Para resolver exemplos com frações, você precisa encontrar o menor denominador comum. Abaixo está uma instrução detalhada.

Como encontrar o menor denominador comum - conceito

O mínimo denominador comum (LCD) em palavras simples é o número mínimo que é divisível pelos denominadores de todas as frações de um determinado exemplo. Em outras palavras, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum (MLC). NOZ é usado apenas se os denominadores das frações forem diferentes.

Como encontrar o menor denominador comum - exemplos

Vamos considerar exemplos de encontrar NOZ.

Calcular: 3/5 + 2/15.

Solução (Sequência de ações):

• Observamos os denominadores das frações, certificamo-nos de que são diferentes e as expressões são reduzidas o máximo possível.
• Encontramos o menor número que é divisível por 5 e 15. Esse número será 15. Assim, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Descobrimos o denominador. O que vai estar no numerador? Um multiplicador adicional nos ajudará a descobrir isso. Um fator adicional é o número obtido pela divisão do NOZ pelo denominador de uma determinada fração. Para 3/5, o fator adicional é 3, pois 15/5 = 3. Para a segunda fração, o fator adicional é 1, pois 15/15 = 1.
• Tendo descoberto o fator adicional, nós o multiplicamos pelos numeradores das frações e somamos os valores resultantes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Resposta: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Se no exemplo não 2, mas 3 ou mais frações forem adicionadas ou subtraídas, então o NOZ deve ser pesquisado por tantas frações quantas forem dadas.

Calcular: 1/2 - 5/12 + 3/6

Solução (sequência de ações):

• Encontrando o menor denominador comum. O número mínimo divisível por 2, 12 e 6 é 12.
• Obtemos: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Estamos à procura de multiplicadores adicionais. Para 1/2 - 6; para 12/05 - 1; para 3/6 - 2.
• Multiplicamos pelos numeradores e atribuímos os sinais correspondentes: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Resposta: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Ao adicionar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes, as frações primeiro levam a denominador comum. Isso significa que eles encontram um denominador tão único, que é dividido pelo denominador original de cada fração algébrica que faz parte dessa expressão.

Como você sabe, se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número diferente de zero, o valor da fração não será alterado. Esta é a principal propriedade de uma fração. Portanto, quando as frações levam a um denominador comum, de fato, o denominador original de cada fração é multiplicado pelo fator ausente para um denominador comum. Nesse caso, é necessário multiplicar por esse fator e o numerador da fração (é diferente para cada fração).

Por exemplo, dada a seguinte soma de frações algébricas:

É necessário simplificar a expressão, ou seja, adicionar duas frações algébricas. Para fazer isso, em primeiro lugar, é necessário reduzir os termos-frações a um denominador comum. O primeiro passo é encontrar um monômio que seja divisível por 3x e 2y. Neste caso, é desejável que seja o menor, ou seja, encontre o mínimo múltiplo comum (MCM) para 3x e 2y.

Para coeficientes e variáveis ​​numéricos, o LCM é pesquisado separadamente. LCM(3, 2) = 6 e LCM(x, y) = xy. Além disso, os valores encontrados são multiplicados: 6xy.

Agora precisamos determinar por qual fator precisamos multiplicar 3x para obter 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Isso significa que ao reduzir a primeira fração algébrica a um denominador comum, seu numerador deve ser multiplicado por 2y (o denominador já foi multiplicado quando reduzido a um denominador comum). O fator para o numerador da segunda fração também é procurado. Será igual a 3x.

Assim, obtemos:

Além disso, já é possível agir como com frações com os mesmos denominadores: os numeradores são somados e um comum é escrito no denominador:

Após as transformações, obtém-se uma expressão simplificada, que é uma fração algébrica, que é a soma de duas originais:

As frações algébricas na expressão original podem conter denominadores que são polinômios em vez de monômios (como no exemplo acima). Nesse caso, antes de encontrar um denominador comum, fatore os denominadores (se possível). Além disso, o denominador comum é coletado de diferentes fatores. Se o fator estiver em vários denominadores iniciais, ele será tomado uma vez. Se o fator tiver graus diferentes nos denominadores originais, então é tomado com um maior. Por exemplo:

Aqui o polinômio a 2 - b 2 pode ser representado como um produto (a - b)(a + b). O fator 2a – 2b é expandido como 2(a – b). Assim, o denominador comum será igual a 2(a - b)(a + b).

