Em que valor do parâmetro uma raiz da equação

maior que 1 e outro menor que 1?

Considere a função -

Objetivo:

• O estudo de todas as características possíveis da localização das raízes de um trinômio quadrado em relação a um determinado ponto e em relação a um determinado segmento com base nas propriedades de uma função quadrática e interpretações gráficas.
• Aplicação das propriedades estudadas na resolução de problemas não padronizados com um parâmetro.

Tarefas:

• Estudar vários métodos de resolução de problemas baseados no estudo da localização das raízes de um trinômio quadrado por um método gráfico.
• Fundamentar todas as características possíveis da localização das raízes de um trinômio quadrado, desenvolver recomendações teóricas para resolver problemas não padronizados com um parâmetro.
• Domine uma série de habilidades matemáticas técnicas e intelectuais, aprenda como usá-las na resolução de problemas.

Hipótese:

A utilização do método gráfico em problemas não tradicionais com um parâmetro simplifica os cálculos matemáticos e é uma forma racional de resolver.

então e só então:

1. Ambas as raízes são menores que A,

2. As raízes estão em lados opostos do número A,

então e só então:

• então e só então:

então e só então:

3. Ambas as raízes são maiores que o número A, isto é

Encontre todos os valores do parâmetro a para os quais há uma raiz da equação

maior que 1 e outro menor que 1.

Para quais valores do parâmetro a equação

tem duas raízes diferentes do mesmo sinal?

-6

-2

3

uma

1. Ambas as raízes situam-se entre os pontos A e B, i.e.

então e só então:

2. As raízes estão em lados opostos do segmento

então e só então:

3. Uma raiz está fora do segmento e a outra nele, ou seja,

então e só então:

Explorar equação

pelo número de raízes, dependendo do parâmetro.

a equação não tem soluções.

tem uma solução.

Explorar equação

pelo número de raízes

dependendo do parâmetro.

Se uma raiz estiver em um segmento e a outra à esquerda dele.

Se uma raiz estiver em um segmento e a outra à direita dele.

a equação original terá duas raízes diferentes.

sob as quais

A equação tem três raízes diferentes.

Resposta: quando

sob as quais

a equação original terá dois

raízes diferentes.

A equação tem quatro raízes diferentes.

A ferramenta mais poderosa para resolver problemas complexos com parâmetros é o teorema de Vieta. Mas aqui você precisa estar extremamente atento ao texto.

Esses dois teoremas (direto e inverso)

Teorema Vieta

Se a equação tem raízes e ; então as igualdades são satisfeitas.

Características do teorema:

Primeiro . O teorema é verdadeiro apenas para a equação e não é verdade para

No último caso, você deve primeiro dividir ambas as partes da equação por um coeficiente diferente de zero a em x 2 e, em seguida, aplicar o teorema de Vieta.

Segundo. Para usar os resultados do teorema, é necessário ter o fato da existência das raízes das equações, ou seja, não esqueça de impor a condição D>0

Reverter

Teorema de Vieta

Se existem números arbitrários e eles são as raízes da equação

Nota muito importante, facilitando a resolução de problemas: o teorema inverso garantias a existência de raízes na equação, o que permite não mexer no discriminante. É automaticamente não negativo neste caso.

	Condições para raízes	Condição equivalente nos coeficientes a, b, c e o discriminante D
	Raízes existem (e são distintas)
	As raízes existem e são iguais
	As raízes existem e
	As raízes existem e
	As raízes existem e são diferentes
	Existem raízes, uma raiz é zero e a outra é >0

1). Defina em quais valores do parâmetro a equação

Não tem raízes.

Se a equação não tem raízes, então é necessário e suficiente que o discriminante

tem raízes positivas diferentes.

Como existem raízes, se ambas são positivas, usamos a fórmula de Vieta, então para esta equação

⟹

Tem várias raízes negativas

Tem raízes de sinal diferente

Tem raízes correspondentes

2). Em quais valores do parâmetro uma ambas as raízes da equação quadrática será positivo?

Decisão.

Como a equação dada é quadrática, então ambas as suas raízes (iguais ou diferentes) serão positivas se o discriminante for não negativo, e a soma e o produto das raízes forem positivos, ou seja

Como, e pelo teorema de Vieta,

Então obtemos um sistema de desigualdades

3). Encontre todos os valores de parâmetro uma são não-positivos.

Como a equação dada é quadrática, então . Ambas as suas raízes (iguais ou diferentes) serão negativas ou iguais a zero se o discriminante for não negativo, a soma das raízes for negativa ou igual a zero e o produto das raízes for não negativo, ou seja

e pelo teorema de Vieta

então obtemos um sistema de desigualdades.

Onde

4) Em quais valores do parâmetro uma igual a 22,5?

Primeiro, vamos oferecer uma “solução”, que já tivemos que encontrar mais de uma vez.

na medida em que então obtemos a “Resposta” No entanto, com o valor encontrado uma A equação original não tem raízes.

Nesta solução, encontramos um dos erros “mais populares” associados à aplicação do teorema de Vieta:

falar sobre raízes sem primeiro descobrir se elas existem ou não.

Então, neste exemplo, em primeiro lugar, foi necessário estabelecer isso apenas quando a equação original tem raízes. Só então pode-se recorrer aos cálculos acima.

Resposta: Tal uma não existe.

