្រូវបានសម្គាល់។
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺទាក់ទងទៅនឹងពេលណា។ យើងសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារ ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលពីខាងស្តាំខាងលើ៖ ឬសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេររូបមន្តដេរីវេដោយប្រើសញ្ញាណទាំងនេះ៖
ដូចនៅក្នុងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្លូវនៅទីនេះ នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាគឺអវិជ្ជមាន។
ប៉ុន្តែតើនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងសូន្យឬ? ពិតប្រាកដ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបើកបរលើផ្លូវផ្តេក ភាពចោតគឺសូន្យ។ ជាការពិតកម្ពស់មិនផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះជាមួយដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ (ថេរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ៖
ចាប់តាំងពីការបង្កើនមុខងារបែបនេះគឺសូន្យសម្រាប់ណាមួយ។
ចូរយើងយកឧទាហរណ៍នៅលើកំពូលភ្នំ។ វាបានប្រែក្លាយថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំចុងបញ្ចប់នៃចម្រៀកនៅលើជ្រុងផ្ទុយគ្នានៃ vertex តាមរបៀបដែលកម្ពស់នៅខាងចុងប្រែទៅជាដូចគ្នា នោះគឺផ្នែកគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស៖
ប៉ុន្តែផ្នែកធំគឺជាសញ្ញានៃការវាស់វែងមិនត្រឹមត្រូវ។ យើងនឹងលើកផ្នែករបស់យើងឡើងស្របទៅនឹងខ្លួនវា បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងថយចុះ។
នៅទីបញ្ចប់ នៅពេលដែលយើងស្ថិតនៅជិតកំពូលគ្មានកំណត់ ប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងក្លាយទៅជាតូចគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះ វានៅតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស ពោលគឺភាពខុសគ្នានៃកម្ពស់នៅចុងរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (មិនមានទំនោរ ប៉ុន្តែស្មើនឹង)។ ដូច្នេះដេរីវេ
នេះអាចយល់បានដូចខាងក្រោម៖ នៅពេលដែលយើងឈរនៅកំពូល ការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយទៅឆ្វេង ឬស្តាំផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់របស់យើងដោយធ្វេសប្រហែស។
វាក៏មានការពន្យល់អំពីពិជគណិតសុទ្ធសាធផងដែរ៖ នៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ មុខងារកើនឡើង ហើយនៅខាងស្តាំ វាថយចុះ។ ដូចដែលយើងបានរកឃើញរួចមកហើយនៅពេលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាមានអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែវាផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងរលូនដោយគ្មានការលោត (ដោយសារតែផ្លូវមិនផ្លាស់ប្តូរជម្រាលរបស់វាយ៉ាងខ្លាំងគ្រប់ទីកន្លែង) ។ ដូច្នេះ ត្រូវតែមានរវាងតម្លៃអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។ វានឹងក្លាយជាកន្លែងដែលមុខងារមិនកើនឡើង ឬថយចុះ - នៅចំណុចកំពូល។
ដូចគ្នានេះដែរគឺសម្រាប់ជ្រលងភ្នំ (តំបន់ដែលមុខងារថយចុះនៅខាងឆ្វេងនិងកើនឡើងនៅខាងស្តាំ):
បន្តិចទៀតអំពីការកើនឡើង។
ដូច្នេះយើងប្តូរអាគុយម៉ង់ទៅជាតម្លៃ។ តើយើងប្តូរពីតម្លៃអ្វី? តើគាត់ (អាគុយម៉ង់) ឥឡូវនេះបានក្លាយជាអ្វី? យើងអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងរាំពីវា។
ពិចារណាចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ។ តម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើនដូចគ្នា៖ បង្កើនកូអរដោណេដោយ។ តើអ្វីជាអាគុយម៉ង់ឥឡូវនេះ? ងាយស្រួលណាស់៖ ។ តើអ្វីទៅជាតម្លៃនៃមុខងារឥឡូវនេះ? កន្លែងដែលអាគុយម៉ង់ទៅ មុខងារទៅទីនោះ៖ . ចុះការបង្កើនមុខងារវិញ? គ្មានអ្វីថ្មីទេ៖ នេះនៅតែជាចំនួនដែលមុខងារបានផ្លាស់ប្តូរ៖
អនុវត្តការស្វែងរកការកើនឡើង៖
- ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ស្មើនឹង។
- ដូចគ្នាសម្រាប់មុខងារនៅចំណុចមួយ។
ដំណោះស្រាយ៖
នៅចំណុចផ្សេងគ្នា ជាមួយនឹងការកើនឡើងដូចគ្នានៃអាគុយម៉ង់ ការបង្កើនមុខងារនឹងខុសគ្នា។ នេះមានន័យថា ដេរីវេនៅចំណុចនីមួយៗមានរបស់វា (យើងបានពិភាក្សារឿងនេះនៅដើមដំបូង - ភាពចោតនៃផ្លូវនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាគឺខុសគ្នា) ។ ដូច្នេះ ពេលយើងសរសេរនិស្សន្ទវត្ថុ យើងត្រូវចង្អុលបង្ហាញត្រង់ចំណុចណា៖
មុខងារថាមពល។
អនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់មានកម្រិតខ្លះ (ឡូជីខលមែនទេ?)
