Trabalhos concluídos

ESTES TRABALHOS

Muito já ficou para trás e agora você é um graduado, se, é claro, escrever sua tese no prazo. Mas a vida é uma coisa que só agora fica claro para você que, deixando de ser um estudante, você perderá todas as alegrias de estudante, muitas das quais você não experimentou, adiando tudo e deixando para depois. E agora, em vez de recuperar o atraso, você está mexendo na sua tese? Existe uma ótima saída: baixe a tese que você precisa em nosso site - e você terá instantaneamente muito tempo livre!
Trabalhos de diploma foram defendidos com sucesso nas principais universidades da República do Cazaquistão.
Custo do trabalho de 20 000 tenge

TRABALHOS DO CURSO

O projeto do curso é o primeiro trabalho prático sério. É com a redação do trabalho de conclusão de curso que se inicia a preparação para o desenvolvimento dos projetos de graduação. Se um aluno aprende a expor corretamente o conteúdo do tópico em um projeto de curso e a redigi-lo corretamente, no futuro ele não terá problemas para escrever relatórios, compilar teses ou realizar outras tarefas práticas. Com o intuito de auxiliar os alunos na escrita deste tipo de trabalho estudantil e esclarecer as dúvidas que surgem no decurso da sua elaboração, de facto, foi criada esta secção de informação.
Custo do trabalho de 2 500 tenge

TESES DE MESTRADO

Atualmente, nas instituições de ensino superior do Cazaquistão e dos países da CEI, é muito comum o estágio de ensino profissional superior, que segue após o bacharelado - o mestrado. Na magistratura, os alunos estudam com o objetivo de obter um mestrado, que é reconhecido na maioria dos países do mundo mais do que um diploma de bacharel, e também é reconhecido por empregadores estrangeiros. O resultado da formação na magistratura é a defesa de uma dissertação de mestrado.
Forneceremos material analítico e textual atualizado, o preço inclui 2 artigos científicos e um resumo.
Custo do trabalho de 35 000 tenge

RELATÓRIOS DE PRÁTICA

Depois de concluir qualquer tipo de prática do aluno (educacional, industrial, graduação), é necessário um relatório. Este documento será uma confirmação do trabalho prático do aluno e a base para a formação da avaliação para a prática. Normalmente, para elaborar um relatório de estágio, é necessário recolher e analisar informação sobre a empresa, considerar a estrutura e horário de trabalho da organização em que decorre o estágio, elaborar um plano de calendário e descrever as suas atividades práticas.
Vamos ajudá-lo a redigir um relatório sobre o estágio, tendo em conta as especificidades das atividades de uma determinada empresa.

8 ª série

A data:

Lição número 9.

Tópico: Cálculos aproximados da raiz quadrada.

Objetivos: 1. Ensinar os alunos a encontrar raízes quadradas aproximadas.

2. Desenvolver a observação, a capacidade de analisar, comparar, tirar conclusões.

Cultive uma atitude positiva em relação ao aprendizado

Tipo de aula: combinado.

Formas de organização da aula: individual, coletiva

Equipamento: quadro de projeto, cartões de reflexão de humor, microcalculadora

Três caminhos levam ao conhecimento: o caminho da reflexão

Esta é a maneira mais nobre

o caminho da imitação é o caminho mais fácil

e o caminho da experiência é o caminho mais amargo.

Confúcio

Durante as aulas.

Organizando o tempo

Etapa de verificação da lição de casa

Nº 60 - 1 aluno executa no quadro-negro, outro aluno verifica a correção da tarefa no local

Trabalho oral: projetado no quadro

a) Encontre o valor da raiz:

b) A expressão faz sentido:

c) Encontre um número cuja raiz quadrada aritmética é 0; 1; 3; dez; 0,6

A fase de explicar o novo material

Para calcular o valor aproximado da raiz quadrada, você deve usar uma microcalculadora. Para fazer isso, insira a expressão radical na calculadora e pressione a tecla com o sinal de radical. Mas nem sempre há uma calculadora à mão, então você pode encontrar o valor aproximado da raiz quadrada da seguinte forma:

Vamos encontrar o valor.

Desde então . Agora, entre os números localizados no intervalo de 1 a 2, pegamos os números vizinhos 1,4 e 1,5, obtemos: , então pegamos os números 1,41 e 1,42, esses números satisfazem a desigualdade . Se continuarmos esse processo de elevar ao quadrado os números vizinhos, obtemos o seguinte sistema de desigualdades:

Projetada na placa.

