Quantos eixos de simetria diferentes um triângulo pode ter depende de sua forma geométrica. Se for um triângulo equilátero, terá imediatamente até três eixos de simetria.

E se for um triângulo isósceles, terá apenas um eixo de simetria.

O filho da irmã está apenas passando por esse tópico na escola nas aulas de geometria. O eixo de simetria é uma linha reta, quando girada em torno da qual em um determinado ângulo, a figura simétrica tomará a mesma posição no espaço que ocupava antes da rotação, e algumas de suas partes serão substituídas pelas mesmas outras. Em um triângulo isósceles - três, em um retangular - um, no resto - não, pois seus lados não são iguais entre si.

Depende de qual triângulo. Um triângulo equilátero tem três eixos de simetria que passam por seus três vértices. Um triângulo isósceles, respectivamente, tem um eixo de simetria. Os demais triângulos não possuem eixos de simetria.



A coisa mais simples a lembrar é que um triângulo equilátero tem três lados iguais e tem três eixos de simetria

Isso torna mais fácil lembrar o seguinte

Não existem lados iguais, ou seja, todos os lados são diferentes, o que significa que não existem eixos de simetria

Um triângulo isósceles tem apenas um eixo.



Você não pode simplesmente responder quantos eixos de simetria um triângulo tem sem entender de qual triângulo específico estamos falando.

Um triângulo equilátero tem três eixos de simetria, respectivamente.

Um triângulo isósceles tem apenas um eixo de simetria.

Quaisquer outros triângulos com lados de comprimentos diferentes não têm nenhum eixo de simetria.

Um triângulo, no qual todos os lados são diferentes em tamanho, não tem eixos de simetria.

Um triângulo retângulo pode ter um eixo de simetria se seus catetos forem iguais.

Em um triângulo em que dois lados são iguais (isósceles), um eixo pode ser desenhado e todos os três lados são iguais (equilátero) - três.

Antes de responder à pergunta de quantos eixos de simetria tem um triângulo, primeiro você precisa lembrar o que é um eixo de simetria.

Então, basta colocar, em geometria, o eixo de simetria é uma linha, se você dobrar uma figura ao longo da qual, obtemos as mesmas metades.

mas vale lembrar que os triângulos também são diferentes.

Então aqui está isósceles um triângulo (um triângulo com dois lados iguais) tem um eixo de simetria.

Equilátero o triângulo, respectivamente, tem 3 eixos de simetria, pois todos os lados desse triângulo são iguais.

E aqui versátil Um triângulo não tem eixos de simetria. Não importa como você dobre e desenhe linhas retas em qualquer lugar, mas como os lados são diferentes, duas metades idênticas não funcionarão.



Pelo que me lembro da geometria, um triângulo equilátero tem três eixos de simetria passando por seus vértices, essas são suas bissetrizes. Um triângulo de ângulo reto, como escaleno, triângulos de ângulo obtuso e de ângulo agudo, não tem eixos de simetria, enquanto um isósceles tem um.

E é fácil verificar - basta imaginar uma linha ao longo da qual ela pode ser cortada em duas para obter dois triângulos idênticos.

Como os triângulos são diferentes, então eles têm eixos de simetria, respectivamente, em quantidades diferentes. Por exemplo, um triângulo com lados diferentes sem eixos de simetria. E o equilátero tem três deles. Existe outro tipo de triângulo que tem um eixo de simetria. Tem dois lados iguais e um ângulo reto.

Um triângulo arbitrário não tem eixos de simetria. Um triângulo isósceles tem um eixo de simetria - esta é a mediana para um único lado. Um triângulo equilátero tem três eixos de simetria - essas são suas três medianas.

Você vai precisar

• - propriedades de pontos simétricos;
• - propriedades de figuras simétricas;
• - régua;
• - quadrado;
• - bússola;
• - lápis;
• - papel;
• - um computador com editor gráfico.