និង - ក្នុងកម្រិតណាមួយ: .
ករណីសាមញ្ញបំផុតគឺនៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺ៖
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វានៅចំណុចមួយ។ ចងចាំនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖
ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរពីទៅ។ តើការបង្កើនមុខងារជាអ្វី?
ការកើនឡើងគឺ។ ប៉ុន្តែមុខងារនៅចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងអាគុយម៉ង់របស់វា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល:
ដេរីវេគឺ៖
ដេរីវេនៃគឺ៖
ខ) ឥឡូវពិចារណាអនុគមន៍ quadratic (): .
ឥឡូវនេះ ចូរយើងចងចាំរឿងនោះ។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃការកើនឡើងអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ព្រោះវាមានទំហំតូចបំផុត ហើយដូច្នេះវាមិនសំខាន់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃពាក្យផ្សេងទៀត៖
ដូច្នេះយើងមានច្បាប់មួយទៀត៖
គ) យើងបន្តស៊េរីឡូជីខល៖ .
កន្សោមនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ បើកតង្កៀបទីមួយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់គុណសង្ខេបនៃគូបនៃផលបូក ឬបំបែកកន្សោមទាំងមូលទៅជាកត្តាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប។ ព្យាយាមធ្វើវាដោយខ្លួនឯងតាមវិធីណាមួយដែលបានណែនាំ។
ដូច្នេះ, ខ្ញុំទទួលបានដូចខាងក្រោម:
ហើយសូមចាំវាម្តងទៀត។ នេះមានន័យថាយើងអាចធ្វេសប្រហែសពាក្យទាំងអស់ដែលមាន៖
យើងទទួលបាន: ។
ឃ) ច្បាប់ស្រដៀងគ្នាអាចទទួលបានសម្រាប់អំណាចធំៗ៖
e) វាប្រែថាច្បាប់នេះអាចត្រូវបានទូទៅសម្រាប់អនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តបំពាន មិនមែនសូម្បីតែចំនួនគត់៖
| (2) |
អ្នកអាចបង្កើតច្បាប់ដោយប្រើពាក្យ៖ "ដឺក្រេត្រូវបាននាំមកជាមេគុណ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថយដោយ"។
យើងនឹងបញ្ជាក់ច្បាប់នេះនៅពេលក្រោយ (ស្ទើរតែដល់ទីបញ្ចប់)។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
- (តាមវិធីពីរយ៉ាង៖ ដោយរូបមន្ត និងការប្រើប្រាស់និយមន័យនៃដេរីវេ - ដោយរាប់ការបង្កើនមុខងារ);
- . ជឿឬមិនជឿ នេះគឺជាមុខងារថាមពល។ ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរដូចជា "តើវាយ៉ាងម៉េច? ហើយសញ្ញាបត្រនៅឯណា?”, ចងចាំប្រធានបទ“”!
បាទ, បាទ, ឫសក៏ជាដឺក្រេមួយ, តែប្រភាគមួយ :.
ដូច្នេះឫសការ៉េរបស់យើងគ្រាន់តែជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្ត៖
.
យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តដែលបានរៀនថ្មីៗនេះ៖បើដល់ចំណុចនេះវាមិនច្បាស់ម្ដងទៀត ធ្វើប្រធានបទ "" ម្ដងទៀត!!! (អំពីសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករអវិជ្ជមាន)
- . ឥឡូវនេះនិទស្សន្ត៖
ហើយឥឡូវនេះតាមរយៈនិយមន័យ (តើអ្នកភ្លេចនៅឡើយទេ?)៖
;
.
ឥឡូវនេះ ដូចធម្មតា យើងមិនអើពើនឹងពាក្យដែលមាន៖
. - . ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃករណីមុន: .
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។
ខាងក្រោមនេះយើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិតមួយពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់៖
ពេលបញ្ចេញមតិ។
អ្នកនឹងរៀនភស្តុតាងនៅឆ្នាំដំបូងនៃវិទ្យាស្ថាន (ហើយដើម្បីទៅដល់ទីនោះអ្នកត្រូវប្រឡងឱ្យបានល្អ) ។ ឥឡូវនេះ ខ្ញុំគ្រាន់តែបង្ហាញវាជាក្រាហ្វិក៖
យើងឃើញថានៅពេលដែលមុខងារមិនមាន - ចំណុចនៅលើក្រាហ្វត្រូវបានដាល់។ ប៉ុន្តែការខិតទៅជិតតម្លៃ មុខងារកាន់តែខិតទៅជិត។ នេះគឺជា "ការខិតខំ" យ៉ាងខ្លាំង។
លើសពីនេះទៀតអ្នកអាចពិនិត្យមើលច្បាប់នេះដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ បាទ បាទ កុំខ្មាស់គេ យកម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងមិនទាន់ប្រឡងទេ។
ដូច្នេះសូមសាកល្បង៖ ;
កុំភ្លេចប្តូរម៉ាស៊ីនគិតលេខទៅរបៀបរ៉ាដ្យង់!
ល។ យើងឃើញថាតូចជាង តម្លៃនៃសមាមាត្រកាន់តែជិត។
ក) ពិចារណាមុខងារមួយ។ ជាធម្មតាយើងរកឃើញការកើនឡើងរបស់វា៖
ចូរបង្វែរភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុសទៅជាផលិតផល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្ត (ចងចាំប្រធានបទ ""): ។
ឥឡូវនេះដេរីវេ៖
តោះធ្វើការជំនួស៖ . បន្ទាប់មកសម្រាប់ទំហំតូចក៏តូចមិនចេះចប់ដែរ៖ . កន្សោមសម្រាប់មានទម្រង់៖
ហើយឥឡូវនេះយើងចងចាំវាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិ។ ហើយផងដែរ ចុះបើតម្លៃតូចមិនចេះចប់អាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងផលបូក (នោះគឺនៅ)។
ដូច្នេះយើងទទួលបានច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស:
ទាំងនេះគឺជានិស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន ("តារាង")។ នៅទីនេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីមួយ៖
ក្រោយមកយើងនឹងបន្ថែមពីរបីទៀតទៅពួកវា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺសំខាន់បំផុត ព្រោះពួកវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។
ការអនុវត្ត៖
- ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ;
- ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
ដំណោះស្រាយ៖
- ដំបូង យើងរកឃើញដេរីវេក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងជំនួសតម្លៃរបស់វាជំនួសវិញ៖
;
. - នៅទីនេះយើងមានអ្វីមួយស្រដៀងនឹងមុខងារថាមពល។ តោះព្យាយាមនាំនាងទៅ
ទិដ្ឋភាពធម្មតា៖
.
យល់ព្រម ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើរូបមន្ត៖
.
. - . អឺយ.... ស្អី????