A partir deste sistema, comparando os números após a vírgula, obtemos:

Valores aproximados de raízes quadradas podem ser tomados em termos de excesso e deficiência, ou seja, por deficiência com precisão de 0,0001 e por excesso.

Consolidação do material estudado.

Nível "A"

0,2664 0,2 - por deficiência

№93 (calculadora é usada)

5. Pausa valeológica: exercícios para os olhos.

Nível "B"

6. Antecedentes históricos sobre a necessidade de encontrar o valor das raízes quadradas

(O aluno disposto é convidado antecipadamente a preparar uma mensagem sobre este tema usando a Internet)

Uma fórmula é proposta para encontrar o valor aproximado da raiz quadrada de um número irracional:

Nível "C" Nº 105

7. Reflexão.

Resumo da lição.

Dever de casa: Nº 102,

Tópico: "Encontrando
valores aproximados da raiz quadrada "

Tipo de lição: ONZ, R

Objetivos básicos:

• aprenda a encontrar valores aproximados da raiz quadrada,
• aprender métodos para calcular raízes.

Durante as aulas

1. Autodeterminação para atividades de aprendizagem

Objetivo do palco: 1) incluir os alunos nas atividades de aprendizagem;

2) determine o conteúdo da lição: continuamos trabalhando em raízes quadradas

Organização do processo educativo na fase 1:

O que estudamos nas aulas de álgebra agora? (Raízes quadradas)

O que são raízes quadradas?

- Bom trabalho! Para um trabalho bem-sucedido, realizaremos as seguintes tarefas.

2. Atualização do conhecimento e fixação de dificuldades nas atividades

Objetivo do palco: 1) atualizar o conteúdo educacional necessário e suficiente para a percepção do novo material: encontrando os valores da raiz quadrada;

2) atualizar as operações mentais necessárias e suficientes para a percepção do novo material: comparação, análise, generalização;

3) corrigir todos os conceitos e algoritmos repetidos na forma de esquemas e símbolos;

4) corrigir uma dificuldade individual na atividade, demonstrando a falta de conhecimento existente em um nível pessoalmente significativo: encontre o significado da expressão.

Organização do processo educativo na fase 2:

1. Calcule: , , , ,

4. Tarefa individual.

Encontrar o valor de uma expressão..

3. Identificação da causa da dificuldade e definição do objetivo da atividade

Objetivo do palco: 1) organizar a interação comunicativa, durante a qual se revela e fixa uma propriedade distintiva da tarefa que causou dificuldade nas atividades educativas: a capacidade de encontrar o valor da raiz quadrada;

2) concordar com o propósito e o tema da lição.

Organização do processo educativo na fase 3:

– o que você precisava fazer?

– O que você conseguiu? (Os alunos mostram suas opções)

- Qual era o problema?

√2 é extraído completamente?

Não.

Como vamos encontrar?

Quais são as maneiras de encontrar raízes?

Pessoal, veja bem, nem sempre estamos lidando com números que são facilmente representados como um quadrado de um número, que são extraídos completamente debaixo da raiz.

- Qual é o nosso objetivo?

- Formular o tema da lição.

- Escreva o tema em seu caderno.

4. Construindo um projeto para sair de uma dificuldade

Objetivo do palco: 1) organizar a interação comunicativa para construir um novo modo de ação que elimine a causa da dificuldade identificada;

2) fixar um novo modo de ação em um signo, forma verbal.

Organização do processo educativo na fase 4:

1 MÉTODO para calcular √2 preciso de duas casas decimaisVamos argumentar da seguinte forma.

O número √2 é maior que 1 porque 1 2 2 maior que 2. Portanto, a notação decimal do número começará da seguinte forma: 1, ... Ou seja, a raiz de dois, esta é uma unidade com alguma coisa.

Agora vamos tentar encontrar o número de décimos.

Para fazer isso, vamos elevar frações ao quadrado de um a dois até obtermos um número maior que dois.

Vamos dar um passo de divisão de 0,1, já que estamos procurando o número de décimos.

Em outras palavras, elevaremos os números ao quadrado: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Temos um número maior que dois, os números restantes não precisam mais ser elevados ao quadrado. Número 1.4 2 é menor que 2 e 1,5 é 2 já for maior que dois, então o número √2 deve pertencer ao intervalo de 1,4 a 1,5. Portanto, a notação decimal do número √2 na décima posição deve conter 4. √2=1,4….