Para trazer frações ao mínimo denominador comum, você deve: 1) encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, será o mínimo denominador comum. 2) encontre um fator adicional para cada uma das frações, para o qual dividimos o novo denominador pelo denominador de cada fração. 3) multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.

Exemplos. Reduza as frações a seguir ao menor denominador comum.

Encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores: LCM(5; 4) = 20, pois 20 é o menor número divisível por 5 e 4. Encontramos para a 1ª fração um fator adicional 4 (20 : 5=4). Para a 2ª fração, o multiplicador adicional é 5 (20 : 4=5). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 4, e o numerador e o denominador da 2ª fração por 5. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 20 ).

O menor denominador comum dessas frações é 8, pois 8 é divisível por 4 e por ele mesmo. Não haverá multiplicador adicional para a 1ª fração (ou podemos dizer que é igual a um), para a 2ª fração o multiplicador adicional é 2 (8 : 4=2). Multiplicamos o numerador e o denominador da 2ª fração por 2. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 8 ).

Essas frações não são irredutíveis.

Reduzimos a 1ª fração em 4 e reduzimos a 2ª fração em 2. ( veja exemplos sobre a redução de frações ordinárias: Mapa do site → 5.4.2. Exemplos de redução de frações ordinárias). Localizar LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. O multiplicador adicional para a 1ª fração é 5 (80 : 16=5). O multiplicador adicional para a 2ª fração é 4 (80 : 20=4). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 5, e o numerador e o denominador da 2ª fração por 4. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 80 ).

Encontre o mínimo denominador comum do NOC(5 ; 6 e 15) = LCM(5 ; 6 e 15)=30. O multiplicador adicional à 1ª fração é 6 (30 : 5=6), o multiplicador adicional para a 2ª fração é 5 (30 : 6=5), o multiplicador adicional à 3ª fração é 2 (30 : 15=2). Multiplicamos o numerador e o denominador da 1ª fração por 6, o numerador e o denominador da 2ª fração por 5, o numerador e o denominador da 3ª fração por 2. Reduzimos essas frações ao menor denominador comum ( 30 ).

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O denominador de uma fração aritmética a / b é o número b, que mostra o tamanho das frações de um que compõem a fração. O denominador de uma fração algébrica A / B é uma expressão algébrica B. Para realizar operações aritméticas com frações, elas devem ser reduzidas ao menor denominador comum.

Você vai precisar

• Para trabalhar com frações algébricas ao encontrar o mínimo denominador comum, você precisa conhecer os métodos de fatoração de polinômios.

Instrução

Considere a redução ao mínimo denominador comum de duas frações aritméticas n/m e s/t, onde n, m, s, t são inteiros. É claro que essas duas frações podem ser reduzidas a qualquer denominador divisível por m e t. Mas eles tentam trazer para o menor denominador comum. É igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores m e t das frações dadas. O mínimo múltiplo (LCM) de números é o menor que é divisível por todos os números dados ao mesmo tempo. Aqueles. no nosso caso, é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum dos números m e t. Denotado como LCM (m, t). Além disso, as frações são multiplicadas pelas correspondentes: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Vamos encontrar o mínimo denominador comum de três frações: 4/5, 7/8, 11/14. Primeiro, expandimos os denominadores 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Em seguida, calculamos o LCM (5, 8, 14), multiplicando todos os números incluídos em pelo menos uma das expansões. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Observe que se o fator ocorre na expansão de vários números (fator 2 na expansão dos denominadores 8 e 14), então tomamos o fator para um grau maior (2^3 no nosso caso).

Assim, o general é recebido. É igual a 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Aqui obtemos os números pelos quais as frações com os denominadores correspondentes devem ser multiplicadas para trazê-las ao menor denominador comum. Obtemos 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 14/11 = 20 * (14/11) = 220/280.