5). As raízes da equação são tais que Definir

Decisão. De acordo com o teorema de Vieta Vamos ao quadrado as duas partes da primeira igualdade Considerando isso e obtemos ou Verificando mostra que os valores satisfazem a equação original.

Responda:

6). Em que valor do parâmetro uma a soma dos quadrados das raízes da equação assume o menor valor:

Encontre o discriminante desta equação. Temos aqui que é importante não fazer uma conclusão errônea de que a equação tem duas raízes para qualquer uma. ele realmente tem duas raízes para qualquer, mas admissível uma, ou seja em em

Usando o teorema de Vieta, escrevemos

Assim, para obter uma resposta, resta encontrar o menor valor da função quadrática

no set

Desde em e em então a função no conjunto especificado assume o menor valor no ponto

Tarefas para solução independente

1). Encontre todos os valores de parâmetro uma, para o qual as raízes da equação quadrática

não negativo

2). Calcule o valor da expressão , onde estão as raízes da equação

3). Encontre todos os valores de parâmetro uma, para o qual a soma dos quadrados das raízes reais da equação mais de 6.

Responda:

4). Em quais valores do parâmetro a equação ax 2 -4x + a \u003d 0 tem:

a) raízes positivas

b) raízes negativas

A localização das raízes de uma função quadrática em relação a

pontos dados.

Para tais problemas, a seguinte formulação é típica: para quais valores do parâmetro as raízes (apenas uma raiz) são maiores (menos, nem mais, nem menos) de um determinado número A; as raízes estão localizadas entre os números A e B; as raízes não pertencem ao intervalo com extremidades nos pontos A e B, etc.

Ao resolver problemas relacionados a um trinômio quadrado

muitas vezes temos que lidar com as seguintes situações padrão (que formularemos na forma de uma “pergunta e resposta”.

Questão 1. Seja dado um número (1) ambas as suas raízes e mais Essa. ?

Responda. Coeficientes de um trinômio quadrado (7) deve cumprir as condições

Onde - abcissa do topo da parábola.

A validade do que foi dito segue da Fig. 1, que apresenta separadamente os casos e Observe que as duas condições e ainda não são suficientes para que as raízes de e sejam maiores. 1 traço mostra uma parábola que satisfaz essas duas condições, mas suas raízes são menores. No entanto, se adicionarmos às duas condições indicadas que a abcissa do vértice da parábola é maior, então as raízes serão maiores que

Questão 2. Seja dado um número Sob que condições nos coeficientes de um trinômio quadrado (1) suas raízes e deite-se em lados opostos Essa. ?

Responda. coeficientes trinômios quadrados (1) deve satisfazer a condição

A validade do que foi dito segue da Fig. 2, onde os casos e são apresentados separadamente Observe que a condição indicada garante a existência de duas raízes diferentes e um trinômio quadrado (1).

Questão 3. Sob que condições nos coeficientes de um trinômio quadrado (1) suas raízes e são diferentes e apenas um deles está no intervalo dado

Responda. Coeficientes de um trinômio quadrado (1) deve satisfazer a condição

Pergunta 4. Sob que condições nos coeficientes de um trinômio quadrado (1) o conjunto de suas raízes não é vazio e todas as suas raízes e mentira no intervalo dado Essa.

Responda. Os coeficientes do trinômio quadrado (1) devem satisfazer as condições

Para resolver esses problemas, é útil trabalhar com a tabela abaixo.

Raízes polinomiais

.

Informação sobre o autor

Stukalova Nadezhda Vasilievna

Local de trabalho, cargo:

MBOU escola secundária №15, professor de matemática

Região Tambov

Características da aula (aulas)

O nível de escolaridade:

Educação geral secundária (completa)

O público alvo:

Aluno (aluno)

O público alvo:

Professor professor)

Aulas):

Itens):

Álgebra

Itens):

Matemática

O objetivo da aula:

Tipo de aula:

Aula combinada

Alunos da turma (público):

Livros e tutoriais usados:

A. G. Mordkovich, álgebra, 9ª série, livro didático, 2011

A. G. Mordkovich, álgebra, classe 9, livro de problemas, 2011

S.A. Telyakovsky, álgebra 9º ano, livro didático, 2009

Literatura metodológica usada:

Miroshin, V. V. Resolvendo problemas com parâmetros: Teoria e prática / V.V. Miroshin.- M.: Exame, 2009.

L. V Kuznetsova Coleção de tarefas para o exame

Equipamento usado:

Computador, projetor de filme

Pequena descrição:

Plano de aula: 1. Momento organizacional. 2. Generalização e sistematização do conhecimento (lembre-se das condições necessárias e suficientes para a localização das raízes de um trinômio quadrado em uma reta real). 3. Resolução de problemas com parâmetros (trabalho em grupo). 4. Trabalho independente com verificação posterior. 5. Resumindo. 6. Lição de casa.

Resumo da lição

sobre o tema

"Localização das raízes de um trinômio quadrado

dependendo dos valores dos parâmetros"

professor de matemática Stukalova N.V. MBOU escola secundária №15

Michurinsk - cidade científica da Federação Russa 2011

O objetivo da aula:

Desenvolver competências práticas dos alunos na resolução de tarefas com parâmetros;

Preparar os alunos para a aprovação bem sucedida do GIA em matemática;

Desenvolver actividades de investigação e cognitivas dos alunos;

Para formar um interesse em matemática;

Desenvolver as habilidades matemáticas dos alunos.

