Entre as várias expressões consideradas em álgebra, as somas de monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.
Por exemplo, polinômio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
pode ser simplificado.
Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Damos termos semelhantes no polinômio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.
Atras do grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, o binômio \(12a^2b - 7b \) tem o terceiro grau, e o trinômio \(2b^2 -7b + 6 \) tem o segundo.
Normalmente, os termos de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.
Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:
Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.
Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.
Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio
Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.
Este resultado é geralmente formulado como regra.
Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.
Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.
O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios
Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.
Geralmente use a seguinte regra.
Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.
Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença
Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e diferença quadrada. Você notou que os nomes das expressões indicadas parecem estar incompletos, então, por exemplo, \((a + b)^2 \) é, obviamente, não apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.
As expressões \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e o produto duplo.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - o quadrado da diferença é a soma dos quadrados sem dobrar o produto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.
Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.
Os parênteses são usados para indicar a ordem em que as ações são executadas em expressões numéricas e alfabéticas, bem como em expressões com variáveis. É conveniente passar de uma expressão com colchetes para uma expressão identicamente igual sem colchetes. Essa técnica é chamada de abertura de parênteses.
Expandir colchetes significa livrar a expressão desses colchetes.
Outro ponto merece atenção especial, que diz respeito às peculiaridades das soluções de escrita ao abrir colchetes. Podemos escrever a expressão inicial entre colchetes e o resultado obtido após a abertura dos colchetes como igualdade. Por exemplo, depois de abrir os parênteses, em vez da expressão
3−(5−7) obtemos a expressão 3−5+7. Podemos escrever ambas as expressões como a igualdade 3−(5−7)=3−5+7.
E mais um ponto importante. Em matemática, para reduzir entradas, é costume não escrever um sinal de mais se for o primeiro de uma expressão ou entre colchetes. Por exemplo, se adicionarmos dois números positivos, por exemplo, sete e três, escrevemos não +7 + 3, mas simplesmente 7 + 3, apesar de sete também ser um número positivo. Da mesma forma, se você vir, por exemplo, a expressão (5 + x) - saiba que há um mais na frente do colchete, que não está escrito, e há um mais + (+5 + x) na frente do cinco.
Regra de expansão de colchetes para adição
Ao abrir colchetes, se houver um sinal de mais antes dos colchetes, esse sinal de mais será omitido junto com os colchetes.
Exemplo. Abra os colchetes na expressão 2 + (7 + 3) Antes dos colchetes mais, os caracteres na frente dos números entre colchetes não mudam.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
A regra para expandir colchetes ao subtrair
Se houver um menos antes dos colchetes, esse menos é omitido junto com os colchetes, mas os termos que estavam nos colchetes mudam seu sinal para o oposto. A ausência de um sinal antes do primeiro termo entre parênteses implica um sinal +.
Exemplo. Abra colchetes na expressão 2 − (7 + 3)
Há um sinal de menos antes dos colchetes, então você precisa alterar os sinais antes dos números dos colchetes. Não há sinal entre parênteses antes do número 7, o que significa que o sete é positivo, considera-se que o sinal + está na frente dele.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Ao abrir os colchetes, removemos o menos do exemplo, que estava antes dos colchetes, e os próprios colchetes 2 − (+ 7 + 3), e trocamos os sinais que estavam nos colchetes pelos opostos.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Expandindo parênteses ao multiplicar
Se houver um sinal de multiplicação na frente dos colchetes, cada número dentro dos colchetes é multiplicado pelo fator na frente dos colchetes. Ao mesmo tempo, multiplicar um menos por um menos dá um mais, e multiplicar um menos por um mais, como multiplicar um mais por um menos, dá um menos.
Assim, os parênteses nos produtos são expandidos de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplo. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo parêntese.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Na verdade, não há necessidade de lembrar todas as regras, basta lembrar apenas uma, esta: c(a−b)=ca−cb. Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra (a−b)=a−b. E se substituirmos menos um, obtemos a regra −(a−b)=−a+b. Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.
Expandir parênteses ao dividir
Se houver um sinal de divisão após os colchetes, cada número dentro dos colchetes é divisível pelo divisor após os colchetes e vice-versa.
