Todos os que já estudaram ou estudam na escola tiveram que enfrentar diversas dificuldades para estudar as disciplinas que integram o programa desenvolvido pelo Ministério da Educação.

Que dificuldades você enfrenta

O estudo das línguas é acompanhado pela memorização das regras gramaticais existentes e as principais exceções a elas. A educação física exige dos alunos um grande cálculo, boa forma física e muita paciência.

No entanto, nada se compara às dificuldades que surgem no estudo das disciplinas exatas. Álgebra, contendo formas intrincadas de resolver problemas elementares. Física com um rico conjunto de fórmulas para leis físicas. Geometria e suas seções, que são baseadas em teoremas e axiomas complexos.

Um exemplo são os axiomas que explicam a teoria do paralelismo de planos, que devem ser lembrados, pois fundamentam todo o curso do currículo escolar sobre estereometria. Vamos tentar descobrir como isso pode ser feito de forma mais fácil e rápida.

Planos paralelos por exemplos

O axioma, indicando o paralelismo dos planos, é o seguinte: " Quaisquer dois planos são considerados paralelos apenas se não contiverem pontos comuns.”, ou seja, eles não se cruzam. Para imaginar esta imagem com mais detalhes, como exemplo elementar, podemos citar a relação entre o teto e o piso ou paredes opostas em um edifício. Torna-se imediatamente claro o que se quer dizer, e também se confirma o fato de que esses planos no caso usual nunca se cruzarão.

Outro exemplo é uma janela de vidro duplo, onde as folhas de vidro atuam como planos. Eles também sob nenhuma circunstância formarão pontos de interseção entre si. Além disso, você pode adicionar estantes, um cubo de Rubik, onde os planos são suas faces opostas, e outros elementos da vida cotidiana.

Os planos considerados são designados com um sinal especial na forma de duas linhas retas "||", que ilustram claramente o paralelismo dos planos. Assim, aplicando exemplos reais, pode-se formar uma percepção mais clara do tema e, portanto, pode-se avançar para a consideração de conceitos mais complexos.

Onde e como a teoria dos planos paralelos é aplicada?

Ao estudar um curso de geometria escolar, os alunos têm que lidar com tarefas versáteis, onde muitas vezes é necessário determinar o paralelismo de linhas retas, uma linha reta e um plano entre si ou a dependência dos planos entre si. Analisando a condição existente, cada tarefa pode ser relacionada às quatro principais classes de estereometria.

A primeira classe inclui tarefas em que é necessário determinar o paralelismo de uma linha reta e um plano entre si. Sua solução se reduz à prova do teorema de mesmo nome. Para fazer isso, você precisa determinar se para uma linha que não pertence ao plano em consideração, existe uma linha paralela neste plano.

A segunda classe de problemas inclui aqueles em que o sinal de planos paralelos é usado. Ele é usado para simplificar o processo de prova, reduzindo significativamente o tempo para encontrar uma solução.

A próxima aula cobre o espectro de problemas sobre a correspondência de linhas com as principais propriedades do paralelismo de planos. A solução dos problemas da quarta classe é determinar se a condição dos planos paralelos é atendida. Sabendo exatamente como ocorre a prova de um determinado problema, fica mais fácil para os alunos navegarem ao aplicar o arsenal de axiomas geométricos existente.

Assim, as tarefas, cuja condição exige definir e provar o paralelismo de retas, uma reta e um plano ou dois planos entre si, reduzem-se à seleção correta do teorema e da solução de acordo com o conjunto de as regras.

Sobre o paralelismo de uma linha reta e um plano

O paralelismo de uma linha reta e um plano é um tópico especial em estereometria, pois é precisamente este o conceito básico no qual se baseiam todas as propriedades subsequentes do paralelismo de figuras geométricas.

De acordo com os axiomas disponíveis, no caso em que dois pontos de uma reta pertencem a um determinado plano, podemos concluir que a reta dada também está nele. Nesta situação, fica claro que existem três opções para a localização da linha em relação ao plano no espaço:

1. A linha pertence ao avião.
2. Para uma linha e um plano há um ponto comum de interseção.
3. Não há pontos de interseção para uma linha reta e um plano.

