A matemática nasceu quando uma pessoa tomou consciência de si mesma e passou a se posicionar como uma unidade autônoma do mundo. O desejo de medir, comparar, calcular o que o rodeia é o que sustenta um dos ciências fundamentais nossos dias. No início, eram peças de matemática elementar, que permitiam associar os números às suas expressões físicas, depois as conclusões começaram a ser apresentadas apenas teoricamente (devido à sua abstração), mas depois de um tempo, como disse um cientista, " matemática atingiu o teto da complexidade quando todos os números." O conceito de "raiz quadrada" surgiu em um momento em que poderia ser facilmente suportado por dados empíricos, indo além do plano dos cálculos.

Como tudo começou

A primeira menção da raiz, que em este momento denotado como √, foi registrado nos escritos dos matemáticos babilônicos, que lançaram as bases para a aritmética moderna. Claro, eles se pareciam um pouco com a forma atual - os cientistas daqueles anos usaram pela primeira vez comprimidos volumosos. Mas no segundo milênio aC. e. eles chegaram a uma fórmula de cálculo aproximada que mostrava como tirar a raiz quadrada. A foto abaixo mostra uma pedra na qual os cientistas babilônicos esculpiram o processo de saída √2, e acabou sendo tão correto que a discrepância na resposta foi encontrada apenas na décima casa decimal.

Além disso, a raiz era usada se fosse necessário encontrar o lado de um triângulo, desde que os outros dois fossem conhecidos. Bem, ao resolver equações quadráticas, não há como escapar de extrair a raiz.

Junto com as obras babilônicas, o assunto do artigo também foi estudado na obra chinesa "Matemática em Nove Livros", e os antigos gregos chegaram à conclusão de que qualquer número do qual a raiz não é extraída sem um resto dá um resultado irracional .

Origem esse termo associado à representação árabe do número: os antigos cientistas acreditavam que o quadrado de um número arbitrário cresce da raiz, como uma planta. Em latim, esta palavra soa como radix (você pode traçar um padrão - tudo que tem uma "raiz" carga semântica, consonantemente, seja rabanete ou ciática).

Cientistas de gerações subsequentes pegaram essa ideia, designando-a como Rx. Por exemplo, no século 15, para indicar que a raiz quadrada é tirada de um número arbitrário a, eles escreveram R 2 a. Habitual aparência moderna"tick" √ apareceu apenas no século 17 graças a René Descartes.

Nossos dias

Matematicamente, a raiz quadrada de y é o número z cujo quadrado é y. Em outras palavras, z 2 =y é equivalente a √y=z. No entanto esta definição relevante apenas para raiz aritmética, uma vez que implica um valor não negativo da expressão. Em outras palavras, √y=z, onde z é maior ou igual a 0.

NO caso Geral, que atua para determinar raiz algébrica, o valor da expressão pode ser positivo ou negativo. Assim, devido ao fato de z 2 =y e (-z) 2 =y, temos: √y=±z ou √y=|z|.

Devido ao fato de que o amor pela matemática só aumentou com o desenvolvimento da ciência, existem várias manifestações de afeto por ela, não expressas em cálculos secos. Por exemplo, juntamente com eventos interessantes como o dia de Pi, também são comemorados os feriados da raiz quadrada. Eles são celebrados nove vezes em cem anos e são determinados de acordo com o seguinte princípio: os números que denotam o dia e o mês em ordem devem ser a raiz quadrada do ano. Então, da próxima vez este feriado será comemorado em 4 de abril de 2016.

Propriedades da raiz quadrada no campo R

Quase tudo expressões matemáticas têm uma base geométrica, esse destino não passou e √y, que é definido como o lado de um quadrado com área y.

Como encontrar a raiz de um número?

Existem vários algoritmos de cálculo. O mais simples, mas ao mesmo tempo bastante complicado, é o cálculo aritmético usual, que é o seguinte:

1) do número cuja raiz precisamos, os números ímpares são subtraídos por sua vez - até que o resto na saída seja menor que o subtraído ou par zero. O número de movimentos acabará por se tornar o número desejado. Por exemplo, o cálculo raiz quadrada de 25:

Seguindo número ímparé 11, temos o seguinte resto: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para tais casos, existe uma expansão em série de Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , onde n assume valores de 0 a

+∞, e |y|≤1.

