Até agora, consideramos as equações das linhas no plano, que relacionam diretamente as coordenadas atuais dos pontos dessas linhas. No entanto, muitas vezes é usada outra forma de especificar a linha, na qual as coordenadas atuais são consideradas como funções de uma terceira variável.

Sejam dadas duas funções de uma variável

considerado para os mesmos valores de t. Então qualquer um desses valores de t corresponde a um certo valor e um certo valor de y e, consequentemente, a um certo ponto. Quando a variável t percorre todos os valores do domínio das funções (73), o ponto descreve alguma linha C no plano. As equações (73) são chamadas de equações paramétricas dessa linha, e a variável é chamada de parâmetro.

Suponha que a função tenha uma função inversa Substituindo esta função na segunda das equações (73), obtemos a equação

expressando y como uma função

Vamos concordar em dizer que esta função é dada parametricamente pelas equações (73). A transição dessas equações para a equação (74) é chamada de eliminação do parâmetro. Ao considerar funções definidas parametricamente, a exclusão do parâmetro não só não é necessária, como também nem sempre é possível na prática.

Em muitos casos, é muito mais conveniente, dados diferentes valores do parâmetro, calcular então, usando fórmulas (73), os valores correspondentes do argumento e da função y.

Considere exemplos.

Exemplo 1. Seja um ponto arbitrário de um círculo centrado na origem e raio R. As coordenadas cartesianas x e y deste ponto são expressas em termos de seu raio polar e ângulo polar, que denotamos aqui por t, como segue ( ver Cap. I, § 3, item 3):

As equações (75) são chamadas de equações paramétricas do círculo. O parâmetro neles é o ângulo polar, que varia de 0 a.

Se as equações (75) forem elevadas ao quadrado e somadas termo a termo, então, devido à identidade, o parâmetro será eliminado e será obtida a equação do círculo no sistema de coordenadas cartesianas, que define duas funções elementares:

Cada uma dessas funções é especificada parametricamente pelas equações (75), mas as faixas de variação dos parâmetros para essas funções são diferentes. Para o primeiro; o gráfico desta função é o semicírculo superior. Para a segunda função, seu gráfico é o semicírculo inferior.

Exemplo 2. Considere uma elipse ao mesmo tempo

e um círculo centrado na origem e raio a (Fig. 138).

A cada ponto M da elipse, associamos um ponto N da circunferência, que tem a mesma abcissa que o ponto M, e está localizado com ele do mesmo lado do eixo Ox. A posição do ponto N e, portanto, do ponto M, é completamente determinada pelo ângulo polar t do ponto. Neste caso, para suas abcissas comuns, obtemos a seguinte expressão: x \u003d a. Encontramos a ordenada no ponto M da equação da elipse:

O sinal é escolhido porque a ordenada no ponto M e a ordenada no ponto N devem ter os mesmos sinais.

Assim, as seguintes equações paramétricas são obtidas para a elipse:

Aqui o parâmetro t muda de 0 para .

Exemplo 3. Considere um círculo com centro no ponto a) e raio a, que, obviamente, toca o eixo x na origem (Fig. 139). Suponha que seja esse círculo que rola sem deslizar ao longo do eixo x. Então o ponto M do círculo, que coincidiu no momento inicial com a origem, descreve uma linha, que é chamada de ciclóide.

Derivamos as equações paramétricas da ciclóide, tomando como parâmetro t o ângulo de rotação do círculo MSW ao mover seu ponto fixo da posição O para a posição M. Então para as coordenadas e y do ponto M obtemos as seguintes expressões:

Devido ao fato de que o círculo rola ao longo do eixo sem escorregar, o comprimento do segmento OB é igual ao comprimento do arco VM. Como o comprimento do arco VM é igual ao produto do raio a pelo ângulo central t, então . Então . Mas, portanto,

Essas equações são as equações paramétricas da ciclóide. Ao alterar o parâmetro t de 0 para o círculo fará uma volta completa. O ponto M descreverá um arco da ciclóide.

A exclusão do parâmetro t leva aqui a expressões complicadas e é praticamente impraticável.

A definição paramétrica de linhas é especialmente usada na mecânica, e o tempo desempenha o papel de um parâmetro.

Exemplo 4. Vamos determinar a trajetória de um projétil disparado de uma arma com velocidade inicial em um ângulo a em relação ao horizonte. A resistência do ar e as dimensões do projétil, considerando-o como ponto material, são desprezadas.