Estamos, em particular, interessados ​​na última variante, quando não há pontos de interseção. Só então podemos dizer que a reta e o plano são paralelos entre si. Assim, confirma-se a condição do teorema principal sobre o sinal de paralelismo de uma reta e um plano, que afirma que: "Se uma linha que não pertence ao plano em questão é paralela a qualquer linha desse plano, então a linha em questão também é paralela ao plano dado."

A necessidade de usar o sinal de paralelismo

O sinal de paralelismo de planos geralmente é usado para encontrar uma solução simplificada para problemas sobre planos. A essência deste sinal é a seguinte: Se houver duas linhas de interseção em um plano, paralelas a duas linhas pertencentes a outro plano, esses planos podem ser chamados de paralelos».

Teoremas adicionais

Além de usar um recurso que comprova o paralelismo de planos, na prática pode-se encontrar o uso de outros dois teoremas adicionais. A primeira é apresentada da seguinte forma: Se um dos dois planos paralelos é paralelo ao terceiro, então o segundo plano também é paralelo ao terceiro ou coincide completamente com ele».

Com base no uso dos teoremas dados, é sempre possível provar o paralelismo dos planos em relação ao espaço considerado. O segundo teorema mostra a dependência de planos em uma linha perpendicular e tem a forma: “ Se dois planos não coincidentes são perpendiculares a alguma linha reta, então eles são considerados paralelos entre si.».

O conceito de condição necessária e suficiente

Ao resolver repetidamente problemas de provar o paralelismo de planos, derivou-se uma condição necessária e suficiente para o paralelismo de planos. Sabe-se que qualquer plano é dado por uma equação paramétrica da forma: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Nossa condição é baseada no uso de um sistema de equações que especifica a localização dos planos no espaço, e é representada pela seguinte formulação: Para provar o paralelismo de dois planos, é necessário e suficiente que o sistema de equações que descreve esses planos seja inconsistente, ou seja, não tenha solução».

Propriedades básicas

No entanto, ao resolver problemas geométricos, nem sempre é suficiente usar o sinal de paralelismo. Às vezes surge uma situação em que é necessário provar o paralelismo de duas ou mais linhas em planos diferentes ou a igualdade dos segmentos contidos nessas linhas. Para fazer isso, use as propriedades de planos paralelos. Em geometria, existem apenas dois deles.

A primeira propriedade permite julgar o paralelismo de linhas em determinados planos e é apresentada da seguinte forma: Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro, então as linhas formadas pelas linhas de interseção também serão paralelas entre si.».

O significado da segunda propriedade é provar a igualdade de segmentos localizados em linhas paralelas. Sua interpretação é apresentada a seguir. " Se considerarmos dois planos paralelos e incluirmos uma região entre eles, pode-se argumentar que o comprimento dos segmentos formados por essa região será o mesmo».

O paralelismo de planos é um conceito que apareceu pela primeira vez na geometria euclidiana há mais de dois mil anos.

Principais características da geometria clássica

O nascimento desta disciplina científica está associado à famosa obra do antigo pensador grego Euclides, que escreveu o panfleto "Começos" no século III aC. Dividido em treze livros, os Elementos foi a maior realização de toda a matemática antiga e estabeleceu os postulados fundamentais associados às propriedades das figuras planas.

A condição de paralelismo clássico para planos foi formulada da seguinte forma: dois planos podem ser chamados de paralelos se não tiverem pontos comuns entre si. Este foi o quinto postulado do trabalho euclidiano.

Propriedades dos Planos Paralelos

Na geometria euclidiana, existem, via de regra, cinco deles:

• Propriedade um(descreve o paralelismo dos planos e sua singularidade). Através de um ponto que está fora de um determinado plano, podemos traçar um e apenas um plano paralelo a ele

• Propriedade três(em outras palavras, chama-se propriedade de uma linha reta que intercepta o paralelismo dos planos). Se uma única linha reta intercepta um desses planos paralelos, ela interceptará o outro.

