Tarefa 1. As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Encontre: 1) o comprimento do lado AB; 2) equações dos lados AB e BC e suas inclinações; 3) ângulo B em radianos com precisão de duas casas decimais; 4) a equação da altura CD e seu comprimento; 5) a equação da mediana AE e as coordenadas do ponto K da intersecção desta mediana com a altura CD; 6) a equação de uma reta que passa pelo ponto K paralela ao lado AB; 7) as coordenadas do ponto M, localizado simetricamente ao ponto A em relação à reta CD.

Decisão:

1. A distância d entre os pontos A(x 1 ,y 1) e B(x 2 ,y 2) é determinada pela fórmula

Aplicando (1), encontramos o comprimento do lado AB:

2. A equação de uma linha reta que passa pelos pontos A (x 1, y 1) e B (x 2, y 2) tem a forma

(2)

Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos A e B, obtemos a equação do lado AB:

Tendo resolvido a última equação para y, encontramos a equação do lado AB na forma de uma equação de linha reta com uma inclinação:

Onde

Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos B e C, obtemos a equação da reta BC:

Ou

3. Sabe-se que a tangente do ângulo entre duas retas, cujos coeficientes angulares são respectivamente iguais, é calculada pela fórmula

(3)

O ângulo desejado B é formado pelas retas AB e BC, cujos coeficientes angulares são encontrados: Aplicando (3), obtemos

Ou feliz.

4. A equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto em uma determinada direção tem a forma

(4)

A altura CD é perpendicular ao lado AB. Para encontrar a inclinação da altura CD, usamos a condição de perpendicularidade das linhas. Desde então Substituindo em (4) as coordenadas do ponto C e o coeficiente angular de altura encontrado, obtemos

Para encontrar o comprimento da altura CD, primeiro determinamos as coordenadas do ponto D - o ponto de interseção das linhas AB e CD. Resolvendo o sistema juntos:

encontrar Essa. D(8;0).

Usando a fórmula (1), encontramos o comprimento da altura CD:

5. Para encontrar a equação da mediana AE, primeiro determinamos as coordenadas do ponto E, que é o ponto médio do lado BC, usando as fórmulas para dividir o segmento em duas partes iguais:

(5)

Conseqüentemente,

Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos A e E, encontramos a equação da mediana:

Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção da altura CD e a mediana AE, resolvemos conjuntamente o sistema de equações

Nós achamos .

6. Como a reta desejada é paralela ao lado AB, então sua inclinação será igual à inclinação da reta AB. Substituindo em (4) as coordenadas do ponto encontrado K e a inclinação temos

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Como a linha AB é perpendicular à linha CD, o ponto desejado M, localizado simetricamente ao ponto A em relação à linha CD, está na linha AB. Além disso, o ponto D é o ponto médio do segmento AM. Aplicando as fórmulas (5), encontramos as coordenadas do ponto desejado M:

Triângulo ABC, altitude CD, mediana AE, linha KF e ponto M são construídos no sistema de coordenadas xOy na fig. 1.

Tarefa 2. Componha uma equação para o lugar geométrico dos pontos, cuja razão das distâncias a um determinado ponto A (4; 0) e a uma determinada linha reta x \u003d 1 é igual a 2.

Decisão:

No sistema de coordenadas xOy, construímos o ponto A(4;0) e a reta x = 1. Seja M(x;y) um ponto arbitrário do lugar geométrico dos pontos desejados. Vamos soltar a perpendicular MB à reta dada x = 1 e determinar as coordenadas do ponto B. Como o ponto B está na reta dada, sua abcissa é igual a 1. A ordenada do ponto B é igual à ordenada do ponto M. Portanto, B(1; y) (Fig. 2).

Pela condição do problema |MA|: |MV| = 2. Distâncias |MA| e |MB| encontramos pela fórmula (1) do problema 1:

Quadrando os lados esquerdo e direito, obtemos

ou

A equação resultante é uma hipérbole, na qual o semi-eixo real é a = 2, e o imaginário é

Vamos definir os focos da hipérbole. Para uma hipérbole, a igualdade é satisfeita. Portanto, e são os focos da hipérbole. Como você pode ver, o ponto dado A(4;0) é o foco direito da hipérbole.

Vamos determinar a excentricidade da hipérbole resultante:

As equações assíntotas da hipérbole têm a forma e . Portanto, ou e são assíntotas da hipérbole. Antes de construir uma hipérbole, construímos suas assíntotas.

Tarefa 3. Componha uma equação para o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A (4; 3) e da reta y \u003d 1. Reduza a equação resultante à sua forma mais simples.

