Deixe a reta passar pelos pontos M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). A equação de uma linha reta que passa pelo ponto M 1 tem a forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)
Onde k - coeficiente ainda desconhecido.
Como a linha reta passa pelo ponto M 2 (x 2 y 2), as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
A partir daqui encontramos Substituindo o valor encontrado k
na equação (10.6), obtemos a equação de uma reta que passa pelos pontos M 1 e M 2: 
Supõe-se que nesta equação x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Se x 1 \u003d x 2, a linha reta que passa pelos pontos M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) é paralela ao eixo y. Sua equação é x = x 1 .
Se y 2 \u003d y I, a equação da linha reta pode ser escrita como y \u003d y 1, a linha reta M 1 M 2 é paralela ao eixo x.
Equação de uma linha reta em segmentos
Deixe a linha reta interceptar o eixo Ox no ponto M 1 (a; 0), e o eixo Oy - no ponto M 2 (0; b). A equação terá a forma: 
Essa. 
. Essa equação é chamada a equação de uma linha reta em segmentos, porque os números a e b indicam quais segmentos a linha reta corta nos eixos coordenados.
Equação de uma linha reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado
Vamos encontrar a equação de uma reta que passa por um dado ponto Mo (x O; y o) perpendicular a um dado vetor diferente de zero n = (A; B).
Pegue um ponto arbitrário M(x; y) na linha reta e considere o vetor M 0 M (x - x 0; y - y o) (veja a Fig. 1). Como os vetores n e M o M são perpendiculares, seu produto escalar é igual a zero: isto é,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
A equação (10.8) é chamada equação de uma reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado .
O vetor n = (A; B) perpendicular à linha é chamado normal vetor normal desta linha .
A equação (10.8) pode ser reescrita como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
onde A e B são as coordenadas do vetor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membro livre. Equação (10,9) é a equação geral de uma reta(ver Fig.2).
Fig.1 Fig.2
Equações canônicas da reta
,
Onde 
são as coordenadas do ponto pelo qual a linha passa, e 
- vetor de direção.
Curvas do círculo de segunda ordem
Um círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto dado, que é chamado de centro.
Equação canônica de um círculo de raio
R centrado em um ponto 
:
Em particular, se o centro da estaca coincidir com a origem, a equação ficará assim: 
Elipse
Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados
e 
, que são chamados de focos, é um valor constante 
, maior que a distância entre os focos 
.
A equação canônica de uma elipse cujos focos estão no eixo Ox e cuja origem está no meio entre os focos tem a forma 
G 
de uma o comprimento do semieixo maior; b é o comprimento do semieixo menor (Fig. 2).
Equação de uma linha reta em um plano.
O vetor de direção é reto. Vetor normal
Uma linha reta em um plano é uma das formas geométricas mais simples, familiar para você desde as séries iniciais, e hoje aprenderemos como lidar com ela usando os métodos da geometria analítica. Para dominar o material, é necessário saber construir uma linha reta; saber qual equação define uma reta, em particular, uma reta que passa pela origem e retas paralelas aos eixos coordenados. Essas informações podem ser encontradas no manual. Gráficos e propriedades de funções elementares, eu criei para o matan, mas a seção sobre a função linear acabou sendo muito bem sucedida e detalhada. Portanto, queridos bules, primeiro aqueçam lá. Além disso, é necessário ter conhecimentos básicos de vetores caso contrário, a compreensão do material será incompleta.
Nesta lição, veremos maneiras pelas quais você pode escrever a equação de uma linha reta em um plano. Recomendo não negligenciar exemplos práticos (mesmo que pareçam muito simples), pois os fornecerei com fatos elementares e importantes, métodos técnicos que serão necessários no futuro, inclusive em outras seções da matemática superior.
- Como escrever a equação de uma linha reta com uma inclinação?
- Como ?
- Como encontrar o vetor de direção pela equação geral de uma linha reta?
- Como escrever uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor normal?
e começamos:
Equação de linha com inclinação
A conhecida forma "escola" da equação de uma linha reta é chamada equação de uma reta com inclinação. Por exemplo, se uma linha reta é dada pela equação, então sua inclinação: . Considere o significado geométrico desse coeficiente e como seu valor afeta a localização da linha: 
No curso da geometria é provado que a inclinação da reta é tangente de um ângulo entre a direção do eixo positivoe linha dada: , e o canto é “desaparafusado” no sentido anti-horário.
