Tipos de números. Naturais, inteiros, racionais e reais. Número é uma abstração usada para características quantitativas objetos. Números originados em sociedade primitiva em conexão com a necessidade de as pessoas contarem objetos. Com o tempo, com o desenvolvimento da ciência, o número tornou-se o conceito matemático mais importante.

Para resolver problemas e provar vários teoremas, você precisa entender quais são os tipos de números. Os principais tipos de números incluem: inteiros, inteiros, números racionais, números reais.

Inteiros- estes são os números obtidos com a contagem natural dos objetos, ou melhor, com sua numeração ("primeiro", "segundo", "terceiro" ...). O conjunto dos números naturais é denotado letra latina N(pode ser lembrado com base em palavra em inglês natural). Pode-se dizer que N ={1,2,3,....}

Números inteiros são números do conjunto (0, 1, -1, 2, -2, ....). Este conjunto consiste em três partes - números naturais, inteiros negativos (o oposto dos números naturais) e o número 0 (zero). Os inteiros são indicados por uma letra latina Z. Pode-se dizer que Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}.

Números racionais são números que podem ser representados como uma fração, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Neste caso, o número m é chamado numerador, e o número n - denominador frações. Tal fração deve ser entendida como o resultado da divisão de m por n, mesmo que não possa ser completamente dividida. Para designar números racionais letra latina é usada Q. Q={... ;-3;-2,5;-2;-1;0; ;1;2;3;3,5....}. Todos os números naturais e inteiros são racionais. Além disso, como exemplos de números racionais, você pode dar: , , . NO Vida real os números racionais são usados ​​para contar as partes de alguns objetos inteiros, mas divisíveis, como bolos ou outros alimentos que são cortados em vários pedaços, ou para estimar aproximadamente as relações espaciais de objetos estendidos.

Números reais (reais) são os números usados ​​para medir quantidades contínuas. Vários numeros reais denotado pela letra latina R. Os números reais incluem números racionais e números irracionais. Números irracionais- são números obtidos como resultado da execução de várias operações com números racionais (por exemplo, extrair uma raiz, calcular logaritmos), mas não são racionais. Exemplos de números irracionais são , , .

Qualquer número real pode ser exibido na linha numérica:

Para os conjuntos de números listados acima, a seguinte afirmação é verdadeira:

Ou seja, o conjunto dos números naturais está incluído no conjunto dos inteiros. O conjunto dos inteiros está incluído no conjunto dos números racionais. E o conjunto dos números racionais está incluído no conjunto dos números reais. Esta afirmação pode ser ilustrada usando círculos de Euler.

Objetivo: Saber o que é um número natural, inteiro, racional, fração periódica; ser capaz de escrever sem fim decimal na forma de um ordinário, ser capaz de realizar ações com frações decimais e ordinárias.

1. Consolidar o material estudado, alterando os tipos de trabalho, neste tópico “Números inteiros e racionais”.
2. Desenvolver habilidades e habilidades na execução de ações com frações decimais e ordinárias, desenvolver pensamento lógico, discurso matemático correto e competente, desenvolvimento de independência e confiança em seus conhecimentos e habilidades ao realizar tipos diferentes funciona.
3. Desperte o interesse pela matemática introduzindo diferentes tipos de consolidação do material: trabalho oral, trabalhar com um livro didático, trabalhar no quadro-negro, responder a perguntas e a capacidade de fazer introspecção, trabalho independente; estimulando e incentivando as atividades dos alunos.

EU. Organizando o tempo.
II. Novo topico:
"Inteiros e números racionais".
1.Parte teórica.
2. Parte prática.
3. Trabalhe de acordo com o livro didático e no quadro-negro.
4. Trabalho independente por opções.
III. Resultado.
1. Para perguntas.
4. Trabalho de casa.

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

Humor emocional e prontidão do professor e alunos para a aula. Comunicação de metas e objetivos.

II. Novo tópico: “Inteiros e números racionais”:

Parte teórica.

1. Inicialmente, o número era entendido apenas como números naturais. O que é suficiente para contar itens individuais.

Defina N = (1; 2; 3...) números naturaisé fechado sob as operações de adição e multiplicação. Isso significa que a soma e o produto de números naturais são números naturais.

2. No entanto, a diferença de dois números naturais não é mais sempre um número natural.

(Dê exemplos: 5 - 5 = 0; 5 - 7 = - 2, os números 0 e - 2 não são naturais).

Assim, o resultado da subtração de dois números naturais idênticos leva ao conceito de zero e à introdução conjuntos de inteiros não negativos

Z0 = (0; 1; 2;...).

3. Para viabilizar a operação de subtração, insira números inteiros negativos, ou seja, números opostos aos naturais. Assim, um conjunto de inteiros é obtido Z={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.

Para tornar viável a operação de divisão por qualquer número diferente de zero, é necessário adicionar ao conjunto de todos os inteiros o conjunto de todos os positivos e frações negativas. O resultado é conjunto de números racionais Q=.

Ao fazer quatro operaçoes aritimeticas(exceto para divisão por zero) sobre números racionais, os números racionais são sempre obtidos.