Decisão: Seja M(x; y) um dos pontos do lugar geométrico dos pontos desejado. Deixemos cair a perpendicular MB do ponto M até a reta dada y = 1 (Fig. 3). Vamos determinar as coordenadas do ponto B. É óbvio que a abcissa do ponto B é igual à abcissa do ponto M, e a ordenada do ponto B é 1, ou seja, B (x; 1). Pela condição do problema |MA|=|MV|. Portanto, para qualquer ponto M (x; y) pertencente ao lugar geométrico dos pontos desejado, a igualdade é verdadeira:

A equação resultante define uma parábola com um vértice em um ponto Para reduzir a equação da parábola à sua forma mais simples, definimos e y + 2 = Y então a equação da parábola assume a forma:

1. Dados os vértices de um triângulo abc.MAS(–9; –2), NO(3; 7), Com(1; –7).

1) comprimento lateral AB;

2) equações laterais AB e CA e suas encostas;

3) ângulo MAS em radianos;

4) equação de altura ComD e seu comprimento;

5) a equação de um círculo, para o qual a altura ComD há um diâmetro;

6) um sistema de desigualdades lineares que definem um triângulo abc.

Decisão. Vamos fazer um desenho.

1. Encontre o comprimento do lado AB. A distância entre dois pontos é determinada pela fórmula

2. Vamos encontrar as equações dos ladosAB eCA e suas encostas.

Vamos escrever a equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Esta é a equação geral de uma linha reta. Resolvendo em relação a y, obtemos

, a inclinação da reta é igual a

Da mesma forma, para o lado AC, temos

a inclinação da reta é

3. Vamos encontrarinjeçãoMAS em radianos. Este é o ângulo entre dois vetores
e
. Vamos escrever as coordenadas dos vetores. O cosseno do ângulo entre os vetores é

4. Vamos encontrarequação de alturaCom D e seu comprimento.
, portanto, suas inclinações estão relacionadas pela relação
.

Escrevemos a equação da altura em termos da inclinação

Ponto
pertence à linha CD, portanto suas coordenadas satisfazem a equação da linha, portanto temos

Finalmente
ou

Calcule o comprimento da altura como a distância do ponto C à linha AB

5. Vamos encontrar a equação do círculo, para o qual a alturaCom D tem um diâmetro.

Encontramos as coordenadas do ponto D como o ponto de intersecção de duas linhas AB e CD, cujas equações são conhecidas.

Encontre as coordenadas do ponto O - o centro do círculo. Este é o ponto médio do CD.

O raio do círculo é

Vamos escrever a equação do círculo.

6) Vamos definir um triânguloabc sistema de desigualdades lineares.

Vamos encontrar a equação da reta CB.

O sistema de desigualdades lineares ficará assim.

2. Resolva este sistema de equações usando as fórmulas de Cramer. Verifique a solução obtida.

Decisão. Vamos calcular o determinante deste sistema:

.

Vamos encontrar os determinantes
e resolva o sistema:

Exame:

Responda:

3. Escreva o sistema de equações na forma matricial e resolva usando

matriz inversa. Verifique a solução obtida

Decisão.

Encontre a matriz determinante A

matriz é não degenerada e tem uma inversa. Vamos encontrar todas as adições algébricas e compor a matriz de união.

A matriz inversa se parece com:

Vamos fazer a multiplicação
e encontre o vetor solução.

Exame

.
Responda:

Decisão.

N = (2, 1). Desenhe uma linha de nível perpendicular ao vetor normal e mova-a na direção da normal,

A função objetivo atinge seu mínimo no ponto A e seu máximo no ponto B. Encontramos as coordenadas desses pontos resolvendo conjuntamente as equações das linhas na interseção das quais eles estão localizados.

5. A empresa de viagens não exige mais do que umaônibus de três toneladas e nada mais dentro

ônibus de cinco toneladas. O preço de venda dos ônibus da primeira marca é de 20.000 USD, a segunda marca

40.000 u.u. Uma empresa de viagens não pode alocar mais de com c.u.

Quantos ônibus de cada marca devem ser adquiridos separadamente para que seu total

(total) a capacidade de carga era máxima. Resolva o problema graficamente.

uma= 20 dentro= 18 com= 1000000

Decisão. Componha um modelo matemático do problema . Denotado por
- o número de autocarros de cada tonelagem a adquirir. A meta de compra é ter a capacidade máxima de carga das máquinas adquiridas, descrita pela função meta

As limitações do problema se devem ao número de ônibus adquiridos e seu custo.

Vamos resolver o problema graficamente. . Construímos a área de soluções viáveis ​​do problema e a normal às linhas de nível N = (3, 5). Desenhe uma linha de nível perpendicular ao vetor normal e mova-a na direção da normal.

A função objetivo atinge seu máximo no ponto
, a função objetivo assume o valor .