• Propriedade quatro(propriedade das retas cortadas em planos paralelos entre si). Quando dois planos paralelos se cruzam com um terceiro (em qualquer ângulo), as linhas de sua interseção também são paralelas

• Quinta propriedade(uma propriedade que descreve segmentos de diferentes linhas paralelas que estão entre planos paralelos entre si). Os segmentos dessas linhas paralelas que estão entre dois planos paralelos são necessariamente iguais.

Paralelismo de planos em geometrias não euclidianas

Tais abordagens são, em particular, a geometria de Lobachevsky e Riemann. Se a geometria de Euclides foi realizada em espaços planos, então a geometria de Lobachevsky foi realizada em espaços negativamente curvos (simplesmente curvos), e na de Riemann ela encontra sua realização em espaços positivamente curvos (em outras palavras, esferas). Há uma opinião estereotipada muito difundida de que em Lobachevsky planos paralelos (e linhas também) se cruzam.

No entanto, isso não é verdade. De fato, o nascimento da geometria hiperbólica foi associado à prova do quinto postulado de Euclides e à mudança de visão sobre ele, mas a própria definição de planos e linhas paralelas implica que eles não podem se cruzar nem em Lobachevsky nem em Riemann, não importa em que espaços eles se cruzem. são realizados. E a mudança nas visões e formulações foi a seguinte. O postulado de que apenas um plano paralelo pode ser traçado através de um ponto que não pertence a um determinado plano foi substituído por outra formulação: através de um ponto que não pertence a um determinado plano particular, duas, pelo menos, mesmo plano que o dado e não o interceptam.

Este artigo estudará as questões de paralelismo de planos. Vamos dar uma definição de planos que são paralelos entre si; denotamos os sinais e condições suficientes de paralelismo; Vejamos a teoria através de ilustrações e exemplos práticos.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1

Planos paralelos são planos que não possuem pontos comuns.

Para denotar o paralelismo, é usado o seguinte símbolo: ∥. Se dois planos forem dados: α e β , que são paralelos, um pequeno registro sobre isso ficará assim: α ‖ β .

No desenho, como regra, os planos paralelos entre si são exibidos como dois paralelogramos iguais deslocados um do outro.

Na fala, o paralelismo pode ser denotado da seguinte forma: os planos α e β são paralelos e também - o plano α é paralelo ao plano β ou o plano β é paralelo ao plano α.

Paralelismo de planos: sinal e condições de paralelismo

No processo de resolução de problemas geométricos, muitas vezes surge a pergunta: os planos dados são paralelos entre si? Para responder a esta pergunta, utiliza-se o sinal de paralelismo, que também é condição suficiente para o paralelismo dos planos. Vamos escrevê-lo como um teorema.

Teorema 1

Os planos são paralelos se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de interseção de outro plano.

A prova deste teorema é dada no programa de geometria para as séries 10-11.

Na prática, para provar o paralelismo, entre outras coisas, são usados ​​os dois teoremas a seguir.

Teorema 2

Se um dos planos paralelos é paralelo ao terceiro plano, então o outro plano também é paralelo a este plano ou coincide com ele.

Teorema 3

Se dois planos não coincidentes são perpendiculares a alguma linha, então eles são paralelos.

Com base nesses teoremas e no próprio sinal do paralelismo, o fato do paralelismo de quaisquer dois planos é provado.

Consideremos mais detalhadamente a condição necessária e suficiente para o paralelismo dos planos α e β, dados em um sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional.

Suponhamos que em algum sistema de coordenadas retangulares seja dado o plano α, que corresponde à equação geral A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, e também o plano β, que é definido por a equação geral da forma A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Teorema 4

Para que os planos α e β dados sejam paralelos, é necessário e suficiente que o sistema de equações lineares A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 não tem solução (era incompatível).

Prova

Suponha que os planos dados definidos pelas equações A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 são paralelos e, portanto, não têm pontos comuns. Assim, não há um único ponto no sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional, cujas coordenadas corresponderiam às condições de ambas as equações dos planos simultaneamente, ou seja, sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 não tem solução. Se o sistema especificado não tem soluções, então não existe um único ponto no sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional, cujas coordenadas satisfaçam simultaneamente as condições de ambas as equações do sistema. Portanto, os planos dados pelas equações A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 não têm pontos em comum, ou seja, eles são paralelos.

