(pi/4) de três maneiras.

Primeiro.
Este método é mais frequentemente usado ao resolver equações trigonométricas na escola. Consiste em usar , que contém os valores de quatro funções trigonométricas dos argumentos mais comuns.

Essas tabelas existem em várias versões. Eles diferem em que os valores dos ângulos são apresentados em graus, em radianos, ou ambos em graus e radianos (o que é mais conveniente).
Na tabela encontramos o ângulo (neste caso pi/4) e a função desejada (precisamos da função cosseno) e na intersecção desses valores obtemos a raiz de 2/2.
Matematicamente se escreve assim:

Segundo.
Também uma maneira comum que sempre pode ser usada se não houver mesa. Consiste em usar (ou um círculo trigonométrico).


Em tal círculo trigonométrico, os valores do cosseno estão localizados no eixo horizontal - o eixo das abcissas e os argumentos - na curva do próprio círculo.
No nosso caso, o argumento do cosseno é pi / 4. Vamos determinar onde esse valor está localizado no círculo. Em seguida, abaixamos a perpendicular ao eixo x. O valor em que estará a extremidade desta perpendicular será o valor do cosseno dado. Portanto, o cosseno de pi/4 é a raiz quadrada de 2/2.

O terceiro.
Também é conveniente usar o gráfico da função correspondente - . É fácil lembrar como é.


Ao usar um gráfico, é necessário algum conhecimento para determinar o valor do cosseno pi / 4, que é . Nesse caso, você precisa entender que o valor da fração é maior que 0,5 e menor que 1.
É claro que existem várias outras maneiras. Por exemplo, calcular o valor do cosseno usando uma calculadora. Mas para isso você primeiro precisa converter o ângulo pi/4 para graus. As tabelas Bradis também podem ser úteis.

Medida em grau de um ângulo. A medida em radianos de um ângulo. Converta graus para radianos e vice-versa.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Na lição anterior, dominamos a contagem de ângulos em um círculo trigonométrico. Aprendeu a contar ângulos positivos e negativos. Percebi como desenhar um ângulo maior que 360 ​​graus. É hora de lidar com a medição de ângulos. Especialmente com o número "Pi", que se esforça para nos confundir em tarefas complicadas, sim...

Tarefas padrão em trigonometria com o número "Pi" são resolvidas muito bem. A memória visual ajuda. Mas qualquer desvio do modelo - derruba no local! Para não cair - Compreendo necessário. O que vamos fazer com sucesso agora. Em certo sentido - entendemos tudo!

Então, que os ângulos contam? No curso escolar de trigonometria, duas medidas são usadas: medida em grau de um ângulo e medida radiano de um ângulo. Vamos dar uma olhada nessas medidas. Sem isso, em trigonometria - em lugar nenhum.

Medida em grau de um ângulo.

Estamos de alguma forma acostumados a graus. A geometria, no mínimo, passou ... Sim, e na vida muitas vezes nos deparamos com a frase "girou 180 graus", por exemplo. Grau, enfim, uma coisa simples...

Sim? Me responda então o que é um grau? O que não funciona logo de cara? Alguma coisa...

Graus foram inventados na antiga Babilônia. Foi há muito tempo... 40 séculos atrás... E eles simplesmente inventaram isso. Eles pegaram e quebraram o círculo em 360 partes iguais. 1 grau é 1/360 de um círculo. E é isso. Pode ser dividido em 100 pedaços. Ou em 1000. Mas eles dividiram em 360. A propósito, por que exatamente em 360? Por que 360 ​​é melhor que 100? 100 parece ser de alguma forma mais uniforme... Tente responder a esta pergunta. Ou fraco contra a antiga Babilônia?

Em algum lugar ao mesmo tempo, no antigo Egito, eles foram atormentados por outra questão. Quantas vezes maior é a circunferência de um círculo do que o comprimento de seu diâmetro? E assim eles mediram, e assim... Tudo saiu um pouco mais que três. Mas de alguma forma ficou desgrenhado, desigual ... Mas eles, os egípcios, não têm culpa. Depois deles, eles sofreram por mais 35 séculos. Até que eles finalmente provaram que não importa o quão finamente cortar o círculo em pedaços iguais, de tais pedaços para fazer suave o comprimento do diâmetro é impossível ... Em princípio, é impossível. Bem, quantas vezes a circunferência é maior que o diâmetro, é claro. Sobre. 3.1415926... vezes.

Este é o número "Pi". Isso é desgrenhado, tão desgrenhado. Após o ponto decimal - um número infinito de dígitos sem qualquer ordem ... Esses números são chamados de irracionais. A propósito, isso significa que, de partes iguais de um círculo, o diâmetro suave não dobrar. Nunca.

