Ao adicionar menos por menos o que dá. Regras de sinais para multiplicação e adição

"O inimigo do meu inimigo é meu amigo"

Por que menos um vezes menos um é igual a mais um? Por que menos um vezes mais um é igual a menos um? A resposta mais fácil é: "Porque essas são as regras para trabalhar com números negativos". As regras que aprendemos na escola e aplicamos ao longo de nossas vidas. No entanto, os livros didáticos não explicam por que as regras são do jeito que são. Tentaremos primeiro entender isso a partir da história do desenvolvimento da aritmética e, em seguida, responderemos a essa pergunta do ponto de vista da matemática moderna.

Há muito tempo, apenas os números naturais eram conhecidos pelas pessoas: eles eram usados para contar utensílios, saques, inimigos, etc. Mas os números em si são bastante inúteis - você precisa ser capaz de lidar com eles. A adição é clara e compreensível, além disso, a soma de dois números naturais também é um número natural (um matemático diria que o conjunto dos números naturais é fechado na operação de adição). A multiplicação é, de fato, a mesma adição se estivermos falando de números naturais. Na vida, muitas vezes realizamos ações relacionadas a essas duas operações (por exemplo, ao fazer compras, somamos e multiplicamos), e é estranho pensar que nossos ancestrais as encontraram com menos frequência - a adição e a multiplicação foram dominadas pela humanidade por muito tempo atrás. Muitas vezes é necessário dividir uma quantidade por outra, mas aqui o resultado nem sempre é expresso como um número natural - foi assim que os números fracionários apareceram.

A subtração, é claro, também é indispensável. Mas, na prática, tendemos a subtrair o número menor do número maior, e não há necessidade de usar números negativos. (Se eu tiver doces e der para minha irmã, então terei doces, mas não posso dar doces a ela com todo o meu desejo.) Isso pode explicar por que as pessoas não usaram números negativos por muito tempo.

Números negativos aparecem em documentos indianos do século VII dC; os chineses, aparentemente, começaram a usá-los um pouco antes. Eles eram usados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - era apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O fato de os números negativos, ao contrário dos positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade, despertou forte desconfiança. As pessoas no sentido literal da palavra evitavam números negativos: se o problema recebesse uma resposta negativa, eles acreditavam que não havia resposta alguma. Essa desconfiança persistiu por muito tempo, e até mesmo Descartes - um dos "fundadores" da matemática moderna - os chamou de "falsos" (no século XVII!).

Tomemos a equação como exemplo. Pode ser resolvido assim: mova os termos com a incógnita para o lado esquerdo e o restante para a direita, resultará , , . Com essa solução, nem encontramos números negativos.

Mas isso poderia ser feito de outra maneira por acaso: mova os termos com a incógnita para o lado direito e obtenha , . Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: . Mas a resposta correta é conhecida, e resta concluir que .

O que esse exemplo simples demonstra? Em primeiro lugar, fica clara a lógica que determinava as regras para ações sobre números negativos: os resultados dessas ações devem corresponder às respostas que são obtidas de forma diferente, sem números negativos. Em segundo lugar, ao permitir o uso de números negativos, nos livramos da tediosa (se a equação for mais complicada, com um grande número de termos) busca pelo caminho da solução em que todas as ações são realizadas apenas em números naturais. Além disso, não podemos mais pensar sempre no significado das quantidades que estão sendo convertidas - e isso já é um passo para transformar a matemática em uma ciência abstrata.

As regras para ações em números negativos não foram formadas imediatamente, mas se tornaram uma generalização de inúmeros exemplos que surgiram ao resolver problemas aplicados. Em geral, o desenvolvimento da matemática pode ser dividido condicionalmente em estágios: cada estágio seguinte difere do anterior por um novo nível de abstração no estudo de objetos. Assim, no século 19, os matemáticos perceberam que números inteiros e polinômios, por toda a sua diferença externa, têm muito em comum: ambos podem ser adicionados, subtraídos e multiplicados. Essas operações obedecem às mesmas leis - tanto no caso de números quanto no caso de polinômios. Mas a divisão de inteiros entre si, de modo que o resultado seja novamente inteiros, nem sempre é possível. O mesmo vale para polinômios.

