Como encontrar o LCM (mínimo múltiplo comum)

O múltiplo comum de dois inteiros é o inteiro que é divisível por ambos os números dados sem resto.

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros é o menor de todos os inteiros que é divisível uniformemente e sem resto por ambos os números dados.

Método 1. Você pode encontrar o LCM, por sua vez, para cada um dos números fornecidos, escrevendo em ordem crescente todos os números obtidos multiplicando-os por 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

Exemplo para os números 6 e 9.
Multiplicamos o número 6, sequencialmente, por 1, 2, 3, 4, 5.
Obtemos: 6, 12, 18 , 24, 30
Multiplicamos o número 9, sequencialmente, por 1, 2, 3, 4, 5.
Obtemos: 9, 18 , 27, 36, 45
Como você pode ver, o LCM para os números 6 e 9 será 18.

Este método é conveniente quando ambos os números são pequenos e é fácil multiplicá-los por uma sequência de números inteiros. No entanto, há momentos em que você precisa encontrar o LCM para dois dígitos ou números de três dígitos, e também quando há três ou mais números iniciais.

Método 2. Você pode encontrar o LCM expandindo os números originais em fatores primos.
Após a decomposição, é necessário excluir da série resultante de fatores primos mesmos números. Os números restantes do primeiro número serão o fator para o segundo, e os números restantes do segundo número serão o fator para o primeiro.

Exemplo para o número 75 e 60.
O mínimo múltiplo comum dos números 75 e 60 pode ser encontrado sem escrever múltiplos desses números em uma linha. Para fazer isso, decompomos 75 e 60 em fatores primos:
75 = 3 * 5 * 5, e
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Como você pode ver, os fatores 3 e 5 ocorrem em ambas as linhas. Mentalmente nós os "riscamos".
Vamos anotar os demais fatores incluídos na expansão de cada um desses números. Ao decompor o número 75, deixamos o número 5 e, ao decompor o número 60, deixamos 2 * 2
Então, para determinar o LCM para os números 75 e 60, precisamos multiplicar os números restantes da expansão de 75 (isto é 5) por 60, e os números restantes da expansão do número 60 (isto é 2 * 2 ) multiplique por 75. Ou seja, para facilitar o entendimento, dizemos que multiplicamos "na transversal".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Foi assim que encontramos o LCM para os números 60 e 75. Este é o número 300.

Exemplo. Determine o LCM para os números 12, 16, 24
NO este caso, nossas ações serão um pouco mais complicadas. Mas, primeiro, como sempre, decompomos todos os números em fatores primos
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Para determinar corretamente o MMC, selecionamos o menor de todos os números (este é o número 12) e passamos sucessivamente por seus fatores, riscando-os se pelo menos uma das outras linhas de números tiver o mesmo multiplicador que ainda não foi cruzado Fora.

Passo 1 . Vemos que 2 * 2 ocorre em todas as séries de números. Nós os cruzamos.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Passo 2. Nos fatores primos do número 12, resta apenas o número 3. Mas está presente nos fatores primos do número 24. Nós riscamos o número 3 de ambas as linhas, enquanto nenhuma ação é esperada para o número 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Como você pode ver, ao decompor o número 12, "riscamos" todos os números. Assim, a constatação do NOC está concluída. Resta apenas calcular seu valor.
Para o número 12, pegamos os fatores restantes do número 16 (o mais próximo em ordem crescente)
12 * 2 * 2 = 48
Este é o NOC

Como você pode ver, neste caso, encontrar o LCM foi um pouco mais difícil, mas quando você precisa encontrá-lo para três ou mais números, Por aqui permite que você faça isso mais rápido. No entanto, ambas as formas de encontrar o LCM estão corretas.

Considere três maneiras de encontrar o mínimo múltiplo comum.

Encontrando por fatoração

A primeira maneira é encontrar o mínimo múltiplo comum fatorando os números dados em fatores primos.

