Seleção de tarefas para colaboração e produtividade. Tarefas para proporcionalidade direta e inversa

Todos os problemas desta seção são opcionais no sentido de que não é necessário que todos os alunos sejam capazes de resolvê-los. Use-os tanto quanto for interessante para seus alunos, na medida em que você possa organizar as atividades de aprendizagem de crianças em idade escolar que contribuam para seu desenvolvimento. As primeiras tarefas são boas para o trabalho frontal com a turma. Depois de trabalhar com eles, os alunos aprendem a distinguir melhor entre proporcionalidade direta e inversa, experimentam menos dificuldade com tarefas em uma regra tripla simples.

278 .* 3 galinhas puseram 3 ovos em 3 dias. Quantos ovos 12 galinhas botarão em 12 dias?

Os alunos ficarão muito surpresos quando souberem que a resposta "óbvia" "12 ovos" está errada. A solução para o primeiro problema desta seção é melhor analisada coletivamente, talvez após alguma deliberação interna. As perguntas de orientação são fornecidas na seção "Respostas e dicas". Anote brevemente a condição do problema:

dias de ovo de galinha

12 12x,

durante o diálogo, você precisa descobrir quantas vezes o número de galinhas aumentou (4 vezes); como o número de ovos mudou se o número de dias não mudou (aumentou em 4 vezes); quantas vezes o número de dias aumentou (4 vezes); como o número de ovos mudou (aumentou 4 vezes). Como resultado, o número de ovos é:

x = 3 4 4 = 48.

279 .* 100 mamas em 100 dias comem 100 kg grãos. Quantos quilos de grãos 10 mamas comerão em 10 dias?

280 .* 3 pintores podem pintar 60 janelas em 5 dias.

a) Quantos pintores devem ser designados para pintar janelas de modo que pintem 64 janelas em 2 dias?

b) Quantas janelas 5 pintores pintarão em 4 dias?

c) Quantos dias levarão 2 pintores para pintar 48 janelas?

281 .* a) 2 escavadeiras para 2 h cavar 2 m valas. Quantos escavadores para 5 h cavar 5 m valas?

b) 10 bombas para 10 min bombear 10 t agua. Quantos minutos 25 bombas bombearão 25 t agua?

282 .* Cursos de língua estrangeira alugam espaço em sala de aula na escola. No primeiro semestre, por alugar 4 salas de aula por 6 dias por semana, a escola recebeu 336 R. por mês. Qual será o aluguel mensal no segundo semestre do ano para 5 salas de aula, 5 dias por semana nas mesmas condições?

283 .* A partir de "Aritmética" L.F. Magnitsky. Alguém tinha 100 R. nos comerciantes por 1 ano e adquiriu apenas 7 deles R. E quando ele deu 1000 para os comerciantes R. por 5 anos, quanto eles vão ganhar?

284 .* Da "Aritmética Geral" de I. Newton. Se um escriba pode escrever 15 fólios em 8 dias, quantos escribas serão necessários para escrever 405 fólios em 9 dias?

285 .* Problema antigo. Um copista pode copiar 40 folhas em 4 dias, trabalhando em 9 h Em um dia. Em quantos dias ele copiará 60 folhas, trabalhando 12 h Em um dia?

286 .* Foi perguntado à anfitriã:

Suas galinhas estão se deitando bem?

Pense por si mesmo, - foi a resposta, - uma galinha e meia põe um ovo e meio em um dia e meio, e no total eu tenho 12 galinhas.

Quantos ovos as galinhas põem por dia?

287 .* a) Há 4 pessoas na primeira equipe de escavadores - são para 4 h cavado 4 m valas. Há 5 pessoas na segunda brigada de escavadores - são para 5 h cavado 5 m valas. Qual equipe funciona melhor?

b) A primeira hospedeira 3 galinhas pôs 6 ovos em 3 dias, e a segunda hospedeira 4 galinhas pôs 8 ovos em 4 dias. Qual anfitriã tem melhores galinhas?

288 .* Tarefas antigas. a) A manutenção de 45 pessoas foi gasta em 56 dias de 2040 R. Quanto deve ser gasto para sustentar 75 pessoas por 70 dias?

b) Para imprimir um livro com 32 linhas por página e 30 letras por linha, são necessárias 24 folhas de papel para cada exemplar. Quantas folhas de papel são necessárias para imprimir este livro no mesmo formato, mas com 36 linhas por página e 32 letras por linha?

Considere problemas mais complexos com quatro e até seis quantidades. Eles podem ser dados como lição de casa opcional para os alunos mais fortes que gostam de desvendar problemas de quebra-cabeça.

289 .* De "Aritmética" de A.P. Kiseleva.

a) 120 quilos de querosene foram usados para iluminar 18 cômodos em 48 dias, com 4 lâmpadas acesas em cada cômodo. Quantos dias durarão 125 libras de querosene se 20 quartos estiverem iluminados e 3 lâmpadas estiverem acesas em cada quarto?

b) Para 5 fogões a querosene idênticos que queimaram por 24 dias, 6 h diariamente, gastou 120 eu querosene. Quantos dias são suficientes 216 eu querosene, se 9 do mesmo querosene queimarão 8 h Em um dia?

290 .* Tarefa antiga. Um artel de escavadores de 26 pessoas, trabalhando com máquinas de 12 h por dia, pode cavar um canal a 96 m comprimento, 20 m largura e 12 dm profundidade em 40 dias. Por quanto tempo um canal pode ser cavado por 39 escavadores, trabalhando por 80 dias a 10 h por dia se a largura do canal deve ser 10 m, profundidade 18 dm?

Tarefa 290 S.I. Shokhor-Trotsky o considerou insatisfatório para as condições de vida e não adequado para a prática escolar, ele o considerou em seu "Método de Aritmética" (1935) "para si mesmo". Vamos aplicar a "fórmula final" aprimorada por nós. Em uma aula forte, esse método pode ser mostrado aos alunos, mas apenas com sua participação ativa na solução - caso contrário, o trabalho não terá sentido. Abaixo está uma breve condição do problema e um argumento é dado, em paralelo ao qual um registro gradualmente complementado, mostrado à direita, pode ser mantido no quadro.

Comprimento Pers. Dias Hora. Shir. CH.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

O comprimento do canal aumentará de

aumento do número de pessoas em 39 / 26 vezes, x = 96· 39/26

do aumento do número de dias em 80 / 40 vezes x = 96 39/26 80/40

e de reduzir a largura em 20 / 10 vezes; x = 96 39/26 80/40 .

O comprimento do canal diminuirá de

diminuição do número de horas 12 / 10 vezes e x = 96 39/26 80/40 20/10: 12/10

e de profundidade crescente em 18 / 12 vezes: x = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12.

Finalmente, temos: x = 320. Isso significa que 39 escavadores podem cavar um canal de 320 m de comprimento.

Todos os problemas desta seção são opcionais no sentido de que não é necessário que todos os alunos sejam capazes de resolvê-los. Use-os tanto quanto for interessante para seus alunos.

Três galinhas puseram 3 ovos em 3 dias. Quantos ovos 12 galinhas botarão em 12 dias?

Os alunos ficarão muito surpresos quando souberem que a resposta "óbvia" "12 ovos" está errada. É melhor analisar a solução do primeiro problema desta seção coletivamente, talvez depois de pensar em casa, escrevendo brevemente a condição do problema:

Ovos Dias de Frango

3 33
12 12 x

2. Três pintores podem pintar 60 janelas em 5 dias. Quantos pintores devem ser designados para pintar janelas de modo que pintem 64 janelas em 2 dias?

3. Os cursos de línguas estrangeiras alugam instalações para aulas na escola. No primeiro semestre do ano, a escola recebeu 336 rublos pelo aluguel de quatro salas de aula por 6 dias por semana. por mês. Qual será o aluguel mensal no segundo semestre do ano para 5 salas de aula, 5 dias por semana nas mesmas condições?

4. (De "Aritmética Geral" de I. Newton.) Se um escriba pode escrever 15 fólios em 8 dias, quantos escribas serão necessários para escrever 405 fólios em 9 dias?

5. (Um velho problema.) Para a manutenção de 45 pessoas, foram gastos 2.040 rublos em 56 dias. Quanto deve ser gasto para sustentar 75 pessoas por 70 dias?

6. (De "Aritmética" de A. Kiselyov.) Para iluminar 18 cômodos, foram gastos 120 quilos de querosene em 48 dias, e 4 lâmpadas queimaram em cada cômodo. Quantos dias durarão 125 libras de querosene se 20 quartos estiverem iluminados e 3 lâmpadas estiverem acesas em cada quarto?

7. (Um velho problema.) Um artel de 26 escavadores trabalhando com máquinas 12 horas por dia pode cavar um canal de 96 m de comprimento, 20 m de largura e 12 dm de profundidade em 40 dias. Por quanto tempo um canal pode ser escavado por 39 escavadores, trabalhando 80 dias por 10 horas por dia, se a largura do canal for de 10 m, a profundidade é de 18 dm?

A. V. Elisov

Bom para suportar, bom para ensinar,
Alcançar objetivos através da adversidade
Sirva a verdade com amor -
Eu chamo isso de sabedoria.
A. V. Elisov.

A aprovação em um exame de matemática em uma nova forma por egressos do ensino fundamental e por egressos do ensino médio na forma do Exame Unificado do Estado colocou uma série de questões para os professores: Como ensinar nas novas condições? Como organizar sua aula de forma que os alunos fiquem satisfeitos após o exame e não digam que “não resolvemos esses problemas”? As palavras de L. G. Peterson: “Hoje, valor não é onde o mundo é percebido segundo o esquema “eu sei – não sei, posso – não posso, possuo – não sei”, mas onde está a tese “Procuro e encontro, penso e aprendo, treino e faço”. A personalidade do aluno, sua atitude em relação ao mundo, a capacidade de comunicação e reflexão cultural, auto-estima adequada e autodesenvolvimento, foco na criação e bondade vêm à tona.

Qual deve ser a lição moderna? Em primeiro lugar, esta é uma lição interessante. Esta é a única maneira de manter alta motivação e coloração emocional da lição. Esta é uma estrutura pensada da aula, e a lógica de aprender um novo material, e a variedade de material didático, e a organização do trabalho dos alunos, e a busca constante de formas e métodos de ensino, e o equipamento técnico do lição.

Onde começar? No início de cada ano letivo, do 5º ao 9º ano, realizo testes de monitoramento de admissão para identificar o conhecimento residual dos alunos. De acordo com o conhecimento residual, sento as crianças de acordo com os três níveis de treinamento em determinadas fileiras. Ao mesmo tempo, os alunos sabem que, à medida que dominam o material, podem passar para o próximo grupo em termos de seu nível de preparação.