Então foram descobertas outras coleções de objetos matemáticos nos quais tais operações podem ser realizadas: séries de potências formais, funções contínuas... coleções de objetos (esta abordagem é típica para toda a matemática moderna).

Como resultado, surgiu um novo conceito: o anel. É apenas um monte de elementos mais ações que podem ser executadas neles. As regras fundamentais aqui são apenas as regras (chamadas de axiomas), que estão sujeitas a ações, e não a natureza dos elementos do conjunto (aqui está, um novo nível de abstração!). Desejando enfatizar que é a estrutura que surge após a introdução dos axiomas que é importante, dizem os matemáticos: o anel dos inteiros, o anel dos polinômios, etc. A partir dos axiomas, podem-se derivar outras propriedades dos anéis.

Vamos formular os axiomas do anel (que, é claro, são semelhantes às regras para operações com números inteiros), e então provaremos que em qualquer anel, multiplicar um menos por um menos resulta em um mais.

Um anel é um conjunto com duas operações binárias (ou seja, dois elementos do anel estão envolvidos em cada operação), que são tradicionalmente chamados de adição e multiplicação, e os seguintes axiomas:

Observe que os anéis, na construção mais geral, não exigem que a multiplicação seja permutável, nem é invertível (ou seja, nem sempre é possível dividir), nem exige a existência de uma unidade - um elemento neutro em relação à multiplicação. Se esses axiomas forem introduzidos, outras estruturas algébricas serão obtidas, mas todos os teoremas provados para anéis serão verdadeiros nelas.

Agora provamos que para quaisquer elementos e um anel arbitrário, primeiro e segundo, . A partir disso, as declarações sobre unidades seguem facilmente: e .

Para isso, precisamos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. De fato, deixe um elemento ter dois opostos: e . Ou seja Vamos considerar a soma. Usando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, obtemos que, por um lado, a soma é igual a e, por outro, é igual a. Meios, .

Observe agora que e , e são opostos do mesmo elemento , então eles devem ser iguais.

O primeiro fato é obtido da seguinte forma: , ou seja, oposto a , o que significa que é igual a .

Para ser matematicamente rigoroso, vamos também explicar o porquê de qualquer elemento . De fato, . Ou seja, a adição não altera a soma. Portanto, este produto é igual a zero.

E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos para o leitor como um simples exercício.

Evgeny Epifanov
"Elementos"

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Jacques Cesiano

Houve três expansões importantes do domínio numérico em dois milênios. Primeiro, por volta de 450 a.C. cientistas da escola de Pitágoras provaram a existência de números irracionais. Seu objetivo inicial era expressar numericamente a diagonal do quadrado unitário. Em segundo lugar, nos séculos XIII-XV, cientistas europeus, resolvendo sistemas de equações lineares, admitiram a possibilidade de uma solução negativa. E em terceiro lugar, em 1572, o algebrista italiano Raphael Bombelli usou números complexos para obter uma solução real para uma certa equação cúbica.

Proskuryakov I.V.

O objetivo deste livro é definir estritamente números, polinômios e frações algébricas e justificar suas propriedades já conhecidas na escola, e não apresentar ao leitor novas propriedades. Portanto, o leitor não encontrará aqui fatos novos para ele (com a possível exceção de algumas propriedades, números reais e complexos), mas aprenderá como são provadas as coisas que ele conhece bem, começando com “duas vezes dois - quatro” e terminando com as regras de operações com polinômios e frações algébricas. Por outro lado, o leitor se familiarizará com uma série de conceitos gerais que desempenham o papel principal na álgebra.

Ilya Shchurov

O matemático Ilya Shchurov sobre frações decimais, transcendência e irracionalidade de Pi.

