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Introdução

O mundo dos números é muito misterioso e interessante. Os números são muito importantes em nosso mundo. Quero aprender o máximo possível sobre a origem dos números, sobre seu significado em nossas vidas. Como aplicá-los e que papel eles desempenham em nossa vida?

No ano passado nas aulas de matemática começamos a estudar o tema “Números positivos e negativos”. Eu tinha uma pergunta, quando os números negativos apareceram, em qual país, quais cientistas lidaram com essa questão. Na Wikipedia, li que um número negativo é um elemento do conjunto dos números negativos, que (junto com o zero) apareceu na matemática quando o conjunto dos números naturais foi expandido. O objetivo da extensão é fornecer uma operação de subtração para quaisquer números. Como resultado da expansão, obtém-se um conjunto (anel) de inteiros, composto por números positivos (naturais), números negativos e zero.

Como resultado, decidi investigar a história dos números negativos.

O objetivo deste trabalho é estudar a história do surgimento dos números negativos e positivos.

Objeto de estudo - números negativos e números positivos

História dos números positivos e negativos

As pessoas não conseguiam se acostumar com números negativos por muito tempo. Os números negativos pareciam incompreensíveis para eles, não eram usados, simplesmente não viam muito significado neles. Esses números apareceram muito depois dos números naturais e frações comuns.

A primeira informação sobre números negativos é encontrada entre os matemáticos chineses no século II aC. BC e. e então, apenas as regras de adição e subtração de números positivos e negativos eram conhecidas; as regras de multiplicação e divisão não foram aplicadas.

Quantidades positivas na matemática chinesa eram chamadas de "chen", negativas - "fu"; eles foram retratados em cores diferentes: "chen" - vermelho, "fu" - preto. Isso pode ser visto no livro Aritmética em Nove Capítulos (Autor Zhang Can). Este método de representação foi usado na China até meados do século XII, até que Li Ye propôs uma notação mais conveniente para números negativos - os números que representavam números negativos foram riscados com um traço obliquamente da direita para a esquerda.

Somente no século VII Os matemáticos indianos começaram a fazer uso extensivo de números negativos, mas os encaravam com certa desconfiança. Bhashara escreveu diretamente: "As pessoas não aprovam números negativos abstratos ...". Eis como o matemático indiano Brahmagupta estabeleceu as regras de adição e subtração: “propriedade e propriedade são propriedade, a soma de duas dívidas é dívida; a soma de propriedade e zero é propriedade; a soma de dois zeros é zero... A dívida, que é subtraída de zero, torna-se propriedade, e a propriedade torna-se dívida. Se for necessário tirar propriedade da dívida e dívida da propriedade, eles retiram sua quantia. "A soma de duas propriedades é propriedade."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Os índios chamavam os números positivos de "dhana" ou "swa" (propriedade), e os negativos - "rina" ou "kshaya" (dívida). Os cientistas indianos, tentando encontrar exemplos de tal subtração na vida, passaram a interpretá-la do ponto de vista dos cálculos comerciais. Se o comerciante tem 5000 r. e compra mercadorias por 3000 rublos, ele tem 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Se ele tem 3.000 rublos e compra por 5.000 rublos, permanece em dívida por 2.000 rublos. De acordo com isso, acreditava-se que uma subtração de 3000 - 5000 está sendo feita aqui, mas o resultado é o número 2000 com um ponto no topo, significando "dívida de dois mil". Essa interpretação foi artificial, o comerciante nunca encontrou o valor da dívida subtraindo 3000 - 5000, mas sempre subtraindo 5000 - 3000.

Um pouco mais tarde, na Índia e na China antigas, eles adivinharam em vez das palavras "dívida de 10 yuans" simplesmente escrever "10 yuans", mas desenhar esses hieróglifos em tinta preta. E os sinais "+" e "-" nos tempos antigos não eram nem para números, nem para ações.

Os gregos também não usavam sinais no início. O antigo cientista grego Diofanto não reconhecia números negativos e, se uma raiz negativa fosse obtida ao resolver uma equação, ele a descartou como "inacessível". E Diofanto tentou formular problemas e fazer equações de modo a evitar raízes negativas, mas logo Diofanto de Alexandria começou a denotar subtração com um sinal.

Regras para lidar com números positivos e negativos foram propostas já no século III no Egito. A introdução de quantidades negativas ocorreu pela primeira vez em Diofanto. Ele até usou um caractere especial para eles. Ao mesmo tempo, Diofanto usa expressões como “Vamos adicionar o negativo a ambos os lados” e até formula a regra dos sinais: “Um negativo multiplicado por um negativo dá um positivo, enquanto um negativo multiplicado por um positivo dá um positivo. um negativo."

Na Europa, os números negativos começaram a ser usados ​​a partir dos séculos 12 e 13, mas até o século 16. a maioria dos cientistas os considerava "falsos", "imaginários" ou "absurdos", em contraste com números positivos - "verdadeiros". Números positivos também foram interpretados como "propriedade", e números negativos - como "dívida", "escassez". Até o famoso matemático Blaise Pascal argumentou que 0 − 4 = 0, já que nada pode ser menos que nada. Na Europa, Leonardo Fibonacci de Pisa chegou perto o suficiente da ideia de uma quantidade negativa no início do século XIII. Em uma competição para resolver problemas com os matemáticos da corte de Frederico II, Leonardo de Pisa foi convidado a resolver um problema: era necessário encontrar o capital de várias pessoas. Fibonacci é negativo. "Este caso", disse Fibonacci, "é impossível, exceto aceitar que não se tem capital, mas dívida." No entanto, números explicitamente negativos foram usados ​​pela primeira vez no final do século XV pelo matemático francês Shuquet. Autor de um tratado manuscrito sobre aritmética e álgebra, A Ciência dos Números em Três Partes. O simbolismo de Schücke está se aproximando do moderno.

