Perpendicular ao segmento
Definição 1 . Perpendicular ao segmento chamado, uma linha reta perpendicular a este segmento e passando pelo seu meio (Fig. 1).
Teorema 1. Cada ponto da mediatriz ao segmento é à mesma distância das extremidades este segmento.
Prova . Considere um ponto arbitrário D situado na mediatriz do segmento AB (Fig. 2) e prove que os triângulos ADC e BDC são iguais.
De fato, esses triângulos são triângulos retângulos cujos catetos AC e BC são iguais, enquanto os catetos DC são comuns. Da igualdade dos triângulos ADC e BDC, segue-se a igualdade dos segmentos AD e DB. O teorema 1 está provado.
Teorema 2 (Reverso ao Teorema 1). Se um ponto está à mesma distância das extremidades de um segmento, então ele está na mediatriz desse segmento.
Prova . Vamos provar o Teorema 2 pelo método “por contradição”. Para isso, suponha que algum ponto E esteja à mesma distância das extremidades do segmento, mas não esteja na mediatriz desse segmento. Vamos levar essa suposição a uma contradição. Vamos primeiro considerar o caso em que os pontos E e A estão em lados opostos da mediatriz (Fig. 3). Neste caso, o segmento EA intercepta a mediatriz em algum ponto, que denotaremos pela letra D.
Vamos provar que o segmento AE é maior que o segmento EB. Sério,
Assim, no caso em que os pontos E e A estão em lados opostos da mediatriz, obtivemos uma contradição.
Agora considere o caso em que os pontos E e A estão do mesmo lado da mediatriz (Fig. 4). Vamos provar que o segmento EB é maior que o segmento AE. Sério,
A contradição resultante completa a prova do Teorema 2
Círculo circunscrevendo um triângulo
Definição 2 . Um círculo circunscrevendo um triângulo, chame o círculo que passa por todos os três vértices do triângulo (Fig. 5). Neste caso o triângulo é chamado um triângulo inscrito em um círculo ou triângulo inscrito.
Propriedades de um círculo circunscrito a um triângulo. Teorema do seno
| Figura | Foto | Propriedade |
| Perpendiculares médias para os lados do triângulo |  |
se cruzam em um ponto
. |
 |
|
|
| Centro circunscrito a um triângulo agudo de um círculo | Centro descrito sobre ângulo agudo dentro triângulo. | |
| Centro círculo circunscrito a um triângulo retângulo |  | O centro do descrito sobre retangular
ponto médio da hipotenusa
. |
| Centro circunscrito a um triângulo obtuso de um círculo |  | Centro descrito sobre obtuso mentiras de triângulo círculo fora triângulo. |
 |
|
|
| Quadrado triângulo |  | S= 2R 2 pecado UMA pecado B pecado C , |
| Raio do círculo circunscrito | Para qualquer triângulo, a igualdade é verdadeira: |
,| Perpendiculares médias aos lados de um triângulo |
Todas as mediatrizes desenhada para os lados de um triângulo arbitrário, se cruzam em um ponto . |
| Círculo circunscrevendo um triângulo |
Qualquer triângulo pode ser circunscrito por um círculo. . O centro do círculo circunscrito ao triângulo é o ponto em que todas as mediatrizes traçadas para os lados do triângulo se cruzam. |
| Centro de um círculo circunscrito a um triângulo agudo |
Centro descrito sobre ângulo agudo mentiras de triângulo círculo dentro triângulo. |
| Centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo |
O centro do descrito sobre retangular triângulo círculo é ponto médio da hipotenusa . |
| Centro de um círculo circunscrito a um triângulo obtuso |
Centro descrito sobre obtuso mentiras de triângulo círculo fora triângulo. |
Para qualquer triângulo, as igualdades são válidas (teorema do seno):
onde a, b, c são os lados do triângulo, A, B, C são os ângulos do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito. |
| Área de um triângulo |
Para qualquer triângulo, a igualdade é verdadeira: S= 2R 2 pecado UMA pecado B pecado C , onde A, B, C são os ângulos do triângulo, S é a área do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito. |
| Raio do círculo circunscrito |
Para qualquer triângulo, a igualdade é verdadeira: onde a, b, c são os lados do triângulo, S é a área do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito. |
Provas de teoremas sobre as propriedades de um círculo circunscrito a um triângulo
Teorema 3. Todas as perpendiculares médias traçadas aos lados de um triângulo arbitrário se cruzam em um ponto.