Leon Takhtajyan

Serão quatro contos. Começaremos com números, depois falaremos sobre movimento, sobre mudança, depois falaremos sobre formas e tamanhos, e depois falaremos sobre começos e fins. Em um estilo um tanto criptografado, tentaremos olhar a matemática de dentro para fora, e precisamente como um objeto. Sobre o que os matemáticos pensam e sobre o que vivem - podemos falar sobre isso mais tarde.

Vladlen Timorin

O matemático Vladlen Timorin sobre as vantagens dos números complexos, quatérnios de Hamilton, números de Cayley de oito dimensões e a variedade de números na geometria.

Jacques Cesiano

Sabemos pouco sobre Diofanto. Ele parece ter vivido em Alexandria. Nenhum matemático grego o menciona antes do século IV, então ele provavelmente viveu em meados do século III. A obra mais importante de Diofanto, "Aritmética" (Ἀριθμητικά), ocorreu no início de 13 "livros" (βιβλία), ou seja, capítulos. Temos hoje 10 deles, a saber: 6 no texto grego e outros 4 na tradução árabe medieval, cujo lugar é no meio dos livros gregos: livros I-III em grego, IV-VII em árabe, VIII-X em grego. A "Aritmética" de Diofanto é principalmente uma coleção de problemas, cerca de 260. Na verdade, não há teoria; há apenas instruções gerais na introdução do livro e observações específicas em alguns problemas quando necessário. "Aritmética" já tem as características de um tratado algébrico. Primeiro, Diofanto usa diferentes signos para expressar o desconhecido e seus graus, também alguns cálculos; como todo simbolismo algébrico da Idade Média, seu simbolismo vem de palavras matemáticas. Em seguida, Diofanto explica como resolver o problema de forma algébrica. Mas os problemas de Diofantina não são algébricos no sentido usual, porque quase todos eles são reduzidos a resolver uma equação indefinida ou sistemas de tais equações.

O mundo da matemática é inconcebível sem eles - sem números primos. O que são números primos, o que há de especial neles e que significado eles têm na vida cotidiana? Neste filme, o professor de matemática britânico Marcus du Sotoy revelará o segredo dos números primos.

George Shabat

Na escola, todos nós somos incutidos com a ideia errônea de que no conjunto dos números racionais Q existe uma única distância natural (o módulo da diferença), em relação à qual todas as operações aritméticas são contínuas. No entanto, há também um número infinito de distâncias, as chamadas p-ádicas, uma para cada número p. De acordo com o teorema de Ostrovskii, a distância "comum", juntamente com todas as distâncias p-ádicas, realmente esgota todas as distâncias razoáveis Q. O termo democracia adele foi introduzido por Yu. I. Manin. De acordo com o princípio da democracia adele, todas as distâncias razoáveis em Q são iguais perante as leis da matemática (talvez apenas a tradicional “ligeiramente = ligeiramente mais igual...”. essas distâncias ao mesmo tempo.

Vladimir Arnold

JL Lagrange provou que uma sequência de quocientes incompletos (começando de algum lugar) é periódica se e somente se o número x for uma irracionalidade quadrática. R. O. Kuzmin provou que em uma sequência de quocientes incompletos de quase qualquer número real, a proporção d_m igual a m quocientes incompletos é a mesma (para números reais típicos). A fração d_m diminui quando m→∞ como 1/m^2 e seu valor foi previsto por Gauss (que não provou nada). V. I. Arnolda (20 anos atrás) conjecturou que a estatística de Gauss-Kuzmin d_m também vale para os períodos de frações contínuas das raízes das equações quadráticas x^2+px+q=0 (com inteiro p e q): se escrevermos juntos os quocientes incompletos , formando os períodos de todas as frações contínuas das raízes de tais equações com p^2+q^2≤R^2, então a fração do quociente incompleto m entre eles tenderá para o número d_m como R→ ∞. V. A. Bykovsky e seus alunos de Khabarovsk provaram recentemente essa hipótese de longa data. Apesar disso, a questão da estatística não de letras, mas de palavras compostas por elas, que são períodos de frações contínuas de quaisquer raízes x das equações x^2+px+q=0, está longe de ser resolvida.