Para obter bons resultados em cada lição, realizo um cálculo oral obrigatório, ensino trabalhos independentes, testes. No 6º ano os alunos devem dominar bem o tópico com números positivos e negativos, no 7º ano devem estudar bem as fórmulas da multiplicação abreviada, no 8º ano devem resolver equações do segundo grau. Estes são temas globais que não podem ser executados. Nas séries 5-7 eu uso pastas de trabalho com tarefas de teste, bem como coleções de tarefas com testes. O conhecimento dos alunos com algoritmos para resolver problemas é realizado na aula - palestras. Os caras têm um caderno separado no qual anotam instruções e uma amostra da tarefa. O aprofundamento é realizado em aulas práticas com várias formas de trabalho (frontal, em grupo, individual). Para controlar rapidamente a assimilação do algoritmo, muitas vezes (todas as aulas ou todas as aulas) realizo pequenos trabalhos independentes, cujo objetivo não é dar notas, mas identificar os alunos que não entendem algo. Esses caras recebem assistência imediata de consultores ou explico novamente, ligando para o conselho. Ao organizar o trabalho em grupo, alguns alunos recebem tarefas destinadas a alcançar resultados de aprendizagem obrigatórios, e alguns têm uma tarefa de amostra à sua frente, enquanto outros têm apenas um algoritmo, os alunos mais fortes recebem tarefas em um nível avançado. Em tal aula, meu trabalho é focado em alunos mais fracos, em um grupo forte, como regra, eles sempre encontram a solução certa por esforços coletivos, aplicando independentemente conhecimentos e métodos de atividade em uma nova situação. Ao avaliar os alunos, não tenho pressa em colocar notas no diário, sempre dou a oportunidade de tirar uma nota mais alta e ter certeza de corrigir o "duas", para isso o aluno deve fazer o trabalho dos erros em seu própria ou com a ajuda de consultores (com minha ajuda) e, em seguida, resolva uma tarefa semelhante na lição.

O principal é que, com o tempo, os caras deixam de ter medo de "dois", fazem perguntas com mais ousadia, lidam com as tarefas do nível obrigatório. O ambiente da aula é amigável, calmo.

Os algoritmos de ensino possibilitam atingir um nível obrigatório de aprendizagem para os alunos mais fracos e não podem levar à padronização do pensamento e à supressão dos poderes criativos das crianças, pois o desenvolvimento de várias ações automatizadas (habilidades) é um componente necessário do processo criativo , sem o qual é simplesmente impossível.

A aprendizagem de algoritmos não se limita a memorizá-los, envolve também a descoberta, construção e formação independentes de algoritmos, e este é o processo criativo. Por fim, a algoritmização não abrange todo o processo educacional, mas apenas os de seus componentes, quando apropriado. O sistema de algoritmos - programas permite, até certo ponto, automatizar o processo educacional na fase de desenvolvimento de habilidades na resolução de problemas típicos e cria amplas oportunidades para o trabalho independente ativo dos alunos.

No final da 7ª série e na 8ª série, apresento aos alunos a coleção de tarefas para se preparar para a certificação final estadual na 9ª série por L. V. Kuznetsova, a editora Prosveshchenie 2007-2009. Esta coleção destina-se a preparar para a certificação final estadual em álgebra em uma nova forma, que consiste em três seções principais e dois apêndices.

No 9º ano, desenvolvo meu sistema de preparação dos alunos para o exame do curso do ensino fundamental.

No planejamento temático-calendário das aulas de álgebra para o 9º ano, apresento tópicos que precisam ser repetidos

A principal propriedade da proporção;

Problemas na elaboração e resolução de proporções;

Tarefas de interesse;

Fórmulas de multiplicação abreviadas;

Expressões e suas transformações

Equações e sistemas de equações;

Desigualdades e sistemas de desigualdades;

Progressões aritméticas e geométricas.
Realizo a repetição tanto na aula quanto após a aula por meio de consultas sistêmicas. Na aula, tendo criado um microclima na sala de aula, trabalho a algoritmização das ações; mantendo o interesse dos alunos pelo assunto, formo motivação para a aprendizagem. Os alunos aprendem bem o material mínimo exigido em matemática se usarem técnicas metodológicas:

Resolução de problemas de acordo com o modelo;

Consideração de diferentes abordagens para resolver o mesmo problema;

Compilação de diagramas de referência e uso de outros recursos didáticos visuais;

Seleção correta de tópicos e nível de tarefas, dando-lhes uma forma divertida;

O uso da competição incitado pelas seguintes questões do professor: “Como resolver mais rápido?”, Quem tem a solução mais curta?”. , O mais fácil?".

Realizo o controle temático usando testes, seguindo as regras de organização do trabalho com testes:

Os alunos fazem anotações em cartões de resposta;

O professor dá instruções de como preencher o cartão corretamente;

Os tempos de realização e as normas de avaliação devem ser previamente explicados ao aluno.
Nas aulas eu uso cartões-consultores, com a ajuda dos quais eles repetem o material estudado. Eles contêm todos os momentos condicionais do tópico que está sendo estudado, bem como o algoritmo para resolução de tarefas.
CARTÃO-CONSULTOR SOBRE O ASSUNTO

"SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES"
Sistema de equações lineares:
:

Formas de resolver

Modo gráfico

Método de substituição

Método de adição

1. Em cada equação, expresse y em termos de x

2. Plote a função de cada equação

3. Determine as coordenadas do ponto de interseção

1. De qualquer equação

expressar uma variável em função de outra.

2. Substitua as expressões obtidas e resolva.

3. Substitua o valor encontrado da variável e calcule o valor da segunda variável.

1. Equalize módulos de coeficientes de qualquer variável.

2. Adicione (subtraia) as equações recebidas do sistema.

3. Componha um novo sistema: uma equação é nova: a outra é uma das antigas.

4. Resolva uma nova equação e encontre o valor de uma variável.

5. Substitua o valor da variável encontrada na equação antiga e encontre o valor de outra variável.

Resposta: x \u003d _______; e =_______

Ao trabalhar com crianças de baixo desempenho, uso todo um arsenal de cartas, trabalhe de acordo com o modelo!” , que permitem elaborar o algoritmo de várias ações e operações matemáticas.
Atribuições de amostra.

1 expressão	2 expressão	O produto da diferença dessas expressões pela sua soma	A diferença dos quadrados dessas expressões
com 3 anos 0,5x ah	com 5v 2 anos 2 segundos	(c − x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v)	C 2 - x 2 9u 2 - 25v 2

O produto da diferença e a soma de duas expressões.

Os alunos devem concluir as tarefas com lacunas. Palavras-chave são omitidas, cuja memorização correta indica uma compreensão do material.
Passe tarefas.
raízes quadradas.

Use tabelas temáticas para diferentes seções do curso escolar. Cada tabela descreve brevemente a teoria de uma questão específica (definições, teoremas, corolários, fórmulas); desenhos, gráficos, bem como exemplos de resolução dos problemas mais fundamentais são dados.

As tabelas ajudam a sistematizar o conhecimento, repetir de forma rápida e completa os pontos principais de um determinado tópico.

Tabela. raízes quadradas.

Definição de uma raiz aritmética

= 4, porque 4  0, 4 2 = 16;

 7, porque 7 2  25;

 -5, porque −5  0;

não determinado.

2
 3;

0,8
 0,9.

Identidades

Propriedades básicas

Comparações relacionadas a raízes quadradas

Se a  b  0, então

.

Se um  1, então um  e  1.

Se 0  a  1, então a  e 0   1.

Remoção por baixo da raiz

, b  0

Introdução sob a raiz

;

Realizo aulas de generalização e sistematização do conhecimento. Sem aulas de generalização e sistematização do conhecimento, também chamadas de aulas de repetição generalizante, o processo de repetição de material didático pelos alunos não pode ser considerado completo. O principal objetivo dessas aulas é assimilar pelos alunos as conexões e relações entre conceitos, teorias, na formação de uma visão holística dos alunos sobre o material estudado, seu significado e aplicação em condições específicas. A sumarização e a repetição estão focadas em garantir que os alunos tenham sucesso nos exames de matemática. Darei um exemplo de repetição generalizada sobre o tema: "Resolvendo problemas de texto".

Questões:

Problemas de proporção simples.
Problemas de proporção difíceis.
Teste número 1.
Encontrar um número por sua porcentagem.
Encontrando uma porcentagem.
Teste número 2.
Problemas complexos com porcentagens. Exercício.
Tarefas para se mover ao longo do rio.
Tarefas de movimento.
Teste número 3.
Teste número 4.
Problemas de multiplicação e divisão de números naturais.
Tarefas da parte.
Tarefas de colaboração.
Resolução de problemas usando equações.
Teste número 5.
Várias tarefas. Dúvidas e tarefas.

Fontes usadas :

Álgebra: sáb. trabalhos de preparação para a certificação final na classe 9 / [L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich e outros]. M.: Educação, 2007.
Jornal educacional e metódico Matemática 2005, Nos. 18,19, 20, 21, 22, 23; 2007 Nos. 18, 19; 2008 Nº 11, 12.
Programas de instituições de ensino. Álgebra 7-9. Moscou. Educação. 2008 Compilado por: Burmistrova T. A.

Problemas de proporção simples

As primeiras tarefas envolvem a obtenção de uma resposta com base nas ideias experimentadas dos alunos; elas visam repetir os conceitos de proporcionalidade direta e inversa.

Ao resolver os primeiros problemas, é útil enfatizar que o preço de compra é determinado pela fórmula

custo = quantidade de preço,

e rastreie como, com um aumento (diminuição) em um valor em várias vezes, o segundo valor muda com o terceiro inalterado.
1°. Por vários lápis idênticos pagou 8 rublos. Quanto você deveria pagar pelos mesmos lápis se eles fossem comprados 2 vezes menos?
2°. Por vários lápis idênticos pagou 8 rublos. Quanto você deve pagar pelo mesmo número de lápis, cada um dos quais é 2 vezes mais caro?
3°. Há dinheiro para comprar 30 lápis. Quantos cadernos podem ser comprados com o mesmo dinheiro se o caderno for 2 vezes mais barato que um lápis?

Um ciclista percorreu 36 km em poucas horas. Qual é a distância percorrida no mesmo tempo por um pedestre cuja velocidade é 3 vezes menor que a velocidade de um ciclista?

Um ciclista percorreu uma certa distância em 3 horas, quantas horas um motociclista levará para percorrer essa distância, cuja velocidade é 5 vezes a velocidade de um ciclista?

Vamos passar a resolver problemas usando proporções. O primeiro deles contém valores inteiros de quantidades, cuja proporção também é um número inteiro.
6. Em 6 horas o trem percorreu 480 km. Que distância o trem percorreu nas primeiras 2 horas se sua velocidade foi constante?

7. Para fazer geléia de cereja para 6 kg de frutas vermelhas, tome 4 kg de açúcar granulado. Quantos quilogramas de açúcar granulado devem ser tomados para 12 kg de bagas?