Suponha que precisamos encontrar o MMC dos números: 99, 30 e 28. Para fazer isso, decompomos cada um desses números em fatores primos:

Para que o número desejado seja divisível por 99, 30 e 28, é necessário e suficiente que inclua todos os fatores primos desses divisores. Para fazer isso, precisamos levar todos os fatores primos desses números à maior potência de ocorrência e multiplicá-los:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Portanto, LCM (99, 30, 28) = 13.860. Nenhum outro número menor que 13.860 é divisível por 99, 30 ou 28.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum de números dados, você precisa decompô-los em fatores primos, depois pegar cada fator primo com o maior expoente com o qual ocorre e multiplicar esses fatores.

Como os números primos não têm fatores primos comuns, seu mínimo múltiplo comum é igual ao produto desses números. Por exemplo, três números: 20, 49 e 33 são primos. É por isso

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

O mesmo deve ser feito quando se procura o mínimo múltiplo comum de vários números primos. Por exemplo, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Encontrar por seleção

A segunda maneira é encontrar o mínimo múltiplo comum por ajuste.

Exemplo 1. Quando o maior dos números dados é divisível por outros números dados, então o MMC desses números é igual ao maior deles. Por exemplo, dados quatro números: 60, 30, 10 e 6. Cada um deles é divisível por 60, portanto:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Em outros casos, para encontrar o mínimo múltiplo comum, utiliza-se o seguinte procedimento:

1. Determine o maior número entre os números dados.
2. Em seguida, encontramos os números que são múltiplos do maior número, multiplicando-o por números naturais em ordem crescente e verificando se os restantes números dados são divisíveis pelo produto resultante.

Exemplo 2. Dados três números 24, 3 e 18. Determine o maior deles - este é o número 24. Em seguida, encontre os múltiplos de 24, verificando se cada um deles é divisível por 18 e por 3:

24 1 = 24 é divisível por 3, mas não divisível por 18.

24 2 = 48 - divisível por 3, mas não divisível por 18.

24 3 \u003d 72 - divisível por 3 e 18.

Então LCM(24, 3, 18) = 72.

Encontrando por Achado Sequencial LCM

A terceira maneira é encontrar o mínimo múltiplo comum encontrando sucessivamente o MMC.

O MMC de dois números dados é igual ao produto desses números dividido pelo seu máximo divisor comum.

Exemplo 1. Encontre o MMC de dois números dados: 12 e 8. Determine seu máximo divisor comum: MDC (12, 8) = 4. Multiplique esses números:

Dividimos o produto em seu GCD:

Então LCM(12, 8) = 24.

Para encontrar o LCM de três ou mais números, o seguinte procedimento é usado:

1. Primeiro, o LCM de quaisquer dois dos números fornecidos é encontrado.
2. Em seguida, o MMC do mínimo múltiplo comum encontrado e o terceiro número dado.
3. Em seguida, o MMC do mínimo múltiplo comum resultante e o quarto número, e assim por diante.
4. Assim, a busca LCM continua enquanto houver números.

Exemplo 2. Encontre o LCM três dados números: 12, 8 e 9. O LCM dos números 12 e 8 já encontramos no exemplo anterior (este é o número 24). Resta encontrar o mínimo múltiplo comum de 24 e o terceiro número dado - 9. Determine seu máximo divisor comum: mdc (24, 9) = 3. Multiplique LCM pelo número 9:

Dividimos o produto em seu GCD:

Então LCM(12, 8, 9) = 72.

Expressões e tarefas matemáticas requerem muito conhecimento adicional. O NOC é um dos principais, especialmente usado no tópico. O tópico é estudado no ensino médio, embora não seja particularmente difícil de entender o material, não será difícil para uma pessoa familiarizada com poderes e tabuada selecionar os números necessários e encontre o resultado.

Definição

Um múltiplo comum é um número que pode ser completamente dividido em dois números ao mesmo tempo (a e b). Na maioria das vezes, esse número é obtido multiplicando os números originais a e b. O número deve ser divisível por ambos os números ao mesmo tempo, sem desvios.

