Nesta lição, descreveremos os tipos de simetria no espaço, familiarizando-nos com o conceito de um poliedro regular.

Como na planimetria, no espaço consideraremos a simetria em relação a um ponto e em relação a uma linha, mas, além disso, aparecerá a simetria em relação a um plano.

Definição.

Os pontos A e são chamados de simétricos em relação ao ponto O (centro de simetria), se O for o ponto médio do segmento. O ponto O é simétrico a si mesmo.

Para obter um ponto simétrico a ele em relação ao ponto O para um dado ponto A, você precisa traçar uma linha reta passando pelos pontos A e O, separar um segmento igual a OA do ponto O e obter o ponto desejado ( Figura 1).

Arroz. 1. Simetria em torno de um ponto

Da mesma forma, os pontos B e são simétricos em relação ao ponto O, pois O é o ponto médio do segmento.

Assim, é dada uma lei segundo a qual cada ponto do plano vai para outro ponto do plano, e dissemos que quaisquer distâncias são preservadas, ou seja, .

Considere a simetria em relação a uma linha no espaço.

Para obter um ponto simétrico para um determinado ponto A em relação a alguma linha a, você precisa abaixar a perpendicular do ponto A até a linha e definir um segmento igual nela (Figura 2).

Arroz. 2. Simetria em relação a uma linha reta no espaço

Definição.

Os pontos A e são chamados simétricos em relação à linha a (eixo de simetria) se a linha a passa pelo meio do segmento e é perpendicular a ele. Cada ponto da linha é simétrico a si mesmo.

Definição.

Os pontos A e são chamados simétricos em relação ao plano (plano de simetria) se o plano passa pelo meio do segmento e é perpendicular a ele. Cada ponto do plano é simétrico a si mesmo (Figura 3).

Arroz. 3. Simetria em relação ao plano

Algumas figuras geométricas podem ter um centro de simetria, um eixo de simetria, um plano de simetria.

Definição.

O ponto O é chamado de centro de simetria de uma figura se cada ponto da figura é simétrico em relação a algum ponto da mesma figura.

Por exemplo, em um paralelogramo e um paralelepípedo, o ponto de interseção de todas as diagonais é o centro de simetria. Vamos ilustrar para um paralelepípedo.

Arroz. 4. Centro de simetria do paralelepípedo

Então, com simetria em torno do ponto O no paralelepípedo o ponto A vai para o ponto, o ponto B vai para o ponto, etc., assim, a caixa vai para dentro de si mesma.

Definição.

Uma linha reta é chamada de eixo de simetria de uma figura se cada ponto da figura é simétrico em relação a algum ponto da mesma figura.

Por exemplo, cada diagonal de um losango é um eixo de simetria para ele, um losango se transforma em si mesmo quando é simétrico em relação a qualquer uma das diagonais.

Considere um exemplo no espaço - um paralelepípedo retangular (bordas laterais são perpendiculares às bases, retângulos iguais nas bases). Tal paralelepípedo tem eixos de simetria. Um deles passa pelo centro de simetria do paralelepípedo (o ponto de interseção das diagonais) e pelos centros das bases superior e inferior.

Definição.

Um plano é chamado de plano de simetria de uma figura se cada ponto da figura é simétrico em relação a ele em relação a algum ponto da mesma figura.

Por exemplo, um paralelepípedo tem planos de simetria. Um deles passa pelo meio das bordas opostas das bases superior e inferior (Figura 5).

Arroz. 5. Plano de simetria de um paralelepípedo retangular

Elementos de simetria são inerentes aos poliedros regulares.

Definição.

Um poliedro convexo é chamado regular se todas as suas faces são polígonos regulares iguais e o mesmo número de arestas convergem em cada vértice.

Teorema.

Não existe poliedro regular cujas faces sejam n-gons regulares para .

Prova:

Considere o caso em que é um hexágono regular. Todos os seus ângulos internos são iguais:

Então nos ângulos internos será maior.

Em cada vértice do poliedro convergem pelo menos três arestas, o que significa que cada vértice contém pelo menos três ângulos planos. Sua soma total (assumindo que cada um é maior ou igual a ) é maior ou igual a . Isso contradiz a afirmação: em um poliedro convexo, a soma de todos os ângulos planos em cada vértice é menor que .

O teorema foi provado.

Cubo (Figura 6):

Arroz. 6. Cubo

O cubo é composto por seis quadrados; um quadrado é um polígono regular;

Cada vértice é um vértice de três quadrados, por exemplo, o vértice A é comum às faces quadradas ABCD, ;

A soma de todos os ângulos planos em cada vértice é , pois consiste em três ângulos retos. Isso é menor que , o que satisfaz a noção de um poliedro regular;

O cubo tem um centro de simetria - o ponto de intersecção das diagonais;

O cubo possui eixos de simetria, por exemplo, as retas a e b (Figura 6), onde a reta a passa pelos pontos médios das faces opostas eb pelos pontos médios das arestas opostas;

Um cubo tem planos de simetria, como um plano que passa pelas linhas a e b.

2. Tetraedro regular (pirâmide triangular regular, cujas arestas são iguais entre si):

Arroz. 7. Tetraedro regular

Um tetraedro regular é formado por quatro triângulos equiláteros;

A soma de todos os ângulos planos em cada vértice é , pois um tetraedro regular consiste em três ângulos planos em . Isso é menor que , o que satisfaz a noção de um poliedro regular;

Um tetraedro regular tem eixos de simetria; eles passam pelos pontos médios de arestas opostas, por exemplo, a linha reta MN. Além disso, MN é a distância entre as linhas de cruzamento AB e CD, MN é perpendicular às arestas AB e CD;

Um tetraedro regular tem planos de simetria, cada um passando por uma aresta e o ponto médio da aresta oposta (Figura 7);

Um tetraedro regular não tem centro de simetria.

3. Octaedro regular:

Consiste em oito triângulos equiláteros;

Quatro arestas convergem em cada vértice;

A soma de todos os ângulos planos em cada vértice é , pois um octaedro regular consiste em quatro ângulos planos ao longo de . Isso é menor que , o que satisfaz o conceito de um poliedro regular.

4. Icosaedro regular:

Consiste em vinte triângulos equiláteros;

Cinco arestas convergem em cada vértice;

A soma de todos os ângulos planos em cada vértice é , pois um icosaedro regular consiste em cinco ângulos planos ao longo de . Isso é menor que , o que satisfaz o conceito de um poliedro regular.

5. Dodecaedro regular:

Consiste em doze pentágonos regulares;

Três arestas convergem em cada vértice;

A soma de todos os ângulos planos em cada vértice é . Isso é menor que , o que satisfaz o conceito de um poliedro regular.

Assim, consideramos os tipos de simetria no espaço e demos definições estritas. Também definimos o conceito de poliedro regular, considerados exemplos de tais poliedros e suas propriedades.