Em outras palavras, 1,4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Já em 1,42 obtemos que seu quadrado é maior que dois, outros números ao quadrado não faz sentido.

A partir disso, obtemos que o número √2 pertencerá ao intervalo de 1,41 a 1,42 (1,41

Como precisamos escrever √2 com precisão de duas casas decimais, já podemos parar e não continuar o cálculo.

√2 ≈ 1,41. Esta será a resposta. Se fosse necessário calcular um valor ainda mais preciso, teria que continuar os cálculos, repetindo a cadeia de raciocínio várias vezes.

Exercício

Calcular com duas casas decimais

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Conclusão Esta técnica permite extrair a raiz com qualquer precisão predeterminada.

2 MÉTODO Para descobrir a parte inteira da raiz quadrada de um número, você pode, subtraindo dela todos os números ímpares em ordem, até que o resto seja menor que o próximo número subtraído ou igual a zero, contar o número de ações realizadas.

Por exemplo, vamos encontrar √16 assim:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• 4 etapas concluídas, então √16 = 4

Calcular Tarefa

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Conclusão Esta técnica é conveniente quando a raiz é completamente removida.

3 MÉTODO Os antigos babilônios usavam o seguinte método para encontrar o valor aproximado da raiz quadrada de seu número x. Eles representavam o número x como a soma de um 2+b,

onde um 2 - o quadrado exato do número natural a mais próximo do número x, e usou a fórmula.

Extraímos a raiz quadrada usando a fórmula,

Por exemplo, do número 28:

Conclusão O método babilônico dá uma boa aproximação do valor exato da raiz.

5. Consolidação primária na fala externa

Objetivo do palco: fixar o conteúdo educacional estudado no discurso externo.

Organização do processo educativo na fase 5:

do livro didático: Nºs 336, 337, 338.339, 343.345

6. Trabalho independente com autoteste de acordo com o padrão.

Objetivo do palco: teste sua capacidade de aplicar o algoritmo de adição e subtração em condições típicas, comparando sua solução com um padrão de autoteste.

Organização do processo educativo na fase 6:

338 (a), 339 (c, d)

Após a verificação em relação ao padrão, os erros são analisados ​​e corrigidos.

7. Inclusão no sistema de conhecimento e repetição

Objetivo do palco: 1) treinar as habilidades de utilização de novos conteúdos em conjunto com os aprendidos anteriormente;

Organização do processo educativo na fase 7:

1 grupo (médio) "Nº ______________

Grupo 2 (alto) №№ _________________

8. Reflexão das atividades da aula

1) corrigir o novo conteúdo aprendido na lição;

2) avaliar suas próprias atividades na aula;

3) agradecer aos colegas que ajudaram a obter o resultado da aula;

4) corrigir dificuldades não resolvidas como direções para futuras atividades de aprendizagem;

5) Discuta e anote os trabalhos de casa.

Organização do processo educativo na fase 8:

– O que aprendemos na aula de hoje?

– O que aprendemos a fazer hoje?

– Analise suas atividades na lição e avalie seu trabalho.

Trabalho de casa №№ 344 , 346, 351

Agora a questão é: como elevar um número a uma potência irracional? Por exemplo, queremos saber o que é 10 √ 2. A resposta é, em princípio, muito simples. Tomemos em vez de √2 sua aproximação na forma de um decimal finito drdbi - este é um número racional. Podemos elevar a um grau racional; tudo se resume a aumentar para uma potência inteira e extrair a raiz. Obteremos o valor aproximado do número. Você pode pegar uma fração decimal mais longa (este é novamente um número racional). Então você tem que extrair a raiz em maior grau; afinal, o denominador de uma fração racional aumentará, mas obteremos uma aproximação mais precisa. Claro, se tomarmos o valor aproximado de √2 como uma fração muito longa, então a exponenciação será muito difícil. Como lidar com essa tarefa?

O cálculo de raízes quadradas, raízes cúbicas e outras raízes de baixo grau é um processo aritmético bastante acessível para nós; calculando, sequencialmente, um após o outro, escrevemos decimais. Mas para elevar a uma potência irracional ou obter um logaritmo (para resolver o problema inverso), é necessário tanto trabalho que não é mais fácil aplicar o procedimento anterior. As mesas vêm em socorro. Eles são chamados de tabelas de logaritmos ou tabelas de potências, dependendo do que se destinam. Eles economizam tempo: para elevar um número a uma potência irracional, não calculamos, mas apenas viramos as páginas.