Prova . Considere duas mediatrizes traçadas aos lados AC e AB do triângulo ABC e denote o ponto de sua intersecção com a letra O (Fig. 6).
Como o ponto O está na mediatriz do segmento AC, então, em virtude do Teorema 1, vale a seguinte igualdade:
Como o ponto O está na mediatriz do segmento AB, então, em virtude do Teorema 1, vale a seguinte igualdade:
Portanto, a igualdade é verdadeira:
daí, usando o Teorema 2, concluímos que o ponto O está na mediatriz do segmento BC. Assim, todas as três mediatrizes passam pelo mesmo ponto, o que deveria ser provado.
Consequência. Qualquer triângulo pode ser circunscrito por um círculo. . O centro do círculo circunscrito ao triângulo é o ponto em que todas as mediatrizes traçadas para os lados do triângulo se cruzam.
Prova . Vamos considerar o ponto O, no qual todas as mediatrizes traçadas aos lados do triângulo ABC se cruzam (Fig. 6).
Ao provar o Teorema 3, obteve-se a seguinte igualdade:
de onde se segue que o círculo centrado no ponto O e raios OA , OB , OC passa por todos os três vértices do triângulo ABC , que deve ser provado.
O triângulo é a mais simples das figuras poligonais planas. Se o valor de qualquer ângulo em seus vértices for igual a 90 °, o triângulo será chamado de ângulo reto. Perto de tal polígono, é permitido desenhar um círculo de tal forma que cada um dos 3 vértices tenha um ponto comum com seu limite (círculo). Esse círculo será chamado de circunscrito, e a presença de um ângulo reto simplifica muito a tarefa de construí-lo.
Você vai precisar
- Régua, bússola, calculadora.
Instrução
1. Comece determinando o raio do círculo que deseja desenhar. Se for possível medir os comprimentos dos lados de um triângulo, preste atenção à sua hipotenusa - o lado oposto ao ângulo reto. Meça-o e divida o valor resultante pela metade - este será o raio do círculo descrito perto do triângulo retângulo.
2. Se o comprimento da hipotenusa é desconhecido, mas existem comprimentos (a e b) dos catetos (dois lados adjacentes ao ângulo reto), então encontre o raio (R) usando o teorema de Pitágoras. Segue-se que este parâmetro será igual à metade da raiz quadrada extraída da soma dos comprimentos dos catetos ao quadrado: R=?*?(a?+b?).
3. Se o comprimento de apenas uma das pernas (a) e o valor do ângulo agudo adjacente a ela (?) são conhecidos, para determinar o raio do círculo circunscrito (R), use a função trigonométrica - cosseno. Em um triângulo retângulo, determina a razão entre os comprimentos da hipotenusa e essa perna. Calcule metade do quociente do comprimento da perna dividido pelo cosseno do famoso ângulo: R=?*a/cos(?).
4. Se, além do comprimento de uma das pernas (a), for conhecido o valor de um ângulo agudo (?) oposto a ele, para calcular o raio (R), use outra função trigonométrica - o seno. Além de substituir a função e o lado, nada mudará na fórmula - divida o comprimento da perna pelo seno do ângulo agudo conhecido e divida o resultado pela metade: R =? * b / sin (?).
5. Depois de encontrar o raio por qualquer um dos métodos listados, determine o centro do círculo descrito. Para fazer isso, reserve o valor resultante na bússola e defina-o para qualquer vértice do triângulo. Não há necessidade de descrever um círculo completo, varra facilmente o local onde ele cruza com a hipotenusa - esse ponto será o centro do círculo. Essa é a qualidade de um triângulo retângulo - o centro do círculo circunscrito ao seu redor está invariavelmente localizado no meio de seu lado mais longo. Desenhe um círculo do raio traçado na bússola com o centro no ponto detectado. Isso conclui a compilação.
Ocasionalmente, perto de um polígono convexo, é permitido desenhar um círculo de tal forma que os vértices de todos os cantos fiquem sobre ele. Tal círculo em relação ao polígono deve ser chamado de circunscrito. Sua Centro não precisa necessariamente estar dentro do perímetro da figura inscrita, mas usando as propriedades do descrito círculos, para detectar este ponto, como de costume, não é muito difícil.