Analisemos o uso da condição necessária e suficiente para o paralelismo dos planos.

Exemplo 1

Dados dois planos: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 e 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Você precisa determinar se eles são paralelos.

Decisão

Escrevemos o sistema de equações a partir das condições dadas:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Vamos verificar se é possível resolver o sistema de equações lineares resultante.

O posto da matriz 2 3 1 2 3 1 1 3 é igual a um, pois os menores de segunda ordem são iguais a zero. O posto da matriz 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 é igual a dois, pois o menor de 2 1 2 3 - 4 é diferente de zero. Assim, o posto da matriz principal do sistema de equações é menor que o posto da matriz estendida do sistema.

Junto com isso, segue do teorema de Kronecker-Capelli: o sistema de equações 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 não tem soluções. Este fato prova que os planos 2 x + 3 y + z - 1 = 0 e 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 são paralelos.

Observe que se aplicássemos o método de Gauss para resolver um sistema de equações lineares, isso daria o mesmo resultado.

Responda: planos dados são paralelos.

A condição necessária e suficiente para que os planos sejam paralelos pode ser descrita de outra maneira.

Teorema 5

Para que dois planos não coincidentes α e β sejam paralelos entre si, é necessário e suficiente que os vetores normais dos planos α e β sejam colineares.

A prova da condição formulada baseia-se na definição do vetor normal do plano.

Suponha que n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) en 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) são os vetores normais dos planos α e β, respectivamente. Vamos escrever a condição de colinearidade desses vetores:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, onde t é algum número real.

Assim, para que os planos não coincidentes α e β com os vetores normais dados acima sejam paralelos, é necessário e suficiente que ocorra um número real t, para o qual a igualdade é verdadeira:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2

Exemplo 2

Os planos α e β são dados em um sistema de coordenadas retangular de espaço tridimensional. O plano α passa pelos pontos: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . O plano β é descrito pela equação x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 É necessário provar o paralelismo dos planos dados.

Decisão

Vamos garantir que os planos dados não coincidam. De fato, é, pois as coordenadas do ponto A não correspondem à equação do plano β.

O próximo passo é determinar as coordenadas dos vetores normais n 1 → e n 2 → correspondentes aos planos α e β . Também verificamos a condição de colinearidade desses vetores.

O vetor n 1 → pode ser especificado tomando o produto vetorial dos vetores A B → e A C → . Suas coordenadas são respectivamente: (- 3 , 0 , 1) e (- 2 , 2 , - 2) . Então:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Para obter as coordenadas do vetor normal do plano x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, reduzimos esta equação à equação geral do plano:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Assim: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Vamos verificar se a condição de colinaridade dos vetores n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) e n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Como - 1 \u003d t 1 12 - 8 \u003d t 2 3 - 3 \u003d t 1 4 ⇔ t \u003d - 12, então os vetores n 1 → e n 2 → estão relacionados pela igualdade n 1 → = - 12 n 2 → , ou seja. são colineares.

Responda: os planos α e β não coincidem; seus vetores normais são colineares. Assim, os planos α e β são paralelos.

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Lições objetivas:

• Introduzir o conceito de planos paralelos.
• Considere e prove teoremas que expressam o sinal de paralelismo de planos e as propriedades de planos paralelos.
• Acompanhe a aplicação desses teoremas na resolução de problemas.

Plano de aula (escreva no quadro):

I. Trabalho oral preparatório.

II. Aprendendo novos materiais:

1. Arranjo mútuo de dois planos no espaço.
2. Definição de planos paralelos.
3. Sinal de planos paralelos.
4. Propriedade dos planos paralelos.

III. Resumo da lição.

4. Trabalho de casa.

DURANTE AS AULAS

I. Trabalho oral

Gostaria de começar a lição com uma citação da carta filosófica de Chaadaev:

“De onde vem esse poder milagroso de análise em matemática? O fato é que a mente aqui opera em completa obediência a esta regra.