100 g de solução contém 4 g de sal. Quantos gramas de sal estão contidos em 300 g de solução?

9. Um trem de passageiros percorreu a distância entre duas cidades a uma velocidade de 80 km/h em 3 horas. Quantas horas levaria para um trem de carga percorrer a mesma distância a uma velocidade de 40 km/h?
10. Cinco pintores conseguiram pintar uma cerca em 8 dias. Quantos dias levarão 10 pintores para pintar a mesma cerca?
No problema 10, como em muitos outros problemas, assume-se que todos os trabalhadores trabalham com a mesma produtividade e não interferem uns nos outros. É desejável estipular isso todas as vezes para que os alunos estejam mais atentos a tais condições.

Para que não tenham a impressão de que existem apenas dois tipos de vício - proporcional direto ou inversamente proporcional - é útil considerar tarefas provocativas nas quais a dependência é de natureza diferente.
11. 1) 12 crucians foram capturados em 2 horas. Quantas carpas serão capturadas em 3 horas?

Três galos acordaram 6 pessoas. Quantas pessoas serão acordadas por cinco galos?
Quando Vasya tiver lido 10 páginas do livro, ele terá mais 90 páginas para ler. Quantas páginas ele terá para ler quando tiver lido 30 páginas?

A relação entre o número de páginas lidas em um livro e o número de páginas restantes é muitas vezes tomada como uma relação inversa: quanto mais páginas lidas, menos sobra para ler. Preste atenção às crianças para que o aumento de um e a diminuição do outro valor não ocorram no mesmo número de vezes.

Considere um problema em que a dependência entre quantidades é muitas vezes tomada como uma proporcionalidade direta e a resposta “em 4 semanas” é considerada correta.
12*. A lagoa está coberta de lírios e, em uma semana, a área coberta de lírios dobra. Em quantas semanas o lago estará meio coberto de lírios se estiver completamente coberto de lírios em 8 semanas?
Como a área coberta de lírios dobra em uma semana, na semana anterior a lagoa estava completamente coberta de lírios, sua área foi coberta por eles pela metade. Ou seja, o lago estava meio coberto de lírios em 7 semanas?

8 m de tecido custam o mesmo que 63 m de chintz. Quantos metros de chita podem ser comprados em vez de 12 metros de tecido?

(Um velho problema.) Em um dia quente, 6 cortadores beberam um barril de kvass em 8 horas. Precisamos descobrir quantos cortadores beberão o mesmo barril de kvass em 3 horas?

(Da "Aritmética" de Al. Kiselyov?) 8 arshins de pano custam 30 rublos. Quanto valem 15 arshins deste tecido?

Um caminhão a 60 km/h percorreu uma distância entre cidades em 8 horas. Em quantas horas um carro percorrerá a mesma distância a uma velocidade de 80 km/h?

O motorista notou que a uma velocidade de 60 km/h ele dirigiu a ponte sobre o rio em 40 segundos. No caminho de volta, ele atravessou a ponte em 30 segundos. Determine a velocidade do carro no caminho de volta.
Duas engrenagens são engrenadas com dentes. O primeiro, que tem 60 dentes, faz 50 rotações por minuto. Quantas revoluções por minuto faz a segunda, que tem 40 dentes?

Os problemas considerados acima são suficientes para que os alunos aprendam a distinguir entre proporcionalidade direta e inversa, a fazer proporções] e resolvê-los.

(De "Aritmética" de A.P. Kiselev.) 8 trabalhadores terminam algum trabalho em 18 dias; em quantos dias 9 pessoas completarão o mesmo trabalho, trabalhando com tanto sucesso quanto o primeiro?

20*. (Um velho problema.) Dez trabalhadores devem terminar o trabalho em 8 dias. Quando eles trabalharam por 2 dias, acabou sendo necessário terminar o trabalho após 3 dias. Quantos trabalhadores mais você precisa contratar?

(De "Aritmética" de L.F. Magnitsky.) Um certo senhor chamou um carpinteiro e mandou construir o pátio. Ele lhe deu 20 trabalhadores e perguntou quantos dias eles construiriam seu estaleiro. O carpinteiro respondeu: em 30 dias. E o mestre precisa construir em 5 dias, pelo que perguntou ao carpinteiro: quantas pessoas você precisa ter para construir um quintal com elas em 5 dias; e eu sou um carpinteiro, perplexo, te pergunto, um aritmético: quantas pessoas ele precisa ter para construir aquele pátio em 5 dias?

22*. (Um velho problema.) Eles levaram 560 soldados para se alimentar por 7 meses e foram ordenados a estar em serviço por 10 meses; e eles queriam tirar as pessoas de si para que houvesse comida suficiente para 10 meses. A questão é, quantas pessoas devem ser reduzidas.

(Um velho problema.) Uma turma de carpinteiros, composta por 28 pessoas, pode construir uma casa em 54 dias, e outra - de 30 pessoas - em 45 dias. Qual artel funciona melhor?

Concluindo a conversa sobre problemas resolvidos com a ajuda de proporções, é necessário dar um exemplo de um problema que não pode ser resolvido “à maneira antiga”

24. Um trem de passageiros percorre uma certa distância em 3 horas e um trem rápido em 2 horas, uma vez que esses trens partiram de duas cidades em direção ao outro ao mesmo tempo. O trem de passageiros percorreu 120 km antes de se encontrar com a ambulância. Quantos quilômetros o trem rápido percorreu antes de encontrar o trem de passageiros?

Aqui você não pode dividir 120 km por 3 horas, pois alguma outra distância foi percorrida em 3 horas. Vamos escrever brevemente a condição do problema.

Distância de tempo

Expresso 2h x km

Passageiro SP 120 km

Pela primeira vez, os trens percorreram o mesmo trajeto, enquanto a velocidade é inversamente proporcional ao tempo, ou seja, a velocidade do trem rápido é o dobro da velocidade do trem de passageiros.

E na segunda vez, o tempo de deslocamento foi constante, enquanto a distância é diretamente proporcional à velocidade, ou seja, a distância percorrida pelo trem rápido é o dobro da distância percorrida pelo trem de passageiros.

Vamos fazer uma proporção
, resolvendo que obtemos x = 180. O trem rápido percorreu 180 km antes de encontrar o trem de passageiros.

Tarefas de proporção difícil

A decisão do primeirobreve condição da tarefa:

Ovos Dias de Frango

3 33
12 12 x

5. (Um velho problema.)

7. (Um velho problema.)
Teste 1

Opção 1

As duas bibliotecas tinham o mesmo número de livros. Um ano depois, o número de livros na primeira biblioteca aumentou 50% e na segunda - 2 vezes. Qual biblioteca tem mais livros?

MAS. Na primeira biblioteca

B. Na segunda biblioteca

NO. Há igual número de livros

Ao comprar uma máquina de lavar no valor de 6500 r. o comprador apresentou um anúncio recortado do jornal, dando direito a um desconto de 5%. Quanto ele vai pagar pelo carro?

MAS. 325 R. B. 3250 R. DENTRO. 6175 R. G. 6495 R.

180 pessoas podem ser admitidas no primeiro curso do instituto. O número de candidaturas submetidas foi de 120% do número de vagas do curso. Quantas candidaturas foram submetidas?

A. 36 B. 150 C. 216 D. 300

O nível da água no rio estava em torno de 2,4 m. Nas primeiras horas da enchente, aumentou 5%. Que nível a água do rio atingiu?

A. 0,12 m B. 2,52 m C. 3,6 m D. 7,4

opção 2

As duas bibliotecas tinham o mesmo número de livros. Um ano depois, o número de livros na primeira biblioteca aumentou 50% e na segunda - 1,5 vezes. Qual biblioteca tem mais livros?

MAS. Na primeira biblioteca

B. Na segunda biblioteca

NO. Há igual número de livros

G. Não há dados suficientes para responder

A conta de serviço público é de 800 rublos. Quanto você terá que pagar pelos serviços públicos após o aumento de 6% no preço?

R. 48 p. B. 480 R. B. 806 p. G. 848 pág.

Em dezembro, cada funcionário da empresa recebeu um bônus no valor de 130 do seu salário mensal. Que bônus foi recebido por um funcionário cujo salário é de 5500 rublos?

A. 71500 R. B. 7150 R. B. 5630 R. G. 1650 p.

A empresa colocou 5 milhões de rublos no banco. a 8% ao ano. Quanto estará na conta da empresa em um ano?

A. 13 milhões de rublos. B. 5,4 milhões de rublos.

B. 9 milhões de rublos D. 0,4 milhão de rublos
Encontrar um número por sua porcentagem

Lâmpadas foram trazidas para a loja de artigos elétricos. Entre eles estavam 16 lâmpadas quebradas, que representavam 2% de seu número. Quantas lâmpadas foram trazidas
pontuação?
Encontre um número cujo 110% seja igual a 33.

60% da turma foi ao cinema e as restantes 12 pessoas foram à exposição. Quantos estudantes estão na aula?

A análise das condições de problemas para porcentagens é auxiliada pordesenhos esquemáticos, "instigando" em outroscasos, a sequência de passos quedecisão. Por exemplo, ao resolver o problema 50, primeiroé natural conhecer o número de percentagens atribuíveis apara 12 pessoas.
4. O preço das mercadorias aumentou 30% e agora é de 91 rublos. Quanto era o produto antes do aumento de preço?
5. A fábrica planejava produzir 10.000 carros. O plano foi superado em 2%. Quantos carros a fábrica produziu além do planejado? Quantos carros você deixou sair da água?
O problema 5 é melhor resolvido de duas maneiras. Em primeiro lugar, respondendo às questões colocadas:

10.000 0,02 = 200 (máquina);
10.000 + 200 = 10.200 (máquina),

depois fazendo mais perguntas:

-Em que porcentagem a planta cumpriu o plano?

- Em 100 + 2 = 102 (%).

-Quantos carros representam 102%?

10.000-1,02 = 10.200 (máquina)

A grama durante a secagem perde 80% de sua massa. Quantas toneladas de feno serão obtidas a partir de 4 toneladas de grama fresca? Quantas toneladas de grama devem ser cortadas para secar 4 toneladas de feno?

100 - 80 \u003d 20 (%) - a massa de grama é a massa de feno;
4 0,2 \u003d 0,8 (t) - o feno será obtido a partir de 4 toneladas de grama;
4: 0,2 \u003d 20 (t) - a grama deve ser cortada.

O preço do álbum foi reduzido primeiro em 15%, depois em outros 15 rublos. O novo preço do álbum após duas reduções de 19 rublos. Determine seu preço original.

15 + 19 = 34 (p.) - o custo do álbum até o segundo
redução de preço;

100 - 15 \u003d 85 (%) - cai em 34 rublos;

3)
= 40 (p.) - o álbum valia originalmente.