A obra do matemático, físico e filósofo francês René Descartes contribuiu para o reconhecimento dos números negativos. Ele propôs uma interpretação geométrica de números positivos e negativos - ele introduziu a linha de coordenadas. (1637).

Os números positivos são representados no eixo numérico por pontos à direita da origem 0, números negativos - à esquerda. A interpretação geométrica dos números positivos e negativos contribuiu para o seu reconhecimento.

Em 1544, o matemático alemão Michael Stiefel considera os números negativos pela primeira vez como números menores que zero (ou seja, "menos que nada"). A partir desse momento, os números negativos não são mais vistos como uma dívida, mas de uma forma completamente nova. O próprio Stiefel escreveu: “Zero está entre números verdadeiros e absurdos…”

Quase simultaneamente com Stiefel, Bombelli Raffaele (por volta de 1530-1572), um matemático e engenheiro italiano que redescobriu o trabalho de Diofanto, defendeu a ideia dos números negativos.

Da mesma forma, Girard considerou os números negativos bastante aceitáveis ​​e úteis, em particular, para indicar a falta de algo.

Todo físico lida constantemente com números: ele sempre mede alguma coisa, calcula, calcula. Em todos os lugares em seus papéis - números, números e números. Se você observar atentamente os registros de um físico, descobrirá que, ao escrever números, ele geralmente usa os sinais "+" e "-". (Por exemplo: termômetro, escala de profundidade e altura)

Somente no início do século XIX. a teoria dos números negativos completou seu desenvolvimento e os "números absurdos" receberam reconhecimento universal.

Definição do conceito de número

No mundo moderno, uma pessoa usa números constantemente, sem nem pensar em sua origem. Sem conhecimento do passado é impossível compreender o presente. Número é um dos conceitos básicos da matemática. O conceito de número desenvolveu-se em estreita ligação com o estudo das grandezas; esta ligação continua até hoje. Em todos os ramos da matemática moderna, é preciso considerar diferentes quantidades e usar números. Número é uma abstração usada para quantificar objetos. Tendo surgido na sociedade primitiva das necessidades da contagem, o conceito de número mudou e enriqueceu e se transformou no conceito matemático mais importante.

Existem muitas definições para o termo "número".

A primeira definição científica de número foi dada por Euclides em seus Elementos, que ele obviamente herdou de seu compatriota Eudoxo de Cnido (cerca de 408 - cerca de 355 aC): “Uma unidade é aquilo, de acordo com o qual cada uma das coisas existentes é chamada 1. Um número é um conjunto composto de unidades. Foi assim que o conceito de número foi definido pelo matemático russo Magnitsky em sua Aritmética (1703). Mesmo antes de Euclides, Aristóteles deu a seguinte definição: "Um número é um conjunto, que é medido com a ajuda de unidades". Em sua “Aritmética Geral” (1707), o grande físico, mecânico, astrônomo e matemático inglês Isaac Newton escreve: tipo, tomado como uma unidade. Existem três tipos de número: inteiro, fracionário e irracional. Um inteiro é aquele que é medido por uma unidade; fracionário - um múltiplo da unidade, irracional - um número que não é compatível com a unidade.

O matemático de Mariupol S.F. Klyuykov também contribuiu para a definição do conceito de número: "Os números são modelos matemáticos do mundo real, inventados pelo homem para seu conhecimento". Ele também introduziu os chamados “números funcionais” na classificação tradicional de números, significando o que geralmente é chamado de funções em todo o mundo.

Os números naturais surgiram ao contar objetos. Aprendi sobre isso na 5ª série. Então aprendi que a necessidade humana de medir quantidades nem sempre é expressa como um número inteiro. Após a extensão do conjunto dos números naturais para os fracionários, tornou-se possível dividir qualquer número inteiro por outro inteiro (com exceção da divisão por zero). Existem números fracionários. Subtrair um inteiro de outro inteiro, quando o subtraído é maior que o reduzido, por muito tempo parecia impossível. Interessante para mim foi o fato de que durante muito tempo muitos matemáticos não reconheceram os números negativos, acreditando que eles não correspondiam a nenhum fenômeno real.

A origem das palavras "mais" e "menos"

Os termos vêm das palavras mais - "mais", menos - "menos". A princípio, as ações eram denotadas pelas primeiras letras p; m. Muitos matemáticos preferiram ou O surgimento dos sinais modernos "+", "-" não é totalmente claro. O sinal “+” provavelmente vem da abreviatura et, ou seja, "e". No entanto, pode ter surgido da prática comercial: as medidas de vinho vendidas foram marcadas na barrica com um “-”, e quando o estoque foi reposto, foram riscadas, obteve-se um sinal de “+”.

Na Itália, os agiotas, emprestando dinheiro, colocavam na frente do nome do devedor o valor da dívida e um traço, como nosso menos, e quando o devedor devolve o dinheiro, eles riscam, algo como nosso mais.

Sinais modernos "+" apareceram na Alemanha na última década do século XV. no livro de Widmann, que era um guia para a conta dos comerciantes (1489). O tcheco Jan Widman já escreveu "+" e "-" para adição e subtração.