Para não confundir o desenho, desenhei ângulos para apenas duas linhas retas. Considere a linha reta "vermelha" e sua inclinação. De acordo com o acima: (ângulo "alfa" é indicado por um arco verde). Para a linha reta "azul" com a inclinação, a igualdade é verdadeira (o ângulo "beta" é indicado pelo arco marrom). E se a tangente do ângulo é conhecida, então, se necessário, é fácil encontrar e o canto usando a função inversa - arco tangente. Como se costuma dizer, uma tabela trigonométrica ou uma calculadora na mão. Por isso, a inclinação caracteriza o grau de inclinação da linha reta para o eixo x.
Neste caso, os seguintes casos são possíveis:
1) Se a inclinação for negativa: , então a linha, grosso modo, vai de cima para baixo. Exemplos são linhas retas "azul" e "carmesim" no desenho.
2) Se a inclinação for positiva: , então a linha vai de baixo para cima. Exemplos são linhas retas "pretas" e "vermelhas" no desenho.
3) Se a inclinação for igual a zero: , então a equação assume a forma , e a linha correspondente é paralela ao eixo. Um exemplo é a linha "amarela".
4) Para uma família de retas paralelas ao eixo (não há exemplo no desenho, exceto o próprio eixo), a inclinação não existe (tangente de 90 graus não definida).
Quanto maior o módulo de inclinação, mais íngreme fica o gráfico de linha.
Por exemplo, considere duas linhas retas. Aqui , então a linha reta tem uma inclinação mais acentuada. Relembro que o módulo permite ignorar o sinal, só nos interessa valores absolutos coeficientes angulares.
Por sua vez, uma linha reta é mais íngreme do que linhas retas. 
.
Vice-versa: quanto menor o módulo de inclinação, a linha reta é mais plana.
Para linhas retas 
a desigualdade é verdadeira, portanto, a linha reta é mais do que um dossel. Slide infantil, para não plantar hematomas e inchaços.
Por que isso é necessário?
Prolongue seu tormento Conhecer os fatos acima permite que você veja imediatamente seus erros, em particular, erros ao traçar gráficos - se o desenho acabou "claramente algo está errado". É desejável que você imediatamente ficou claro que, por exemplo, uma linha reta é muito íngreme e vai de baixo para cima, e uma linha reta é muito plana, próxima ao eixo e vai de cima para baixo.
Em problemas geométricos, muitas vezes aparecem várias linhas retas, por isso é conveniente denotá-las de alguma forma.
Notação: as linhas retas são indicadas por pequenas letras latinas: . Uma opção popular é a designação da mesma letra com subscritos naturais. Por exemplo, as cinco linhas que acabamos de considerar podem ser denotadas por 
.
Uma vez que qualquer linha reta é determinada exclusivamente por dois pontos, ela pode ser denotada por estes pontos: 
etc. A notação obviamente implica que os pontos pertencem à linha.
Hora de relaxar um pouco:
Como escrever a equação de uma linha reta com uma inclinação?
Se for conhecido um ponto que pertence a uma determinada linha e a inclinação dessa linha, a equação dessa linha é expressa pela fórmula:
Exemplo 1
Componha a equação de uma reta com inclinação se for conhecido que o ponto pertence a essa reta.
Decisão: Vamos compor a equação de uma reta de acordo com a fórmula 
. Nesse caso: 
Responda:
Exame executado de forma elementar. Primeiro, olhamos para a equação resultante e nos certificamos de que nossa inclinação está em seu lugar. Em segundo lugar, as coordenadas do ponto devem satisfazer a equação dada. Vamos colocá-los na equação:
A igualdade correta é obtida, o que significa que o ponto satisfaz a equação resultante.
Conclusão: Equação encontrada corretamente.
Um exemplo mais complicado para uma solução faça você mesmo:
Exemplo 2
Escreva a equação de uma linha reta se for conhecido que seu ângulo de inclinação para a direção positiva do eixo é , e o ponto pertence a essa linha reta.