Junte três números. O primeiro foi de 25% do valor e o segundo - 40%. Encontre o terceiro número se for 45 a menos que o segundo.

100 - 25 - 40 = 35 (%) - valores contabilizados
no terceiro número;

40 - 35 \u003d 5 (%) - o valor cai em 45;

3)
= 315 é o terceiro número.

30% da turma e mais 5 pessoas foram ao cinema, e os 3 restantes foram à aula e mais 8 pessoas fizeram uma excursão. Quantas pessoas estão na classe?

Um terço dos trabalhadores da empresa teve férias no verão, 35% do restante dos trabalhadores teve férias no outono e outras 2.314 pessoas tiveram férias no inverno e na primavera. Quantos trabalhadores estão na empresa?

Ao vender mercadorias por 693 p. recebeu 10% de lucro. Determine o custo do item.

Encontrando uma porcentagem

Ao resolver os problemas desta seção, os alunos devem dominar uma ideia simples: encontrar a porcentagem de dois números, ou seja, quantos por cento o primeiro número é do segundo, você pode expressar a proporção do primeiro número para o segundo como uma porcentagem.

Os primeiros problemas desse tipo devem ser simples, ou seja, a razão dos números deve ser expressa como uma fração decimal finita.
Para encontrar a porcentagem de dois números, você pode dividir o primeiro número pelo segundo e multiplicar o resultado por 100.

A partir de 16 kg de peras frescas, obtiveram-se 4 kg de peras secas. Que fração da massa de peras frescas deixa a massa de peras secas? Expresse esta parte como uma porcentagem. Que porcentagem da massa é perdida durante a secagem?

Que porcentagem de 50 é 40? Que porcentagem do número 40 é o número 50?

Masha leu 120 páginas e ainda tem 130 páginas do livro para ler. Que porcentagem de todas as páginas ela leu? Que porcentagem de todas as páginas ela tem para ler?

O mês teve 12 dias ensolarados e 18 nublados. Que porcentagem do mês são dias ensolarados? dias nublados?

5. Quantos por cento são 50 mais do que 40? 40 a menos de 50?

50 de 40 é , ou
% = 125% ;

50 mais de 40 por 125 - 100 = 25 (%);

40 de 50 é , ou
% = 80% ;

40 é menor que 50 por 100 - 80 = 20 (%).
6. O preço das mercadorias diminuiu de 40 rublos. até 30 r. Quanto o preço caiu? Em que porcentagem o preço caiu?
No problema 6, os alunos acham difícil determinar qual número tomar como 100%. Você precisa chamar a atenção deles para o número com o qual eles comparam outro número. A reformulação do problema ajuda nisso: “Quantos por cento de 30 r. menos de 40 rublos? Compare com a soma de 40 rublos, o que significa 40 rublos. é 100%.

Teste 2

Opção 1

O número de acidentes de trânsito no período de verão foi de 0,7 do seu número no período de inverno. Em que porcentagem o número de acidentes de trânsito diminuiu no verão em comparação com o inverno?

A. 70% B. 30% C. 7% D. 3%

A. B. C. 0,08 D. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
opção 2

Após a remarcação da TV, seu novo preço era 0,8 do antigo. Que porcentagem do preço antigo é o novo?

A. 0,8% B. 8% C. 20% D. 80%

Combine as frações que expressam as frações de um determinado valor e as porcentagens correspondentes a elas.

A. B. C. 0,4 D. 0,04
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%

Tarefas de proporção difícil

Todos os problemas desta seção são opcionais no sentido de que não é necessário que todos os alunos sejam capazes de resolvê-los. Use-os tanto quanto for interessante para seus alunos.

Três galinhas puseram 3 ovos em 3 dias. Quantos ovos 12 galinhas botarão em 12 dias?

Os alunos ficarão muito surpresos quando souberem que a resposta "óbvia" "12 ovos" está errada. A decisão do primeirodachas desta seção são melhor desmontadas coletivamente,talvez, depois de deliberar em casa, anotarbreve condição da tarefa:

Ovos Dias de Frango

3 33
12 12 x

Durante o diálogo, você precisa descobrir quantas vezes o número de galinhas aumentou (4 vezes); como o número de ovos mudou se o número de dias não mudou (aumentou em 4 vezes); quantas vezes o número de dias aumentou (4 vezes); como o número de ovos mudou (aumentou 4 vezes). O número de ovos é: x = 3 4 4 = 48.
2. Três pintores podem pintar 60 janelas em 5 dias. Quantos pintores devem ser designados para pintar janelas de modo que pintem 64 janelas em 2 dias?

4. (De "Aritmética Geral" de I. Newton.) Se um escriba pode escrever 15 fólios em 8 dias, quantos escribas serão necessários para escrever 405 fólios em 9 dias?

5. (Um velho problema.) Para a manutenção de 45 pessoas, foram gastos 2.040 rublos em 56 dias. Quanto deve ser gasto para sustentar 75 pessoas por 70 dias?
Considere problemas mais complexos com quatro e até seis quantidades. Eles podem ser dados como lição de casa opcional para os alunos mais fortes que gostam de desvendar problemas de quebra-cabeça.
6. (De "Aritmética" de A. Kiselyov.) Para iluminar 18 cômodos, foram gastos 120 quilos de querosene em 48 dias, e 4 lâmpadas queimaram em cada cômodo. Quantos dias durarão 125 libras de querosene se 20 quartos estiverem iluminados e 3 lâmpadas estiverem acesas em cada quarto?

As velocidades a jusante e a montante são a soma e a diferença da própria velocidade e a velocidade da corrente. Para encontrá-los, você precisa aplicar o método anteriormente dominado de encontrar duas quantidades por sua soma e diferença: a diferença nas velocidades a jusante e a montante é igual ao dobro da velocidade atual.
1. A caminho do ponto MAS para parágrafo NO o navio passou 1 hora e 40 minutos e no caminho de volta - 2 horas. Em que direção o rio flui?

A velocidade do barco em águas paradas é de 18 km/h. A velocidade do rio é de 2 km/h. Com que velocidade o barco descerá o rio? Contra a corrente?
A velocidade do barco em águas paradas (velocidade própria) é 12 km/h, e a velocidade do rio é 3 km/h. Determine: a velocidade do barco com o fluxo e contra o fluxo do rio; o trajeto do barco ao longo do rio em 3 horas; o trajeto do barco contra a corrente do rio em 5 horas.
A própria velocidade do navio é de 27 km/h, a velocidade do rio é de 3 km/h. Quanto tempo levará para o navio viajar rio abaixo entre dois berços se a distância entre eles for de 120 km?
Um barco com velocidade própria de 15 km/h navegou 2 horas a jusante e 3 horas contra a corrente. Que distância ele nadou o tempo todo, se a velocidade do rio é 2 km/h?
A distância entre os dois berços é de 24 km. Quanto tempo o motor

um barco indo de um píer a outro e voltando, se sua própria velocidade for 10 km/h e a velocidade da correnteza for 2 km/h?
A tabela abaixo (com outros dados numéricos) é conveniente para uso independente.

Determine as velocidades e preencha a tabela:

	própria velocidade	Velocidade do rio	Velocidade por Rio abaixo fluxo do rio	Velocidade contra a corrente
1	12 km/h	4 km/h
2	25 km/h		28 km/h
3	24 km/h			20 km/h
4		5 km/h	17 km/h
5		3 km/h		16 km/h
6			48 km/h	42 km/h

A lancha nadou 48 km rio abaixo em 3 horas e contra a corrente em 4 horas Encontre a velocidade da corrente.
A velocidade do rio é de 3 km/h. Quantos quilômetros por hora a velocidade do barco a jusante é maior do que a velocidade a montante?

Tarefas de movimento

5 taxa de remoção.)

velocidade de fechamento.)

(Um velho problema.)
(Um velho problema.)

dentro o trajeto do primeiro trem;

8. Distância entre cidades MAS e NO equivale a 720 km. A partir de MAS dentro NO

10. 1) Do parágrafo MAS para parágrafo NO A e B igual a 30 km?

Do ponto A ao ponto NO,

é essencialmente sobre o movimento um para o outro com

30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).

Tarefas de movimento

1. Dois pedestres deixaram o mesmo ponto em direções opostas ao mesmo tempo. A velocidade do primeiro é de 4 km/h, a velocidade do segundo 5 km/h Qual a distância entre eles após 3 horas? A quantos quilômetros por hora os pedestres estão se afastando uns dos outros? (Esse valor é chamado taxa de remoção.)

2. De duas aldeias, cuja distância é de 36 km, dois pedestres se aproximaram ao mesmo tempo. Suas velocidades são 4 km/h e 5 km/h. Quantos quilômetros por hora os pedestres se aproximam? (Esse valor é chamado velocidade de fechamento.)
Qual a distância entre eles após 3 horas?

Dois ciclistas partiram ao mesmo tempo em direção um ao outro de dois pontos, cuja distância entre eles é de 36 km. A velocidade do primeiro é de 10 km/h, o segundo é de 8 km/h. Em quantas horas eles se encontrarão?
1) A distância entre as duas cidades é de 900 km. Dois trens partiram dessas cidades um em direção ao outro com velocidades de 60 km/h e 80 km/h. Qual a distância entre os trens 1 hora antes da reunião? Existe uma condição extra na tarefa?

2) A distância da vila à cidade é de 45 km. Um pedestre saiu da vila para a cidade a uma velocidade de 5 km/h. Uma hora depois, um ciclista veio em sua direção da cidade para a vila a uma velocidade de 15 km/h. Qual deles estará mais próximo da aldeia no momento do encontro?

3) Dois ciclistas saíram ao mesmo tempo se encontrando de duas aldeias, cuja distância era de 54 km. A velocidade do primeiro é de 12 km/h, o segundo é de 15 km/h. Em quantas horas eles estarão a 27 km de distância um do outro?

Um ciclista e um motociclista saíram do mesmo lugar ao mesmo tempo na mesma direção. A velocidade de um motociclista é 40 km/h e a de um ciclista é 12 km/h. Qual é a velocidade de sua remoção um do outro? Em quantas horas a distância entre eles será de 56 km?
(Um velho problema.) Um certo jovem foi de Moscou para Vologda. Ele andava 40 milhas por dia. Um dia depois, outro jovem foi enviado atrás dele, percorrendo 70 quilômetros por dia. Em quantos dias o segundo ultrapassará o primeiro?
(Um velho problema.) Dois trens partiram de Moscou para Tver ao mesmo tempo. O primeiro passou às 39 verstas e chegou a Tver duas horas antes.
a segunda, que passou a uma hora de 26 versts. Quantos quilômetros de Moscou a Tver?