Reid Miles

Deixo o título e o resumo o mais vagos possível, para que eu possa falar sobre o que me apetecer no dia. Muitas variedades de interesse na classificação de variedades são obtidas como Spec ou Proj de um anel Gorenstein. Na codimensão ⩽3, a conhecida teoria da estrutura fornece métodos explícitos de cálculo com anéis de Gorenstein. Em contraste, não há teoria de estrutura utilizável para anéis de codimensão ⩾4. No entanto, em muitos casos, a projeção de Gorenstein (e seu inverso, a desprojeção de Kustin-Miller) fornece métodos para atacar esses anéis. Esses métodos se aplicam a classes esporádicas de anéis canônicos de superfícies algébricas regulares e a construções mais sistemáticas de Q-Fano 3-folds, ligações de Sarkisov entre estes, e os flips de 3-folds do Tipo A da teoria de Mori.

Por que menos vezes menos é igual a mais?

- (1 pau) - (2 paus) = ((1 pau)+(2 paus))= 2 paus (E dois paus são + porque há 2 paus no mastro)))

Menos vezes menos dá mais porque é uma regra da escola. No momento, não há uma resposta exata por que, na minha opinião. Esta é a regra e já existe há muitos anos. Você só precisa lembrar uma lasca para uma lasca dá um prendedor de roupa.

Do curso de matemática da escola, sabemos que menos vezes menos dá mais. Há também uma explicação simplificada e divertida desta regra: menos é uma linha, dois menos são duas linhas, mais consiste apenas em 2 linhas. Portanto, menos vezes menos dá um sinal de mais.

Acho que sim: menos é um pau - adicione mais um bastão de menos - então você pega duas varas, e se você as conecta transversalmente, então o sinal + vai aprender, foi assim que eu disse minha opinião sobre a questão: menos menos datas mais.

Menos vezes menos nem sempre resulta em mais, mesmo em matemática. Mas, basicamente, comparo essa afirmação com a matemática, onde ela é encontrada com mais frequência. Eles também dizem que derrubam sucata com um pé de cabra - isso também está de alguma forma associado a desvantagens.

Imagine que você pegou emprestado 100 rublos. Agora sua conta: -100 rublos. Então você pagou essa dívida. Então acontece que você reduziu (-) sua dívida (-100) pela mesma quantia de dinheiro. Obtemos: -100-(-100)=0

O menos indica o oposto: o oposto de 5 é -5. Mas -(-5) é o número oposto ao oposto, ou seja, 5.

Como numa brincadeira:

1º - Onde fica o lado oposto da rua?

2º - do outro lado

1º - e eles disseram que sobre isso ...

Imagine uma balança com duas tigelas. O fato de que na tigela direita sempre tem um sinal de mais, na tigela esquerda - menos. Agora, multiplicar por um número com sinal de mais significa que ocorre na mesma tigela, e multiplicar por um número com sinal de menos significa que o resultado é transferido para outra tigela. Exemplos. Multiplicamos 5 maçãs por 2. Obtemos 10 maçãs na tigela certa. Multiplicamos - 5 maçãs por 2, obtemos 10 maçãs na tigela esquerda, ou seja -10. Agora multiplique -5 por -2. Isso significa 5 maçãs da tigela da esquerda multiplicadas por 2 e transferidas para a tigela da direita, ou seja, a resposta é 10. Curiosamente, multiplicar mais por menos, ou seja, maçãs da tigela da direita, tem um resultado negativo, ou seja, as maçãs vão para a esquerda. E multiplicando menos maçãs esquerdas por mais deixa-as no menos, na tigela esquerda.

Acho que isso pode ser demonstrado da seguinte maneira. Se você colocar cinco maçãs em cinco cestas, haverá 25 maçãs no total. Em cestas. E menos cinco maçãs significa que eu não as relatei, mas as tirei de cada uma das cinco cestas. e acabou as mesmas 25 maçãs, mas não em cestas. Portanto, as cestas vão como um sinal de menos.