Decisão. 1. O escopo da função é todo o eixo numérico.

2, a função não é nem par nem ímpar.

3. Quando x=0, y=20

4. Investigamos a função para monotonicidade e extremos.

Encontre os zeros da derivada

Pontos estacionários de uma função.

Colocamos pontos estacionários no eixo x e verificamos os sinais da derivada em cada seção do eixo.

- ponto máximo
;
-ponto mínimo

5. Examinamos o gráfico da função para convexidade e concavidade. Pegue a 2ª derivada

O ponto de inflexão do gráfico da função.

No
- a função é convexa; no
- a função é côncava.

O gráfico da função tem a forma

6. Encontre o maior e o menor valor da função no intervalo [-1; 4]

Calcule o valor da função nas extremidades do segmento
No ponto mínimo, a função assume os valores, portanto, o menor valor no segmento [-1; 4] a função toma no ponto mínimo , e o maior na borda esquerda do intervalo.

7. Encontre integrais indefinidas e verifique os resultados da integração

diferenciação.

Decisão.

Exame.

Aqui o produto dos cossenos foi substituído pela soma, de acordo com as fórmulas trigonométricas.

1. A equação dos lados AB e BC e suas inclinações.
A tarefa fornece as coordenadas dos pontos pelos quais essas linhas passam, então usamos a equação de uma linha reta passando por dois pontos dados $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ substitua e obtenha as equações
equação da linha AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ a inclinação da linha AB é \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
equação da linha BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ inclinação da linha BC é \(k_ (BC) = -7\)

2. Ângulo B em radianos com duas casas decimais
Ângulo B - o ângulo entre as linhas AB e BC, que é calculado pela fórmula $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$substitua os coeficientes de inclinação dessas linhas e obtenha $$tg\phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \approx 0,79$$
3.Comprimento do lado AB
O comprimento do lado AB é calculado como a distância entre os pontos e é igual a \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB ) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Equação da altura do CD e seu comprimento.
Encontraremos a equação da altura pela fórmula de uma linha reta que passa por um determinado ponto С(4;13) em uma determinada direção - perpendicular à linha reta AB de acordo com a fórmula \(y-y_0=k(x-x_0 )\). Encontre a inclinação da altura \(k_(CD)\) usando a propriedade das linhas perpendiculares \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) obtemos $$k_(CD)= -\frac(1) (k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ (x-4) => y = \frac(4)( 3)x+\frac(23)(3)$$ = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ no numerador é a equação da reta AB, nós traga para esta forma \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , substitua a equação resultante e as coordenadas do ponto na fórmula $$d = \frac(4*13+3*4-14)(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. A equação da mediana AE e as coordenadas do ponto K, a intersecção desta mediana com a altura CD.
Vamos procurar a equação da mediana como a equação de uma linha reta que passa por dois pontos A(-6;8) e E, onde o ponto E é o ponto médio entre os pontos B e C e suas coordenadas são encontradas pela fórmula \( E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) substitua as coordenadas dos pontos \(E(\frac(6+4)(2);\frac( -1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), então a equação para AE mediana é $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y -8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Encontre as coordenadas do ponto de intersecção das alturas e da mediana, ou seja, encontre seu ponto comum Para fazer isso, componha a equação do sistema $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)( 3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin( cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\begin (cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Coordenadas de interseção \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. Equação de uma reta que passa pelo ponto K paralela ao lado AB.
Se as linhas são paralelas, então suas inclinações são iguais, ou seja, \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , as coordenadas do ponto \(K(-\frac(1)(2);7)\) também são conhecidas , ou seja. para encontrar a equação de uma reta, aplicamos a fórmula da equação de uma reta que passa por um determinado ponto em uma determinada direção \(y - y_0=k(x-x_0)\), substituímos os dados e obtemos $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8) $$

8. Coordenadas do ponto M simétrico ao ponto A em relação à linha CD.
O ponto M está na linha AB, porque CD - altura para este lado. Encontre o ponto de interseção de CD e AB. Para fazer isso, resolva o sistema de equações $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -\ frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $ $$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Coordenadas do ponto D(-2;5). Pela condição AD=DK, essa distância entre os pontos é encontrada pela fórmula pitagórica \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), onde AD e DK são as hipotenusas de triângulos retângulos iguais, e \(Δx =x_2-x_1\) e \(Δy=y_2-y_1\) são os catetos desses triângulos, ou seja, encontre as pernas e encontre as coordenadas do ponto M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), e \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), então as coordenadas do ponto M será igual a \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), e \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \ ), obteve que as coordenadas do ponto \( M(2;2)\)

Um exemplo de resolução de algumas tarefas do trabalho típico "Geometria analítica em um plano"

Os vértices são dados,
,
triângulo ABC. Encontrar:

Equações de todos os lados de um triângulo;

Um sistema de desigualdades lineares definindo um triângulo abc;

Equações para a altura, mediana e bissetriz de um triângulo desenhado a partir de um vértice MAS;

O ponto de intersecção das alturas do triângulo;

O ponto de intersecção das medianas do triângulo;

O comprimento da altura rebaixado para o lado AB;

Injeção MAS;

Faça um desenho.