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Trabalho de casa

1. Especifique o número de eixos de simetria do paralelepípedo;
2. indicar o número de eixos de simetria de um prisma pentagonal regular;
3. indique o número de planos de simetria do octaedro;
4. construir uma pirâmide que tenha todos os elementos de simetria.

- (definição) um corpo geométrico delimitado em todos os lados por polígonos planos - rostos.

Exemplos de poliedros:

Os lados das faces são chamados de arestas e as extremidades das arestas são chamadas de vértices. De acordo com o número de faces, distinguem-se 4-edros, 5-edros, etc. O poliedro é chamado convexo, se tudo estiver localizado em um lado do plano de cada uma de suas faces. O poliedro é chamado correto, se suas faces são polígonos regulares (isto é, aqueles em que todos os lados e ângulos são iguais) e todos os ângulos poliédricos nos vértices são iguais. Existem cinco tipos de poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.

Poliedro no espaço tridimensional (o conceito de um poliedro) - uma coleção de um número finito de polígonos planos tal que

1) cada lado de um é ao mesmo tempo lado do outro (mas apenas um), chamado adjacente ao primeiro (neste lado);

2) de qualquer um dos polígonos que compõem o poliedro, pode-se chegar a qualquer um deles passando para o adjacente a ele e deste, por sua vez, para o adjacente, etc.

Esses polígonos são chamados rostos, seus lados costelas, e seus vértices são picos poliedro.

Vértices do poliedro

Bordas de poliedros

Facetas de um poliedro

Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de qualquer uma de suas faces.

Segue-se desta definição que todas as faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. A superfície de um poliedro convexo consiste em faces que se encontram em diferentes planos. Neste caso, as arestas do poliedro são os lados dos polígonos, os vértices do poliedro são os vértices das faces, os cantos planos do poliedro são os cantos dos polígonos - faces.

Um poliedro convexo cujos vértices estão em dois planos paralelos é chamado prismatóide. Um prisma, uma pirâmide e uma pirâmide truncada são casos especiais de um prismatóide. Todas as faces laterais de um prismatóide são triângulos ou quadriláteros, e as faces quadrangulares são trapézios ou paralelogramos.

Os poliedros não ocupam apenas um lugar de destaque na geometria, mas também ocorrem no cotidiano de cada pessoa. Para não falar de utensílios domésticos criados artificialmente na forma de vários polígonos, começando com uma caixa de fósforos e terminando com elementos arquitetônicos, cristais em forma de cubo (sal), prisma (cristal), pirâmide (scheelite), octaedro (diamante), etc. d.

O conceito de um poliedro, tipos de poliedros em geometria

A geometria como ciência contém uma seção de estereometria que estuda as características e propriedades dos corpos tridimensionais, cujos lados no espaço tridimensional são formados por planos limitados (faces), são chamados de "poliedros". Os tipos de poliedros incluem mais de uma dúzia de representantes, diferindo no número e na forma dos rostos.

No entanto, todos os poliedros têm propriedades comuns:

1. Todos eles têm 3 componentes integrais: uma face (a superfície de um polígono), um vértice (os cantos formados na junção das faces), uma aresta (o lado da figura ou um segmento formado na junção de duas faces ).
2. Cada aresta do polígono conecta duas, e apenas duas, faces adjacentes uma à outra.
3. Convexidade significa que o corpo está completamente localizado apenas em um lado do plano em que uma das faces se encontra. A regra se aplica a todas as faces do poliedro. Tais figuras geométricas em estereometria são chamadas de poliedros convexos. A exceção são os poliedros em forma de estrela, que são derivados de sólidos geométricos poliédricos regulares.

Os poliedros podem ser divididos em:

1. Tipos de poliedros convexos, consistindo nas seguintes classes: ordinário ou clássico (prisma, pirâmide, paralelepípedo), regular (também chamado de sólidos platônicos), semi-regular (segundo nome - sólidos de Arquimedes).
2. Poliedros não convexos (estrelados).

Prisma e suas propriedades

A estereometria como ramo da geometria estuda as propriedades de figuras tridimensionais, tipos de poliedros (um prisma é um deles). Um prisma é um corpo geométrico que necessariamente tem duas faces completamente idênticas (também chamadas de bases) situadas em planos paralelos e o n-ésimo número de faces laterais na forma de paralelogramos. Por sua vez, o prisma também possui diversas variedades, incluindo tipos de poliedros como:

1. Um paralelepípedo é formado se a base for um paralelogramo - um polígono com 2 pares de ângulos opostos iguais e 2 pares de lados opostos congruentes.
2. tem nervuras perpendiculares à base.
3. caracterizada pela presença de ângulos não retos (diferentes de 90) entre as faces e a base.
4. Um prisma regular é caracterizado por bases na forma com faces laterais iguais.

As principais propriedades de um prisma:

• Bases congruentes.
• Todas as arestas do prisma são iguais e paralelas entre si.
• Todas as faces laterais são em forma de paralelogramo.

Pirâmide

Uma pirâmide é um corpo geométrico, que consiste em uma base e o n-ésimo número de faces triangulares, conectadas em um ponto - o vértice. Deve-se notar que se as faces laterais da pirâmide são necessariamente representadas por triângulos, então a base pode ser um polígono triangular, ou um quadrilátero, ou um pentágono, e assim por diante, ad infinitum. Neste caso, o nome da pirâmide corresponderá ao polígono na base. Por exemplo, se houver um triângulo na base da pirâmide - este é um quadrilátero - quadrangular, etc.

As pirâmides são poliedros em forma de cone. Os tipos de poliedros deste grupo, além dos listados acima, também incluem os seguintes representantes:

1. tem um polígono regular na base, e sua altura é projetada no centro de um círculo inscrito na base ou descrito ao seu redor.
2. Uma pirâmide retangular é formada quando uma das arestas laterais se cruza com a base em um ângulo reto. Nesse caso, também é justo chamar essa aresta de altura da pirâmide.

Propriedades da pirâmide:

• Se todas as arestas laterais da pirâmide são congruentes (da mesma altura), todas elas se cruzam com a base no mesmo ângulo e, ao redor da base, você pode desenhar um círculo com um centro coincidindo com a projeção do topo da pirâmide .
• Se um polígono regular está na base da pirâmide, todas as arestas laterais são congruentes e as faces são triângulos isósceles.

