Ao se preparar para o exame de matemática, os alunos precisam sistematizar seus conhecimentos de álgebra e geometria. Gostaria de combinar todas as informações conhecidas, por exemplo, como calcular a área de uma pirâmide. Além disso, partindo da base e das faces laterais para toda a superfície. Se a situação é clara com as faces laterais, já que são triângulos, a base é sempre diferente.
O que fazer ao encontrar a área da base da pirâmide?
Pode ser absolutamente qualquer figura: de um triângulo arbitrário a um n-gon. E essa base, além da diferença no número de ângulos, pode ser uma figura regular ou incorreta. Nas tarefas USE de interesse dos escolares, existem apenas tarefas com os números corretos na base. Portanto, falaremos apenas sobre eles.
triângulo retângulo
Isso é equilátero. Aquele em que todos os lados são iguais e denotados pela letra "a". Nesse caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Quadrado
A fórmula para calcular sua área é a mais simples, aqui "a" é o lado novamente:
n-gon regular arbitrário
O lado de um polígono tem a mesma designação. Para o número de cantos, a letra latina n é usada.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Como proceder no cálculo da superfície lateral e total?
Como a base é uma figura regular, todas as faces da pirâmide são iguais. Além disso, cada um deles é um triângulo isósceles, pois as arestas laterais são iguais. Então, para calcular a área lateral da pirâmide, você precisa de uma fórmula que consiste na soma de monômios idênticos. O número de termos é determinado pelo número de lados da base.
A área de um triângulo isósceles é calculada pela fórmula em que a metade do produto da base é multiplicada pela altura. Essa altura na pirâmide é chamada de apótema. Sua designação é "A". A fórmula geral para a área de superfície lateral é:
S \u003d ½ P * A, onde P é o perímetro da base da pirâmide.
Existem situações em que os lados da base não são conhecidos, mas são dadas as arestas laterais (c) e o ângulo plano em seu vértice (α). Então deve-se usar essa fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:
S = n/2 * em 2 sen α .
Tarefa nº 1
Doença. Encontre a área total da pirâmide se sua base estiver com um lado de 4 cm e o apótema tiver um valor de √3 cm.
Decisão. Você precisa começar calculando o perímetro da base. Como este é um triângulo regular, então P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Como o apótema é conhecido, você pode calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral: ½ * 12 * √3 = 6 √3cm2.
Para um triângulo na base, o seguinte valor de área será obtido: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Para determinar a área inteira, você precisará somar os dois valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Responda. 10√3 cm2.
Tarefa nº 2
Doença. Existe uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento do lado da base é de 7 mm, a borda lateral é de 16 mm. Você precisa conhecer sua área de superfície.
Decisão. Como o poliedro é quadrangular e regular, sua base é um quadrado. Tendo aprendido as áreas da base e das faces laterais, será possível calcular a área da pirâmide. A fórmula para o quadrado é dada acima. E nas faces laterais, todos os lados do triângulo são conhecidos. Portanto, você pode usar a fórmula de Heron para calcular suas áreas.
Os primeiros cálculos são simples e levam a este número: 49 mm 2. Para o segundo valor, você precisará calcular o semiperímetro: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Agora você pode calcular a área de um triângulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existem apenas quatro desses triângulos, portanto, ao calcular o número final, você precisará multiplicá-lo por 4.
Acontece: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Responda. O valor desejado é 267,576 mm 2.
Tarefa nº 3
Doença. Para uma pirâmide quadrangular regular, você precisa calcular a área. Nela, o lado do quadrado é 6 cm e a altura é 4 cm.
Decisão. A maneira mais fácil é usar a fórmula com o produto do perímetro e o apótema. O primeiro valor é fácil de encontrar. A segunda é um pouco mais difícil.
Teremos que lembrar do teorema de Pitágoras e considerar que Ele é formado pela altura da pirâmide e pelo apótema, que é a hipotenusa. A segunda perna é igual à metade do lado do quadrado, pois a altura do poliedro cai no meio.
O apótema desejado (a hipotenusa de um triângulo retângulo) é √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Agora você pode calcular o valor desejado: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Responda. 96 cm2.
