Métodos de solução problemas combinatórios
Lista de opções possíveis
Problemas simples são resolvidos por uma enumeração completa ordinária de opções possíveis sem compilar várias mesas e esquemas.
Tarefa 1.
Que números de dois algarismos podem ser formados a partir dos números 1, 2, 3, 4, 5?
Responda: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Tarefa 2.
Ivanov, Gromov e Orlov participam da corrida final de 100m. nome opções possíveis distribuição prêmios.
Responda:
Opção 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Opção 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Opção 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Opção 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Opção 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Opção 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.
Tarefa 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta se inscreveram no clube de dança de salão. Que pares de dança de uma menina e um menino podem formar?
Responda:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.
Árvore de opções possíveis
Uma variedade de problemas combinatórios são resolvidos através da elaboração de esquemas especiais. Externamente, esse esquema se assemelha a uma árvore, daí o nome do método - árvore de opções possíveis.
Tarefa 4.
Que números de três algarismos podem ser formados a partir dos números 0, 2, 4?
Decisão.Vamos construir uma árvore de opções possíveis, dado que 0 não pode ser o primeiro dígito de um número.
Responda: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
Tarefa 5.
Turistas escolares decidiram fazer uma viagem ao lago da montanha. A primeira etapa da viagem pode ser superada de trem ou ônibus. A segunda etapa é de caiaque, bicicleta ou a pé. E a terceira etapa da viagem é a pé ou de teleférico. Que opções de viagem os turistas escolares têm?
Decisão.Vamos construir uma árvore de opções possíveis, designando a viagem de trem P, de ônibus - A, de caiaque - B, de bicicleta - C, a pé - X, de teleférico - K.
Responda:A figura lista todas as 12 opções de viagem possíveis para turistas escolares.
Tarefa 6.
Anote todas as opções possíveis para o cronograma de cinco aulas por dia das disciplinas: matemática, russo, história, língua Inglesa, educação física e matemática devem ser a segunda lição.
Decisão.Vamos construir uma árvore de opções possíveis, denotando M - matemática, R - russo, I - história, A - inglês, F - educação física.
Responda:Existem 24 opções possíveis no total:
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
E |
E |
E |
E |
E |
E |
MAS |
MAS |
MAS |
MAS |
MAS |
MAS |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
Tarefa 7.
Sasha vai para a escola de calça ou jeans, e usa camisas cinza, azul, verde ou xadrez para eles, sapatos intercambiáveis leva sapatos ou tênis.
a) Quantos dias Sasha poderá ter uma nova aparência?
b) Quantos dias ele vai andar de tênis?
c) Quantos dias ele usará uma camisa xadrez e jeans?
Decisão.Vamos construir uma árvore de opções possíveis, denotando B - calça, D - jeans, C - camisa cinza, D - camisa azul, G - camisa verde, P - camisa xadrez, T - sapatos, K - tênis.
Responda:a) 16 dias; b) 8 dias; e) 2 dias.
Tabulação
Você pode resolver problemas combinatórios usando tabelas. Eles, como a árvore de opções possíveis, representam visualmente a solução de tais problemas.
Tarefa 8.
Quantos números ímpares de dois algarismos podem ser formados com os números 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Decisão.Vamos fazer uma tabela: à esquerda, a primeira coluna são os primeiros dígitos dos números que você está procurando, na parte superior, a primeira linha são os segundos dígitos.
Responda: 28.
Tarefa 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha e Igor estavam se preparando para se tornarem apresentadores na feriado de ano novo. Cite as opções possíveis se apenas uma menina e um menino puderem ser os líderes.
Decisão.Vamos fazer uma tabela: à esquerda, a primeira coluna são os nomes das meninas, na parte superior, a primeira linha são os nomes dos meninos.
Responda:Todas as opções possíveis estão listadas nas linhas e colunas da tabela.
regra de multiplicação
Este método de resolução de problemas combinatórios é usado quando não é necessário listar todas as opções possíveis, mas é necessário responder à pergunta - quantas delas existem.
Tarefa 10.
NO torneio de futebol várias equipes estão envolvidas. Descobriu-se que todos usavam branco, vermelho, azul e branco para shorts e camisetas. cores verdes e todas as opções possíveis foram apresentadas. Quantas equipes participaram do torneio?
Decisão.
As cuecas podem ser brancas, vermelhas, azuis ou verdes, ou seja, são 4 opções. Cada uma dessas opções tem 4 opções de cores de jersey.
4 x 4 = 16.
Responda: 16 equipes.
Tarefa 11.
6 alunos passam em um teste de matemática. De quantas maneiras eles podem ser colocados na lista?
Decisão.
O primeiro da lista pode ser qualquer um dos 6 alunos,
o segundo da lista pode ser qualquer um dos 5 alunos restantes,
terceiro - qualquer um dos 4 alunos restantes,
quarto - qualquer um dos 3 alunos restantes,
quinto - qualquer um dos 2 alunos restantes,
sexto - o último 1 aluno.
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
Responda: 720 maneiras.
Tarefa 12.
Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 4, 6, 7?