Poliedro regular: tipos e propriedades de poliedros

Na estereometria, um lugar especial é ocupado por corpos geométricos com faces absolutamente iguais, nos vértices dos quais o mesmo número de arestas está conectado. Esses sólidos são chamados de sólidos platônicos, ou poliedros regulares. Tipos de poliedros com tais propriedades têm apenas cinco figuras:

1. Tetraedro.
2. Hexaedro.
3. Octaedro.
4. Dodecaedro.
5. Icosaedro.

Os poliedros regulares devem seu nome ao antigo filósofo grego Platão, que descreveu esses corpos geométricos em seus escritos e os conectou aos elementos naturais: terra, água, fogo, ar. A quinta figura foi premiada pela semelhança com a estrutura do universo. Em sua opinião, os átomos de elementos naturais em forma se assemelham aos tipos de poliedros regulares. Devido à sua propriedade mais fascinante - a simetria, esses corpos geométricos eram de grande interesse não apenas para matemáticos e filósofos antigos, mas também para arquitetos, artistas e escultores de todos os tempos. A presença de apenas 5 tipos de poliedros com simetria absoluta foi considerada uma descoberta fundamental, eles até receberam uma conexão com o princípio divino.

Hexaedro e suas propriedades

Em forma de hexágono, os sucessores de Platão assumiram uma semelhança com a estrutura dos átomos da terra. É claro que, atualmente, essa hipótese foi completamente refutada, o que, no entanto, não impede que as figuras atraiam as mentes de figuras famosas com sua estética nos tempos modernos.

Na geometria, o hexaedro, também conhecido como cubo, é considerado um caso especial de paralelepípedo, que, por sua vez, é uma espécie de prisma. Assim, as propriedades do cubo estão associadas com a única diferença é que todas as faces e cantos do cubo são iguais entre si. As seguintes propriedades decorrem disso:

1. Todas as arestas de um cubo são congruentes e estão em planos paralelos entre si.
2. Todas as faces são quadrados congruentes (há 6 no total em um cubo), qualquer um dos quais pode ser tomado como base.
3. Todos os ângulos interédricos são 90.
4. De cada vértice vem um número igual de arestas, ou seja, 3.
5. O cubo tem 9 que se cruzam no ponto de interseção das diagonais do hexaedro, chamado centro de simetria.

Tetraedro

Um tetraedro é um tetraedro com faces iguais na forma de triângulos, cada um dos vértices dos quais é um ponto de junção de três faces.

Propriedades de um tetraedro regular:

1. Todas as faces de um tetraedro - disso se segue que todas as faces de um tetraedro são congruentes.
2. Como a base é representada por uma figura geométrica regular, ou seja, tem lados iguais, então as faces do tetraedro convergem no mesmo ângulo, ou seja, todos os ângulos são iguais.
3. A soma dos ângulos planos em cada um dos vértices é 180, já que todos os ângulos são iguais, então qualquer ângulo de um tetraedro regular é 60.
4. Cada um dos vértices é projetado no ponto de interseção das alturas da face oposta (ortocentro).

Octaedro e suas propriedades

Descrevendo os tipos de poliedros regulares, não se pode deixar de notar um objeto como um octaedro, que pode ser representado visualmente como duas pirâmides regulares quadrangulares coladas com bases.

Propriedades do octaedro:

1. O próprio nome de um corpo geométrico sugere o número de suas faces. O octaedro consiste em 8 triângulos equiláteros congruentes, em cada um dos vértices dos quais converge um número igual de faces, ou seja, 4.
2. Como todas as faces de um octaedro são iguais, seus ângulos de interface também são iguais a 60, e a soma dos ângulos planos de qualquer um dos vértices é, portanto, 240.

Dodecaedro

Se imaginarmos que todas as faces de um corpo geométrico são um pentágono regular, obtemos um dodecaedro - uma figura de 12 polígonos.

Propriedades do dodecaedro:

1. Três faces se cruzam em cada vértice.
2. Todas as faces são iguais e têm o mesmo comprimento de aresta e área igual.
3. O dodecaedro tem 15 eixos e planos de simetria, e qualquer um deles passa pelo vértice da face e pelo meio da aresta oposta.

icosaedro

Não menos interessante que o dodecaedro, o icosaedro é um corpo geométrico tridimensional com 20 faces iguais. Entre as propriedades de um vinte-edro regular, pode-se notar o seguinte:

1. Todas as faces do icosaedro são triângulos isósceles.
2. Cinco faces convergem em cada vértice do poliedro e a soma dos ângulos adjacentes do vértice é 300.
3. O icosaedro, como o dodecaedro, tem 15 eixos e planos de simetria passando pelos pontos médios de faces opostas.

Polígonos semiregulares

Além dos sólidos platônicos, o grupo de poliedros convexos também inclui os sólidos de Arquimedes, que são poliedros regulares truncados. Os tipos de poliedros deste grupo têm as seguintes propriedades:

1. Corpos geométricos têm faces iguais em pares de vários tipos, por exemplo, um tetraedro truncado tem 8 faces, assim como um tetraedro regular, mas no caso de um sólido de Arquimedes, 4 faces serão triangulares e 4 serão hexagonais.
2. Todos os ângulos de um vértice são congruentes.

Poliedro estrela

Representantes de tipos não volumétricos de corpos geométricos são poliedros em forma de estrela, cujas faces se cruzam. Eles podem ser formados pela fusão de dois corpos tridimensionais regulares ou pela continuação de seus rostos.

Assim, tais poliedros estrelados são conhecidos como: formas estreladas do octaedro, dodecaedro, icosaedro, cuboctaedro, icosidodecaedro.

Existem tópicos especiais na geometria escolar que você espera ansiosamente, antecipando um encontro com um material incrivelmente bonito. Esses tópicos incluem "Poliedros regulares".Aqui, não apenas se abre o maravilhoso mundo dos corpos geométricos com propriedades únicas, mas também interessantes hipóteses científicas. E então a aula de geometria se torna uma espécie de estudo de aspectos inesperados da matéria escolar usual.

Nenhum dos corpos geométricos possui tanta perfeição e beleza quanto os poliedros regulares. "Os poliedros regulares são desafiadoramente poucos", escreveu L. Carroll certa vez, "mas esse distanciamento, que é em número muito modesto, conseguiu penetrar nas profundezas de várias ciências".

O que é esse número desafiadoramente pequeno e por que existem tantos deles. E quanto? Acontece que exatamente cinco - nem mais, nem menos. Isso pode ser confirmado pelo desdobramento de um ângulo poliédrico convexo. De fato, para obter qualquer poliedro regular de acordo com sua definição, o mesmo número de faces deve convergir em cada vértice, cada um dos quais é um polígono regular. A soma dos ângulos planos de um ângulo poliédrico deve ser menor que 360 ​​o, caso contrário, nenhuma superfície poliédrica será obtida. Passando por possíveis soluções inteiras de desigualdades: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Os nomes dos poliedros regulares vêm da Grécia. Na tradução literal do grego "tetraedro", "octaedro", "hexaedro", "dodecaedro", "icosaedro" significa: "tetraedro", "octaedro", "hexaedro". dodecaedro, dodecaedro. O 13º livro dos Elementos de Euclides é dedicado a esses belos corpos. Eles também são chamados de corpos de Platão, porque. eles ocupavam um lugar importante no conceito filosófico de Platão da estrutura do universo. Quatro poliedros personificaram nele quatro essências ou "elementos". O tetraedro simbolizava o fogo, porque. seu topo é direcionado para cima; icosaedro - água, porque ele é o mais "simplificado"; cubo - terra, como o mais "estável"; octaedro - ar, como o mais "arejado". O quinto poliedro, o dodecaedro, encarnava "tudo o que existe", simbolizava todo o universo, e era considerado o principal.