Tarefa nº 4
Doença. O lado correto de sua base é de 22 mm, as nervuras laterais são de 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?
Decisão. O raciocínio nele é o mesmo descrito no problema nº 2. Só que foi dada uma pirâmide com um quadrado na base, e agora é um hexágono.
Em primeiro lugar, a área da base é calculada usando a fórmula acima: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.
Agora você precisa descobrir o semiperímetro de um triângulo isósceles, que é uma face lateral. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Resta calcular a área de cada triângulo usando a fórmula de Heron e depois multiplicá-lo por seis e adicioná-lo ao que resultou no base.
Cálculos usando a fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Cálculos que darão a área de superfície lateral: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Resta somá-los para descobrir toda a superfície: 5217,47≈5217 cm 2.
Responda. Base - 726√3 cm 2, superfície lateral - 3960 cm 2, área total - 5217 cm 2.
A área da superfície da pirâmide. Neste artigo, consideraremos com você problemas com pirâmides regulares. Deixe-me lembrá-lo que uma pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o topo da pirâmide é projetado no centro desse polígono.
A face lateral de tal pirâmide é um triângulo isósceles.A altura deste triângulo, desenhada do topo de uma pirâmide regular, é chamada de apótema, SF é um apótema:
No tipo de problemas apresentados abaixo, é necessário encontrar a área da superfície de toda a pirâmide ou a área de sua superfície lateral. O blog já considerou vários problemas com pirâmides regulares, onde foi levantada a questão de encontrar elementos (altura, borda da base, borda lateral), .
Nas tarefas do exame, como regra, são consideradas pirâmides regulares triangulares, quadrangulares e hexagonais. Eu não vi problemas com pirâmides pentagonais e heptagonais regulares.
A fórmula para a área de toda a superfície é simples - você precisa encontrar a soma da área da base da pirâmide e a área de sua superfície lateral:
Considere as tarefas:
Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 72, as arestas laterais são 164. Encontre a área da superfície desta pirâmide.
A área da superfície da pirâmide é igual à soma das áreas da superfície lateral e da base:
*A superfície lateral consiste em quatro triângulos de área igual. A base da pirâmide é um quadrado.
A área do lado da pirâmide pode ser calculada usando:
Assim, a área da superfície da pirâmide é:
Resposta: 28224
Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são 22, as bordas laterais são 61. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.
A base de uma pirâmide hexagonal regular é um hexágono regular.
A área de superfície lateral desta pirâmide consiste em seis áreas de triângulos iguais com lados 61,61 e 22:
Encontre a área de um triângulo usando a fórmula de Heron:
Portanto, a área da superfície lateral é:
Resposta: 3240
*Nos problemas apresentados acima, a área da face lateral pode ser encontrada usando uma fórmula de triângulo diferente, mas para isso você precisa calcular o apótema.
27155. Encontre a área da superfície de uma pirâmide quadrangular regular cujos lados da base são 6 e cuja altura é 4.
Para encontrar a área da superfície de uma pirâmide, precisamos conhecer a área da base e a área da superfície lateral:
A área da base é 36, pois é um quadrado de lado 6.
A superfície lateral consiste em quatro faces, que são triângulos iguais. Para encontrar a área de tal triângulo, você precisa conhecer sua base e altura (apótema):
* A área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura desenhada para esta base.
A base é conhecida, é igual a seis. Vamos encontrar a altura. Considere um triângulo retângulo (destacado em amarelo):
Uma perna é igual a 4, pois esta é a altura da pirâmide, a outra é igual a 3, pois é igual a metade da borda da base. Podemos encontrar a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras:
Portanto, a área da superfície lateral da pirâmide é:
Assim, a área de superfície de toda a pirâmide é:
Resposta: 96
27069. Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 10, as arestas laterais são 13. Encontre a área da superfície desta pirâmide.
27070. Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são 10, as arestas laterais são 13. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.
Existem também fórmulas para a área de superfície lateral de uma pirâmide regular. Em uma pirâmide regular, a base é uma projeção ortogonal da superfície lateral, portanto:
P- perímetro da base, eu- apótema da pirâmide
*Esta fórmula é baseada na fórmula da área de um triângulo.