Plano de aula:

1. Momento organizacional.

2. Generalização e sistematização do conhecimento (lembre-se das condições necessárias e suficientes para a localização das raízes de um trinômio quadrado em uma reta real).

3. Resolução de problemas com parâmetros (trabalho em grupo).

4. Trabalho independente com verificação posterior.

5. Resumindo.

6. Lição de casa.

Durante as aulas.

1. Organizando o tempo.

O professor informa o tema da aula, estabelece metas e objetivos para os alunos, relata o plano de aula.

Tarefas com parâmetros causam grandes dificuldades. Isso se deve ao fato de que a solução de tais problemas requer não apenas o conhecimento das propriedades das funções e equações, a capacidade de realizar transformações algébricas, mas também uma alta cultura lógica e boa técnica de pesquisa.

Nossa lição é dedicada a resolver problemas sobre a localização das raízes de um trinômio quadrado em uma reta real.

2. Generalização e sistematização do conhecimento:

Lembre-se das condições necessárias e suficientes para cumprir os vários requisitos para a localização das raízes de uma equação quadrática em relação a pontos ou intervalos dados.

Após a resposta dos alunos, são mostrados os slides com a resposta correta.

1. A localização das raízes em ambos os lados do dado na reta numérica

pontos.

condição x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. A localização das raízes em ambos os lados de um determinado segmento.

Para que as raízes da equação quadrática em a ≠ 0 satisfaçam

condição x 1< m, х 2 < n, где m

sistemas de desigualdades

3. A localização das raízes em um lado do dado na reta numérica

Pontos.

Para que as raízes da equação quadrática em a ≠ 0 satisfaçam

condição m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

é necessário e suficiente para satisfazer o sistema de desigualdades

Se à esquerda do ponto x = m, é necessário e suficiente realizar

sistemas de desigualdades

4. Pertencimento das raízes a um dado intervalo.

intervalo (m;n), é necessário e suficiente para executar o sistema

desigualdades

5. Pertencimento das raízes a um determinado segmento.

Para que as raízes da equação quadrática para a ≠ 0 pertençam

intervalo, é necessário e suficiente para executar o sistema

desigualdades

3. Resolver problemas com parâmetros.

Os alunos são divididos em 4 grupos. Em cada grupo há crianças que são mais bem sucedidas em álgebra. Cada grupo começa a resolver o problema que corresponde ao número do seu grupo. Depois de discutir o andamento da resolução do problema, um representante de cada grupo vai ao quadro e elabora uma solução para o problema do seu grupo, e explica a sua solução (em pranchas dobráveis). Neste momento, os caras devem resolver os problemas de outro grupo (você pode obter conselhos do professor).

Tarefa número 1.

Em quais valores do parâmetro uma uma raiz da equação (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + +11 - 3a \u003d \u003d 0 é maior que 1, a outra raiz é menor que 1?

Decisão.

O gráfico da função y \u003d f (x), onde f (x) \u003d (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + + 11 - 3a, com

a ≠ - 7/12 é uma parábola cujos ramos para a > - 7/12 são direcionados para cima, para a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра uma satisfaça a desigualdade

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Tarefa nº 2.

Encontre os valores do parâmetro a para os quais as raízes da equação (1 + a) x 2 - 3ax + 4a \u003d 0 são maiores que 1.

Decisão.

Quando a≠-1, a equação dada é quadrática e D= -a(7a+16). Obtemos o sistema , de onde -16/7≤а≤ -1.

Os valores dos parâmetros nos quais as raízes desta equação para a ≠ - 1 são maiores que 1 pertencem ao intervalo [-16/7; -1).

Quando um \u003d -1, a equação dada tem a forma 3x - 4 \u003d 0 e a única raiz

Resposta: [-16/7; -1]

Tarefa nº 3.

Em quais valores do parâmetro k as raízes da equação (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

pertencem ao intervalo (0;1)?

Decisão.

Para k≠2, os valores dos parâmetros desejados devem satisfazer o sistema de desigualdades

Onde D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x em \u003d k / (k-2).

Este sistema não tem soluções.

Para k = 2, a equação dada tem a forma -4x+1 = 0, sua única raiz

x = ¼, que pertence ao intervalo (0;1).

Tarefa nº 4.

Em quais valores de a ambas as raízes da equação x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 estão localizadas no segmento?

Os valores desejados devem satisfazer o sistema de desigualdades

onde D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x in \u003d a.

A única solução do sistema é o valor, a = 4.

4. Trabalho independente (controle - treinamento).

Os alunos trabalham em grupo, realizam a mesma opção, pois o material é muito complexo e nem todos conseguem.

Nº 1. Em que valores do parâmetro a ambas as raízes da equação x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 pertencem ao intervalo (-2; 4)?

Nº 2. Encontre todos os valores de k para os quais existe uma raiz da equação

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 é menor que 1 e a outra raiz é maior que 2.

N ° 3. Em que valores de a está o número 1 entre as raízes do trinômio quadrado x 2 + (a + 1) x - a 2?

Ao final do tempo, as respostas são exibidas. A auto-verificação do trabalho independente é realizada.

5. Resumo da lição. Finalize a oferta.

"Hoje na aula..."

"Eu lembro..."

"Gostaria de observar ...".

O professor analisa todo o curso da aula e seus principais pontos, avalia as atividades de cada aluno na aula.