Exemplo. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3
Como expandir parênteses aninhados
Se a expressão contiver colchetes aninhados, eles serão expandidos em ordem, começando com externo ou interno.
Ao mesmo tempo, ao abrir um dos colchetes, é importante não tocar nos outros colchetes, apenas reescrevê-los como estão.
Exemplo. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Em quase qualquer texto, você pode encontrar colchetes e travessões. Mas os usuários nem sempre os desenham corretamente. Por exemplo, não é incomum ver traços sem um ou dois espaços quando o texto gruda em um caractere. O mesmo se aplica aos colchetes, cujo uso está fora do lugar ou sem levar em conta as regras de redação sobrecarrega o texto. Este artigo discute as questões de escrever colchetes e travessões de acordo com as regras geralmente aceitas.
Regras de parênteses
Ao escrever colchetes, siga as mesmas regras das aspas. Por exemplo, dois parênteses não são colocados em uma linha.
Existem vários casos em que os colchetes são usados:
Separe palavras, grupos de palavras e frases inteiras que não estejam diretamente relacionadas à ideia principal expressa pelo autor. Frases proferidas de passagem, quando o autor não chama a atenção do leitor para elas. As expressões entre parênteses saem da estrutura sintática da frase.
Exemplo: " E embora eu mesmo entenda que quando ela puxa meus redemoinhos, ela os puxa apenas por piedade de seu coração (pois, repito sem constrangimento, ela puxa meus redemoinhos, jovem ”, ele confirmou com extrema dignidade, ouvindo outra risadinha) , mas, Deus, e se ela sequer uma vez ... Mas não! Não! Tudo isso é em vão, e não há nada a dizer! não há nada a dizer! .. por mais de uma vez o desejado já aconteceu, e mais de uma vez eles tiveram pena de mim, mas ... tal já é meu traço, e sou um gado nato!" (F.M. Dostoiévski, "Crime e Castigo")
Breves observações para explicar uma determinada palavra ou frase em uma frase são colocadas entre parênteses.
Exemplo: " Passou a conversa normal, calmante, quando, junto com sincera simpatia (todos nós pertencemos aqui, e todos, em geral, são pessoas gentis) há também uma pitada de alívio zombeteiro. Eu não! Eu não fiz essa estupidez, - foi lido nos rostos."(S. Lukyanenko, "Sombras dos Sonhos")
Exemplo: " Eu perguntei a um yogi embriagado
(Ele navalha, ele comeu unhas como salsicha):
“Ouça, amigo, abra-se para mim - por Deus,
Vou levar o segredo comigo para o túmulo!»
(V. Vysotsky, "Uma canção sobre iogues")
As referências a fórmulas e ilustrações são colocadas entre parênteses, por exemplo (fig. 2), (diag. 3, p. 184) , « Fórmula (1) é uma consequência do teorema de Pitágoras. Fórmulas (2) e (3) são obtidos a partir da fórmula (1) . » e fontes de informação (literatura, publicações) entre colchetes, por exemplo: , , etc.
As observações estão entre colchetes, um exemplo vívido são os cenários em que a incorporação verbal da ação contínua é indicada nas observações, por exemplo:
« Will ri.
SKYLAR (continuou)
Como você faz isso? Eu não... quero dizer, mesmo as pessoas mais inteligentes que eu conheço, nós temos um casal em Harvard, nós temos que estudar - muito. É complicado.
(pausa)
Olha, Will, se você não quer me dizer...»
(Roteiro do filme "Caça à Boa Vontade"
Colchetes também são usados ao adicionar palavras inacabadas em artigos do autor.
A numeração no texto é escrita usando colchetes no seguinte formato:
1)
a)
*)
De forma semelhante, são elaborados sinais de notas de rodapé (referências).
Regras de traço
Um travessão refere-se a sinais de pontuação; ao escrever antes e depois de um travessão, sempre se escreve um espaço.
Existem algumas exceções quando um traço é escrito sem ambos ou um espaço:
quando um parágrafo começa com um traço, um espaço é colocado somente depois.
quando um traço fica entre dois números, agindo como um hífen. Por exemplo: " todos os dias nosso site é visitado por 3000 -
3500 visitantes».