Se você quiser saber mais sobre como essas fórmulas são derivadas, não perca, acompanhe a publicação de artigos.Isso é tudo. Boa sorte para você!
Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.
P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.
A área da superfície lateral de uma pirâmide arbitrária é igual à soma das áreas de suas faces laterais. Faz sentido dar uma fórmula especial para expressar essa área no caso de uma pirâmide regular. Então, seja dada uma pirâmide regular, na base da qual se encontra um n-gon regular com um lado igual a a. Seja h a altura da face lateral, também chamada apotema pirâmides. A área de uma face lateral é 1/2ah, e toda a superfície lateral da pirâmide tem uma área igual a n/2ha. Como na é o perímetro da base da pirâmide, podemos escrever a fórmula encontrada da seguinte forma :
Superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto de seu apótema pela metade do perímetro da base.
Relativo superfície total, em seguida, basta adicionar a área da base ao lado.
Esfera e bola inscritas e circunscritas. Deve-se notar que o centro da esfera inscrita na pirâmide está na interseção dos planos bissetores dos ângulos diedros internos da pirâmide. O centro da esfera descrita perto da pirâmide situa-se na intersecção dos planos que passam pelos pontos médios das arestas da pirâmide e perpendiculares a eles.
Pirâmide truncada. Se a pirâmide é cortada por um plano paralelo à sua base, então a parte contida entre o plano de corte e a base é chamada de pirâmide truncada. A figura mostra uma pirâmide, descartando sua parte acima do plano de corte, obtemos uma pirâmide truncada. É claro que a pequena pirâmide a ser descartada é homotética à grande pirâmide com o centro da homotetia no ápice. O coeficiente de similaridade é igual à razão das alturas: k=h 2 /h 1 , ou nervuras laterais, ou outras dimensões lineares correspondentes de ambas as pirâmides. Sabemos que as áreas de figuras semelhantes estão relacionadas como quadrados de dimensões lineares; então as áreas das bases de ambas as pirâmides (ou seja, poupar as bases da pirâmide truncada) estão relacionadas como
Aqui S 1 é a área da base inferior e S 2 é a área da base superior da pirâmide truncada. As superfícies laterais das pirâmides estão na mesma proporção. Existe uma regra semelhante para volumes.
Volumes de corpos semelhantes estão relacionados como cubos de suas dimensões lineares; por exemplo, os volumes das pirâmides são relacionados como os produtos de suas alturas pela área das bases, da qual nossa regra segue imediatamente. Tem um caráter completamente geral e decorre diretamente do fato de que o volume sempre tem a dimensão da terceira potência do comprimento. Usando esta regra, derivamos uma fórmula que expressa o volume de uma pirâmide truncada em termos de altura e áreas das bases.
Seja uma pirâmide truncada com altura h e áreas de base S 1 e S 2. Se imaginarmos que ela é estendida para a pirâmide completa, então o coeficiente de similaridade da pirâmide completa e da pirâmide pequena pode ser facilmente encontrado como a raiz da razão S 2 /S 1. A altura da pirâmide truncada é expressa como h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Agora temos para o volume da pirâmide truncada (V 1 e V 2 denotam os volumes das pirâmides completa e pequena)
fórmula do volume da pirâmide truncada
Derivamos a fórmula para a área S da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros P 1 e P 2 das bases e o comprimento do apótema a. Argumentamos exatamente da mesma maneira que ao derivar a fórmula do volume. Suplementamos a pirâmide com a parte superior, temos P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, onde k é o coeficiente de similaridade, P 1 e P 2 são os perímetros das bases e S 1 e S 2 são os cavalos das superfícies laterais de toda a pirâmide resultante e seu topo, respectivamente. Para a superfície lateral, encontramos (a 1 e a 2 - apótemas das pirâmides, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))
fórmula para a área de superfície lateral de uma pirâmide truncada regular
Problemas geométricos típicos no plano e no espaço tridimensional são os problemas de determinação das áreas de superfície de diferentes figuras. Neste artigo, apresentamos a fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular.