Embora o cálculo dos valores coletados em tabelas seja um procedimento puramente técnico, é um assunto interessante e tem uma longa história. Então vamos ver como é feito. Calcularemos não apenas x \u003d 10 √2, mas também resolveremos outro problema: 10 x \u003d 2 ou x \u003d log 10 2. Ao resolver esses problemas, não descobriremos novos números; estes são apenas problemas computacionais. A solução será números irracionais, frações decimais infinitas, e de alguma forma é inconveniente declará-los um novo tipo de número.

Vamos pensar em como resolver nossas equações. A ideia geral é muito simples. Se calcularmos 10 1 e 10 1/10 , e 10 1/100 , e 10 1/1000 , etc., e depois multiplicarmos os resultados, obtemos 10 1,414 ... ou l0 √ 2 Fazendo isso, vamos resolver qualquer problema desse tipo. No entanto, em vez de 10 1/10, etc., calcularemos 10 1/2 e 10 1/4, etc. Antes de começarmos, vamos explicar por que nos referimos ao número 10 com mais frequência do que outros números. Sabemos que o significado das tabelas de logaritmos vai muito além do problema matemático de calcular raízes, porque

Isso é bem conhecido por qualquer pessoa que tenha usado a tabela de logaritmos para multiplicar números. Em que base b para tomar logaritmos? Não importa; pois tais cálculos são baseados apenas no princípio, a propriedade geral da função logarítmica. Tendo calculado os logaritmos uma vez para alguma base arbitrária, você pode ir para os logaritmos de outra base usando a multiplicação. Se você multiplicar a equação (22.3) por 61, ela permanecerá verdadeira; portanto, se você multiplicar todos os números da tabela de logaritmos na base b por 61, essa tabela também poderá ser usada. Suponha que conhecemos os logaritmos de todos os números na base b. Em outras palavras, podemos resolver a equação b a = c para qualquer c; existe uma tabela para isso. O problema é como encontrar o logaritmo do mesmo número c em uma base diferente, como x. Precisamos resolver a equação x a' = c. Isso é fácil de fazer porque x sempre pode ser representado como x = b t . Encontrar t dados x e b é simples: t = log b x. Vamos agora substituir x = b t na equação x a’ = c; ele entrará nesta equação: (b t) a’ = b ta’ = c. Em outras palavras, o produto ta' é o logaritmo de c na base b. Então a' = a/t. Assim, os logaritmos da base x são iguais aos produtos dos logaritmos da base b e o número constante l/t. Portanto, todas as tabelas de logaritmos são equivalentes até a multiplicação pelo número l/log b x. Isso nos permite escolher qualquer base para tabulação, mas decidimos que é mais conveniente usar o número 10 como base. (Pode surgir a pergunta: ainda existe alguma base natural que faça tudo parecer mais simples? para responder a esta pergunta mais tarde, enquanto todos os logaritmos serão calculados na base 10.)

Agora vamos ver como a tabela de logaritmos é compilada. O trabalho começa com sucessivas extrações da raiz quadrada de 10. O resultado pode ser visto na Tabela. 22.1. Os expoentes estão escritos em sua primeira coluna e os números 10 s estão na terceira. É claro que 10 1 \u003d 10. É fácil aumentar 10 para meia potência - esta é a raiz quadrada de 10, e todo mundo sabe como tirar a raiz quadrada de qualquer número. (A raiz quadrada é melhor tomada não da maneira que geralmente é ensinada na escola, mas um pouco diferente. Para extrair a raiz quadrada do número N, escolhemos o número a próximo o suficiente da resposta, calculamos N / a e o média a' = 1/2; essa média será um novo número a, uma nova aproximação da raiz de N. Esse processo leva muito rapidamente ao objetivo: o número de dígitos significativos dobra após cada etapa.) Então temos encontrou a primeira raiz quadrada; é igual a 3,16228. O que dá? Dá alguma coisa. Já podemos dizer o que é 10 0,5 e conhecemos pelo menos um logaritmo.

