Um triângulo retângulo é encontrado na realidade em quase todos os cantos. O conhecimento das propriedades desta figura, bem como a capacidade de calcular sua área, sem dúvida, será útil para você não apenas para resolver problemas de geometria, mas também em situações da vida.

geometria do triângulo

Na geometria elementar, um triângulo retângulo é uma figura que consiste em três segmentos conectados que formam três ângulos (dois agudos e um reto). Um triângulo retângulo é uma figura original, caracterizada por uma série de propriedades importantes que formam a base da trigonometria. Ao contrário de um triângulo comum, os lados de uma figura retangular têm seus próprios nomes:

• A hipotenusa é o lado mais longo de um triângulo que se encontra oposto ao ângulo reto.
• Pernas - segmentos que formam um ângulo reto. Dependendo do ângulo considerado, a perna pode estar adjacente a ela (formando esse ângulo com a hipotenusa) ou oposta (oposta ao ângulo). Não há pernas para triângulos não retangulares.

É a razão entre os catetos e a hipotenusa que forma a base da trigonometria: senos, tangentes e secantes são definidos como a razão dos lados de um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo na realidade

Esta figura é amplamente utilizada na realidade. Triângulos são usados ​​em design e tecnologia, portanto, o cálculo da área da figura deve ser feito por engenheiros, arquitetos e designers. As bases dos tetraedros ou prismas têm a forma de um triângulo - figuras tridimensionais que são fáceis de encontrar no dia a dia. Além disso, um quadrado é a representação mais simples de um triângulo retângulo "plano" na realidade. Um quadrado é uma ferramenta de serralheiro, desenho, construção e carpintaria que é usada para construir cantos por alunos e engenheiros.

Área de um triângulo

A área de uma figura geométrica é uma estimativa quantitativa de quanto do plano é delimitado pelos lados de um triângulo. A área de um triângulo comum pode ser encontrada de cinco maneiras, usando a fórmula de Heron ou operando em cálculos com variáveis ​​como base, lado, ângulo e raio do círculo inscrito ou circunscrito. A fórmula de área mais simples é expressa como:

onde a é o lado do triângulo, h é a sua altura.

A fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo é ainda mais simples:

onde a e b são pernas.

Trabalhando com nossa calculadora online, você pode calcular a área de um triângulo usando três pares de parâmetros:

• duas pernas;
• perna e ângulo adjacente;
• perna e ângulo oposto.

Em tarefas ou situações cotidianas, você receberá diferentes combinações de variáveis, portanto, essa forma de calculadora permite calcular a área de um triângulo de várias maneiras. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos da vida real

Azulejo de cerâmica

Digamos que você queira revestir as paredes da cozinha com ladrilhos cerâmicos, que têm a forma de um triângulo retângulo. Para determinar o consumo de ladrilhos, você deve descobrir a área do elemento ósseo do revestimento e a área total da superfície a ser tratada. Suponha que você precise processar 7 metros quadrados. O comprimento das pernas de um elemento é de 19 cm cada, então a área do ladrilho será igual a:

Isso significa que a área de um elemento é de 24,5 centímetros quadrados ou 0,01805 metros quadrados. Conhecendo esses parâmetros, você pode calcular que para terminar 7 metros quadrados de uma parede você precisará de 7 / 0,01805 = 387 azulejos.

tarefa escolar

Suponha que em um problema de geometria escolar seja necessário encontrar a área de um triângulo retângulo, sabendo apenas que o lado de uma perna é de 5 cm e o valor do ângulo oposto é de 30 graus. Nossa calculadora online é acompanhada por uma ilustração que mostra os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Se o lado a = 5 cm, então seu ângulo oposto é o ângulo alfa, igual a 30 graus. Insira esses dados no formulário da calculadora e obtenha o resultado:

Assim, a calculadora não apenas calcula a área de um determinado triângulo, mas também determina o comprimento do cateto adjacente e da hipotenusa, bem como o valor do segundo ângulo.

Conclusão

Triângulos retangulares são encontrados em nossas vidas literalmente em cada esquina. Determinar a área de tais figuras será útil para você não apenas ao resolver tarefas escolares em geometria, mas também em atividades cotidianas e profissionais.

Em matemática, ao considerar um triângulo, muita atenção é necessariamente dada aos seus lados. Já que esses elementos formam essa figura geométrica. Os lados de um triângulo são usados ​​para resolver muitos problemas de geometria.