Se tiver alguma dificuldade, releia o material teórico. Mais precisamente, mais prático, sinto falta de muitas provas.
O último sinal tocou, o baile de formatura acabou e atrás dos portões de nossa escola natal, de fato, a geometria analítica está esperando por nós. As brincadeiras acabaram... Talvez esteja apenas começando =)
Nostalgicamente, acenamos com a maçaneta para o familiar e nos familiarizamos com a equação geral de uma linha reta. Como na geometria analítica é precisamente isso que está em uso:
A equação geral de uma reta tem a forma: , onde estão alguns números. Ao mesmo tempo, os coeficientes simultaneamente não são iguais a zero, pois a equação perde seu significado.
Vamos vestir um terno e amarrar uma equação com uma inclinação. Primeiro, movemos todos os termos para o lado esquerdo:
O termo com "x" deve ser colocado em primeiro lugar:
Em princípio, a equação já tem a forma , mas de acordo com as regras de etiqueta matemática, o coeficiente do primeiro termo (neste caso ) deve ser positivo. Mudança de sinais:
Lembre-se deste recurso técnico! Tornamos o primeiro coeficiente (na maioria das vezes) positivo!
Na geometria analítica, a equação de uma linha reta quase sempre será dada de uma forma geral. Bem, se necessário, é fácil trazê-lo para uma forma “escola” com uma inclinação (com exceção de linhas retas paralelas ao eixo y).
Vamos nos perguntar o que suficiente sabe construir uma linha reta? Dois pontos. Mas sobre este caso de infância mais tarde, agora fica com a regra das setas. Cada linha reta tem uma inclinação bem definida, à qual é fácil "adaptar" vetor.
Um vetor que é paralelo a uma linha é chamado de vetor de direção dessa linha.. Obviamente, qualquer linha reta tem infinitos vetores de direção, e todos eles serão colineares (codirigidos ou não - não importa).
Vou denotar o vetor de direção da seguinte forma: .
Mas um vetor não é suficiente para construir uma linha reta, o vetor é livre e não está ligado a nenhum ponto do plano. Portanto, além disso, é necessário conhecer algum ponto que pertença à linha.
Como escrever uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção?
Se algum ponto pertencente à linha e o vetor diretor desta linha são conhecidos, então a equação desta linha pode ser compilada pela fórmula:
Às vezes é chamado equação canônica da reta .
O que fazer quando uma das coordenadas for zero, veremos exemplos práticos abaixo. A propósito, note - ambos de uma vez coordenadas não podem ser zero, pois o vetor zero não especifica uma direção específica.
Exemplo 3
Escreva uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção
Decisão: Vamos compor a equação de uma reta de acordo com a fórmula. Nesse caso:
Usando as propriedades da proporção, nos livramos das frações: 
E trazemos a equação para uma forma geral:
Responda:
Desenhar em tais exemplos, como regra, não é necessário, mas por uma questão de compreensão: 
No desenho, vemos o ponto de partida, o vetor de direção original (pode ser adiado de qualquer ponto do plano) e a linha construída. A propósito, em muitos casos, a construção de uma linha reta é mais convenientemente realizada usando a equação da inclinação. Nossa equação é fácil de converter para a forma e sem problemas pegar mais um ponto para construir uma linha reta.
Conforme observado no início da seção, uma linha tem infinitos vetores de direção e todos eles são colineares. Por exemplo, desenhei três desses vetores: 
. Qualquer que seja o vetor de direção que escolhermos, o resultado será sempre a mesma equação de linha reta.
Vamos compor a equação de uma reta por um ponto e um vetor diretor:
Dividindo a proporção:
Divida ambos os lados por -2 e obtenha a equação familiar:
Aqueles que desejarem podem testar vetores da mesma forma 
ou qualquer outro vetor colinear.
Agora vamos resolver o problema inverso:
Como encontrar o vetor de direção pela equação geral de uma linha reta?
Muito simples:
Se uma linha reta é dada por uma equação geral em um sistema de coordenadas retangular, então o vetor é o vetor de direção dessa linha reta.
