Já aprendemos como resolver equações do segundo grau. Vamos agora estender os métodos estudados para equações racionais.

O que é uma expressão racional? Já encontramos este conceito. Expressões racionais chamadas expressões compostas por números, variáveis, seus graus e sinais de operações matemáticas.

Assim, as equações racionais são equações da forma: , onde - expressões racionais.

Anteriormente, consideramos apenas aquelas equações racionais que se reduzem a lineares. Agora vamos considerar aquelas equações racionais que podem ser reduzidas a equações quadráticas.

Exemplo 1

Resolva a equação: .

Decisão:

Uma fração é 0 se e somente se seu numerador for 0 e seu denominador não for 0.

Obtemos o seguinte sistema:

A primeira equação do sistema é uma equação quadrática. Antes de resolvê-lo, dividimos todos os seus coeficientes por 3. Obtemos:

Obtemos duas raízes: ; .

Como 2 nunca é igual a 0, duas condições devem ser atendidas: . Como nenhuma das raízes da equação obtida acima corresponde aos valores inválidos da variável que foram obtidos ao resolver a segunda inequação, ambas são soluções para essa equação.

Responda:.

Então, vamos formular um algoritmo para resolver equações racionais:

1. Mova todos os termos para o lado esquerdo de forma que 0 seja obtido no lado direito.

2. Transforme e simplifique o lado esquerdo, traga todas as frações para um denominador comum.

3. Iguale a fração resultante a 0, de acordo com o seguinte algoritmo: .

4. Escreva as raízes obtidas na primeira equação e satisfaça a segunda inequação em resposta.

Vejamos outro exemplo.

Exemplo 2

Resolva a equação: .

Decisão

No início, transferimos todos os termos para o lado esquerdo para que 0 permaneça no lado direito. Obtemos:

Agora trazemos o lado esquerdo da equação para um denominador comum:

Esta equação é equivalente ao sistema:

A primeira equação do sistema é uma equação quadrática.

Os coeficientes desta equação: . Calculamos o discriminante:

Obtemos duas raízes: ; .

Agora vamos resolver a segunda desigualdade: o produto dos fatores não é igual a 0 se e somente se nenhum dos fatores for igual a 0.

Duas condições devem ser atendidas: . Obtemos que das duas raízes da primeira equação, apenas uma é adequada - 3.

Responda:.

Nesta lição, lembramos o que é uma expressão racional e também aprendemos a resolver equações racionais, que são reduzidas a equações quadráticas.

Na próxima lição, consideraremos equações racionais como modelos de situações reais e também consideraremos problemas de movimento.

Bibliografia

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1. Festival de ideias pedagógicas "Aula Aberta" ().
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3. Rudocs.exdat.com().

Trabalho de casa

"Equações racionais com polinômios" é um dos tópicos mais frequentemente encontrados nos testes USE em matemática. Por esse motivo, sua repetição deve receber atenção especial. Muitos alunos se deparam com o problema de encontrar o discriminante, transferir indicadores do lado direito para o esquerdo e trazer a equação para um denominador comum, o que dificulta a realização de tais tarefas. Resolver equações racionais em preparação para o exame em nosso site ajudará você a lidar rapidamente com tarefas de qualquer complexidade e passar no teste com perfeição.

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Até agora, resolvemos apenas equações inteiras em relação à incógnita, ou seja, equações em que os denominadores (se houver) não continham a incógnita.

Muitas vezes você tem que resolver equações que contêm a incógnita nos denominadores: tais equações são chamadas fracionárias.

Para resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados dela por isto é, por um polinômio contendo a incógnita. A nova equação será equivalente à dada? Para responder à pergunta, vamos resolver esta equação.

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Resolvendo esta equação do primeiro grau, encontramos:

Então, a equação (2) tem uma única raiz

Substituindo na equação (1), temos:

Portanto, também é a raiz da equação (1).

A equação (1) não tem outras raízes. Em nosso exemplo, isso pode ser visto, por exemplo, pelo fato de que na equação (1)

Como o divisor desconhecido deve ser igual ao dividendo 1 dividido pelo quociente 2, ou seja

Assim, as equações (1) e (2) têm uma única raiz e, portanto, são equivalentes.