Para uso prático, costuma-se lembrar apenas dois dígitos após o ponto decimal. Lembrar:

Como entendemos que a circunferência de um círculo é maior que o diâmetro por "Pi" vezes, faz sentido lembrar a fórmula para a circunferência de um círculo:

Onde eué a circunferência e dé o seu diâmetro.

Útil em geometria.

Para a educação geral, acrescentarei que o número "Pi" não está apenas na geometria ... Em várias seções da matemática, e especialmente na teoria das probabilidades, esse número aparece constantemente! Por si próprio. Além dos nossos desejos. Assim.

Mas voltando aos graus. Você descobriu por que na antiga Babilônia o círculo era dividido em 360 partes iguais? Mas não 100, por exemplo? Não? OK. Eu vou te dar uma versão. Você não pode perguntar aos antigos babilônios... Para construção, ou, digamos, astronomia, é conveniente dividir um círculo em partes iguais. Agora descubra quais números são divisíveis por completamente 100, e quais - 360? E em que versão desses divisores completamente- mais? Esta divisão é muito conveniente para as pessoas. Mas...

Como se viu muito depois da Antiga Babilônia, nem todo mundo gosta de diplomas. A matemática superior não gosta deles... A matemática superior é uma senhora séria, organizada de acordo com as leis da natureza. E esta senhora declara: "Hoje você quebrou o círculo em 360 partes, amanhã você vai quebrar em 100 partes, depois de amanhã em 245... E o que devo fazer? Não mesmo..." Eu tive que obedecer. Você não pode enganar a natureza...

Tive que introduzir uma medida do ângulo que não dependesse das noções humanas. Conheça - radiano!

A medida em radianos de um ângulo.

O que é um radiano? A definição de um radiano é baseada em um círculo de qualquer maneira. Um ângulo de 1 radiano é o ângulo que corta um arco de um círculo cujo comprimento é ( eu) é igual ao comprimento do raio ( R). Nós olhamos para as fotos.

Um ângulo tão pequeno, quase nada disso ... Movemos o cursor sobre a imagem (ou tocamos na imagem no tablet) e vemos cerca de um radiano. L=R

Sinta a diferença?

Um radiano é muito maior que um grau. Quantas vezes?

Vejamos a próxima imagem. No qual desenhei um semicírculo. O ângulo expandido é, obviamente, de 180 ° de tamanho.

E agora vou cortar este semicírculo em radianos! Passamos o mouse sobre a imagem e vemos que 3 radianos com cauda se encaixam em 180°.

Quem adivinha o que é esse rabo de cavalo!?

Sim! Esta cauda é 0,1415926.... Olá Pi, ainda não te esquecemos!

De fato, existem 3,1415926 ... radianos em 180 graus. Como você pode imaginar, escrever 3.1415926 o tempo todo... é inconveniente. Portanto, em vez desse número infinito, eles sempre escrevem simplesmente:

E aqui está o número na Internet

é inconveniente escrever ... Portanto, no texto, escrevo pelo nome - "Pi". Não se confunda...

Agora, é bastante significativo escrever uma igualdade aproximada:

Ou igualdade exata:

Determine quantos graus existem em um radiano. Como? Facilmente! Se existem 180 graus em 3,14 radianos, então 1 radiano é 3,14 vezes menor! Ou seja, dividimos a primeira equação (a fórmula também é uma equação!) por 3,14:

Esta relação é útil para lembrar.Há aproximadamente 60° em um radiano. Na trigonometria, muitas vezes você precisa descobrir, avaliar a situação. É aí que o conhecimento ajuda muito.

Mas a principal habilidade deste tópico é conversão de graus para radianos e vice-versa.

Se o ângulo for dado em radianos com o número "pi", tudo é muito simples. Sabemos que "pi" radianos = 180°. Então substituímos em vez de "Pi" radianos - 180 °. Obtemos o ângulo em graus. Reduzimos o que é reduzido, e a resposta está pronta. Por exemplo, precisamos descobrir quanto graus no canto "Pi"/2 radiano? Aqui escrevemos:

Ou, expressão mais exótica:

Fácil, certo?

A tradução reversa é um pouco mais complicada. Mas não muito. Se o ângulo for dado em graus, devemos descobrir o que é um grau em radianos e multiplicar esse número pelo número de graus. O que é 1° em radianos?

Observamos a fórmula e percebemos que se 180° = "Pi" radianos, então 1° é 180 vezes menor. Ou, em outras palavras, dividimos a equação (a fórmula também é uma equação!) por 180. Não há necessidade de representar "Pi" como 3,14, ele é sempre escrito com uma letra de qualquer maneira. Temos que um grau é igual a:

Isso é tudo. Multiplique o número de graus por este valor para obter o ângulo em radianos. Por exemplo:

Ou, da mesma forma:

Como você pode ver, em uma conversa tranquila com digressões líricas, descobriu-se que radianos são muito simples. Sim, e a tradução é sem problemas... E "Pi" é uma coisa completamente tolerável... Então de onde vem a confusão!?