Vamos escolher um sistema de coordenadas. Para a origem das coordenadas, tomamos o ponto de partida do projétil do cano. Vamos direcionar o eixo Ox horizontalmente e o eixo Oy - verticalmente, colocando-os no mesmo plano com o cano da arma. Se não houvesse força gravitacional, então o projétil se moveria ao longo de uma linha reta fazendo um ângulo a com o eixo Ox, e no instante t o projétil teria percorrido a distância. Devido à gravidade da terra, o projétil deve neste momento descer verticalmente por um valor, portanto, na realidade, no instante t, as coordenadas do projétil são determinadas pelas fórmulas:

Essas equações são constantes. Quando t muda, as coordenadas do ponto de trajetória do projétil também mudam. As equações são equações paramétricas da trajetória do projétil, em que o parâmetro é o tempo

Expressando a partir da primeira equação e substituindo-a em

a segunda equação, obtemos a equação da trajetória do projétil na forma Esta é a equação de uma parábola.

Vamos considerar a definição de uma linha no plano, na qual as variáveis ​​x, y são funções da terceira variável t (chamada de parâmetro):

Para cada valor t de algum intervalo correspondem certos valores x e y, e, portanto, um certo ponto M(x, y) do plano. Quando t percorre todos os valores de um determinado intervalo, então o ponto M (x, y) descreve alguma linha eu. As equações (2.2) são chamadas de equações paramétricas da linha eu.

Se a função x = φ(t) tem um inverso t = Ф(x), então substituindo esta expressão na equação y = g(t), obtemos y = g(Ф(x)), que especifica y como a função de x. Neste caso, diz-se que as equações (2.2) definem a função y parametricamente.

Exemplo 1 Deixe ser M (x, y)é um ponto arbitrário do círculo de raio R e centrado na origem. Deixe ser t- o ângulo entre o eixo Boi e raio OM(Ver Figura 2.3). Então x, y expresso através t:

As equações (2.3) são equações paramétricas do círculo. Vamos excluir o parâmetro t das equações (2.3). Para fazer isso, elevamos ao quadrado cada uma das equações e somamos, obtemos: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ou x 2 + y 2 \u003d R 2 - a equação do círculo no sistema de coordenadas cartesianas. Ela define duas funções: Cada uma dessas funções é dada por equações paramétricas (2.3), mas para a primeira função , e para a segunda .

Exemplo 2. Equações paramétricas

definir uma elipse com semieixos a, b(Fig. 2.4). Eliminando o parâmetro das equações t, obtemos a equação canônica da elipse:

Exemplo 3. Uma ciclóide é uma linha descrita por um ponto situado em um círculo se este círculo rolar sem deslizar ao longo de uma linha reta (Fig. 2.5). Vamos introduzir as equações paramétricas da ciclóide. Seja o raio do círculo rolante uma, ponto M, descrevendo a ciclóide, no início do movimento coincidiu com a origem.

Vamos determinar as coordenadas x, y pontos M após o círculo ter girado em um ângulo t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Comprimento do arco MB igual ao comprimento do segmento OB, já que o círculo rola sem escorregar, então

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - custo).

Assim, as equações paramétricas da ciclóide são obtidas:

Ao alterar o parâmetro t de 0 a 2π o círculo é girado por uma volta, enquanto o ponto M descreve um arco da ciclóide. As equações (2.5) definem y como a função de x. Embora a função x = a(t - sint) tem uma função inversa, mas não é expressa em termos de funções elementares, então a função y = f(x) não é expresso em termos de funções elementares.

Considere a diferenciação da função dada parametricamente pelas equações (2.2). A função x = φ(t) em um certo intervalo de mudança t tem uma função inversa t = Ф(x), então y = g(Ф(x)). Deixe ser x = φ(t), y = g(t) tem derivativos e x"t≠0. De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa y"x=y"t×t"x. Com base na regra de diferenciação da função inversa, portanto:

A fórmula resultante (2.6) permite encontrar a derivada para uma função dada parametricamente.

Exemplo 4. Deixe a função y, dependendo x, é definido parametricamente:

Decisão. .
Exemplo 5 Encontrar inclinação k tangente à ciclóide no ponto M 0 correspondente ao valor do parâmetro .
Decisão. Das equações ciclóides: y" t = asint, x" t = a(1 - custo),É por isso

Inclinação de uma tangente em um ponto M0 igual ao valor em t 0 \u003d π / 4:

DIFERENCIAL DE FUNÇÃO

Deixe a função em um ponto x0 tem um derivado. A-prioridade:
portanto, pelas propriedades do limite (Seção 1.8), onde umaé infinitamente pequeno em ∆x → 0. Daqui

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2,7)

Como Δx → 0, o segundo termo na igualdade (2.7) é uma ordem infinitesimal superior, em comparação com , portanto Δy ef "(x 0) × Δx são equivalentes, infinitesimais (para f "(x 0) ≠ 0).