Exemplos de encontrar vetores de direção de linhas retas: 
A declaração nos permite encontrar apenas um vetor de direção de um conjunto infinito, mas não precisamos de mais. Embora em alguns casos seja aconselhável reduzir as coordenadas dos vetores de direção:
Assim, a equação especifica uma linha reta que é paralela ao eixo, e as coordenadas do vetor de direção resultante são convenientemente divididas por -2, obtendo exatamente o vetor base como o vetor de direção. Logicamente.
Da mesma forma, a equação define uma linha reta paralela ao eixo, e dividindo as coordenadas do vetor por 5, obtemos o ort como o vetor de direção.
Agora vamos executar verifique o exemplo 3. O exemplo subiu, então lembro que nele fizemos a equação de uma reta usando um ponto e um vetor de direção
Em primeiro lugar, de acordo com a equação de uma linha reta, restauramos seu vetor diretor: 
- está tudo bem, temos o vetor original (em alguns casos, pode ser colinear ao vetor original, e isso geralmente é fácil de ver pela proporcionalidade das coordenadas correspondentes).
Em segundo lugar, as coordenadas do ponto devem satisfazer a equação . Substituímos na equação:
A igualdade correta foi obtida, com a qual estamos muito satisfeitos.
Conclusão: Trabalho concluído corretamente.
Exemplo 4
Escreva uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução e resposta no final da lição. É altamente desejável fazer uma verificação de acordo com o algoritmo que acabamos de considerar. Tente sempre (se possível) verificar um rascunho. É tolice cometer erros onde eles podem ser 100% evitados.
Caso uma das coordenadas do vetor de direção seja zero, é muito simples de fazer:
Exemplo 5
Decisão: A fórmula é inválida porque o denominador do lado direito é zero. Existe uma saída! Usando as propriedades da proporção, reescrevemos a fórmula na forma , e o resto rolou ao longo de um sulco profundo:
Responda:
Exame:
1) Restaure o vetor de direção da linha reta:
– o vetor resultante é colinear ao vetor de direção original.
2) Substitua as coordenadas do ponto na equação: 
A igualdade correta é obtida
Conclusão: trabalho concluído corretamente
Surge a pergunta: por que se preocupar com a fórmula se existe uma versão universal que funcionará de qualquer maneira? Existem duas razões. Primeiro, a fórmula fracionária muito melhor lembrar. E em segundo lugar, a desvantagem da fórmula universal é que risco marcadamente aumentado de confusão ao substituir as coordenadas.
Exemplo 6
Componha a equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção.
Este é um exemplo de faça você mesmo.
Vamos voltar aos dois pontos onipresentes:
Como escrever a equação de uma reta dados dois pontos?
Se dois pontos são conhecidos, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos pode ser compilada usando a fórmula:
Na verdade, este é um tipo de fórmula, e aqui está o porquê: se dois pontos são conhecidos, então o vetor será o vetor de direção desta linha. Na lição Vetores para bonecos consideramos o problema mais simples - como encontrar as coordenadas de um vetor de dois pontos. De acordo com este problema, as coordenadas do vetor de direção: 
Observação
: pontos podem ser "trocados" e usar a fórmula 
. Tal decisão seria igual.
Exemplo 7
Escreva a equação de uma reta a partir de dois pontos 
.
Decisão: Use a fórmula: 
Penteamos os denominadores:
E embaralhe o baralho: 
Agora é conveniente se livrar de números fracionários. Nesse caso, você precisa multiplicar ambas as partes por 6: 
Abra os colchetes e lembre-se da equação: 
Responda:
Exameé óbvio - as coordenadas dos pontos iniciais devem satisfazer a equação resultante:
1) Substitua as coordenadas do ponto: 
Verdadeira igualdade.
2) Substitua as coordenadas do ponto: 
Verdadeira igualdade.
Conclusão: a equação da reta está correta.
Se um pelo menos um de pontos não satisfaz a equação, procure um erro.
Vale ressaltar que a verificação gráfica neste caso é difícil, pois para construir uma linha e ver se os pontos pertencem a ela 
, não tão fácil.