O logaritmo de 3,16228 é muito próximo de 0,50000. No entanto, ainda precisamos fazer um pequeno esforço: precisamos de uma tabela mais detalhada. Vamos pegar outra raiz quadrada e encontrar 10 1/4, que é igual a 1,77828. Agora conhecemos outro logaritmo: 1,250 é o logaritmo de 17,78; além disso, podemos dizer a que 10 0,75 é igual: afinal, isso é 10 (0,5 + 0,25), ou seja, o produto do segundo e terceiro números da terceira coluna da Tabela. 22.1. Se você tornar a primeira coluna da tabela longa o suficiente, a tabela conterá quase todos os números; multiplicando os números da terceira coluna, obtemos 10 para quase qualquer potência. Essa é a ideia básica das tabelas. Nossa tabela contém dez raízes consecutivas de 10; o principal trabalho de compilação da tabela é investido no cálculo dessas raízes.

Por que não continuamos a melhorar ainda mais a precisão das tabelas? Porque já notamos algo. Ao elevar 10 a uma potência muito pequena, obtemos uma unidade com uma pequena adição. Isso, é claro, acontece porque se elevarmos, por exemplo, 10 1/1000 à 1000ª potência, teremos novamente 10; é claro que 10 1/1000 não pode ser um número grande: é muito próximo de um. Além disso, pequenas adições à unidade se comportam como se fossem divididas por 2 a cada vez; dê uma olhada mais de perto na tabela: 1815 vai para 903, depois para 450, 225, etc. Assim, se calcularmos mais um décimo primeiro, raiz quadrada, será igual a 1,00112 com grande precisão, e adivinhamos esse resultado mesmo antes do cálculo. Você pode dizer qual será a adição a um se você elevar 10 à potência de ∆/1024 quando ∆ tende a zero? Lata. A adição será aproximadamente igual a 0,0022511∆. Claro, não exatamente 0,0022511∆; para calcular essa adição com mais precisão, eles fazem o seguinte truque: subtrair um de 10 s e dividir a diferença pelo expoente s. Os desvios do quociente assim obtidos de seu valor exato são os mesmos para qualquer potência de s. Pode-se observar que essas razões (Tabela 22.1) são aproximadamente iguais. No início, eles diferem muito, mas depois se aproximam, claramente lutando por algum número. Qual é esse número? Vamos ver como os números da quarta coluna mudam se descermos a coluna. Primeiro, a diferença entre dois números adjacentes é 0,0211, depois 0,0104, depois 0,0053 e, finalmente, 0,0026. A diferença de cada vez diminui pela metade. Dando mais um passo, vamos trazê-lo para 0,0013, depois para 0,0007, 0,0003, 0,0002 e, finalmente, para cerca de 0,0001; devemos dividir sequencialmente 26 por 2. Assim, desceremos outras 26 unidades e encontraremos o limite 2,3025. (Mais tarde veremos que 2,3026 seria mais correto, mas vamos pegar o que temos.) Usando esta tabela, você pode elevar 10 a qualquer potência, se seu expoente for expresso de alguma forma por I / I024.

Agora é fácil fazer uma tabela de logaritmos, pois já guardamos tudo o que é necessário para isso. O procedimento para isso é mostrado na Tabela. 22.2, e os números exigidos são retirados da segunda e terceira colunas da Tabela. 22.1.

Suponha que queremos saber o logaritmo de 2. Isso significa que queremos saber a que potência 10 deve ser elevado para obter 2. Talvez elevar 10 à potência de 1/2? Não, é muito grande. Observando a Tabela 22.1, podemos dizer que o número de que precisamos está entre 1/4 e 1/2. Vamos começar a procurá-lo com 1/4; divida 2 por 1,778…, obtemos 1,124…; ao dividir, subtraímos 0,250000 do logaritmo de dois, e agora estamos interessados ​​no logaritmo de 1,124 .... Tendo encontrado, adicionaremos 1/4 = 256/1024 ao resultado. Vamos encontrar na Tabela 22.1 o número que, ao se mover ao longo da terceira coluna de cima para baixo, ficaria imediatamente atrás de 1,124 .... Este é 1,074607. A razão de 1,124… para 1,074607 é 1,046598. Ao final, representaremos 2 como produto dos números da Tabela. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Para o último fator (1,000573) não houve lugar em nossa tabela; para encontrar seu logaritmo, é necessário representar este número como 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. A partir daqui é fácil encontrar que ∆ = 0,254. Assim, nosso produto pode ser representado como um dez elevado à potência de 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). Somando e dividindo, obtemos o logaritmo desejado: log 10 2 = 0,30103; este resultado está correto até a quinta casa decimal!