Consideraremos essa subordinação à regra na próxima tarefa. Para assimilar o novo material, é necessário repetir algumas perguntas. Para fazer isso, você precisa estabelecer uma afirmação que decorre dessas afirmações e justificar sua resposta:

II. Aprendendo novos materiais

1. Como dois planos podem ser localizados no espaço? Qual é o conjunto de pontos pertencentes a ambos os planos?

Responda:

a) coincidem (então vamos lidar com um plano, não satisfeito);
b) intersectam, ;
c) não se cruzam (não há pontos comuns).

2. Definição: Se dois planos não se cruzam, eles são chamados de paralelos.

3. Designação:

4. Dê exemplos de planos paralelos do ambiente

5. Como descobrir se quaisquer dois planos no espaço são paralelos?

Responda:

Você pode usar a definição, mas isso não é prático, porque nem sempre é possível estabelecer a intersecção dos planos. Portanto, é necessário considerar uma condição suficiente para afirmar o paralelismo dos planos.

6. Considere as situações:

b) se ?

c) se ?

Por que em a) eb) a resposta é: "nem sempre", mas em c) "sim"? (As linhas de interseção definem um plano de uma maneira única, o que significa que elas são definidas exclusivamente!)

A situação 3 é um sinal de paralelismo de dois planos.

7. Teorema: Se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de outro plano, então esses planos são paralelos.

Dado:

Provar:

Prova:

(Anotações no desenho são aplicadas pelos alunos).

1. Nota: . De forma similar:
2. Deixe: .
3. Temos: Da mesma forma:
4. Obtemos: uma contradição com o axioma da planimetria passa por M.
5. Então: errado, então h., etc.

8. Resolva nº 51 (Os alunos aplicam designações ao desenho).

Dado:

Provar:

Prova:

1 caminho

1. Vamos construir

2 maneiras

Entre por via .

9. Considere duas propriedades de planos paralelos:

Teorema: Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro, então as linhas de sua interseção são paralelas.

(Os próprios alunos completam e marcam o desenho).

Dado:

( EUNós vamos)

Professor de matemática PU №3

Tuaeva Z.S.

2015

Tópico da lição “Paralelismo de planos”

Tipo de aula: lição para aprender um novo material.

Objetivo principal:

Introduzir o conceito de planos paralelos.

Prove um critério para o paralelismo de dois planos.

Considere as propriedades dos planos paralelos.

Tarefas:

Educacional :

Formar a habilidade de aplicar o sinal de paralelismo de dois planos e as propriedades estudadas dos planos paralelos na resolução de problemas.

Educacional :

Desenvolvimento da imaginação espacial dos alunos,

Desenvolvimento da atividade mental dos alunos.

Desenvolvimento do pensamento lógico, racional, crítico, criativo e das capacidades cognitivas dos alunos.

Educacional :

Educação de precisão, alfabetização gráfica.

Uso de novas tecnologias educacionais: uso de tecnologia de aprendizagem de problemas.

Plano de aula

II. Aprendendo novo material em um quadro interativo com um modelo:

Definição de planos paralelos.

Sinal de paralelismo de dois planos.

Propriedades dos planos paralelos.

Uma conversa com os alunos sobre questões em que o professor, criando sistematicamente situações-problema e organizando as atividades dos alunos para resolver problemas educacionais, garante a combinação ideal de suas atividades de pesquisa independentes com a assimilação de conclusões prontas da ciência.

III. Formação de habilidades e habilidades

Resolvendo problemas para os alunos usaremsinal de paralelismo de dois planos e propriedades de planos paralelos. Trabalho independente para controlar o adquirido e realizar a consolidação primária do material

4. Trabalho de casa

Professor comenta sobre lição de casa

Durante as aulas:

1. Mensagem do tópico e propósito da lição. Mensagem do plano de aula.

2. A fase de atualização do conhecimento.

Perguntas para os alunos:

1. Quais linhas no espaço são chamadas de paralelas?

(Duas linhas no espaço são chamadas paralelas se estiverem no mesmo plano e não tiverem pontos comuns)