Os antigos gregos consideravam as relações harmoniosas como a base do universo, portanto, seus quatro elementos estavam conectados por essa proporção: terra/água=ar/fogo. Os átomos dos "elementos" foram afinados por Platão em perfeitas consonâncias, como as quatro cordas de uma lira. Deixe-me lembrá-lo que uma consonância agradável é chamada de consonância. Deve-se dizer que as relações musicais peculiares nos sólidos platônicos são puramente especulativas e não têm base geométrica. Nem o número de vértices dos sólidos platônicos, nem os volumes dos poliedros regulares, nem o número de arestas ou faces estão ligados por essas relações.

Em relação a esses corpos, seria apropriado dizer que o primeiro sistema de elementos, que incluía quatro elementos - terra, água, ar e fogo - foi canonizado por Aristóteles. Esses elementos permaneceram os quatro pilares do universo por muitos séculos. É bem possível identificá-los com os quatro estados da matéria que conhecemos - sólido, líquido, gasoso e plasma.

Um lugar importante foi ocupado por poliedros regulares no sistema da estrutura harmoniosa do mundo por I. Kepler. A mesma fé na harmonia, na beleza e na estrutura matematicamente regular do universo levou I. Kepler à ideia de que, como existem cinco poliedros regulares, apenas seis planetas correspondem a eles. Em sua opinião, as esferas dos planetas estão interligadas pelos sólidos platônicos neles inscritos. Como para cada poliedro regular coincidem os centros das esferas inscrita e circunscrita, todo o modelo terá um único centro, no qual o Sol estará localizado.

Tendo feito um enorme trabalho computacional, em 1596 I. Kepler publicou os resultados de sua descoberta no livro "O Segredo do Universo". Ele inscreve um cubo na esfera da órbita de Saturno, em um cubo - a esfera de Júpiter, na esfera de Júpiter - um tetraedro, e assim sucessivamente encaixam um no outro a esfera de Marte - um dodecaedro, a esfera da Terra - um icosaedro, a esfera de Vênus - um octaedro, a esfera de Mercúrio. O segredo do universo parece aberto.

Hoje é seguro dizer que as distâncias entre os planetas não estão relacionadas a nenhum poliedro. No entanto, é possível que sem os "Segredos do Universo", "Harmonia do Mundo" de I. Kepler, poliedros regulares não houvesse três leis famosas de I. Kepler, que desempenham um papel importante na descrição do movimento dos planetas.

Onde mais você pode ver esses corpos incríveis? Em um belíssimo livro do biólogo alemão do início de nosso século, E. Haeckel, "A beleza das formas na natureza", pode-se ler as seguintes linhas: "A natureza nutre em seu seio um número inesgotável de criaturas surpreendentes que superar todas as formas criadas pela arte humana em beleza e diversidade." As criações da natureza neste livro são belas e simétricas. Esta é uma propriedade inseparável da harmonia natural. Mas aqui você também pode ver organismos unicelulares - feodarii, cuja forma transmite com precisão o icosaedro. O que causou uma geometrização tão natural? Talvez por causa de todos os poliedros com o mesmo número de faces, é o icosaedro que tem o maior volume e a menor área de superfície. Esta propriedade geométrica ajuda o microrganismo marinho a superar a pressão da coluna de água.

Também é interessante que foi o icosaedro que acabou sendo o foco de atenção dos biólogos em suas disputas sobre a forma dos vírus. O vírus não pode ser perfeitamente redondo, como se pensava anteriormente. Para estabelecer sua forma, eles pegaram vários poliedros, direcionaram a luz para eles nos mesmos ângulos que o fluxo de átomos para o vírus. Descobriu-se que apenas um poliedro dá exatamente a mesma sombra - o icosaedro. Suas propriedades geométricas, mencionadas acima, permitem salvar informações genéticas. Poliedros regulares são as figuras mais vantajosas. E a natureza se aproveita disso. Os cristais de algumas substâncias familiares para nós estão na forma de poliedros regulares. Assim, o cubo transmite a forma de cristais de cloreto de sódio NaCl, o cristal único de alumínio-alumínio de potássio (KAlSO4) 2 12H2O tem a forma de um octaedro, o cristal de sulfeto de pirita FeS tem a forma de um dodecaedro, sulfato de sódio de antimônio é um tetraedro, o boro é um icosaedro. Poliedros regulares determinam a forma das redes cristalinas de alguns produtos químicos. Ilustrarei essa ideia com o seguinte problema.

Tarefa. O modelo da molécula de metano CH4 tem a forma de um tetraedro regular, em quatro vértices dos quais existem átomos de hidrogênio e no centro - um átomo de carbono. Determine o ângulo de ligação entre duas ligações CH.

Decisão. Como um tetraedro regular tem seis arestas iguais, é possível escolher tal cubo de modo que as diagonais de suas faces sejam as arestas de um tetraedro regular (Fig. 2). O centro do cubo é também o centro do tetraedro, porque os quatro vértices do tetraedro são também os vértices do cubo, e a esfera descrita em torno deles é determinada exclusivamente por quatro pontos que não estão no mesmo plano. O ângulo desejado j entre duas ligações CH é igual ao ângulo AOS. O triângulo AOC é isósceles. Assim, onde a é o lado do cubo, d é o comprimento da diagonal da face lateral ou aresta do tetraedro. Então, de onde \u003d 54,73561 O e j \u003d 109,47 O

As idéias de Pitágoras, Platão, I. Kepler sobre a conexão de poliedros regulares com a estrutura harmoniosa do mundo já encontraram sua continuação em nosso tempo em uma hipótese científica interessante, cujos autores (no início dos anos 80) eram engenheiros de Moscou V. Makarov e V. Morozov. Eles acreditam que o núcleo da Terra tem a forma e as propriedades de um cristal em crescimento que afeta o desenvolvimento de todos os processos naturais que ocorrem no planeta. Os raios desse cristal, ou melhor, seu campo de força, determinam a estrutura icosaedro-dodecaédrica da Terra (Fig. 3), que se manifesta no fato de que projeções de poliedros regulares inscritos no globo aparecem na crosta terrestre: icosaedro e dodecaedro. Seus 62 vértices e pontos médios das arestas, chamados de nós pelos autores, possuem uma série de propriedades específicas que permitem explicar alguns fenômenos incompreensíveis.