NOC é o termo aceito para título curto, montado a partir das primeiras letras.

Maneiras de obter um número

Para encontrar o LCM, o método de multiplicação de números nem sempre é adequado, é muito mais adequado para números simples de um ou dois dígitos. É costume dividir em fatores, quanto maior o número, mais fatores haverá.

Exemplo 1

Para o exemplo mais simples, as escolas geralmente usam números simples, de um ou dois dígitos. Por exemplo, você precisa resolver a seguinte tarefa, encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 7 e 3, a solução é bastante simples, basta multiplicá-los. Como resultado, existe o número 21, simplesmente não há número menor.

Exemplo #2

A segunda opção é muito mais difícil. Os números 300 e 1260 são fornecidos, sendo obrigatório encontrar o LCM. Para resolver a tarefa, as seguintes ações são assumidas:

Decomposição do primeiro e segundo números nos fatores mais simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. A primeira etapa foi concluída.

A segunda etapa envolve trabalhar com os dados já obtidos. Cada um dos números recebidos deve participar do cálculo resultado final. Para cada multiplicador, o mais grande número ocorrências. NOC é número total, então os fatores dos números devem ser repetidos nele até o último, mesmo aqueles que estão presentes em uma cópia. Ambos os números iniciais têm em sua composição os números 2, 3 e 5, em graus variantes, 7 está presente apenas em um caso.

Para calcular o resultado final, você precisa colocar cada número na maior de suas potências representadas na equação. Resta apenas multiplicar e obter a resposta, com preenchimento correto A tarefa se encaixa em duas etapas sem explicação:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Essa é toda a tarefa, se você tentar calcular o número desejado multiplicando, a resposta definitivamente não será correta, pois 300 * 1260 = 378.000.

Exame:

6300/300 = 21 - verdadeiro;

6300 / 1260 = 5 está correto.

A exatidão do resultado obtido é determinada verificando - dividindo o LCM por ambos números iniciais, se o número for um número inteiro em ambos os casos, a resposta está correta.

O que significa NOC em matemática

Como você sabe, não há uma única função inútil em matemática, esta não é exceção. O uso mais comum desse número é reduzir frações a denominador comum. O que geralmente é estudado nas séries 5-6 ensino médio. Além disso, também é um divisor comum para todos os múltiplos, se tais condições estiverem no problema. Expressão semelhante pode encontrar um múltiplo não apenas de dois números, mas também de muitos mais- três, cinco e assim por diante. Quanto mais números - mais ações na tarefa, mas a complexidade disso não aumenta.

Por exemplo, dados os números 250, 600 e 1500, você precisa encontrar o LCM total:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - este exemplo descreve a fatoração em detalhes, sem redução.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Para compor uma expressão, é necessário mencionar todos os fatores, neste caso são dados 2, 5, 3 - para todos esses números é necessário determinar o grau máximo.

Atenção: todos os multiplicadores devem ser simplificados ao máximo, se possível, decompondo ao nível de um dígito.

Exame:

1) 3000/250 = 12 - verdadeiro;

2) 3000/600 = 5 - verdadeiro;

3) 3000 / 1500 = 2 está correto.

Este método não requer truques ou habilidades de nível genial, tudo é simples e claro.

Outra maneira

Em matemática, muita coisa está conectada, muita coisa pode ser resolvida de duas ou mais maneiras, o mesmo vale para encontrar o mínimo múltiplo comum, MMC. O seguinte método pode ser usado no caso de dois dígitos simples e dígitos únicos. Uma tabela é compilada na qual o multiplicador é inserido verticalmente, o multiplicador horizontalmente e o produto é indicado nas células de interseção da coluna. Você pode refletir a tabela por meio de uma linha, um número é obtido e os resultados da multiplicação desse número por inteiros são escritos em uma linha, de 1 ao infinito, às vezes 3-5 pontos são suficientes, o segundo e os números subsequentes são submetidos para o mesmo processo computacional. Tudo acontece até que um múltiplo comum seja encontrado.