Decisão.
Primeiro em dois dígitos pode haver 5 dígitos (o número 0 não pode ser o primeiro em um número), o segundo em um número de dois dígitos pode ter 4 dígitos (0, 2, 4, 6, pois o número deve ser par).
5 x 4 = 20.
Responda: 20 números.
Tarefas para resolver a consolidação de novo material
Tarefa nº 1. De quantas maneiras os 5 participantes da final
correndo em 5 esteiras?
Decisão: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 maneiras.
Tarefa número 2. Quantos números de três dígitos pode ser composta pelos números 1,2,3, se cada
O dígito aparece na imagem do número apenas uma vez?
Decisão: O número de todas as permutações de três elementos é P 3 =3!, onde 3!=1 * 2 * 3=6
Isso significa que existem seis números de três dígitos compostos pelos números 1,2,3.
Tarefa número 3. De quantas maneiras quatro meninos podem convidar quatro de seis
meninas para dançar?
Decisão: Dois garotos não podem convidar a mesma garota ao mesmo tempo. E
opções em que as mesmas meninas dançam com meninos diferentes,
considerado diferente, então:
Tarefa nº 4. Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados com os números 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, desde que cada dígito seja usado apenas na entrada do número
uma vez?
Decisão: Na condição do problema, propõe-se contar o número de combinações possíveis de
três dígitos retirados dos nove dígitos propostos, com a ordem
a disposição dos números na combinação é importante (por exemplo, os números 132)
e 231 diferentes). Em outras palavras, você precisa encontrar o número de canais em nove
três elementos.
De acordo com a fórmula para o número de colocações, encontramos:
Resposta: 504 números de três dígitos.
Tarefa nº 5 De quantas maneiras um comitê de 3 pessoas pode ser escolhido entre 7 pessoas?
Decisão: Para considerar todas as comissões possíveis, você precisa considerar todas as
possíveis subconjuntos de 3 elementos do conjunto que consiste em 7
Humano. O número desejado de maneiras é
Tarefa número 6. 12 equipes participam da competição. Quantas opções existem
distribuição de prêmios (1, 2, 3) lugares?
Decisão: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 opções de distribuição de prêmios.
Resposta: 1320 opções.
Tarefa número 7. Nas competições de atletismo, nossa escola foi representada por uma equipe de
10 atletas. De quantas maneiras o coach pode determinar qual deles
vai correr no revezamento 4x100m na primeira, segunda, terceira e quarta etapas?
Decisão: Escolha de 10 a 4, tendo em conta a ordem: 
maneiras.
Resposta: 5040 maneiras.
Tarefa número 8. De quantas maneiras pode vermelho, preto, azul e
bolas verdes?
Decisão: Em primeiro lugar, você pode colocar qualquer uma das quatro bolas (4 maneiras),
segundo - qualquer um dos três restantes (3 maneiras), terceiro lugar - qualquer um dos
as duas restantes (2 vias), em quarto lugar - a última bola restante.
Total 4 3 2 1 = 24 maneiras.
P 4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. Resposta: 24 maneiras.
Tarefa número 9. Os alunos receberam uma lista de 10 livros para ler durante
férias. De quantas maneiras um aluno pode escolher 6 livros?
Decisão: Escolha 6 de 10 sem considerar o pedido: 
maneiras.
Resposta: 210 maneiras.
Tarefa número 10. Há 7 alunos no 9º ano, 9 alunos no 10º ano e 8 alunos no 11º ano. Por
trabalho no site da escola, é necessário destacar dois alunos do 9º ano,
três em 10 e um em 11. Quantas maneiras existem para escolher
alunos para trabalhar nas dependências da escola?
Decisão: Escolha de três conjuntos sem levar em conta a ordem, cada escolha de
do primeiro conjunto (C 7 2) pode ser combinado com cada escolha de
segundo (C 9 3)) e com cada escolha do terceiro (C 8 1) de acordo com a regra
multiplicando temos:
Resposta: 14.112 maneiras.
Tarefa número 11. Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha e Olya do nono ano correram para
mudança para a mesa de tênis, na qual o jogo já estava em andamento. Quantos
cinco alunos do nono ano que correram até a mesa podem levar
fila para tênis de mesa?
Decisão: Qualquer aluno do nono ano pode ser o primeiro da fila, qualquer um deles pode ser o segundo.
os três restantes, o terceiro - qualquer um dos dois restantes e o quarto -
um aluno do nono ano que ficou no penúltimo, e o quinto foi o último. De
regra de multiplicação, cinco alunos têm 5 4321=120 maneiras
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1 1 Conceitos básicos de combinatória 1 Apêndice Definição O produto de todos os números naturais de 1 a n inclusive é chamado de n-fatorial e é escrito Exemplo Calcular 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Exemplo Calcular! 7! 5! 5!! Sejam dadas três letras dessas letras: 7 1! Permutações 5 3 A, B, C Vamos fazer todas as combinações possíveis de ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (combinações totais) Vemos que elas diferem umas das outras apenas na ordem das letras Definição Combinações de n elementos que diferem entre si apenas pela ordem dos elementos, são chamadas de permutações As permutações são denotadas pelo símbolo n, onde n é o número de elementos incluídos em cada permutação 3 3! O número de permutações pode ser calculado usando a fórmula n ou usando o fatorial: n n 1 n 3 1 n n! Assim, o número de permutações de três elementos de acordo com a fórmula é, que coincide com o resultado do exemplo acima 5 0 Exemplo Calcular,! ! !- 5! 5! -quinze! 5! 1 5 0! ! 1! Exemplo Quantos números de cinco algarismos diferentes podem ser formados a partir dos números 1, 3, 4, 5, desde que nenhum algarismo seja repetido no número?