Você também pode demonstrar isso muito bem com o exemplo a seguir. Se sua casa está pegando fogo, isso é um sinal de menos. Mas se você esqueceu de fechar a torneira no banho e começou a inundar, isso também é negativo. Mas isso é separado. Mas se tudo aconteceu ao mesmo tempo, menos por menos dá mais, e seu apartamento tem a chance de sobreviver.

1) Por que menos um vezes menos um é igual a mais um?
2) Por que menos um vezes mais um é igual a menos um?

"O inimigo do meu inimigo é meu amigo."

A resposta mais fácil é: "Porque essas são as regras para trabalhar com números negativos". As regras que aprendemos na escola e aplicamos ao longo de nossas vidas. No entanto, os livros didáticos não explicam por que as regras são do jeito que são. Tentaremos primeiro entender isso a partir da história do desenvolvimento da aritmética e, em seguida, responderemos a essa pergunta do ponto de vista da matemática moderna.

Há muito tempo, apenas os números naturais eram conhecidos pelas pessoas: 1, 2, 3, ... Eles eram usados para contar utensílios, presas, inimigos, etc. Mas os números em si são bastante inúteis - você precisa ser capaz de lidar eles. A adição é clara e compreensível e, além disso, a soma de dois números naturais também é um número natural (um matemático diria que o conjunto dos números naturais é fechado na operação de adição). A multiplicação é, de fato, a mesma adição se estivermos falando de números naturais. Na vida, muitas vezes realizamos ações relacionadas a essas duas operações (por exemplo, ao fazer compras, somamos e multiplicamos), e é estranho pensar que nossos ancestrais as encontraram com menos frequência - a adição e a multiplicação foram dominadas pela humanidade por muito tempo atrás. Muitas vezes é necessário dividir uma quantidade por outra, mas aqui o resultado nem sempre é expresso por um número natural - foi assim que os números fracionários apareceram.

Números negativos aparecem em documentos indianos do século VII dC; os chineses, aparentemente, começaram a usá-los um pouco antes. Eles eram usados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - era apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O fato de os números negativos, ao contrário dos positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade, despertou forte desconfiança. As pessoas no sentido literal da palavra evitavam números negativos: se o problema recebesse uma resposta negativa, eles acreditavam que não havia resposta alguma. Essa desconfiança persistiu por muito tempo, e até mesmo Descartes, um dos "fundadores" da matemática moderna, os chamou de "falsos" (no século XVII!).

Considere, por exemplo, a equação 7x - 17 = 2x - 2. Pode ser resolvido assim: mova os termos com o desconhecido para o lado esquerdo e o restante para a direita, resultará 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Com essa solução, nem encontramos números negativos.

Mas pode-se acidentalmente fazer diferente: mover os termos com o desconhecido para o lado direito e obter 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: x = (-15)/(-5). Mas a resposta correta é conhecida, e resta concluir que (-15)/(-5) = 3 .

O que esse exemplo simples demonstra? Primeiramente, fica clara a lógica que determinava as regras para ações em números negativos: os resultados dessas ações devem corresponder às respostas que são obtidas de forma diferente, sem números negativos. Em segundo lugar, ao permitir o uso de números negativos, nos livramos da tediosa (se a equação for mais complicada, com um grande número de termos) busca pelo caminho da solução em que todas as ações são realizadas apenas em números naturais. Além disso, não podemos mais pensar sempre no significado das quantidades que estão sendo convertidas - e isso já é um passo para transformar a matemática em uma ciência abstrata.

