Se várias ondas se propagam simultaneamente em um meio, as oscilações das partículas do meio acabam sendo a soma geométrica das oscilações que as partículas fariam durante a propagação de cada uma das ondas separadamente. Consequentemente, as ondas simplesmente se sobrepõem sem perturbar umas às outras. Esta afirmação é chamada de princípio da superposição de ondas. O princípio da superposição afirma que o movimento causado pela propagação de várias ondas ao mesmo tempo é novamente um certo processo de onda. Tal processo, por exemplo, é o som de uma orquestra. Ela surge da excitação simultânea de vibrações sonoras do ar por instrumentos musicais individuais. É notável que quando as ondas são sobrepostas, fenômenos especiais podem surgir. Eles são chamados de efeitos de adição ou, como dizem, a superposição de ondas. Entre esses efeitos, os mais importantes são a interferência e a difração.

A interferência é um fenômeno de redistribuição sustentada pelo tempo da energia das vibrações no espaço, como resultado do qual as vibrações são amplificadas em alguns lugares e enfraquecidas em outros. Este fenômeno ocorre ao adicionar ondas com uma diferença de fase que persiste ao longo do tempo, as chamadas ondas coerentes. A interferência de um grande número de ondas é comumente chamada de difração. Não há diferença fundamental entre interferência e difração. A natureza desses fenômenos é a mesma. Vamos nos limitar a discutir apenas um efeito de interferência muito importante, que é a formação de ondas estacionárias.

Uma condição necessária para a formação de ondas estacionárias é a presença de limites que refletem as ondas incidentes sobre elas. As ondas estacionárias são formadas como resultado da adição de ondas incidentes e refletidas. Fenômenos desse tipo são bastante comuns. Assim, cada tom do som de qualquer instrumento musical é excitado por uma onda estacionária. Essa onda é formada em uma corda (instrumentos de cordas) ou em uma coluna de ar (instrumentos de sopro). Os limites refletores nestes casos são os pontos de fixação da corda e as superfícies das cavidades internas dos instrumentos de sopro.

Cada onda estacionária tem as seguintes propriedades. Toda a região do espaço em que a onda é excitada pode ser dividida em células de tal forma que as oscilações sejam completamente ausentes nos limites das células. Os pontos localizados nesses limites são chamados de nós da onda estacionária. As fases das oscilações nos pontos internos de cada célula são as mesmas. As oscilações nas células vizinhas são feitas uma em direção à outra, ou seja, em antifase. Dentro de uma célula, a amplitude das oscilações varia no espaço e atinge seu valor máximo em algum lugar. Os pontos em que isso é observado são chamados de antinós da onda estacionária. Finalmente, uma propriedade característica das ondas estacionárias é a discrição do seu espectro de frequência. Em uma onda estacionária, as oscilações podem ocorrer apenas com frequências estritamente definidas, e a transição de uma delas para outra ocorre em um salto.

Considere um exemplo simples de uma onda estacionária. Suponha que uma corda de comprimento limitado seja esticada ao longo do eixo; suas extremidades são rigidamente fixadas e a extremidade esquerda está na origem das coordenadas. Então a coordenada da extremidade direita será . Vamos excitar uma onda em uma corda

,

espalhando-se da esquerda para a direita. A onda será refletida da extremidade direita da corda. Vamos supor que isso aconteça sem perda de energia. Neste caso, a onda refletida terá a mesma amplitude e a mesma frequência que a onda incidente. Portanto, a onda refletida deve ter a forma:

Sua fase contém uma constante que determina a mudança de fase na reflexão. Como a reflexão ocorre em ambas as extremidades da corda e sem perda de energia, ondas de mesma frequência se propagarão simultaneamente na corda. Portanto, ao adicionar, deve ocorrer interferência. Vamos encontrar a onda resultante.

Esta é a equação da onda estacionária. Segue-se que em cada ponto da corda as vibrações ocorrem com uma frequência. Neste caso, a amplitude das oscilações em um ponto é igual a

.

Como as extremidades da corda são fixas, não há vibrações nelas. Segue da condição que . Assim terminamos com:

.