Um pouco mais tarde, o estudioso alemão Michel Stiefel escreveu a Aritmética Completa, que foi publicada em 1544. Ele contém essas entradas para números: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Números do primeiro tipo ele chamou de "menos que nada" ou "menores que nada". Números do segundo tipo ele chamou de "mais que nada" ou "mais alto que nada". Claro, você entende esses nomes, porque "nada" é 0.

Números negativos no Egito

No entanto, apesar dessas dúvidas, as regras para lidar com números positivos e negativos já eram propostas no século III no Egito. A introdução de quantidades negativas ocorreu pela primeira vez em Diofanto. Ele até usou um caractere especial para eles (agora usamos o sinal de menos para isso). É verdade que os cientistas discutem se o símbolo de Diofanto significava precisamente um número negativo ou simplesmente a operação de subtração, porque em Diofanto os números negativos não ocorrem isoladamente, mas apenas na forma de diferenças positivas; e ele considera apenas números positivos racionais como respostas em problemas. Mas, ao mesmo tempo, Diofanto usa expressões como “Adicionemos o negativo aos dois lados”, e até formula a regra dos sinais: “Um negativo multiplicado por um negativo dá um positivo, enquanto um negativo multiplicado por um positivo dá um negativo” (o que agora é geralmente formulado: “Um menos por um menos dá um mais, um menos por um mais dá um menos”).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Números negativos na Ásia antiga

Quantidades positivas na matemática chinesa eram chamadas de "chen", negativas - "fu"; eles foram retratados em cores diferentes: "chen" - vermelho, "fu" - preto. Este método de representação foi usado na China até meados do século XII, até que Li Ye propôs uma notação mais conveniente para números negativos - os números que representavam números negativos foram riscados com um traço obliquamente da direita para a esquerda. Os cientistas indianos, tentando encontrar exemplos de tal subtração na vida, passaram a interpretá-la do ponto de vista dos cálculos comerciais.

Se o comerciante tem 5000 r. e compra mercadorias por 3000 rublos, ele tem 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Se ele tem 3.000 rublos e compra por 5.000 rublos, permanece em dívida por 2.000 rublos. De acordo com isso, acreditava-se que uma subtração de 3000 - 5000 está sendo feita aqui, mas o resultado é o número 2000 com um ponto no topo, significando "dívida de dois mil".

Essa interpretação era de natureza artificial, o comerciante nunca encontrou o valor da dívida subtraindo 3.000 - 5.000, mas sempre subtraiu 5.000 - 3.000. "números com pontos", mas de forma alguma era para explicar as regras de multiplicação ou divisão.

Nos séculos V-VI, os números negativos aparecem e são amplamente distribuídos na matemática indiana. Na Índia, os números negativos eram sistematicamente usados ​​da mesma maneira que fazemos agora. Os matemáticos indianos usam números negativos desde o século VII. n. e.: Brahmagupta formulou com eles as regras para operações aritméticas. Em sua obra lemos: “propriedade e propriedade são propriedade, a soma de duas dívidas é dívida; a soma de propriedade e zero é propriedade; a soma de dois zeros é zero... A dívida, que é subtraída de zero, torna-se propriedade, e a propriedade torna-se dívida. Se for necessário tirar propriedade da dívida e dívida da propriedade, eles retiram sua quantia.

Os índios chamavam os números positivos de "dhana" ou "swa" (propriedade), e os negativos - "rina" ou "kshaya" (dívida). No entanto, na Índia houve problemas com a compreensão e aceitação de números negativos.

Números negativos na Europa

Os matemáticos europeus não os aprovaram por muito tempo, porque a interpretação de "dívida-propriedade" causou perplexidade e dúvida. De fato, como se pode “adicionar” ou “subtrair” propriedades e dívidas, que significado real pode ter “multiplicar” ou “dividir” propriedade por dívida? (G.I. Glazer, História da matemática nas séries IV-VI. Moscou, Educação, 1981)

É por isso que os números negativos conquistaram seu lugar na matemática com grande dificuldade. Na Europa, Leonardo Fibonacci de Pisa chegou perto o suficiente da ideia de uma quantidade negativa no início do século 13, mas o matemático francês Shuquet usou pela primeira vez números negativos explicitamente no final do século 15. Autor de um tratado manuscrito sobre aritmética e álgebra, A Ciência dos Números em Três Partes. O simbolismo de Schuke está se aproximando do moderno (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Interpretação moderna de números negativos

Em 1544, o matemático alemão Michael Stiefel considera os números negativos pela primeira vez como números menores que zero (ou seja, "menos que nada"). A partir desse momento, os números negativos não são mais vistos como uma dívida, mas de uma forma completamente nova. O próprio Stiefel escreveu: "Zero está entre números verdadeiros e absurdos ..." (G.I. Glazer, História da matemática nas séries IV-VI. Moscou, Educação, 1981)

Depois disso, Stiefel dedica seu trabalho inteiramente à matemática, na qual foi um brilhante autodidata. Um dos primeiros na Europa depois que Nikola Shuke começou a operar com números negativos.

O famoso matemático francês René Descartes em Geometria (1637) descreve a interpretação geométrica de números positivos e negativos; os números positivos são representados no eixo dos números por pontos à direita da origem 0, negativos - à esquerda. A interpretação geométrica dos números positivos e negativos levou a uma compreensão mais clara da natureza dos números negativos e contribuiu para o seu reconhecimento.