Você vai precisar
- Régua, lápis, transferidor ou esquadro, compasso.
Instrução
1. Se o polígono em torno do qual é necessário descrever o círculo é desenhado no papel, para encontrar Centro e um círculo é suficiente com uma régua, um lápis e um transferidor ou um quadrado. Meça o comprimento de cada um dos lados da figura, determine seu meio e coloque um ponto auxiliar neste local do desenho. Com o apoio de um quadrado ou de um transferidor, desenhe um segmento perpendicular a este lado dentro do polígono até cruzar com o lado oposto.
2. Faça a mesma operação com qualquer outro lado do polígono. A interseção de 2 segmentos construídos será o ponto desejado. Isso decorre da propriedade principal do descrito círculos- sua Centro em um polígono convexo com qualquer número de lados invariavelmente se encontra no ponto de interseção das mediatrizes traçadas para esses lados.
3. Para polígonos verdadeiros a definição é Centro mas inscrito círculos poderia ser muito mais fácil. Digamos que se for um quadrado, desenhe duas diagonais - sua interseção será Centro ohm inscrito círculos. Em um polígono positivo com qualquer número par de lados, basta combinar dois pares de ângulos opostos um ao outro com segmentos auxiliares - Centro descrito círculos deve coincidir com o ponto de sua interseção. Em um triângulo retângulo, para resolver o problema, determine facilmente o meio do lado mais longo da figura - a hipotenusa.
4. Se não for conhecido pelas condições se é permitido na tese traçar um círculo circunscrito para um determinado polígono, após determinar o ponto assumido Centro e por qualquer um dos métodos descritos você pode descobrir. Separe na bússola a distância entre o ponto detectado e cada um dos vértices, ajuste a bússola para o necessário Centro círculos e desenhe um círculo - todo o vértice deve estar neste círculos. Se este não for o caso, então uma das propriedades básicas não é satisfeita e é impossível descrever um círculo em torno de um determinado polígono.
De acordo com a definição, descrita círculo deve passar por todos os vértices do polígono dado. Ao mesmo tempo, idealmente não importa que tipo de polígono seja - um triângulo, um quadrado, um retângulo, um trapézio ou qualquer outra coisa. Também não importa se é um polígono verdadeiro ou falso. Basta considerar que existem polígonos em torno dos quais círculo impossível descrever. É sempre possível descrever círculo ao redor do triângulo. Quanto aos quadriláteros, círculoé permitido descrever sobre um quadrado ou um retângulo ou um trapézio isósceles.
Você vai precisar
- determinado polígono
- governante
- quadrado
- Lápis
- Bússola
- Transferidor
- Tabelas de senos e cossenos
- Representações matemáticas e fórmulas
- teorema de Pitágoras
- Teorema do seno
- Teorema do cosseno
- Sinais de semelhança de triângulos
Instrução
1. Construa um polígono com os parâmetros fornecidos e determine se é permitido descrever em torno dele círculo. Se você recebe um quadrilátero, calcule a soma de seus ângulos opostos. Cada um deles deve ser igual a 180°.
2. Para descrever círculo, você precisa calcular seu raio. Lembre-se de onde está o centro do círculo circunscrito em vários polígonos. Em um triângulo, ele está localizado no ponto de interseção de todas as alturas do triângulo dado. Em um quadrado e retângulos - no ponto de interseção das diagonais, para um trapézio - no ponto de interseção do eixo de simetria com a linha que liga os pontos médios dos lados e para qualquer outro polígono convexo - no ponto de interseção do mediatrizes perpendiculares aos lados.
3. Calcule o diâmetro de um círculo circunscrito em torno de um quadrado e um retângulo usando o teorema de Pitágoras. Será igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos lados do retângulo. Para um quadrado com todos os lados iguais, a diagonal é igual à raiz quadrada do dobro do quadrado do lado. Divida o diâmetro por 2 para obter o raio.
4. Calcule o raio do círculo circunscrito para o triângulo. Do fato de que os parâmetros do triângulo são dados nas condições, calcule o raio usando a fórmula R = a / (2 sinA), onde a é um dos lados do triângulo, ? é o ângulo oposto. Em vez deste lado, é permitido tomar qualquer outro lado e o ângulo oposto a ele.