Agora está claro que nos pontos onde , não há oscilações. Esses pontos são os nós da onda estacionária. No mesmo local, onde , a amplitude de oscilação é máxima, é igual a duas vezes o valor da amplitude das oscilações somadas. Esses pontos são os antinós da onda estacionária. O aparecimento de antinós e nós é justamente a interferência: em alguns lugares as oscilações são amplificadas, enquanto em outros desaparecem. A distância entre um nó vizinho e um antinó é encontrada a partir da condição óbvia: . Porque , então . Portanto, a distância entre nós adjacentes é .

Pode-se ver pela equação da onda estacionária que o fator ao passar por zero, muda de sinal. De acordo com isso, a fase de oscilações em diferentes lados do nó difere por . Isso significa que os pontos situados em lados opostos do nó oscilam em antifase. Todos os pontos entre dois nós vizinhos oscilam na mesma fase.

Assim, ao somar as ondas incidente e refletida, é possível obter de fato o padrão de movimento das ondas que foi caracterizado anteriormente. Neste caso, as células que foram discutidas no caso unidimensional são segmentos encerrados entre nós vizinhos e com comprimento .

Finalmente, vamos nos certificar de que a onda que consideramos pode existir apenas em frequências de oscilação estritamente definidas. Vamos usar o fato de que não há vibrações na extremidade direita da corda, ou seja, . Daí resulta que. Essa igualdade é possível se , onde é um inteiro positivo arbitrário.

6.1 Ondas estacionárias em um meio elástico

De acordo com o princípio da superposição, quando várias ondas se propagam simultaneamente em um meio elástico, ocorre sua superposição, e as ondas não se perturbam: as oscilações das partículas do meio são a soma vetorial das oscilações que as partículas fariam durante a propagação de cada uma das ondas separadamente.

As ondas que criam oscilações do meio, cujas diferenças de fase são constantes em cada ponto do espaço, são chamadas coerente.

Ao adicionar ondas coerentes, o fenômeno surge interferência, que consiste no fato de que em alguns pontos do espaço as ondas se fortalecem e em outros pontos enfraquecem. Um caso importante de interferência é observado quando duas ondas planas opostas com a mesma frequência e amplitude são sobrepostas. As oscilações resultantes são chamadas de onda parada. Na maioria das vezes, as ondas estacionárias surgem quando uma onda viajante é refletida por um obstáculo. Neste caso, a onda incidente e a onda refletida em direção a ela, quando somadas, dão uma onda estacionária.

Obtemos a equação da onda estacionária. Tomemos duas ondas harmônicas planas que se propagam uma em direção à outra ao longo do eixo X e tendo a mesma frequência e amplitude:

Onde - a fase de oscilações dos pontos do meio durante a passagem da primeira onda;

- a fase de oscilações dos pontos do meio durante a passagem da segunda onda.

Diferença de fase em cada ponto do eixo X a rede não dependerá do tempo, ou seja, será constante:

Portanto, ambas as ondas serão coerentes.

A oscilação das partículas do meio resultante da adição das ondas consideradas será a seguinte:

Transformamos a soma dos cossenos dos ângulos de acordo com a regra (4.4) e obtemos:

Reorganizando os fatores, temos:

Para simplificar a expressão, escolhemos a origem para que a diferença de fase e a origem do tempo, de modo que a soma das fases seja igual a zero: .

Então a equação para a soma das ondas terá a forma:

A equação (6.6) é chamada equação de onda estacionária. Pode-se ver que a frequência da onda estacionária é igual à frequência da onda viajante, e a amplitude, em contraste com a onda viajante, depende da distância da origem:

. (6.7)

Levando em conta (6.7), a equação da onda estacionária toma a forma:

. (6.8)

Assim, os pontos do meio oscilam com frequência coincidente com a frequência da onda viajante e com amplitude uma, dependendo da posição do ponto no eixo X. Assim, a amplitude muda de acordo com a lei dos cossenos e tem seus próprios máximos e mínimos (Fig. 6.1).

Para visualizar a localização dos mínimos e máximos da amplitude, substituímos, conforme (5.29), o número de onda pelo seu valor:

Então a expressão (6.7) para a amplitude assume a forma

(6.10)

A partir disso, fica claro que a amplitude de deslocamento é máxima em , ou seja em pontos cuja coordenada satisfaz a condição:

, (6.11)

Onde

A partir daqui obtemos as coordenadas dos pontos onde a amplitude de deslocamento é máxima:

; (6.12)

Os pontos onde a amplitude das oscilações do meio é máxima são chamados antinós de onda.