2 5! Exemplo Quatro equipes participaram da competição, quantas opções são possíveis para a distribuição de vagas entre elas? 4! Colocação Sejam quatro letras A, B, C, D Componha todas as combinações de apenas duas letras, temos: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Vemos que todas as combinações resultantes diferem por letras ou por sua ordem (as combinações BA e AB são consideradas diferentes) Definição Combinações de m elementos por n elementos que diferem entre si pelos próprios elementos ou pela ordem dos elementos são chamadas de posicionamentos são denotados por n A m n o número de elementos em cada combinação , onde m é o número de todos os elementos disponíveis, A n m m! (mn)! Exemplo Quantas opções existem para a distribuição de três prêmios se 7 equipes participarem do sorteio? 3 7! 7! UMA! 4! 10 Exemplo Quantos números de quatro dígitos diferentes podem ser formados a partir dos números 0, 1, 8, 9? 4 10! dez! UMA!! Exemplo Quantas opções de agendamento podem ser criadas para um dia, se houver 8 no total assuntos, e apenas três deles podem ser incluídos na programação do dia? 3 8! oito! UMA! 5! Exemplo Quantas opções de distribuição de três vales a um sanatório de vários perfis podem ser feitas para cinco candidatos? 3 5! 5! UMA!!
3 Combinações Definição Combinações são todas as combinações possíveis de m elementos por n, que diferem entre si em pelo menos pelo menos um elemento (aqui m e n inteiros, e n 4 Um fenômeno aleatório pode ser caracterizado pela razão entre o número de suas ocorrências e o número de tentativas, em cada uma das quais, nas mesmas condições de todas as tentativas, pode ou não ocorrer. , apresentamos alguns conceitos básicos e definições Definição Qualquer ação, fenômeno, observação com vários resultados diferentes, realizados sob um determinado conjunto de condições, será chamado de teste. Definição O resultado dessa ação ou observação será chamado de evento aleatório. Por exemplo, a ocorrência de um número no lançamento de uma moeda é um evento aleatório, pois pode ou não ter ocorrido. eventos possíveis, então vamos chamá-lo de evento desejado (ou o resultado desejado) Definição Todos os eventos sob consideração serão considerados igualmente possíveis, aqueles que têm chances iguais de ocorrer Então, ao lançar um dado, 1 ponto, 3, 4 , 5 ou pontos podem aparecer resultados de testes são igualmente prováveis Em outras palavras, igualdade significa igualdade, simetria de resultados de testes individuais sob certas condições.Os eventos são geralmente indicados por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, D Definição Os eventos são chamado incompatível se dois deles não podem ocorrer juntos neste experimento Caso contrário, os eventos são chamados de conjuntos.Então, quando uma moeda é lançada, a aparência de um número exclui a aparência simultânea de um brasão; este é um exemplo de eventos incompatíveis 4 5 Considere outro exemplo Deixe um círculo, um diamante e um triângulo serem desenhados no alvo Um único tiro é disparado Evento A acertando o círculo, evento B acertando o diamante, evento C acertando o triângulo Então os eventos A e B, A e C, C e B são incompatíveis Definição O evento é considerado confiável se ocorrer neste teste necessariamente neste teste Por exemplo, ao lançar um dado, é impossível obter 7 pontos Evento impossível denotado pela letra V Definição O sistema completo de eventos A 1, A, A 3, An é um conjunto de eventos incompatíveis, a ocorrência de pelo menos um dos quais é obrigatório para este teste Assim, a perda de um, dois, três, quatro, cinco, seis pontos no lançamento de um osso de jogo é um sistema completo de eventos, pois todos esses eventos são incompatíveis e a ocorrência pelo menos um deles é necessário Definição Se o sistema completo consiste em dois eventos, então tais eventos são chamados opostos e são indicados por A e A Exemplo Existe um bilhete de loteria “6 em 45” que ele não pode ser ganho Esses eventos são incompatíveis ? Exemplo Há 30 bolas numeradas em uma caixa Determine quais dos seguintes eventos são impossíveis, certos, opostos: uma bola numerada é extraída (; uma bola de número par é extraída (uma bola de número ímpar é extraída (C); uma bola sem um número é sorteado (D) Quais deles formam um grupo completo?Exemplo São verdadeiros ou impossíveis os eventos que um único lançamento de um dado resultará em: 5 pontos; 7 pontos; de 1 a pontos? Quais eventos neste teste formar um grupo completo? 