6. Trabalho de casa

(da coleção de tarefas para se preparar para o GIA no 9º ano, autor L. V. Kuznetsova)

4. Localização das raízes de um trinômio quadrado dependendo do parâmetro

Muitas vezes há problemas com parâmetros nos quais é necessário determinar a localização das raízes de um trinômio quadrado no eixo real. Com base nas principais disposições e anotação do parágrafo anterior, considere os seguintes casos:

1. Seja dado um trinômio quadrado, onde
e ponto m no eixo Boi. Então os dois cavalos
trinômio quadrado
será estritamente menor m

ou

A ilustração geométrica é mostrada nas Figuras 3.1 e 3.2.

2. Seja dado um trinômio quadrado, onde e um ponto m no eixo Boi. Desigualdade
só vale se e somente se os números uma e
têm sinais diferentes, ou seja,
(Fig. 4.1 e 4.2.)

3. Seja dado um trinômio quadrado, onde e o ponto m no eixo Boi. Então os dois cavalos
trinômio quadrado será estritamente maior m se e somente se as seguintes condições forem atendidas:

ou

Uma ilustração geométrica é mostrada nas Figuras 5.1 e 5.2.

4. Seja dado um trinômio quadrado, onde e o intervalo (m, M) Então ambas as raízes do trinômio quadrado pertencem ao intervalo indicado se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:

ou

A ilustração geométrica é mostrada nas Figuras 6.1 e 6.2.

5. Seja dado um trinômio quadrado, onde , são suas raízes e seu segmento
. O segmento está no intervalo
se e somente se as seguintes condições forem atendidas:

A ilustração geométrica é mostrada nas Figuras 7.1 e 7.2.

Exemplo.Encontre todos os valores de parâmetrouma, para cada um dos quais ambas as raízes da equação
mais de -2.

Decisão. Ele é especificado na condição da tarefa. Que a equação tem duas raízes, então . A situação em questão é descrita pelo caso 3 e é mostrada na Figura 5.1. e 5.2.

Vamos encontrar,
,

Considerando tudo isso, escrevemos o conjunto de dois sistemas:

ou

Resolvendo esses dois sistemas, obtemos .

Responda. Para cada valor de parâmetro uma da lacuna, ambas as raízes da equação são maiores que -2.

Exemplo.Em quais valores do parâmetroumadesigualdade
realizado para qualquer
?

Decisão. Se o conjunto Xé a solução desta desigualdade, então a condição do problema significa que o intervalo
deve estar dentro do conjunto X, ou seja

.

Considere todos os valores possíveis do parâmetro uma.

1.Se a=0, então a desigualdade assume a forma
, e sua solução será o intervalo
. Neste caso, a condição é satisfeita e a=0é a solução do problema.

2.Se
, então o gráfico do lado direito da desigualdade é um trinômio quadrado, cujos ramos são direcionados para cima. A solução da inequação depende do sinal de .

Considere o caso em que
. Então, para que a desigualdade seja válida para todos, é necessário que as raízes do trinômio quadrado sejam menores que -1, ou seja:

ou

Resolvendo este sistema, obtemos
.

Se um
, então a parábola está acima do eixo Ox, e a solução da inequação será qualquer número do conjunto dos números reais, incluindo o intervalo . Vamos encontrar tal uma da condição:

ou

Resolvendo este sistema, obtemos
.

3.Se
, então em
a solução para a desigualdade é o intervalo , que não pode incluir o intervalo , e se
essa desigualdade não tem solução.

Combinando todos os valores encontrados uma, obtemos a resposta.

Responda. Para qualquer valor de parâmetro do intervalo
a desigualdade vale para qualquer .

Exemplo.Para quais valores do parâmetro a o conjunto de valores da função contém o segmento
?

Decisão. 1. Se
, então

a) em a = 1 função terá a forma y = 2, e o conjunto de seus valores consiste em um único ponto 2 e não contém o segmento ;

b) quando a =-1 função terá a forma y = -2 x+2 . Seu conjunto de significados
contém um segmento, então a =-1 é a solução para o problema.

2.Se
, então os ramos da parábola são direcionados para cima, a função assume o menor valor no vértice da parábola
:

,
.

O conjunto de valores da função é um intervalo
, que contém o segmento
se as seguintes condições forem atendidas:

.

3. Se
, então os ramos da parábola são direcionados para baixo, a função assume o maior valor no vértice da parábola
. O conjunto de valores da função é um intervalo
, que contém o segmento se as seguintes condições forem atendidas:

Resolvendo este sistema de desigualdades, obtemos
.

Combinando as soluções, obtemos
.

Responda. No
o conjunto de valores da função contém o segmento .

Tarefas para solução independente

1. Sem calcular as raízes da equação quadrática
, encontrar

a)
, b)
, dentro)

2. Encontre o conjunto de valores de função

a)
, b)
, dentro)
, G)

3. Resolva equações

a)
, b)

4. Em quais valores do parâmetro uma ambas as raízes da equação
mentira no intervalo (-5, 4)?

5. Em quais valores do parâmetro uma a desigualdade vale para todos os valores x?

6. Em quais valores do parâmetro uma menor valor de função

No segmento
é -1?