Como resultado, surgiu um novo conceito: anel. É apenas um monte de elementos mais ações que podem ser executadas neles. As regras fundamentais aqui são apenas as regras (elas são chamadas axiomas) a que as ações estão sujeitas, não a natureza dos elementos do conjunto (aqui está, um novo nível de abstração!). Desejando enfatizar que é a estrutura que surge após a introdução dos axiomas que é importante, dizem os matemáticos: o anel dos inteiros, o anel dos polinômios, etc. A partir dos axiomas, podem-se derivar outras propriedades dos anéis.

anelé chamado de conjunto com duas operações binárias (ou seja, dois elementos do anel estão envolvidos em cada operação), que são tradicionalmente chamados de adição e multiplicação, e os seguintes axiomas:

adição de elementos de anel obedece comutativa ( A + B = B + A para quaisquer elementos UMA e B) e associativo ( A + (B + C) = (A + B) + C) leis; o anel contém um elemento especial 0 (um elemento neutro por adição) tal que A + 0 = A, e para qualquer elemento UMA existe um elemento oposto (indicado (-UMA)), que A + (-A) = 0 ;
a multiplicação obedece à lei da combinação: A (B C) = (A B) C ;
adição e multiplicação estão relacionadas pelas seguintes regras de expansão de parênteses: (A + B) C = A C + B C e A (B + C) = A B + A C .

Notamos que anéis, na construção mais geral, não exigem que a multiplicação seja permutável, nem é invertível (ou seja, nem sempre é possível dividir), nem exige a existência de uma unidade, um elemento neutro com respeito à multiplicação. Se esses axiomas forem introduzidos, outras estruturas algébricas serão obtidas, mas todos os teoremas provados para anéis serão verdadeiros nelas.

Agora provamos que para quaisquer elementos UMA e B anel arbitrário é verdadeiro, em primeiro lugar, (-A) B = -(A B), E em segundo lugar (-(-A)) = A. A partir disso, as declarações sobre as unidades seguem facilmente: (-1) 1 = -(1 1) = -1 e (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

Para isso, precisamos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. De fato, deixe o elemento UMA existem dois opostos: B e Com. Ou seja A + B = 0 = A + C. Considere a soma A+B+C. Usando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, obtemos que, por um lado, a soma é igual a B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, e por outro lado, é igual a C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Meios, B=C .

Observemos agora que UMA, e (-(-UMA)) são opostos ao mesmo elemento (-UMA), então eles devem ser iguais.

O primeiro fato é assim: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ou seja (-A)B oposto A B, então é igual a -(AB) .

Para ser matematicamente rigoroso, vamos explicar por que 0B = 0 para qualquer elemento B. De fato, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Ou seja, a adição 0 B não altera o valor. Portanto, este produto é igual a zero.

E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos para o leitor como um simples exercício.

Evgeny Epifanov, Terra (Sol III).

Aliás, por quê? A resposta mais fácil é: "Porque essas são as regras para trabalhar com números negativos". As regras que aprendemos na escola e aplicamos ao longo de nossas vidas. No entanto, os livros didáticos não explicam por que as regras são do jeito que são. Lembramos - é isso, e não faça mais a pergunta.

E vamos perguntar...

A subtração, é claro, também é indispensável. Mas, na prática, tendemos a subtrair o número menor do número maior, e não há necessidade de usar números negativos. (Se eu tiver 5 doces e der 3 para minha irmã, então terei 5 - 3 = 2 doces, mas não posso dar a ela 7 doces com todo o meu desejo.) Isso pode explicar por que as pessoas não usaram números negativos por muito tempo.

Números negativos aparecem em documentos indianos do século VII dC; os chineses, aparentemente, começaram a usá-los um pouco antes. Eles eram usados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - era apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O fato de os números negativos, ao contrário dos positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade, despertou forte desconfiança. As pessoas no sentido literal da palavra evitavam números negativos: se o problema recebesse uma resposta negativa, eles acreditavam que não havia resposta alguma. Essa desconfiança persistiu por muito tempo, e até mesmo Descartes, um dos "fundadores" da matemática moderna, os chamou de "falsos" (no século XVII!).

Considere, por exemplo, a equação 7x - 17 \u003d 2x - 2. Ela pode ser resolvida da seguinte forma: mova os termos com a incógnita para o lado esquerdo e o resto para a direita, você obtém 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Com isso, nem encontramos números negativos na solução.