5 6 Definição A soma de vários eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um deles como resultado do teste A soma dos eventos A e B, denotada (A + e significa que o evento A, ou B, ou A e B ocorreram juntos Definição O produto de vários eventos é chamado de evento , que consiste na ocorrência conjunta de todos esses eventos como resultado do teste O produto dos eventos A e B denota: AB 3 Determinação da probabilidade de um evento Eventos aleatórios são realizados com diferentes possibilidades Alguns ocorrem com mais frequência, outros com menos frequência Para quantificar as possibilidades de realização de um evento, é introduzido o conceito de probabilidade de um evento Definição A probabilidade de um evento A é a razão do número M de resultados favoráveis para o número total N de resultados igualmente prováveis formando um grupo completo: A probabilidade de um determinado evento é 1, impossível 0, aleatório: 0 (1 Esta é a definição clássica de probabilidade Frequência relativa de um evento n testes: M N * (Exemplo Uma letra é escolhida aleatoriamente da palavra "policlínica" Qual é a probabilidade de que esta seja uma vogal? Qual é a letra K? O que é uma vogal ou letra K? Total de letras 11 Evento A como resultado do experimento uma letra vocálica apareceu Evento B a letra K apareceu Evento A é favorecido por cinco eventos (5 vogais), evento B é favorecido por dois m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Teoremas básicos e fórmulas da teoria das probabilidades Teorema da adição de probabilidades A probabilidade de ocorrência de um dos eventos incompatíveis é igual à soma de suas probabilidades: 7 A A A A A 1 n 1 A n A probabilidade da soma de dois eventos conjuntos A A A soma das probabilidades de eventos opostos (1 Definição Sejam A e B dois eventos aleatórios do mesmo teste Designação: A B A Teorema da multiplicação de probabilidade A probabilidade do ocorrência simultânea de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades desses eventos A 7 Matemática (BkPl-100) M.P. Kharlamov 2011/2012 ano letivo, 1º semestre Aula 5. Tópico: Combinatória, introdução à teoria das probabilidades 1 Tópico: Combinatória A combinatória é um ramo da matemática que estuda Departamento de Matemática e Informática Matemática Complexo pedagógico e metodológico para alunos do ensino médio profissionalizante que estudam com tecnologias a distância Módulo 6 Elementos de teoria das probabilidades e estatística matemática TEMA. TEOREMAS DE ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Operações sobre eventos aleatórios. Álgebra de eventos. O conceito de compatibilidade de eventos. Grupo completo de eventos. Dependência e independência de eventos aleatórios. Condicional Aula Teoria da probabilidade Conceitos básicos Experiência Frequência Probabilidade A teoria da probabilidade é uma seção da matemática que estuda os padrões de fenômenos aleatórios Eventos aleatórios são eventos que, quando LIÇÃO 3 INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE RECOMENDAÇÕES METODOLÓGICAS MISIS 2013 APROVADO: D.E. Kaputkin Presidente da Comissão Educacional e Metodológica para a implementação do Acordo com o Departamento de Educação das Montanhas. 1 PARTE I. TEORIA DA PROBABILIDADE CAPÍTULO 1. 1. Elementos de combinatória Definição 1. Exemplos: Definição. -fatorial é o número denotado por !, enquanto! = 1** * para todos os números naturais 1, ; além do mais, 1) Quantos números naturais de três algarismos existem que têm apenas dois algarismos menores que cinco? Existem apenas cinco dígitos menores que 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Os cinco dígitos restantes não são menores que 5: ( ; ; ; ; ) 1º método de solução Aula 3 Tópico Principais teoremas e fórmulas da teoria das probabilidades Conteúdos do tópico Álgebra de eventos. Teoremas de adição de probabilidades. Probabilidade Condicional. Teoremas da multiplicação de probabilidades. Fórmula de Probabilidade Total. Tópico da Palestra: ÁLGEBRA DE EVENTOS TEOREMA BÁSICO DA PROBABILIDADE Álgebra de eventos A soma dos eventos é chamada de evento S = +, que consiste na ocorrência de pelo menos um deles O produto de eventos e é chamado Departamento de Matemática Superior Aulas sobre Teoria das Probabilidades e Secção de Estatística Matemática. Teoria da probabilidade O tema da teoria da probabilidade é o estudo de regularidades específicas em massas homogêneas CONTEÚDO TEMA III. INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE... 2 1. MATERIAIS DE REFERÊNCIA... 2 1.1. CONCEITOS BÁSICOS E DEFINIÇÕES... 2 1.2. AÇÕES EM EVENTOS ALEATÓRIOS... 