A amplitude da onda é zero nos pontos onde . As coordenadas de tais pontos, chamadas nós de onda, satisfaz a condição:

, (6.13)

Onde

De (6.13) pode-se ver que as coordenadas dos nós têm os valores:

, (6.14)

Na fig. 6.2 mostra uma visão aproximada de uma onda estacionária, a localização dos nós e antinodos está marcada. Pode-se observar que os nós e antinodos vizinhos do deslocamento estão espaçados entre si pela mesma distância.

Encontre a distância entre os antinós e os nós adjacentes. De (6.12) obtemos a distância entre os antinós:

(6.15)

A distância entre os nós é obtida de (6.14):

(6.16)

Das relações (6.15) e (6.16) obtidas, pode-se observar que a distância entre nós vizinhos, bem como entre antinodos vizinhos, é constante e igual a; nós e antinodos são deslocados em relação um ao outro por (Fig. 6.3).

A partir da definição do comprimento de onda, podemos escrever uma expressão para o comprimento da onda estacionária: é igual à metade do comprimento da onda viajante:

Vamos escrever, levando em conta (6.17), expressões para as coordenadas de nós e antinodos:

, (6.18)

, (6.19)

O multiplicador , que determina a amplitude da onda estacionária, muda de sinal ao passar pelo valor zero, pelo que a fase das oscilações em lados opostos do nó difere em . Consequentemente, todos os pontos situados em lados diferentes do nó oscilam em antifase. Todos os pontos entre os nós vizinhos oscilam em fase.

Os nós dividem condicionalmente o meio em regiões autônomas nas quais as oscilações harmônicas ocorrem independentemente. Não há transferência de movimento entre as regiões e, portanto, não há fluxo de energia entre as regiões. Ou seja, não há transmissão de perturbação ao longo do eixo. Portanto, a onda é chamada de parada.

Assim, uma onda estacionária é formada a partir de duas ondas viajantes com direções opostas de frequências e amplitudes iguais. Os vetores Umov de cada uma dessas ondas são iguais em módulo e opostos em direção e, quando somados, dão zero. Portanto, uma onda estacionária não transfere energia.

6.2 Exemplos de ondas estacionárias

6.2.1 Onda estacionária em uma corda

Considere uma string de comprimento eu, fixado em ambas as extremidades (Fig. 6.4).

Vamos colocar o eixo ao longo da corda X para que a extremidade esquerda da string tenha a coordenada x=0, e o direito x=L. As vibrações ocorrem na corda, descritas pela equação:

Vamos escrever as condições de contorno para a string considerada. Como suas extremidades são fixas, então em pontos com coordenadas x=0 e x=L sem hesitação:

(6.22)

Vamos encontrar a equação das vibrações das cordas com base nas condições de contorno escritas. Escrevemos a equação (6.20) para a extremidade esquerda da corda, levando em consideração (6.21):

Relação (6.23) vale para qualquer momento t em dois casos:

1. . Isso é possível se não houver vibrações na corda (). Este caso não tem interesse e não o consideraremos.

2. . Aqui é a fase. Este caso nos permitirá obter a equação para as vibrações das cordas.

Vamos substituir o valor de fase obtido na condição de contorno (6.22) para a extremidade direita da string:

. (6.25)

Dado que

, (6.26)

de (6.25) obtemos:

Novamente, surgem dois casos em que a relação (6.27) é satisfeita. O caso em que não há vibrações na corda (), não consideraremos.

No segundo caso, a igualdade deve valer:

e isso só é possível quando o argumento seno é um múltiplo de um inteiro:

Descartamos o valor, porque neste caso, o que significaria comprimento de string zero ( L=0) ou novo número de onda k=0. Considerando a relação (6.9) entre o número de onda e o comprimento de onda, fica claro que para que o número de onda seja igual a zero, o comprimento de onda teria que ser infinito, e isso significaria a ausência de oscilações.