2. Agora resolvemos a seguinte equação:

O denominador comum mais simples: ; multiplique todos os termos da equação por ele:

Após a redução temos:

Vamos expandir os colchetes:

Trazendo termos semelhantes, temos:

Resolvendo esta equação, encontramos:

Substituindo na equação (1), temos:

Do lado esquerdo, recebemos expressões que não fazem sentido.

Portanto, a raiz da equação (1) não é. Isso implica que as equações (1) e não são equivalentes.

Neste caso, dizemos que a equação (1) adquiriu uma raiz estranha.

Vamos comparar a solução da equação (1) com a solução das equações que consideramos anteriormente (ver § 51). Para resolver essa equação, tivemos que realizar duas operações que não haviam sido vistas antes: primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por uma expressão contendo a incógnita (denominador comum) e, segundo, reduzimos frações algébricas por fatores contendo o desconhecido.

Comparando a Equação (1) com a Equação (2), vemos que nem todos os valores de x válidos para a Equação (2) são válidos para a Equação (1).

São os números 1 e 3 que não são valores admissíveis da incógnita para a equação (1), e como resultado da transformação eles se tornaram admissíveis para a equação (2). Um desses números acabou sendo uma solução para a equação (2), mas, é claro, não pode ser uma solução para a equação (1). A equação (1) não tem soluções.

Este exemplo mostra que ao multiplicar ambas as partes da equação por um fator contendo a incógnita, e ao reduzir frações algébricas, pode-se obter uma equação que não é equivalente à dada, a saber: podem aparecer raízes estranhas.

Daí tiramos a seguinte conclusão. Ao resolver uma equação contendo uma incógnita no denominador, as raízes resultantes devem ser verificadas por substituição na equação original. Raízes estranhas devem ser descartadas.

Equações com frações em si não são difíceis e muito interessantes. Considere os tipos de equações fracionárias e as formas de resolvê-las.

Como resolver equações com frações - x no numerador

Se for dada uma equação fracionária, onde a incógnita está no numerador, a solução não requer condições adicionais e é resolvida sem complicações desnecessárias. A forma geral de tal equação é x/a + b = c, onde x é uma incógnita, a, b e c são números ordinários.

Encontre x: x/5 + 10 = 70.

Para resolver a equação, você precisa se livrar das frações. Multiplique cada termo da equação por 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x e 5 são reduzidos, 10 e 70 são multiplicados por 5 e obtemos: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Encontre x: x/5 + x/10 = 90.

Este exemplo é uma versão um pouco mais complicada do primeiro. Há duas soluções aqui.

• Opção 1: Livre-se das frações multiplicando todos os termos da equação por um denominador maior, ou seja, por 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opção 2: Adicione o lado esquerdo da equação. x/5 + x/10 = 90. O denominador comum é 10. Divida 10 por 5, multiplique por x, temos 2x. 10 dividido por 10, multiplicado por x, obtemos x: 2x+x/10 = 90. Portanto, 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Muitas vezes existem equações fracionárias em que x's estão em lados opostos do sinal de igual. Em tal situação, é necessário transferir todas as frações com x em uma direção e os números em outra.

• Encontre x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mova 2x/5 para a direita com o sinal oposto: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reduzimos 5x/5 e obtemos: x = 130.

Como resolver uma equação com frações - x no denominador

Este tipo de equações fracionárias requer a escrita de condições adicionais. A indicação destas condições é parte obrigatória e integrante da decisão acertada. Ao não atribuí-los, você corre o risco, pois a resposta (mesmo que esteja correta) pode simplesmente não ser contada.

A forma geral das equações fracionárias, onde x está no denominador, é: a/x + b = c, onde x é uma incógnita, a, b, c são números ordinários. Observe que x pode não ser qualquer número. Por exemplo, x não pode ser zero, pois você não pode dividir por 0. Esta é precisamente a condição adicional que devemos especificar. Isso é chamado de intervalo de valores aceitáveis, abreviado - ODZ.