O que é uma pirâmide?
Vamos dar uma definição geométrica estrita de uma pirâmide. Suponha que haja algum polígono com n lados e n vértices. Escolhemos um ponto arbitrário no espaço que não estará no plano do n-gon especificado e o conectamos a cada vértice do polígono. Vamos obter uma figura que tem algum volume, que é chamada de pirâmide n-gonal. Por exemplo, vamos mostrar na figura abaixo como é uma pirâmide pentagonal.
Dois elementos importantes de qualquer pirâmide são sua base (n-gon) e o topo. Esses elementos estão conectados entre si por n triângulos, que em geral não são iguais entre si. A perpendicular baixada do topo até a base é chamada de altura da figura. Se cruza a base no centro geométrico (coincide com o centro de massa do polígono), essa pirâmide é chamada de linha reta. Se, além dessa condição, a base for um polígono regular, toda a pirâmide será chamada de regular. A figura abaixo mostra como são as pirâmides regulares com bases triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais.
A superfície da pirâmide
Antes de nos voltarmos para a questão da área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular, devemos nos aprofundar mais no conceito da própria superfície.
Como mencionado acima e mostrado nas figuras, qualquer pirâmide é formada por um conjunto de faces ou lados. Um lado é a base e n lados são triângulos. A superfície da figura inteira é a soma das áreas de cada um de seus lados.
É conveniente estudar a superfície usando o exemplo de uma figura desdobrada. Uma varredura para uma pirâmide quadrangular regular é mostrada nas figuras abaixo.
Vemos que sua área de superfície é igual à soma de quatro áreas de triângulos isósceles idênticos e a área de um quadrado.
A área total de todos os triângulos que formam os lados da figura é chamada de área da superfície lateral. A seguir, mostramos como calculá-lo para uma pirâmide quadrangular regular.
Área de superfície lateral de uma pirâmide regular retangular
Para calcular a área de superfície lateral da figura especificada, voltamos novamente para a varredura acima. Suponha que conhecemos o lado da base quadrada. Vamos denotar pelo símbolo a. Pode-se ver que cada um dos quatro triângulos idênticos tem uma base de comprimento a. Para calcular sua área total, você precisa saber esse valor para um triângulo. No curso de geometria, sabe-se que a área do triângulo S t é igual ao produto da base e da altura, que deve ser dividida pela metade. Ou seja:
Onde h b é a altura do triângulo isósceles traçado até a base a. Para uma pirâmide, esta altura é o apótema. Agora resta multiplicar a expressão resultante por 4 para obter a área S b da superfície lateral da pirâmide em questão:
S b = 4*St = 2*hb *a.
Esta fórmula contém dois parâmetros: o apótema e o lado da base. Se o último é conhecido na maioria das condições dos problemas, então o primeiro deve ser calculado conhecendo outras quantidades. Aqui estão as fórmulas para calcular apotema h b para dois casos:
- quando o comprimento da nervura lateral é conhecido;
- quando a altura da pirâmide é conhecida.
Se denotarmos o comprimento da aresta lateral (o lado de um triângulo isósceles) com o símbolo L, então o apotema h b é determinado pela fórmula:
h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).
Esta expressão é o resultado da aplicação do teorema de Pitágoras para o triângulo da superfície lateral.
Se a altura h da pirâmide é conhecida, então o apotema h b pode ser calculado da seguinte forma:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
Também não é difícil obter essa expressão se considerarmos um triângulo retângulo dentro da pirâmide formado pelos catetos h e a / 2 e a hipotenusa h b.
Mostraremos como aplicar essas fórmulas resolvendo dois problemas interessantes.
Problema com Área de Superfície Conhecida
Sabe-se que a área da superfície lateral de um quadrangular é de 108 cm 2 . É necessário calcular o valor do comprimento de seu apótema h bi se a altura da pirâmide for 7 cm.
Escrevemos a fórmula para a área S b da superfície lateral através da altura. Nós temos:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Aqui nós simplesmente substituímos a fórmula de apotema correspondente na expressão para S b . Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação:
S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.