មិនអីទេ អ្នកនិយាយត្រូវ យើងនៅតែមិនដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបែបនេះ។ នៅទីនេះយើងមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទជាច្រើននៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើការជាមួយពួកគេ អ្នកត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនបន្ថែមទៀត៖
និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ។
មានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដេរីវេនៃណាមួយគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ខ្លួនវាសម្រាប់ដូចគ្នា។ វាត្រូវបានគេហៅថា "និទស្សន្ត" និងជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
មូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍នេះ - ថេរ - គឺជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ នោះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល (ដូចជា)។ វាត្រូវបានគេហៅថា "លេខអយល័រ" ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។
ដូច្នេះក្បួនគឺ៖
វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។
មែនហើយយើងនឹងមិនទៅឆ្ងាយទេយើងនឹងពិចារណាភ្លាមៗអំពីមុខងារបញ្ច្រាស។ តើអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបញ្ច្រាស់គឺជាអ្វី? លោការីត៖
ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖
លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។
តើស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដណាស់, ។
ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖
ឧទាហរណ៍:
- ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
- តើអ្វីជាដេរីវេនៃមុខងារ?
ចម្លើយ៖ និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ គឺជាមុខងារដែលមានលក្ខណៈសាមញ្ញក្នុងន័យនៃដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត នឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងវិភាគនៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពីយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។
ច្បាប់នៃការបែងចែក
តើច្បាប់អ្វីខ្លះ? អាណត្តិថ្មីទៀតហើយ!...
ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។
មានតែនិងអ្វីៗទាំងអស់។ តើពាក្យអ្វីផ្សេងទៀតសម្រាប់ដំណើរការនេះ? មិន proizvodnovanie... ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។
នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖
សរុបមាន ៥ ច្បាប់។
ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។
ប្រសិនបើ - ចំនួនថេរមួយចំនួន (ថេរ) បន្ទាប់មក។
ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .
ចូរយើងបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យឬងាយស្រួលជាង។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
- នៅចំណុច;
- នៅចំណុច;
- នៅចំណុច;
- នៅចំណុច។
ដំណោះស្រាយ៖
- (ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ព្រោះវាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ សូមចាំ?);
ដេរីវេនៃផលិតផល
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ យើងណែនាំមុខងារថ្មី និងស្វែងរកការបន្ថែមរបស់វា៖
ដេរីវេ៖
ឧទាហរណ៍:
- ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និង;
- ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។
ដំណោះស្រាយ៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលណាមួយ ហើយមិនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)
ដូច្នេះតើលេខមួយណា។
យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមនាំយកមុខងាររបស់យើងទៅកាន់មូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖
ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើច្បាប់សាមញ្ញមួយ: . បន្ទាប់មក៖
ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។
បានកើតឡើង?
នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖
រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្ត៖ ដូចដែលវាគឺ វានៅតែមាន មានតែកត្តាមួយបានលេចឡើង ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ចម្លើយ៖
នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ ពោលគឺវាមិនអាចសរសេរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះបានទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងចម្លើយវាត្រូវបានទុកក្នុងទម្រង់នេះ។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត
នៅទីនេះវាស្រដៀងគ្នា៖ អ្នកដឹងពីដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិរួចហើយ៖
ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរក arbitrary ពីលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖
យើងត្រូវនាំយកលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖
មានតែឥឡូវនេះជំនួសឱ្យយើងនឹងសរសេរ:
ភាគបែងប្រែថាគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺសាមញ្ញណាស់៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ស្ទើរតែរកមិនឃើញនៅក្នុងការប្រឡង ប៉ុន្តែវានឹងមិននាំអោយអ្នកស្គាល់ពួកវានោះទេ។
ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាតង់ហ្សង់ធ្នូទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាលោការីតហាក់ដូចជាពិបាកសម្រាប់អ្នក សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការ) ប៉ុន្តែបើនិយាយពីគណិតវិទ្យាវិញ ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" នោះទេ។
ស្រមៃមើលឧបករណ៍បញ្ជូនតូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ ហើយធ្វើសកម្មភាពខ្លះជាមួយវត្ថុមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ទីមួយរុំរបារសូកូឡាក្នុងកន្សែងរុំ ហើយទីពីរចងវាដោយខ្សែបូ។ វាប្រែចេញវត្ថុផ្សំបែបនេះ៖ របារសូកូឡារុំនិងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំរបារសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើជំហានផ្ទុយគ្នាតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។
ចូរបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងធ្វើការការ៉េនៃលេខលទ្ធផល។ ដូច្នេះ គេឲ្យលេខមួយមកយើង (សូកូឡា) ខ្ញុំរកកូស៊ីនុស (ក្រដាសរុំ) ហើយបន្ទាប់មកអ្នកដាក់ការ៉េអ្វីដែលខ្ញុំទទួលបាន (ចងវាដោយខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលដែលដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងធ្វើសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរផ្សេងទៀតជាមួយនឹងអ្វីដែលបានកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃទីមួយ។
យើងអាចធ្វើសកម្មភាពដូចគ្នាក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ដំបូងអ្នកការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំរកមើលកូស៊ីនុសនៃលេខលទ្ធផល៖ ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលដែលលំដាប់នៃសកម្មភាពផ្លាស់ប្តូរ មុខងារផ្លាស់ប្តូរ។
ក្នុងន័យផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .
ឧទាហរណ៍ទីមួយ។
ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .
សកម្មភាពចុងក្រោយដែលយើងធ្វើនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្តដំបូង - រៀងគ្នា។ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។
ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណាជាមុខងារខាងក្នុង៖
ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងអនុគមន៍
- តើយើងនឹងចាត់វិធានការអ្វីមុនគេ? ដំបូងយើងគណនាស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកយើងលើកវាទៅជាគូប។ ដូច្នេះវាជាមុខងារខាងក្នុង មិនមែនជាមុខងារខាងក្រៅទេ។
ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ . - ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។ - ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។ - ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។ - ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារ។
មែនហើយឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយកសូកូឡារបស់យើង - រកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ បន្ទាប់មកយើងគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើមវាមើលទៅដូចនេះ:
ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖
ដូច្នេះ ទីបំផុតយើងនឹងបង្កើតច្បាប់ជាផ្លូវការ៖
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?
តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖
ដំណោះស្រាយ៖
1) ផ្ទៃក្នុង: ;
ខាងក្រៅ៖ ;
2) ផ្ទៃក្នុង: ;
(កុំព្យាយាមកាត់បន្ថយឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីត្រូវបានយកចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសទេនៅចាំ?)
3) ផ្ទៃក្នុង: ;
ខាងក្រៅ៖ ;
វាច្បាស់ភ្លាមៗថាមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញបីកម្រិតនៅទីនេះ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងនៅតែទាញយកឫសពីវា ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (ដាក់សូកូឡានៅក្នុងរុំ។ និងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូបយួរមួយ) ។ ប៉ុន្តែគ្មានហេតុផលអ្វីដែលត្រូវខ្លាចឡើយ៖ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹង "ស្រាយ" មុខងារនេះតាមលំដាប់ដូចធម្មតា៖ ពីចុងបញ្ចប់។
នោះគឺជាដំបូងយើងធ្វើការខុសគ្នានៃឫស បន្ទាប់មកកូស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកតែកន្សោមក្នុងតង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។
ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពក្នុងលំដាប់ណាដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖
នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត មុខងារដែលត្រូវគ្នានឹង "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើន។ លំដាប់នៃសកម្មភាព - ដូចពីមុន៖
នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរយើងកំណត់ផ្លូវនៃសកម្មភាព។
1. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ .
2. ឫស។ .
3. ស៊ីនុស។ .
4. ការ៉េ។ .
5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖
ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីមេ
ដេរីវេនៃមុខងារ- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់:
និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖
ច្បាប់នៃការបែងចែក៖
ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖
ដេរីវេនៃផលបូក៖
ផលិតផលដេរីវេ៖
ដេរីវេនៃកូតា៖
ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
- យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
- យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
- យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។
ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរក ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ. មេរៀនគឺជាការបន្តនៃមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?ដែលយើងបានធ្វើការវិភាគលើនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយក៏បានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងវិធីសាស្រ្តបច្ចេកទេសមួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុផងដែរ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវពូកែជាមួយដេរីវេនៃមុខងារ ឬចំណុចខ្លះនៃអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមស្តាប់តាមអារម្មណ៍ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនងាយស្រួលទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។
នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាញឹកញាប់ ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។
យើងមើលក្នុងតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖
យើងយល់។ ជាបឋម សូមក្រឡេកមើលសញ្ញាណ។ នៅទីនេះយើងមានអនុគមន៍ពីរ - និង , ហើយមុខងារដែលនិយាយជាន័យធៀបគឺត្រូវបានដាក់ក្នុងមុខងារ។ មុខងារនៃប្រភេទនេះ (នៅពេលដែលមុខងារមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារស្មុគស្មាញ។
ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).
! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំប្រើកន្សោមក្រៅផ្លូវការ "មុខងារខាងក្រៅ" មុខងារ "ខាងក្នុង" តែប៉ុណ្ណោះដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។
ដើម្បីបញ្ជាក់ស្ថានភាព សូមពិចារណា៖
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅក្រោមស៊ីនុស យើងមិនត្រឹមតែមានអក្សរ "x" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែកន្សោមទាំងមូល ដូច្នេះការស្វែងរកដេរីវេពីតារាងភ្លាមៗនឹងមិនដំណើរការទេ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ទាំងបួនដំបូងនៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប៉ុន្តែការពិតគឺថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការ "បំបែក" ស៊ីនុសនេះ៖
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំរួចហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា អនុគមន៍ គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺជាមុខងារខាងក្នុង (បង្កប់) និងមុខងារខាងក្រៅ។
ជំហានដំបូងដែលត្រូវតែអនុវត្តនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញគឺដើម្បី យល់ថាតើមុខងារមួយណាជាខាងក្នុង និងមួយណាជាខាងក្រៅ.
ក្នុងករណីឧទាហរណ៍សាមញ្ញ វាហាក់ដូចជាច្បាស់ណាស់ថាពហុធាត្រូវបានដាក់នៅក្រោមស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើវាមិនច្បាស់? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ឱ្យច្បាស់ថាមួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ និងមួយណាជាផ្ទៃក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង។
ចូរស្រមៃថាយើងត្រូវការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ជំនួសឱ្យលេខមួយអាចមានលេខណាមួយ) ។
តើយើងគណនាអ្វីមុនគេ? ជាដំបូងបង្អស់អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពខាងក្រោម៖ ដូច្នេះពហុធានឹងជាមុខងារខាងក្នុង៖ 
ទីពីរអ្នកនឹងត្រូវស្វែងរក ដូច្នេះស៊ីនុស - នឹងក្លាយជាមុខងារខាងក្រៅ៖ 
បន្ទាប់ពីយើង យល់ជាមួយនឹងមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ វាដល់ពេលដែលត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារបរិវេណ។
យើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?យើងចងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយនៃដេរីវេណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងភ្ជាប់កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ៖
ជាដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ (ស៊ីនុស) មើលតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ហើយសម្គាល់ថា . រូបមន្តតារាងទាំងអស់អាចអនុវត្តបាន ទោះបីជា "x" ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មុគស្មាញក៏ដោយ។, ក្នុងករណីនេះ:
ចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិនបានផ្លាស់ប្តូរ, យើងមិនប៉ះវា.
មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា
លទ្ធផលចុងក្រោយនៃការអនុវត្តរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖
កត្តាថេរជាធម្មតាត្រូវបានដាក់នៅដើមកន្សោម៖
ប្រសិនបើមានការយល់ច្រឡំ សូមសរសេរសេចក្តីសម្រេចលើក្រដាស ហើយអានការពន្យល់ម្តងទៀត។
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ដូចរាល់ដង យើងសរសេរ៖ 
យើងស្វែងយល់ថាតើយើងមានមុខងារខាងក្រៅនៅឯណា ហើយផ្នែកខាងក្នុងនៅឯណា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងព្យាយាម (ផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមសម្រាប់ . អ្វីដែលត្រូវធ្វើមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដែលមានន័យថាពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖ 
ហើយមានតែនៅពេលនោះនិទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះមុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖ 
យោងតាមរូបមន្តដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ យើងកំពុងស្វែងរករូបមន្តដែលចង់បាននៅក្នុងតារាង៖ ។ យើងនិយាយម្តងទៀត៖ រូបមន្តតារាងណាមួយមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ "x" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។. ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយមានដូចខាងក្រោម៖
ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា នៅពេលយើងយកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ មុខងារខាងក្នុងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖ 
ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារខាងក្នុងនិង "សិតសក់" លទ្ធផលបន្តិច:
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
ដើម្បីបង្រួបបង្រួមការយល់ដឹងអំពីដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍ដោយគ្មានយោបល់ ព្យាយាមស្វែងយល់ដោយខ្លួនឯង ហេតុផល ខាងក្រៅនៅឯណា ហើយមុខងារខាងក្នុងនៅឯណា ហេតុអ្វីបានជាកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបនោះ?