7. Em quais valores do parâmetro uma a equação
tem raízes?

Karpova Irina Viktorovna

PROGRAMA E MATERIAIS EDUCATIVOS DO CURSO ELETIVO em matemática para alunos das séries 8-9 "Elementos da teoria da probabilidade e estatística matemática"

Nota explicativa

Atualmente, a universalidade das leis probabilístico-estatísticas está se tornando óbvia; elas se tornaram a base para descrever o quadro científico do mundo. A física moderna, a química, a biologia, a demografia, a linguística, a filosofia, todo o complexo das ciências socioeconómicas estão a desenvolver-se numa base estatística-probabilística.

Uma criança em sua vida encontra diariamente situações probabilísticas. A gama de questões relacionadas à compreensão da relação entre os conceitos de probabilidade e confiabilidade, o problema de escolher a melhor entre várias soluções, avaliar o grau de risco e as chances de sucesso - tudo isso está na esfera dos reais interesses da formação e autodesenvolvimento do indivíduo.

Todos os itens acima tornam necessário familiarizar a criança com padrões estatísticos probabilísticos.

Curso Objetivo: familiarizar os alunos com alguns padrões teóricos e probabilísticos e métodos estatísticos de tratamento de dados.

Objetivos do curso

Familiarizar os alunos com o aparato conceptual básico da teoria das probabilidades.

Aprenda a determinar a probabilidade de eventos no esquema de teste clássico.

Conhecer os métodos de tratamento primário de dados estatísticos.

Requisitos para o nível de domínio do conteúdo do curso

Como resultado de dominar o programa do curso, os alunos devem conhecer:

conceitos básicos da teoria das probabilidades: teste, resultado do teste, espaço de eventos elementares, eventos aleatórios, certos, impossíveis, eventos conjuntos e incompatíveis;

condições do esquema de teste clássico e determinação da probabilidade de um evento no esquema de teste clássico;

determinar a frequência relativa de ocorrência do evento e a probabilidade estatística;

determinação da série de variação e suas principais características numéricas.

Durante o curso, os alunos devem adquirir Habilidades:

determinar todos os resultados possíveis do teste, a compatibilidade e incompatibilidade de eventos;

resolver problemas teóricos e probabilísticos para calcular a probabilidade no esquema clássico de testes;

calcular a frequência relativa de ocorrência de um evento;

fazer uma distribuição estatística da amostra e calcular suas características numéricas.

O programa envolve o desenvolvimento dos alunos Habilidades:

uso de algoritmos existentes e, se necessário, seu processamento criativo nas condições específicas do problema;

resolução de problemas independente;

uso na resolução de problemas de esquemas generalizados contendo definições e fórmulas básicas.

Escopo do curso: o curso oferecido é de 20 horas

Planejamento temático

	Tópicos da lição	Número de horas
	Conceitos básicos da teoria das probabilidades.
	Esquema de teste clássico. Determinação de probabilidade no esquema de teste clássico.
	A frequência é absoluta e relativa.
	Definição estatística de probabilidade.
	Populações gerais e amostrais.
	Distribuição estatística da amostra.
	Características numéricas da distribuição estatística.
	Estimativa e previsão estatística.

Texto manual

Muitas pessoas amam a matemática por suas verdades eternas: duas vezes dois é sempre quatro, a soma dos números pares é par e a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados adjacentes. Em qualquer problema que você resolvesse na aula de matemática, todos recebiam a mesma resposta - você só precisava não cometer erros na solução.

A vida real não é tão simples e inequívoca. É impossível prever os resultados de muitos fenômenos com antecedência, não importa quão completas sejam as informações que temos sobre eles. É impossível, por exemplo, dizer com certeza de que lado cairá uma moeda lançada, quando cairá a primeira neve no ano que vem, ou quantas pessoas na cidade vão querer fazer um telefonema na próxima hora. Esses eventos imprevisíveis são chamados aleatória.

No entanto, o caso também tem suas próprias leis, que começam a se manifestar com a repetição repetida de fenômenos aleatórios. Se você jogar uma moeda 1000 vezes, a "águia" cairá cerca de metade das vezes, o que não pode ser dito sobre duas ou mesmo dez jogadas. Observe a palavra "aproximadamente" - a lei não afirma que o número de "águias" será exatamente 500 ou cairá entre 490 e 510. Ela não afirma nada com certeza, mas dá um certo grau de certeza de que alguns evento ocorrerá. . Tais regularidades são estudadas por um ramo especial da matemática - teoria da probabilidade.

A teoria da probabilidade está inextricavelmente ligada à nossa vida diária. Isso fornece uma oportunidade notável para estabelecer muitas leis probabilísticas empiricamente, repetindo repetidamente experimentos aleatórios. Os materiais para esses experimentos geralmente serão uma moeda comum, um dado, um jogo de dominó, uma roleta e até um baralho de cartas. Cada um desses itens, de uma forma ou de outra, está ligado a jogos. O fato é que o caso aqui aparece em sua forma mais pura, e os primeiros problemas probabilísticos estavam associados à avaliação das chances de vitória dos jogadores.

A teoria moderna da probabilidade se afastou tanto dos jogos de azar quanto da geometria dos problemas de gestão da terra, mas seus adereços ainda são a fonte de sorte mais simples e confiável. Ao praticar com uma roleta e um dado, você aprenderá a calcular a probabilidade de eventos aleatórios em situações da vida real, o que permitirá avaliar suas chances de sucesso, testar hipóteses e tomar decisões não apenas em jogos e loterias.