5. Calcule o raio de um círculo circunscrito ao redor de um trapézio. R = a*d*c/4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c))/2*(a+d+c) . Calcule os valores ausentes. A altura pode ser calculada usando o teorema dos senos ou cossenos, a partir do fato de que os comprimentos dos lados do trapézio e os ângulos são dados nas condições do problema. Conhecendo a altura e considerando os sinais de semelhança dos triângulos, calcule a diagonal. Mais tarde, resta apenas calcular o raio usando a fórmula acima.
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Conselho util
Para calcular o raio de um círculo circunscrito em torno de outro polígono, execute várias construções adicionais. Obtenha figuras mais primitivas cujos parâmetros você está familiarizado.
Dica 4: Como desenhar um triângulo retângulo a partir de um ângulo agudo e uma hipotenusa
Um triângulo retângulo é um triângulo cujo ângulo em um de seus vértices é 90°. O lado oposto a esse ângulo é chamado de hipotenusa, e os lados opostos aos dois ângulos agudos do triângulo são chamados de catetos. Se o comprimento da hipotenusa e o valor de um dos ângulos agudos são conhecidos, esses dados são suficientes para construir um triângulo usando pelo menos dois métodos.
Você vai precisar
- Folha de papel, lápis, régua, bússola, calculadora.
Instrução
1. O 1º método requer, além de lápis e papel, uma régua, um transferidor e um esquadro. Primeiro, desenhe o lado que é a hipotenusa - coloque o ponto A, separe o comprimento conhecido da hipotenusa, coloque o ponto C e una os pontos.
2. Fixe o transferidor no segmento desenhado de forma que a marca zero coincida com o ponto A, meça o valor do ângulo agudo conduzido e defina um ponto auxiliar. Desenhe uma linha que começará no ponto A e passará pelo ponto auxiliar.
3. Anexe o quadrado ao segmento AC de tal forma que o ângulo reto comece no ponto C. Marque o ponto de interseção da linha desenhada na etapa anterior com a letra B e combine-a com o ponto C. Isso completa a construção de um triângulo retângulo com o famoso comprimento lateral AC (hipotenusa) e o canto agudo no vértice A será completado.
4. Outro método, além de lápis e papel, exigirá régua, compasso e calculadora. Comece calculando os comprimentos das pernas - saber o tamanho de um ângulo agudo e o comprimento da hipotenusa é absolutamente suficiente para isso.
5. Calcule o comprimento desse cateto (AB), o que fica em frente ao ângulo do valor conhecido (β) - será igual ao produto do comprimento da hipotenusa (AC) pelo seno do famoso ângulo AB = AC*sen(β).
6. Determine o comprimento da outra perna (BC) - será igual ao produto do comprimento da hipotenusa e o cosseno do ângulo dirigido BC=AC*cos(β).
7. Coloque o ponto A, meça o comprimento da hipotenusa a partir dele, coloque o ponto C e desenhe uma linha entre eles.
8. Separe o comprimento da perna AB, calculado no quinto passo, no compasso e desenhe um semicírculo auxiliar centrado no ponto A.
9. Separe o comprimento da perna BC calculada no sexto passo do compasso e desenhe um semicírculo auxiliar centrado no ponto C.
10. Marque o ponto de interseção dos 2 semicírculos com a letra B e desenhe segmentos entre os pontos A e B, C e B. Isso completa a construção de um triângulo retângulo.
Conselho 5: Quais são os nomes dos lados de um triângulo retângulo
As pessoas estão interessadas nas propriedades impressionantes dos triângulos retângulos desde os tempos antigos. Muitas dessas propriedades foram descritas pelo antigo cientista grego Pitágoras. Na Grécia antiga, também surgiram os nomes dos lados de um triângulo retângulo.
Qual triângulo é chamado de triângulo retângulo?
Existem vários tipos de triângulos. Alguns têm todos os cantos agudos, outros têm um obtuso e dois sustenidos, e outros têm dois sustenidos e um reto. De acordo com esse signo, todos os tipos dessas figuras geométricas receberam o nome: de ângulo agudo, de ângulo obtuso e retangular. Ou seja, um triângulo é chamado de triângulo retângulo, no qual um dos ângulos é de 90 °. Existe outra definição semelhante à primeira. Um triângulo retângulo é um triângulo cujos dois lados são perpendiculares.