Instrução

Desenhe uma linha a, que será o eixo de simetria. Se suas coordenadas não forem dadas, desenhe-o arbitrariamente. De um lado desta linha, coloque um ponto arbitrário A. você precisa encontrar um ponto simétrico.

Conselho util

As propriedades de simetria são usadas constantemente no programa AutoCAD. Para isso, é utilizada a opção Mirror. Para construir um triângulo isósceles ou um trapézio isósceles, basta desenhar a base inferior e o ângulo entre ela e o lado. Espelhe-os com o comando especificado e estenda os lados para o tamanho necessário. No caso de um triângulo, este será o ponto de sua interseção, e para um trapézio, este será um valor dado.

Você encontra constantemente simetria em editores gráficos quando usa a opção "virar verticalmente / horizontalmente". Neste caso, uma linha reta correspondente a um dos lados vertical ou horizontal da moldura é tomada como eixo de simetria.

Origens:

• como desenhar simetria central

Construir uma seção de um cone não é uma tarefa tão difícil. O principal é seguir uma sequência estrita de ações. Então esta tarefa será fácil de fazer e não exigirá muito esforço de você.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta;
• - círculo;
• - régua.

Instrução

Ao responder a esta pergunta, primeiro você precisa decidir para quais parâmetros a seção está definida.
Seja esta a linha de interseção do plano l com o plano e o ponto O, que é o ponto de interseção com sua seção.

A construção é ilustrada na Fig.1. O primeiro passo na construção de uma seção é através do centro da seção de seu diâmetro, estendida até l perpendicular a esta linha. Como resultado, obtém-se o ponto L. Além disso, desenhe uma linha reta LW passando por t.O e construa dois cones direcionadores situados na seção principal O2M e O2C. Na intersecção destas guias encontra-se o ponto Q, bem como o ponto W já mostrado. Estes são os dois primeiros pontos da seção desejada.

Agora desenhe um MC perpendicular na base do cone BB1 ​​e construa os geradores da seção perpendicular O2B e O2B1. Nesta seção, desenhe uma linha reta RG passando por t.O, paralela a BB1. T.R e t.G - mais dois pontos da seção desejada. Se a seção transversal da bola fosse conhecida, ela já poderia ser construída nesta fase. No entanto, esta não é uma elipse, mas algo elíptico, tendo simetria em relação ao segmento QW. Portanto, você deve construir o maior número possível de pontos da seção para conectá-los no futuro com uma curva suave para obter o esboço mais confiável.

Construa um ponto de seção arbitrário. Para isso, desenhe um diâmetro arbitrário AN na base do cone e construa as guias correspondentes O2A e O2N. Por PO traçar uma linha reta passando por PQ e WG, até cruzar com as guias recém-construídas nos pontos P e E. Esses são mais dois pontos da seção desejada. Continuando da mesma forma e mais longe, você pode arbitrariamente pontos desejados.

É verdade que o procedimento para obtê-los pode ser ligeiramente simplificado usando simetria em relação a QW. Para isso, é possível traçar retas SS' paralelas a RG no plano da seção desejada, paralelas a RG até se cruzarem com a superfície do cone. A construção é concluída arredondando a polilinha construída a partir de cordas. Basta construir metade da seção necessária devido à já mencionada simetria em relação a QW.

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Dica 3: Como representar graficamente uma função trigonométrica

Você precisa desenhar cronograma trigonométrico funções? Domine o algoritmo de ações usando o exemplo da construção de uma senóide. Para resolver o problema, use o método de pesquisa.

Você vai precisar

• - régua;
• - lápis;
• - Conhecimentos básicos de trigonometria.

Instrução

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Nota

Se os dois semi-eixos de um hiperbolóide de uma pista são iguais, então a figura pode ser obtida girando uma hipérbole com semi-eixos, um dos quais é o acima, e o outro, que difere de dois iguais, em torno do eixo imaginário.