Estatística matemática é um ramo da matemática que estuda métodos para coletar, sistematizar e processar os resultados de observações de fenômenos aleatórios de massa para identificar padrões existentes.

De certa forma, os problemas da estatística matemática são inversos aos problemas da teoria das probabilidades: lidando apenas com valores obtidos experimentalmente de variáveis ​​aleatórias, a estatística visa apresentar e testar hipóteses sobre a distribuição dessas variáveis ​​aleatórias e avaliar os parâmetros de sua distribuição.

1. Eventos aleatórios. Como comparar eventos?

Como qualquer outro ramo da matemática, a teoria da probabilidade tem seu próprio aparato conceitual, que é usado para formular definições, provar teoremas e derivar fórmulas. Consideremos os conceitos que usaremos na exposição posterior da teoria.

Julgamento- implementação de um conjunto de condições.

Resultado do teste (evento elementar)– qualquer resultado que possa ocorrer durante o teste.

Exemplos.

1) Julgamento:

Resultado dos testes:ω 1 - um ponto apareceu na face superior do cubo;

ω 2 – apareceram dois pontos na face superior do cubo;

ω 3 – três pontos apareceram na face superior do cubo;

ω 4 – quatro pontos apareceram na face superior do cubo;

ω 5 – cinco pontos apareceram na face superior do cubo;

ω 6 - seis pontos apareceram na face superior do cubo.

No total, são possíveis 6 resultados de teste (ou 6 eventos elementares).

2) Julgamento: o aluno faz o exame.

Resultado dos testes:ω 1 - o aluno recebeu um empate;

ω 2 - o aluno recebeu três;

ω 3 - o aluno recebeu quatro;

ω 4 - o aluno recebeu cinco.

No total, são possíveis 4 resultados de teste (ou 4 eventos elementares).

Comente. A notação ω é a notação padrão para um evento elementar, a seguir usaremos essa notação.

Chamaremos os resultados deste teste igualmente possível se os resultados do ensaio tiverem a mesma chance de aparecer.

Espaço de eventos elementares- o conjunto de todos os eventos elementares (resultados do teste) que podem aparecer durante o teste.

Nos exemplos que consideramos acima, os espaços de eventos elementares desses testes foram realmente descritos.

Comente. O número de pontos no espaço de eventos elementares (PES), ou seja, o número de eventos elementares será denotado pela letra n.

Consideremos o conceito principal, que usaremos a seguir.

Definição 1.1.Um evento é uma coleção de um certo número de pontos TEC.

No futuro, denotaremos eventos em letras latinas maiúsculas: A, B, C.

Definição 1.2.Um evento que pode ou não ocorrer durante um teste é chamado de evento aleatório.

Ao comprar um bilhete de loteria, podemos ou não ganhar; nas próximas eleições, o partido no poder pode ganhar ou não; na lição você pode ser chamado ao quadro, ou eles não podem ser chamados, etc. Todos esses são exemplos de eventos aleatórios que, nas mesmas condições, podem ou não ocorrer durante um teste.

Comente. Qualquer evento elementar também é um evento aleatório.

Definição 1.3.Um evento que ocorre para qualquer resultado de uma tentativa é chamado de evento certo.

Definição 1.4.Um evento que não pode ocorrer em nenhum resultado do teste é chamado de evento impossível.

Exemplo.

1) Julgamento: um dado é lançado.

Evento A: um número par de pontos caiu na face superior do dado;

Evento B: no lado superior do dado, vários pontos caíram, um múltiplo de 3;

Evento C: 7 pontos caíram na face superior do dado;

Evento D: o número de pontos menor que 7 caiu na face superior do dado.

Eventos MAS e NO podem ou não ocorrer durante o teste, portanto são eventos aleatórios.

Evento Com nunca pode acontecer, por isso é um evento impossível.

Evento D ocorre com qualquer resultado do teste, então este é um evento confiável.

Dissemos que eventos aleatórios sob as mesmas condições podem ou não ocorrer. Ao mesmo tempo, alguns eventos aleatórios têm mais chances de ocorrer (o que significa que são mais prováveis ​​- mais próximos de confiáveis), enquanto outros têm menos chances (são menos prováveis ​​- mais próximos do impossível). Portanto, como primeira aproximação, é possível definir a probabilidade como o grau de possibilidade da ocorrência de um evento.

É claro que os eventos mais prováveis ​​ocorrerão com mais frequência do que os menos prováveis. Assim, você pode comparar as probabilidades pela frequência com que os eventos ocorrem.

Vamos tentar colocar os seguintes eventos em uma escala de probabilidade especial em ordem crescente de probabilidade de sua ocorrência.

Evento A: no próximo ano, a primeira neve em Khabarovsk cairá no domingo;

Evento B: o sanduíche que caiu da mesa caiu com a manteiga para baixo;

Evento C: ao jogar um dado, 6 pontos cairão;

Evento D: ao lançar um dado, um número par de pontos cairá;

Evento E: ao jogar um dado, 7 pontos caíram;

Evento F: Quando um dado é lançado, um número de pontos menor que 7 aparecerá.