Pode ser visto em (6.28) que o número de onda durante as vibrações de uma corda fixada em ambas as extremidades pode assumir apenas certos valores discretos:

Levando em conta (6.9), escrevemos (6.30) como:

de onde derivamos a expressão para os comprimentos de onda possíveis na corda:

Em outras palavras, ao longo do comprimento da string eu deve ser um número inteiro n meia onda:

As frequências de oscilação correspondentes podem ser determinadas a partir de (5.7):

Aqui está a velocidade de fase da onda, que, de acordo com (5.102), depende da densidade linear da corda e da força de tensão da corda:

Substituindo (6.34) em (6.33), obtemos uma expressão que descreve as possíveis frequências de vibração da corda:

, (6.36)

As frequências são chamadas frequências naturais cordas. frequência (quando n = 1):

(6.37)

chamado frequência fundamental(ou tom principal) cordas. Frequências determinadas em n>1 chamado conotações ou harmônicos. O número harmônico é n-1. Por exemplo, frequência:

corresponde ao primeiro harmônico, e a frequência:

corresponde ao segundo harmônico, e assim por diante. Como uma corda pode ser representada como um sistema discreto com um número infinito de graus de liberdade, cada harmônico é moda vibrações das cordas. No caso geral, as vibrações das cordas são uma superposição de modos.

Cada harmônico tem seu próprio comprimento de onda. Para o tom principal (com n= 1) comprimento de onda:

para o primeiro e segundo harmônicos, respectivamente (em n= 2 e n= 3) os comprimentos de onda serão:

A Figura 6.5 mostra uma vista de vários modos de vibração realizados por uma corda.

Assim, uma corda com extremidades fixas realiza um caso excepcional dentro da estrutura da física clássica - um espectro discreto de frequência de oscilação (ou comprimentos de onda). Uma haste elástica com uma ou ambas as extremidades grampeadas se comporta da mesma maneira, assim como as flutuações na coluna de ar em tubos, que serão discutidas nas seções subsequentes.

6.2.2 Influência das condições iniciais no movimento

cadeia contínua. Análise de Fourier

As vibrações de uma corda com extremidades presas, além de um espectro discreto de frequências de vibração, têm mais uma propriedade importante: a forma específica das vibrações de uma corda depende do método de excitação das vibrações, ou seja, das condições iniciais. Vamos considerar com mais detalhes.

A Equação (6.20), que descreve um modo de uma onda estacionária em uma corda, é uma solução particular da equação de onda diferencial (5.61). Como a vibração de uma corda consiste em todos os modos possíveis (para uma corda - um número infinito), a solução geral da equação de onda (5.61) consiste em um número infinito de soluções particulares:

, (6.43)

Onde eué o número do modo de oscilação. A expressão (6.43) é escrita levando em consideração que as extremidades da string são fixas:

e também levando em consideração a conexão de frequência euº modo e seu número de onda:

(6.46)

Aqui - número de onda euª moda;

é o número de onda do 1º modo;

Vamos encontrar o valor da fase inicial para cada modo de oscilação. Para isso, na época t=0 vamos dar à string uma forma descrita pela função f 0 (x), a expressão para a qual obtemos de (6.43):

. (6.47)

Na fig. 6.6 mostra um exemplo da forma de uma string descrita pela minha função f 0 (x).

No momento certo t=0 a corda ainda está em repouso, ou seja. a velocidade de todos os seus pontos é igual a zero. De (6.43) encontramos uma expressão para a velocidade dos pontos da corda:

e substituindo nele t=0, obtemos uma expressão para a velocidade dos pontos da corda no momento inicial:

. (6.49)

Como no momento inicial a velocidade é igual a zero, então a expressão (6.49) será igual a zero para todos os pontos da corda, se . Segue-se que a fase inicial para todos os modos também é zero (). Com isso em mente, a expressão (6.43), que descreve o movimento da corda, assume a forma:

, (6.50)

e a expressão (6.47), que descreve a forma inicial da string, se parece com:

. (6.51)

Uma onda estacionária em uma corda é descrita por uma função que é periódica no intervalo , onde é igual a dois comprimentos de corda (Fig. 6.7):

Isso pode ser visto pelo fato de que a periodicidade no intervalo significa:

Conseqüentemente,

o que nos leva à expressão (6.52).

Sabe-se da análise matemática que qualquer função periódica pode ser expandida com alta precisão em uma série de Fourier:

, (6.57)

onde , , são os coeficientes de Fourier.