Calculamos logaritmos exatamente da mesma maneira que o Sr. Briggs de Halifax fez em 1620. Quando ele terminou, ele disse: "Eu calculei sucessivamente 54 raízes quadradas de 10." Na verdade, ele calculou apenas as primeiras 27 raízes e depois fez um truque com ∆. Calcular 27 vezes a raiz quadrada de 10 é na verdade um pouco mais difícil do que
10 vezes como fizemos. No entanto, o Sr. Briggs fez muito mais: calculou as raízes até a décima sexta casa decimal e, quando publicou suas tabelas, deixou apenas 14 casas decimais para arredondar os erros. Compilar tabelas de logaritmos até a décima quarta casa decimal por esse método é muito difícil. Mas cerca de 300 anos depois, compiladores de tabelas de logaritmos estavam ocupados reduzindo as tabelas de Briggs, descartando um número diferente de casas decimais a cada vez. Somente em tempos recentes foi possível, com a ajuda de computadores eletrônicos, compilar tabelas de logaritmos independentemente do Sr. Briggs. Neste caso, foi utilizado um método de cálculo mais eficiente, baseado na expansão do logaritmo em série.

Ao compilar as tabelas, nos deparamos com um fato interessante; se o expoente ε for muito pequeno, então é muito fácil calcular 10 ε ; é apenas 1+2.3025ε. Isso significa que 10 n/2,3025 = 1 + n para n muito pequeno. Além disso, dissemos desde o início que calculamos logaritmos de base 10 apenas porque temos 10 dedos em nossas mãos e é mais conveniente contar em dezenas. Logaritmos para qualquer outra base são obtidos de logaritmos para base 10 por simples multiplicação. Agora é hora de descobrir se existe uma base de logaritmos matematicamente distinta, distinguida por razões que nada têm a ver com o número de dedos da mão. Nesta escala natural, as fórmulas com logaritmos devem parecer mais simples. Vamos fazer uma nova tabela de logaritmos multiplicando todos os logaritmos de base 10 por 2,3025…. Isso corresponde à transição para uma nova base - natural, ou base e. Observe que log e (l + n) ≈ n ou e n ≈ 1 + n, quando n → 0.

É fácil encontrar o próprio número e; é igual a 101/ 2,3025 ou 10 0,4342294... Isso é 10 elevado à potência irracional. Para calcular e, você pode usar a tabela de raízes de 10. Vamos representar 0,434294 ... primeiro como 444,73 / 1024, e o numerador dessa fração como a soma 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73. O número e é, portanto, igual ao produto dos números
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(O número 0,73 não está em nossa tabela, mas o resultado correspondente pode ser representado como 1 + 2,3025∆/1024 e calculado com ∆ = 0,73). é bom). Usando essas tabelas, você pode elevar um número a uma potência irracional e calcular os logaritmos dos números irracionais. É assim que se lida com a irracionalidade!

Antes do advento das calculadoras, alunos e professores calculavam raízes quadradas manualmente. Existem várias maneiras de calcular manualmente a raiz quadrada de um número. Alguns deles oferecem apenas uma solução aproximada, outros dão uma resposta exata.

Passos

Fatoração primária

Fatore o número raiz em fatores que são números quadrados. Dependendo do número da raiz, você obterá uma resposta aproximada ou exata. Números quadrados são números dos quais a raiz quadrada inteira pode ser extraída. Fatores são números que, quando multiplicados, dão o número original. Por exemplo, os fatores do número 8 são 2 e 4, pois 2 x 4 = 8, os números 25, 36, 49 são números quadrados, pois √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Fatores quadrados são fatores , que são números quadrados. Primeiro, tente fatorar o número raiz em fatores quadrados.

• Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 400 (manualmente). Primeiro tente fatorar 400 em fatores quadrados. 400 é um múltiplo de 100, ou seja, divisível por 25 - este é um número quadrado. Dividir 400 por 25 dá 16. O número 16 também é um número quadrado. Assim, 400 pode ser fatorado em fatores quadrados de 25 e 16, ou seja, 25 x 16 = 400.
• Isso pode ser escrito da seguinte forma: √400 = √(25 x 16).

1. A raiz quadrada do produto de alguns termos é igual ao produto das raízes quadradas de cada termo, ou seja, √(a x b) = √a x √b. Use esta regra e tire a raiz quadrada de cada fator quadrado e multiplique os resultados para encontrar a resposta.