Assim, o incremento da função Δy consiste em dois termos, dos quais o primeiro f "(x 0) × Δx é parte principal incrementa Δy, linear em relação a Δx (para f "(x 0) ≠ 0).

Diferencial a função f(x) no ponto x 0 é chamada de parte principal do incremento da função e é denotada: dy ou df(x0). Conseqüentemente,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

Exemplo 1 Encontrar a diferencial de uma função dy e o incremento da função Δy para a função y \u003d x 2 quando:
1) arbitrário x e Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Decisão

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Se x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, então Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Escrevemos a igualdade (2.7) na forma:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

O incremento Δy difere do diferencial dy para uma ordem infinitesimal superior, em comparação com Δx, portanto, em cálculos aproximados, a igualdade aproximada Δy ≈ dy é usada se Δx for suficientemente pequeno.

Considerando que Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), obtemos uma fórmula aproximada:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Exemplo 2. Calcule aproximadamente.

Decisão. Considerar:

Usando a fórmula (2.10), obtemos:

Assim, ≈ 2,025.

Considere o significado geométrico do diferencial df(x0)(Fig. 2.6).

Desenhe uma tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto M 0 (x0, f (x 0)), seja φ o ângulo entre a tangente KM0 e o eixo Ox, então f "(x 0 ) = tgφ. De ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Mas PN é o incremento da ordenada tangente quando x muda de x 0 para x 0 + Δx.

Portanto, a diferencial da função f(x) no ponto x 0 é igual ao incremento da ordenada tangente.

Vamos encontrar a diferencial da função
y=x. Como (x)" = 1, então dx = 1 × Δx = Δx. Assumimos que o diferencial da variável independente x é igual ao seu incremento, ou seja, dx = Δx.

Se x é um número arbitrário, então da igualdade (2.8) obtemos df(x) = f "(x)dx, de onde .
Assim, a derivada da função y = f(x) é igual à razão entre sua diferencial e a diferencial do argumento.

Considere as propriedades da diferencial de uma função.

Se u(x), v(x) são funções diferenciáveis, então as seguintes fórmulas são válidas:

Para provar essas fórmulas, são usadas fórmulas derivadas para a soma, produto e quociente. Vamos provar, por exemplo, a fórmula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Considere a diferencial de uma função complexa: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Então dy = y" t dt, mas y" t = y" x ×x" t , então dy = y" x x" t dt. Considerando,

que x" t = dx, obtemos dy = y" x dx =f "(x)dx.

Assim, o diferencial de uma função complexa y \u003d f (x), onde x \u003d φ (t), tem a forma dy \u003d f "(x) dx, o mesmo que quando x é uma variável independente. Esta propriedade é chamado diferencial invariante de forma uma.

Diferenciação logarítmica

Derivadas de funções elementares

Regras básicas de diferenciação

Diferencial de função

Parte linear principal do incremento da função UMA D x na definição de diferenciabilidade de uma função

D f=f(x)-f(x 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

é chamado de diferencial da função f(x) no ponto x 0 e denotado

df(x 0)=f¢(x 0)D x= A D x.

O diferencial depende do ponto x 0 e do incremento D x. Em D x ao olhar para ele como uma variável independente, de modo que em cada ponto o diferencial é uma função linear do incremento D x.

Se considerarmos como uma função f(x)=x, então obtemos dx= D x, dy = Adx. Isso é consistente com a notação de Leibniz

Interpretação geométrica do diferencial como incremento da ordenada tangente.

Arroz. 4.3

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Consequência. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 e a derivada existe, então f¢=(u¢v-v¢ você)/v 2 .

Por brevidade, denotaremos u = u(x), você 0 =u(x 0), então

Passando ao limite em D x® 0 obtemos a igualdade necessária.

5) Derivada de uma função complexa.

Teorema. Se houver f¢(x 0), g¢(x 0)e x 0 =g(t 0), então em alguma vizinhança t 0 uma função complexa f(g(t)), é diferenciável no ponto t 0 e

Prova.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ uma( x)(x-x 0), xÎ você(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ uma( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Divida ambos os lados desta igualdade por ( t - t 0) e passar ao limite em ttt 0 .