Se você colocar no globo os centros das maiores e mais notáveis ​​culturas e civilizações do Mundo Antigo, poderá notar um padrão em sua localização em relação aos pólos geográficos e ao equador do planeta. Muitos depósitos minerais se estendem ao longo de uma grade icosaédrica-dodecaédrica. Coisas ainda mais incríveis acontecem na interseção dessas costelas: aqui estão os centros das culturas e civilizações mais antigas: Peru, norte da Mongólia, Haiti, cultura Ob e outras. Nesses pontos, há máximos e mínimos de pressão atmosférica, redemoinhos gigantes do Oceano Mundial, aqui o Loch Ness escocês, o Triângulo das Bermudas. Novos estudos da Terra, talvez, determinarão a atitude em relação a esta bela hipótese científica, na qual, aparentemente, os poliedros regulares ocupam um lugar importante.

Então, descobriu-se que existem exatamente cinco poliedros regulares. E como determinar o número de arestas, faces, vértices neles? Isso não é difícil de fazer para poliedros com um pequeno número de arestas, mas como, por exemplo, obter tal informação para um icosaedro? O famoso matemático L. Euler obteve a fórmula В+Г-Р=2, que conecta o número de vértices /В/, faces /Г/ e arestas /Р/ de qualquer poliedro. A simplicidade desta fórmula é que ela não tem nada a ver com distância ou ângulos. Para determinar o número de arestas, vértices e faces de um poliedro regular, primeiro encontramos o número k \u003d 2y - xy + 2x, onde x é o número de arestas pertencentes a uma face, y é o número de faces convergentes em um vértice. Para encontrar o número de faces, vértices e arestas de um poliedro regular, usamos fórmulas. Depois disso, é fácil preencher uma tabela que fornece informações sobre os elementos de poliedros regulares:

poliedro H W R

tetraedro 4-4-6

hexaedro 6-8-12

octaedro 8-6-12

dodecaedro 12-20-30

icosaedro 20-12-30

E surge mais uma pergunta em relação aos poliedros regulares: é possível preencher o espaço com eles para que não haja lacunas entre eles? Surge por analogia com polígonos regulares, alguns dos quais podem preencher o plano. Acontece que você pode preencher o espaço apenas com a ajuda de um cubo poliedro regular. O espaço também pode ser preenchido com dodecaedros rômbicos. Para entender isso, você precisa resolver o problema.

Tarefa. Com a ajuda de sete cubos formando uma "cruz" espacial, construa um dodecaedro rômbico e mostre que eles podem preencher o espaço.

Decisão. Os cubos podem preencher o espaço. Considere uma parte da rede cúbica mostrada na Fig.4. Deixamos o cubo do meio intocado e em cada um dos cubos "limitadores" desenhamos planos através de todos os seis pares de arestas opostas. Neste caso, os cubos "ao redor" serão divididos em seis pirâmides iguais com bases quadradas e arestas laterais iguais à metade da diagonal do cubo. As pirâmides adjacentes ao cubo intocado formam junto com este último um dodecaedro rômbico. A partir disso, fica claro que todo o espaço pode ser preenchido com dodecaedros rômbicos. Como consequência, obtemos que o volume de um dodecaedro rômbico é igual a duas vezes o volume de um cubo cuja aresta coincide com a diagonal menor da face do dodecaedro.

Resolvendo o último problema, chegamos aos dodecaedros rômbicos. Curiosamente, as células das abelhas, que também preenchem o espaço sem lacunas, também são formas idealmente geométricas. A parte superior da célula da abelha é uma parte do dodecaedro rômbico.

Assim, os poliedros regulares nos revelaram as tentativas dos cientistas de abordar o segredo da harmonia do mundo e mostraram a irresistível atratividade da geometria.

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MINISTRO DA EDUCAÇÃO

ESCOLA DE ENSINO SECUNDÁRIO №3

REDAÇÃO

em geometria

Sujeito:

"Poliedros".

Realizado: aluno de 11-"b" classe MOU escola secundária No. 3 Alyabyeva Yulia. Verificado: professor de matemática Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Zheleznovodsk

Plano

I. Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Parte teórica

Ângulo diedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ângulos triédricos e poliédricos. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A imagem de um prisma e a construção de suas seções. . . . . 7 prisma direto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nove Paralelepípedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nove Simetria central de um paralelepípedo. . . . . . . . dez Paralelepípedo retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . onze

10. Simetria de um paralelepípedo retangular. . . . 12 11. Pirâmide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . treze 12. Construção de uma pirâmide e suas seções planas. . . . . . treze 13. Pirâmide truncada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quinze 14. Pirâmide correta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quinze 15. Poliedros regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dezesseis III. Parte prática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Conclusão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dezenove V. Literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. Introdução

Existem tópicos especiais na geometria escolar que você espera ansiosamente, antecipando um encontro com um material incrivelmente bonito. Esses tópicos incluem "Poliedros". Aqui, não apenas se abre o maravilhoso mundo dos corpos geométricos com propriedades únicas, mas também interessantes hipóteses científicas. E então a aula de geometria se torna uma espécie de estudo de aspectos inesperados da matéria escolar usual. Nenhum dos corpos geométricos possui tanta perfeição e beleza quanto os poliedros. "Há desafiadoramente poucos poliedros", escreveu L. Carroll certa vez, "mas esse destacamento, que é em número muito modesto, conseguiu penetrar nas profundezas de várias ciências".

II. Parte teórica.

1. Ângulo diedro ângulo diedro chamado de figura formada por dois "semiplanos com uma linha reta comum delimitando-os (Fig. 1). Os meios-planos são chamados rostos, e a linha que os limita Beiraângulo diedro. Um plano perpendicular a uma aresta de um ângulo diedro intercepta suas faces ao longo de duas meias-linhas. O ângulo formado por essas meias-linhas é chamado linear. ânguloângulo diedro. A medida de um ângulo diedro é tomada como a medida do ângulo linear correspondente. Todos os ângulos lineares de um ângulo diedro são combinados por translação paralela, o que significa que eles são iguais. Portanto, a medida de um ângulo diedro não depende da escolha de um ângulo linear. 2. Ângulos triédricos e poliédricos Considere três vigas a, b, c, emanam do mesmo ponto e não estão no mesmo plano. ângulo triédrico (abc) chamou uma figura composta de "três ângulos planos (ab),(bc) e (ac) (Fig. 2). Esses ângulos são chamados rostosângulo triédrico, e seus lados - costelas vértice comum de cantos planos é chamado cumeângulo triangular. Os ângulos diedros formados pelas faces de um ângulo triédrico são chamados ângulos diedros de um ângulo triédrico. O conceito de ângulo poliédrico é definido de forma semelhante (Fig. 3).