Conselho util

Ao considerar esta figura em relação aos eixos Oxz e Oyz, fica claro que suas seções principais são hipérboles. E quando uma dada figura espacial de rotação é cortada pelo plano Oxy, sua seção é uma elipse. A elipse da garganta de um hiperbolóide de uma tira passa pela origem, pois z = 0.

A elipse garganta é descrita pela equação x²/a² +y²/b²=1, e as demais elipses são compostas pela equação x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Origens:

• Elipsóides, parabolóides, hiperbolóides. Geradores retilíneos

A forma da estrela de cinco pontas tem sido amplamente utilizada pelo homem desde os tempos antigos. Consideramos bela sua forma, pois inconscientemente distinguimos as proporções da seção áurea, ou seja, a beleza da estrela de cinco pontas é justificada matematicamente. Euclides foi o primeiro a descrever a construção de uma estrela de cinco pontas em seus "Inícios". Vamos dar uma olhada em sua experiência.

Você vai precisar

• régua;
• lápis;
• bússola;
• transferidor.

Instrução

A construção de uma estrela reduz-se à construção e consequente ligação dos seus vértices entre si sequencialmente através de um. Para construir o correto, é necessário quebrar o círculo em cinco.
Construa um círculo arbitrário usando uma bússola. Marque seu centro com um O.

Marque o ponto A e use uma régua para desenhar o segmento de linha OA. Agora você precisa dividir o segmento OA ao meio, para isso, a partir do ponto A, desenhe um arco com raio OA até cruzar com um círculo em dois pontos M e N. Construa um segmento MN. O ponto E, onde MN intercepta OA, irá bifurcar o segmento OA.

Restaure o OD perpendicular ao raio OA e conecte os pontos D e E. Faça o entalhe B no OA do ponto E com o raio ED.

Agora, usando o segmento DB, marque o círculo em cinco partes iguais. Marque os vértices do pentágono regular sequencialmente com números de 1 a 5. Conecte os pontos na seguinte sequência: 1 com 3, 2 com 4, 3 com 5, 4 com 1, 5 com 2. estrela, em um pentágono regular. Foi assim que ele construiu

EU . Simetria em matemática :

Conceitos básicos e definições.

Simetria axial (definições, plano de construção, exemplos)

Simetria central (definições, plano de construção, commedidas)

Tabela de resumo (todas as propriedades, recursos)

II . Aplicações de simetria:

1) em matemática

2) em química

3) em biologia, botânica e zoologia

4) em arte, literatura e arquitetura

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Conceitos básicos de simetria e seus tipos.

O conceito de simetria n R percorre toda a história da humanidade. Encontra-se já nas origens do conhecimento humano. Surgiu em conexão com o estudo de um organismo vivo, o homem. E foi usado por escultores já no século 5 aC. e. A palavra "simetria" é grega, significa "proporcionalidade, proporcionalidade, a mesmice na disposição das partes". É amplamente utilizado por todas as áreas da ciência moderna sem exceção. Muitas grandes pessoas pensaram sobre esse padrão. Por exemplo, L. N. Tolstoy disse: “Parado na frente de um quadro preto e desenhando diferentes figuras nele com giz, de repente fui atingido pelo pensamento: por que a simetria é compreensível aos olhos? O que é simetria? Este é um sentimento inato, respondi a mim mesmo. Em que se baseia?" A simetria é realmente agradável aos olhos. Quem não admirou a simetria das criações da natureza: folhas, flores, pássaros, animais; ou criações humanas: edifícios, tecnologia, - tudo o que nos rodeia desde a infância, que prima pela beleza e harmonia. Hermann Weyl disse: "A simetria é a ideia através da qual o homem tentou durante séculos compreender e criar ordem, beleza e perfeição". Hermann Weyl é um matemático alemão. A sua actividade situa-se na primeira metade do século XX. Foi ele quem formulou a definição de simetria, estabelecida por quais sinais ver a presença ou, inversamente, a ausência de simetria em um caso particular. Assim, uma representação matematicamente rigorosa foi formada há relativamente pouco tempo - no início do século XX. É bastante complexo. Voltaremos e mais uma vez relembraremos as definições que nos são dadas no livro didático.