Dados os números 30, 35, 42, você precisa encontrar o LCM que conecta todos os números:

1) Múltiplos de 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Múltiplos de 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Múltiplos de 42: 84, 126, 168, 210, 252, etc.

É perceptível que todos os números são bem diferentes, o único número comum entre eles é 210, então será o LCM. Entre os processos associados a este cálculo, há também o máximo divisor comum, que é calculado de acordo com princípios semelhantes e é frequentemente encontrado em problemas vizinhos. A diferença é pequena, mas significativa o suficiente, o LCM envolve o cálculo de um número que é divisível por todos os dados valores originais, e GCD implica o cálculo maior valor pelos quais os números originais são divisíveis.

Um múltiplo é um número que é divisível por determinado número sem deixar vestígios. O mínimo múltiplo comum (MLC) de um grupo de números é o menor número que é divisível por cada número no grupo. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos dos números fornecidos. Além disso, o LCM pode ser calculado usando vários outros métodos aplicáveis ​​a grupos de dois ou mais números.

Passos

Um número de múltiplos

Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são dados dois números, cada um menor que 10. grandes números, use outro método.

• Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 5 e 8. Esses são números pequenos, portanto, esse método pode ser usado.

1. Um múltiplo de um número é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Vários números podem ser encontrados na tabela de multiplicação.

   • Por exemplo, os números que são múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Escreva uma série de números que são múltiplos do primeiro número. Faça isso em múltiplos do primeiro número para comparar duas linhas de números.

   • Por exemplo, os números que são múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

3. Encontre o menor número que aparece em ambas as séries de múltiplos. Você pode ter que escrever longas séries de múltiplos para encontrar o total. O menor número que aparece em ambas as séries de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.

   • Por exemplo, o menor número, que aparece na série de múltiplos de 5 e 8, é o número 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum dos números 5 e 8.

   Fatoração primária

   1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando dois números são maiores que 10. Se números menores são fornecidos, use um método diferente.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, portanto, esse método pode ser usado.

   2. Fatorize o primeiro número. Ou seja, você precisa encontrar esses números primos, quando multiplicados, obtém um determinado número. Tendo encontrado os fatores primos, escreva-os como uma igualdade.

      • Por exemplo, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) e 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Assim, os fatores primos do número 20 são os números 2, 2 e 5. Escreva-os como uma expressão: .

   3. Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre esses números primos que, quando multiplicados, obterão esse número.

      • Por exemplo, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) e 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Assim, os fatores primos do número 84 são os números 2, 7, 3 e 2. Escreva-os como uma expressão: .

   4. Escreva os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a decomposição de números em fatores primos).

      • Por exemplo, o fator comum para ambos os números é 2, então escreva 2 × (\displaystyle 2\times) e risque o 2 em ambas as expressões.
      • O fator comum para ambos os números é outro fator de 2, então escreva 2 × 2 (\displaystyle 2\vezes 2) e risque o segundo 2 em ambas as expressões.

   5. Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados nas duas expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.

      • Por exemplo, na expressão 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\vezes 2\vezes 5) ambos os dois (2) estão riscados, porque são Fatores comuns. O fator 5 não está riscado, então escreva a operação de multiplicação da seguinte forma: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5)
      • Na expressão 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\vezes 7\vezes 3\vezes 2) ambos os dois (2) também são riscados. Os fatores 7 e 3 não estão riscados, então escreva a operação de multiplicação da seguinte forma: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3).

   6. Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.

      • Por exemplo, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3=420). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 20 e 84 é 420.

   Encontrando divisores comuns

   1. Desenhe uma grade como você faria para um jogo da velha. Tal grade consiste em duas linhas paralelas que se cruzam (em ângulos retos) com duas outras linhas paralelas. Isso resultará em três linhas e três colunas (a grade se parece muito com o sinal #). Escreva o primeiro número na primeira linha e na segunda coluna. Escreva o segundo número na primeira linha e na terceira coluna.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 18 e 30. Escreva 18 na primeira linha e na segunda coluna e 30 na primeira linha e na terceira coluna.