3. Poliedro

Na estereometria, são estudadas figuras no espaço, chamadas corpos. Visualmente, um corpo (geométrico) deve ser imaginado como uma parte do espaço ocupada por um corpo físico e delimitada por uma superfície. Um poliedro é um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos (Fig. 4). Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada polígono plano em sua superfície. A parte comum de tal plano e a superfície de um poliedro convexo é chamada de face. As faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. Os lados das faces são chamados de arestas do poliedro e os vértices são chamados de vértices do poliedro. Vamos explicar o que foi dito no exemplo de um cubo familiar (Fig. 5). O cubo é um poliedro convexo. Sua superfície é composta por seis quadrados: ABCD, BEFC, .... São suas faces. As arestas do cubo são os lados desses quadrados: AB, BC, BE,.... Os vértices do cubo são os vértices dos quadrados: A, B, C, D, E, .... O cubo tem seis faces, doze arestas e oito vértices. Os poliedros mais simples - prismas e pirâmides, que serão os objeto principal de nosso estudo - daremos tais definições, que essencialmente não utilizam o conceito de corpo. Serão definidos como figuras geométricas com indicação de todos os pontos do espaço que lhes pertencem. O conceito de corpo geométrico e sua superfície no caso geral serão dados mais adiante.

4. Prisma

Um prisma é um poliedro, que consiste em dois polígonos planos dispostos em planos diferentes e combinados por translação paralela, e todos os segmentos conectando os pontos correspondentes desses polígonos (Fig. 6). Os polígonos são chamados de bases do prisma e os segmentos que conectam os vértices correspondentes são chamados de arestas laterais do prisma. Como a translação paralela é movimento, as bases do prisma são iguais. Uma vez que, durante a transferência paralela, o plano passa para um plano paralelo (ou para si mesmo), então as bases do prisma estão em planos paralelos, as arestas são paralelas e iguais. A superfície de um prisma consiste em bases e uma superfície lateral. A superfície lateral consiste em paralelogramos. Para cada um desses paralelogramos, dois lados são os lados correspondentes das bases e os outros dois são arestas laterais adjacentes. A altura de um prisma é a distância entre os planos de suas bases. Um segmento que conecta dois vértices de um prisma que não pertencem à mesma face é chamado de diagonal do prisma. Um prisma é chamado n-gonal se suas bases são n-gons. No futuro, consideraremos apenas prismas cujas bases são polígonos convexos. Tais prismas são poliedros convexos. A Figura 6 mostra um prisma pentagonal. Suas bases são pentágonos. MAS 1 MAS 2 ...MAS 5 , MAS 1 ’ MAS" 2 ...MAS" 5 . XX"- um segmento de linha ligando os pontos correspondentes das bases. Bordas laterais dos segmentos de prisma MAS 1 MAS" 2 , MAS 1 MAS" 2 , ..., MAS 5 MAS" 5 . Faces laterais do prisma - paralelogramos MAS 1 MAS 2 MAS" 2 MAS 1 , MAS 2 MAS 3 MAS ’ 3 MAS" 2 , ... .

5. A imagem de um prisma e a construção de suas seções

De acordo com as regras da projeção paralela, a imagem de um prisma é construída da seguinte forma. Primeiro, uma das bases é construída R(Fig. 7). Será algum polígono plano. Então, dos vértices do polígono R as nervuras laterais do prisma são desenhadas na forma de segmentos paralelos de igual comprimento. As extremidades desses segmentos são conectadas e outra base do prisma é obtida. As arestas invisíveis são desenhadas com linhas tracejadas. Seções do prisma por planos paralelos às arestas laterais são paralelogramos. Em particular, as seções diagonais são paralelogramos. São cortes por planos que passam por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face (Fig. 8). Na prática, em particular, ao resolver problemas, muitas vezes é necessário construir uma seção de um prisma por um plano que passa por uma determinada linha reta g no plano de uma das bases do prisma. Tal linha é chamada Next plano de corte no plano da base. Para construir uma seção de um prisma, basta construir segmentos da interseção do plano secante com as faces do prisma. Vamos mostrar como tal seção é construída se qualquer ponto é conhecido MAS na superfície do prisma pertencente à seção (Fig. 9). Se este ponto MAS pertence a outra base do prisma, então sua interseção com o plano de corte é um segmento sol, paralelo ao velório g e contendo o ponto dado MAS(Fig. 9, a). Se este ponto MAS pertence à face lateral, então é construída a interseção desta face com o plano de corte, conforme mostrado na Figura 9, b. A saber: primeiro um ponto é construído D, em que o plano da face intercepta o traço dado g. Em seguida, uma linha é traçada através dos pontos MAS e D. Segmento de linha sol Em linha reta DE ANÚNCIOS na face considerada é a intersecção desta face com o plano de corte. Se a face que contém o ponto MAS, paralelo ao traço g, então o plano de corte intercepta esta face ao longo do segmento sol, passando por um ponto MAS e paralela à reta g.

A linha termina sol pertencem a faces vizinhas. Portanto, da forma descrita, é possível construir a interseção dessas faces com nosso plano de corte. E assim por diante. A Figura 10 mostra a construção de uma seção de um prisma quadrangular por um plano que passa por uma linha reta uma no plano da base inferior do prisma e um ponto MAS em uma das costelas laterais. 6. Prisma reto Um prisma é dito reto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases. Caso contrário, o prisma é chamado de oblíquo. Para um prisma reto, as faces laterais são retângulos. Ao representar um prisma reto na figura, as nervuras laterais geralmente são desenhadas verticalmente (Fig. 11). Um prisma reto é dito regular se suas bases são polígonos regulares. A superfície lateral do prisma (mais precisamente, a área da superfície lateral) é a soma das áreas das faces laterais. A superfície total do prisma é igual à soma da superfície lateral e as áreas das bases. Teorema 19.1. A superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro da base pela altura do prisma, ou seja, o comprimento da aresta lateral. Prova. As faces laterais de um prisma reto são retângulos. As bases desses retângulos são os lados do polígono situado na base do prisma, e as alturas são iguais ao comprimento das arestas laterais. Segue que a superfície lateral do prisma é igual a