Vou observar alguns pontos técnicos da solução. Talvez neste problema seja mais vantajoso usar a fórmula do espelho 
e, para os mesmos pontos 
faça uma equação: 
Há menos frações. Se quiser, você pode completar a solução até o final, o resultado deve ser a mesma equação.
O segundo ponto é olhar para a resposta final e ver se ela pode ser simplificada ainda mais? Por exemplo, se uma equação for obtida, é aconselhável reduzi-la por dois: - a equação definirá a mesma linha reta. No entanto, este já é um tema de conversa sobre arranjo mútuo de linhas retas.
Tendo recebido uma resposta 
no Exemplo 7, por precaução, verifiquei se TODOS os coeficientes da equação são divisíveis por 2, 3 ou 7. Embora, na maioria das vezes, essas reduções sejam feitas durante a solução.
Exemplo 8
Escreva a equação de uma reta que passa pelos pontos 
.
Este é um exemplo para uma solução independente, que apenas permitirá que você entenda e trabalhe melhor a técnica de cálculo.
Semelhante ao parágrafo anterior: se na fórmula 
um dos denominadores (coordenada do vetor de direção) desaparece, então nós o reescrevemos como . E, novamente, observe como ela começou a parecer estranha e confusa. Não vejo muito sentido em dar exemplos práticos, pois já resolvemos realmente esse problema (ver nºs 5, 6).
Vetor normal de linha reta (vetor normal)
O que é normal? Em termos simples, uma normal é uma perpendicular. Ou seja, o vetor normal de uma linha é perpendicular à linha dada. É óbvio que qualquer linha reta tem um número infinito deles (além de vetores direcionadores), e todos os vetores normais da linha reta serão colineares (codirecionais ou não - não importa).
Lidar com eles será ainda mais fácil do que com vetores de direção:
Se uma linha reta é dada por uma equação geral em um sistema de coordenadas retangulares, então o vetor é o vetor normal dessa linha reta.
Se as coordenadas do vetor de direção tiverem que ser cuidadosamente “retiradas” da equação, então as coordenadas do vetor normal podem ser simplesmente “removidas”.
O vetor normal é sempre ortogonal ao vetor de direção da linha. Vamos verificar a ortogonalidade desses vetores usando produto escalar:
Vou dar exemplos com as mesmas equações que para o vetor de direção: 
É possível escrever uma equação de uma reta, conhecendo um ponto e um vetor normal? Parece que é possível. Se o vetor normal for conhecido, a direção da linha mais reta também será determinada exclusivamente - esta é uma “estrutura rígida” com um ângulo de 90 graus.
Como escrever uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor normal?
Se algum ponto pertencente à linha e o vetor normal desta linha são conhecidos, então a equação desta linha é expressa pela fórmula:
Aqui tudo correu sem frações e outras surpresas. Esse é o nosso vetor normal. Adoro. E respeito =)
Exemplo 9
Componha a equação de uma reta dado um ponto e um vetor normal. Encontre o vetor de direção da linha reta.
Decisão: Use a fórmula: 
A equação geral da reta é obtida, vamos verificar:
1) "Remova" as coordenadas do vetor normal da equação: 
- sim, de fato, o vetor original é obtido da condição (ou o vetor deve ser colinear ao vetor original).
2) Verifique se o ponto satisfaz a equação: 
Verdadeira igualdade.
Depois de estarmos convencidos de que a equação está correta, completaremos a segunda parte mais fácil da tarefa. Retiramos o vetor de direção da linha reta: 
Responda: 
No desenho, a situação é a seguinte: 
Para fins de treinamento, uma tarefa semelhante para uma solução independente:
Exemplo 10
Componha a equação de uma reta dado um ponto e um vetor normal. Encontre o vetor de direção da linha reta.
A seção final da lição será dedicada a tipos menos comuns, mas também importantes, de equações de uma linha reta em um plano
Equação de uma linha reta em segmentos.
Equação de uma linha reta na forma paramétrica
A equação de uma reta em segmentos tem a forma , onde são constantes diferentes de zero. Alguns tipos de equações não podem ser representados desta forma, por exemplo, a proporcionalidade direta (já que o termo livre é zero e não há como obter um do lado direito).