26 2 \u003d 52 (versts) - quanto o trem ficou atrás do primeiro;
39 - 26 \u003d 13 (versts) - quanto o segundo trem ficou atrás do primeiro trem em 1 hora;
52: 13 \u003d 4 (h) - tanto tempo foi dentro o trajeto do primeiro trem;
39 4 \u003d 156 (versts) - a distância de Moscou a Tver.

8. Distância entre cidades MAS e NO equivale a 720 km. A partir de MAS dentro NO Um trem rápido parte a uma velocidade de 80 km/h. Após 2 horas, um trem de passageiros partiu de B para A em sua direção a uma velocidade de 60 km/h. Quantas horas após a partida do trem expresso eles se encontrarão?

9. Dois trens estão se movendo um em direção ao outro - um a 70 km/h, o outro a 80 km/h. Um passageiro sentado no segundo trem percebeu que o primeiro trem passou por ele em 12 segundos. Qual é o comprimento do primeiro trem?

10. 1) Do parágrafo MAS para parágrafo NO Um pedestre parte com velocidade de 5 km/h. Ao mesmo tempo, um ciclista partiu de A para B a uma velocidade de 10 km/h. O ciclista dirigiu até B, deu meia-volta e seguiu na mesma velocidade em direção ao pedestre. Em quantas horas após o início do movimento eles se encontrarão se a distância entre A e B igual a 30 km?

Do ponto A ao ponto NO, a distância entre os quais é de 17 km, um ciclista partiu a uma velocidade de 12 km / h. Ao mesmo tempo, um pedestre sai de A para B a uma velocidade de 5 km/h. O ciclista dirigiu até B, virou e voltou na mesma velocidade.
Quantas horas após o início do movimento eles se encontrarão?
A distância entre os dois pontos é de 12 km. Dois ciclistas partiram ao mesmo tempo um em direção ao outro com velocidades de 10 km/h e 8 km/h. Cada um deles chegou a um ponto diferente, virou e voltou na mesma velocidade. Em quantas horas após o início do movimento eles se encontrarão pela segunda vez?

Vamos apresentar uma solução "longa" do Problema 10 (1) sem explicação.

1)30:10 = 3(h); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);

5-3 = 15 (km); 5) 15: 15 = 1 (h);
30 - 15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (h).

Pode ser simplificado observando que o problema é a falaé essencialmente sobre o movimento um para o outro como dobro da distância. A mesma resposta é obtida sereformular a condição do problema da seguinte formazom: “A distância entre os pontos A e B é de 60 km.Um pedestre deixou o ponto A para o ponto B a uma velocidade de 5 km/h. Ao mesmo tempo, um ciclista partiu de B para A a uma velocidade de 10 km/h. Depois de quantas horasEles se encontrarão após o início do movimento?

30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).

Este é um exemplo de reformulação bem-sucedida do problema, levando a uma simplificação de sua solução.

Teste #4
1. Encontre o tempo que um ciclista leva para ir do ponto A ao ponto B

(ver diagrama na figura 1).
υ=12 km/h

A| _________________________________________ NO

s = 6 km
Arroz. 1.
MAS. 72 horas B. 0,5 h NO. 2 horas

G. 5 horas D. ________________

De dois pontos, cuja distância é de 10 km, dois turistas partiram ao mesmo tempo na mesma direção. A velocidade do primeiro turista é de 4 km/h, e a velocidade do que o segue é de 6 km/h. Quanto tempo levará para o segundo turista ultrapassar o primeiro?

MAS. Após 1 hora B. Após 2,5 horas NO. Em 1

G. Após 5 horas D. ________________________

De uma estação a outra ao longo do rio, o barco navegou por 3 horas e passou 4 horas na volta, a velocidade do rio é de 1 km/h. Escreva uma equação para encontrar a velocidade do próprio barco usando x km/h.

Responda: _____________________

Lições objetivas:

resolução de problemas mais complexos para quantidades proporcionais (“regra tripla complicada”);
o desenvolvimento do pensamento não apenas lógico, mas também figurativo, a imaginação das crianças e sua capacidade de raciocinar, fazer perguntas e respondê-las, ou seja, a fala dos estagiários;
expandir horizontes na resolução de antigos problemas práticos (ou plausíveis);
formação de ideias sobre a riqueza do patrimônio cultural e histórico da humanidade.

Durante as aulas

I. Momento organizacional:

Hoje estamos começando a resolver problemas mais complexos, mas não menos interessantes para quantidades proporcionais.

O estudo das proporções e dessas dependências é de grande importância para o estudo posterior da matemática.

Mais tarde, com a ajuda de proporções, você resolverá problemas de química, física e geometria.

Com o que eles começaram?

Familiarize-se com os conceitos de "proporção", "proporção"
(proporção - ………., proporção - ……… (esperam-se respostas dos alunos)
Aprendemos a resolver proporções e descobrimos que a principal maneira de resolvê-las deve ser baseada em ……. (propriedade básica das proporções)
Aprendemos a distinguir duas quantidades nas condições dos problemas, a estabelecer tipo de vício entre eles. (relação direta ou inversa)
Aprendemos a fazer um breve registro da condição do problema e traçar uma proporção (a diminuição do valor é mostrada com uma seta para baixo e o aumento com uma seta para cima)
Mas não vamos esquecer que
analisou o método de resolução de problemas sem proporções (a aplicação desta técnica deve ser precedida por perguntas feitas na resolução de problemas: quantas vezes o valor aumentou ou diminuiu?)

Vamos avançar do simples para o complexo.

II. trabalho oral.

1. A partir desses valores, selecione aqueles que são proporcionais diretos ou inversamente proporcionais:

a) o comprimento do lado do quadrado e o perímetro.
b) o comprimento do lado do quadrado e sua área.
c) o comprimento e a largura de um retângulo para uma determinada área.
d) a velocidade do carro e o caminho que ele percorrerá em um determinado tempo.
e) a velocidade de deslocamento de um turista do acampamento até a estação e o tempo que ele leva para chegar à estação.
e) a idade da árvore e sua altura.
g) o volume da esfera de aço e sua massa.
h) o número de páginas lidas no livro e o número de páginas que faltam ler.

(A relação entre o número de páginas lidas em um livro e o número de páginas restantes é muitas vezes tomada como uma proporcionalidade: quanto mais páginas lidas, menos sobra para ler. Observe que o aumento de uma e a diminuição da outra não ocorrem no mesmo número de vezes.).

2. Vamos analisar o problema:

Quando Vasya tiver lido 10 páginas do livro, ele terá mais 90 páginas para ler. Quantas páginas ele terá para ler quando tiver lido 30 páginas.

3. Considere as tarefas (“natureza provocativa”):

a) 12 crucians foram capturados em 2 horas. Quantas carpas serão capturadas em 3 horas.

b) Três galos acordaram 6 pessoas. Quantas pessoas vão acordar 5 galos.

c) * A lagoa está coberta de lírios, e em uma semana a área coberta de lírios dobra. Em quantas semanas o lago estará meio coberto de lírios se estiver completamente coberto de lírios em 8 semanas?

(Solução: como a área coberta de lírios dobra em uma semana, então uma semana antes da lagoa estar completamente coberta de lírios, sua área estava metade coberta com eles, ou seja, a lagoa estava metade coberta de lírios em 7 semanas)

III. Solução de problemas:

(a condição das tarefas é fornecida no quadro)

Uma breve condição e duas soluções são propostas para serem feitas muito rapidamente pelos alunos da lousa.

1 maneira:

Método 2: a quantidade de pano aumentou 15/8 vezes, o que significa que eles pagarão 15/8 vezes mais dinheiro

Х=30*15/8=56r25k

2. Um certo senhor chamou um carpinteiro e mandou construir um quintal. Ele lhe deu 20 trabalhadores e perguntou quantos dias eles construiriam um estaleiro para ele. O carpinteiro respondeu: em 30 dias. E o mestre precisa construir em 5 dias, e para isso ele perguntou ao carpinteiro: quantas pessoas você precisa ter para construir um quintal com elas em 5 dias; e o carpinteiro, perplexo, pergunta a você, aritmético: quantas pessoas ele precisa contratar para construir um estaleiro em 5 dias?

Uma breve condição inacabada está escrita no quadro:

Complete a condição e resolva o problema de duas maneiras.

I opção: proporção

Opção II: sem proporções

Ao mesmo tempo, dois alunos estão trabalhando no quadro-negro.

EU.

II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 trabalhadores

3. Eles levaram 560 soldados de comida por 7 meses, e eles foram ordenados a estar em serviço por 10 meses, e eles queriam tirar as pessoas de si para que houvesse comida suficiente para 10 meses. A questão é: quantas pessoas devem ser reduzidas?

Tarefa antiga.

(escrevendo no quadro)

(preenchendo uma pequena nota pelos alunos)

Resolva este problema sem proporção:

(O número de meses aumenta por um fator, o que significa que o número de soldados diminui por um fator.

560 - 392 = 168 (os soldados devem ser reduzidos)

Nos tempos antigos, para resolver muitos tipos de problemas, havia regras especiais para resolvê-los. Problemas familiares para nós de proporcionalidade direta e inversa, em que é necessário encontrar o quarto por três valores de duas quantidades, foram chamados de problemas para a "regra tripla".

Se para três valores foram dados cinco valores e foi necessário encontrar o sexto, a regra foi chamada de "cinco". Da mesma forma, para as quatro quantidades havia uma "regra de setenários". As tarefas para a aplicação dessas regras também foram chamadas de tarefas para a “regra tríplice complexa”.

Vamos tentar!!!

4. Aceite a tarefa que lhe foi oferecida como uma tarefa adicional.

Tarefa de casa.

Três galinhas puseram 3 ovos em 3 dias. Quantos ovos 12 galinhas botarão em 12 dias?

A resposta para o problema é ………?

Analisaremos a solução do problema coletivamente, anotando brevemente a condição do problema:

Os alunos tentam coletivamente fazer perguntas e respondê-las.

(o número de escribas aumenta com o aumento das folhas em tempos e diminui

do aumento dos dias de trabalho (escribas)).

Considere um problema mais complexo com quatro quantidades.

Pegue um problema, com seis valores, como lição de casa opcional para aqueles alunos que gostam de desvendar problemas de quebra-cabeça.

6. Para iluminar 18 cômodos em 48 dias, foram gastos 120 toneladas de querosene, e 4 lâmpadas queimaram em cada cômodo. Quantos dias durarão 125 libras de querosene se 20 quartos estiverem iluminados e 3 lâmpadas estiverem acesas em cada quarto?

Uma breve condição do problema é escrita e um argumento é dado, em paralelo ao qual um registro gradualmente complementado X = ... .. pode ser mantido no quadro.

O número de dias de uso de querosene aumenta de um aumento na quantidade de querosene em
vezes e de reduzir as lâmpadas pela metade.

O número de dias de uso de querosene diminui com o aumento de quartos em 20 vezes.