4 1.3. DEFINIÇÃO CLÁSSICA Aula 2. Teoremas de adição e multiplicação de probabilidades A soma e o produto de um evento INSTITUIÇÃO EDUCACIONAL ORÇAMENTAL DO ESTADO FEDERAL DE ENSINO SUPERIOR PROFISSIONAL "Academia Estatal de Cultura e Arte de Chelyabinsk" Departamento de Informática TEORIA DA PROBABILIDADE PROBABILIDADE DE UM EVENTO ALEATÓRIO Axiomas de Kolmogorov Em 1933 AN Kolmogorov em seu livro "Conceitos Básicos da Teoria da Probabilidade" deu uma fundamentação axiomática da teoria da probabilidade. "Isso significa que depois PROGRAMA DE TRABALHO DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO DO DISTRITO NORTE Aula de teoria das probabilidades e estatística Material didático utilizado: Livro didático: Tyurin Yu.N. etc. Teoria da Probabilidade e Estatística. M., MTsNMO: JSC Agência Federal de Educação Instituição Estadual de Ensino Superior Profissional "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNICAL UNIVERSITY" PALESTRA DE TEORIA PROBABILIDADE COMBINATORIAL Tópico 5 Conteúdo da palestra 1 Introdução 2 3 4 Próximo parágrafo 1 Introdução 2 3 4 Problema... Problema... Problema... ... e solução: Menina AULA DE DETERMINAÇÃO DA PROBABILIDADE DE UM EVENTO A probabilidade de um evento refere-se aos conceitos básicos da teoria das probabilidades e expressa uma medida da possibilidade objetiva de um evento ocorrer. I Definição de probabilidade e as regras básicas para o seu cálculo Experiência probabilística Tema da teoria das probabilidades Livro de problemas Chudesenko, teoria da probabilidade, variante Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de que: a a soma do número de pontos não exceda N ; b o produto do número de pontos não excede N; dentro Compilado por: Professor Associado do Departamento de Física Médica e Biológica Romanova N.Yu. Teoria das probabilidades 1 aula Introdução. A teoria da probabilidade é uma ciência matemática que estuda os padrões de fenômenos aleatórios. MVDubatovskaya Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática Aula 3 Métodos para determinar probabilidades 0 Definição clássica de probabilidades Chamamos qualquer um dos resultados possíveis de um experimento de elementar Aula 3 Tópico Principais teoremas e fórmulas da teoria das probabilidades Conteúdos do tópico Álgebra de eventos. Teoremas de adição de probabilidades. Probabilidade Condicional. Teoremas da multiplicação de probabilidades. Principais categorias de álgebra Aula 1. Tópico: ABORDAGENS BÁSICAS PARA A DETERMINAÇÃO DA PROBABILIDADE O tema da teoria da probabilidade. Contexto histórico MP Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Sinopse Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática Resumo da primeira seção (perguntas e respostas) Dr. phys.-math. Professor de Ciências Mikhail Pavlovich Kharlamov Teoria da Probabilidade Plano de Aula P Sobre a Probabilidade como Ciência P Definições Básicas de Probabilidade P Frequência de um Evento Aleatório Definição de Probabilidade P 4 Aplicando Combinatória à Contagem Elementos da teoria da probabilidade Eventos aleatórios Processos determinísticos Em ciência e tecnologia, os processos são considerados, cujo resultado pode ser previsto com certeza: Se uma diferença for aplicada às extremidades do condutor TÓPICO 1 Combinatória Cálculo de probabilidades Problema 1B 17 equipes participam da copa nacional de futebol De quantas maneiras existem para distribuir medalhas de ouro, prata e bronze? Na medida em que ( σ-álgebra - campo de eventos aleatórios - primeiro grupo de axiomas de Kolmogorov - segundo grupo de axiomas de Kolmogorov - fórmulas básicas da teoria da probabilidade - teorema da adição de probabilidade - probabilidade condicional Fundamentos da teoria das probabilidades Aula 2 Conteúdos 1. Probabilidade condicional 2. Probabilidade do produto dos eventos 3. Probabilidade da soma dos eventos 4. Fórmula da probabilidade total Eventos dependentes e independentes Definição N. G. TAKTAROV TEORIA DA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA MATEMÁTICA: UM BREVE CURSO COM EXEMPLOS E SOLUÇÕES Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa Instituição Educacional Orçamentária do Estado Federal de Educação Profissional Superior "Universidade Socioeconômica do Estado de Saratov" Problemas em teoria das probabilidades e estatística matemática. Eventos aleatórios Tarefa. Em um lote de N itens, os itens têm um defeito oculto. Qual é a probabilidade de que de k itens retirados ao acaso, TEORIA DA PROBABILIDADE. TAREFAS. Índice (por tópico) 1. A fórmula para a definição clássica de probabilidade. Elementos de combinatória. Probabilidade geométrica 4. Operações sobre eventos. Teoremas de adição e multiplicação Fórmulas Combinatórias Seja um conjunto formado por n elementos. Vamos denotar por U n. Uma permutação de n elementos é uma dada ordem no conjunto U n. Exemplos de permutações: 1) distribuição CAPÍTULO 5 ELEMENTOS DA TEORIA DA PROBABILIDADE 5 Axiomas da Teoria da Probabilidade Vários eventos podem ser classificados da seguinte forma: Evento impossível Um evento que não pode acontecer Certo evento PRCTICUM Fórmulas básicas de combinatória Tipos de eventos Ações sobre eventos Probabilidade clássica Probabilidade geométrica Fórmulas básicas de combinatória A combinatória estuda o número de combinações, Fórmula de Probabilidade Total. Seja um grupo de eventos H 1, H 2,..., H n com as seguintes propriedades: 1) Todos os eventos são incompatíveis aos pares: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Suas formas de união MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DA FEDERAÇÃO RUSSA IVANOVO UNIVERSIDADE DE ENERGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SUPERIOR MINISTÉRIO DA CULTURA DA FEDERAÇÃO RUSSA ORÇAMENTO DO ESTADO FEDERAL INSTITUIÇÃO EDUCACIONAL DE ENSINO SUPERIOR "ST. Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática Doutor em Phys.-Math. Professor de Ciências Mikhail Pavlovich Kharlamov "Página" com materiais metodológicos http://inter.vags.ru/hmp Volgograd ramo da RANEPA (FGOU Vorobyov V. V. "Lyceum", Kalachinsk, região de Omsk Workshop sobre resolução de problemas em teoria da probabilidade e estatística matemática Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática Doutor em Phys.-Math. Professor de Ciências Mikhail Pavlovich Kharlamov "Página" com materiais metodológicos http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgograd ramo da RANEPA TEORIA DA PROBABILIDADE. DISTRIBUIÇÃO DE VALORES ALEATÓRIOS Tarefa. Escolha a resposta correta:. A frequência relativa de um evento aleatório A é um valor igual a ... a) a razão do número de casos que favorecem CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DA PROBABILIDADE. 3.1. Eventos aleatórios. Cada ciência, ao estudar os fenômenos do mundo material, opera com certos conceitos, entre os quais há necessariamente fundamentais; Educação profissional superior Graduação V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu. Kozlov Teoria das probabilidades e estatística matemática Manual recomendado pela Educational and Methodological Association for Education ÍNDICE SEÇÃO I. TEORIA DA PROBABILIDADE Prefácio................................................. ......... ......... 6 PARTE I. EVENTOS ALEATÓRIOS ................... ............... 7 CAPÍTULO 1. Análise combinatória de elementos ........................ Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática Doutor em Phys.-Math. Professor de Ciências Mikhail Pavlovich Kharlamov Recurso da Internet com materiais metodológicos http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgograd branch Chiv a S o evento, que consiste no fato de o sistema não ser fechado, pode ser escrito: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Similarmente à solução dos Problemas 2.5, 2.6, obtemos S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa ORÇAMENTO DO ESTADO FEDERAL INSTITUIÇÃO EDUCACIONAL DE ENSINO SUPERIOR PROFISSIONAL "KAZAN TEORIA DA PROBABILIDADE Combinatória, regras de produto e soma Combinatória como ciência Combinatória é um ramo da matemática que estuda os compostos de um subconjunto de elementos extraídos de Agência Federal de Educação Tomsk Universidade Estadual de Sistemas de Controle e Radioeletrônica NE Lugina WORKSHOP DE TEORIA DA PROBABILIDADE Livro didático Tomsk 2006 Revisores: Cand. Palestra Eventos Aleatórios Definição. Um resultado elementar (ou um evento elementar) é qualquer resultado simples (ou seja, indivisível dentro da estrutura de uma dada experiência) de uma experiência. O conjunto de todos os resultados elementares AGÊNCIA FEDERAL DE EDUCAÇÃO Instituição de ensino estadual de ensino profissional superior Ulyanovsk State Technical University S. G. Valeev S. V. Kurkina Test 4. Teoria da probabilidade O trabalho de controle neste tópico inclui quatro tarefas. Vamos apresentar os conceitos básicos da teoria das probabilidades necessários para sua implementação. Para resolver problemas 50 50, é necessário conhecimento do tema Seção "Probabilidade e estatísticas" E.M. Udalova. Distrito de Primorsky, escola 579 A teoria da probabilidade é uma ciência matemática que permite encontrar as probabilidades de outros eventos aleatórios a partir das probabilidades de alguns eventos aleatórios Problema 1. Há 40 bolas em uma urna. A probabilidade de que 2 bolas retiradas sejam brancas é 7 60. Quantas bolas brancas estão na urna? O número de maneiras pelas quais k itens podem ser escolhidos de n é igual a C k 4 Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa Instituição educacional estadual de ensino profissional superior "Khabarovsk State Academy of Economics and Law" Departamento AGÊNCIA FEDERAL DE EDUCAÇÃO DO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA FEDERAÇÃO RUSSA Perm State University Assoc. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Departamento de Teoria da Matemática Superior AGÊNCIA FEDERAL PARA A EDUCAÇÃO Instituição Estadual de Ensino de Educação Profissional Superior "Universidade Politécnica de Tomsk" L. I. Konstantinova TEORIA DA PROBABILIDADE E MATEMÁTICA Agência Federal de Transporte Ferroviário Filial do Orçamento do Estado Federal Instituição de Ensino Superior Profissional "Universidade Estadual da Sibéria Definição de um determinante de matriz Uma matriz quadrada consiste em um elemento A = (a). O determinante de tal matriz é A = det(a) = a. () a a Matriz quadrada 2 2 consiste em quatro elementos A = COLEÇÃO DE TAREFAS INDIVIDUAIS TOMSK COLLEGE DE TRANSPORTE FERROVIÁRIO FILIAL SGUPS “Elementos de combinatória. Fundamentos da Teoria das Probabilidades" disciplinas Teoria das Probabilidades e Estatística Matemática