Definição do conceito

Os segmentos de linha que ligam três pontos que não estão na mesma linha reta são chamados de lados do triângulo. Os elementos considerados limitam uma parte do plano, que é chamada de interior de uma dada figura geométrica.

Os matemáticos em seus cálculos permitem generalizações sobre os lados das figuras geométricas. Assim, em um triângulo degenerado, três de seus segmentos estão em uma linha reta.

Características do conceito

O cálculo dos lados de um triângulo envolve a determinação de todos os outros parâmetros da figura. Conhecendo o comprimento de cada um desses segmentos, você pode calcular facilmente o perímetro, a área e até os ângulos do triângulo.

Arroz. 1. Triângulo arbitrário.

Ao somar os lados desta figura, você pode determinar o perímetro.

P=a+b+c, onde a, b, c são os lados do triângulo

E para encontrar a área de um triângulo, você deve usar a fórmula de Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Onde p é o semiperímetro.

Os ângulos de uma dada figura geométrica são calculados através do teorema do cosseno.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Significado

Através da razão dos lados do triângulo, algumas propriedades desta figura geométrica são expressas:

• O lado oposto do menor lado do triângulo é o seu menor ângulo.
• O ângulo externo da figura geométrica considerada é obtido estendendo-se um dos lados.
• Ângulos iguais opostos de um triângulo são lados iguais.
• Em qualquer triângulo, um dos lados é sempre maior que a diferença dos outros dois segmentos. E a soma de quaisquer dois lados desta figura é maior que o terceiro.

Um dos sinais da igualdade de dois triângulos é a razão entre a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Se esses valores forem iguais, os triângulos serão iguais.

Algumas propriedades de um triângulo dependem de seu tipo. Portanto, você deve primeiro considerar o tamanho dos lados ou ângulos desta figura.

Formação de triângulos

Se os dois lados da figura geométrica considerada são os mesmos, esse triângulo é chamado de isósceles.

Arroz. 2. Triângulo isósceles.

Quando todos os segmentos de um triângulo são iguais, você obtém um triângulo equilátero.

Arroz. 3. Triângulo equilátero.

Qualquer cálculo é mais conveniente para realizar nos casos em que um triângulo arbitrário pode ser atribuído a um determinado tipo. Desde então, encontrar o parâmetro necessário desta figura geométrica será bastante simplificado.

Embora uma equação trigonométrica escolhida corretamente permita resolver muitos problemas nos quais um triângulo arbitrário é considerado.

O que aprendemos?

Três segmentos que são conectados por pontos e não pertencem à mesma linha reta formam um triângulo. Esses lados formam um plano geométrico, que é usado para determinar a área. Com a ajuda desses segmentos, você pode encontrar muitas características importantes de uma figura, como perímetro e ângulos. A proporção de um triângulo ajuda a encontrar seu tipo. Algumas propriedades de uma dada figura geométrica só podem ser utilizadas se as dimensões de cada um de seus lados forem conhecidas.

Questionário do tópico

Classificação do artigo

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Os primeiros são segmentos adjacentes ao ângulo reto, e a hipotenusa é a parte mais longa da figura e está oposta ao ângulo de 90 graus. Um triângulo pitagórico é aquele cujos lados são iguais aos números naturais; seus comprimentos neste caso são chamados de "triplo pitagórico".

triângulo egípcio

Para que a geração atual aprenda geometria na forma em que é ensinada na escola agora, ela foi desenvolvida por vários séculos. O ponto fundamental é o teorema de Pitágoras. Os lados de um retângulo são conhecidos por todo o mundo) são 3, 4, 5.

Poucas pessoas não estão familiarizadas com a frase "As calças pitagóricas são iguais em todas as direções". No entanto, de fato, o teorema soa assim: c 2 (o quadrado da hipotenusa) \u003d a 2 + b 2 (a soma dos quadrados dos catetos).

Entre os matemáticos, um triângulo com lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) é chamado de "egípcio". É interessante que o que está inscrito na figura é igual a um. O nome surgiu por volta do século 5 aC, quando os filósofos gregos viajaram para o Egito.

Ao construir as pirâmides, arquitetos e agrimensores usaram a proporção 3:4:5. Tais estruturas acabaram sendo proporcionais, agradáveis ​​de se ver e espaçosas, e também raramente desmoronaram.