X = 48 * * : = 60 (dias)

Finalmente tem X = 60. Isso significa que 125 libras de querosene são suficientes para 60 dias.

4. Resumo da lição.

Resolveu toda a lição agora tarefas quase esquecidas. Passamos do simples ao complexo. Ficou claro que os problemas antigos são interessantes, é bom ver seu trabalho duro na resolução de problemas, tivemos um bom treinamento em distinguir entre proporcionalidade direta e inversa.

As explicações oferecidas pelo professor parecem claras, mas você também deve seguir em frente por conta própria.

V. Dever de casa.

Tit dias de grão

X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 kg

2. Problema antigo.

Termo de renda de dirham

3. * Tarefa adicional.

Um artel de 26 escavadores trabalhando com máquinas 12 horas por dia pode cavar um canal de 96 metros de comprimento, 20 metros de largura e 12 metros de profundidade em 40 dias. Quanto tempo um canal pode ser escavado por 30 escavadores, trabalhando 80 dias, 10 horas por dia, se a largura deve ser

10 m, profundidade 18 dm?

decisão.

Tarefas de Colaboração e Produtividade

Tarefas desse tipo geralmente contêm informações sobre o desempenho de vários sujeitos (trabalhadores, mecanismos, bombas, etc.) valas, enchimento através das tubulações de um reservatório, etc.). Assume-se que o trabalho realizado é realizado uniformemente, ou seja, com um desempenho constante para cada assunto. Como a quantidade de trabalho realizado (ou o volume da piscina sendo preenchida, por exemplo) não nos interessa, então o volume de todo o trabalho. ou pool é tomado como uma unidade. Tempotnecessário para fazer todo o trabalho, e P é o produtorintensidade de trabalho, ou seja, a quantidade de trabalho realizado por unidade de tempo, estão relacionados

RazãoP= 1/t .É útil conhecer o esquema padrão para resolver problemas típicos.

Deixe um trabalhador fazer algum trabalho em x horas e outro trabalhador em y horas. Então em uma hora eles vão realizar respectivamente 1/xe 1/yparte do trabalho. Juntos em uma hora eles completarão 1/x +1/ yparte do trabalho. Portanto, se eles trabalharem juntos, todo o trabalho será feito em 1/ (1/x+ 1/ y)

Os problemas de colaboração são difíceis para os alunos resolverem, portanto, ao se preparar para um exame, você pode começar resolvendo os problemas mais simples. Considere o tipo de problemas para os quais é suficiente introduzir apenas uma variável.

Tarefa 1. Um estucador pode completar uma tarefa 5 horas mais rápido que outro. Juntos, eles completarão essa tarefa em 6 horas. Quantas horas cada um deles irá completar a tarefa?

Decisão. Deixe o primeiro estucador completar a tarefa paraxhoras, então o segundo estucador completará esta tarefa emx+5 horas. Em 1 hora de trabalho conjunto, eles completarão 1/x + 1/( x+5) tarefas. Vamos fazer uma equação

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 oux² - 7 x-30 = 0. Resolvendo esta equação, obtemosx= 10 ex= -3. De acordo com a tarefaxé um valor positivo. Portanto, o primeiro estucador pode concluir o trabalho em 10 horas e o segundo em 15 horas.

Tarefa 2 . Dois trabalhadores concluíram o trabalho em 12 dias. Em quantos dias cada trabalhador pode concluir o trabalho se um deles levou 10 dias a mais para concluir o trabalho inteiro do que o outro?

Decisão . Deixe o primeiro trabalhador gastar em todo o trabalhoxdias, então o segundo- (x-10 dias. Para 1 dia de trabalho conjunto, eles realizam 1/x+ 1/( x-10) tarefas. Vamos fazer uma equação

12×(1/x+ 1/( x-10)= 1 oux²- 34x+120=0. Resolvendo esta equação, obtemosx=30 ex= 4. Apenasx= 30. Portanto, o primeiro trabalhador pode concluir o trabalho em 30 dias e o segundo em 20 dias.

Tarefa 3. Para 4 dias de trabalho conjunto, 2/3 do campo foi arado por dois tratores. Quantos dias seriam necessários para arar todo o campo com cada trator, se o primeiro pode ser arado 5 dias mais rápido que o segundo?

Decisão. Deixe o primeiro trator gastarpara completar a tarefa x dias, então o segundo - x + 5 dias. Para 4 dias de trabalho conjunto, ambos os tratores lavraram 4×(1/ x + 1/( x +5)) tarefas, ou seja, 2/3 do campo. Escrevemos a equação 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 oux² -7x-30 = 0. . Resolvendo esta equação, obtemosx= 10 ex= -3. De acordo com a tarefaxé um valor positivo. Portanto, o primeiro trator pode arar o campo em 10 horas e o segundo - em 15 horas.

Tarefa 4 . Masha pode imprimir 10 páginas em 1 hora, Tanya - 4 páginas em 0,5 e Olya - 3 páginas em 20 minutos. Como as meninas podem distribuir 54 páginas de texto entre si para que cada uma trabalhe pelo mesmo tempo?

Decisão . De acordo com a condição, Tanya imprime 4 páginas em 0,5 horas, ou seja, 8 páginas em 1 hora e Olya - 9 páginas em 1 hora. Denotando por X horas o tempo durante o qual as meninas trabalharam, obtemos a equação

10X + 8X + 9X \u003d 54, de onde X \u003d 2.

Então, Tanya deve imprimir 20 páginas, Tanya 16 páginas e Olya 18 páginas.

Tarefa 5. Em dois duplicadores trabalhando simultaneamente, você pode fazer uma cópia do manuscrito em 20 minutos. Em que tempo esse trabalho pode ser feito em cada aparelho separadamente, se se sabe que ao trabalhar no primeiro levará 30 minutos a menos do que no segundo?

Decisão. Seja X min o tempo que leva para fazer uma cópia na primeira máquina, então X + 30 min é o tempo que leva para trabalhar na segunda máquina. Em seguida, 1/X cópia é realizada pelo primeiro aparelho em 1 min, e 1/(X + 30) cópias - o segundo dispositivo.

Vamos fazer a equação: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, temosX²-10X-600= 0. De onde X = 30 e X = - 20. A condição do problema satisfaz X = 30. Obtemos: 30 minutos - o tempo durante o qual o primeiro dispositivo fará uma cópia, 60 minutos - o segundo.

Tarefa 6. A empresa A pode concluir algum pedido para a produção de brinquedos 4 dias mais rápido que a empresa B. Em quanto tempo cada empresa pode concluir esse pedido se souber que, quando trabalham juntas em 24 dias, completam um pedido 5 vezes maior?

Decisão. Indicando por X dias o tempo necessário para a empresa A completar o pedido, então X + 4 dias é o tempo para a empresa B. Ao elaborar a equação, deve-se levar em consideração que em 24 dias de trabalho conjunto, não 1 pedido será concluído, mas 5 pedidos. Obtemos, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. De onde segue 5 X²-28X-96 = 0. Tendo resolvido a equação quadrática, obtemos X = 8 e X = - 12/5. A primeira empresa pode concluir o pedido em 8 dias, a empresa B em 12 dias.

Ao resolver os seguintes problemas, você precisa inserir mais de uma variávele resolver sistemas de equações.

Tarefa 7 . Dois trabalhadores estão fazendo algum trabalho. Após 45 minutos de trabalho conjunto, o primeiro trabalhador foi transferido para outro emprego e o segundo trabalhador completou o restante do trabalho em 2 horas e 15 minutos. Em que tempo cada trabalhador poderia fazer individualmente todo o trabalho, se se sabe que o segundo precisará de 1 hora a mais que o primeiro?

Decisão. Deixe o primeiro trabalhador fazer todo o trabalho em x horas e o segundo trabalhador em y horas. Da condição do problema temos x = y -1. 1 hora primeiro

o trabalhador fará 1/xparte do trabalho, e o segundo - 1/yparte do trabalho.T.para. trabalharam juntos ¾ horas, então durante este tempo completaram ¾ (1 /x + 1/ y)

parte do trabalho. Atras do2i 1/4h de trabalho o segundo completou 9/4× (1/y) parte do trabalho.T.para. todo o trabalho é feito, então compomos a equação ¾ (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 ou

¾×1/x+ 3×1/y =1

Substituindo o valorxnesta equação, obtemos ¾ × 1/ (y-1)+ 3×1/y= 1. Reduzimos esta equação para a equação quadrática 4y2 -19 anos + 12 =0, que tem

decisões em 1 = mãono 2 = 4 h. A primeira solução não é adequada (ambascerca deque só trabalharam juntos por ¾ horas!). Então y \u003d 4 e x \u003d3.

Responda. 3 horas, 4 horas.

Tarefa 8. A piscina pode ser enchida com água de duas torneiras. Se a primeira torneira for aberta por 10 minutos e a segunda - por 20 minutos, a piscina será preenchida.

Se a primeira torneira for aberta por 5 minutos e a segunda - por 15 minutos, 3/5 será preenchido piscina.

Quanto tempo leva para cada torneira encher toda a piscina?

Decisão. Deixe que a partir da primeira torneira seja possível encher a piscina em x minutos e a partir da segunda - em y 1 minuto. A primeira torneira enche parte da piscina, e a segunda . Em 10 minutos, o primeiro toque será preenchido parte da piscina, e em 20 minutos a partir da segunda torneira - . T.para. a piscina será preenchida, então obtemos a primeira equação: . Da mesma forma, escrevemos a segunda equação (preenchido para toda a piscina, mas apenas seu volume). Para simplificar a solução do problema, introduzimos novas variáveis: Então temos um sistema linear de equações:

10u + 20v = 1,

cuja solução será u = v = . A partir daqui, obtemos a resposta: x = min, y = 50 min.

Tarefa 9 . Dois estão fazendo o trabalho. O primeiro funcionou o tempo que leva para o outro fazer todo o trabalho. Então o segundo funcionou o tempo que levaria para o primeiro terminar o resto do trabalho. Ambos atuaram apenas todo o trabalho. Quanto tempo cada um leva para concluir este trabalho, se é sabido que, quando trabalharem juntos, o farão em3 h36 min?