Considere o resultado da interferência de duas ondas planas senoidais de mesma amplitude e frequência se propagando em direções opostas. Para simplificar o raciocínio, assumimos que as equações dessas ondas têm a forma:

Isso significa que na origem ambas as ondas causam oscilações na mesma fase. No ponto A com coordenada x, o valor total da grandeza oscilante, de acordo com o princípio da superposição (ver § 19), é

Esta equação mostra que como resultado da interferência de ondas para frente e para trás em cada ponto do meio (com uma coordenada fixa) ocorre uma oscilação harmônica com a mesma frequência, mas com amplitude

depende do valor da coordenada x. Em pontos no meio onde não há vibrações: esses pontos são chamados de nós de vibrações.

Nos pontos onde a amplitude das oscilações tem o maior valor, esses pontos são chamados de antinodos das oscilações. É fácil mostrar que a distância entre os nós vizinhos ou antinodos vizinhos é igual à distância entre o antinodo e o nó mais próximo é igual a Quando x muda de cosseno na fórmula (5.16), ele inverte seu sinal (seu argumento muda para tão se dentro de uma meia onda - de um nó para outro - as partículas do meio se desviaram em uma direção, então dentro da meia onda vizinha, as partículas do meio serão desviadas na direção oposta.

O processo de onda em um meio descrito pela fórmula (5.16) é chamado de onda estacionária. Graficamente, uma onda estacionária pode ser representada como mostrado na Fig. 1,61. Suponhamos que y tenha um deslocamento dos pontos do meio do estado de equilíbrio; então a fórmula (5.16) descreve uma "onda de deslocamento permanente". Em algum momento, quando todos os pontos do meio apresentam deslocamentos máximos, cuja direção, dependendo do valor da coordenada x, é determinada pelo sinal. Esses deslocamentos são mostrados na Fig. 1,61 com setas sólidas. Após um quarto do período, quando os deslocamentos de todos os pontos do meio forem iguais a zero; partículas do meio passam pela linha em diferentes velocidades. Após mais um quarto do período, quando as partículas do meio voltarão a ter deslocamentos máximos, mas na direção oposta; esses deslocamentos são mostrados em

arroz. 1,61 setas tracejadas. Os pontos são os antinós da onda de deslocamento estacionário; aponta os nós desta onda.

As características de uma onda estacionária, em contraste com uma onda convencional de propagação ou viagem, são as seguintes (ou seja, ondas planas na ausência de atenuação):

1) em uma onda estacionária, as amplitudes de oscilação são diferentes em diferentes partes do sistema; o sistema possui nós e antinodos de oscilações. Em uma onda "viajante", essas amplitudes são as mesmas em todos os lugares;

2) dentro da área do sistema de um nó ao vizinho, todos os pontos do meio oscilam na mesma fase; ao passar para uma seção vizinha, as fases das oscilações se invertem. Em uma onda viajante, as fases das oscilações, conforme a fórmula (5.2), dependem das coordenadas dos pontos;

3) em uma onda estacionária não há transferência de energia em sentido único, como é o caso de uma onda progressiva.

Ao descrever processos oscilatórios em sistemas elásticos, o valor oscilante y pode ser tomado não apenas como o deslocamento ou velocidade das partículas do sistema, mas também como o valor da deformação relativa ou o valor da tensão na compressão, tração ou cisalhamento, etc. Ao mesmo tempo, em uma onda estacionária, em locais onde os antinodos das velocidades das partículas são formados, os nós de deformação estão localizados e vice-versa, os nós de velocidade coincidem com os antinodos de deformação. A transformação de energia de cinética para potencial e vice-versa ocorre dentro da seção do sistema do antinó para o nó vizinho. Podemos supor que cada seção não troca energia com seções vizinhas. Observe que a transformação da energia cinética das partículas em movimento em energia potencial das seções deformadas do meio ocorre duas vezes em um período.

Acima, considerando a interferência de ondas diretas e inversas (ver expressões (5.16)), não nos interessava a origem dessas ondas. Suponhamos agora que o meio em que as vibrações se propagam tem dimensões limitadas, por exemplo, as vibrações são causadas em algum corpo sólido - em uma haste ou corda, em uma coluna de líquido ou gás, etc. Uma onda se propagando em tal meio ( corpo) , é refletido a partir dos limites, portanto, dentro do volume desse corpo, ocorre interferência de ondas causadas por uma fonte externa e refletidas a partir dos limites.

Considere o exemplo mais simples; suponha que, em um ponto (Fig. 1.62) de uma haste ou corda, um movimento oscilatório com uma frequência seja excitado com a ajuda de uma fonte senoidal externa; escolhemos a origem da referência de tempo para que neste ponto o deslocamento seja expresso pela fórmula

onde a amplitude de oscilação no ponto A onda induzida na haste será refletida a partir da segunda extremidade da haste 0% e seguirá na direção oposta

direção. Vamos encontrar o resultado da interferência de ondas diretas e refletidas em um determinado ponto da barra de coordenada x. Para simplificar o raciocínio, assumimos que não há absorção de energia vibracional na haste e, portanto, as amplitudes das ondas diretas e refletidas são iguais.

Em algum momento, quando o deslocamento de partículas oscilantes em um ponto é igual a y, em outro ponto da barra, o deslocamento causado por uma onda direta será, de acordo com a fórmula da onda, igual a

A onda refletida também passa pelo mesmo ponto A. Para encontrar o deslocamento causado no ponto A pela onda refletida (ao mesmo tempo, é necessário calcular o tempo durante o qual a onda viajará de ida e volta ao ponto, pois o deslocamento causado no ponto pela onda refletida será igual a

Neste caso, assume-se que na extremidade refletora da haste em processo de reflexão não há mudança abrupta na fase de oscilação; em alguns casos ocorre uma mudança de fase (chamada perda de fase) e deve ser levada em consideração.

A adição de vibrações causadas em vários pontos da haste por ondas diretas e refletidas dá uma onda estacionária; verdade,

onde é alguma fase constante, independente da coordenada x, e a quantidade

é a amplitude de oscilação no ponto; depende da coordenada x, ou seja, é diferente em diferentes pontos da haste.

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos da haste em que os nós e antinodos da onda estacionária são formados. O cosseno vira zero ou um ocorre em valores de argumento que são múltiplos de

onde é um número inteiro. Para um valor ímpar desse número, o cosseno se anula e a fórmula (5.19) fornece as coordenadas dos nós da onda estacionária; pois até mesmo obtemos as coordenadas dos antinós.

Acima, apenas duas ondas foram adicionadas: uma direta vindo e outra refletida se propagando, porém deve-se levar em conta que a onda refletida no limite da haste será refletida novamente e seguirá na direção da onda direta. Tais reflexões

haverá muito das extremidades da haste e, portanto, é necessário encontrar o resultado da interferência não de duas, mas de todas as ondas existentes simultaneamente na haste.

Vamos supor que uma fonte externa de vibrações causou ondas na haste por algum tempo, após o que o fluxo de energia de vibração do lado de fora parou. Durante este tempo, ocorreram reflexões na haste, onde é o tempo durante o qual a onda passou de uma extremidade da haste para a outra. Consequentemente, na haste existirão simultaneamente ondas viajando na direção direta e ondas viajando na direção oposta.

Suponhamos que, como resultado da interferência de um par de ondas (diretas e refletidas), o deslocamento no ponto A seja igual a y. Vamos encontrar a condição sob a qual todos os deslocamentos y causados ​​por cada par de ondas têm as mesmas direções no ponto A da barra e, portanto, se somam. Para isso, as fases das oscilações causadas por cada par de ondas em um ponto devem diferir da fase das oscilações causadas pelo próximo par de ondas. Mas cada onda novamente retorna ao ponto A com a mesma direção de propagação somente após um tempo, ou seja, fica para trás em fase igualando esse atraso onde é um inteiro, obtemos

ou seja, um número inteiro de meias ondas deve caber ao longo do comprimento da haste. Observe que nesta condição, as fases de todas as ondas que viajam na direção direta diferem umas das outras por onde é um número inteiro; exatamente da mesma maneira, as fases de todas as ondas que se propagam na direção oposta diferem umas das outras por . apenas a amplitude das oscilações aumentará. Se a amplitude máxima das oscilações durante a interferência de duas ondas, de acordo com a fórmula (5.18), for igual, então com a interferência de muitas ondas será maior. Vamos denotar como então a distribuição da amplitude de oscilação ao longo da haste em vez da expressão (5.18) será determinada pela fórmula

As expressões (5.19) e (5.20) determinam os pontos em que o cosseno tem os valores ou 1:

onde é um inteiro As coordenadas dos nós da onda estacionária serão obtidas a partir desta fórmula para valores ímpares então, dependendo do comprimento da haste, ou seja, o valor

as coordenadas antinó serão obtidas com valores pares

Na fig. 1.63 mostra esquematicamente uma onda estacionária em uma haste, cujo comprimento; os pontos são os antinós, os pontos são os nós desta onda estacionária.