Representação gráfica da função z=√y

Considere uma função elementar z=√y no corpo dos números reais R, onde y é maior ou igual a zero. O gráfico dela fica assim:

A curva cresce a partir da origem e necessariamente cruza o ponto (1; 1).

Propriedades da função z=√y no corpo dos números reais R

1. O domínio de definição da função considerada é o intervalo de zero a mais infinito (zero está incluído).

2. O intervalo de valores da função considerada é o intervalo de zero a mais infinito (zero é novamente incluído).

3. A função assume o valor mínimo (0) apenas no ponto (0; 0). Não há valor máximo.

4. A função z=√y não é par nem ímpar.

5. A função z=√y não é periódica.

6. Existe apenas um ponto de intersecção do gráfico da função z=√y com os eixos coordenados: (0; 0).

7. O ponto de intersecção do gráfico da função z=√y também é o zero desta função.

8. A função z=√y está crescendo continuamente.

9. A função z=√y assume apenas valores positivos, portanto, seu gráfico ocupa o primeiro ângulo coordenado.

Opções para exibir a função z=√y

Em matemática, para facilitar o cálculo de expressões complexas, às vezes eles usam a forma de potência de escrever a raiz quadrada: √y=y 1/2. Esta opção é conveniente, por exemplo, para elevar uma função a uma potência: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Este método também é uma boa representação para a diferenciação com integração, pois graças a ele a raiz quadrada é representada por uma função potência ordinária.

E na programação, a substituição do símbolo √ é a combinação das letras sqrt.

Vale ressaltar que nessa área a raiz quadrada é muito procurada, pois faz parte da maioria das fórmulas geométricas necessárias para os cálculos. O algoritmo de contagem em si é bastante complicado e é baseado em recursão (uma função que chama a si mesma).

A raiz quadrada no corpo complexo C

De modo geral, foi o tema deste artigo que estimulou a descoberta do campo dos números complexos C, uma vez que os matemáticos eram perseguidos pela questão de obter uma raiz de grau par a partir de um número negativo. Assim surgiu a unidade imaginária i, que se caracteriza por uma propriedade muito interessante: seu quadrado é -1. Graças a isso, equações quadráticas e com discriminante negativo obtiveram solução. Em C, para a raiz quadrada, as mesmas propriedades são relevantes como em R, a única coisa é que as restrições na expressão da raiz são removidas.

A exponenciação implica que um determinado número deve ser multiplicado por si mesmo um certo número de vezes. Por exemplo, elevar o número 2 à quinta potência ficaria assim:

O número que precisa ser multiplicado por ele mesmo é chamado de base do grau, e o número de multiplicações é seu expoente. Elevar a uma potência corresponde a duas ações opostas: encontrar o expoente e encontrar a base.

extração de raiz

Encontrar a base de um expoente é chamado de extração de raiz. Isso significa que você precisa encontrar o número que precisa ser elevado à potência de n para obter o dado.

Por exemplo, é necessário extrair a raiz 4 do número 16, ou seja, para determinar, você precisa multiplicar por si mesmo 4 vezes para obter 16 no final. Esse número é 2.

Essa operação aritmética é escrita usando um sinal especial - o radical: √, acima do qual o expoente é indicado à esquerda.

raiz aritmética

Se o expoente for um número par, a raiz pode ser dois números com o mesmo módulo, mas c é positivo e negativo. Assim, no exemplo dado pode ser os números 2 e -2.

A expressão deve ser inequívoca, ou seja, tem um resultado. Para isso, foi introduzido o conceito de raiz aritmética, que só pode ser um número positivo. Uma raiz aritmética não pode ser menor que zero.

Assim, no exemplo considerado acima, apenas o número 2 será a raiz aritmética, e a segunda resposta - -2 - é excluída por definição.

Raiz quadrada

Para alguns graus que são usados ​​com mais frequência do que outros, existem nomes especiais originalmente associados à geometria. Estamos falando de elevar para o segundo e terceiro graus.

Para a segunda potência, o comprimento do lado do quadrado quando você precisa calcular sua área. Se você precisa encontrar o volume de um cubo, o comprimento de sua aresta é elevado à terceira potência. Portanto, é chamado de quadrado do número, e o terceiro é chamado de cubo.