2. Simetria axial.

2.1 Definições básicas

Definição. Dois pontos A e A 1 são chamados simétricos em relação à linha a se esta linha passa pelo ponto médio do segmento AA 1 e é perpendicular a ele. Cada ponto da linha a é considerado simétrico a si mesmo.

Definição. Diz-se que a figura é simétrica em relação a uma linha reta. uma, se para cada ponto da figura o ponto simétrico a ele em relação à linha reta uma também pertence a esta figura. Em linha reta uma chamado de eixo de simetria da figura. A figura também é dita ter simetria axial.

2.2 Plano de construção

E assim, para construir uma figura simétrica em relação a uma linha reta de cada ponto, traçamos uma perpendicular a essa linha reta e a estendemos pela mesma distância, marcando o ponto resultante. Fazemos isso com cada ponto, obtemos os vértices simétricos da nova figura. Então nós os conectamos em série e obtemos uma figura simétrica desse eixo relativo.

2.3 Exemplos de figuras com simetria axial.

3. Simetria central

3.1 Definições básicas

Definição. Dois pontos A e A 1 são chamados simétricos em relação ao ponto O se O for o ponto médio do segmento AA 1. O ponto O é considerado simétrico a si mesmo.

Definição. Uma figura é dita simétrica em relação ao ponto O se para cada ponto da figura o ponto simétrico a ela em relação ao ponto O também pertence a esta figura.

3.2 Plano de construção

Construção de um triângulo simétrico ao dado em relação ao centro O.

Para construir um ponto simétrico a um ponto MAS em relação ao ponto O, basta traçar uma linha reta OA(Fig. 46 ) e do outro lado do ponto O separar um segmento igual a um segmento OA. Em outras palavras , pontos A e ; dentro e ; C e são simétricas em relação a algum ponto O. Na fig. 46 construiu um triângulo simétrico a um triângulo abc em relação ao ponto O. Esses triângulos são iguais.

Construção de pontos simétricos em torno do centro.

Na figura, os pontos M e M 1, N e N 1 são simétricos em relação ao ponto O, e os pontos P e Q não são simétricos em relação a este ponto.

Em geral, figuras que são simétricas em relação a algum ponto são iguais a .

3.3 Exemplos

Vamos dar exemplos de figuras com simetria central. As figuras mais simples com simetria central são o círculo e o paralelogramo.

O ponto O é chamado de centro de simetria da figura. Nesses casos, a figura tem simetria central. O centro de simetria de um círculo é o centro do círculo, e o centro de simetria de um paralelogramo é o ponto de interseção de suas diagonais.

A reta também possui simetria central, porém, diferentemente do círculo e do paralelogramo, que possuem apenas um centro de simetria (ponto O na figura), a reta possui um número infinito deles - qualquer ponto da reta é seu centro de simetria.

As figuras mostram um ângulo simétrico em torno do vértice, um segmento simétrico a outro segmento em torno do centro MAS e um quadrilátero simétrico em torno de seu vértice M.

Um exemplo de uma figura que não tem um centro de simetria é um triângulo.

4. Resumo da lição

Vamos resumir o conhecimento adquirido. Hoje, na lição, conhecemos dois tipos principais de simetria: central e axial. Vamos olhar para a tela e sistematizar o conhecimento adquirido.