ឧទាហរណ៍ 5
ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
នៅទីនេះយើងមានឫសមួយ ហើយដើម្បីសម្គាល់ឫសគល់ខុសគ្នា វាត្រូវតែតំណាងជាសញ្ញាប័ត្រ។ ដូច្នេះដំបូងយើងនាំយកមុខងារទៅជាទម្រង់ត្រឹមត្រូវសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖
ការវិភាគមុខងារ យើងសន្និដ្ឋានថាផលបូកនៃពាក្យទាំងបីគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយនិទស្សន្តគឺជាអនុគមន៍ខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
សញ្ញាប័ត្រត្រូវបានតំណាងម្តងទៀតជារ៉ាឌីកាល់ (ឫស) ហើយសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង យើងអនុវត្តច្បាប់សាមញ្ញមួយសម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖
រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចនាំយកកន្សោមទៅជាភាគបែងធម្មតានៅក្នុងតង្កៀប ហើយសរសេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងជាប្រភាគមួយ។ វាពិតជាស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែនៅពេលទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុដ៏វែងឆ្ងាយ នោះជាការប្រសើរដែលកុំធ្វើវា (វាងាយនឹងច្រឡំ ធ្វើខុសដែលមិនចាំបាច់ ហើយវានឹងមិនងាយស្រួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការពិនិត្យ) ។
ឧទាហរណ៍ ៧
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ មនុស្សម្នាក់អាចប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា 
ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅហាក់ដូចជាគួរឱ្យអស់សំណើច។ នេះជាឧទាហរណ៍ធម្មតា៖
ឧទាហរណ៍ ៨
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃ quotient ប៉ុន្តែ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការស្វែងរកដេរីវេតាមរយៈច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
យើងរៀបចំមុខងារសម្រាប់ភាពខុសគ្នា - យើងដកសញ្ញាដកនៃដេរីវេ ហើយលើកកូស៊ីនុសទៅភាគយក៖
កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
តោះប្រើច្បាប់របស់យើង៖
យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង កំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖
រួចរាល់។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាវាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។ ដោយវិធីនេះព្យាយាមដោះស្រាយវាជាមួយនឹងច្បាប់ , ចម្លើយត្រូវតែផ្គូផ្គង។
ឧទាហរណ៍ ៩
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាករណីដែលយើងមានសំបុកតែមួយនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលដូចជាសំបុកតុក្កតា មួយនៅខាងក្នុងផ្សេងទៀត មុខងារ 3 ឬសូម្បីតែ 4-5 ត្រូវបានដាក់សំបុកក្នុងពេលតែមួយ។
ឧទាហរណ៍ 10
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
យើងយល់ពីឯកសារភ្ជាប់នៃមុខងារនេះ។ យើងព្យាយាមវាយតម្លៃកន្សោមដោយប្រើតម្លៃពិសោធន៍។ តើយើងនឹងពឹងផ្អែកលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយរបៀបណា?
ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ដែលមានន័យថា អាកស៊ីន គឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត៖
Arcsine នៃការរួបរួមនេះគួរតែជាការ៉េ៖
ហើយទីបំផុតយើងលើកទាំងប្រាំពីរទៅជាអំណាច៖ 
នោះគឺនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានមុខងារបីផ្សេងគ្នា និងសំបុកពីរ ខណៈពេលដែលមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
យើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត
តាមក្បួនដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "x" យើងមានកន្សោមស្មុគស្មាញដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះទេ។ ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយមានដូចខាងក្រោម៖
នៅក្រោមសញ្ញា យើងមានមុខងារល្បិចទៀតហើយ! ប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួលជាងមុន។ វាងាយមើលឃើញថាមុខងារខាងក្នុងគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅគឺជាដឺក្រេ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃដឺក្រេ។