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l=pl,

Onde uma 1 ,..., uma n- o comprimento das bordas da base, R- o perímetro da base do prisma, e 1 - comprimento da costela lateral. O teorema foi provado. 7. Paralelepípedo Se a base de um prisma é um paralelogramo, então ele é chamado de paralelepípedo. Todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos. Na Figura 12, a, um paralelepípedo inclinado é mostrado, e na Figura 12, b - um paralelepípedo reto. As faces de um paralelepípedo que não possuem vértices comuns são chamadas de faces opostas. TEOREMA 19.2. Um paralelepípedo tem faces opostas que são paralelas e iguais. Prova. Considere algumas duas faces opostas do paralelepípedo, por exemplo A1A2A"2A"1 e A3A4A"4A"3. (Fig. 13). Como todas as faces do paralelepípedo são paralelogramos, a linha A1A2 é paralela à linha A4A3 e a linha A1A"1 é paralela à linha A4A4". Segue-se que os planos das faces consideradas são paralelos. Do fato de as faces do paralelepípedo serem paralelogramos, segue que os segmentos A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 e A2A3 são paralelos e iguais. Daí concluímos que a face A1A2A"2A"1 é combinada por uma translação paralela ao longo da aresta A1A4. com uma face A3A4A "4A" 3. Então essas arestas são iguais. O paralelismo e a igualdade de quaisquer outras faces opostas do paralelepípedo são provados de forma semelhante. O teorema foi provado.
8. Simetria central do paralelepípedo Teorema 19.3. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o ponto de interseção é dividido ao meio. Prova. Considere duas diagonais do paralelepípedo, por exemplo, A 1 A "3 e A 4 A" 2 (Fig. 14). Como os quadriláteros A 1 A 2 A 3 A 4 e A 2 A "2 A" 3 A 3 são paralelogramos com um lado comum A 2 A 3, então seus lados A 1 A 4 e A "2 A" 3 são paralelos a entre si, o que significa que estão no mesmo plano. Este plano intercepta os planos das faces opostas do paralelepípedo ao longo das linhas paralelas A 1 A" 2 e A 4 A" 3 . Portanto, o quadrilátero A 4 A 1 A "2 A" 3 é um paralelogramo. As diagonais do paralelepípedo A 1 A "3 e A 4 A" 2 são as diagonais desse paralelogramo. Portanto, eles se cruzam e o ponto de interseção O é dividido ao meio. Da mesma forma, prova-se que as diagonais A1A"3 e A2A"4, bem como as diagonais A1A"3 e A3A"1 se cruzam e são bissectadas pelo ponto de interseção. Daí concluímos que todas as quatro diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o ponto de interseção é dividido ao meio. O teorema foi provado. O Teorema 19.3 implica que o ponto de intersecção das diagonais do paralelepípedo é o seu centro de simetria. 9. Caixa retangular Um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado de paralelepípedo retangular. Todas as faces de um paralelepípedo são retângulos. Um paralelepípedo retangular em que todas as arestas são iguais é chamado de cubo. Os comprimentos das arestas não paralelas de um paralelepípedo retangular são chamados de suas dimensões lineares (medidas). Um paralelepípedo tem três dimensões. Teorema 19.4. Em um paralelepípedo, o quadrado de qualquer diagonal é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões. Prova. Considere um paralelepípedo retangular ABCDA"B"C"D" (Fig. 15). Do triângulo retângulo AC "C, de acordo com o teorema de Pitágoras, obtemos:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2 .

Do triângulo retângulo ASV, pelo teorema de Pitágoras, obtemos

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

Daí AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

As arestas AB, BC e CC" não são paralelas e, portanto, seus comprimentos são as dimensões lineares do paralelepípedo. O teorema está provado. 10. Simetria de um paralelepípedo retangular Um paralelepípedo retangular, como qualquer paralelepípedo, tem um centro de simetria - o ponto de interseção de suas diagonais. Também possui três planos de simetria passando pelo centro de simetria paralelo às faces. A Figura 16 mostra um desses planos. Ele passa pelos pontos médios de quatro arestas paralelas do paralelepípedo. As extremidades das arestas são pontos simétricos. Se um paralelepípedo tem todas as dimensões lineares diferentes, então ele não tem outros planos de simetria além daqueles nomeados. Se o paralelepípedo tem duas dimensões lineares iguais, então tem mais dois planos de simetria. Estes são os planos das seções diagonais mostrados na Figura 17. Se um paralelepípedo tem todas as dimensões lineares iguais, ou seja, é um cubo, então seu plano de qualquer seção diagonal é um plano de simetria. Assim, o cubo tem nove planos de simetria. 11. Pirâmide Pirâmide chamado de poliedro, que consiste em um polígono plano - bases da pirâmide, ponto não situado no plano da base, - topos da pirâmide e todos os segmentos que ligam o topo da pirâmide com as pontas da base (Fig. 18). Os segmentos que ligam o topo da pirâmide com os topos da base são chamados costelas laterais. A superfície da pirâmide consiste em uma base e faces laterais. Cada face lateral é um triângulo. Um de seus vértices é o topo da pirâmide, e o lado oposto é o lado da base da pirâmide. altura da pirâmide, chamada perpendicular caída do topo da pirâmide ao plano da base. Uma pirâmide é chamada n-gonal se sua base for um n-gon. A pirâmide triangular também é chamada de tetraedro. A pirâmide mostrada na Figura 18 tem uma base - um polígono A 1 A 2 ... A n, o topo da pirâmide - S, arestas laterais - SA 1, S A 2, ..., S A n, faces laterais -  SA 1 A 2,  SA 2 A 3 , ... . A seguir, consideraremos apenas pirâmides com um polígono convexo na base. Tais pirâmides são poliedros convexos. 12. Construção de uma pirâmide e suas seções planas De acordo com as regras de projeção paralela, a imagem da pirâmide é construída da seguinte forma. Primeiro, a fundação é construída. Será algum polígono plano. Em seguida, é marcado o topo da pirâmide, que é conectado por nervuras laterais aos topos da base. A Figura 18 mostra uma imagem de uma pirâmide pentagonal. Seções da pirâmide por planos que passam por seu topo são triângulos (Fig. 19). Em particular, as seções diagonais são triângulos. São cortes por planos que passam por duas arestas laterais não adjacentes da pirâmide (Fig. 20). A seção de uma pirâmide por um plano com um dado traço g no plano da base é construída da mesma forma que a seção de um prisma. Para construir uma seção de uma pirâmide por um plano, basta construir as interseções de suas faces laterais com o plano de corte. Se em uma face não paralela ao traço g for conhecido algum ponto A que pertence à seção, então a interseção do traço g do plano de corte com o plano desta face é construída primeiro - ponto D na Figura 21. Ponto D está ligado ao ponto A por uma linha reta. Então o segmento desta linha pertencente à face é a intersecção desta face com o plano de corte. Se o ponto A está em uma face paralela ao traço g, então o plano secante intercepta essa face ao longo de um segmento paralelo à linha g. Indo para a face lateral adjacente, eles constroem sua interseção com o plano de corte, etc. Como resultado, a seção necessária da pirâmide é obtida.
A Figura 22 mostra um corte de uma pirâmide quadrangular por um plano que passa pelo lado da base e pelo ponto A em uma de suas bordas laterais.