6) Cálculo da derivada da função inversa.

Teorema. Seja f contínua e estritamente monótona em[a, b]. Seja no ponto x 0 Î( a, b)existe f¢(x 0)¹ 0 , então a função inversa x = f -1 (y)tem no ponto y 0 derivada igual a

Prova. Acreditamos f estritamente crescente monotonicamente, então f -1 (y) é contínua, aumentando monotonicamente em [ f(uma),f(b)]. Vamos colocar y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0=D x,

s-s 0=D y. Devido à continuidade da função inversa D y®0 Þ D x®0, temos

Passando ao limite, obtemos a igualdade requerida.

7) A derivada de uma função par é ímpar, a derivada de uma função ímpar é par.

Com efeito, se x®-x 0 , então - x® x 0 , É por isso

Para uma função par para uma função ímpar

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)= ax,(um x)¢ = x ln uma.

5) ln uma.

6) f(x)=ln x,

Consequência. (a derivada de uma função par é ímpar)

7) (x m )¢= m x m-1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (pecado x)¢= porque x,

9) (cos x)¢=- pecado x,(porque x)¢= (pecado( x+ p/2)) ¢= porque( x+ p/2)=-pecado x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/sen2 x.

16) sh x, CH x.

f(x),, de onde segue que f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

A mesma fórmula pode ser obtida de forma diferente f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Exemplo. Calcular a derivada de uma função f=xx.

= x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Lugar geométrico dos pontos em um plano

será chamado de gráfico da função, dado parametricamente. Eles também falam sobre a definição paramétrica de uma função.

Observação 1. Se um x, y contínuo em [a, b] e x(t) estritamente monotônico no segmento (por exemplo, estritamente crescente monotonicamente), então em [ a, b], a=x(uma) ,b=x(b) função definida f(x)=y(t(x)), onde t(x) – função inversa de x(t). O gráfico desta função é o mesmo que o gráfico da função

Se o escopo função definida parametricamente pode ser dividida em um número finito de segmentos ,k= 1,2,…,n, em cada uma das quais a função x(t) é estritamente monotônica, então a função definida parametricamente se decompõe em um número finito de funções ordinárias foda-se(x)=y(t -1 (x)) com escopos [ x(uma k), x(b k)] para áreas ascendentes x(t) e com domínios [ x(b k), x(uma k)] para seções descendentes da função x(t). As funções obtidas dessa maneira são chamadas de ramos de valor único de uma função definida parametricamente.

A figura mostra um gráfico de uma função definida parametricamente

Com a parametrização escolhida, o domínio de definição é dividido em cinco seções de estrita monotonicidade da função sin(2 t), exatamente: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , e, portanto, o gráfico será dividido em cinco ramos de valor único correspondentes a essas seções.

Arroz. 4.4

Arroz. 4,5

Você pode escolher outra parametrização do mesmo lugar geométrico dos pontos

Nesse caso, haverá apenas quatro dessas filiais. Corresponderão a áreas de estrita monotonicidade tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funções pecado(2 t).

Arroz. 4.6

Quatro seções de monotonicidade da função sin(2 t) em um segmento longo.

Arroz. 4.7

A imagem de ambos os gráficos em uma figura permite que você represente aproximadamente o gráfico de uma função dada parametricamente, usando as áreas de monotonicidade de ambas as funções.

Considere, por exemplo, a primeira ramificação correspondente ao segmento tÎ . No final desta seção, a função x= pecado(2 t) pega os valores -1 e 1 , então este branch será definido em [-1,1] . Depois disso, você precisa olhar para as áreas de monotonicidade da segunda função y= porque( t), ela tem duas áreas de monotonicidade . Isso nos permite dizer que o primeiro ramo tem dois segmentos de monotonicidade. Tendo encontrado os pontos finais do gráfico, você pode conectá-los com linhas retas para indicar a natureza da monotonia do gráfico. Tendo feito isso com cada ramo, obtemos áreas de monotonicidade de ramos de valor único do gráfico (na figura eles estão destacados em vermelho)

Arroz. 4,8

Primeiro ramo único f 1 (x)=y(t(x)) , correspondente à seção será determinado para xн[-1,1] . Primeiro ramo único tÎ , xО[-1,1].

Todos os outros três ramos também terão o conjunto [-1,1] como seu domínio .

Arroz. 4.9

Segunda filial tÎ xО[-1,1].