Mas poderia ter sido feito de outra forma por acaso: mova os termos com a incógnita para o lado direito e obtenha 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: x = (-15)/(-5). Mas a resposta correta é conhecida e resta concluir que (-15)/(-5) = 3.

A adição de elementos de anel obedece às leis comutativas (A + B = B + A para quaisquer elementos A e B) e combinacionais (A + (B + C) = (A + B) + C); o anel tem um elemento especial 0 (um elemento neutro por adição) tal que A + 0 = A, e para qualquer elemento de A existe um elemento oposto (indicado (-A)) tal que A + (-A) = 0 ;
- a multiplicação obedece à lei da combinação: A (B C) = (A B) C;
adição e multiplicação estão relacionadas pelas seguintes regras de expansão de colchetes: (A + B) C = A C + B C e A (B + C) = A B + A C.

Agora vamos provar que para quaisquer elementos A e B de um anel arbitrário, primeiro, (-A) B = -(AB), e em segundo lugar (-(-A)) = A. Isso implica facilmente declarações sobre unidades: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 e (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Para isso, precisamos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. De fato, deixe que o elemento A tenha dois opostos: B e C. Ou seja, A + B = 0 = A + C. Considere a soma A + B + C. Usando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, temos veja que, com por um lado, a soma é igual a B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, e por outro lado, é igual a C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Portanto, B = C.

Observe agora que A e (-(-A)) são opostos do mesmo elemento (-A), então eles devem ser iguais.

O primeiro fato é obtido da seguinte forma: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ou seja, (-A) B é oposto a A B, logo é igual a - (AB).

Para ser matematicamente rigoroso, vamos também explicar porque 0·B = 0 para qualquer elemento de B. De fato, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ou seja, adicionar 0 B não altera a soma. Portanto, este produto é igual a zero.

E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos para o leitor como um simples exercício.

Evgeny Epifanov

Ao ouvir um professor de matemática, a maioria dos alunos percebe o material como um axioma. Ao mesmo tempo, poucas pessoas tentam chegar ao fundo e descobrir por que "menos" para "mais" dá um sinal de "menos" e, ao multiplicar dois números negativos, sai um positivo.

Leis da Matemática

A maioria dos adultos não consegue explicar a si mesmo ou a seus filhos por que isso acontece. Eles aprenderam completamente esse material na escola, mas nem tentaram descobrir de onde vinham essas regras. Mas em vão. Muitas vezes, as crianças modernas não são tão ingênuas, elas precisam chegar ao fundo da questão e entender, digamos, por que "mais" em "menos" dá "menos". E às vezes os moleques fazem perguntas complicadas deliberadamente para aproveitar o momento em que os adultos não podem dar uma resposta inteligível. E é realmente um desastre se um jovem professor se mete em problemas...

A propósito, deve-se notar que a regra mencionada acima é válida tanto para multiplicação quanto para divisão. O produto de um número negativo por um positivo só dará um "menos". Se estamos falando de dois dígitos com um sinal "-", o resultado será um número positivo. O mesmo se aplica à divisão. Se um dos números for negativo, então o quociente também estará com o sinal "-".

Para explicar a exatidão desta lei da matemática, é necessário formular os axiomas do anel. Mas primeiro você precisa entender o que é. Em matemática, costuma-se chamar um anel de um conjunto no qual estão envolvidas duas operações com dois elementos. Mas é melhor entender isso com um exemplo.

Axioma do anel

Existem várias leis matemáticas.

O primeiro deles é deslocável, segundo ele, C + V = V + C.
O segundo é chamado associativo (V + C) + D = V + (C + D).

A multiplicação (V x C) x D \u003d V x (C x D) também os obedece.

Ninguém cancelou as regras pelas quais os colchetes são abertos (V + C) x D = V x D + C x D, também é verdade que C x (V + D) = C x V + C x D.

Além disso, foi estabelecido que um elemento especial de adição neutra pode ser introduzido no anel, usando o seguinte: C + 0 = C. Além disso, para cada C há um elemento oposto, que pode ser denotado como (-C). Nesse caso, C + (-C) \u003d 0.