Para encontrar o valor de a, fazemos uma mudança de variáveis:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Agora substituímos os valores conhecidos e resolvemos a equação quadrática:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Escrevemos apenas a raiz positiva desta equação. Então os lados da base da pirâmide serão iguais a:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Para obter o comprimento do apotema, basta usar a fórmula:
h b \u003d √ (h 2 + a 2/4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.
Superfície lateral da pirâmide de Quéops
Vamos determinar o valor da área de superfície lateral para a maior pirâmide egípcia. Sabe-se que na sua base encontra-se um quadrado com 230,363 metros de lado. A altura da estrutura era originalmente de 146,5 metros. Substituindo esses números na fórmula correspondente para S b , obtemos:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
O valor encontrado é um pouco maior que a área de 17 campos de futebol.
Nesta lição:
- Tarefa 1. Encontre a área total da superfície da pirâmide
- Tarefa 2. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide triangular regular
.
Observação . Se você precisa resolver um problema de geometria, que não está aqui - escreva sobre isso no fórum. Nas tarefas, em vez do símbolo de "raiz quadrada", é utilizada a função sqrt(), na qual sqrt é o símbolo de raiz quadrada e a expressão radical é indicada entre colchetes. Para expressões radicais simples, o sinal "√" pode ser usado.
Tarefa 1. Encontre a área total da superfície de uma pirâmide regular
A altura da base de uma pirâmide triangular regular é de 3 cm e o ângulo entre a face lateral e a base da pirâmide é de 45 graus.Encontre a área total da superfície da pirâmide
Decisão.
Na base de uma pirâmide triangular regular encontra-se um triângulo equilátero.
Portanto, para resolver o problema, usamos as propriedades de um triângulo regular: 
Conhecemos a altura do triângulo, de onde podemos encontrar sua área.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
De onde a área da base será igual a:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Para encontrar a área da face lateral, calculamos a altura KM. O ângulo OKM, de acordo com o enunciado do problema, é de 45 graus.
Por isso:
OK / MK = cos 45
Vamos usar a tabela de valores das funções trigonométricas e substituir os valores conhecidos.
OK / MK = √2/2
Levamos em conta que OK é igual ao raio do círculo inscrito. Então
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Então
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2
A área da face lateral é então igual à metade do produto da altura e da base do triângulo.
Lado = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Assim, a área total da superfície da pirâmide será igual a
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Responda: 3√3 + 18/√6
Tarefa 2. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide regular
Em uma pirâmide triangular regular, a altura é 10 cm e o lado da base é 16 cm . Encontre a área da superfície lateral .Decisão.
Como a base de uma pirâmide triangular regular é um triângulo equilátero, então AO é o raio do círculo circunscrito ao redor da base.
(Decorre de)
O raio de um círculo circunscrito ao redor de um triângulo equilátero é encontrado a partir de suas propriedades
De onde o comprimento das arestas de uma pirâmide triangular regular será igual a:
AM 2 = MO 2 + AO 2
a altura da pirâmide é conhecida pela condição (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Cada lado da pirâmide é um triângulo isósceles. A área de um triângulo isósceles é encontrada a partir da primeira fórmula abaixo 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 quadrados((556/3) - 64)
S = 8 quadrados (364/3)
S = 16 quadrados (91/3)
Como as três faces de uma pirâmide regular são iguais, a área da superfície lateral será igual a
3S = 48√(91/3)
Responda: 48 √(91/3)
Tarefa 3. Encontre a área total da superfície de uma pirâmide regular
O lado de uma pirâmide triangular regular é de 3 cm e o ângulo entre a face lateral e a base da pirâmide é de 45 graus. Encontre a área total da superfície da pirâmide.
Decisão.
Como a pirâmide é regular, ela tem um triângulo equilátero em sua base. Então a área da base é 
Então = 9 * √3/4
Para encontrar a área da face lateral, calculamos a altura KM. O ângulo OKM, de acordo com o enunciado do problema, é de 45 graus.
Por isso:
OK / MK = cos 45
Vamos usar