Assim, no ponto de partida de nossa escala, colocaremos eventos impossíveis, pois o grau de possibilidade de sua ocorrência (probabilidade) é praticamente igual a 0. Assim, este será um evento E. No ponto final de nossa escala, colocamos eventos confiáveis ​​- F. Todos os outros eventos são aleatórios, vamos tentar organizá-los na escala em ordem crescente de grau de ocorrência. Para fazer isso, devemos descobrir quais deles são menos prováveis ​​e quais são mais prováveis. Vamos começar com o evento D: Quando lançamos um dado, cada uma das 6 faces tem a mesma chance de estar no topo. Um número par de pontos - em três faces do cubo, nas outras três - ímpares. Então exatamente metade da chance (3 em 6) de que o evento D acontecerá. Por isso, colocamos o evento D no meio da nossa escala.

No evento Com apenas uma chance em 6 enquanto o evento tem D- três chances em 6 (como descobrimos). então Com menos provável e estará localizado na escala à esquerda do evento D.

Evento MAS ainda menos provável do que Com, porque há 7 dias em semanas e em qualquer um deles a primeira neve pode cair com igual probabilidade, então o evento tem MAS uma chance em 7. Evento MAS, portanto, estará localizado ainda mais à esquerda do que o evento Com.

A coisa mais difícil de colocar na balança é um evento NO. Aqui é impossível calcular com precisão as chances, mas você pode contar com a experiência de vida para ajudar: um sanduíche cai no chão com manteiga caída com muito mais frequência (existe até uma “lei do sanduíche”), então o evento NO muito mais provável do que D, então na escala nós o colocamos à direita do que D. Assim, obtemos a escala:

E A C D B F

impossível aleatório certo

A escala de probabilidade construída não é bem real - não possui marcas numéricas, divisões. Estamos diante da tarefa de aprender a calcular o grau de possibilidade de ocorrência (probabilidade) de um evento.

Equações quadráticas com parâmetros

(Desenvolvimento metodológico para alunos do 9º ao 11º ano)

professor de matemática da categoria de qualificação mais alta,

Diretor Adjunto da UVR

Megion 2013

Prefácio

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Aplicação do teorema de Vieta

O trabalho científico resolvendo problemas com parâmetros e, em particular, resolvendo equações quadráticas com parâmetros é propedêutica trabalho de pesquisa dos alunos. No USE em matemática (geralmente tarefas C5), GIA (tarefas da parte 2) e nos exames de admissão, existem principalmente dois tipos de tarefas com parâmetros. Primeiro: "Para cada valor do parâmetro, encontre todas as soluções para alguma equação ou desigualdade." Segundo: "Encontre todos os valores do parâmetro, para cada um dos quais algumas condições são satisfeitas para uma determinada equação ou desigualdade." Assim, as respostas nestes dois tipos de problemas diferem em essência. Na resposta ao problema do primeiro tipo, todos os valores possíveis do parâmetro são listados e as soluções da equação são escritas para cada um desses valores. Na resposta ao problema do segundo tipo, todos os valores dos parâmetros são indicados sob os quais as condições especificadas no problema são atendidas.

Como você sabe, muito pouca atenção é dada à resolução de problemas com parâmetros na escola. Portanto, resolver problemas com parâmetros sempre causa grandes dificuldades para os alunos; é difícil esperar que alunos cuja formação não incluiu “terapia paramétrica” sejam capazes de lidar com sucesso com tais tarefas no ambiente difícil de um exame competitivo, portanto, os alunos devem se preparar especificamente para o “encontro com parâmetros”. Muitos alunos percebem o parâmetro como um número "regular". De fato, em alguns problemas o parâmetro pode ser considerado um valor constante, mas esse valor constante assume valores desconhecidos. Portanto, é necessário considerar o problema para todos os valores possíveis dessa constante. Em outros problemas, pode ser conveniente declarar artificialmente uma das incógnitas como parâmetro.

Tarefas com parâmetros têm valor diagnóstico e prognóstico - com a ajuda de tarefas com parâmetros, você pode verificar o conhecimento das principais seções da matemática escolar, o nível de pensamento matemático e lógico, as habilidades iniciais das atividades de pesquisa e, o mais importante, promissor oportunidades para dominar com sucesso o curso de matemática de uma determinada universidade.

Uma análise das opções de USE em matemática e vestibulares para várias universidades mostra que a maioria das tarefas propostas com parâmetros estão associadas à localização das raízes de um trinômio quadrado. Sendo a principal no curso de matemática escolar, a função quadrática forma uma extensa classe de problemas com parâmetros, diversos em forma e conteúdo, mas unidos por uma ideia comum - as propriedades da função quadrática são a base para sua solução. Ao resolver tais problemas, recomenda-se trabalhar com três tipos de modelos:

1. modelo verbal - descrição verbal da tarefa;

2. modelo geométrico - esboço de um gráfico de uma função quadrática;

3. modelo analítico - um sistema de desigualdades, que descreve o modelo geométrico.