Para construir um ângulo reto, os construtores usaram uma corda na qual foram amarrados 12 nós. Nesse caso, a probabilidade de construir um triângulo retângulo aumentou para 95%.

Sinais de igualdade de figuras

• Um ângulo agudo em um triângulo retângulo e um lado grande, que são iguais aos mesmos elementos no segundo triângulo, é um sinal indiscutível da igualdade das figuras. Levando em conta a soma dos ângulos, é fácil provar que os segundos ângulos agudos também são iguais. Assim, os triângulos são idênticos no segundo critério.
• Quando duas figuras são sobrepostas uma à outra, nós as giramos de tal forma que, quando combinadas, elas se tornam um triângulo isósceles. De acordo com sua propriedade, os lados, ou melhor, as hipotenusas, são iguais, assim como os ângulos na base, o que significa que essas figuras são iguais.

Pelo primeiro sinal, é muito fácil provar que os triângulos são realmente iguais, o principal é que os dois lados menores (ou seja, as pernas) são iguais entre si.

Os triângulos serão os mesmos de acordo com o sinal II, cuja essência é a igualdade da perna e do ângulo agudo.

Propriedades do triângulo de ângulo reto

A altura, que foi abaixada de um ângulo reto, divide a figura em duas partes iguais.

Os lados de um triângulo retângulo e sua mediana são fáceis de reconhecer pela regra: a mediana, que é reduzida à hipotenusa, é igual à metade dela. pode ser encontrado tanto pela fórmula de Heron quanto pela afirmação de que é igual à metade do produto das pernas.

Em um triângulo retângulo, aplicam-se as propriedades dos ângulos de 30º, 45º e 60º.

• Em um ângulo de 30°, deve-se lembrar que a perna oposta será igual a 1/2 do lado maior.
• Se o ângulo é 45o, então o segundo ângulo agudo também é 45o. Isso sugere que o triângulo é isósceles e seus catetos são os mesmos.
• A propriedade de um ângulo de 60 graus é que o terceiro ângulo tem uma medida de 30 graus.

A área é fácil de encontrar por uma das três fórmulas:

1. pela altura e pelo lado em que desce;
2. de acordo com a fórmula de Heron;
3. ao longo dos lados e o ângulo entre eles.

Os lados de um triângulo retângulo, ou melhor, os catetos, convergem com duas alturas. Para encontrar o terceiro, é necessário considerar o triângulo resultante e, em seguida, usando o teorema de Pitágoras, calcular o comprimento necessário. Além desta fórmula, há também a razão entre duas vezes a área e o comprimento da hipotenusa. A expressão mais comum entre os alunos é a primeira, pois exige menos cálculos.

Teoremas que se aplicam a um triângulo retângulo

A geometria de um triângulo retângulo inclui o uso de teoremas como:

Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se um de seus ângulos for 90º. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois são os catetos.

Para encontrar o ângulo em um triângulo retângulo, algumas propriedades dos triângulos retângulos são usadas, a saber: o fato de que a soma dos ângulos agudos é 90º, e também o fato de que em frente ao cateto, cujo comprimento é metade da hipotenusa, está um ângulo igual a 30º.

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Triângulo isósceles

Uma das propriedades de um triângulo isósceles é que dois de seus ângulos são iguais. Para calcular os valores dos ângulos de um triângulo isósceles em ângulo reto, você precisa saber que:

• Um ângulo reto é 90º.
• Os valores dos ângulos agudos são determinados pela fórmula: (180º-90º)/2=45º, ou seja. os ângulos α e β são 45º.

Se o valor de um dos ângulos agudos for conhecido, o segundo pode ser encontrado pela fórmula: β=180º-90º-α, ou α=180º-90º-β. Na maioria das vezes, essa proporção é usada se um dos ângulos for 60º ou 30º.