13. Pirâmide truncada Teorema 19.5. Um plano cruzando uma pirâmide e paralelo à sua base corta uma pirâmide similar. Prova. Seja S o vértice da pirâmide, A o vértice da base e A "- o ponto de interseção do plano secante com a aresta lateral SA (Fig. 23). Sujeitamos a pirâmide a uma transformação de homotetia em relação a o vértice S com o coeficiente de homotetia

Com esta homotetia, o plano da base passa para um plano paralelo passando pelo ponto A", ou seja, para o plano de corte e, consequentemente, toda a pirâmide para a parte cortada por este plano. transformação, a parte de corte da pirâmide é uma pirâmide, semelhante a esta, o teorema está provado.

Pelo Teorema 19.5, um plano paralelo ao plano da base de uma pirâmide e cruzando suas arestas laterais corta uma pirâmide semelhante dela. A outra parte é um poliedro, que é chamado de pirâmide truncada (Fig. 24). As faces de uma pirâmide truncada dispostas em planos paralelos são chamadas de bases; o resto dos rostos são chamados bordas laterais. As bases da pirâmide truncada são polígonos semelhantes (além disso, homotéticos), as faces laterais são trapézios. 14. Pirâmide correta Uma pirâmide é chamada regular se sua base for um polígono regular e a base da altura coincidir com o centro desse polígono. O eixo de uma pirâmide regular é uma linha reta que contém sua altura. Obviamente, as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais; portanto, as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada de seu topo, é chamada de apótema. A superfície lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de suas faces laterais. TEOREMA 19.6. A superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto do semiperímetro da base e do apótema. Prova. Se o lado da base uma, número de lados P, então a superfície lateral da pirâmide é igual a:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

Onde EU- apótema, um p- perímetro da base da pirâmide. O teorema foi provado. Uma pirâmide truncada, que é obtida de uma pirâmide regular, também é chamada correto. As faces laterais de uma pirâmide truncada regular são trapézios isósceles iguais; suas alturas são chamadas apótemas. 15. Poliedros regulares Um poliedro convexo é chamado regular se suas faces são polígonos regulares com o mesmo número de lados e o mesmo número de arestas convergem em cada vértice do poliedro.) Existem cinco tipos de poliedros convexos regulares (Fig. 25): tetraedro regular (1), cubo (2), octaedro (3), dodecaedro (4); icosaedro (5). Um tetraedro regular tem faces que são triângulos regulares; três arestas convergem em cada vértice. Um tetraedro é uma pirâmide triangular com todas as arestas iguais. Em um cubo, todas as faces são quadradas; três arestas convergem em cada vértice. O cubo é um paralelepípedo retangular com arestas iguais. As faces do octaedro são triângulos regulares, mas ao contrário do tetraedro, quatro arestas convergem em cada um de seus vértices. As faces do dodecaedro são pentágonos regulares. Três arestas convergem em cada vértice. As faces do icosaedro são triângulos regulares, mas ao contrário do tetraedro e do octaedro, cinco arestas convergem em cada vértice.

III. Parte prática.

Tarefa 1. Dos pontos A e B situados nas faces do ângulo diedro, as perpendiculares AA\ e BB\ são lançadas sobre a borda do ângulo. Encontre o comprimento do segmento AB se AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c e o ângulo diedro for a (Fig. 26). Decisão. Desenhe as linhas A 1 C||BB 1 e BC||A 1 B 1 . O quadrilátero A 1 B 1 BC é um paralelogramo, o que significa AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b. A linha A 1 B 1 é perpendicular ao plano do triângulo AA 1 C, pois é perpendicular a duas linhas neste plano AA 1 e CA 1. Portanto, a linha BC paralela a ela também é perpendicular a esse plano. Isso significa que o triângulo ABC é retângulo com um ângulo reto C. De acordo com o teorema do cosseno, AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . De acordo com o teorema de Pitágoras, AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. Tarefa 2. Um ângulo triédrico (abc) tem um ângulo diedro em uma aresta com uma linha reta, um ângulo diedro em uma aresta b é igual a  e um ângulo plano (bс) é igual a  (, </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Decisão. Deixemos cair de um ponto arbitrário A a aresta a, a perpendicular AB à aresta b e a perpendicular AC à aresta c (Fig. 27). De acordo com o teorema das três perpendiculares, CB é a perpendicular à aresta b. Dos triângulos retângulos OAB, OSV, AOC e ABC obtemos: BC/sen )=tg  sen  Tarefa 3. Em um prisma inclinado, é desenhada uma seção que é perpendicular às nervuras laterais e intercepta todas as nervuras laterais. Encontre a superfície lateral do prisma se o perímetro da seção for p e as arestas laterais forem l. Decisão. O plano do corte desenhado divide o prisma em duas partes (Fig. 28). Vamos submeter um deles a uma tradução paralela que combine as bases do prisma. Neste caso, obtemos um prisma reto, no qual a seção do prisma original serve como base e as arestas laterais são iguais a l. Este prisma tem a mesma superfície lateral do original. Assim, a superfície lateral do prisma original é igual a pl. Tarefa 4. A borda lateral da pirâmide é dividida em quatro partes iguais e planos paralelos à base são traçados através dos pontos de divisão. A área da base é de 400 cm2. Encontre a área das seções. Decisão. As seções são como a base de uma pirâmide com coeficientes de similaridade de ¼, 2/4 e ¾. As áreas de figuras semelhantes são relacionadas como quadrados de dimensões lineares. Portanto, a razão entre as áreas da seção transversal e a área da base da pirâmide é (¼) 2, (2/4) 2 e (¾) 2. Portanto, as áreas da seção transversal são 400 (¼) 2 \u003d 25 (cm 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (cm 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (cm 2). Tarefa 5. Prove que a superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é igual ao produto da metade da soma dos perímetros das bases e do apótema. Decisão. As faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios com a mesma base superior a, inferior b e altura (apótema) l. Portanto, a área de uma face é igual a ½ (a + b)l. A área de todas as faces, ou seja, a superfície lateral, é igual a ½ (an + bn)l, onde n é o número de vértices na base da pirâmide, an e bn são os perímetros das bases da pirâmide pirâmide.

4. Conclusão

Graças a este trabalho, resumi e sistematizei os conhecimentos adquiridos durante o curso de estudos no 11º ano, familiarizei-me com as regras para a realização de trabalhos criativos, ganhei novos conhecimentos e os coloquei em prática. Destaco 3 dos meus livros favoritos: AV Pogorelov "Geometria", G. Yakusheva "Matemática - livro de referência de um aluno", L.F. Pichurin "Por trás das páginas de um livro de geometria". Esses livros me ajudaram mais do que outros. Eu gostaria de usar meus conhecimentos recém-adquiridos na prática com mais frequência.

V. Literatura

1. A.V. Geometria Pogorelov. - M.: Educação, 1992 2. G. Yakusheva "Matemática - um guia escolar." M.: Slovo, 1995 3. L.D. Kudryavtsev "Curso de Análise Matemática" v.1, Moscou 1981 4. L.F. Pichurin "Por trás das páginas de um livro de geometria". - M.: Educação, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometria".