Definição

Uma figura geométrica que consiste em todos os pontos de um plano entre dois raios que emanam de um ponto é chamada canto plano.

Definição

Ângulo entre dois cruzando direto chamado de valor do menor ângulo plano na interseção dessas linhas. Se duas linhas são paralelas, então o ângulo entre elas é considerado zero.

O ângulo entre duas linhas de interseção (se medido em radianos) pode ter valores de zero a $\dfrac(\pi)(2)$.

Definição

Ângulo entre duas linhas que se cruzamé chamado o valor igual ao ângulo entre duas linhas retas que se cruzam paralelas às oblíquas. O ângulo entre as linhas $a$ e $b$ é denotado por $\angle (a, b)$.

A correção da definição introduzida segue do seguinte teorema.

Teorema do ângulo plano com lados paralelos

Os valores de dois ângulos planos convexos com lados correspondentemente paralelos e igualmente direcionados são iguais.

Prova

Se os ângulos são retos, então ambos são iguais a $\pi$. Se não forem desenvolvidos, plotamos segmentos iguais $ON=O_1ON_1$ e $OM=O_1M_1$ nos lados correspondentes dos ângulos $\angle AOB$ e $\angle A_1O_1B_1$.

O quadrilátero $O_1N_1NO$ é um paralelogramo porque seus lados opostos $ON$ e $O_1N_1$ são iguais e paralelos. Da mesma forma, o quadrilátero $O_1M_1MO$ ​​é um paralelogramo. Portanto, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ e $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, portanto, $NN_1=MM_1$ e $NN_1 \parallel MM_1$ por transitividade. O quadrilátero $N_1M_1MN$ é um paralelogramo porque seus lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, os segmentos $NM$ e $N_1M_1$ também são iguais. Os triângulos $ONM$ e $O_1N_1M_1$ são iguais de acordo com o terceiro critério de igualdade de triângulos, portanto, os ângulos correspondentes $\angle NOM$ e $\angle N_1O_1M_1$ também são iguais.

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. As linhas retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado

Perpendicular a esta linha

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como

.

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Decisão. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Decisão. Encontramos a equação do lado AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equação de uma linha que passa por um determinado ponto em uma determinada direção. Equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados. Ângulo entre duas linhas. Condição de paralelismo e perpendicularidade de duas linhas. Determinando o ponto de intersecção de duas linhas

1. Equação de uma linha que passa por um ponto dado UMA(x 1 , y 1) em uma determinada direção, determinada pela inclinação k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Esta equação define um lápis de linhas passando por um ponto UMA(x 1 , y 1), que é chamado de centro da viga.

2. Equação de uma linha reta que passa por dois pontos: UMA(x 1 , y 1) e B(x 2 , y 2) está escrito assim:

A inclinação de uma linha reta que passa por dois pontos dados é determinada pela fórmula

3. Ângulo entre linhas retas UMA e Bé o ângulo pelo qual a primeira linha reta deve ser girada UMA em torno do ponto de intersecção dessas linhas no sentido anti-horário até coincidir com a segunda linha B. Se duas linhas são dadas por equações de inclinação

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

então o ângulo entre eles é determinado pela fórmula

Deve-se notar que no numerador da fração, a inclinação da primeira reta é subtraída da inclinação da segunda reta.

Se as equações de uma reta são dadas na forma geral

UMA 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

UMA 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

o ângulo entre eles é determinado pela fórmula

4. Condições para paralelismo de duas linhas:

a) Se as retas são dadas pelas equações (4) com inclinação, então a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é a igualdade de suas inclinações:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para o caso em que as retas são dadas por equações na forma geral (6), a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é que os coeficientes nas correspondentes coordenadas de corrente em suas equações sejam proporcionais, ou seja.

5. Condições para perpendicularidade de duas linhas:

a) No caso em que as retas são dadas pelas equações (4) com inclinação, a condição necessária e suficiente para sua perpendicularidade é que suas inclinações sejam recíprocas em magnitude e opostas em sinal, ou seja,

Esta condição também pode ser escrita na forma

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Se as equações das retas são dadas na forma geral (6), então a condição para sua perpendicularidade (necessária e suficiente) é satisfazer a igualdade

UMA 1 UMA 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. As coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas são encontradas resolvendo o sistema de equações (6). As linhas (6) se cruzam se e somente se

1. Escreva as equações das retas que passam pelo ponto M, uma das quais é paralela e a outra é perpendicular à reta dada l.