Arroz. 4.10

Terceiro ramo tÎ xн[-1,1]

Arroz. 4.11

Quarta filial tÎ xн[-1,1]

Arroz. 4.12

Comente 2. A mesma função pode ter diferentes atribuições paramétricas. As diferenças podem dizer respeito tanto às próprias funções x(t),y(t) , e domínios de definição essas funções.

Exemplo de diferentes atribuições paramétricas da mesma função

e tн[-1, 1] .

Observação 3. Se x,y são contínuos em , x(t)- estritamente monotônico no segmento e existem derivados ¢(t 0),x¢(t 0)¹0, então existe f¢(x 0)= .

Sério, .

A última instrução também se estende a ramificações de valor único de uma função definida parametricamente.

4.2 Derivados e diferenciais de ordens superiores

Derivadas e diferenciais mais altas. Diferenciação de funções dadas parametricamente. Fórmula de Leibniz.

Seja a função dada de forma paramétrica:
(1)
onde é alguma variável chamada parâmetro. E deixe que as funções e tenham derivadas em algum valor da variável. Além disso, a função também tem uma função inversa em alguma vizinhança do ponto . Então a função (1) tem uma derivada no ponto, que, de forma paramétrica, é determinada pelas fórmulas:
(2)

Aqui e são derivadas das funções e em relação à variável (parâmetro) . Eles são frequentemente escritos na seguinte forma:
;
.

Então o sistema (2) pode ser escrito da seguinte forma:

Prova

Por condição, a função tem uma função inversa. Vamos denotar como
.
Então a função original pode ser representada como uma função complexa:
.
Vamos encontrar sua derivada aplicando as regras de diferenciação de funções complexas e inversas:
.

A regra foi comprovada.

Prova da segunda maneira

Vamos encontrar a derivada da segunda maneira, com base na definição da derivada da função no ponto:
.
Vamos introduzir a notação:
.
Então a fórmula anterior assume a forma:
.

Vamos usar o fato de que a função tem uma função inversa, na vizinhança do ponto.
Vamos introduzir a notação:
; ;
; .
Divida o numerador e o denominador da fração por:
.
No , . Então
.

A regra foi comprovada.

Derivados de ordens superiores

Para encontrar derivadas de ordens superiores, é necessário realizar a diferenciação várias vezes. Suponha que precisamos encontrar a derivada de segunda ordem de uma função dada de forma paramétrica, da seguinte forma:
(1)

De acordo com a fórmula (2), encontramos a primeira derivada, que também é determinada parametricamente:
(2)

Denote a primeira derivada por meio de uma variável:
.
Então, para encontrar a segunda derivada da função em relação à variável , você precisa encontrar a primeira derivada da função em relação à variável . A dependência de uma variável em uma variável também é especificada de forma paramétrica:
(3)
Comparando (3) com as fórmulas (1) e (2), encontramos:

Agora vamos expressar o resultado em termos das funções e . Para fazer isso, substituímos e aplicamos a fórmula para a derivada de uma fração:
.
Então
.

A partir daqui, obtemos a segunda derivada da função em relação à variável:

Também é dado de forma paramétrica. Observe que a primeira linha também pode ser escrita da seguinte forma:
.

Continuando o processo, é possível obter derivadas de funções a partir de uma variável de terceira ordem e superior.

Note que é possível não introduzir a notação para a derivada. Pode ser escrito assim:
;
.

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função dada de forma paramétrica:

Decisão

Encontramos derivadas de e em relação a .
Da tabela de derivadas encontramos:
;
.
Aplicamos:

.
Aqui .

.
Aqui .

Derivado desejado:
.

Responda

Exemplo 2

Encontre a derivada da função expressa através do parâmetro:

Decisão

Vamos abrir os colchetes usando fórmulas para funções de potência e raízes:
.

Encontramos a derivada:

.

Encontramos a derivada. Para fazer isso, introduzimos uma variável e aplicamos a fórmula para a derivada de uma função complexa.

.

Encontramos a derivada desejada:
.

Responda

Exemplo 3

Encontre a segunda e terceira derivadas da função dada parametricamente no exemplo 1:

Decisão

No exemplo 1, encontramos a derivada de primeira ordem:

Vamos introduzir a notação. Então a função é a derivada em relação a . É definido parametricamente:

Para encontrar a segunda derivada em relação a , precisamos encontrar a primeira derivada em relação a .