Tabela de resumo

	Simetria axial	Simetria central
Peculiaridade	Todos os pontos da figura devem ser simétricos em relação a alguma linha reta.	Todos os pontos da figura devem ser simétricos em relação ao ponto escolhido como centro de simetria.
Propriedades	1. Pontos simétricos estão em perpendiculares à linha. 3. Linhas retas se transformam em linhas retas, ângulos em ângulos iguais. 4. Os tamanhos e formas das figuras são salvos.	1. Pontos simétricos estão em uma linha reta que passa pelo centro e pelo ponto dado da figura. 2. A distância de um ponto a uma linha reta é igual à distância de uma linha reta a um ponto simétrico. 3. Os tamanhos e formas das figuras são salvos.

II. Aplicação de simetria

Matemática	Nas aulas de álgebra, estudamos os gráficos das funções y=x e y=x As figuras mostram várias figuras representadas com a ajuda de ramos de parábolas. (a) Octaedro, (b) dodecaedro rômbico, (c) octaedro hexagonal.
língua russa	As letras impressas do alfabeto russo também possuem diferentes tipos de simetrias. Existem palavras "simétricas" em russo - palíndromos, que pode ser lido da mesma maneira em ambas as direções.	A D L M P T V- eixo vertical B E W K S E Yu - eixo horizontal W N O X- vertical e horizontal B G I Y R U C W Y Z- sem eixo Cabana de radar Alla Anna
Literatura	As sentenças também podem ser palindrômicas. Bryusov escreveu o poema "Voz da Lua", no qual cada linha é um palíndromo. Veja os quadrigêmeos de "O Cavaleiro de Bronze" de A.S. Pushkin. Se desenharmos uma linha após a segunda linha, podemos ver os elementos de simetria axial	E a rosa caiu na pata de Azor. Eu vou com a espada do juiz. (Derzhavin) "Procure um táxi" "Argentina Manit Negro", "Aprecia o Negro Argentino", "Lesha encontrou um inseto na prateleira." O Neva é revestido de granito; Pontes pairavam sobre as águas; Jardins verdes escuros As ilhas estavam cobertas com ele...

Biologia

O corpo humano é construído sobre o princípio da simetria bilateral. A maioria de nós pensa no cérebro como uma estrutura única, na verdade ele é dividido em duas metades. Essas duas partes - dois hemisférios - se encaixam perfeitamente. Em plena conformidade com a simetria geral do corpo humano, cada hemisfério é uma imagem espelhada quase exata do outro. O controle dos movimentos básicos do corpo humano e suas funções sensoriais é distribuído uniformemente entre os dois hemisférios do cérebro. O hemisfério esquerdo controla o lado direito do cérebro, enquanto o hemisfério direito controla o lado esquerdo.

Botânica

Uma flor é considerada simétrica quando cada perianto consiste em um número igual de partes. Flores, tendo partes emparelhadas, são consideradas flores com dupla simetria, etc. A tripla simetria é comum para monocotiledôneas, cinco - para dicotiledôneas.Uma característica da estrutura das plantas e seu desenvolvimento é a helicidade. Preste atenção aos brotos do arranjo das folhas - isso também é uma espécie de espiral - helicoidal. Mesmo Goethe, que não era apenas um grande poeta, mas também um naturalista, considerava a helicidade um dos traços característicos de todos os organismos, uma manifestação da essência mais íntima da vida. As gavinhas das plantas se torcem em espiral, o tecido cresce em espiral nos troncos das árvores, as sementes de um girassol são dispostas em espiral, os movimentos em espiral são observados durante o crescimento de raízes e brotos.

Uma característica da estrutura das plantas e seu desenvolvimento é a helicidade. Olhe para a pinha. As escamas em sua superfície estão dispostas de maneira estritamente regular - ao longo de duas espirais que se cruzam aproximadamente em ângulo reto. O número de tais espirais em pinhas é 8 e 13 ou 13 e 21.