Quase simultaneamente com Stiefel, R. Bombelli Raffaele (por volta de 1530-1572), um matemático e engenheiro italiano que redescobriu o trabalho de Diofanto, defendeu a ideia de números negativos.

Bombelli e Girard, ao contrário, consideravam os números negativos bastante aceitáveis ​​e úteis, principalmente, para indicar a falta de algo. A designação moderna de números positivos e negativos com os sinais "+" e "-" foi usada pelo matemático alemão Widman. A expressão "menor que nada" mostra que Stiefel e alguns outros imaginaram mentalmente números positivos e negativos como pontos em uma escala vertical (como a escala de um termômetro). A ideia desenvolvida mais tarde pelo matemático A. Girard dos números negativos como pontos de uma certa reta localizada do outro lado do zero do que os positivos acabou sendo decisiva para conferir a esses números o direito de cidadania, especialmente em decorrência da o desenvolvimento do método das coordenadas por P. Fermat e R. Descartes .

Conclusão

No meu trabalho, explorei a história dos números negativos. Durante minha pesquisa, concluí:

A ciência moderna encontra quantidades de natureza tão complexa que para seu estudo é necessário inventar novos tipos de números.

Ao introduzir novos números, duas circunstâncias são de grande importância:

a) as regras de atuação sobre eles devem ser totalmente definidas e não levar a contradições;

b) novos sistemas de numeração devem contribuir para a solução de novos problemas, ou melhorar soluções já conhecidas.

Até o momento, existem sete níveis geralmente aceitos de generalização de números: números naturais, racionais, reais, complexos, vetoriais, matriciais e transfinitos. Alguns cientistas propõem considerar as funções como números funcionais e expandir o grau de generalização dos números para doze níveis.

Vou tentar estudar todos esses conjuntos de números.

Apêndice

POEMA

"Adição de números negativos e números com sinais diferentes"

Se você quiser dobrar

Os números são negativos, não há o que lamentar:

Precisamos descobrir rapidamente a soma dos módulos,

Em seguida, pegue o sinal de menos e adicione-o a ele.

Se forem dados números com sinais diferentes,

Para encontrar sua soma, estamos todos bem ali.

Um módulo maior é rapidamente muito selecionável.

Dele subtraímos o menor.

O mais importante é não esquecer o sinal!

Qual você vai colocar? - queremos perguntar

Vamos revelar um segredo para você, não é mais fácil,

Sinal, onde o módulo é maior, escreva na resposta.

Regras para adicionar números positivos e negativos

Adicione um menos com um menos,

Você pode obter um menos.

Se você adicionar menos, mais,

Isso vai ser uma vergonha?!

Escolha o sinal do número

O que é mais forte, não boceje!

Tire seus módulos

Sim, faça as pazes com todos os números!

As regras de multiplicação também podem ser interpretadas desta forma:

"O amigo do meu amigo é meu amigo": + ∙ + = + .

"O inimigo do meu inimigo é meu amigo": ─ ∙ ─ = +.

"Um amigo do meu inimigo é meu inimigo": + ∙ ─ = ─.

"O inimigo do meu amigo é meu inimigo": ─ ∙ + = ─.

O sinal de multiplicação é um ponto, tem três sinais:

Cubra dois deles, o terceiro dará a resposta.

Por exemplo.

Como determinar o sinal do produto 2∙(-3)?

Vamos fechar os sinais de mais e menos com as mãos. Há um sinal de menos

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Números positivos e negativos
Linha de coordenadas
Vamos direto. Marcamos o ponto 0 (zero) nele e tomamos este ponto como origem.

Vamos indicar com uma seta a direção do movimento ao longo de uma linha reta à direita da origem. Nesta direção, a partir do ponto 0, adiaremos os números positivos.

Ou seja, os números já conhecidos por nós, exceto o zero, são chamados de positivos.

Às vezes, números positivos são escritos com um sinal "+". Por exemplo, "+8".

Por brevidade, o sinal “+” na frente de um número positivo geralmente é omitido e, em vez de “+8”, eles simplesmente escrevem 8.

Portanto, "+3" e "3" são o mesmo número, apenas designados de forma diferente.

Vamos escolher algum segmento, cujo comprimento tomaremos como unidade e o colocaremos de lado várias vezes à direita do ponto 0. No final do primeiro segmento, o número 1 é escrito, no final do segundo - o número 2, etc

Colocando um único segmento à esquerda da origem, obtemos números negativos: -1; -2; etc.

Números negativos utilizado para denotar diversas grandezas, tais como: temperatura (abaixo de zero), vazão - ou seja, rendimento negativo, profundidade - altura negativa e outros.

Como pode ser visto na figura, números negativos são números já conhecidos por nós, apenas com um sinal de menos: -8; -5,25 etc.

• O número 0 não é positivo nem negativo.

O eixo numérico é geralmente colocado horizontalmente ou verticalmente.

Se a linha de coordenadas for vertical, a direção para cima a partir da origem geralmente é considerada positiva e para baixo a partir da origem - negativa.

A seta indica a direção positiva.

A linha reta marcada:
. ponto de referência (ponto 0);
. segmento único;
. a seta indica a direção positiva;
chamado linha coordenada ou reta numérica.

Números opostos na linha de coordenadas
Vamos marcar na linha de coordenadas dois pontos A e B, que estão localizados à mesma distância do ponto 0 à direita e à esquerda, respectivamente.

Neste caso, os comprimentos dos segmentos OA e OB são os mesmos.