Assim, a raiz do segundo grau é chamada de quadrado, e a raiz do terceiro grau é chamada de cúbica. A raiz quadrada é a única das raízes que não tem expoente acima do radical quando escrita:

Portanto, a raiz quadrada aritmética de um determinado número é um número positivo que deve ser elevado à segunda potência para obter o número fornecido.

A área de um terreno quadrado é de 81 dm². Encontre o lado dele. Suponha que o comprimento do lado do quadrado seja X decímetros. Então a área do terreno é X² decímetros quadrados. Como, de acordo com a condição, essa área é de 81 dm², então X² = 81. O comprimento do lado de um quadrado é um número positivo. Um número positivo cujo quadrado é 81 é o número 9. Ao resolver o problema, foi necessário encontrar o número x, cujo quadrado é 81, ou seja, resolver a equação X² = 81. Esta equação tem duas raízes: x 1 = 9 e x 2 \u003d - 9, desde 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Ambos os números 9 e - 9 são chamados de raízes quadradas do número 81.

Observe que um dos raízes quadradas X= 9 é um número positivo. É chamado de raiz quadrada aritmética de 81 e é denotado √81, então √81 = 9.

Raiz quadrada aritmética de um número umaé um número não negativo cujo quadrado é igual a uma.

Por exemplo, os números 6 e -6 são as raízes quadradas de 36. O número 6 é a raiz quadrada aritmética de 36, pois 6 é um número não negativo e 6² = 36. O número -6 não é uma raiz aritmética.

Raiz quadrada aritmética de um número uma denotado da seguinte forma: √ uma.

O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética; umaé chamada de expressão raiz. Expressão √ uma ler assim: a raiz quadrada aritmética de um número uma. Por exemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nos casos em que fica claro que estamos falando de uma raiz aritmética, eles dizem brevemente: "a raiz quadrada de uma«.

O ato de encontrar a raiz quadrada de um número é chamado de tirar a raiz quadrada. Esta ação é o inverso da quadratura.

Qualquer número pode ser elevado ao quadrado, mas nem todo número pode ser raiz quadrada. Por exemplo, é impossível extrair a raiz quadrada do número - 4. Se essa raiz existisse, denotando-a com a letra X, obteríamos a igualdade errada x² \u003d - 4, pois há um número não negativo à esquerda e um negativo à direita.

Expressão √ uma só faz sentido quando a ≥ 0. A definição da raiz quadrada pode ser escrita resumidamente como: √ a ≥ 0, (√uma)² = uma. Igualdade (√ uma)² = uma valido para a ≥ 0. Assim, para garantir que a raiz quadrada de um número não negativo umaé igual a b, ou seja, que √ uma =b, você precisa verificar se as duas condições a seguir são atendidas: b ≥ 0, b² = uma.

A raiz quadrada de uma fração

Vamos calcular. Observe que √25 = 5, √36 = 6 e verifique se a igualdade é válida.

Porque e , então a igualdade é verdadeira. Então, .

Teorema: Se um uma≥ 0 e b> 0, ou seja, a raiz da fração igual a raiz do numerador dividido pela raiz do denominador. É necessário provar que: e .

Desde √ uma≥0 e √ b> 0, então .

Pela propriedade de elevar uma fração a uma potência e determinar a raiz quadrada o teorema está provado. Vejamos alguns exemplos.

Calcule , de acordo com o teorema provado .

Segundo exemplo: Prove que , E se uma ≤ 0, b < 0. .

Outro exemplo: Calcule .

.

Transformação de raiz quadrada

Tirando o multiplicador sob o sinal da raiz. Seja dada uma expressão. Se um uma≥ 0 e b≥ 0, então pelo teorema da raiz do produto, podemos escrever:

Essa transformação é chamada de fatoração do sinal da raiz. Considere um exemplo;

Calcular em X= 2. Substituição direta X= 2 em expressão radical leva a cálculos complexos. Esses cálculos podem ser simplificados se primeiro removermos os fatores sob o sinal da raiz: . Agora substituindo x = 2, temos:.

Assim, ao retirar o fator sob o sinal da raiz, a expressão da raiz é representada como um produto em que um ou mais fatores são quadrados números não negativos. O teorema do produto raiz é então aplicado e a raiz de cada fator é obtida. Considere um exemplo: Simplifique a expressão A = √8 + √18 - 4√2 retirando os fatores sob o sinal da raiz nos dois primeiros termos, obtemos:. Ressaltamos que a igualdade válido apenas quando uma≥ 0 e b≥ 0. se uma < 0, то .

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Os alunos sempre perguntam: “Por que não posso usar uma calculadora em um exame de matemática? Como extrair a raiz quadrada de um número sem calculadora? Vamos tentar responder a esta pergunta.

Como extrair a raiz quadrada de um número sem a ajuda de uma calculadora?

Ação extração de raiz quadrada o oposto da quadratura.

√81= 9 9 2 =81

Se de número positivo tirando a raiz quadrada e elevando ao quadrado o resultado, obtemos o mesmo número.

De pequenos números que são quadrados perfeitos números naturais, por exemplo 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 raízes quadradas podem ser extraídas verbalmente. Normalmente na escola ensinam uma tabuada de quadrados de números naturais até vinte. Conhecendo essa tabela, fica fácil extrair as raízes quadradas dos números 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. De números maiores que 400, você pode extrair usando o método de seleção usando algumas dicas. Vamos tentar um exemplo para considerar este método.

Exemplo: Extraia a raiz do número 676.

Notamos que 20 2 \u003d 400 e 30 2 \u003d 900, o que significa 20< √676 < 900.

Quadrados exatos de números naturais terminam em 0; 1; quatro; 5; 6; 9.
O número 6 é dado por 4 2 e 6 2 .
Então, se a raiz é tirada de 676, então é 24 ou 26.

Resta verificar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Responda: √676 = 26 .

Mais exemplo: √6889 .

Desde 80 2 \u003d 6400 e 90 2 \u003d 8100, então 80< √6889 < 90.
O número 9 é dado por 3 2 e 7 2, então √6889 é 83 ou 87.

Verifique: 83 2 = 6889.

Responda: √6889 = 83 .

Se você achar difícil resolver pelo método de seleção, poderá fatorar a expressão raiz.

Por exemplo, encontrar √893025.

Vamos fatorar o número 893025, lembre-se, você fez isso na sexta série.

Obtemos: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mais exemplo: √20736. Vamos fatorar o número 20736:

Obtemos √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Claro, fatoração requer conhecimento de critérios de divisibilidade e habilidades de fatoração.

E por fim, há regra da raiz quadrada. Vejamos esta regra com um exemplo.

Calcular √279841.

Para extrair a raiz de um inteiro com vários dígitos, dividimos da direita para a esquerda em faces contendo 2 dígitos cada (pode haver um dígito na face extrema esquerda). Escreva assim 27'98'41

Para obter o primeiro dígito da raiz (5), extraímos a raiz quadrada do maior quadrado exato contido na primeira face esquerda (27).
Em seguida, o quadrado do primeiro dígito da raiz (25) é subtraído da primeira face e a próxima face (98) é atribuída (demolida) à diferença.
À esquerda do número recebido 298, eles escrevem o dígito duplo da raiz (10), dividem por ele o número de todas as dezenas do número obtido anteriormente (29/2 ≈ 2), experimentam o quociente (102 ∙ 2 = 204 não deve ser superior a 298) e escreva (2) após o primeiro dígito da raiz.
Então o quociente resultante 204 é subtraído de 298, e a próxima faceta (41) é atribuída (demolida) à diferença (94).
À esquerda do número resultante 9441, eles escrevem o duplo produto dos dígitos da raiz (52 ∙ 2 = 104), dividem por este produto o número de todas as dezenas do número 9441 (944/104 ≈ 9), experiência o quociente (1049 ∙ 9 = 9441) deve ser 9441 e anote (9) após o segundo dígito da raiz.

Obtivemos a resposta √279841 = 529.

Da mesma forma extrair raízes de decimais. Apenas o número radical deve ser dividido em faces para que a vírgula fique entre as faces.

Exemplo. Encontre o valor √0,00956484.

Você só tem que lembrar que se decimal tem um número ímpar de casas decimais, não leva exatamente a raiz quadrada.

Então, agora você viu três maneiras de extrair a raiz. Escolha o que mais combina com você e pratique. Para aprender a resolver problemas, você precisa resolvê-los. E se tiver alguma dúvida, inscreva-se nas minhas aulas.

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