Hipotenusa e pernas
Nos triângulos agudos e obtusos, os segmentos que ligam os vértices dos vértices são chamados de lados primitivos. Os lados de um triângulo retangular têm outros nomes. Aqueles que são adjacentes ao ângulo reto são chamados de pernas. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Traduzida do grego, a palavra "hipotenusa" significa "esticada" e "perna" - "perpendicular".
Relações entre a hipotenusa e as pernas
Os lados de um triângulo retângulo são interconectados por certas razões, o que torna os cálculos muito mais fáceis. Digamos, conhecendo as dimensões dos catetos, é possível calcular o comprimento da hipotenusa. Essa razão, pelo nome do matemático que a descobriu, foi chamada de teorema de Pitágoras e se parece com isso: c2=a2+b2, onde c é a hipotenusa, aeb são os catetos. Ou seja, a hipotenusa será igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos. Para encontrar cada um dos catetos, basta subtrair o quadrado do outro cateto do quadrado da hipotenusa e extrair a raiz quadrada da diferença resultante.
Perna adjacente e oposta
Desenhe um triângulo retângulo ACB. A letra C é usada para denotar o vértice de um ângulo reto, A e B são os vértices de ângulos agudos. Os lados opostos a todo o ângulo são convenientemente chamados de a, b e c, de acordo com os nomes dos ângulos opostos a eles. Considere o ângulo A. Perna a pois será oposta, perna b - adjacente. A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa é chamada de seno. Esta função trigonométrica pode ser calculada usando a fórmula: sinA=a/c. A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa é chamada de cosseno. É calculado pela fórmula: cosA=b/c. Assim, conhecendo o ângulo e um dos lados, é possível calcular o outro lado usando essas fórmulas. Ambas as pernas também estão conectadas por relações trigonométricas. A razão entre o oposto e o adjacente é chamada de tangente, e a razão entre o adjacente e o oposto é chamada de cotangente. Essas razões podem ser expressas pelas fórmulas tgA=a/b ou ctgA=b/a.
O circuncírculo de um triângulo retângulo. Nesta publicação, consideraremos a prova de um "fato matemático", amplamente utilizado na resolução de problemas de geometria. Em algumas fontes, esse fato é referido como teorema, em outras como propriedade, existem formulações diferentes, mas sua essência é a mesma:
Qualquer triângulo construído sobre o diâmetro de um círculo cujo terceiro vértice esteja nesse círculo é retângulo!
Ou seja, o padrão neste padrão geométrico é que, onde quer que você coloque o vértice do triângulo, o ângulo nesse vértice será sempre reto:
Há muitas tarefas dos presentes com a composição do exame em matemática, no decorrer das quais essa propriedade é usada.
Eu acho que a prova padrão é muito confusa e sobrecarregada com símbolos matemáticos, você encontrará no livro didático. Vamos considerar simples e intuitivo. Eu descobri isso em um ensaio maravilhoso chamado " matemática chorando Recomendo a leitura para professores e alunos.
Vejamos primeiro alguns pontos teóricos:
Função de paralelogramo. Um paralelogramo tem lados opostos iguais. Ou seja, se um quadrilátero tem os dois pares de lados opostos iguais, então esse quadrilátero é um paralelogramo.
Sinal de retângulo. O retângulo é um paralelogramo e suas diagonais são iguais. Ou seja, se as diagonais de um paralelogramo são iguais, então ele é um retângulo.
* Um retângulo é um paralelogramo, este é o seu caso especial.
Então vamos começar:
Pegue um triângulo e gire-o em 180 0 em relação ao centro do círculo (vire-o). Obtemos um quadrilátero inscrito em um círculo:
Como acabamos de girar o triângulo, os lados opostos do quadrilátero são iguais, o que significa que é um paralelogramo. Como o triângulo é girado exatamente 180 graus, seu vértice é diametralmente oposto ao vértice do triângulo "original".
Acontece que as diagonais do quadrilátero são iguais, então são diâmetros. Temos um quadrilátero em que os lados opostos são iguais e as diagonais são iguais, portanto é um retângulo e todos os seus ângulos são retos.
Essa é toda a prova!