   • Em nosso exemplo, tire a raiz quadrada de 25 e 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Se o número radical não for fatorar em dois fatores quadrados (e isso acontece na maioria dos casos), você não poderá encontrar a resposta exata como um número inteiro. Mas você pode simplificar o problema decompondo o número raiz em um fator quadrado e um fator comum (um número do qual a raiz quadrada inteira não pode ser extraída). Então você vai tirar a raiz quadrada do fator quadrado e você vai tirar a raiz do fator comum.

   • Por exemplo, calcule a raiz quadrada do número 147. O número 147 não pode ser fatorado em dois fatores quadrados, mas pode ser fatorado nos seguintes fatores: 49 e 3. Resolva o problema da seguinte forma:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Se necessário, avalie o valor da raiz. Agora você pode avaliar o valor da raiz (encontrar um valor aproximado) comparando-o com os valores das raízes dos números quadrados que estão mais próximos (em ambos os lados da reta numérica) do número raiz. Você obterá o valor da raiz como uma fração decimal, que deve ser multiplicada pelo número atrás do sinal da raiz.

   • Vamos voltar ao nosso exemplo. O número raiz é 3. Os números quadrados mais próximos são os números 1 (√1 = 1) e 4 (√4 = 2). Assim, o valor de √3 fica entre 1 e 2. Como o valor de √3 provavelmente está mais próximo de 2 do que de 1, nossa estimativa é: √3 = 1,7. Multiplicamos esse valor pelo número no sinal da raiz: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Se você fizer os cálculos em uma calculadora, obterá 12,13, que é bem próximo da nossa resposta.
     • Este método também funciona com números grandes. Por exemplo, considere √35. O número raiz é 35. Os números quadrados mais próximos são os números 25 (√25 = 5) e 36 (√36 = 6). Assim, o valor de √35 fica entre 5 e 6. Como o valor de √35 está muito mais próximo de 6 do que de 5 (porque 35 é apenas 1 a menos que 36), podemos afirmar que √35 é um pouco menor que 6. Verificando com uma calculadora nos dá a resposta 5,92 - estávamos certos.

4. Outra maneira é decompor o número raiz em fatores primos. Fatores primos são números que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Escreva os fatores primos em uma linha e encontre pares de fatores idênticos. Tais fatores podem ser retirados do sinal da raiz.

   • Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 45. Decompomos o número raiz em fatores primos: 45 \u003d 9 x 5 e 9 \u003d 3 x 3. Assim, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 pode ser retirado do sinal da raiz: √45 = 3√5. Agora podemos estimar √5.
   • Considere outro exemplo: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Você tem três multiplicadores de 2; pegue um par deles e tire-os do sinal da raiz.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Agora podemos calcular √2 e √11 e encontrar uma resposta aproximada.

   Calculando a raiz quadrada manualmente

   Usando a divisão de colunas

   1. Este método envolve um processo semelhante à divisão longa e fornece uma resposta precisa. Primeiro, desenhe uma linha vertical dividindo a folha em duas metades e, em seguida, desenhe uma linha horizontal à direita e ligeiramente abaixo da borda superior da folha até a linha vertical. Agora divida o número raiz em pares de números, começando com a parte fracionária após o ponto decimal. Assim, o número 79520789182.47897 é escrito como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Por exemplo, vamos calcular a raiz quadrada do número 780,14. Desenhe duas linhas (como mostrado na imagem) e escreva o número no canto superior esquerdo como "7 80, 14". É normal que o primeiro dígito da esquerda seja um dígito não pareado. A resposta (a raiz do número dado) será escrita no canto superior direito.

   2. Dado o primeiro par de números (ou um número) da esquerda, encontre o maior inteiro n cujo quadrado é menor ou igual ao par de números (ou um número) em questão. Em outras palavras, encontre o número quadrado mais próximo, mas menor que, o primeiro par de números (ou número único) da esquerda e tire a raiz quadrada desse número quadrado; você obterá o número n. Escreva o n encontrado no canto superior direito e o quadrado n no canto inferior direito.

      • No nosso caso, o primeiro número à esquerda será o número 7. Em seguida, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtraia o quadrado do número n que você acabou de encontrar do primeiro par de números (ou um número) da esquerda. Escreva o resultado do cálculo sob o subtraendo (o quadrado do número n).

      • No nosso exemplo, subtraia 4 de 7 para obter 3.

   4. Anote o segundo par de números e anote-o ao lado do valor obtido na etapa anterior. Em seguida, dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com "_×_=" anexado.

      • Em nosso exemplo, o segundo par de números é "80". Escreva "80" após o 3. Então, dobrando o número do canto superior direito dá 4. Escreva "4_×_=" do canto inferior direito.