Eu vou revelar o segredo. O fato é que em funções trigonométricas o ícone de graus é escrito. Sempre. Por exemplo, sin35°. Este é o seno 35 graus . E o ícone radianos ( alegre) não está escrito! Ele está implícito. Ou a preguiça dos matemáticos aproveitou, ou outra coisa... Mas eles decidiram não escrever. Se não houver ícones dentro do seno - cotangente, então o ângulo - em radianos ! Por exemplo, cos3 é o cosseno de três radianos .

Isso leva a mal-entendidos ... Uma pessoa vê "Pi" e acredita que é 180 °. Qualquer tempo e qualquer lugar. Aliás, isso funciona. Por enquanto, enquanto os exemplos são padrão. Mas Pi é um número! O número 3.14 não é graus! Isso é "Pi" radianos = 180°!

Mais uma vez: "Pi" é um número! 3.14. Irracional, mas um número. O mesmo que 5 ou 8. Você pode, por exemplo, dar passos "Pi". Três passos e um pouco mais. Ou compre "Pi" quilos de doces. Se um vendedor educado for pego...

"Pi" é um número! O que, eu te peguei com essa frase? Você já entendeu tudo? OK. Vamos checar. Você pode me dizer qual número é maior?

Ou o que é menos?

Isso é de uma série de perguntas um pouco fora do padrão que podem levar a um estupor ...

Se você também caiu em estupor, lembre-se do feitiço: "Pi" é um número! 3.14. No primeiro seno, é claramente indicado que o ângulo - em graus! Portanto, é impossível substituir "Pi" por 180 °! "Pi" graus é de cerca de 3,14 graus. Portanto, podemos escrever:

Não há símbolos no segundo seno. Então lá - radianos! Aqui, substituir "Pi" por 180 ° funcionará muito bem. Convertendo radianos para graus, como escrito acima, obtemos:

Resta comparar esses dois senos. O que. esqueci como? Com a ajuda de um círculo trigonométrico, é claro! Desenhamos um círculo, desenhamos ângulos aproximados de 60° e 1,05°. Nós olhamos para os senos desses ângulos. Em suma, tudo, como no final do tópico sobre o círculo trigonométrico, é pintado. Em um círculo (mesmo o torto!) será visto claramente que sin60° significativamente mais do que sin1,05°.

Faremos exatamente o mesmo com cossenos. No círculo, desenhamos ângulos de cerca de 4 graus e 4 radiano(lembre-se, o que é aproximadamente 1 radiano?). O círculo dirá tudo! Claro, cos4 é menor que cos4°.

Vamos praticar o manuseio de medidas de ângulo.

Converta estes ângulos de graus para radianos:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Você deve acabar com esses valores em radianos (em uma ordem diferente!)

0

A propósito, marquei especialmente as respostas em duas linhas. Bem, vamos descobrir quais são os cantos na primeira linha? Seja em graus ou radianos?

Sim! Estes são os eixos do sistema de coordenadas! Se você olhar para o círculo trigonométrico, então o lado móvel do ângulo nesses valores encaixa direitinho no eixo. Esses valores precisam ser conhecidos ironicamente. E notei o ângulo de 0 graus (0 radianos) não em vão. E então alguns não conseguem encontrar esse ângulo no círculo de forma alguma ... E, consequentemente, eles se confundem nas funções trigonométricas de zero ... Outra coisa é que a posição do lado móvel em zero graus coincide com a posição em 360 °, então as coincidências no círculo estão o tempo todo próximas.

Na segunda linha também existem ângulos especiais... São 30°, 45° e 60°. E o que há de tão especial neles? Nada especial. A única diferença entre esses cantos e todos os outros é que você deve saber sobre esses cantos. tudo. E onde eles estão localizados e quais são as funções trigonométricas desses ângulos. Digamos o valor sin100° você não precisa saber. MAS sin45°- por favor seja gentil! Este é um conhecimento obrigatório, sem o qual não há nada a fazer em trigonometria ... Mas mais sobre isso na próxima lição.

Até lá, vamos continuar praticando. Converta estes ângulos de radianos para graus:

Você deve obter resultados como este (em uma bagunça):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Ocorrido? Então podemos supor que conversão de graus para radianos e vice-versa- não é mais problema seu.) Mas traduzir ângulos é o primeiro passo para entender a trigonometria. No mesmo lugar, você ainda precisa trabalhar com senos-cossenos. Sim, e com tangentes, cotangentes também...