Você também pode considerar isso, também simples e compreensível:
Veja mais provas =>>
A partir do ponto C, construímos um segmento que passa pelo centro do círculo, cuja outra extremidade ficará no ponto oposto do círculo (ponto D). Conecte o ponto D aos vértices A e B:
Obteve um quadrilátero. O triângulo AOD é igual ao triângulo COB em dois lados e o ângulo entre eles:
Segue da igualdade dos triângulos que AD = CB.
Da mesma forma, AC = DB.
Podemos concluir que o quadrilátero é um paralelogramo. Além disso, suas diagonais são iguais - AB é inicialmente dado como um diâmetro, CD também é um diâmetro (passa pelo ponto O).
Assim, ACBD é um retângulo, o que significa que todos os seus ângulos são retos. Comprovado!
Outra abordagem notável que nos diz de forma vívida e "bela" que o ângulo em questão está sempre certo.
Olhe e lembre-se de informações sobre. Agora veja o esboço:
O ângulo AOB nada mais é do que o ângulo central baseado no arco ADB, e é igual a 180 graus. Sim, AB é o diâmetro de um círculo, mas nada nos impede de considerar AOB um ângulo central (este é um ângulo desenvolvido). O ângulo ACB está inscrito para ele, também repousa sobre o mesmo arco em ADB.
E sabemos que o ângulo inscrito é igual a metade do central, ou seja, por mais que coloquemos o ponto C na circunferência, o ângulo DIA sempre será igual a 90 graus, ou seja, é reto.
Que conclusões podem ser tiradas em relação à resolução de problemas, em particular os incluídos no exame?
Se a condição se refere a um triângulo inscrito em um círculo e construído sobre o diâmetro desse círculo, então esse triângulo é definitivamente um triângulo retângulo.
Se se diz que um triângulo retângulo está inscrito em um círculo, isso significa que sua hipotenusa é igual ao seu diâmetro (igual a ele) e o centro da hipotenusa coincide com o centro do círculo.
Isso é tudo. Boa sorte para você!
Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.
Primeiro nível
círculo circunscrito. Guia Visual (2019)
A primeira pergunta que pode surgir é: descrito - em torno de quê?
Bem, de fato, às vezes acontece em torno de qualquer coisa, e falaremos sobre um círculo circunscrito (às vezes eles dizem “sobre”) um triângulo. O que é isso?
E agora, imagine, acontece um fato incrível:
Por que esse fato é incrível?
Mas os triângulos são diferentes!
E para todos há um círculo que passará através dos três picos, ou seja, o círculo circunscrito.
A prova deste fato surpreendente pode ser encontrada nos seguintes níveis de teoria, mas aqui apenas notamos que se tomarmos, por exemplo, um quadrilátero, então não para todos existe um círculo passando por quatro vértices. Aqui, digamos, um paralelogramo é um excelente quadrilátero, mas um círculo que passa por todos os seus quatro vértices não é!
E há apenas para um retângulo:
Nós vamos, e todo triângulo sempre tem seu próprio círculo circunscrito! E é sempre muito fácil encontrar o centro desse círculo.
Você sabe o que é meio perpendicular?
Agora vamos ver o que acontece se considerarmos até três mediatrizes perpendiculares aos lados do triângulo.
Acontece (e isso é exatamente o que precisa ser provado, embora não o façamos) que Todas as três perpendiculares se cruzam em um ponto. Olhe para a imagem - todas as três perpendiculares medianas se cruzam em um ponto.
Você acha que o centro do círculo circunscrito sempre está dentro do triângulo? Imagine - nem sempre!
Mas se ângulo agudo, então - dentro:
O que fazer com um triângulo retângulo?
E com um bônus adicional:
Já que estamos falando do raio do círculo circunscrito: a que é igual para um triângulo arbitrário? E há uma resposta para esta pergunta: o chamado.
Nomeadamente:
E claro,
1. Existência e centro do círculo circunscrito
Aqui surge a pergunta: existe tal círculo para qualquer triângulo? Acontece que sim, para todos. E além disso, vamos agora formular um teorema que também responde à pergunta, onde está o centro do círculo circunscrito.
Parece com isso:
Vamos criar coragem e provar este teorema. Se você já leu o tópico “”, descobriu por que as três bissetrizes se cruzam em um ponto, então será mais fácil para você, mas se você não leu, não se preocupe: agora vamos descobrir tudo Fora.