Isso significa que as coordenadas dos pontos A e B diferem apenas no sinal.


Os pontos A e B também são ditos simétricos em relação à origem.
A coordenada do ponto A é positiva "+2", a coordenada do ponto B tem um sinal negativo "-2".
A (+2), B (-2).

• Os números que diferem apenas no sinal são chamados de números opostos. Os pontos correspondentes do eixo numérico (coordenado) são simétricos em relação à origem.

Cada número tem um único número oposto. Apenas o número 0 não tem oposto, mas podemos dizer que é oposto a si mesmo.

A notação "-a" significa o oposto de "a". Lembre-se de que uma letra pode ocultar um número positivo e um número negativo.

Exemplo:
-3 é o oposto de 3.

Escrevemos como uma expressão:
-3 = -(+3)

Exemplo:
-(-6) - o número oposto ao número negativo -6. Então -(-6) é o número positivo 6.

Escrevemos como uma expressão:
-(-6) = 6

Adicionando números negativos
A adição de números positivos e negativos pode ser analisada usando uma reta numérica.

A adição de números pequenos em valor absoluto é convenientemente realizada na linha de coordenadas, imaginando mentalmente como um ponto que denota que o número se move ao longo do eixo numérico.

Vamos pegar um número, por exemplo, 3. Vamos denotá-lo no eixo dos números com o ponto A.

Vamos adicionar ao número um número positivo 2. Isso significa que o ponto A deve ser movido dois segmentos unitários em uma direção positiva, ou seja, para a direita. Como resultado, obteremos o ponto B com coordenada 5.
3 + (+ 2) = 5

Para adicionar um número negativo (-5) a um número positivo, por exemplo, a 3, o ponto A deve ser movido 5 unidades de comprimento em direção negativa, ou seja, para a esquerda.

Neste caso, a coordenada do ponto B é -2.

Portanto, a ordem de adição de números racionais usando o eixo numérico será a seguinte:
. marque um ponto A na linha de coordenadas com uma coordenada igual ao primeiro termo;
. mova-o uma distância igual ao módulo do segundo termo na direção que corresponde ao sinal na frente do segundo número (mais - mova para a direita, menos - para a esquerda);
. o ponto B obtido no eixo terá uma coordenada que será igual à soma desses números.

Exemplo.
- 2 + (- 6) =

Movendo-se do ponto - 2 para a esquerda (já que há um sinal de menos na frente de 6), obtemos - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Adição de números com os mesmos sinais
Adicionar números racionais é mais fácil se você usar o conceito de módulo.

Suponha que precisamos adicionar números que têm o mesmo sinal.
Para fazer isso, descartamos os sinais dos números e pegamos os módulos desses números. Somamos os módulos e colocamos o sinal na frente da soma, que era comum a esses números.

Exemplo.

Um exemplo de adição de números negativos.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Para somar números de mesmo sinal, você precisa somar seus módulos e colocar o sinal na frente da soma que estava na frente dos termos.

Adição de números com sinais diferentes
Se os números tiverem sinais diferentes, agimos de maneira um pouco diferente do que quando adicionamos números com os mesmos sinais.
. Descartamos os sinais na frente dos números, ou seja, pegamos seus módulos.
. Subtraia o menor do maior.
. Antes da diferença, colocamos o sinal que o número com módulo maior tinha.

Um exemplo de adição de um número negativo e um número positivo.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Um exemplo de adição de números mistos.

Para adicionar números de sinais diferentes:
. subtraia o módulo menor do módulo maior;
. antes da diferença resultante, coloque o sinal do número que possui um módulo maior.

Subtração de números negativos
Como você sabe, a subtração é o oposto da adição.
Se a e b são números positivos, então subtrair o número b do número a significa encontrar um número c que, quando adicionado ao número b, dá o número a.
a - b = c ou c + b = a

A definição de subtração é válida para todos os números racionais. Ou seja subtração de números positivos e negativos pode ser substituído por adição.

• Para subtrair outro de um número, você precisa adicionar o número oposto ao minuendo.

Ou, de outra forma, podemos dizer que a subtração do número b é a mesma adição, mas com o número oposto ao número b.
a - b = a + (- b)

Exemplo.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Exemplo.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Vale lembrar as expressões abaixo.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Regras para subtrair números negativos
Como você pode ver nos exemplos acima, a subtração do número b é a adição com o número oposto ao número b.
Essa regra é preservada não apenas ao subtrair um número menor de um número maior, mas também permite subtrair um número maior de um número menor, ou seja, sempre é possível encontrar a diferença entre dois números.

A diferença pode ser um número positivo, um número negativo ou zero.

Exemplos de subtração de números negativos e positivos.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
É conveniente lembrar a regra do sinal, que permite reduzir o número de colchetes.
O sinal de mais não altera o sinal do número, portanto, se houver um mais na frente do colchete, o sinal entre colchetes não será alterado.
+ (+ a) = + a

+ (-a) = -a

O sinal de menos na frente dos colchetes inverte o sinal do número entre colchetes.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Pode-se ver pelas igualdades que, se houver sinais idênticos antes e dentro dos colchetes, obteremos “+” e, se os sinais forem diferentes, obteremos “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

A regra dos sinais também é preservada se não houver um número entre parênteses, mas uma soma algébrica de números.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Observe que, se houver vários números entre colchetes e houver um sinal de menos na frente dos colchetes, os sinais na frente de todos os números nesses colchetes devem mudar.