2. Formule a definição de paralelismo de uma reta e um plano?

(Uma linha e um plano são chamados de paralelos se não tiverem pontos comuns)

3. Formule o terceiro axioma da estereometria?

(Se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha comum na qual estão todos os pontos comuns desses planos)

4. Como dois planos podem ser localizados no espaço?

(Dois planos se cruzam em uma linha reta (Fig. 1, a) ou não se cruzam (Fig. 1, b))

Fig.1, a Fig.1, b

3. Aprendendo novos materiais.

1. Problema de aprendizagem : Defina planos paralelos.

Situação de aprendizagem :

Perguntas para os alunos:

1. Quantos pontos comuns têm dois planos que não se cruzam?

(Nem um único ponto comum)

2. Quais são os nomes dos planos que não possuem um único ponto comum?

(planos paralelos)

3. Formule a definição de planos paralelos, dado o número de seus pontos comuns?

Dois planos são chamados paralelos se não tiverem pontos comuns.

4. Especificar os modelos de planos paralelos nos objetos da sala de aula?

(piso e teto do armário, duas paredes opostas, superfície da mesa e plano do piso)

2. Problema de aprendizagem : formular e provar um sinal de paralelismo de dois planos.

Situação de aprendizagem :

Os alunos recebem um modelo de um paralelepípedo.

Perguntas para os alunos:

1. Qual é a posição relativa dos planos e ?

(plano e paralelo)

2. Dê o nome de duas linhas retas que se cruzam

(reta AB, reta BC)

3. Nomeie os planos retos , paralelas às retasAB e sol ?

(
║
║

4. Qual é a posição relativa da linha retaAB e avião ? Justifique a resposta.

(AB║ com base no paralelismo de uma linha reta e um plano: se uma linha reta que não está em um determinado plano (
), é paralela a alguma linha reta situada neste plano (
║

Se os alunos acharem difícil justificar a resposta, chame a atenção para o sinal de paralelismo de uma linha reta e um plano.

5. Qual é a posição relativa da linhasol e avião ? Justifique a resposta.

(Dom║ com base no paralelismo de uma linha reta e um plano: se uma linha reta que não está em um determinado plano (
), é paralela a alguma linha reta situada neste plano (
║
), então é paralelo ao próprio plano)

6. Assumir Aviões e não são paralelos. Como eles serão localizados então?

(os planos irão se cruzar ao longo de alguma linha reta c)

7. Como as linhas serão localizadas neste casoAB ecom ?

(com ║AB, de acordo com a propriedade
) paralela a outro plano (AB║
║AB))

8. Como as linhas serão localizadas neste casosol ecom ?

(com ║BC, de acordo com a propriedade : se o avião passa pela linha dada (
) paralela a outro plano (BC║ ), e intercepta este plano (
), então a linha de intersecção dos planos é paralela à linha dada (com ║VS))

9. Quantas linhas são paralelas a uma linhacom , passa pelo pontoNO ?

(Duas linhas: linha AB, linha BC)

10. É possível?

(Isso não é possível, porque de acordo com o teorema das linhas paralelas: por qualquer ponto no espaço que não esteja em uma determinada linha, passa uma linha paralela à dada e, além disso, apenas uma)

11. Que conclusão se pode tirar? Nossa suposição está correta?

(Nossa suposição não está correta, resta admitir que ║)

12. Quantas linhas retas são necessárias em um plano para avião e eram paralelos?

(duas retas)

13. Quais devem ser essas linhas entre si?

(interseção)

14. Quantas retas devem ser paralelas ao plano ?

(dois)

15. Formule um sinal de paralelismo de dois planos, levando em consideração o número de linhas de um plano paralelas às linhas de outro plano?

O resultado da conclusão dos alunos:

Se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de outro plano, então esses planos são paralelos.

3. Problema de aprendizagem : formular e provar as propriedades dos planos paralelos.

Situação de aprendizagem :

Perguntas para os alunos:

e ?

(os planos são paralelos)

em relação aos aviões e ?