Zoologia

A simetria nos animais é entendida como a correspondência em tamanho, forma e contorno, bem como a localização relativa de partes do corpo localizadas em lados opostos da linha divisória. Com simetria radial ou radiativa, o corpo tem a forma de um cilindro curto ou longo ou de um vaso com eixo central, do qual partes do corpo se estendem em ordem radial. Estes são celenterados, equinodermos, estrelas do mar. Com simetria bilateral, existem três eixos de simetria, mas apenas um par de lados simétricos. Porque os outros dois lados - o abdominal e o dorsal - não são semelhantes entre si. Esse tipo de simetria é característico da maioria dos animais, incluindo insetos, peixes, anfíbios, répteis, pássaros e mamíferos.

Simetria axial

	Diferentes tipos de simetria de fenômenos físicos: simetria de campos elétricos e magnéticos (Fig. 1) Em planos mutuamente perpendiculares, a propagação das ondas eletromagnéticas é simétrica (Fig. 2)	fig.1 fig.2
Arte	A simetria do espelho muitas vezes pode ser observada em obras de arte. A simetria do espelho é amplamente encontrada nas obras de arte das civilizações primitivas e na pintura antiga. As pinturas religiosas medievais também são caracterizadas por esse tipo de simetria. Uma das melhores primeiras obras de Rafael, O noivado de Maria, foi criada em 1504. Um vale encimado por um templo de pedra branca se estende sob o céu azul ensolarado. Em primeiro plano está a cerimônia de noivado. O Sumo Sacerdote aproxima as mãos de Maria e de José. Atrás de Maria está um grupo de meninas, atrás de José está um grupo de rapazes. Ambas as partes da composição simétrica são mantidas juntas pelo movimento dos personagens. Para os gostos modernos, a composição de tal imagem é chata, porque a simetria é óbvia demais.

Química	A molécula de água tem um plano de simetria (linha reta vertical) As moléculas de DNA (ácido desoxirribonucleico) desempenham um papel extremamente importante no mundo da vida selvagem. É um polímero de alto peso molecular de fita dupla cujo monômero é nucleotídeos. As moléculas de DNA têm uma estrutura de dupla hélice construída com base no princípio da complementaridade.
arquitectoquem	Desde os tempos antigos, o homem tem usado simetria na arquitetura. Os arquitetos antigos usavam a simetria de forma especialmente brilhante em estruturas arquitetônicas. Além disso, os antigos arquitetos gregos estavam convencidos de que em suas obras são guiados pelas leis que regem a natureza. Escolhendo formas simétricas, o artista expressou assim sua compreensão da harmonia natural como estabilidade e equilíbrio. A cidade de Oslo, capital da Noruega, possui um expressivo conjunto de natureza e arte. Este é o Frogner - parque - um complexo de esculturas de jardinagem paisagística, que foi criado ao longo de 40 anos.	Casa Pashkov Louvre (Paris)

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009

Hoje falaremos sobre um fenômeno que cada um de nós encontra constantemente na vida: a simetria. O que é simetria?

Aproximadamente todos nós entendemos o significado deste termo. O dicionário diz: simetria é a proporcionalidade e a correspondência total do arranjo das partes de algo em relação a uma linha ou ponto. Existem dois tipos de simetria: axial e radial. Vamos olhar primeiro para o eixo. Isso é, digamos, simetria "espelho", quando uma metade do objeto é completamente idêntica à segunda, mas a repete como um reflexo. Olhe para as metades da folha. Eles são espelho simétricos. As metades do corpo humano (face inteira) também são simétricas - os mesmos braços e pernas, os mesmos olhos. Mas não nos enganemos, de fato, no mundo orgânico (vivo), a simetria absoluta não pode ser encontrada! As metades da folha não se copiam perfeitamente, o mesmo se aplica ao corpo humano (veja você mesmo); o mesmo vale para outros organismos! A propósito, vale acrescentar que qualquer corpo simétrico é simétrico em relação ao espectador em apenas uma posição. É preciso, digamos, virar o lençol, ou levantar a mão, e o quê? - Veja por si mesmo.