Para lembrar a regra dos sinais, você pode fazer uma tabela para determinar os sinais de um número.
Regra de sinal para números

Ou aprenda uma regra simples.

• Duas negativas fazem uma afirmativa,
• Mais vezes menos é igual a menos.

Multiplicação de números negativos
Usando o conceito de módulo de um número, formulamos as regras para multiplicar números positivos e negativos.

Multiplicação de números com os mesmos sinais
O primeiro caso que você pode encontrar é a multiplicação de números com o mesmo sinal.
Para multiplicar dois números com o mesmo sinal:
. multiplicar módulos de números;
. coloque um sinal “+” antes do produto resultante (ao escrever a resposta, o sinal de mais antes do primeiro número à esquerda pode ser omitido).

Exemplos de multiplicação de números negativos e positivos.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Multiplicação de números com sinais diferentes
O segundo caso possível é a multiplicação de números com sinais diferentes.
Para multiplicar dois números com sinais diferentes:
. multiplicar módulos de números;
. coloque um sinal "-" na frente do trabalho resultante.
Exemplos de multiplicação de números negativos e positivos.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Regras para sinais de multiplicação
Lembrar a regra dos sinais para multiplicação é muito simples. Esta regra é a mesma que a regra de expansão de parênteses.

• Duas negativas fazem uma afirmativa,
• Mais vezes menos é igual a menos.

Em exemplos "longos", em que há apenas uma ação de multiplicação, o sinal do produto pode ser determinado pelo número de fatores negativos.

No até número de fatores negativos, o resultado será positivo, e com ímpar quantidade é negativa.
Exemplo.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

No exemplo, existem cinco multiplicadores negativos. Então o sinal do resultado será menos.
Agora calculamos o produto dos módulos, ignorando os sinais.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

O resultado final da multiplicação dos números originais será:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Multiplicação por zero e um
Se entre os fatores houver um número zero ou um positivo, a multiplicação será realizada de acordo com as regras conhecidas.
. 0. a = 0
. uma. 0 = 0
. uma. 1 = um
Exemplos:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Um papel especial na multiplicação de números racionais é desempenhado por uma unidade negativa (-1).

• Quando multiplicado por (-1), o número é invertido.

Em termos literais, esta propriedade pode ser escrita:
uma. (- 1) = (- 1) . a = - a

Ao somar, subtrair e multiplicar números racionais juntos, a ordem das operações estabelecidas para números positivos e zero é preservada.

Um exemplo de multiplicação de números negativos e positivos.

Divisão de números negativos
Como dividir números negativos é fácil de entender, lembrando que a divisão é o inverso da multiplicação.

Se a e b são números positivos, então dividir o número a pelo número b significa encontrar um número c que, quando multiplicado por b, dá o número a.

Esta definição de divisão é válida para quaisquer números racionais, desde que os divisores sejam diferentes de zero.

Portanto, por exemplo, dividir o número (-15) pelo número 5 significa encontrar um número que, quando multiplicado pelo número 5, dá o número (-15). Este número será (-3), pois
(- 3) . 5 = - 15

meios

(- 15) : 5 = - 3

Exemplos de divisão de números racionais.
1. 10: 5 = 2 desde 2 . 5 = 10
2. (- 4): (- 2) = 2 desde 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18): 3 = - 6 desde (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, pois (- 3) . (-4) = 12

Pode-se ver pelos exemplos que o quociente de dois números com os mesmos sinais é um número positivo (exemplos 1, 2), e o quociente de dois números com sinais diferentes é um número negativo (exemplos 3,4).

Regras para dividir números negativos
Para encontrar o módulo do quociente, você precisa dividir o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
Então, para dividir dois números com os mesmos sinais, você precisa:

. preceder o resultado com um sinal "+".
Exemplos de divisão de números com os mesmos sinais:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Para dividir dois números com sinais diferentes:
. divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor;
. preceder o resultado com um sinal "-".
Exemplos de divisão de números com sinais diferentes:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Você também pode usar a tabela a seguir para determinar o sinal do quociente.
A regra dos sinais ao dividir

Ao calcular expressões "longas", nas quais aparecem apenas multiplicação e divisão, é muito conveniente usar a regra dos sinais. Por exemplo, para calcular uma fração

Você pode prestar atenção que no numerador existem 2 sinais de "menos", que, quando multiplicados, darão um "mais". Há também três sinais de menos no denominador, que, quando multiplicados, resultarão em menos. Portanto, no final, o resultado será com um sinal de menos.

A redução de frações (ações adicionais com módulos de números) é realizada da mesma forma que antes:

• O quociente da divisão de zero por um número diferente de zero é zero.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• NÃO divida por zero!

Todas as regras conhecidas anteriormente para dividir por um também se aplicam ao conjunto dos números racionais.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
onde a é qualquer número racional.

As dependências entre os resultados da multiplicação e da divisão, conhecidas por números positivos, também são preservadas para todos os números racionais (exceto para o número zero):
. se um . b = c; a = c:b; b = c: a;
. se a: b = c; a = s. b; b=a:c
Essas dependências são usadas para encontrar o fator desconhecido, dividendo e divisor (ao resolver equações), bem como para verificar os resultados da multiplicação e divisão.

Um exemplo de encontrar o desconhecido.
x. (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

Sinal de menos em frações
Divida o número (- 5) por 6 e o ​​número 5 por (- 6).