À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA RÚSSIA Orçamento do Estado Federal Instituição de Ensino Superior Profissional "Ukhta State Technical University" (USTU) Workshop sobre disciplina MVDubatov Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática Aula 4 Teoremas de Adição e Multiplicação Fórmula da Probabilidade Total Fórmula Bayes Sejam e B eventos e probabilidades incompatíveis TAREFAS: 1. Usando colchetes, escreva o conjunto de números naturais localizado na reta entre os números 10 e 15. Qual dos números 0; dez; onze; 12; quinze; 50 pertencem a este conjunto? 2. Anote o conjunto AGÊNCIA FEDERAL DE EDUCAÇÃO Instituição Estadual de Ensino de Educação Profissional Superior "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNICAL UNIVERSITY" L.I. KONSTANINOV Aula 5 Tópico esquema de Bernoulli. Conteúdo do tópico Esquema de Bernoulli. Fórmula de Bernoulli. O número mais provável de sucessos no esquema de Bernoulli. Variável aleatória binomial. As principais categorias do binômio de Newton, esquema Como resultado do estudo da seção, o aluno deve: conhecer: ¾ conceitos básicos de combinatória; ¾ definição clássica de probabilidade; ¾ definição de uma variável aleatória; ¾ características matemáticas de uma variável aleatória: expectativa matemática e variância; ser capaz de: ¾ resolver problemas para encontrar a probabilidade de um evento; ¾ resolver problemas para encontrar a expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória. Conceitos básicos de combinatória Na seção de matemática chamada combinatória, alguns problemas são resolvidos relacionados à consideração de conjuntos e à compilação de várias combinações de elementos desses conjuntos. Por exemplo, se pegarmos 10 números diferentes 0, 1, 2, ..., 9 e fizermos combinações deles, obteremos números diferentes, por exemplo, 345, 534, 1036, 5671, 45, etc. Vemos que algumas dessas combinações diferem apenas na ordem dos dígitos (345 e 534), outras nos números incluídos nelas (1036, 5671), outras também diferem no número de dígitos (345 e 45). Assim, as combinações obtidas satisfazem várias condições. Dependendo das regras de composição, três tipos de combinações podem ser distinguidos: posicionamentos, permutações e combinações. No entanto, vamos primeiro nos familiarizar com o conceito de fatorial. O produto de todos os números naturais de 1 a n inclusive é chamado n-fatorial. 1. Acomodações
. Arranjos de n elementos, m cada, são tais conexões que diferem umas das outras pelos próprios elementos ou pela ordem de seu arranjo. Exemplo. Quantos números de dois algarismos podem ser formados com os cinco algarismos 1, 2, 3, 4, 5, desde que nenhum deles se repita? Decisão. Como os números de dois dígitos diferem uns dos outros pelos próprios números ou por sua ordem, o número desejado é igual ao número de colocações de cinco elementos por dois: Exercício. De quantas maneiras três pessoas podem ser escolhidas entre oito candidatos para três cargos? Resposta: 336. 2. Permutações
. Permutações de n elementos são tais compostos de todos os n elementos que diferem uns dos outros na ordem dos elementos. Exemplo. Sejam dadas três letras A, B, C. Quantas combinações dessas letras podem ser feitas? Decisão. O número de permutações de três elementos pode ser calculado usando a fórmula: 3! == 6. Exercício. De quantas maneiras 7 pessoas podem se sentar em 7 lugares? Decisão. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Resposta: 5040. 3. Exemplo.De quantas maneiras podem ser escolhidos três atendentes se houver 30 alunos na classe? Decisão. Como você precisa escolher 3 de 30 alunos, você pode fazer combinações que diferem entre si por pelo menos um elemento, ou seja, combinações de 30 a 3: Resposta: 4060. Exercício. De quantas maneiras podem ser formadas equipes de 5 pessoas com 15 trabalhadores? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resposta: 3003. Perguntas para autocontrole 1. Liste as principais tarefas da combinatória. 2. O que são chamadas de permutações? 3. Escreva a fórmula para permutações de n elementos. 4. O que é chamado de canais? 5. Escreva a fórmula para o número de colocações de n elementos por m. 6. O que são chamadas de combinações? 