As pessoas alcançam a verdadeira simetria nos produtos de seu trabalho (coisas) - roupas, carros ... Na natureza, é característico de formações inorgânicas, por exemplo, cristais.

Mas vamos para a prática. Não vale a pena começar com objetos complexos como pessoas e animais, vamos tentar terminar a metade espelhada da folha como primeiro exercício em um novo campo.

Desenhe um objeto simétrico - lição 1

Vamos tentar torná-lo o mais semelhante possível. Para fazer isso, vamos literalmente construir nossa alma gêmea. Não pense que é tão fácil, especialmente na primeira vez, desenhar uma linha correspondente ao espelho com um golpe!

Vamos marcar vários pontos de referência para a futura linha simétrica. Agimos assim: desenhamos com um lápis sem pressão várias perpendiculares ao eixo de simetria - a veia do meio da folha. Quatro ou cinco é o suficiente. E nestas perpendiculares medimos à direita a mesma distância que na metade esquerda até a linha da borda da folha. Eu aconselho você a usar a régua, não confie realmente no olho. Como regra, tendemos a reduzir o desenho - isso foi notado na experiência. Não recomendamos medir distâncias com os dedos: o erro é muito grande.

Conecte os pontos resultantes com uma linha de lápis:

Agora olhamos meticulosamente - as metades são realmente as mesmas. Se tudo estiver correto, vamos circundá-lo com uma caneta hidrográfica, esclarecer nossa linha:

A folha de álamo foi concluída, agora você pode balançar na folha de carvalho.

Vamos desenhar uma figura simétrica - lição 2

Neste caso, a dificuldade está no fato de que as nervuras são indicadas e não são perpendiculares ao eixo de simetria, e não apenas as dimensões, mas também o ângulo de inclinação terão que ser observados com exatidão. Bem, vamos treinar o olho:

Então foi desenhada uma folha de carvalho simétrica, ou melhor, construímos de acordo com todas as regras:

Como desenhar um objeto simétrico - lição 3

E vamos corrigir o tópico - terminaremos de desenhar uma folha simétrica de lilás.

Ele também tem um formato interessante - em forma de coração e com orelhas na base você tem que bufar:

Aqui está o que eles desenharam:

Observe o trabalho resultante à distância e avalie com que precisão conseguimos transmitir a similaridade necessária. Aqui vai uma dica para você: olhe sua imagem no espelho, e ela lhe dirá se há algum erro. Outra maneira: dobre a imagem exatamente ao longo do eixo (já aprendemos como dobrar corretamente) e corte a folha ao longo da linha original. Olhe para a própria figura e para o papel cortado.

pontos M e M 1 são chamados simétricos em relação a uma dada linha eu se esta linha é a mediatriz do segmento MILÍMETROS 1 (Figura 1). Cada ponto da linha eu simétrica a si mesma. Transformação de plano em que cada ponto é mapeado para um ponto simétrico a ele em relação a uma determinada linha eu, é chamado axialmente simétrico com o eixo L e denotado S eu :S eu (M) = M 1 .

pontos M e M 1 são mutuamente simétricas em relação a eu, É por isso S eu (M 1 )=M. Portanto, a transformação inversa da simetria axial é a mesma simetria axial: S eu -1= S eu , S L° S eu = E. Em outras palavras, a simetria axial de um plano é involutivo transformação.

A imagem de um dado ponto com simetria axial pode ser construída de forma simples usando apenas um compasso. Deixe ser eu- eixo de simetria, UMA e B- pontos arbitrários deste eixo (Fig. 2). Se S eu (M) = M 1 , então pela propriedade dos pontos da mediatriz ao segmento temos: AM=AM 1 e BM = BM 1 . Então o ponto M 1 pertence a dois círculos: círculos com centro UMA raio SOU e círculos com centro B raio BM (M- dado ponto). Figura F e sua imagem F 1 com simetria axial são chamadas de figuras simétricas em relação a uma linha reta eu(Figura 3).