   5. Preencha os espaços à direita.

      • No nosso caso, se em vez de traços colocarmos o número 8, então 48 x 8 \u003d 384, que é mais que 380. Portanto, 8 é um número muito grande, mas 7 é bom. Escreva 7 em vez de traços e obtenha: 47 x 7 \u003d 329. Escreva 7 do canto superior direito - este é o segundo dígito na raiz quadrada desejada do número 780,14.

   6. Subtraia o número resultante do número atual à esquerda. Escreva o resultado da etapa anterior abaixo do número atual à esquerda, encontre a diferença e escreva-o abaixo do subtraído.

      • Em nosso exemplo, subtraia 329 de 380, que é igual a 51.

   7. Repita o passo 4. Se o par de números demolido for a parte fracionária do número original, coloque o separador (vírgula) das partes inteiras e fracionárias na raiz quadrada desejada do canto superior direito. À esquerda, carregue o próximo par de números. Dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com "_×_=" anexado.

      • Em nosso exemplo, o próximo par de números a ser demolido será a parte fracionária do número 780.14, então coloque o separador das partes inteiras e fracionárias na raiz quadrada desejada do canto superior direito. Demolir 14 e anotar no canto inferior esquerdo. O dobro do canto superior direito (27) é 54, então escreva "54_×_=" no canto inferior direito.

   8. Repita os passos 5 e 6. Encontre o maior número no lugar dos traços à direita (em vez dos traços, você precisa substituir o mesmo número) para que o resultado da multiplicação seja menor ou igual ao número atual à esquerda.

      • Em nosso exemplo, 549 x 9 = 4941, que é menor que o número atual à esquerda (5114). Escreva 9 no canto superior direito e subtraia o resultado da multiplicação do número atual à esquerda: 5114 - 4941 = 173.

   9. Se você precisar encontrar mais casas decimais para a raiz quadrada, escreva um par de zeros ao lado do número atual à esquerda e repita as etapas 4, 5 e 6. Repita as etapas até obter a precisão da resposta necessária (número de casas decimais).

      Entendendo o processo

      1. Para dominar esse método, imagine o número cuja raiz quadrada você precisa encontrar como a área do quadrado S. Nesse caso, você procurará o comprimento do lado L desse quadrado. Calcule o valor de L para o qual L² = S.

         Digite uma letra para cada dígito em sua resposta. Denote por A o primeiro dígito no valor de L (a raiz quadrada desejada). B será o segundo dígito, C o terceiro e assim por diante.

         Especifique uma letra para cada par de dígitos iniciais. Denote por S a o primeiro par de dígitos no valor S, por S b o segundo par de dígitos e assim por diante.

         Explique a conexão deste método com a divisão longa. Como na operação de divisão, onde cada vez que estamos interessados ​​apenas em um próximo dígito do número divisível, ao calcular a raiz quadrada, trabalhamos com um par de dígitos em sequência (para obter o próximo dígito no valor da raiz quadrada) .

      2. Considere o primeiro par de dígitos Sa do número S (Sa = 7 em nosso exemplo) e encontre sua raiz quadrada. Nesse caso, o primeiro dígito A do valor procurado da raiz quadrada será esse dígito, cujo quadrado é menor ou igual a S a (ou seja, estamos procurando um A que satisfaça a desigualdade A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Digamos que precisamos dividir 88962 por 7; aqui o primeiro passo será semelhante: consideramos o primeiro dígito do número divisível 88962 (8) e selecionamos o maior número que, quando multiplicado por 7, dá um valor menor ou igual a 8. Ou seja, estamos procurando um número d para o qual a desigualdade é verdadeira: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imagine mentalmente o quadrado cuja área você precisa calcular. Você está procurando por L, ou seja, o comprimento do lado de um quadrado cuja área é S. A, B, C são números no número L. Você pode escrever de maneira diferente: 10A + B \u003d L (para dois -número de dígitos) ou 100A + 10B + C \u003d L (para número de três dígitos) e assim por diante.

         • Deixe ser (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Lembre-se de que 10A+B é um número cujo B representa unidades e A representa dezenas. Por exemplo, se A=1 e B=2, então 10A+B é igual ao número 12. (10A+B)²é a área de todo o quadrado, 100A²é a área do grande quadrado interno, B²é a área do pequeno quadrado interno, 10A×Bé a área de cada um dos dois retângulos. Somando as áreas das figuras descritas, você encontrará a área do quadrado original.