Este é, figurativamente falando, um tipo "técnico" de equação. A tarefa usual é representar a equação geral de uma linha reta como uma equação de uma linha reta em segmentos. Por que é conveniente? A equação de uma linha reta em segmentos permite encontrar rapidamente os pontos de interseção de uma linha reta com os eixos coordenados, o que é muito importante em alguns problemas de matemática superior.
Encontre o ponto de interseção da linha com o eixo. Reiniciamos o “y”, e a equação assume a forma . O ponto desejado é obtido automaticamente: .
O mesmo com o eixo 
é o ponto onde a linha intercepta o eixo y.
Neste artigo, consideraremos a equação geral de uma linha reta em um plano. Vamos dar exemplos de construção da equação geral de uma reta se dois pontos dessa reta são conhecidos ou se um ponto e o vetor normal dessa reta são conhecidos. Vamos apresentar métodos para transformar uma equação na forma geral em formas canônicas e paramétricas.
Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias Oxi. Considere uma equação de primeiro grau ou uma equação linear:
| Machado+Por+C=0, | (1) |
Onde A, B, C são algumas constantes, e pelo menos um dos elementos UMA e B diferente de zero.
Mostraremos que uma equação linear no plano define uma linha reta. Vamos provar o seguinte teorema.
Teorema 1. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias em um plano, cada linha reta pode ser dada por uma equação linear. Por outro lado, cada equação linear (1) em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias no plano define uma linha reta.
Prova. Basta provar que a linha eué determinado por uma equação linear para qualquer sistema de coordenadas retangulares cartesianas, desde então será determinado por uma equação linear e para qualquer escolha de sistema de coordenadas retangulares cartesianas.
Seja uma linha reta no plano eu. Escolhemos um sistema de coordenadas para que o eixo Boi alinhado com a linha eu, e o eixo Oi era perpendicular a ela. Então a equação da reta eu terá a seguinte forma:
| y=0. | (2) |
Todos os pontos em uma linha eu irá satisfazer a equação linear (2), e todos os pontos fora desta linha reta não irão satisfazer a equação (2). A primeira parte do teorema está provada.
Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas e seja dada a equação linear (1), onde pelo menos um dos elementos UMA e B diferente de zero. Encontre o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (1). Uma vez que pelo menos um dos coeficientes UMA e Bé diferente de zero, então a equação (1) tem pelo menos uma solução M(x 0 ,y 0). (Por exemplo, quando UMA≠0, ponto M 0 (−C/A, 0) pertence ao lugar geométrico dos pontos dado). Substituindo essas coordenadas em (1) obtemos a identidade
| Machado 0 +De 0 +C=0. | (3) |
Vamos subtrair a identidade (3) de (1):
| UMA(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Obviamente, a equação (4) é equivalente à equação (1). Portanto, basta provar que (4) define alguma linha.
Como estamos considerando um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, segue da igualdade (4) que o vetor com componentes ( x−x 0 , a-a 0 ) é ortogonal ao vetor n com coordenadas ( A,B}.
Considere alguma linha eu passando pelo ponto M 0 (x 0 , y 0) e perpendicular ao vetor n(Figura 1). Deixe o ponto M(x,y) pertence à linha eu. Então o vetor com coordenadas x−x 0 , a-a 0 perpendicular n e a equação (4) é satisfeita (produto escalar de vetores n e igual a zero). Por outro lado, se o ponto M(x,y) não se encontra em uma linha eu, então o vetor com coordenadas x−x 0 , a-a 0 não é ortogonal ao vetor n e a equação (4) não é satisfeita. O teorema foi provado.
Prova. Como as linhas (5) e (6) definem a mesma linha, os vetores normais n 1 ={UMA 1 ,B 1) e n 2 ={UMA 2 ,B 2) são colineares. Uma vez que os vetores n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, então existe um número λ , que n 2 =n 1 λ . Daí temos: UMA 2 =UMA 1 λ , B 2 =B 1 λ . Vamos provar isso C 2 =C 1 λ . É óbvio que as linhas coincidentes têm um ponto comum M 0 (x 0 , y 0). Multiplicando a equação (5) por λ e subtraindo a equação (6) dela temos:
Como as duas primeiras igualdades das expressões (7) são satisfeitas, então C 1 λ −C 2=0. Aqueles. C 2 =C 1 λ . A observação foi comprovada.