4. Todo número racional pode ser representado como uma fração decimal periódica.

Vamos lembrar o que é fração periódica. Esta é uma fração decimal infinita, na qual, a partir de uma determinada casa decimal, o mesmo dígito ou vários dígitos são repetidos - o período da fração. Por exemplo, 0,3333…= 0,(3);

1,057373…=1,05(73).

Essas frações são lidas assim: “0 inteiro e 3 no período”, “1 inteiro, 5 centésimos e 73 no período”.

Escrevemos os números racionais como uma fração decimal periódica infinita:

número natural 25 = 25,00…= 25,(0);

inteiro -7 = -7,00…= -7,(0);

(usamos o algoritmo de divisão de canto).

5. A afirmação inversa também é verdadeira: cada fração decimal periódica infinita é um número racional, pois pode ser representada como uma fração, onde m é um número inteiro, n é um número natural.

Considere um exemplo:

1) Seja x \u003d 0,2 (18) multiplicando por 10, obtemos 10x \u003d 2,1818 ... (Você precisa multiplicar a fração por 10 n, onde n é o número de casas decimais contidas no registro desta fração para cima ao período: x10 n).

2) Multiplicando ambos os lados da última igualdade por 100, encontramos

1000x = 218,1818…(Multiplicando por 10 k , onde k é o número de dígitos no período x10 n 10 k = x10 n+k).

3) Subtraindo da igualdade (2) igualdade (1), obtemos 990x = 216, x = .

Parte prática.

1. Escreva como uma fração decimal:

1) - no quadro;

3) - no quadro-negro um aluno anota a decisão, os demais decidem no chão, depois verificam uns aos outros;

4) - sob ditado, todos realizam a tarefa e um fala em voz alta.

2. Execute ações e escreva o resultado como uma fração decimal:

1) - no quadro;

3) - sob ditado, todos realizam a tarefa e um fala em voz alta;

5) - de forma independente com verificação posterior.

3. Escreva como fração comum decimal infinito:

6) -2.3(82) - o professor mostra a solução no quadro, com base no algoritmo.

A definição de números naturais são inteiros números positivos. Os números naturais são usados ​​para contar objetos e para muitos outros propósitos. Esses números são: 1; 2; 3; quatro;...

Esta é uma série natural de números.
Zero é um número natural? Não, zero não é um número natural.
Quantos números naturais existem? Existe um conjunto infinito de números naturais.
Qual é o menor número natural? Um é o menor número natural.
Qual é o maior número natural? Não pode ser especificado, porque existe um conjunto infinito de números naturais.

A soma dos números naturais é um número natural. Então, a adição dos números naturais a e b:

O produto de números naturais é um número natural. Então, o produto dos números naturais a e b:

c é sempre um número natural.

Diferença de números naturais Nem sempre existe um número natural. Se o minuendo for maior que o subtraendo, então a diferença dos números naturais é um número natural, caso contrário não é.

O quociente dos números naturais Nem sempre existe um número natural. Se para os números naturais a e b

onde c é um número natural, significa que a é divisível por b. Neste exemplo, a é o dividendo, b é o divisor, c é o quociente.

O divisor de um número natural é o número natural pelo qual o primeiro número é divisível.

Todo número natural é divisível por 1 e por ele mesmo.

Os números naturais simples são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Aqui, isso significa que eles estão completamente divididos. Exemplo, números 2; 3; 5; 7 só é divisível por 1 e por ele mesmo. São números naturais simples.

Um não é considerado um número primo.

Os números que são maiores que um e que não são primos são chamados de números compostos. Exemplos números compostos: 4; 6; 8; 9; 10

Um não é considerado um número composto.

O conjunto dos números naturais é um, números primos e números compostos.

O conjunto dos números naturais é denotado pela letra latina N.

Propriedades de adição e multiplicação de números naturais:

propriedade comutativa de adição

propriedade associativa aditivos

(a + b) + c = a + (b + c);

propriedade comutativa da multiplicação

propriedade associativa da multiplicação

(ab)c = a(bc);

propriedade distributiva multiplicação

a (b + c) = ab + ac;

Números inteiros

Os inteiros são números naturais, zero e o oposto dos números naturais.

Os números opostos aos números naturais são inteiros. números negativos, por exemplo: -1; -2; -3; -quatro;...

O conjunto de inteiros é denotado pela letra latina Z.

Números racionais

Os números racionais são inteiros e frações.

Qualquer número racional pode ser representado como uma fração periódica. Exemplos: -1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Pode ser visto a partir dos exemplos que qualquer número inteiro é uma fração periódica com um período de zero.

Qualquer número racional pode ser representado como uma fração m/n, onde m inteiro,n número natural. Vamos representar o número 3,(6) do exemplo anterior como uma fração: 22/6 = 3,(6);

Outro exemplo: o número racional 9 pode ser representado como uma fração simples como 18/2 ou como 36/4.

Outro exemplo: o número racional -9 pode ser representado como uma fração simples como -18/2 ou como -72/8.

O conjunto dos números racionais é denotado pela letra latina Q.

Números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitos não recorrentes.

Exemplos: pi = 3,141592... e = 2,718281...

Numeros reais

Os números reais são todos os números racionais e todos os irracionais.

O conjunto dos números reais é denotado pela letra latina R.