Lembramos que a linha na notação de uma fração ordinária é o mesmo sinal de divisão e escrevemos o quociente de cada uma dessas ações como uma fração negativa.

Assim, o sinal de menos em uma fração pode ser:
. antes da fração
. no numerador;
. no denominador.

• Ao escrever frações negativas, você pode colocar um sinal de menos na frente da fração, transferi-lo do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador.

Isso é frequentemente usado ao realizar operações em frações, tornando os cálculos mais fáceis.

Exemplo. Observe que depois de colocar o sinal de menos na frente do colchete, subtraímos o menor do módulo maior de acordo com as regras para adicionar números com sinais diferentes.


Usando a propriedade de transferência de sinal descrita em frações, você pode agir sem descobrir qual módulo de qual desses números fracionários é maior.

Composto por números positivos (naturais), números negativos e zero.

Todos os números negativos, e apenas eles, são menores que zero. No eixo numérico, os números negativos estão localizados à esquerda do zero. Para eles, assim como para números positivos, é definida uma relação de ordem que permite comparar um inteiro com outro.

Para cada número natural n existe um e apenas um número negativo, denotado por -n, que complementa n para zero:

Uma teoria completa e bastante rigorosa dos números negativos foi criada apenas no século 19 (William Hamilton e Hermann Grassmann).

Números negativos famosos

Veja também

Literatura

• Vygodsky M. Ya. Manual de matemática elementar. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. História da matemática na escola. - M.: Educação, 1964. - 376 p.

Notas

Fundação Wikimedia. 2010.

• Uma pedra
• Ozônio (desambiguação)

Veja o que é "Número negativo" em outros dicionários:

UM NÚMERO NEGATIVO- um número real a menor que zero, ou seja, satisfazendo a desigualdade a ... Grande Enciclopédia Politécnica- 1,50. distribuição binomial negativa A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X tal que para x = 0, 1, 2, ... e parâmetros c > 0 (inteiro positivo), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Dicionário-livro de referência de termos de documentação normativa e técnica

Número do lobo- (W) característica quantitativa do grau de atividade solar; representa o número de manchas solares e seus grupos, expressos na forma de um indicador condicional: W \u003d k (m + 10n), onde m é o número total de todas as manchas solares organizadas em grupos ou localizadas ... ... ecologia humana

Números negativos são números com um sinal de menos (-), por exemplo -1, -2, -3. Lê como: menos um, menos dois, menos três.

Exemplo de aplicação números negativosé um termômetro que mostra a temperatura do corpo, ar, solo ou água. No inverno, quando está muito frio lá fora, a temperatura é negativa (ou, como dizem, "menos").

Por exemplo, -10 graus frio:

Os números usuais que consideramos anteriormente, como 1, 2, 3, são chamados de positivos. Números positivos são números com um sinal de mais (+).

Ao escrever números positivos, o sinal + não é escrito, e é por isso que vemos os números 1, 2, 3 que nos são familiares. Mas deve-se ter em mente que esses números positivos são assim: +1, + 2, +3.

Conteúdo da lição

Esta é uma linha reta na qual todos os números estão localizados: negativos e positivos. Do seguinte modo:

Aqui são mostrados números de -5 a 5. Na verdade, a linha de coordenadas é infinita. A figura mostra apenas um pequeno fragmento dela.

Os números na linha de coordenadas são marcados como pontos. Na figura, o ponto preto em negrito é o ponto de partida. A contagem regressiva começa do zero. À esquerda do ponto de referência estão marcados os números negativos e à direita os positivos.

A linha de coordenadas continua indefinidamente em ambos os lados. O infinito na matemática é denotado pelo símbolo ∞. A direção negativa será denotada pelo símbolo −∞, e a positiva pelo símbolo +∞. Então podemos dizer que todos os números de menos infinito a mais infinito estão localizados na linha de coordenadas:

Cada ponto na linha de coordenadas tem seu próprio nome e coordenada. Nomeé qualquer letra latina. Coordenadaé um número que indica a posição de um ponto nesta linha. Simplificando, a coordenada é o mesmo número que queremos marcar na linha de coordenadas.

Por exemplo, o ponto A(2) lê como "ponto A com coordenada 2" e será denotado na linha de coordenadas da seguinte forma:

Aqui UMAé o nome do ponto, 2 é a coordenada do ponto UMA.

Exemplo 2 O ponto B (4) lê como "ponto B na coordenada 4"

Aqui Bé o nome do ponto, 4 é a coordenada do ponto b.

Exemplo 3 O ponto M(−3) é lido como "ponto M com coordenada menos três" e será denotado na linha de coordenadas da seguinte forma:

Aqui Mé o nome do ponto, −3 é a coordenada do ponto M .

Os pontos podem ser indicados por quaisquer letras. Mas é geralmente aceito designá-los com letras latinas maiúsculas. Além disso, o início do relatório, que também é chamado origem geralmente denotado por uma letra maiúscula O

É fácil ver que os números negativos estão à esquerda da origem e os números positivos à direita.

Existem frases como "quanto mais para a esquerda, menos" e "quanto mais à direita, mais". Você provavelmente já adivinhou do que estamos falando. A cada passo para a esquerda, o número diminuirá para baixo. E a cada passo para a direita, o número aumentará. A seta apontando para a direita indica a direção positiva da contagem.

Comparando números negativos e positivos

Regra 1 Qualquer número negativo é menor que qualquer número positivo.

Por exemplo, vamos comparar dois números: -5 e 3. Menos cinco menor que três, apesar de o cinco chamar a atenção em primeiro lugar, como um número maior que três.