Observe que a equação (4) define a equação de uma linha reta que passa pelo ponto M 0 (x 0 , y 0) e tendo um vetor normal n={A,B). Portanto, se o vetor normal da reta e o ponto pertencente a essa reta são conhecidos, então a equação geral da reta pode ser construída usando a equação (4).
Exemplo 1. Uma linha passa por um ponto M=(4,−1) e tem um vetor normal n=(3, 5). Construir a equação geral de uma linha reta.
Decisão. Nós temos: x 0 =4, y 0 =−1, UMA=3, B=5. Para construir a equação geral de uma reta, substituímos esses valores na equação (4):
Responda:
Vetor paralelo à linha eu e, portanto, é perpendicular ao vetor normal da linha eu. Vamos construir um vetor de linha normal eu, dado que o produto escalar de vetores n e é igual a zero. Podemos escrever, por exemplo, n={1,−3}.
Para construir a equação geral de uma linha reta, usamos a fórmula (4). Vamos substituir em (4) as coordenadas do ponto M 1 (também podemos tomar as coordenadas do ponto M 2) e o vetor normal n:
Substituindo as coordenadas do ponto M 1 e M 2 em (9) podemos ter certeza de que a reta dada pela equação (9) passa por esses pontos.
Responda:
Subtraia (10) de (1):
Obtivemos a equação canônica de uma linha reta. Vetor q={−B, UMA) é o vetor de direção da linha reta (12).
Veja transformação reversa.
Exemplo 3. Uma linha reta em um plano é representada pela seguinte equação geral:
Mova o segundo termo para a direita e divida ambos os lados da equação por 2 5.
A linha que passa pelo ponto K(x 0; y 0) e paralela à linha y = kx + a é encontrada pela fórmula:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
Onde k é a inclinação da linha reta.
Fórmula alternativa:
A reta que passa pelo ponto M 1 (x 1 ; y 1) e paralela à reta Ax+By+C=0 é representada pela equação
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Exemplo 1. Componha a equação de uma reta que passa pelo ponto M 0 (-2,1) e ao mesmo tempo:a) paralela à reta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular à linha 2x+3y -7 = 0.
Decisão . Vamos representar a equação da inclinação como y = kx + a . Para isso, vamos transferir todos os valores exceto y para o lado direito: 3y = -2x + 7 . Então dividimos o lado direito pelo coeficiente 3 . Obtemos: y = -2/3x + 7/3
Encontre a equação NK que passa pelo ponto K(-2;1) paralelo à reta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Substituindo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, obtemos:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
ou
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ou 3y + 2x +1 = 0
Exemplo #2. Escreva a equação de uma reta paralela à reta 2x + 5y = 0 e formando, junto com os eixos coordenados, um triângulo cuja área é 5.
Decisão
. Como as retas são paralelas, a equação da reta desejada é 2x + 5y + C = 0. A área de um triângulo retângulo, onde aeb são seus catetos. Encontre os pontos de interseção da linha desejada com os eixos coordenados: 
;
.
Então, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Substituindo na fórmula da área: 
. Obtemos duas soluções: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .
Exemplo #3. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 5) e a reta paralela 5x-7y-4=0 .
Decisão. Esta linha reta pode ser representada pela equação y = 5/7 x – 4/7 (aqui a = 5/7). A equação da linha desejada é y - 5 = 5/7 (x - (-2)), ou seja 7(y-5)=5(x+2) ou 5x-7y+45=0 .
Exemplo #4. Resolvendo o exemplo 3 (A=5, B=-7) usando a fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.
Exemplo número 5. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto (-2;5) e uma reta paralela 7x+10=0.
Decisão. Aqui A=7, B=0. A fórmula (2) dá 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. A fórmula (1) não é aplicável, pois esta equação não pode ser resolvida em relação a y (esta reta é paralela ao eixo y).
Equação geral de uma reta:
Casos particulares da equação geral de uma reta:
e se C= 0, a equação (2) terá a forma
Machado + De = 0,
e a reta definida por esta equação passa pela origem, pois as coordenadas da origem x = 0, y= 0 satisfaz esta equação.
b) Se na equação geral da reta (2) B= 0, então a equação assume a forma
Machado + Com= 0 ou .
A equação não contém uma variável y, e a linha reta definida por esta equação é paralela ao eixo Oi.
c) Se na equação geral da reta (2) UMA= 0, então esta equação assume a forma
De + Com= 0, ou ;
a equação não contém uma variável x, e a reta definida por ela é paralela ao eixo Boi.
Deve ser lembrado: se uma linha reta é paralela a qualquer eixo de coordenadas, sua equação não contém um termo contendo uma coordenada de mesmo nome com esse eixo.
d) Quando C= 0 e UMA= 0 equação (2) assume a forma De= 0, ou y = 0.
Esta é a equação do eixo Boi.
e) Quando C= 0 e B= 0 equação (2) pode ser escrita na forma Machado= 0 ou x = 0.
Esta é a equação do eixo Oi.
Arranjo mútuo de linhas retas em um plano. Ângulo entre linhas em um plano. Condição das linhas paralelas. A condição de perpendicularidade das linhas.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Os vetores S 1 e S 2 são chamados de guias para suas linhas.
O ângulo entre as linhas l 1 e l 2 é determinado pelo ângulo entre os vetores de direção.
Teorema 1: cos ângulo entre l 1 e l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d
Teorema 2: Para que 2 linhas sejam iguais, é necessário e suficiente:
Teorema 3: para que 2 linhas sejam perpendiculares é necessário e suficiente:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Equação geral do plano e seus casos especiais. Equação de um plano em segmentos.
Equação geral do plano:
Ax + Por + Cz + D = 0
Casos especiais:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - o plano passa pela origem
2. С=0 Ax+By+D = 0 – plano || oz
3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – plano || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – plano || BOI
5. A=0 e D=0 By+Cz = 0 - o avião passa por OX
6. B=0 e D=0 Ax+Cz = 0 - o avião passa por OY
7. C=0 e D=0 Ax+By = 0 - o avião passa por OZ
Arranjo mútuo de planos e linhas retas no espaço:
1. O ângulo entre as linhas no espaço é o ângulo entre seus vetores de direção.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. O ângulo entre os planos é determinado pelo ângulo entre seus vetores normais.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. O cosseno do ângulo entre uma reta e um plano pode ser encontrado pelo sen do ângulo entre o vetor direção da reta e o vetor normal do plano.
4. 2 linhas || no espaço quando seus || guias vetoriais
5. 2 aviões || quando || vetores normais
6. Os conceitos de perpendicularidade de linhas e planos são introduzidos de forma semelhante.
Pergunta nº 14
Vários tipos de equação de uma linha reta em um plano (a equação de uma linha reta em segmentos, com inclinação, etc.)
Equação de uma linha reta em segmentos:
Suponha que na equação geral de uma linha reta:
1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - a linha reta passa pela origem.
2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d
3. em \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d
4. v \u003d C \u003d 0 Machado \u003d 0 x \u003d 0
5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0
A equação de uma linha reta com uma inclinação:
Qualquer linha reta que não seja igual ao eixo y (B não = 0) pode ser escrita da seguinte maneira. Formato:
k = tgα α é o ângulo entre a linha reta e a linha orientada positivamente ОХ
b - ponto de intersecção da reta com o eixo OS
Doc-in:
Ax+By+C = 0
Wu \u003d -Ax-C |: B
Equação de uma linha reta em dois pontos:
Pergunta nº 16
O limite finito de uma função em um ponto e para x→∞
Limite final no ponto x 0:
O número A é chamado de limite da função y \u003d f (x) para x → x 0, se para qualquer E > 0 houver b > 0 tal que para x ≠ x 0, satisfazendo a desigualdade |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
O limite é indicado: = A
Limite final no ponto +∞:
O número A é chamado de limite da função y = f(x) para x → + ∞ , se para qualquer E > 0 existe C > 0 tal que para x > C a desigualdade |f(x) - A|< Е
O limite é indicado: = A
Limite final no ponto -∞:
O número A é chamado de limite da função y = f(x) para x→-∞, se para qualquer E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