A redução ao mínimo denominador comum de frações algébricas é realizada por analogia com a aritmética. Para maior clareza, considere o problema em um exemplo. Sejam duas frações (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) e (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Vamos fatorar os dois denominadores. Observe que o denominador da primeira fração é um quadrado perfeito: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Por

Nesta lição, veremos como reduzir frações a um denominador comum e resolver problemas sobre esse tópico. Daremos uma definição do conceito de denominador comum e um fator adicional, lembre-se dos números primos. Vamos definir o conceito de mínimo denominador comum (LCD) e resolver uma série de problemas para encontrá-lo.

Tópico: Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Lição: Reduzir frações a um denominador comum

Repetição. Propriedade básica de uma fração.

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, será obtida uma fração igual a ele.

Por exemplo, o numerador e o denominador de uma fração podem ser divididos por 2. Obtemos uma fração. Esta operação é chamada de redução de fração. Você também pode realizar a transformação inversa multiplicando o numerador e o denominador da fração por 2. Nesse caso, dizemos que reduzimos a fração a um novo denominador. O número 2 é chamado de fator adicional.

Conclusão. Uma fração pode ser reduzida a qualquer denominador que seja um múltiplo do denominador da fração dada. Para trazer uma fração para um novo denominador, seu numerador e denominador são multiplicados por um fator adicional.

1. Traga a fração para o denominador 35.

O número 35 é um múltiplo de 7, ou seja, 35 é divisível por 7 sem deixar resto. Então essa transformação é possível. Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos 35 por 7. Obtemos 5. Multiplicamos o numerador e o denominador da fração original por 5.

2. Traga a fração para o denominador 18.

Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos o novo denominador pelo original. Obtemos 3. Multiplicamos o numerador e o denominador desta fração por 3.

3. Traga a fração para o denominador 60.

Ao dividir 60 por 15, obtemos um multiplicador adicional. É igual a 4. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 4.

4. Traga a fração para o denominador 24

Em casos simples, a redução a um novo denominador é realizada na mente. É costume indicar apenas um fator adicional atrás do colchete um pouco à direita e acima da fração original.

Uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15 e uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15. As frações têm um denominador comum de 15.

O denominador comum das frações pode ser qualquer múltiplo comum de seus denominadores. Para simplificar, as frações são reduzidas ao menor denominador comum. É igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações dadas.

Exemplo. Reduza ao mínimo denominador comum da fração e .

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações. Este número é 12. Vamos encontrar um fator adicional para a primeira e segunda frações. Para fazer isso, dividimos 12 por 4 e por 6. Três é um fator adicional para a primeira fração e dois para a segunda. Trazemos as frações para o denominador 12.

Reduzimos as frações a um denominador comum, ou seja, encontramos frações que são iguais a elas e têm o mesmo denominador.

Regra. Para trazer frações para o menor denominador comum,

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, que será seu mínimo denominador comum;

Em segundo lugar, divida o mínimo denominador comum pelos denominadores dessas frações, ou seja, encontre um fator adicional para cada fração.

Em terceiro lugar, multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.

a) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 12. O fator adicional para a primeira fração é 4, para a segunda - 3. Trazemos as frações para o denominador 24.

b) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 45. Dividindo 45 por 9 por 15, obtemos 5 e 3, respectivamente. Trazemos as frações para o denominador 45.

c) Reduza as frações e a um denominador comum.

O denominador comum é 24. Os fatores adicionais são 2 e 3, respectivamente.

Às vezes é difícil encontrar verbalmente o mínimo múltiplo comum para os denominadores de frações dadas. Em seguida, o denominador comum e os fatores adicionais são encontrados por fatoração em fatores primos.

Reduza a um denominador comum da fração e .

Vamos decompor os números 60 e 168 em fatores primos. Vamos escrever a expansão do número 60 e adicionar os fatores que faltam 2 e 7 da segunda expansão. Multiplique 60 por 14 e obtenha um denominador comum de 840. O fator adicional para a primeira fração é 14. O fator adicional para a segunda fração é 5. Vamos reduzir as frações a um denominador comum de 840.

Bibliografia

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5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. e outros Matemática: Um livro-interlocutor para as séries 5-6 do ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.

Você pode baixar os livros especificados na cláusula 1.2. esta lição.

Trabalho de casa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012. (ver link 1.2)

Dever de casa: Nº 297, Nº 298, Nº 300.

Outras tarefas: #270, #290