Isso ocorre porque -5 é negativo e 3 é positivo. Na linha de coordenadas, você pode ver onde os números -5 e 3 estão localizados

Pode-se ver que −5 está à esquerda e 3 à direita. E nós dissemos que "quanto mais para a esquerda, menos" . E a regra diz que qualquer número negativo é menor que qualquer número positivo. Daí segue que

−5 < 3

"Menos cinco é menos que três"

Regra 2 Dos dois números negativos, o menor é aquele localizado à esquerda na linha de coordenadas.

Por exemplo, vamos comparar os números -4 e -1. menos quatro menor do que menos um.

Isso se deve novamente ao fato de que na linha de coordenadas −4 está localizado mais à esquerda do que −1

Pode-se ver que -4 fica à esquerda e -1 à direita. E nós dissemos que "quanto mais para a esquerda, menos" . E a regra diz que de dois números negativos, aquele que está localizado à esquerda na linha de coordenadas é menor. Daí segue que

Menos quatro é menos que menos um

Regra 3 Zero é maior que qualquer número negativo.

Por exemplo, vamos comparar 0 e -3. Zero mais do que menos três. Isso se deve ao fato de que na linha de coordenadas 0 está localizado à direita de −3

Pode-se ver que 0 está à direita e −3 à esquerda. E nós dissemos que "quanto mais à direita, mais" . E a regra diz que zero é maior que qualquer número negativo. Daí segue que

Zero é maior que menos três

Regra 4 Zero é menor que qualquer número positivo.

Por exemplo, compare 0 e 4. Zero menor que 4. Em princípio, isso é claro e verdadeiro. Mas vamos tentar ver com nossos próprios olhos, novamente na linha de coordenadas:

Pode-se ver que na linha de coordenadas 0 está localizado à esquerda e 4 à direita. E nós dissemos que "quanto mais para a esquerda, menos" . E a regra diz que zero é menor que qualquer número positivo. Daí segue que

Zero é menor que quatro

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Como número especial, não tem sinal.

Exemplos de escrita de números: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) O último número não tem sinal e, portanto, é positivo.

Observe que mais e menos indicam o sinal para números, mas não para variáveis ​​literais ou expressões algébricas. Por exemplo, em fórmulas −t; a + b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))) os símbolos de mais e menos não especificam o sinal da expressão que precedem, mas sim o sinal da operação aritmética, portanto o sinal do resultado pode ser qualquer coisa, ele é determinado somente após a expressão ter sido avaliada.

Além da aritmética, o conceito de signo é usado em outros ramos da matemática, inclusive para objetos matemáticos não numéricos (veja abaixo). O conceito de signo também é importante naqueles ramos da física onde as quantidades físicas são divididas em duas classes, condicionalmente chamadas de positivas e negativas - por exemplo, cargas elétricas, feedback positivo e negativo, várias forças de atração e repulsão.

Sinal de número

Números positivos e negativos

Zero não recebe nenhum sinal, ou seja, + 0 (\displaystyle +0) e − 0 (\displaystyle -0)é o mesmo número em aritmética. Na análise matemática, o significado dos símbolos + 0 (\displaystyle +0) e − 0 (\displaystyle -0) pode variar, veja sobre isso Zero negativo e positivo; em ciência da computação, a codificação de computador de dois zeros (tipo inteiro) pode diferir, veja código direto.

Em conexão com o acima, alguns termos mais úteis são introduzidos:

• Número não negativo se for maior ou igual a zero.
• Número não positivo se for menor ou igual a zero.
• Números positivos diferentes de zero e números negativos diferentes de zero são às vezes (para enfatizar que eles são diferentes de zero) chamados de "estritamente positivos" e "estritamente negativos", respectivamente.

A mesma terminologia às vezes é usada para funções reais. Por exemplo, a função é chamada positivo se todos os seus valores forem positivos, não negativo, se todos os seus valores forem não negativos, etc. Eles também dizem que a função é positiva/negativa em um determinado intervalo de sua definição.

Para obter um exemplo de uso da função, consulte o artigo Raiz quadrada#Números complexos .

Módulo (valor absoluto) de um número

Se o número x (\displaystyle x) solte o sinal, o valor resultante é chamado módulo ou valor absoluto números x (\displaystyle x), é denotado | x | . (\displaystyle |x|.) Exemplos: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Para quaisquer números reais a , b (\displaystyle a,b) as seguintes propriedades são válidas.

Sinal de objetos não numéricos

Sinal de ângulo

O valor do ângulo no plano é considerado positivo se for medido no sentido anti-horário, caso contrário é negativo. Dois casos de rotação são classificados de forma semelhante:

• rotação em um plano - por exemplo, a rotação de (–90°) é no sentido horário;
• a rotação no espaço em torno de um eixo orientado, via de regra, é considerada positiva se a “regra do gimlet” for satisfeita, caso contrário, é considerada negativa.

sinal de direção

Na geometria analítica e na física, os avanços ao longo de uma determinada linha reta ou curva são frequentemente divididos condicionalmente em positivos e negativos. Tal divisão pode depender da formulação do problema ou do sistema de coordenadas escolhido. Por exemplo, ao calcular o comprimento de um arco de uma curva, muitas vezes é conveniente atribuir um sinal de menos a esse comprimento em uma das duas direções possíveis.

Entrar em computação

bit mais significativo
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Para representar o sinal de um inteiro, a maioria dos computadores usa