(plano atravessa o avião e )

3. O que você pode dizer sobre as linhas de interseção dos planos?

(as linhas de interseção dos planos são paralelas entre si)

4. Justifique sua resposta usando a definição de linhas paralelas no espaço.

(as linhas a e b estão no mesmo plano) e não se cruzam, pois se as linhas se cruzam, então os planos e teria um ponto comum, o que é impossível, pois esses planos são paralelos)

5. Formule a primeira propriedade dos planos paralelos, levando em consideração a posição relativa das linhas de interseçãouma e dentro ?

O resultado da conclusão dos alunos:

Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro, então as linhas de sua interseção são paralelas.

Situação de aprendizagem :

Os alunos recebem um modelo de planos paralelos intersectados por um terceiro plano.

Perguntas para os alunos:

1. Qual é a posição relativa dos planos e ?

(os planos são paralelos)

2. Como o avião está localizado em relação aos aviões e ?

(plano atravessa o avião e )

3. O que você pode dizer sobre segmentosAB e Com D ?

(segmentos Uma banda Com D paralelas entre si)

4. O que você pode dizer sobre segmentosCA e NO D ?

(segmentos UA e NO D são paralelos entre si pela propriedade 1 )

5. Qual é o nome de um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares?

(paralelogramo)

6. Que propriedades de um paralelogramo você conhece?

em um paralelogramo lados e ângulos opostos são iguais

As diagonais de um paralelogramo são bissectadas pelo ponto de interseção

7. O que você pode dizer sobre segmentosAB e Com D usando a primeira propriedade de um paralelogramo?

(segmentos Uma banda Com D iguais entre si)

8. Formule a segunda propriedade dos planos paralelos usando a igualdade de segmentosAB e Com D ?

O resultado da conclusão dos alunos:

Segmentos de retas paralelas entre planos paralelos são iguais.

4. Formação de competências e habilidades.

Solução de problemas

Tarefa número 1. (Nº 54) (Para descobrir o sinal de paralelismo de dois planos)

Dado :

Provar :

║

Encontrar :

Prova:

1.
- linha do meio
MN ║ CA .

2. NP - linha do meio
NP ║ CD .

MN ║ CA
( MNP )║( ADC ) com base no paralelismo 2 pl.

NP ║ CD

4.
semelhante
de acordo com o terceiro sinal de semelhança de triângulos (se três lados de um triângulo são proporcionais a três lados de outro, então esses triângulos são semelhantes)
(já que a razão das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado do coeficiente de similaridade)

Responda :
.

Tarefa número 2. (Nº 63 (a)) (Para calcular 1 propriedades de planos paralelos)

Dado:

║

Encontrar:

Decisão:

1. Vamos provar que
║
.

Como

║(por condição)

║
.(por 1 propriedade de planos paralelos)

2. Vamos provar que
semelhante
.

, como correspondente em
║
.e secante

, como correspondente em
║
.e secante

Meios,
semelhante
em 2 cantos.

3. Encontre
.

Por condição

4. Encontre
.

Vamos fazer uma proporção:

Responda :

Tarefa número 3. (Nº 65) (Para praticar 2 propriedades de planos paralelos)

Dado :

║

║
║

Definir :

tipo de quadriláteros

Provar:

Decisão:

1. Considere um quadrilátero
.

║
(por condição)

=

quadrilátero

2. Considere um quadrilátero
.

║
(por condição)

=
(como segmentos de linhas paralelas entre planos paralelos, propriedade 2)
quadrilátero
é um paralelogramo

3. Considere um quadrilátero
.

║
(por condição)

=
(como segmentos de linhas paralelas entre planos paralelos, propriedade 2)
quadrilátero
corta um triângulo semelhante ao dado. : ║ Trabalho de casa.

§ 10 (p. 10-11) pp. (20-21)

Nº 53, Nº 63(b).

Livro didático: L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geometria 10, 11. Moscou“ Educação ” , 2002.

6. O resultado da lição.

Hoje na lição introduzimos o conceito de planos paralelos, provamos independentemente o sinal de paralelismo de dois planos, considerados as propriedades dos planos paralelos. Aprendemos a resolver problemas para prova usando o sinal de paralelismo de dois planos, para aplicar as propriedades estudadas de planos paralelos na resolução de problemas.