Faremos a prova usando o conceito de lugar geométrico dos pontos (LPT).
Bem, por exemplo, o conjunto de bolas é um "lugar geométrico" de objetos redondos? Não, claro, porque existem melancias redondas. Mas será que um conjunto de pessoas, um “lugar geométrico”, é capaz de falar? Nem, porque há bebês que não podem falar. Na vida, geralmente é difícil encontrar um exemplo de um verdadeiro “lugar geométrico de pontos”. A geometria é mais fácil. Aqui, por exemplo, é exatamente o que precisamos:
Aqui, o conjunto é a mediatriz, e a propriedade "" é "ser equidistante (ponto) das extremidades do segmento".
Vamos checar? Então, você precisa ter certeza de duas coisas:
- Qualquer ponto equidistante das extremidades de um segmento está na mediatriz a ele.
Conecte-se com e com. Então a linha é a mediana e a altura. Então, - isósceles, - nos certificamos de que qualquer ponto situado na mediatriz esteja igualmente distante dos pontos e.
Pegue - no meio e conecte e. Consegui a mediana. Mas - isósceles por condição, não apenas a mediana, mas também a altura, ou seja, a mediana perpendicular. Isso significa que o ponto está exatamente na mediatriz.
Tudo! Verificamos plenamente o fato de que a mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das extremidades do segmento.
Isso é muito bom, mas esquecemos do círculo circunscrito? De modo algum, apenas nos preparamos uma "ponta de ponte para o ataque".
Considere um triângulo. Vamos desenhar duas perpendiculares medianas e, digamos, aos segmentos e. Eles vão se cruzar em algum ponto, que vamos nomear.
E agora, atenção!
O ponto está na mediatriz;
o ponto está na mediatriz.
E isso significa e.
Várias coisas decorrem disso:
Primeiro, o ponto deve estar na terceira mediatriz, ao segmento.
Ou seja, a mediatriz também deve passar pelo ponto, e todas as três mediatrizes se cruzam em um ponto.
Em segundo lugar: se desenharmos um círculo com centro em um ponto e um raio, esse círculo também passará pelo ponto e pelo ponto, ou seja, será o círculo descrito. Isso significa que já existe que a interseção das três mediatrizes é o centro do círculo circunscrito para qualquer triângulo.
E a última coisa: sobre a singularidade. É claro (quase) que o ponto pode ser obtido de forma única e, portanto, o círculo é único. Bem, "quase" - vamos deixar isso para você. Aqui provamos o teorema. Você pode gritar "Hurrah!".
E se o problema for a pergunta "encontre o raio do círculo circunscrito"? Ou vice-versa, o raio é dado, mas você quer encontrar outra coisa? Existe uma fórmula relacionando o raio do círculo circunscrito com os outros elementos de um triângulo?
Observe que o teorema do seno diz que para encontrar o raio do círculo circunscrito, você precisa de um lado (qualquer!) e o ângulo oposto a ele. E é isso!
3. Centro do círculo - dentro ou fora
E agora a questão é: o centro do círculo circunscrito pode estar fora do triângulo.
Resposta: tanto quanto possível. Além disso, este é sempre o caso em um triângulo obtuso.
E de um modo geral:
O CIRCULO. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL
1. Círculo circunscrito a um triângulo
Este é um círculo que passa por todos os três vértices deste triângulo.
2. Existência e centro do círculo circunscrito
Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.
Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!
Agora o mais importante.
Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que a grande maioria de seus pares.
O problema é que isso pode não ser suficiente...
Para que?
Para a aprovação no exame, para a admissão no instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.
Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...
As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isso é estatística.
Mas isso não é o principal.
O principal é que eles são MAIS FELIZES (existem esses estudos). Talvez porque muito mais oportunidades se abrem diante deles e a vida se torna mais brilhante? Não sei...
Mas pense por si mesmo...
O que é preciso para ter certeza de ser melhor do que os outros no exame e ser finalmente... mais feliz?
ENCHE A MÃO, RESOLVENDO PROBLEMAS NESSE ASSUNTO.
No exame, você não será perguntado teoria.
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Em conclusão...
Se você não gosta de nossas tarefas, encontre outras. Só não pare com a teoria.
“Entendido” e “eu sei resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.
Encontre problemas e resolva!