Conceitos chave

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Como um ângulo é reto, os outros dois serão agudos. Para encontrá-los, você precisa saber que:

Outros métodos

Os valores dos ângulos agudos de um triângulo retângulo podem ser calculados conhecendo o valor da mediana - uma linha traçada do vértice ao lado oposto do triângulo e a altura - uma linha reta, que é uma perpendicular solta do ângulo reto até a hipotenusa. Seja s a mediana traçada do ângulo reto até o ponto médio da hipotenusa, h a altura. Neste caso verifica-se que:

• sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dois lados

Se os comprimentos da hipotenusa e um dos catetos, ou dois lados, são conhecidos em um triângulo retângulo, as identidades trigonométricas são usadas para encontrar os valores dos ângulos agudos:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

ANDREY PROKIP: “MEU AMOR É A ECOLOGIA RUSSA. VOCÊ DEVE INVESTIR NELE!”
De 4 a 5 de setembro, foi realizado o fórum ecológico "Formato climático das cidades". O iniciador da organização do evento é a organização C40, que foi fundada em 2005 pela ONU. A principal tarefa do formulário e das cidades é controlar as mudanças climáticas nas cidades.
Como a prática tem mostrado, ao contrário dos eventos sociais e "reuniões em boates", havia poucos deputados e personalidades públicas. Entre os que realmente revelaram preocupação com a situação ambiental estava Prokip Adrey Zinovievich. Ele participou ativamente de todas as sessões plenárias junto com Ruslan Edelgeriev, Representante Especial do Presidente da Federação Russa para Assuntos Climáticos, Petr Biryukov, Vice-Prefeito de Moscou para Habitação e Serviços Comunitários, bem como representantes estrangeiros - o prefeito da Cidade italiana de Savona - Ilario Caprioglio. Os participantes apresentaram seus projetos e também discutiram estratégias para manter o aumento das temperaturas globais, além de propor soluções práticas para o desenvolvimento urbano sustentável.
ANDREY PROKIP SOBRE SHASHLIKS, DEPUTADO E CONSTRUÇÃO VERDE
De particular interesse para o lado russo foi o discurso dos palestrantes, entre os quais arquitetos europeus, cientistas e o prefeito de Savona. O tema do discurso foi a direção TOP - "construção verde". Como o próprio Andrei Prokip afirmou, “é importante redistribuir corretamente os recursos, bem como levar em conta os padrões de construção europeia para uma metrópole como Moscou. É necessário que a Rússia, em nível federal, tome um rumo em direção ao “financiamento verde”, especialmente porque é economicamente viável e, como mostra a prática, lucrativo”. Ele também expressou preocupação com a deterioração da saúde dos russos em conexão com desastres ambientais e não conformidade com as normas ambientais para descarte de resíduos por grandes e pequenas empresas industriais. Ele também confirmou seus temores graças ao discurso de Francesco Zambon, professor do Escritório Europeu de Investimento em Saúde da OMS.
Com humor característico, Andrey recorreu a famosos que foram convidados para o fórum, mas nunca compareceram, com um chamado “para lembrar da natureza, não só quando querem fazer churrasco ou pescar. Afinal, é da benevolência da natureza que depende a saúde de todo o povo, que, infelizmente, os inclui.
Além de discursos apaixonados sobre a nova "amante-natureza" de Andrey Zinovievich e a importância de se responsabilizar pelo meio ambiente, a plenária sobre o tema "Como educar uma nova geração" tornou-se um evento significativo do fórum. Os participantes do fórum foram unânimes em sua opinião de que é preciso educar não apenas as crianças, mas também a geração adulta. É muito importante trazer responsabilidade para com a natureza no comportamento diário, bem como nos negócios.
Um projeto especial “Aprender a viver de maneira civilizada” será lançado para Moscou. Trata-se de um projeto educativo para todos os segmentos da população e faixas etárias. Mas não importa quão maravilhosas sejam a teoria e as boas intenções, o ditado “até que o galo assado bica, o tolo não vai se benzer” ainda é relevante para a Rússia.
De acordo com Timothy Netter, um famoso diretor de teatro, a arte pode mudar tudo. Em uma de suas palestras, ele falou sobre como a ideia de preservação da natureza deve ser apresentada no teatro e no cinema, e como é importante educar as pessoas através da arte para serem responsáveis ​​pelo que acontecerá conosco e com a natureza amanhã.
A atenção dos operadores rentv e de Andrei Prokirp foi atraída por estudantes de universidades russas, que apresentaram um projeto sobre uma tecnologia amiga do ambiente para a produção de contentores resistentes à humidade e à temperatura. Este é um problema muito urgente, pois estão sendo aprovadas leis em todo o mundo contra os recipientes de plástico, que, aliás, se decompõem há mais de 30 anos, poluem o solo e causam a morte de animais.
É inspirador que Moscou seja uma das 94 cidades participantes da organização C40 e pela terceira vez o fórum esteja sendo realizado, que a cada ano atrai a atenção de personalidades e cidadãos cada vez mais famosos.