   2. Encontre o divisor comum a ambos os números. Anote-o na primeira linha e na primeira coluna. Melhor pesquisa divisores primos, mas isso não é um requisito.

      • Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu divisor comum é 2. Então escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.

   3. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número correspondente. O quociente é o resultado da divisão de dois números.

      • Por exemplo, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), então escreva 9 abaixo de 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), então escreva 15 abaixo de 30.

   4. Encontre um divisor comum a ambos os quocientes. Se não houver tal divisor, pule dois próximos passos. Caso contrário, anote o divisor na segunda linha e na primeira coluna.

      • Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.

   5. Divida cada quociente pelo segundo divisor. Escreva cada resultado da divisão sob o quociente correspondente.

      • Por exemplo, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), então escreva 3 em 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), então escreva 5 abaixo de 15.

   6. Se necessário, complemente a grade com células adicionais. Repita as etapas acima até que os quocientes tenham um divisor comum.

   7. Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números destacados como uma operação de multiplicação.

      • Por exemplo, os números 2 e 3 estão na primeira coluna e os números 3 e 5 estão na última linha, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5).

   8. Encontre o resultado da multiplicação de números. Isso calculará o mínimo múltiplo comum dos dois números fornecidos.

      • Por exemplo, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5=90). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 18 e 30 é 90.

   Algoritmo de Euclides

   1. Lembre-se da terminologia associada à operação de divisão. O dividendo é o número que está sendo dividido. O divisor é o número pelo qual dividir. O quociente é o resultado da divisão de dois números. O resto é o número que resta quando dois números são divididos.

      • Por exemplo, na expressão 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) descanso. 3:
        15 é o divisível
        6 é o divisor
        2 é privado
        3 é o resto.

Considere a solução do seguinte problema. O passo do menino tem 75 cm e o passo da menina tem 60 cm. Precisa encontrar distância mais curta, onde ambos realizam um número inteiro de etapas.

Solução. Todo o caminho que os caras percorrerão deve ser divisível por 60 e 70 sem deixar resto, pois cada um deve dar um número inteiro de passos. Em outras palavras, a resposta deve ser um múltiplo de 75 e 60.

Primeiro, vamos escrever todos os múltiplos, para o número 75. Obtemos:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Agora vamos escrever os números que serão múltiplos de 60. Obtemos:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Agora encontramos os números que estão em ambas as linhas.

• Múltiplos comuns de números serão números, 300, 600, etc.

O menor deles é o número 300. Nesse caso, será chamado de mínimo múltiplo comum dos números 75 e 60.

Voltando à condição do problema, a menor distância em que os caras dão um número inteiro de passos será de 300 cm, o menino fará esse caminho em 4 passos e a menina precisará dar 5 passos.

Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum

• O mínimo múltiplo comum de dois números naturais a e b é o menor número natural, que é um múltiplo de a e b.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números, não é necessário escrever todos os múltiplos desses números em uma linha.

Você pode usar o seguinte método.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum

Primeiro, você precisa decompor esses números em fatores primos.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Agora vamos anotar todos os fatores que estão na expansão do primeiro número (2,2,3,5) e adicionar a ele todos os fatores que faltam na expansão do segundo número (5).

Como resultado, obtemos uma série de números primos: 2,2,3,5,5. O produto desses números será o fator menos comum para esses números. 2*2*3*5*5 = 300.

Esquema geral para encontrar o mínimo múltiplo comum

• 1. Decomponha os números em fatores primos.
• 2. Anote os fatores primos que fazem parte de um deles.
• 3. Adicione a esses fatores todos aqueles que estão na decomposição do resto, mas não no selecionado.
• 4. Encontre o produto de todos os fatores escritos.

Este método é universal. Ele pode ser usado para encontrar o mínimo múltiplo comum de qualquer número de números naturais.