Sejam os vértices do triângulo de coordenadas: MAS (1; 4), NO (5; 3), Com(3; 6). Vamos desenhar um desenho:

1. Para escrever as equações de todos os lados do triângulo, usamos a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados com coordenadas ( x 0 , y 0 ) e ( x 1 , y 1 ):

=

Assim, substituindo em vez de ( x 0 , y 0 ) coordenadas do ponto MAS, e em vez de ( x 1 , y 1 ) coordenadas do ponto NO, obtemos a equação de uma reta AB:

A equação resultante será a equação de uma linha reta AB escrito de forma geral. Da mesma forma, encontramos a equação de uma linha reta CA:

E também a equação de uma linha reta sol:

2. Observe que o conjunto de pontos do triângulo abcé a interseção de três semiplanos, e cada semiplano pode ser definido usando uma desigualdade linear. Se tomarmos a equação de qualquer lado ∆ abc, Por exemplo AB, então as desigualdades

e

definir pontos em lados opostos de uma linha reta AB. Precisamos escolher o semiplano onde se encontra o ponto C. Vamos substituir suas coordenadas em ambas as desigualdades:

A segunda desigualdade estará correta, o que significa que os pontos necessários são determinados pela desigualdade

.

Procedemos da mesma forma com a reta BC, sua equação
. Como teste, usamos o ponto A (1, 1):

então a desigualdade desejada é:

.

Se verificarmos a linha AC (ponto de teste B), obtemos:

então a desigualdade desejada será da forma

Finalmente, obtemos um sistema de desigualdades:

Os sinais "≤", "≥" significam que os pontos situados nos lados do triângulo também estão incluídos no conjunto de pontos que compõem o triângulo abc.

3. a) Para encontrar a equação para a altura de queda do topo MAS para o lado sol, considere a equação lateral sol:
. Vetor com coordenadas
perpendicular ao lado sol e, portanto, paralela à altura. Escrevemos a equação de uma reta que passa por um ponto MAS paralelo ao vetor
:

Esta é a equação para a altura omitida de t. MAS para o lado sol.

b) Encontre as coordenadas do ponto médio do lado sol de acordo com as fórmulas:

Aqui
são as coordenadas. NO, uma
- coordenadas t. Com. Substitua e obtenha:

A linha que passa por este ponto e o ponto MASé a mediana desejada:

c) Procuraremos a equação da bissetriz, com base no fato de que em um triângulo isósceles a altura, a mediana e a bissetriz, abaixadas de um vértice até a base do triângulo, são iguais. Vamos encontrar dois vetores
e
e seus comprimentos:

Então o vetor
tem a mesma direção do vetor
, e seu comprimento
Da mesma forma, o vetor unitário
coincide na direção com o vetor
Soma de vetores

é um vetor que coincide em direção com a bissetriz do ângulo MAS. Assim, a equação da bissetriz desejada pode ser escrita como:

4) Já construímos a equação de uma das alturas. Vamos construir uma equação de mais uma altura, por exemplo, do topo NO. Lateral CAé dado pela equação
Então o vetor
perpendicular CA, e assim paralela à altura desejada. Então a equação da reta que passa pelo vértice NO na direção do vetor
(ou seja, perpendicular CA), tem a forma:

Sabe-se que as alturas de um triângulo se cruzam em um ponto. Em particular, este ponto é a intersecção das alturas encontradas, ou seja, solução do sistema de equações:

são as coordenadas deste ponto.

5. Meio AB tem coordenadas
. Vamos escrever a equação da mediana ao lado AB. Essa reta passa pelos pontos com coordenadas (3, 2) e (3, 6), então sua equação é:

Observe que zero no denominador de uma fração na equação de uma linha reta significa que essa linha reta corre paralela ao eixo y.

Para encontrar o ponto de intersecção das medianas, basta resolver o sistema de equações:

O ponto de intersecção das medianas de um triângulo tem coordenadas
.

6. O comprimento da altura rebaixada para o lado AB, igual à distância do ponto Com para em linha reta AB com a equação
e é dado pela fórmula:

7. Cosseno de um ângulo MAS pode ser encontrado pela fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores e , que é igual à razão do produto escalar desses vetores para o produto de seus comprimentos:

.