Diferenciamo-nos em relação a .
.
Encontramos a derivada por no exemplo 1:
.
A derivada de segunda ordem em relação a é igual à derivada de primeira ordem em relação a:
.

Assim, encontramos a derivada de segunda ordem em relação à forma paramétrica:

Agora encontramos a derivada de terceira ordem. Vamos introduzir a notação. Então precisamos encontrar a primeira derivada da função , que é dada de forma paramétrica:

Encontramos a derivada em relação a . Para fazer isso, reescrevemos em uma forma equivalente:
.
A partir de
.

A derivada de terceira ordem em relação a é igual à derivada de primeira ordem em relação a:
.

Comente

É possível não introduzir variáveis ​​e , que são derivadas de e , respectivamente. Então você pode escrever assim:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Responda

Na representação paramétrica, a derivada de segunda ordem tem a seguinte forma:

Derivada de terceira ordem.

A função pode ser definida de várias maneiras. Depende da regra que é usada ao defini-la. A forma explícita da definição da função é y = f (x) . Há casos em que sua descrição é impossível ou inconveniente. Se houver um conjunto de pares (x; y) que precisam ser calculados para o parâmetro t no intervalo (a; b). Para resolver o sistema x = 3 cos t y = 3 sen t com 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definição de função paramétrica

Portanto, temos que x = φ (t) , y = ψ (t) são definidos para o valor t ∈ (a ; b) e têm uma função inversa t = Θ (x) para x = φ (t) , então estamos falando de definir uma equação paramétrica de uma função da forma y = ψ (Θ (x)) .

Há casos em que, para estudar uma função, é necessário procurar a derivada em relação a x. Considere a fórmula para a derivada de uma função dada parametricamente da forma y x " = ψ " (t) φ " (t) , vamos falar sobre a derivada de 2ª e nª ordem.

Derivação da fórmula para a derivada de uma função dada parametricamente

Temos que x = φ (t) , y = ψ (t) , definido e diferenciável para t ∈ a ; b , onde x t " = φ " (t) ≠ 0 ex = φ (t) , então existe uma função inversa da forma t = Θ (x) .

Para começar, você deve passar de uma tarefa paramétrica para uma explícita. Para fazer isso, você precisa obter uma função complexa da forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , onde há um argumento x .

Com base na regra para encontrar a derivada de uma função complexa, obtemos que y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Isso mostra que t = Θ (x) e x = φ (t) são funções inversas da fórmula da função inversa Θ "(x) = 1 φ" (t) , então y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Vamos considerar a resolução de vários exemplos usando uma tabela de derivadas de acordo com a regra de diferenciação.

Exemplo 1

Encontre a derivada para a função x = t 2 + 1 y = t .

Decisão

Por condição, temos que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, portanto obtemos que φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. É necessário usar a fórmula derivada e escrever a resposta na forma:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Responda: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Ao trabalhar com a derivada de uma função, o parâmetro t especifica a expressão do argumento x através do mesmo parâmetro t para não perder a conexão entre os valores da derivada e a função definida parametricamente com o argumento ao qual estes os valores correspondem.

Para determinar a derivada de segunda ordem de uma função dada parametricamente, você precisa usar a fórmula para a derivada de primeira ordem na função resultante, então temos que

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t)φ"(t) - ψ"(t)φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Exemplo 2

Encontre as derivadas de 2ª e 2ª ordem da função dada x = cos (2 t) y = t 2 .

Decisão

Por condição, obtemos que φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Então depois da transformação

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sen (2 t) 2 t " \u003d - 2 sen (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Segue-se que y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sen 2 t = - t sen (2 t) .

Obtemos que a forma da derivada de 1ª ordem é x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Para resolvê-lo, você precisa aplicar a fórmula da derivada de segunda ordem. Obtemos uma expressão como

y x "" \u003d - t sen (2 t) φ "t \u003d - t " sen (2 t) - t (sen (2 t)) " sen 2 (2 t) - 2 sen (2 t) = = 1 sen (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sen 3 (2 t) = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Em seguida, definindo a derivada de 2ª ordem usando a função paramétrica

x = cos (2 t) y x "" = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Uma solução semelhante pode ser resolvida por outro método. Então

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sen (2 t) 2 t " \u003d - 2 sen (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sen (2 t) " \u003d - 2 sen (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2t)" = 2

Daí obtemos que

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sen (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sen 2 t 3 \u003d \u003d sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Responda: y "" x \u003d sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Da mesma forma, são encontradas derivadas de ordem superior com funções especificadas parametricamente.

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