Polegada. foi demonstrado que na ausência de influências externas periódicas, a natureza dos movimentos de codificação no sistema e, sobretudo, a quantidade principal - a frequência de oscilação - são determinadas pelas dimensões e propriedades físicas do sistema. Cada sistema oscilatório tem seu próprio movimento oscilatório inerente; esta flutuação pode ser observada se o sistema for retirado do equilíbrio e as influências externas forem eliminadas.

Polegada. 4 horas considerei sistemas predominantemente oscilatórios com parâmetros agrupados, em que alguns corpos (ponto) possuíam massa inercial e outros corpos (molas) possuíam propriedades elásticas. Em contraste, sistemas oscilatórios nos quais a massa e a elasticidade são inerentes a cada volume elementar são chamados de sistemas com parâmetros distribuídos. Estes incluem as hastes discutidas acima, cordas, bem como colunas de líquido ou gás (em instrumentos musicais de sopro), etc. Para tais sistemas, as ondas estacionárias são vibrações naturais; a principal característica dessas ondas - o comprimento de onda ou a distribuição de nós e antinodos, bem como a frequência das oscilações - é determinada apenas pelo tamanho e pelas propriedades do sistema. As ondas estacionárias também podem existir na ausência de uma ação externa (periódica) no sistema; esta ação é necessária apenas para causar ou manter ondas estacionárias no sistema ou para alterar as amplitudes das oscilações. Em particular, se uma ação externa em um sistema com parâmetros distribuídos ocorre em uma frequência igual à frequência de suas oscilações naturais, ou seja, a frequência de uma onda estacionária, então ocorre o fenômeno de ressonância, que foi considerado no Cap. 5. para diferentes frequências é o mesmo.

Assim, em sistemas com parâmetros distribuídos, as oscilações naturais - ondas estacionárias - são caracterizadas por todo um espectro de frequências que são múltiplos entre si. A menor dessas frequências que corresponde ao comprimento de onda mais longo é chamada de frequência fundamental; o resto) são harmônicos ou harmônicos.

Cada sistema é caracterizado não apenas pela presença de tal espectro de oscilações, mas também por uma certa distribuição de energia entre oscilações de diferentes frequências. Para instrumentos musicais, essa distribuição confere ao som uma característica peculiar, o chamado timbre sonoro, que é diferente para diferentes instrumentos.

Os cálculos acima referem-se a uma "vara de comprimento oscilante livre. No entanto, geralmente temos hastes fixadas em uma ou ambas as extremidades (por exemplo, cordas vibrantes), ou há um ou mais pontos ao longo da haste. Os movimentos são nós de deslocamento forçado. Por exemplo,

se for necessário obter ondas estacionárias na haste em um, dois, três pontos de fixação, etc., esses pontos não podem ser escolhidos arbitrariamente, mas devem ser localizados ao longo da haste para que estejam nos nós da onda estacionária resultante . Isso é mostrado, por exemplo, na Fig. 1,64. Na mesma figura, a linha pontilhada mostra os deslocamentos dos pontos da haste durante as vibrações; os antinós de deslocamento são sempre formados nas extremidades livres e os nós de deslocamento nas extremidades fixas. Para colunas de ar oscilantes em tubos, os nós de deslocamento (e velocidades) são obtidos em paredes sólidas refletoras; antinós de deslocamentos e velocidades são formados nas extremidades abertas dos tubos.

Se várias ondas se propagam simultaneamente no meio, as oscilações das partículas do meio acabam sendo a soma geométrica das oscilações que as partículas fariam durante a propagação de cada uma das ondas separadamente. Consequentemente, as ondas simplesmente se sobrepõem sem perturbar umas às outras. Esta afirmação é chamada de princípio da superposição (superposição) de ondas.