Decisão. Denote por x horas e y horas o tempo durante o qual o primeiro e o segundo fazem todo o trabalho, respectivamente. Então e

As partes do trabalho que eles fazem1 horaTrabalhando (por condição) vez, o primeiro será executado parte do trabalho. Permanecerá insatisfeito parte do trabalho em que o primeiro gastaria horas. Por condição, o segundo funciona 1/3 desta vez. Então ele vai fazer parte do trabalho. Ambos completaram apenas todo o trabalho. Portanto, obtemos a equação . Trabalhando juntos para1 ambos vão fazer + parte do trabalho. Já que, de acordo com a condição do problema, eles farão esse trabalho para3 h36 min (ou seja,uma 3 horas), então1 hora eles vão fazer todo o trabalho. Daí 1/x + 1/ y = 5/18. denotando na primeira equação , obtemos a equação quadrática

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , cujas raízes são iguaist 1 =2/3 , t 2 =3/2. Como não se sabe quem corre mais rápido, consideramos os dois casos.

a)t = => e= X. Substituindo y na segunda equação: Obviamente isso não é uma solução.

tarefas, porque juntos eles fazem o trabalho em mais de 3 horas.

b) t=3/2 => y=3/2 x. Da segunda equação temos 1/x+2/3× 1/x\u003d 18/05. A partir daquix=6,y=9.

Tarefa 10. A água entra no tanque de dois tubos de diâmetros diferentes. No primeiro dia, os dois tubos, funcionando simultaneamente, protocolaram 14m 3 agua. No segundo dia, apenas a pequena trombeta foi ligada. Ela arquivou 14 m 3 água, tendo trabalhado 5 horas a mais do que no primeiro dia. No terceiro dia, o trabalho continuou pelo mesmo tempo que no segundo, mas no início ambos os tubos funcionaram, dando 21 m 3 agua. E então apenas um grande tubo funcionou, dando mais 20 m 3 agua. Encontre o desempenho de cada tubo.

Decisão. Neste problema, não há um conceito abstrato de "volume de um reservatório", mas são indicados volumes específicos de água que escoam por tubulações. No entanto, a metodologia para resolver o problema, na verdade, permanece a mesma.

Deixe os tubos menores e maiores bombearem em 1 hora x e y m3 agua. Trabalhando juntos, ambos os tubos fornecem x + y m3 agua.

Portanto, no primeiro dia os tubos funcionaram 14/(x+ y) horas. No segundo dia, o cano pequeno trabalhou mais 5 horas, ou seja, 5+14/(x+ y) . Por esta

vez que ela arquivou 14 m 3 agua. Daqui obtemos a primeira equação 14 ou 5+14/(x+ y)=14/ x. No terceiro dia ambos os tubos trabalharam juntos21/(x+ y) horas e então o tubo grande funcionou 20/xhoras. O tempo total dos tubos coincide com o tempo de funcionamento do primeiro tubo no segundo dia, ou seja,

5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Como os lados esquerdos da equação são iguais, temos . Livrando-se dos denominadores, obtemos uma equação homogênea 20x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Dividindo a equação pory 2 e designandox/ y= t, temos 20t 2 +27 t-14=0. Das duas raízes desta equação quadrática (t 1 = , t 2 = ) de acordo com o significado do problema só é adequadot= . Conseqüentemente,x= y. Substituindoxna primeira equação, encontramosy=5. Entãox=2.

Tarefa 11. As duas equipes, trabalhando juntas, cavaram a trincheira em dois dias. Depois disso, eles começaram a cavar uma vala da mesma profundidade e largura, mas 5 vezes mais longa que a primeira. No início, apenas a primeira brigada funcionou, e depois apenas a segunda brigada, tendo concluído uma vez e meia menos trabalho do que a primeira brigada. A escavação da segunda vala foi concluída em 21 dias. Em quantos dias a segunda equipe levaria para cavar a primeira trincheira se for sabido que a quantidade de trabalho realizado pela primeira equipe em um dia é maior do que a quantidade de trabalho realizada em um dia pela segunda equipe?

Decisão.Este problema é mais conveniente de resolver se você colocar o trabalho realizado na mesma escala. Se ambas as equipes cavassem a primeira trincheira, trabalhando juntas, em 2 dias, obviamente teriam cavado a segunda trincheira (cinco vezes mais longa) em 10 dias. Deixe a primeira brigada cavar esta trincheira em x dias, e a segunda em y, ou seja. em 1 dia o primeiro teria cavado parte da vala, o segundo - para 1/y , e juntos -1/x+1/ y parte da trincheira.

Então nós temos . As brigadas trabalharam separadamente ao cavar a segunda trincheira. Se a segunda equipe completou o escopo de trabalhom, então (de acordo com a condição do problema) - a primeira brigada . Comom + m = m igual à quantidade de trabalho tomado como uma unidade, entãom = . Consequentemente, a segunda brigada cavou trincheiras e gasto com isso nos dias. A primeira brigada cavou trincheiras e gasto X dias. Daí temos ouX = 35- . Substituindo x na primeira equação, chegamos à equação quadrática2 anos 2 - 95y +1050 = 0, cujas raízes serão y 1 = e no 2 = 30. Então, respectivamente,X 1 = e X 2 =15. Da condição do problema selecione a que você precisa: y \u003d 30. Como o valor encontrado se refere à segunda vala, a primeira vala (cinco vezes mais curta) teria sido cavada pela segunda equipe em 6 dias.

Tarefa 12. Três escavadeiras participaram da escavação de um poço com volume de 340 m 3 . Em uma hora, a primeira escavadeira leva 40 m 3 libras, o segundo - com m 3 menos que o primeiro e o terceiro - 2s a mais que o primeiro. Primeiro, a primeira e a segunda escavadeira trabalharam simultaneamente e cavaram 140 m 3 solo. Em seguida, o resto do poço foi cavado, trabalhando simultaneamente, a primeira e a terceira escavadeira. Determine os valores com(0<с<15), em que o poço foi escavado em 4 horas, se o trabalho foi realizado sem interrupção.

Decisão. Desde que a primeira escavadeira leva 40 m 3 solo por hora, então o segundo - (40-s) m 3 , e o terceiro - (40 + 2s) m 3 libras por hora. Deixe a primeira e a segunda escavadeira trabalharem juntas por x horas. Então da condição do problema segue (40+40-s)x = 140 ou (80-s)x = 140. Se a primeira e a terceira escavadeira trabalharam juntas no relógio, então temos (40+40+2s) y = 340-140 ou (80 + 2s) y - 200. Como o tempo total de operação é de 4 horas, obtemos a seguinte equação para determinar com x + y \u003d 4 ou

Esta equação é equivalente à equação quadráticacom 2 -30s+ 200 =0, cujas decisões serão 1 = 10m 3 e com 2 = 20m 3 . De acordo com a condição do problema, apenaspara

c = 10 m 3 .

Tarefa 10. Cada um dos dois trabalhadores foi designado para processar o mesmo número de peças. O primeiro começou o trabalho imediatamente e o completou em 8 horas, o segundo gastou mais de 2 horas ajustando o dispositivo e depois com sua ajuda terminou o trabalho 3 horas antes do primeiro. Sabe-se que o segundo trabalhador, uma hora após o início de seu trabalho, processou tantos detalhes quanto o primeiro trabalhador havia processado até aquele momento. Quantas vezes o acessório aumenta a produtividade da máquina (ou seja, o número de peças processadas por hora de trabalho)?

Decisão. Este é um exemplo de um problema em que nem todas as incógnitas precisam ser encontradas.

Vamos designar o tempo de setup da máquina pelo segundo trabalhador como x (pela condição x>2). Suponha que fosse necessário processar cadandetalhes.

Então o primeiro trabalhador por hora processa detalhes e o segundo detalhes. Ambos os trabalhadores processaram o mesmo número de peças uma hora após o início do trabalho do segundo. Significa que A partir daqui, obtemos a equação para determinar x: X 2 -4x + 3-0 cujas raízes são x 1 = 1 eX 2 = 3. Porque

x > 2, então o valor requerido é x = 3. Portanto, o segundo trabalhador processa por hora detalhes. Porque o primeiro trabalhador por hora processa

peças, então daqui descobrimos que o dispositivo aumenta a produtividade do trabalho em = 4 vezes.

Tarefa 1 3. Três trabalhadores devem fazer um número de peças. No início, apenas um trabalhador começou a trabalhar e, depois de um tempo, um segundo se juntou a ele. Quando 1/6 de todas as peças foram feitas, o terceiro operário também começou a trabalhar. Eles terminaram o trabalho ao mesmo tempo, e cada um fez o mesmo número de peças. Quanto tempo trabalhou o terceiro trabalhador se se sabe que ele trabalhou duas horas a menos que o segundo e que o primeiro e o segundo, trabalhando juntos, poderiam produzir todas as peças necessárias 9 horas antes do que o terceiro teria feito, trabalhando separadamente ?

Decisão. Deixe o primeiro trabalhador trabalhar x horas e o terceiro trabalhador x horas. Então o segundo trabalhador trabalhou mais 2 horas, ou seja, y + 2 horas. Cada um deles fez um número igual de peças, ou seja, 1/3 de todas as peças. Consequentemente, o primeiro faria todos os detalhes em 3 horas, o segundo em 3 (y + 2) horas e o terceiro em 3y horas. Portanto, o primeiro produz em uma hora parte de todos os detalhes, o segundo - e terceiro - .

Uma vez que todos os três durante seu trabalho conjunto produziram todos os detalhes, então obtemos a primeira equação (todos os três trabalharam juntos no relógio)

. (1)

O primeiro e o segundo, trabalhando juntos, teriam feito todas as peças juntas 9 horas antes do que o terceiro operário teria feito, trabalhando sozinho. A partir daqui temos a segunda equação

. (2)

Essas duas equações são facilmente reduzidas a um sistema equivalente

Expressando da segunda equação x e substituindo na primeira equação, obtemos y 3 -5 anos 2 - 32y - 36 = 0. Esta equação é fatorada(y- 9) (s +2) 2 = 0.

Como y > 0, a equação tem apenas uma raiz desejada y \u003d 9.Responda:y = 9.

Tarefa 14. A água entra uniformemente no poço, 10 bombas idênticas, atuando simultaneamente, podem bombear água de um poço cheio em 12 horas e 15 dessas bombas - em 6h.Por quanto tempo 25 dessas bombas podem trabalhar juntas para bombear água de um poço cheio?

Decisão.Deixe o volume do poçoVm 3 , e o desempenho de cada bomba é x m 3 à uma hora. A água flui para o poço continuamente.T.k. o valor de seu recebimento é desconhecido, então denotamos por y m 3 por hora - o volume de água que entra no poço. Dez bombas serão bombeadas em 12 horas X= 120x água. Esta quantidade de água é igual ao volume total da fossa e ao volume de água que entra na fossa em 12 horas. Todo este volume éV+12 y. Igualando esses volumes, fazemos a primeira equação 120x =V + 12 y .

Da mesma forma, uma equação é elaborada para 15 dessas bombas:15-6 x = V + 6 you 90x = V + 6 y. Da primeira equação temos V = 120x - 12y. Substituindo V na segunda equação, obtemos y = 5x.

O período de tempo durante o qual 25 dessas bombas operarão é desconhecido. Vamos denotar port. Então, levando em conta as condições do problema, por analogia compomos a última equação. temos 25tx=V+ty. Substituindo y e V nesta equação, encontramos 25tx= 120x -12 5x +t 5x ou 20tx= 60x. Daqui obtemost= 3 horas.Responda: por 3 horas.