Por exemplo: " – Ah... ah... –
apenas e foi capaz de murmurar Paige estupefata.(Philip K. Dick, Relatório Minoritário)
A maioria dos sinais de pontuação, incluindo vírgulas, pontos de interrogação e pontos de exclamação, são colocados antes do travessão. Exemplo: " A região montanhosa central em que as montanhas Pindus estão localizadas , - os mais escassamente povoados. O ponto mais alto da Grécia, o Monte Olimpo (2917 m) está localizado nesta região. A Grécia Central é a região mais populosa."(Livro de referência eklopédica" O mundo inteiro. Países ")
O traço é usado de várias maneiras:
- como sinal de pontuação;
- como conector de um par de números limite, por exemplo: 80-90%
;
- como um sinal matemático de menos;
- como símbolo separador ou símbolo do texto explicativo, por exemplo, quando é fornecida uma decodificação dos símbolos incluídos na fórmula ou uma explicação para a ilustração;
- como hífen, com o travessão escrito junto com a parte não portátil da palavra e não deve ser repetido no início da linha seguinte;
- como um traço de conexão ou hífen.
A principal função dos colchetes é alterar a ordem das ações ao calcular os valores. por exemplo, na expressão numérica \(5 3+7\) a multiplicação será calculada primeiro, e depois a adição: \(5 3+7 =15+7=22\). Mas na expressão \(5·(3+7)\), a adição no colchete será calculada primeiro, e só depois a multiplicação: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Exemplo.
Expanda o colchete: \(-(4m+3)\).
Decisão
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Exemplo.
Expanda o colchete e dê termos semelhantes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decisão
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Exemplo.
Expanda os colchetes \(5(3-x)\).
Decisão
: Temos \(3\) e \(-x\) no colchete e cinco na frente do colchete. Isso significa que cada membro do colchete é multiplicado por \ (5 \) - lembro que o sinal de multiplicação entre um número e um colchete em matemática não é escrito para reduzir o tamanho dos registros.
Exemplo.
Expanda os colchetes \(-2(-3x+5)\).
Decisão
: Como no exemplo anterior, \(-3x\) e \(5\) entre colchetes são multiplicados por \(-2\).
Exemplo.
Simplifique a expressão: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Decisão
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Resta considerar a última situação.
Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Exemplo.
Expanda os colchetes \((2-x)(3x-1)\).
Decisão
: Temos um produto de colchetes e ele pode ser aberto imediatamente usando a fórmula acima. Mas para não ficar confuso, vamos fazer tudo passo a passo.
Etapa 1. Remova o primeiro suporte - cada um de seus membros é multiplicado pelo segundo suporte:
Etapa 2. Expanda os produtos do colchete pelo fator conforme descrito acima:
- o primeiro primeiro...
Depois o segundo.
Passo 3. Agora multiplicamos e trazemos termos semelhantes:
Não é necessário pintar todas as transformações em detalhes, você pode multiplicar imediatamente. Mas se você está apenas aprendendo a abrir colchetes - escreva em detalhes, haverá menos chance de cometer um erro.
Nota para toda a seção. Na verdade, você não precisa se lembrar de todas as quatro regras, você só precisa se lembrar de uma, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra \((a-b)=a-b\) . E se substituirmos menos um, obtemos a regra \(-(a-b)=-a+b\) . Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.
parênteses dentro de parênteses
Às vezes, na prática, há problemas com colchetes aninhados dentro de outros colchetes. Aqui está um exemplo de tal tarefa: simplificar a expressão \(7x+2(5-(3x+y))\).
Para ter sucesso nessas tarefas, você precisa:
- entenda cuidadosamente o aninhamento de colchetes - qual está em qual;
- abra os colchetes sequencialmente, começando, por exemplo, pelo mais interno.
É importante ao abrir um dos suportes não toque no resto da expressão, apenas reescrevendo-o como está.
Vamos pegar a tarefa acima como exemplo.
Exemplo.
Abra os colchetes e dê termos semelhantes \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decisão:
Exemplo.