Encontre x: 15/x + 18 = 21.

Imediatamente escrevemos a ODZ para x: x ≠ 0. Agora que a ODZ está indicada, resolvemos a equação de acordo com o esquema padrão, eliminando as frações. Multiplicamos todos os termos da equação por x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Muitas vezes há equações em que o denominador contém não apenas x, mas também alguma outra operação com ele, como adição ou subtração.

Encontre x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Já sabemos que o denominador não pode ser igual a zero, o que significa x-3 ≠ 0. Transferimos -3 para o lado direito, enquanto trocamos o sinal “-” para “+” e obtemos que x ≠ 3. ODZ é indicado.

Resolva a equação, multiplique tudo por x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mova os x para a direita, os números para a esquerda: 24 = 3x => x = 8.

Vamos nos familiarizar com equações racionais racionais e fracionárias, dar sua definição, dar exemplos e também analisar os tipos mais comuns de problemas.

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Equação Racional: Definição e Exemplos

O conhecimento das expressões racionais começa na 8ª série da escola. Neste momento, nas aulas de álgebra, os alunos estão cada vez mais começando a cumprir tarefas com equações que contêm expressões racionais em suas notas. Vamos refrescar nossa memória do que é.

Definição 1

equação racionalé uma equação em que ambos os lados contêm expressões racionais.

Em vários manuais, você pode encontrar outra redação.

Definição 2

equação racional- esta é uma equação, cujo registro do lado esquerdo contém uma expressão racional e o da direita contém zero.

As definições que demos para equações racionais são equivalentes, pois significam a mesma coisa. A exatidão de nossas palavras é confirmada pelo fato de que para quaisquer expressões racionais P e Q equações P=Q e P − Q = 0 serão expressões equivalentes.

Agora vamos aos exemplos.

Exemplo 1

Equações racionais:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Equações racionais, assim como equações de outros tipos, podem conter qualquer número de variáveis ​​de 1 a várias. Para começar, veremos exemplos simples em que as equações conterão apenas uma variável. E então começamos a complicar gradualmente a tarefa.

As equações racionais são divididas em dois grandes grupos: inteiros e fracionários. Vamos ver quais equações se aplicam a cada um dos grupos.

Definição 3

Uma equação racional será um número inteiro se o registro de suas partes esquerda e direita contiver expressões racionais inteiras.

Definição 4

Uma equação racional será fracionária se uma ou ambas as partes contiverem uma fração.

Equações fracionárias racionais necessariamente contêm divisão por uma variável, ou a variável está presente no denominador. Não existe tal divisão na escrita de equações inteiras.

Exemplo 2

3 x + 2 = 0 e (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 são equações racionais inteiras. Aqui ambas as partes da equação são representadas por expressões inteiras.

1 x - 1 = x 3 e x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 são equações fracionárias racionais.

Equações racionais inteiras incluem equações lineares e quadráticas.

Resolvendo equações inteiras

A solução de tais equações geralmente se reduz à sua transformação em equações algébricas equivalentes. Isso pode ser alcançado realizando transformações equivalentes das equações de acordo com o seguinte algoritmo:

• primeiro obtemos zero no lado direito da equação, para isso é necessário transferir a expressão que está do lado direito da equação para o lado esquerdo e mudar o sinal;
• então transformamos a expressão do lado esquerdo da equação em um polinômio de forma padrão.

Temos que obter uma equação algébrica. Esta equação será equivalente em relação à equação original. Casos fáceis nos permitem resolver o problema reduzindo toda a equação a uma linear ou quadrática. No caso geral, resolvemos uma equação algébrica de grau n.

Exemplo 3

É necessário encontrar as raízes de toda a equação 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Decisão

Vamos transformar a expressão original para obter uma equação algébrica equivalente a ela. Para fazer isso, vamos transferir a expressão contida no lado direito da equação para o lado esquerdo e mudar o sinal para o oposto. Como resultado, obtemos: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Agora vamos transformar a expressão do lado esquerdo em um polinômio da forma padrão e realizar as ações necessárias com este polinômio:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Conseguimos reduzir a solução da equação original para a solução de uma equação quadrática da forma x 2 − 5 x − 6 = 0. O discriminante desta equação é positivo: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Isso significa que haverá duas raízes reais. Vamos encontrá-los usando a fórmula das raízes da equação quadrática:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ou x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ou x 2 = - 1

Vamos verificar a exatidão das raízes da equação que encontramos no decorrer da solução. Para este número, que recebemos, substituímos na equação original: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 e 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. No primeiro caso 63 = 63 , no segundo 0 = 0 . Raízes x=6 e x = − 1 são de fato as raízes da equação dada na condição de exemplo.

Responda: 6 , − 1 .

Vejamos o que significa "poder de toda a equação". Frequentemente nos deparamos com esse termo nos casos em que precisamos representar uma equação inteira na forma de uma equação algébrica. Vamos definir o conceito.

Definição 5

Grau de uma equação inteiraé o grau de uma equação algébrica equivalente à equação inteira original.

Se você observar as equações do exemplo acima, poderá estabelecer: o grau de toda essa equação é o segundo.

Se nosso curso se limitasse a resolver equações do segundo grau, a consideração do tópico poderia ser concluída aqui. Mas nem tudo é tão simples. A resolução de equações do terceiro grau é repleta de dificuldades. E para equações acima do quarto grau, não existem fórmulas gerais para as raízes. A esse respeito, a solução de equações inteiras do terceiro, quarto e outros graus exige que usemos várias outras técnicas e métodos.

A abordagem mais comumente usada para resolver equações racionais inteiras é baseada no método de fatoração. O algoritmo de ações neste caso é o seguinte:

• transferimos a expressão do lado direito para o lado esquerdo para que o zero permaneça no lado direito do registro;
• representamos a expressão do lado esquerdo como um produto de fatores e, em seguida, passamos para um conjunto de várias equações mais simples.

Exemplo 4

Encontre a solução para a equação (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Decisão

Transferimos a expressão do lado direito do registro para o lado esquerdo com o sinal oposto: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Converter o lado esquerdo em um polinômio da forma padrão é impraticável devido ao fato de que isso nos dará uma equação algébrica do quarto grau: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. A facilidade de transformação não justifica todas as dificuldades para resolver tal equação.

É muito mais fácil ir para o outro lado: tiramos o fator comum x 2 − 10 x + 13 . Assim chegamos a uma equação da forma (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Agora substituímos a equação resultante por um conjunto de duas equações quadráticas x 2 − 10 x + 13 = 0 e x 2 − 2 x − 1 = 0 e encontre suas raízes através do discriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Responda: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Da mesma forma, podemos usar o método de introdução de uma nova variável. Este método nos permite passar para equações equivalentes com potências menores que as da equação inteira original.

Exemplo 5

A equação tem raízes? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Decisão

Se agora tentarmos reduzir uma equação racional inteira a uma algébrica, obteremos uma equação de grau 4, que não tem raízes racionais. Portanto, será mais fácil seguirmos o outro caminho: introduzir uma nova variável y, que substituirá a expressão na equação x 2 + 3 x.

Agora vamos trabalhar com toda a equação (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Transferimos o lado direito da equação para o lado esquerdo com o sinal oposto e realizamos as transformações necessárias. Nós temos: e 2 + 4 e + 3 = 0. Vamos encontrar as raízes da equação quadrática: y = − 1 e y = - 3.

Agora vamos fazer a substituição inversa. Obtemos duas equações x 2 + 3 x = − 1 e x 2 + 3 x = - 3 . Vamos reescrevê-los como x 2 + 3 x + 1 = 0 e x 2 + 3 x + 3 = 0. Usamos a fórmula das raízes da equação quadrática para encontrar as raízes da primeira equação obtida: - 3 ± 5 2 . O discriminante da segunda equação é negativo. Isso significa que a segunda equação não tem raízes reais.

Responda:- 3 ± 5 2

Equações inteiras de altos graus são encontradas em problemas com bastante frequência. Não há necessidade de ter medo deles. Você precisa estar pronto para aplicar um método não padrão de resolvê-los, incluindo várias transformações artificiais.

Solução de equações fracionárias racionais

Começamos nossa consideração deste subtópico com um algoritmo para resolver equações fracionárias racionais da forma p (x) q (x) = 0 , onde p(x) e q(x) são expressões racionais inteiras. A solução de outras equações fracionárias racionais sempre pode ser reduzida à solução de equações da forma indicada.

O método mais comumente usado para resolver equações p (x) q (x) = 0 é baseado na seguinte afirmação: fração numérica vc, Onde vé um número diferente de zero, igual a zero apenas nos casos em que o numerador da fração é igual a zero. Seguindo a lógica da afirmação acima, podemos afirmar que a solução da equação p (x) q (x) = 0 pode ser reduzida ao cumprimento de duas condições: p(x)=0 e q(x) ≠ 0. Sobre isso, um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias da forma p (x) q (x) = 0 é construído:

• encontramos a solução de toda a equação racional p(x)=0;
• verificamos se a condição é satisfeita para as raízes encontradas durante a solução q(x) ≠ 0.

Se esta condição for atendida, então a raiz encontrada, caso contrário, a raiz não é uma solução para o problema.

Exemplo 6

Encontre as raízes da equação 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Decisão

Estamos lidando com uma equação racional fracionária da forma p (x) q (x) = 0 , na qual p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Vamos começar a resolver a equação linear 3 x - 2 = 0. A raiz desta equação será x = 2 3.

Vamos verificar a raiz encontrada, se ela satisfaz a condição 5 x 2 - 2 ≠ 0. Para fazer isso, substitua um valor numérico na expressão. Obtemos: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

A condição está satisfeita. Significa que x = 2 3é a raiz da equação original.

Responda: 2 3 .

Existe outra opção para resolver equações racionais fracionárias p (x) q (x) = 0 . Lembre-se que esta equação é equivalente a toda a equação p(x)=0 na faixa de valores admissíveis da variável x da equação original. Isso nos permite usar o seguinte algoritmo para resolver as equações p(x) q(x) = 0:

• resolva a equação p(x)=0;
• encontre o intervalo de valores aceitáveis ​​para a variável x;
• tomamos as raízes que se encontram na região de valores admissíveis da variável x como as raízes desejadas da equação racional fracionária original.

Exemplo 7

Resolva a equação x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Decisão

Primeiro, vamos resolver a equação quadrática x 2 − 2 x − 11 = 0. Para calcular suas raízes, usamos a fórmula da raiz para um segundo coeficiente par. Nós temos D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, ex = 1 ± 2 3 .

Agora podemos encontrar o ODV de x para a equação original. Estes são todos os números para os quais x 2 + 3 x ≠ 0. É o mesmo que x (x + 3) ≠ 0, onde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Agora vamos verificar se as raízes x = 1 ± 2 3 obtidas na primeira etapa da solução estão dentro da faixa de valores aceitáveis ​​da variável x . Vemos o que entra. Isso significa que a equação racional fracionária original tem duas raízes x = 1 ± 2 3 .

Responda: x = 1 ± 2 3

O segundo método de solução descrito é mais simples que o primeiro nos casos em que a área dos valores admissíveis da variável x é facilmente encontrada, e as raízes da equação p(x)=0 irracional. Por exemplo, 7 ± 4 26 9 . As raízes podem ser racionais, mas com um grande numerador ou denominador. Por exemplo, 127 1101 e − 31 59 . Isso economiza tempo para verificar a condição. q(x) ≠ 0: é muito mais fácil excluir raízes que não se encaixam, de acordo com a ODZ.

Quando as raízes da equação p(x)=0 são inteiros, é mais conveniente usar o primeiro dos algoritmos descritos para resolver equações da forma p (x) q (x) = 0 . Encontrar as raízes de uma equação inteira mais rapidamente p(x)=0 e, em seguida, verifique se a condição é atendida para eles q(x) ≠ 0, e não encontrar a ODZ, e então resolver a equação p(x)=0 nesta ODZ. Isso se deve ao fato de que, nesses casos, geralmente é mais fácil fazer uma verificação do que encontrar a ODZ.

Exemplo 8

Encontre as raízes da equação (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Decisão

Começamos considerando toda a equação (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 e encontrando suas raízes. Para isso, aplicamos o método de resolução de equações por meio da fatoração. Acontece que a equação original é equivalente a um conjunto de quatro equações 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, das quais três são lineares e um é quadrado. Encontramos as raízes: da primeira equação x = 1 2, a partir do segundo x=6, do terceiro - x \u003d 7, x \u003d - 2, do quarto - x = − 1.

Vamos verificar as raízes obtidas. É difícil para nós determinar a ODZ neste caso, pois para isso teremos que resolver uma equação algébrica do quinto grau. Será mais fácil verificar a condição segundo a qual o denominador da fração, que está no lado esquerdo da equação, não deve se anular.

Por sua vez, substitua as raízes no lugar da variável x na expressão x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 e calcule seu valor:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

A verificação realizada permite estabelecer que as raízes da equação racional fracionária original são 1 2 , 6 e − 2 .

Responda: 1 2 , 6 , - 2

Exemplo 9

Encontre as raízes da equação racional fracionária 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Decisão

Vamos começar com a equação (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Vamos encontrar suas raízes. É mais fácil para nós representar esta equação como uma combinação de equações quadráticas e lineares 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 e x − 2 = 0.

Usamos a fórmula das raízes de uma equação quadrática para encontrar as raízes. Obtemos duas raízes x = 7 ± 69 10 da primeira equação e da segunda x=2.

Substituir o valor das raízes na equação original para verificar as condições será bastante difícil para nós. Será mais fácil determinar o LPV da variável x . Neste caso, o DPV da variável x é todos os números, exceto aqueles para os quais a condição é satisfeita x 2 + 5 x − 14 = 0. Obtemos: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Agora vamos verificar se as raízes que encontramos pertencem ao intervalo de valores aceitáveis ​​para a variável x.

As raízes x = 7 ± 69 10 - pertencem, portanto, são as raízes da equação original, e x=2- não pertence, portanto, é uma raiz estranha.

Responda: x = 7 ± 69 10 .

Examinemos separadamente os casos em que o numerador de uma equação racional fracionária da forma p (x) q (x) = 0 contém um número. Nesses casos, se o numerador contiver um número diferente de zero, a equação não terá raízes. Se este número for igual a zero, então a raiz da equação será qualquer número da ODZ.

Exemplo 10

Resolva a equação racional fracionária - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Decisão

Esta equação não terá raízes, pois o numerador da fração do lado esquerdo da equação contém um número diferente de zero. Isso significa que para quaisquer valores de x o valor da fração dada na condição do problema não será igual a zero.

Responda: sem raízes.

Exemplo 11

Resolva a equação 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Decisão

Como o numerador da fração é zero, a solução da equação será qualquer valor de x da variável ODZ x.

Agora vamos definir a ODZ. Incluirá todos os valores x para os quais x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluções de equação x 4 + 5 x 3 = 0 estão 0 e − 5 , uma vez que esta equação é equivalente à equação x 3 (x + 5) = 0, e ela, por sua vez, é equivalente ao conjunto de duas equações x 3 = 0 e x + 5 = 0 onde essas raízes são visíveis. Chegamos à conclusão de que a faixa desejada de valores aceitáveis ​​é qualquer x, exceto x=0 e x = -5.

Acontece que a equação racional fracionária 0 x 4 + 5 x 3 = 0 tem um número infinito de soluções, que são quaisquer números, exceto zero e - 5.

Responda: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Agora vamos falar sobre equações racionais fracionárias de forma arbitrária e métodos para resolvê-las. Eles podem ser escritos como r(x) = s(x), Onde r(x) e s(x) são expressões racionais, e pelo menos uma delas é fracionária. A solução de tais equações é reduzida à solução de equações da forma p (x) q (x) = 0 .

Já sabemos que podemos obter uma equação equivalente transferindo a expressão do lado direito da equação para o lado esquerdo com o sinal oposto. Isso significa que a equação r(x) = s(x)é equivalente à equação r (x) − s (x) = 0. Também já discutimos como converter uma expressão racional em uma fração racional. Graças a isso, podemos facilmente transformar a equação r (x) − s (x) = 0 em sua fração racional idêntica da forma p (x) q (x) .

Então, passamos da equação racional fracionária original r(x) = s(x) a uma equação da forma p (x) q (x) = 0 , que já aprendemos a resolver.

Deve-se notar que ao fazer transições de r (x) − s (x) = 0 para p (x) q (x) = 0 e depois para p(x)=0 podemos não levar em conta a expansão do intervalo de valores válidos da variável x .

É bastante realista que a equação original r(x) = s(x) e equação p(x)=0 como resultado das transformações, eles deixarão de ser equivalentes. Então a solução da equação p(x)=0 pode nos dar raízes que serão estranhas r(x) = s(x). A este respeito, em cada caso, é necessário realizar uma verificação por qualquer um dos métodos descritos acima.

Para facilitar o estudo do tópico, generalizamos todas as informações em um algoritmo para resolver uma equação racional fracionária da forma r(x) = s(x):

• transferimos a expressão do lado direito com o sinal oposto e obtemos zero à direita;
• transformamos a expressão original em uma fração racional p (x) q (x) executando ações sequencialmente com frações e polinômios;
• resolva a equação p(x)=0;
• revelamos raízes estranhas verificando sua pertença à ODZ ou substituindo na equação original.

Visualmente, a cadeia de ações ficará assim:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandono r o n d e r o on s

Exemplo 12

Resolva a equação racional fracionária x x + 1 = 1 x + 1 .

Decisão

Vamos passar para a equação x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Vamos transformar a expressão racional fracionária no lado esquerdo da equação para a forma p (x) q (x) .

Para fazer isso, temos que reduzir frações racionais a um denominador comum e simplificar a expressão:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2x - 1x (x + 1)

Para encontrar as raízes da equação - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, precisamos resolver a equação − 2 x − 1 = 0. Obtemos uma raiz x = - 1 2.

Resta-nos realizar a verificação por qualquer um dos métodos. Vamos considerar os dois.

Substitua o valor resultante na equação original. Obtemos - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Chegamos à igualdade numérica correta − 1 = − 1 . Significa que x = − 1 2é a raiz da equação original.

Agora vamos verificar através da ODZ. Vamos definir o intervalo de valores aceitáveis ​​para a variável x . Este será o conjunto inteiro de números, exceto − 1 e 0 (quando x = − 1 e x = 0, os denominadores das frações desaparecem). A raiz que temos x = − 1 2 pertence ao ODZ. Isso significa que é a raiz da equação original.

Responda: − 1 2 .

Exemplo 13

Encontre as raízes da equação x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Decisão

Estamos lidando com uma equação racional fracionária. Portanto, vamos agir de acordo com o algoritmo.

Vamos mover a expressão do lado direito para o lado esquerdo com o sinal oposto: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Vamos realizar as transformações necessárias: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Chegamos à equação x=0. A raiz desta equação é zero.

Vamos verificar se essa raiz é estrangeira para a equação original. Substitua o valor na equação original: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Como você pode ver, a equação resultante não faz sentido. Isso significa que 0 é uma raiz estranha e a equação racional fracionária original não tem raízes.

Responda: sem raízes.

Se não incluímos outras transformações equivalentes no algoritmo, isso não significa que elas não possam ser usadas. O algoritmo é universal, mas foi projetado para ajudar, não limitar.

Exemplo 14

Resolva a equação 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Decisão

A maneira mais fácil é resolver a equação racional fracionária dada de acordo com o algoritmo. Mas há outra maneira. Vamos considerá-lo.

Subtraia das partes direita e esquerda 7, obtemos: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Disso podemos concluir que a expressão no denominador do lado esquerdo deve ser igual ao número recíproco do número do lado direito, ou seja, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Subtraia de ambas as partes 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Por analogia 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de onde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, e mais 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Vamos verificar para estabelecer se as raízes encontradas são as raízes da equação original.

Responda: x = ± 2

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