7. Escreva a fórmula para o número de combinações de n elementos por m. Tarefa de controle TAREFAS PRÁTICAS PARA AUTO-CONTROLE Quantas opções existem para a distribuição de três prêmios se 7 equipes participarem do sorteio? De quantas maneiras dois alunos podem ser selecionados para a conferência se houver 33 pessoas no grupo? Resolver equações De um grupo de 15 pessoas, um capataz e 4 membros da brigada devem ser selecionados. De quantas maneiras isso pode ser feito? As letras do código Morse são compostas de símbolos (pontos e traços). Quantas letras podem ser representadas se cada letra deve conter no máximo cinco caracteres? De quantas maneiras as fitas de quatro cores podem ser feitas de sete fitas de cores diferentes? De quantas maneiras quatro pessoas podem ser escolhidas para quatro cargos diferentes entre nove candidatos? De quantas maneiras você pode escolher 3 de 6 cartas? Antes da formatura, um grupo de 30 alunos trocou fotos. Quantas fotografias foram distribuídas. De quantas maneiras 10 convidados podem se sentar em dez lugares na mesa festiva? Quantos jogos 20 times de futebol devem jogar em um campeonato de uma rodada? De quantas maneiras 12 pessoas podem ser divididas em equipes se houver 6 pessoas em cada equipe? Teoria da probabilidade Nove livros diferentes estão dispostos aleatoriamente em uma prateleira. Encontre a probabilidade de que quatro certos livros sejam colocados lado a lado (evento C). De 10 bilhetes, 2 são vencedores. Determine a probabilidade de que entre 5 bilhetes retirados ao acaso, um seja vencedor. 3 cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho de cartas (52 cartas). Encontre a probabilidade de que seja um três, sete, ás. A criança brinca com as cinco letras do alfabeto dividido A, K, R, W, Y. Qual é a probabilidade de que, com um arranjo aleatório de letras seguidas, ele receba a palavra "Telhado". Uma caixa contém 6 bolas brancas e 4 vermelhas. Duas bolas são retiradas ao acaso. Qual é a probabilidade de serem da mesma cor? A primeira urna contém 6 bolas pretas e 4 brancas, a segunda urna contém 5 bolas pretas e 7 brancas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de ambas as bolas serem brancas? Variável aleatória, expectativa matemática e variância de uma variável aleatória A probabilidade de um aluno encontrar o livro de que precisa na biblioteca é 0,3. Elabore uma lei de distribuição do número de bibliotecas que ele visitará se houver quatro bibliotecas na cidade. O caçador atira na caça antes do primeiro golpe, mas não consegue dar mais do que quatro tiros. Encontre a variância do número de erros se a probabilidade de acertar o alvo com um tiro for 0,7. Encontre a esperança matemática de uma variável aleatória X, se a lei de sua distribuição é dada pela tabela: X R A planta possui quatro linhas automáticas. A probabilidade de que durante o turno de trabalho a primeira linha não precise de ajuste é de 0,9, a segunda - 0,8, a terceira - 0,75, a quarta - 0,7. encontre a expectativa matemática do número de linhas que não requerem ajuste durante o turno de trabalho. X R V. RESPOSTAS Combinatória Teoria da probabilidade Variável aleatória, expectativa matemática e variância de uma variável aleatória. 0,046656 2. 0,3 3. 13 EMBED Equação.3 1415 4. 13 EMBED Equação.3 1415 5,13 EMBED Equação.3 1415 6,13 EMBED Equação.3 1415. Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Combinações
. Combinações de n elementos, m cada, são compostos que diferem uns dos outros por pelo menos um elemento.
Combinatória
Quantos números de cinco algarismos diferentes podem ser formados a partir dos algarismos 1, 3, 5, 7, 9, desde que nenhum algarismo se repita no número?
a) 13 EMBED Equação.3 1415. b) 13 EMBED Equação.3 1415.
Quantos números de quatro algarismos divisíveis por 5 podem ser formados pelos algarismos 0, 1, 2, 5, 7 se cada número não deve conter os mesmos algarismos?
Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 6 azuis. Duas bolas são retiradas da urna ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de que ambas as bolas sejam vermelhas (evento A)?
Escreva a lei de distribuição para o número de acertos no alvo com seis tiros, se a probabilidade de acertar com um tiro for 0,4.
1
2
3
4
0,3
0,1
0,2
0,4
Encontre a variância de uma variável aleatória X, conhecendo a lei de sua distribuição:
0
1
2
3
4
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
1. 13 EMBED Equação.3 1415. 2. 13 EMBED Equação.3 1415. 3. 13 EMBED Equação.3 1415. 4. a) 13 EMBED Equação.3 1415, 5; b) 13 EMBED Equação.3 1415. 5. 13 EMBED Equação.3 1415. 6.13 EMBED Equação.3 1415. 7. 13 EMBED Equação.3 1415. 8. 13 EMBED Equação.3 1415. 9,13 EMBED Equação.3 1415. 10.13 EMBED Equação.3 1415. 11. 13 EMBED Equação.3 1415. 12. 13 EMBED Equação.3 1415. 13.190.14.924.
1. 13 EMBED Equação.3 1415 2,13 EMBED Equação.3 1415 3. 13 EMBED Equação.3 1415 4. 13 EMBED Equação.3 14155. 13 EMBED Equação.3 14156,13 EMBED Equação.3 1415 7. 13 EMBED Equação.3 141
1.
0
1
2
3
4
5
6
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096
1
2
3
4
0,21
0,147
0,343