Derivação de axiomas para números negativos

Tendo aceitado as afirmações acima, podemos responder à pergunta: ""Mais" em "menos" dá que sinal? Conhecendo o axioma sobre a multiplicação de números negativos, é necessário confirmar que de fato (-C) x V = -(C x V). E também que a seguinte igualdade é verdadeira: (-(-C)) = C.

Para fazer isso, devemos primeiro provar que cada um dos elementos tem apenas um "irmão" oposto. Considere o seguinte exemplo de prova. Vamos tentar imaginar que dois números são opostos para C - V e D. Daí segue que C + V = 0 e C + D = 0, ou seja, C + V = 0 = C + D. Lembrando as leis de deslocamento e sobre as propriedades do número 0, podemos considerar a soma dos três números: C, V e D. Vamos tentar descobrir o valor de V. É lógico que V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, pois o valor de C + D, como foi aceito acima, é igual a 0. Portanto, V = V + C + D.

O valor para D é derivado da mesma forma: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Com base nisso, fica claro que V = D.

Para entender por que, no entanto, o "mais" no "menos" dá um "menos", você precisa entender o seguinte. Assim, para o elemento (-C), os opostos são C e (-(-C)), ou seja, são iguais entre si.

Então é óbvio que 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Segue-se disso que C x V é oposto a (-) C x V , o que significa (- C) x V = -(C x V).

Para um rigor matemático completo, também é necessário confirmar que 0 x V = 0 para qualquer elemento. Se você seguir a lógica, então 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Isso significa que adicionar o produto 0 x V não altera a quantidade definida de forma alguma. Afinal, este produto é igual a zero.

Conhecendo todos esses axiomas, pode-se deduzir não apenas quanto "mais" por "menos" dá, mas também o que acontece quando números negativos são multiplicados.

Multiplicação e divisão de dois números com sinal "-"

Se você não se aprofundar nas nuances matemáticas, poderá tentar explicar as regras de ação com números negativos de uma maneira mais simples.

Suponha que C - (-V) = D, com base nisso, C = D + (-V), ou seja, C = D - V. Transferimos V e obtemos que C + V = D. Ou seja, C + V = C - (-V). Este exemplo explica por que em uma expressão onde há dois "menos" seguidos, os sinais mencionados devem ser alterados para "mais". Agora vamos lidar com a multiplicação.

(-C) x (-V) \u003d D, dois produtos idênticos podem ser adicionados e subtraídos à expressão, que não alterará seu valor: (-C) x (-V) + (C x V) - (C xV) \u003d D.

Lembrando as regras para trabalhar com colchetes, obtemos:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Segue-se disso que C x V \u003d (-C) x (-V).

Da mesma forma, podemos provar que o resultado da divisão de dois números negativos será positivo.

Regras matemáticas gerais

É claro que tal explicação não é adequada para alunos do ensino fundamental que estão apenas começando a aprender números negativos abstratos. É melhor para eles explicarem sobre objetos visíveis, manipulando o termo familiar através do espelho. Por exemplo, brinquedos inventados, mas não existentes, estão localizados lá. Eles podem ser exibidos com um sinal "-". A multiplicação de dois objetos-espelho os transfere para outro mundo, que se equipara ao presente, ou seja, como resultado, temos números positivos. Mas a multiplicação de um número abstrato negativo por um positivo só dá o resultado familiar a todos. Afinal, "mais" multiplicado por "menos" dá "menos". É verdade que as crianças não se esforçam muito para mergulhar em todas as nuances matemáticas.

Embora, se você encarar a verdade, para muitas pessoas, mesmo com ensino superior, muitas regras permanecem um mistério. Todo mundo dá como certo o que seus professores lhes ensinam, não se importando em mergulhar em todas as complexidades que a matemática está repleta. "Menos" em "menos" dá um "mais" - todos sabem disso sem exceção. Isso vale tanto para números inteiros quanto para números fracionários.

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