O manual contém teoremas sobre a localização das raízes de um trinômio quadrado (condições necessárias e suficientes para a localização das raízes de uma função quadrática em relação a pontos dados), a aplicação do teorema de Vieta à solução de equações quadráticas com parâmetros. Soluções detalhadas de 15 problemas com recomendações metódicas são fornecidas. O objetivo deste manual é auxiliar o graduado e o professor de matemática na preparação para a aprovação no Exame Estadual Unificado e no GIA em matemática, e no vestibular na forma de prova ou na forma tradicional.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - fica à direita da linha x = n (condição xb>n) ;

3. a parábola intercepta a reta x = n em um ponto situado no semiplano superior para a>0 e em um ponto situado no semiplano inferior para a<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" altura="240">.png" largura="38" altura="31 src=">.png" largura="263" altura="264">.png" largura="266" altura=" 264">.png" largura="311" altura="264">.png" largura="280" altura="264">.png" largura="266" altura="264">.png" largura= "263" altura="264">.png" largura="280" altura="264">.png" largura="311" altura="264">.png" largura="263" altura="264" >.png" largura="266" altura="264">.png" largura="290" altura="264">.png" largura="266" altura="264">.png" largura="290 " altura="264">.png" largura="266" altura="264">.png" largura="263" altura="264">.png" largura="266" altura="264">. png" largura="153" altura="43 src=">

Teorema 10. Equações quadráticas x2 + p1x + q1 = 0 e x2 + p2x + q2 = 0,

cujos discriminantes são não negativos têm pelo menos uma raiz comum se e somente se (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Prova.

Seja f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, e os números x1, x2 são as raízes da equação f1(x) = 0. Para as equações f1(x ) = 0 e f2(x) = 0 tenham pelo menos uma raiz comum, é necessário e suficiente que f1(x)∙f2(x) = 0, ou seja, que (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Representamos a última igualdade na forma

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Como x12 + p1x1 + q1 = 0 e x22 + p1x2 + q1 = 0, obtemos

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, ou seja

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Pelo teorema de Vieta x1 +x2 = -p1 e x1x2 =q1; conseqüentemente,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, ou

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), que deveria ser provado.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Equação quadrática machado 2 + bx + c = 0

1) tem duas raízes reais positivas se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas simultaneamente:

;

2) tem duas raízes reais negativas se e somente se as condições forem satisfeitas simultaneamente:

;

3) tem duas raízes reais de sinais diferentes se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas simultaneamente:

;

4) tem duas raízes reais de mesmo sinal se

Observação 1. Se o coeficiente em X 2 contém um parâmetro, é necessário analisar o caso quando ele desaparece.

Observação 2. Se o discriminante de uma equação quadrática for um quadrado perfeito, a princípio é mais conveniente encontrar expressões explícitas para suas raízes.

Observação 3. Se uma equação contendo várias incógnitas é quadrática em relação a uma delas, então a chave para resolver o problema é frequentemente o estudo de seu discriminante.

Apresentamos um esquema para estudar problemas relacionados à localização das raízes de um trinômio quadradof(x) = machado2 + bx + c:

1. Estudo do caso a = o (se o primeiro coeficiente depende dos parâmetros).

2. Encontrando o discriminante D no caso a≠0.

3. Se D é o quadrado completo de alguma expressão, então encontre as raízes x1, x2 e subordinando as condições do problema.

4..png" largura="13" altura="22 src="> 3. Exemplos de resolução de problemas para preparação para o GIA e o Exame Estadual Unificado em matemática

Exemplo 1 Resolva a equação ( uma - 2)x 2 – 2machado + 2uma – 3 = 0.

Decisão. Considere dois casos: a = 2 e a ≠ 2. no primeiro caso, a equação original assume a forma - 4 X+ 1 = 0..png" largura="255" altura="58 src=">

Para um \u003d 1 ou um \u003d 6, o discriminante é zero e a equação quadrática tem uma raiz: , ou seja, para um \u003d 1 obtemos a raiz , e para a = 6 - a raiz.

Em 1< uma < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">a equação não tem raízes; para a = 1 a equação tem uma raiz X= -1; no a equação tem duas raízes ; no uma= 2 a equação tem uma única raiz; no uma= 6 a equação tem uma única raiz .

Exemplo 2 Em que valor do parâmetro uma a equação ( uma - 2)X 2 + (4 – 2uma)X+ 3 = 0 tem uma única raiz?

Decisão . Se um uma= 2, então a equação se torna linear∙ X+ 3 = 0; que não tem raízes.

Se um uma≠ 2, então a equação é quadrática e tem uma única raiz com discriminante zero D.

D= 0 em uma 1 = 2 e uma 2 = 5. Significado uma= 2 é excluído, pois contradiz a condição de que a equação original é quadrática.

Responda : uma = 5.

4.

(uma - 1)X 2 + (2uma + 3)X + uma+ 2 = 0 tem raízes de mesmo sinal?

Decisão. Como, de acordo com a condição do problema, a equação considerada é quadrática, significa que uma≠ 1. Obviamente, a condição do problema também implica a existência de raízes da equação quadrática, o que significa que o discriminante é não negativo

D = (2uma + 3)2 – 4(uma - 1)(uma + 2) = 8uma + 17.

Como, por condição, as raízes devem ter o mesmo sinal, então X 1∙X 2 > 0, i.e..png" width="149" height="21 src=">. Sujeito a condições D≥ 0 e uma≠ 1 temos https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Exemplo 3 Encontre todos os valores de a para os quais a equação x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 tem duas raízes positivas.

Decisão. A partir do teorema de Vieta, para que ambas as raízes x1 e x2 desta equação sejam positivas, é necessário e suficiente que o discriminante do trinômio quadrado x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) seja não- negativo, e o produto x1 ∙ x2 e a soma x1 + x2 foram positivos. Obtemos que tudo satisfaz o sistema

E só eles são as soluções para o problema. Este sistema é equivalente ao sistema

A solução de que, e, portanto, o próprio problema, são todos os números do intervalo )