Teorema. A simetria axial de um plano é o movimento.

Se um MAS e NO- quaisquer pontos do plano e S eu (A)=A 1 , S eu (B)=B 1 , então temos que provar que UMA 1 B 1 = AB. Para fazer isso, introduzimos um sistema de coordenadas retangulares OXY para que o eixo BOI coincide com o eixo de simetria. pontos MAS e NO tem coordenadas Machado 1 ,-y 1 ) e B(x 1 ,-y 2 ) .Pontos MAS 1 e NO 1 tem coordenadas UMA 1 (x 1 ,y 1 ) e B 1 (x 1 ,y 2 ) (Figura 4 - 8). Usando a fórmula da distância entre dois pontos, encontramos:

A partir dessas relações fica claro que AB=A 1 NO 1, o que deveria ser provado.

A partir de uma comparação das orientações do triângulo e sua imagem, obtemos que a simetria axial do plano é movimento do segundo tipo.

A simetria axial mapeia cada linha para uma linha. Em particular, cada uma das linhas perpendiculares ao eixo de simetria é mapeada por essa simetria sobre si mesma.

Teorema. Uma linha reta diferente de uma perpendicular ao eixo de simetria e sua imagem sob essa simetria se cruzam no eixo de simetria ou são paralelas a ele.

Prova. Seja dada uma linha reta não perpendicular ao eixo eu simetria. Se um m? L=P e S eu (m)=m 1, então m 1 ?m e S eu (P)=P, É por isso PM1(Figura 9). Se m || eu, então m 1 || eu, uma vez que, caso contrário, o direto m e m 1 cruzaria em um ponto na linha eu, o que contradiz a condição m||L(Figura 10).

Em virtude da definição de figuras iguais, linhas retas, simétricas em relação a uma linha reta eu, forma com uma linha reta euângulos iguais (Figura 9).

Em linha reta eu chamado o eixo de simetria da figura F, se com simetria com o eixo eu figura F exibido em si mesmo: S eu (F)=F. Dizem que a figura F simétrico sobre uma linha reta eu.

Por exemplo, qualquer linha reta contendo o centro de um círculo é o eixo de simetria desse círculo. De fato, deixe M- ponto arbitrário do círculo sch centrado O, OL, S eu (M)=M 1 . Então S eu (O)=O e OM 1 =OM, ou seja M 1 você. Assim, a imagem de qualquer ponto de um círculo pertence a este círculo. Conseqüentemente, S eu (u)=u.

Os eixos de simetria de um par de retas não paralelas são duas retas perpendiculares contendo as bissetrizes dos ângulos entre essas retas. O eixo de simetria de um segmento é a reta que o contém, assim como a mediatriz a este segmento.

Propriedades de simetria axial

• 1. Com simetria axial, a imagem de uma linha reta é uma linha reta, a imagem de linhas paralelas são linhas paralelas
• 3. A simetria axial preserva a razão simples de três pontos.
• 3. Com simetria axial, o segmento passa para um segmento, um raio para um raio, um semiplano para um semiplano.
• 4. Com simetria axial, o ângulo entra em um ângulo igual.
• 5. Com simetria axial com o eixo d, qualquer linha reta perpendicular ao eixo d permanece no lugar.
• 6. Com simetria axial, o referencial ortonormal passa para o referencial ortonormal. Neste caso, o ponto M com as coordenadas x e y em relação ao quadro R vai para o ponto M` com as mesmas coordenadas x e y, mas em relação ao quadro R`.
• 7. A simetria axial do plano traduz o referencial ortonnormal direito para o esquerdo e, inversamente, o referencial ortonnormal esquerdo para o direito.
• 8. A composição de duas simetrias axiais de um plano com eixos paralelos é uma translação paralela por um vetor perpendicular às linhas dadas, cujo comprimento é o dobro da distância entre as linhas dadas