Tarefa 15. Duas equipes trabalharam juntas por 15 dias e, em seguida, uma terceira equipe se juntou a elas e, 5 dias depois, todo o trabalho foi concluído. Sabe-se que a segunda brigada produz 20% a mais por dia do que a primeira. A segunda e a terceira brigadas juntas poderiam fazer todo o trabalho em o tempo necessário para concluir todo o trabalho da primeira e da terceira equipes quando trabalham juntas. Quanto tempo levaria as três equipes para fazer todo o trabalho, trabalhando juntas?

Decisão. Que todo o trabalho, trabalhando separadamente, seja realizado pela primeira, segunda e terceira equipes, respectivamente, para x, y ezdias. Então no dia em que eles se apresentam parte do trabalho. Transformando a primeira condição do problema em uma equação, assumindo que toda a quantidade de trabalho é igual a um, obtemos

15 ou

(1)

20 .

Como a segunda brigada produz 120% do que a primeira brigada (20% a mais), temos ou . (2)

A segunda e terceira brigadas fariam todo o trabalho em 1/ dias, e o primeiro e o terceiro - para 1/ dias. De acordo com a condição, o primeiro valor é igual a

(3)

A segunda, ou seja, 1/ . A partir daqui temos a terceira equação .

No problema, é necessário determinar o tempo para completar todo o trabalho em três equipes trabalhando juntas, ou seja, a magnitude1/ .

É óbvio que é mais conveniente resolver o sistema de equações (1)-(3) se introduzirmos novas variáveis: , É necessário encontrar o valor

eu/(você + v+ W) .Então temos um sistema equivalente

Resolvendo este sistema linear, encontramos facilmentevocê= Então o valor desejado é igual a 1/ entãoAssim, trabalhando em conjunto, as três equipes completarão todo o trabalho em 16 dias.

Responda: por 16 dias. Se a produtividade da segunda fábrica dobrasse, então seria igual a quase todos os tipos de tarefas de desempenho encontradas.

Tarefas

Dois trabalhadores juntos podem concluir algum trabalho em 10 dias. Após 7 dias de trabalho juntos, um deles adoeceu e o outro terminou o trabalho após trabalhar mais 9 dias. Quantos diasCada trabalhador pode fazer todo o trabalho separadamente?

Vários trabalhadores concluíram o trabalho em poucos dias. Se o número de trabalhadores for aumentadotsya em 3, então o trabalho será feito 2 dias antes, e se o número de trabalhadores aumentar em 12, então 5 dias antes. Determine o número de trabalhadores e o tempo necessário para concluir este trabalho.

Duas bombas de diferentes potências, trabalhando juntas, enchem a piscina em 4 horas.Para encher metade da piscina, a primeira bomba leva 4 horas a mais que a segunda para encher três quartos da piscina. Quanto tempo leva cada bomba individual para encher a piscina?

10. O navio é carregado com guindastes. Primeiro, quatro guindastes de mesma potência trabalharam por 2 horas, depois mais dois guindastes, mas de menor potência, juntaram-se a eles e, após 3 horas, o carregamento foi concluído. Se todos os guindastes começassem a trabalhar ao mesmo tempo, o carregamento seria trabalho restante. A produtividade da terceira equipe é metade da soma da produtividade da primeira e da segunda equipe. Quantas vezes a produtividade da segunda brigada é maior que a produtividade da terceira brigada?

15. Duas equipes de estucadores, trabalhando juntas, rebocaram um prédio residencial em 6 dias. Em outra ocasião, eles rebocaram um clube e fizeram o triplo do trabalho que haviam feito no reboco de um prédio de apartamentos. No início a primeira brigada trabalhava no clube, e depois a segunda brigada a substituiu e encerrou o trabalho, e a primeira brigada completou a quantidade de trabalho duas vezes mais que a segunda. Eles engessaram o clube em 35 dias. Em quantos dias a primeira brigada seria capaz devisitar um edifício residencial se se sabe que a segunda brigada gastaria mais de 14 dias nisso?

As duas equipes começaram a trabalhar às 8 horas, tendo feito 72 peças juntas, começaram a trabalhar separadamente. Às 15h, descobriu-se que durante o tempo de trabalho separado, a primeira brigada fez 8 detalhes a mais que a segunda. No dia seguinte, a primeira brigada fez mais uma parte em 1 hora, e a segunda brigada fez menos uma parte em 1 hora do que no primeiro dia. O trabalho da brigada começou em conjunto às 8 horas e, tendo feito 72 peças, voltaram a trabalhar separadamente. Agora, durante o tempo de trabalho separado, a primeira brigada fez 8 peças a mais que a segunda, por volta das 13h, quantas peças por hora cada brigada fez?

Três trabalhadores devem fazer 80 peças idênticas. Sabe-se que os três juntos fazem 20 partes em uma hora. O primeiro começou a trabalhar primeiro.trabalhando. Ele fez 20 peças, gastando mais de 3 horas em sua fabricação.O resto do trabalho foi feito em conjunto pelo segundo e terceiro trabalhadores. O trabalho inteiro levou 8 horas. Quantas horas levaria o primeiro trabalhador para fazer todas as 80 peças?

A piscina é enchida com água pelo primeiro tubo 5 horas mais rápido do que pelo segundo tubo e 30 horas mais rápido do que pelo terceiro tubo. Sabe-se que pra capacidade de descida do terceiro tubo é 2,5 vezes menor que a capacidade de carga do primeiro tubo e 24 m 3 /h é menor que a capacidade do segundo tubo. Encontre a capacidade do primeiro e terceiro tubos.

Duas escavadeiras, sendo a primeira de menor produtividade, foram escavadas comescavação de trabalho conjunto com um volume de 240 m 3 . Então o primeiro começou a cavar a segunda vala, e o segundo continuou a cavar a primeira. 7 horas após o início do trabalho, o volume da primeira cava era de 480 m 3 mais do que o volume do segundo poço. No dia seguinte, a segunda escavadeira aumentou sua produtividade em 10 m 3 / h, e o primeiro diminuiu 10 m 3 /h Primeiro, juntos eles cavaram uma cova de 240 m 3 , após o que o primeiro começou a cavar outra cova, e o segundo continuou a cavar o primeiro. Agora o volume do primeiro poço tornou-se 480 m 3 mais do que o volume do segundo poço já 5 horas após o início do trabalho das escavadeiras. Quanto solo por hora as escavadeiras escavaram no primeiro dia de trabalho?

Três veículos motorizados transportam grãos, carregando completamente em cada viagem. Para um voo, o primeiro e o segundo vagões são transportados juntos6 toneladas de grãos, e o primeiro e o terceiro juntos carregam a mesma quantidade de grãos em 2 lances que o segundo em 3 lances. Quanto grão é transportado em uma viagem pelo segundo vagão, se se sabe que certa quantidade de grãos é transportada pelo segundo e terceiro juntos, comfazendo 3 vezes menos viagens do que levaria um terceiro carro para transportar a mesma quantidade de grãos?

Duas escavadeiras de projetos diferentes devem colocar duas trincheiras da mesma cruzseção clara com um comprimento de 960mi180 m. Todo o trabalho durou 22 dias, durante os quais a primeira escavadeira colocou uma grande vala. A segunda escavadeira começou a trabalhar 6 dias depois da primeira, cavou uma vala menor, consertou por 3 dias e depois ajudou a primeira. Se não fosse necessário gastar tempo com reparos, o trabalho seria concluído em 21 dias. Quantos metros de vala cada escavadeira pode cavar por dia?

Três brigadas lavraram dois campos com uma área total de 120 hectares. O primeiro campo foi arado em 3 dias, com as três equipes trabalhando juntas. O segundo campo foi arado por 6 dias do primeiro e segundo brigadas. Se todas as três equipes trabalhassem no segundo campo por 1 dia, a primeira equipe poderia arar o resto do segundo campo em 8 dias. Quantos hectares por dia a segunda brigada arou?

Dois tubos de igual diâmetro são conectados a duas piscinas(paracada piscina tem seu próprio tubo). Um certo volume de água foi despejado pelo primeiro cano na primeira piscina, e imediatamente depois disso, o mesmo volume de água foi despejado na segunda piscina através do segundo cano, e tudo isso levou 16 horas. tubo tanto tempo quanto através do segundo, e através do segundo - tanto tempo quanto através do primeiro, então a água seria derramada através do primeiro tubo por 320 m 3 menor que o segundo. Se pela primeira passasse 10 m 3 menos, e através do segundo - por 10 m 3 mais água, levaria 20 horas para despejar os volumes iniciais de água na piscina (primeiro na primeira e depois na segunda) Quanto tempo a água fluiu através de cada um dos tubos?

Dois comboios, constituídos pelo mesmo número de carros, transportam carga. Em cada um dosOs veículos próximos têm a mesma capacidade de carga e são totalmente carregados durante as viagens. A capacidade de carga dos carros em diferentes colunas é diferente, e para 1 viagem o primeiro comboio transporta 40 toneladas a mais de carga do que o segundo comboio. Se o número de carros no primeiro comboio for reduzido em 2 e no segundo comboio - em 10, o primeiro comboio transportará 90 toneladas de carga em 1 corrida e o segundo comboio transportará 90 toneladas de carga em 3 corridas . Qual é a capacidade de carga dos veículos do segundo comboio?

Um operário pode fazer um lote de peças em 12 horas, um operário começou o trabalho, outro se juntou a ele uma hora depois, um terceiro uma hora depois, e assim sucessivamente, até o trabalho estar concluído. Quanto tempo trabalhou o primeiro trabalhador? (A produtividade do trabalho de todos os trabalhadores é a mesma.)

Uma equipe de trabalhadores com as mesmas qualificações teve que produzir um lote de peças. PrimeiroNo início, um operário começou a trabalhar, uma hora depois um segundo se juntou a ele, uma hora depois, um terceiro, e assim por diante, até que toda a equipe começou a trabalhar. Se todos os membros da equipe tivessem trabalhado desde o início, o trabalho teria sido concluído 2 horas mais rápido. Quantos trabalhadores estão na equipe?

Três trabalhadores estavam cavando uma vala. No início, o primeiro trabalhador trabalhava metade do tempo, neoexigido pelos outros dois para cavar a vala inteira, então o segundo trabalhador trabalhou metade do tempo que os outros dois levaram para cavar a vala inteira e, finalmente, o terceiro trabalhador trabalhou metade do tempo que os outros dois levaram para cavar a vala inteira. Como resultado, a vala foi cavada. Quantas vezes mais rápido a vala seria cavada se todos os três trabalhadores estivessem trabalhando ao mesmo tempo desde o início?

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Tarefas de proporção difícil

Teste 2

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