O segundo passo poderoso é a capacidade de determinar a posição de qualquer ângulo em um círculo trigonométrico. Tanto em graus quanto em radianos. Sobre essa mesma habilidade, vou te dar uma dica chata em toda a trigonometria, sim ...) Se você sabe tudo (ou pensa que sabe tudo) sobre o círculo trigonométrico e a contagem de ângulos no círculo trigonométrico, pode verificar Fora. Resolva estas tarefas simples:

1. Em que trimestre os cantos se encaixam:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Facilmente? Nós continuamos:

2. Em que quadra caem os cantos:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Também não tem problema? Bem, olhe...)

3. Você pode colocar cantos em quartos:

Eras capaz? Bem, você dá ..)

4. Em quais eixos o canto cairá:

e canto:

É fácil também? Hum...)

5. Em que trimestre os cantos se encaixam:

E funcionou!? Bem, então eu realmente não sei...)

6. Determine em qual quarto os cantos se encaixam:

1, 2, 3 e 20 radianos.

Darei a resposta apenas para a última pergunta (é um pouco complicada) da última tarefa. Um ângulo de 20 radianos cairá no primeiro trimestre.

Eu não vou dar o resto das respostas por ganância.) Só se você não decidiu alguma coisa dúvida como resultado, ou gasto na tarefa nº 4 mais de 10 segundos você está mal orientado em um círculo. Este será o seu problema em toda a trigonometria. É melhor se livrar dele (um problema, não trigonometria!) imediatamente. Isso pode ser feito no tópico: Trabalho prático com um círculo trigonométrico na seção 555.

Ele diz como resolver essas tarefas de forma simples e correta. Bem, essas tarefas são resolvidas, é claro. E a quarta tarefa foi resolvida em 10 segundos. Sim, então decidiu que qualquer um pode!

Se você tem certeza absoluta de suas respostas e não está interessado em maneiras simples e sem problemas de trabalhar com radianos, não pode visitar 555. Eu não insisto.)

Um bom entendimento é uma boa razão para seguir em frente!)

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Tabela de valores de funções trigonométricas

Observação. Esta tabela de valores de funções trigonométricas usa o sinal √ para denotar a raiz quadrada. Para denotar uma fração - o símbolo "/".

Veja também materiais úteis:

Por determinar o valor de uma função trigonométrica, encontre-o na interseção da linha que indica a função trigonométrica. Por exemplo, um seno de 30 graus - estamos procurando uma coluna com o título sin (seno) e encontramos a interseção desta coluna da tabela com a linha "30 graus", em sua interseção lemos o resultado - um segundo. Da mesma forma, encontramos cosseno 60 graus, seno 60 graus (mais uma vez, na interseção da coluna sen (seno) e a linha de 60 graus, encontramos o valor sen 60 = √3/2), etc. Da mesma forma, são encontrados os valores de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos "populares".

Seno de pi, cosseno de pi, tangente de pi e outros ângulos em radianos

A tabela de cossenos, senos e tangentes abaixo também é adequada para encontrar o valor de funções trigonométricas cujo argumento é dado em radianos. Para fazer isso, use a segunda coluna de valores de ângulo. Graças a isso, você pode converter o valor de ângulos populares de graus para radianos. Por exemplo, vamos encontrar o ângulo de 60 graus na primeira linha e ler seu valor em radianos abaixo dela. 60 graus é igual a π/3 radianos.

O número pi expressa exclusivamente a dependência da circunferência de um círculo na medida em graus do ângulo. Então pi radianos é igual a 180 graus.

Qualquer número expresso em termos de pi (radiano) pode ser facilmente convertido em graus substituindo o número pi (π) por 180.

Exemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
assim, o seno de pi é igual ao seno de 180 graus e é igual a zero.

2. cosseno pi.
cos π = cos 180 = -1
assim, o cosseno de pi é igual ao cosseno de 180 graus e é igual a menos um.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
assim, a tangente de pi é igual à tangente de 180 graus e é igual a zero.

Tabela de valores de seno, cosseno, tangente para ângulos 0 - 360 graus (valores frequentes)

ângulo α (graus)	ângulo α em radianos (via pi)	pecado (seio)	porque (cosseno)	tg (tangente)	ctg (co-tangente)	segundo (secante)	causa (cossecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Se na tabela de valores das funções trigonométricas, em vez do valor da função, for indicado um traço (tangente (tg) 90 graus, cotangente (ctg) 180 graus), então para um determinado valor da medida de grau de o ângulo, a função não tem um valor definido. Se não houver traço, a célula está vazia, então ainda não inserimos o valor desejado. Estamos interessados ​​em quais solicitações os usuários nos procuram e complementam a tabela com novos valores, apesar de os dados atuais sobre os valores de cossenos, senos e tangentes dos valores de ângulo mais comuns serem suficientes para resolver a maioria problemas.

Tabela de valores de funções trigonométricas sin, cos, tg para os ângulos mais populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 graus
(valores numéricos "conforme tabelas Bradis")

valor do ângulo α (graus)	valor do ângulo α em radianos	pecado (seno)	cos (cosseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
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