Expanda os colchetes e dê termos semelhantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Decisão
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Este é um aninhamento triplo de parênteses. Começamos com o mais interno (destacado em verde). Há um sinal de mais na frente do parêntese, então ele é simplesmente removido. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Agora você precisa abrir o segundo suporte, intermediário. Mas antes disso, vamos simplificar a expressão colocando termos semelhantes neste segundo colchete. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Agora abrimos o segundo colchete (destacado em azul). Há um multiplicador na frente do parêntese - então cada termo no parêntese é multiplicado por ele. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
E abra o último parêntese. Antes do colchete menos - então todos os sinais são invertidos. |
||
A abertura de colchetes é uma habilidade básica em matemática. Sem essa habilidade, é impossível ter uma nota acima de três nas séries 8 e 9. Portanto, recomendo uma boa compreensão deste tópico.
A + (b + c) pode ser escrito sem colchetes: a + (b + c) \u003d a + b + c. Essa operação é chamada de expansão de parênteses.
Exemplo 1 Vamos abrir os colchetes na expressão a + (- b + c).
Decisão. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
Se houver um sinal “+” antes dos colchetes, você pode omitir os colchetes e esse sinal “+”, mantendo os sinais dos termos entre colchetes. Se o primeiro termo entre parênteses for escrito sem sinal, então deve ser escrito com um sinal “+”.
Exemplo 2 Vamos encontrar o valor da expressão -2,87+ (2,87-7,639).
Decisão. Abrindo os colchetes, obtemos - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.
Para encontrar o valor da expressão - (- 9 + 5), você precisa adicionar números-9 e 5 e encontre o número oposto ao valor recebido: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
O mesmo valor pode ser obtido de uma maneira diferente: primeiro anote os números opostos a esses termos (ou seja, mude seus sinais) e depois some: 9 + (- 5) = 4. Assim, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Para escrever a soma oposta à soma de vários termos, é necessário alterar os sinais desses termos.
Então - (a + b) \u003d - a - b.
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 16 - (10 -18 + 12).
Decisão. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Para abrir os colchetes precedidos do sinal “-”, você precisa substituir este sinal por “+”, trocando os sinais de todos os termos entre parênteses pelos opostos e, em seguida, abrir os colchetes.
Exemplo 4 Vamos encontrar o valor da expressão 9,36-(9,36 - 5,48).
Decisão. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Abertura de colchetes e o uso de propriedades comutativas e associativas aditivos facilitar os cálculos.
Exemplo 5 Encontre o valor da expressão (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Decisão. Primeiro, abrimos os colchetes e, em seguida, encontramos separadamente a soma de todos os números positivos e separadamente a soma de todos os números negativos e, finalmente, adicionamos os resultados:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Exemplo 6 Encontre o valor da expressão
Decisão. Primeiro, representamos cada termo como a soma de suas partes inteiras e fracionárias, depois abrimos os colchetes, depois adicionamos o inteiro e separadamente fracionário partes e, finalmente, resumir os resultados:
Como você abre parênteses que são precedidos por um sinal "+"? Como você pode encontrar o valor de uma expressão que é o oposto da soma de vários números? Como abrir colchetes precedidos por um sinal "-"?
1218. Expanda os colchetes:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Encontre o valor da expressão:
1220. Expanda os colchetes:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7-17) + 7,5; e) -a+ (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Expanda os colchetes e encontre o valor da expressão:
1222. Simplifique a expressão:
1223. Escreva resultar duas expressões e simplifique:
a) - 4 - m e m + 6,4; d) a + b e p - b
b) 1,1+a e -26-a; e) -m + n e -k - n;
c) a + 13 e -13 + b; e)m - n e n - m.
1224. Escreva a diferença de duas expressões e simplifique-a:
1226. Use a equação para resolver o problema:
a) Em uma prateleira há 42 livros e na outra 34. Vários livros foram retirados da segunda prateleira e tantos quantos ficaram na segunda da primeira. Depois disso, 12 livros permaneceram na primeira prateleira. Quantos livros foram retirados da segunda prateleira?
b) Há 42 alunos na primeira turma, 3 alunos a menos na segunda do que na terceira. Quantos alunos estão na terceira série se houver 125 alunos nessas três séries?
1227. Encontre o valor da expressão:
1228. Calcular oralmente:
1229. Encontre o maior valor da expressão:
1230. Insira 4 números inteiros consecutivos se:
a) o menor deles é igual a -12; c) o menor deles é igual a n;
b) o maior deles é igual a -18; d) o maior deles é igual a k.
