Expressões, conversão de expressão

Expressões de poder (expressões com poderes) e sua transformação

Neste artigo, falaremos sobre transformar expressões com potências. Primeiro, vamos nos concentrar nas transformações que são realizadas com expressões de qualquer tipo, incluindo expressões de potência, como abrir colchetes, reduzir termos semelhantes. E então analisaremos as transformações inerentes às expressões com potências: trabalhando com a base e o expoente, usando as propriedades das potências, etc.

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O que são expressões de poder?

O termo "expressões de poder" praticamente não é encontrado nos livros didáticos de matemática, mas aparece frequentemente em coletâneas de tarefas, especialmente elaboradas para preparar o Exame Estadual Unificado e o OGE, por exemplo. Após analisar as tarefas nas quais é necessário realizar alguma ação com expressões de poder, fica claro que as expressões de poder são entendidas como expressões contendo graus em suas entradas. Portanto, para si mesmo, você pode tomar a seguinte definição:

Definição.

Expressões de poder são expressões contendo potências.

Vamos trazer exemplos de expressões de poder. Além disso, vamos apresentá-los de acordo com a forma como as visões se desenvolvem de um grau com um indicador natural para um grau com um indicador real.

Como você sabe, primeiro há um conhecimento do grau de um número com um expoente natural, neste estágio as primeiras expressões de potência mais simples do tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Um pouco mais tarde, estuda-se a potência de um número com um expoente inteiro, o que leva ao aparecimento de expressões de potência com potências inteiras negativas, como as seguintes: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Nas classes seniores, eles retornam aos graus novamente. Lá, é introduzido um grau com um expoente racional, o que leva ao aparecimento das expressões de potência correspondentes: , , etc. Finalmente, são considerados graus com expoentes irracionais e expressões que os contêm: , .

A questão não se limita às expressões de potência listadas: além disso, a variável penetra no expoente e existem, por exemplo, expressões 2 x 2 +1 ou . E depois de se familiarizar, começam a aparecer expressões com potências e logaritmos, por exemplo, x 2 lgx −5 x lgx.

Então, descobrimos a questão do que são expressões de poder. A seguir, aprenderemos como transformá-los.

Os principais tipos de transformações de expressões de poder

Com expressões de poder, você pode realizar qualquer uma das transformações básicas de identidade de expressões. Por exemplo, você pode expandir colchetes, substituir expressões numéricas por seus valores, adicionar termos semelhantes e assim por diante. Naturalmente, neste caso, é necessário seguir o procedimento aceito para realizar ações. Vamos dar exemplos.

Exemplo.

Calcule o valor da expressão de potência 2 3 ·(4 2 −12) .

Decisão.

De acordo com a ordem das ações, primeiro executamos as ações entre parênteses. Lá, em primeiro lugar, substituímos a potência de 4 2 por seu valor 16 (veja se necessário) e, em segundo lugar, calculamos a diferença 16−12=4 . Nós temos 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Na expressão resultante, substituímos a potência de 2 3 por seu valor 8 , após o qual calculamos o produto 8·4=32 . Este é o valor desejado.

Então, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Responda:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplo.

Simplifique as expressões de poder 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Decisão.

Obviamente, esta expressão contém termos semelhantes 3 · a 4 · b − 7 e 2 · a 4 · b − 7 , e podemos reduzi-los: .

Responda:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplo.

Expresse uma expressão com potências como um produto.

Decisão.

Para lidar com a tarefa permite a representação do número 9 como uma potência de 3 2 e o uso subsequente da fórmula de multiplicação abreviada, a diferença de quadrados:

Responda:

Há também uma série de transformações idênticas inerentes às expressões de poder. A seguir, vamos analisá-los.

Trabalhando com base e expoente

Existem graus, na base e/ou indicador dos quais não são apenas números ou variáveis, mas algumas expressões. Como exemplo, vamos escrever (2+0,3 7) 5−3,7 e (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Ao trabalhar com tais expressões, é possível substituir tanto a expressão na base do grau quanto a expressão no indicador por uma expressão identicamente igual no DPV de suas variáveis. Em outras palavras, de acordo com as regras conhecidas por nós, podemos converter separadamente a base do grau e separadamente - o indicador. É claro que, como resultado dessa transformação, obtém-se uma expressão identicamente igual à original.

Tais transformações nos permitem simplificar expressões com potências ou atingir outros objetivos que precisamos. Por exemplo, na expressão de potência (2+0,3 7) 5−3,7 mencionada acima, você pode realizar operações com números na base e no expoente, o que permitirá que você vá para a potência de 4,1 1,3. E depois de abrir os colchetes e trazer termos semelhantes na base do grau (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) obtemos uma expressão de potência de uma forma mais simples a 2 (x+1) .

Usando Propriedades de Energia

Uma das principais ferramentas para transformar expressões com poderes são as igualdades que refletem. Recordemos os principais. Para quaisquer números positivos a e b e números reais arbitrários r e s, as seguintes propriedades de potência são válidas:

• a r a s = a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Observe que para expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições sobre os números a e b podem não ser tão rígidas. Por exemplo, para os números naturais m e n, a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira não apenas para a positivo, mas também para os negativos e para a=0.

Na escola, a atenção principal na transformação das expressões de poder está voltada justamente para a capacidade de escolher a propriedade adequada e aplicá-la corretamente. Nesse caso, as bases dos graus geralmente são positivas, o que permite usar as propriedades dos graus sem restrições. O mesmo se aplica à transformação de expressões contendo variáveis ​​nas bases de graus - o intervalo de valores aceitáveis​​de variáveis ​​geralmente é tal que as bases assumem apenas valores positivos, o que permite usar livremente as propriedades de graus. Em geral, deve-se fazer constantemente a pergunta, é possível em este caso aplicar qualquer propriedade de graus, porque o uso impreciso de propriedades pode levar a um estreitamento da ODZ e outros problemas. Esses pontos são discutidos em detalhes e com exemplos no artigo transformação de expressões usando as propriedades dos graus. Aqui nos limitamos a alguns exemplos simples.

Exemplo.

Expresse a expressão a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 como uma potência de base a .

Decisão.

Primeiro, transformamos o segundo fator (a 2) −3 pela propriedade de elevar uma potência a uma potência: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Neste caso, a expressão de potência inicial terá a forma a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Obviamente, resta usar as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base, temos
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Responda:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

As propriedades de potência são usadas ao transformar expressões de potência da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Exemplo.

Encontre o valor da expressão de potência.

Decisão.

A igualdade (a·b) r =ar ·b r , aplicada da direita para a esquerda, permite ir da expressão original ao produto da forma e mais além. E ao multiplicar potências com a mesma base, os indicadores somam: .

Foi possível realizar a transformação da expressão original de outra forma:

Responda:

.

Exemplo.

Dada uma expressão de potência a 1,5 −a 0,5 −6 , insira uma nova variável t=a 0,5 .

Decisão.

O grau a 1,5 pode ser representado como um 0,5 3 e ainda com base na propriedade do grau no grau (a r) s =ar s aplicado da direita para a esquerda, converta-o para a forma (a 0,5) 3 . Por isso, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Agora é fácil introduzir uma nova variável t=a 0.5 , obtemos t 3 −t−6 .

Responda:

t 3 −t−6 .

Convertendo frações contendo potências

As expressões de potência podem conter frações com potências ou representar tais frações. Qualquer uma das transformações de frações básicas que são inerentes a frações de qualquer tipo são totalmente aplicáveis ​​a tais frações. Ou seja, frações que contêm graus podem ser reduzidas, reduzidas a um novo denominador, trabalhar separadamente com seu numerador e separadamente com o denominador, etc. Para ilustrar as palavras acima, considere as soluções de vários exemplos.

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Decisão.

Esta expressão de poder é uma fração. Vamos trabalhar com seu numerador e denominador. No numerador, abrimos os colchetes e simplificamos a expressão obtida em seguida usando as propriedades das potências, e no denominador apresentamos termos semelhantes:

E também mudamos o sinal do denominador colocando um menos na frente da fração: .

Responda:

.

A redução de frações contendo potências a um novo denominador é realizada de maneira semelhante à redução de frações racionais a um novo denominador. Ao mesmo tempo, um fator adicional também é encontrado e o numerador e o denominador da fração são multiplicados por ele. Ao realizar essa ação, vale lembrar que a redução para um novo denominador pode levar a um estreitamento do DPV. Para evitar que isso aconteça, é necessário que o fator adicional não desapareça para nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ para a expressão original.

Exemplo.

Traga as frações para um novo denominador: a) para o denominador a, b) ao denominador.

Decisão.

a) Nesse caso, é bastante fácil descobrir qual fator adicional ajuda a alcançar o resultado desejado. Este é um multiplicador a 0,3, pois a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Observe que na faixa de valores aceitáveis ​​da variável a (este é o conjunto de todos os números reais positivos), o grau a 0,3 não desaparece, portanto, temos o direito de multiplicar o numerador e o denominador da fração dada por este fator adicional:

b) Olhando mais de perto o denominador, descobrimos que

e multiplicando esta expressão por dará a soma dos cubos e , ou seja, . E este é o novo denominador para o qual precisamos trazer a fração original.

Então encontramos um fator adicional. A expressão não desaparece no intervalo de valores aceitáveis ​​das variáveis ​​x e y, portanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:

Responda:

a) , b) .

Também não há nada de novo na redução de frações contendo graus: o numerador e o denominador são representados como um certo número de fatores, e os mesmos fatores do numerador e denominador são reduzidos.

Exemplo.

Reduza a fração: a) , b).

Decisão.

a) Primeiro, o numerador e o denominador podem ser reduzidos pelos números 30 e 45, que é igual a 15. Além disso, obviamente, você pode reduzir em x 0,5 +1 e por . Aqui está o que temos:

b) Neste caso, os mesmos fatores no numerador e denominador não são imediatamente visíveis. Para obtê-los, você deve realizar transformações preliminares. Neste caso, consistem em decompor o denominador em fatores de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:

Responda:

a)

b) .

Reduzir frações a um novo denominador e reduzir frações é usado principalmente para realizar operações em frações. As ações são executadas de acordo com regras conhecidas. Ao adicionar (subtrair) frações, elas são reduzidas a um denominador comum, após o qual os numeradores são adicionados (subtraídos) e o denominador permanece o mesmo. O resultado é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. A divisão por uma fração é a multiplicação pelo seu inverso.

Exemplo.

Siga os passos .

Decisão.

Primeiro, subtraímos as frações entre parênteses. Para fazer isso, nós os trazemos para um denominador comum, que é , então subtraia os numeradores:

Agora multiplicamos frações:

Obviamente, uma redução pela potência x 1/2 é possível, após o que temos .

Você também pode simplificar a expressão de potência no denominador usando a fórmula da diferença de quadrados: .

Responda:

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Decisão.

Obviamente, esta fração pode ser reduzida por (x 2,7 +1) 2, isso dá a fração . É claro que algo mais precisa ser feito com as potências de x. Para fazer isso, convertemos a fração resultante em um produto. Isso nos dá a oportunidade de usar a propriedade de dividir poderes com as mesmas bases: . E no final do processo, passamos do último produto para a fração.

Responda:

.

E acrescentamos que é possível e em muitos casos desejável transferir fatores com expoentes negativos do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador mudando o sinal do expoente. Essas transformações geralmente simplificam outras ações. Por exemplo, uma expressão de poder pode ser substituída por .

Convertendo expressões com raízes e potências

Muitas vezes, em expressões em que algumas transformações são necessárias, juntamente com graus com expoentes fracionários, também existem raízes. Para converter tal expressão para a forma desejada, na maioria dos casos, basta ir apenas às raízes ou apenas às potências. Mas como é mais conveniente trabalhar com graus, eles geralmente se movem das raízes para os graus. No entanto, é aconselhável realizar tal transição quando a ODZ das variáveis ​​para a expressão original permite substituir as raízes por graus sem a necessidade de acessar o módulo ou dividir a ODZ em vários intervalos (discutimos isso em detalhes no artigo, a transição de raízes para potências e vice-versa Depois de conhecer o grau com um expoente racional é introduzido um grau com um indicador irracional, o que permite falar de um grau com um indicador real arbitrário. escola começa a estudar função exponencial, que é analiticamente dado pelo grau, na base do qual existe um número e no indicador - uma variável. Assim, nos deparamos com expressões exponenciais contendo números na base do grau, e no expoente - expressões com variáveis, e naturalmente surge a necessidade de realizar transformações de tais expressões.

Deve-se dizer que a transformação de expressões do tipo indicado geralmente deve ser realizada ao resolver equações exponenciais e desigualdades exponenciais, e essas transformações são bastante simples. Na grande maioria dos casos, baseiam-se nas propriedades do grau e visam principalmente a introdução de uma nova variável no futuro. A equação nos permitirá demonstrá-los 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Primeiro, os expoentes, em cujos expoentes se encontra a soma de alguma variável (ou expressão com variáveis) e um número, são substituídos por produtos. Isso se aplica ao primeiro e ao último termos da expressão do lado esquerdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Em seguida, ambas as partes da igualdade são divididas pela expressão 7 2 x , que assume apenas valores positivos na ODZ da variável x para a equação original (esta é uma técnica padrão para resolver equações desse tipo, não estamos falando sobre isso agora, então concentre-se nas transformações subsequentes de expressões com poderes):

Agora frações com potências são canceladas, o que dá .

Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de razões, o que leva à equação , o que equivale a . As transformações feitas permitem introduzir uma nova variável , que reduz a solução da equação exponencial original à solução da equação quadrática .

I. V. Boikov, L. D. Romanova Coleção de tarefas para se preparar para o exame. Parte 1. Penza 2003.

Seção 5 EXPRESSÕES E EQUAÇÕES

Na seção você aprenderá:

ü o expressões e suas simplificações;

ü quais são as propriedades das igualdades;

ü como resolver equações com base nas propriedades das igualdades;

ü que tipos de problemas são resolvidos com a ajuda de equações; o que são linhas perpendiculares e como construí-las;

ü quais linhas são chamadas paralelas e como construí-las;

ü o que é um plano coordenado;

ü como determinar as coordenadas de um ponto em um plano;

ü o que é um gráfico de dependência entre quantidades e como construí-lo;

ü como aplicar o material aprendido na prática

§ 30. EXPRESSÕES E SUA SIMPLIFICAÇÃO

Você já sabe o que são expressões literais e sabe como simplificá-las usando as leis da adição e da multiplicação. Por exemplo, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Na expressão resultante, o número -8 é chamado de coeficiente da expressão.

Será que a expressão cd coeficiente? Então. é igual a 1 porque cd - 1 ∙ cd .

Lembre-se de que converter uma expressão com parênteses em uma expressão sem parênteses é chamada de expansão de parênteses. Por exemplo: 5(2x + 4) = 10x + 20.

A ação inversa neste exemplo é colocar o fator comum entre colchetes.

Os termos que contêm os mesmos fatores literais são chamados de termos semelhantes. Tirando o fator comum dos colchetes, termos semelhantes são erguidos:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* s-5=

B x + 7y - 5.

Regras de expansão de colchetes

1. Se houver um sinal de “+” na frente dos colchetes, ao abrir os colchetes, os sinais dos termos entre colchetes são preservados;

2. Se houver um sinal “-” na frente dos colchetes, quando os colchetes forem abertos, os sinais dos termos entre colchetes serão invertidos.

Tarefa 1 . Simplifique a expressão:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 anos -(-8 + 7 anos).

Soluções. 1. Há um sinal de “+” antes dos colchetes, portanto, ao abrir os colchetes, os sinais de todos os termos são preservados:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Há um sinal “-” na frente dos colchetes, portanto, durante a abertura dos colchetes: os sinais de todos os termos são invertidos:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Para abrir colchetes, use a propriedade distributiva da multiplicação: a( b + c) = ab + ac. Se a > 0, então os sinais dos termos b e com não mudam. Se um< 0, то знаки слагаемых b e de são invertidos.

Tarefa 2. Simplifique a expressão:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Soluções. 1. O fator 2 na frente dos colchetes e é positivo, portanto, ao abrir os colchetes, mantemos os sinais de todos os termos: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. O fator -5 na frente dos colchetes e é negativo, portanto, ao abrir os colchetes, trocamos os sinais de todos os termos pelos opostos:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Descubra mais

1. A palavra "soma" vem do latim soma , que significa "total", "total".

2. A palavra "mais" vem do latim mais, que significa "mais", e a palavra "menos" - do latim menos , que significa "menos". Os sinais "+" e "-" são usados ​​para indicar as operações de adição e subtração. Esses sinais foram introduzidos pelo cientista tcheco J. Vidman em 1489 no livro "Uma conta rápida e agradável para todos os comerciantes"(Fig. 138).

Arroz. 138

LEMBRE-SE DAS PRINCIPAIS COISAS

1. Que termos são chamados de semelhantes? Como os termos semelhantes são construídos?

2. Como você abre colchetes precedidos por um sinal “+”?

3. Como você abre colchetes precedidos por um sinal "-"?

4. Como você abre colchetes que são precedidos por um fator positivo?

5. Como você abre colchetes que são precedidos por um fator negativo?

1374". Nomeie o coeficiente da expressão:

1) 12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nomeie os termos que diferem apenas pelo coeficiente:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Como são chamados esses termos?

1376". Existem termos semelhantes na expressão:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". É necessário alterar os sinais dos termos entre colchetes, abrindo os colchetes na expressão:

1)4 + (a + 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:

1379°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:

1380°. Reduza termos semelhantes:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="PT-BR">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Reduza termos semelhantes:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Retire o fator comum entre parênteses:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3n - 1,8m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2n - 1,8m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Retire o fator comum entre parênteses:

1) 6a-12b; 3) -1,8n -3,6m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Abra colchetes e reduza termos semelhantes;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Abra os colchetes e reduza os termos semelhantes:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Expanda os colchetes e encontre o significado da expressão:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Expanda os colchetes e encontre o significado da expressão:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Abra parênteses:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Abra parênteses:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6-(-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Simplifique a expressão:

1391. Simplifique a expressão:

1392. Reduza termos semelhantes:

1393. Reduza termos semelhantes:

1394. Simplifique a expressão:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, por) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Simplifique a expressão:

1396. Encontre o significado da expressão;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), se \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Encontre o valor da expressão:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0,25;

1398*. Encontre o erro na solução:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Expanda os colchetes e simplifique a expressão:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Organize os parênteses para obter a igualdade correta:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Prove que para quaisquer números a e b se a > b , então vale a seguinte igualdade:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Esta igualdade será correta se: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Prove que para qualquer número natural a, a média aritmética dos números anteriores e seguintes é igual a a.

APLICAR NA PRÁTICA

1403. Para preparar uma sobremesa de frutas para três pessoas, você precisa de: 2 maçãs, 1 laranja, 2 bananas e 1 kiwi. Como fazer uma expressão literal para determinar a quantidade de frutas necessária para preparar uma sobremesa para os convidados? Ajude Marin a calcular quantas frutas ela precisa comprar se for visitar: 1) 5 amigos; 2) 8 amigos.

1404. Faça uma expressão literal para determinar o tempo necessário para completar o dever de casa em matemática, se:

1) um minuto foi gasto na resolução de problemas; 2) a simplificação de expressões é 2 vezes mais do que para resolver problemas. Quanto tempo Vasilko fez sua lição de casa se passou 15 minutos resolvendo problemas?

1405. O almoço na cantina da escola consiste em salada, borscht, rolinhos de repolho e compota. O custo da salada é de 20%, borscht - 30%, rolinhos de repolho - 45%, compota - 5% do custo total de toda a refeição. Escreva uma expressão para encontrar o custo do almoço no refeitório da escola. Quanto custa o almoço se o preço de uma salada for 2 UAH?

TAREFAS DE REPETIÇÃO

1406. Resolva a equação:

1407. Tanya gastou em sorvetetodo o dinheiro disponível, e para doces -o resto. Quanto dinheiro Tanya tem?

se os doces custam 12 UAH?

Entre as várias expressões consideradas na álgebra, as somas de monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.

Por exemplo, polinômio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
pode ser simplificado.

Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Damos termos semelhantes no polinômio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.

Atras do grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, o binômio \(12a^2b - 7b \) tem o terceiro grau, e o trinômio \(2b^2 -7b + 6 \) tem o segundo.

Normalmente, os termos de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.

Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:

Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.

Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio

Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.

Este resultado é geralmente formulado como uma regra.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.

Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.

O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios

Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.

Geralmente use a seguinte regra.

Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença

Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e diferença quadrada. Você notou que os nomes dessas expressões parecem incompletos, então, por exemplo, \((a + b)^2 \) é, obviamente, não apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.

As expressões \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e o produto duplo.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - o quadrado da diferença é a soma dos quadrados sem dobrar o produto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.

Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis ​​a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.

Alguns exemplos algébricos de um tipo são capazes de aterrorizar crianças em idade escolar. Expressões longas não são apenas intimidantes, mas também muito difíceis de calcular. Tentando entender imediatamente o que se segue e o que se segue, para não se confundir por muito tempo. É por essa razão que os matemáticos sempre tentam simplificar ao máximo a tarefa “terrível” e só então passam a resolvê-la. Curiosamente, esse truque acelera muito o processo.

A simplificação é um dos pontos fundamentais da álgebra. Se em tarefas simples ainda é possível prescindir dele, então exemplos mais difíceis de calcular podem ser “muito difíceis”. É aqui que essas habilidades são úteis! Além disso, não são necessários conhecimentos matemáticos complexos: basta lembrar e aprender a colocar em prática algumas técnicas e fórmulas básicas.

Independentemente da complexidade dos cálculos, ao resolver qualquer expressão, é importante seguir a ordem das operações com números:

1. parênteses;
2. exponenciação;
3. multiplicação;
4. divisão;
5. Adição;
6. subtração.

Os dois últimos pontos podem ser trocados com segurança e isso não afetará o resultado de forma alguma. Mas somar dois números vizinhos, quando ao lado de um deles há um sinal de multiplicação, é absolutamente impossível! A resposta, se houver, está errada. Portanto, você precisa se lembrar da sequência.

O uso de tal

Tais elementos incluem números com uma variável da mesma ordem ou do mesmo grau. Existem também os chamados membros livres que não têm ao lado a letra de designação do desconhecido.

A linha inferior é que, na ausência de parênteses Você pode simplificar a expressão adicionando ou subtraindo como.

Alguns exemplos ilustrativos:

• 8x 2 e 3x 2 - ambos os números têm a mesma variável de segunda ordem, portanto são semelhantes e, quando adicionados, são simplificados para (8+3)x 2 = 11x 2, enquanto quando subtraídos, resulta (8-3) x 2 = 5 x 2;
• 4x 3 e 6x - e aqui "x" tem um grau diferente;
• 2y 7 e 33x 7 - contêm variáveis ​​diferentes, portanto, como no caso anterior, não pertencem a semelhantes.

Fatorando um número

Este pequeno truque matemático, se você aprender a usá-lo corretamente, o ajudará a lidar com um problema complicado mais de uma vez no futuro. E é fácil entender como o “sistema” funciona: uma decomposição é um produto de vários elementos, cujo cálculo dá o valor original. Assim, 20 pode ser representado como 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ou de alguma outra forma.

Em uma nota: os multiplicadores são sempre iguais aos divisores. Portanto, você precisa procurar um “par” de trabalho para expansão entre os números pelos quais o original é divisível sem resto.

Você pode realizar tal operação tanto com membros livres quanto com dígitos anexados a uma variável. O principal é não perder o último durante os cálculos - mesmo após a decomposição, o desconhecido não pode levar e "ir a lugar nenhum". Permanece em um dos fatores:

• 15x=3(5x);
• 60 anos 2 \u003d (15 anos 2) 4.

Números primos que só podem ser divididos por eles mesmos ou 1 nunca fatoram - não faz sentido..

Métodos básicos de simplificação

A primeira coisa que chama a atenção:

• a presença de colchetes;
• frações;
• raízes.

Exemplos algébricos no currículo escolar são muitas vezes compilados com a suposição de que podem ser lindamente simplificados.

Cálculos de colchetes

Preste muita atenção ao sinal na frente dos suportes! A multiplicação ou divisão é aplicada a cada elemento dentro e menos - inverte os sinais "+" ou "-" existentes.

Os parênteses são calculados de acordo com as regras ou de acordo com as fórmulas de multiplicação abreviada, após o que são fornecidas as semelhantes.

Redução de fração

Reduzir frações também é fácil. Eles mesmos “fugiam voluntariamente” de vez em quando, vale a pena fazer operações para trazer esses membros. Mas você pode simplificar o exemplo antes mesmo disso: preste atenção no numerador e denominador. Eles geralmente contêm elementos explícitos ou ocultos que podem ser mutuamente reduzidos. É verdade, se no primeiro caso você precisa apenas deletar o supérfluo, no segundo você terá que pensar, trazendo parte da expressão para o formulário para simplificação. Métodos usados:

• busca e colchetes do máximo divisor comum do numerador e denominador;
• dividindo cada elemento superior pelo denominador.

Quando uma expressão ou parte dela está sob a raiz, o problema de simplificação primário é quase o mesmo que no caso das frações. É necessário buscar maneiras de se livrar dele completamente ou, se isso não for possível, minimizar o sinal que interfere nos cálculos. Por exemplo, para discreto √(3) ou √(7).

Uma maneira segura de simplificar a expressão radical é tentar fatorá-la, alguns dos quais estão fora do signo. Um exemplo ilustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Outros pequenos truques e nuances:

• esta operação de simplificação pode ser realizada com frações, retirando-a do sinal tanto como um todo quanto separadamente como numerador ou denominador;
• é impossível decompor e tirar uma parte da soma ou diferença além da raiz;
• ao trabalhar com variáveis, certifique-se de levar em consideração seu grau, deve ser igual ou múltiplo da raiz para a possibilidade de renderização: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√(x);
• às vezes é permitido se livrar da variável radical elevando-a a uma potência fracionária: √ (y 3)=y 3/2.

Simplificação da expressão de energia

Se no caso de cálculos simples por menos ou mais, os exemplos são simplificados trazendo os semelhantes, então o que dizer na multiplicação ou divisão de variáveis ​​com potências diferentes? Eles podem ser facilmente simplificados lembrando dois pontos principais:

1. Se houver um sinal de multiplicação entre as variáveis, os expoentes são somados.
2. Quando eles são divididos entre si, o mesmo denominador é subtraído do grau do numerador.

A única condição para tal simplificação é que ambos os termos tenham a mesma base. Exemplos para maior clareza:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Notamos que as operações com valores numéricos na frente de variáveis ​​ocorrem de acordo com as regras matemáticas usuais. E se você olhar de perto, fica claro que os elementos de poder da expressão “funcionam” de forma semelhante:

• elevar um membro a uma potência significa multiplicá-lo por si mesmo um certo número de vezes, ou seja, x 2 \u003d x × x;
• a divisão é semelhante: se você expandir o grau do numerador e do denominador, algumas das variáveis ​​serão reduzidas, enquanto o restante será “reunido”, o que equivale à subtração.

Como em qualquer negócio, ao simplificar expressões algébricas, é necessário não apenas o conhecimento do básico, mas também a prática. Depois de apenas algumas aulas, exemplos que antes pareciam complicados serão reduzidos sem muita dificuldade, transformando-se em exemplos curtos e de fácil resolução.

Vídeo

Este vídeo ajudará você a entender e lembrar como as expressões são simplificadas.

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Vamos considerar o tópico de transformar expressões com potências, mas primeiro vamos nos deter em várias transformações que podem ser realizadas com quaisquer expressões, incluindo potências. Aprenderemos como abrir colchetes, dar termos semelhantes, trabalhar com a base e o expoente, usar as propriedades dos graus.

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O que são expressões de poder?

No curso escolar, poucas pessoas usam a expressão "expressões de poder", mas esse termo é constantemente encontrado em coleções de preparação para o exame. Na maioria dos casos, a frase denota expressões que contêm graus em suas entradas. É isso que vamos refletir em nossa definição.

Definição 1

Expressão de poderé uma expressão que contém potências.

Damos vários exemplos de expressões de potência, começando com um grau com um expoente natural e terminando com um grau com um expoente real.

As expressões de potência mais simples podem ser consideradas potências de um número com um expoente natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Assim como as potências com expoente zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . E potências com potências inteiras negativas: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

É um pouco mais difícil trabalhar com um grau que tenha expoentes racionais e irracionais: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

O indicador pode ser uma variável 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ou um logaritmo x 2 l g x − 5 x l g x.

Lidamos com a questão do que são expressões de poder. Agora vamos dar uma olhada em sua transformação.

Os principais tipos de transformações de expressões de poder

Em primeiro lugar, consideraremos as transformações básicas de identidade de expressões que podem ser realizadas com expressões de poder.

Exemplo 1

Calcular o valor da expressão de potência 2 3 (4 2 − 12).

Decisão

Faremos todas as transformações de acordo com a ordem das ações. Nesse caso, começaremos realizando as ações entre parênteses: substituiremos o grau por um valor digital e calcularemos a diferença entre os dois números. Nós temos 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Resta-nos substituir o grau 2 3 seu significado 8 e calcule o produto 8 4 = 32. Aqui está a nossa resposta.

Responda: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Exemplo 2

Simplifique a expressão com poderes 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Decisão

A expressão que nos é dada na condição do problema contém termos semelhantes, que podemos trazer: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Responda: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exemplo 3

Expresse uma expressão com potências de 9 - b 3 · π - 1 2 como um produto.

Decisão

Vamos representar o número 9 como uma potência 3 2 e aplique a fórmula de multiplicação abreviada:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Responda: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

E agora vamos passar para a análise de transformações idênticas que podem ser aplicadas especificamente a expressões de potência.

Trabalhando com base e expoente

O grau na base ou expoente pode ter números, variáveis ​​e algumas expressões. Por exemplo, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 e . É difícil trabalhar com esses registros. É muito mais fácil substituir a expressão na base do grau ou a expressão no expoente por uma expressão identicamente igual.

As transformações do grau e do indicador são realizadas de acordo com as regras conhecidas por nós separadamente umas das outras. O mais importante é que, como resultado das transformações, se obtém uma expressão idêntica à original.

O objetivo das transformações é simplificar a expressão original ou obter uma solução para o problema. Por exemplo, no exemplo que demos acima, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 você pode realizar operações para ir ao grau 4 , 1 1 , 3 . Abrindo os colchetes, podemos trazer termos semelhantes na base do grau (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) e obtenha uma expressão de poder de uma forma mais simples a 2 (x + 1).

Usando Propriedades de Energia

As propriedades dos graus, escritas como igualdades, são uma das principais ferramentas para transformar expressões com graus. Apresentamos aqui as principais, considerando que uma e b são quaisquer números positivos, e r e s- números reais arbitrários:

Definição 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Nos casos em que estamos lidando com expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições sobre os números a e b podem ser muito menos rigorosas. Assim, por exemplo, se considerarmos a igualdade a m a n = a m + n, Onde m e n são números naturais, então será verdade para quaisquer valores de a, tanto positivos quanto negativos, bem como para a = 0.

Você pode aplicar as propriedades dos graus sem restrições nos casos em que as bases dos graus são positivas ou contêm variáveis ​​cuja faixa de valores aceitáveis ​​é tal que as bases assumem apenas valores positivos. De fato, dentro da estrutura do currículo escolar em matemática, a tarefa do aluno é escolher a propriedade apropriada e aplicá-la corretamente.

Ao se preparar para a admissão nas universidades, pode haver tarefas nas quais a aplicação imprecisa de propriedades levará a um estreitamento da ODZ e outras dificuldades com a solução. Nesta seção, consideraremos apenas dois desses casos. Mais informações sobre o assunto podem ser encontradas no tópico "Transformando expressões usando propriedades de expoentes".

Exemplo 4

Represente a expressão a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 como um grau com uma base uma.

Decisão

Para começar, usamos a propriedade de exponenciação e transformamos o segundo fator usando-a (a 2) - 3. Então usamos as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Responda: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

A transformação das expressões de potência de acordo com a propriedade dos graus pode ser feita tanto da esquerda para a direita quanto na direção oposta.

Exemplo 5

Encontre o valor da expressão de potência 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Decisão

Se aplicarmos a igualdade (a b) r = a r b r, da direita para a esquerda, obtemos um produto da forma 3 7 1 3 21 2 3 e depois 21 1 3 21 2 3 . Vamos adicionar os expoentes ao multiplicar potências com as mesmas bases: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Há outra maneira de fazer transformações:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Responda: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplo 6

Dada uma expressão de poder a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, insira uma nova variável t = a 0 , 5.

Decisão

Imagina o grau um 1, 5 como a 0 , 5 3. Usando a propriedade de grau em um grau (a r) s = a r s da direita para a esquerda e obtenha (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Na expressão resultante, você pode facilmente introduzir uma nova variável t = a 0 , 5: obter t 3 − t − 6.

Responda: t 3 − t − 6 .

Convertendo frações contendo potências

Geralmente lidamos com duas variantes de expressões de potência com frações: a expressão é uma fração com grau ou contém tal fração. Todas as transformações básicas de fração são aplicáveis ​​a tais expressões sem restrições. Eles podem ser reduzidos, trazidos para um novo denominador, trabalhar separadamente com o numerador e o denominador. Vamos ilustrar isso com exemplos.

Exemplo 7

Simplifique a expressão de potência 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Decisão

Estamos lidando com uma fração, então vamos realizar transformações tanto no numerador quanto no denominador:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Coloque um menos na frente da fração para mudar o sinal do denominador: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Responda: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

As frações contendo potências são reduzidas a um novo denominador da mesma forma que as frações racionais. Para fazer isso, você precisa encontrar um fator adicional e multiplicar o numerador e o denominador da fração por ele. É necessário selecionar um fator adicional de forma que não desapareça para nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ para a expressão original.

Exemplo 8

Traga as frações para um novo denominador: a) a + 1 a 0, 7 ao denominador uma, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ao denominador x + 8 y 1 2 .

Decisão

a) Escolhemos um fator que nos permitirá reduzir a um novo denominador. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , portanto, como fator adicional, tomamos um 0, 3. A faixa de valores admissíveis da variável a inclui o conjunto de todos os números reais positivos. Nesta área, o grau um 0, 3 não vai a zero.

Vamos multiplicar o numerador e o denominador de uma fração por um 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Preste atenção ao denominador:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplicando esta expressão por x 1 3 + 2 · y 1 6 , obtemos a soma dos cubos x 1 3 e 2 · y 1 6 , ou seja, x + 8 · y 1 2 . Este é o nosso novo denominador, para o qual precisamos trazer a fração original.

Então encontramos um fator adicional x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na faixa de valores aceitáveis ​​​​de variáveis x e y a expressão x 1 3 + 2 y 1 6 não desaparece, então podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Responda: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 e 1 2 .

Exemplo 9

Reduza a fração: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Decisão

a) Use o maior denominador comum (GCD) pelo qual o numerador e o denominador podem ser reduzidos. Para os números 30 e 45, isso é 15. Também podemos reduzir x 0 , 5 + 1 e em x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Nós temos:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Aqui a presença de fatores idênticos não é óbvia. Você terá que realizar algumas transformações para obter os mesmos fatores no numerador e no denominador. Para fazer isso, expandimos o denominador usando a fórmula da diferença de quadrados:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Responda: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

As principais operações com frações incluem redução para um novo denominador e redução de frações. Ambas as ações são realizadas em conformidade com uma série de regras. Ao adicionar e subtrair frações, as frações são primeiro reduzidas a um denominador comum, após o que as operações (adição ou subtração) são realizadas com numeradores. O denominador permanece o mesmo. O resultado de nossas ações é uma nova fração, cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.

Exemplo 10

Faça os passos x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Decisão

Vamos começar subtraindo as frações que estão entre parênteses. Vamos trazê-los para um denominador comum:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Vamos subtrair os numeradores:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Agora multiplicamos frações:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Vamos reduzir em um grau x 1 2, obtemos 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Além disso, você pode simplificar a expressão de potência no denominador usando a fórmula para a diferença de quadrados: quadrados: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Responda: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplo 11

Simplifique a expressão da potência x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Decisão

Podemos reduzir a fração por (x 2 , 7 + 1) 2. Obtemos uma fração x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Vamos continuar as transformações de x potências x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Agora você pode usar a propriedade de dividir potências com as mesmas bases: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Passamos do último produto para a fração x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Responda: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Na maioria dos casos, é mais conveniente transferir multiplicadores com expoentes negativos do numerador para o denominador e vice-versa alterando o sinal do expoente. Esta ação simplifica a decisão posterior. Vamos dar um exemplo: a expressão de potência (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 pode ser substituída por x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Convertendo expressões com raízes e potências

Nas tarefas, existem expressões de potência que contêm não apenas graus com expoentes fracionários, mas também raízes. É desejável reduzir tais expressões apenas a raízes ou apenas a potências. A transição para graus é preferível, pois são mais fáceis de trabalhar. Tal transição é especialmente vantajosa quando o DPV das variáveis ​​para a expressão original permite substituir as raízes por potências sem ter que acessar o módulo ou dividir o DPV em vários intervalos.

Exemplo 12

Expresse a expressão x 1 9 x x 3 6 como uma potência.

Decisão

Intervalo válido de uma variável xé determinado por duas desigualdades x ≥ 0 e x · x 3 ≥ 0 , que definem o conjunto [ 0 , + ∞) .

Neste conjunto, temos o direito de passar das raízes às potências:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Usando as propriedades dos graus, simplificamos a expressão de potência resultante.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Responda: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Convertendo potências com variáveis ​​no expoente

Essas transformações são bastante simples de fazer se você usar corretamente as propriedades do grau. Por exemplo, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Podemos substituir o produto do grau, em termos do qual se encontra a soma de alguma variável e um número. No lado esquerdo, isso pode ser feito com o primeiro e o último termos do lado esquerdo da expressão:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Agora vamos dividir os dois lados da equação por 7 2x. Esta expressão na ODZ da variável x aceita apenas valores positivos:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Vamos reduzir as frações com potências, temos: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de razões, o que leva à equação 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , que equivale a 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Vamos introduzir uma nova variável t = 5 7 x , que reduz a solução da equação exponencial original à solução da equação quadrática 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Convertendo expressões com potências e logaritmos

Expressões contendo potências e logaritmos também são encontradas em problemas. Exemplos de tais expressões são: 1 4 1 - 5 log 2 3 ou log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . A transformação de tais expressões é realizada usando as abordagens e propriedades dos logaritmos acima, que analisamos detalhadamente no tópico "Transformação de expressões logarítmicas".

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