No caso em que as oscilações causadas por ondas individuais em cada um dos pontos do meio têm uma diferença de fase constante, as ondas são chamadas de coerentes. (Uma definição mais rigorosa de coerência será dada no § 120.) Quando ondas coerentes são somadas, surge o fenômeno da interferência, que consiste no fato de que as oscilações em alguns pontos se fortalecem e em outros se enfraquecem.

Um caso muito importante de interferência é observado quando duas ondas planas em contrapropagação com a mesma amplitude são sobrepostas. O processo oscilatório resultante é chamado de onda estacionária. Praticamente ondas estacionárias surgem quando as ondas são refletidas de obstáculos. A onda que cai na barreira e a onda refletida que corre em direção a ela, superpostas umas às outras, dão uma onda estacionária.

Vamos escrever as equações de duas ondas planas que se propagam ao longo do eixo x em direções opostas:

Juntando essas equações e transformando o resultado usando a fórmula da soma dos cossenos, obtemos

A Equação (99.1) é a equação da onda estacionária. Para simplificar, escolhemos a origem para que a diferença se torne igual a zero e a origem - para que a soma seja zero. Além disso, substituímos o número de onda k por seu valor

Então a equação (99.1) assume a forma

De (99.2) pode-se ver que em cada ponto da onda estacionária, ocorrem oscilações da mesma frequência que nas contra ondas, e a amplitude depende de x:

a amplitude de oscilação atinge o seu valor máximo. Esses pontos são chamados de antinós da onda estacionária. De (99.3) são obtidos os valores das coordenadas antinó:

Deve-se ter em mente que o antinodo não é um único ponto, mas um plano, cujos pontos têm os valores da coordenada x determinados pela fórmula (99.4).

Nos pontos cujas coordenadas satisfazem a condição

a amplitude de oscilação desaparece. Esses pontos são chamados de nós da onda estacionária. Os pontos do meio localizados nos nós não oscilam. As coordenadas do nó são importantes

Um nó, como um antinó, não é um único ponto, mas um plano, cujos pontos têm valores de coordenadas x determinados pela fórmula (99.5).

Das fórmulas (99.4) e (99.5) segue-se que a distância entre os antinodos vizinhos, bem como a distância entre os nós vizinhos, é igual a . Os antinós e nós são deslocados em relação um ao outro por um quarto do comprimento de onda.

Voltemos novamente à equação (99.2). O multiplicador muda de sinal ao passar por zero. De acordo com isso, a fase de oscilações em lados opostos do nó difere por Isso significa que os pontos situados em lados opostos do nó oscilam em antifase. Todos os pontos entre dois nós vizinhos oscilam em fase (ou seja, na mesma fase). Na fig. 99.1 é dada uma série de "instantâneos" de desvios de pontos da posição de equilíbrio.

A primeira "foto" corresponde ao momento em que os desvios atingem seu maior valor absoluto. As "fotografias" subsequentes foram tiradas em intervalos de um quarto de período. As setas mostram as velocidades das partículas.

Diferenciando a equação (99.2) uma vez em relação a te outra vez em relação a x, encontramos expressões para a velocidade da partícula e para a deformação do meio:

A Equação (99.6) descreve uma onda estacionária de velocidade e (99.7) - uma onda estacionária de deformação.

Na fig. São comparados 99,2 "instantâneos" de deslocamento, velocidade e deformação para momentos de tempo 0. A partir dos gráficos pode-se observar que os nós e antinodos da velocidade coincidem com os nós e antinodos do deslocamento; os nós e antinodos da deformação coincidem, respectivamente, com os antinodos e nós do deslocamento. Ao atingir os valores máximos, desaparece e vice-versa.

Assim, duas vezes em um período a energia da onda estacionária é transformada completamente em potencial, concentrada principalmente perto dos nós da onda (onde os antinodos da deformação estão localizados), depois completamente em energia cinética, concentrada principalmente perto dos antinodos da onda. a onda (onde os antinós da velocidade estão localizados). Como resultado, há uma transferência de energia de cada nó para os antinodos adjacentes a ele e vice-versa. O fluxo de energia médio no tempo em qualquer seção da onda é igual a zero.