Injeção φ equações gerais A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, é calculado pela fórmula:

Injeção φ entre duas retas equações canônicas(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 e (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, é calculado pela fórmula:

Distância do ponto à linha

Cada plano no espaço pode ser representado como uma equação linear chamada equação geral plano

Casos especiais.

o Se na equação (8), então o plano passa pela origem.

o Com (,) o plano é paralelo ao eixo (eixo, eixo), respectivamente.

o Quando (,) o plano é paralelo ao plano (plano, plano).

Solução: use (7)

Resposta: a equação geral do plano.

Exemplo.

O plano no sistema de coordenadas retangulares Oxyz é dado pela equação geral do plano . Anote as coordenadas de todos os vetores normais neste plano.

Sabemos que os coeficientes das variáveis ​​x, yez na equação geral do plano são as coordenadas correspondentes do vetor normal desse plano. Portanto, o vetor normal do plano dado tem coordenadas. O conjunto de todos os vetores normais pode ser dado como.

Escreva a equação de um plano se em um sistema de coordenadas retangulares Oxyz no espaço ele passa por um ponto , uma é o vetor normal desse plano.

Apresentamos duas soluções para este problema.

Da condição temos . Substituímos esses dados na equação geral do plano que passa pelo ponto:

Escreva a equação geral para um plano paralelo ao plano coordenado Oyz e passando pelo ponto .

Um plano que é paralelo ao plano coordenado Oyz pode ser dado por uma equação geral incompleta do plano da forma . Desde o ponto pertence ao plano por condição, então as coordenadas deste ponto devem satisfazer a equação do plano, ou seja, a igualdade deve ser verdadeira. A partir daqui encontramos. Assim, a equação desejada tem a forma.

Decisão. O produto vetorial, por definição 10.26, é ortogonal aos vetores peq. Portanto, é ortogonal ao plano desejado e o vetor pode ser tomado como seu vetor normal. Encontre as coordenadas do vetor n:

ou seja . Usando a fórmula (11.1), obtemos

Abrindo os colchetes nesta equação, chegamos à resposta final.

Responda: .

Vamos reescrever o vetor normal na forma e encontrar seu comprimento:

De acordo com o acima:

Responda:

Planos paralelos têm o mesmo vetor normal. 1) Da equação encontramos o vetor normal do plano:.

2) Compomos a equação do plano de acordo com o ponto e o vetor normal:

Responda:

Equação vetorial de um plano no espaço

Equação paramétrica de um plano no espaço

Equação de um plano que passa por um dado ponto perpendicular a um dado vetor

Seja um sistema de coordenadas cartesianas retangular dado no espaço tridimensional. Vamos formular o seguinte problema:

Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto dado M(x 0, y 0, z 0) perpendicular ao vetor dado n = ( UMA, B, C} .

Decisão. Deixe ser P(x, y, z) é um ponto arbitrário no espaço. Ponto P pertence ao plano se e somente se o vetor deputado = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonal ao vetor n = {UMA, B, C) (Figura 1).

Tendo escrito a condição de ortogonalidade para esses vetores (n, deputado) = 0 na forma de coordenadas, obtemos:

UMA(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Equação de um plano por três pontos

Em forma de vetor

Em coordenadas

Arranjo mútuo de aviões no espaço

são equações gerais de dois planos. Então:

1) se , então os planos coincidem;

2) se , então os planos são paralelos;

3) se ou , então os planos se cruzam e o sistema de equações

(6)

são as equações da linha de interseção dos planos dados.

Decisão: Compomos as equações canônicas da reta pela fórmula: Responda:

Pegamos as equações resultantes e mentalmente “pin off”, por exemplo, a peça da esquerda: . Agora igualamos esta peça para qualquer número(lembre-se que já havia um zero), por exemplo, para um: . Como , então as outras duas "peças" também devem ser iguais a um. Essencialmente, você precisa resolver o sistema:

Escreva equações paramétricas para as seguintes linhas:

Decisão: As retas são dadas por equações canônicas e na primeira etapa deve-se encontrar algum ponto pertencente à reta e seu vetor de direção.

a) Das equações remova o ponto e o vetor de direção: . Você pode escolher outro ponto (como fazer isso é descrito acima), mas é melhor pegar o mais óbvio. Aliás, para evitar erros, sempre substitua suas coordenadas nas equações.

Vamos compor as equações paramétricas desta reta:

A conveniência das equações paramétricas é que, com sua ajuda, é muito fácil encontrar outros pontos da linha. Por exemplo, vamos encontrar um ponto cujas coordenadas, digamos, correspondam ao valor do parâmetro:

Assim: b) Considere as equações canônicas . A escolha de um ponto aqui é simples, mas insidiosa: (cuidado para não confundir as coordenadas!!!). Como extrair um vetor guia? Você pode especular para que essa linha é paralela ou pode usar um truque formal simples: a proporção é “Y” e “Z”, então escrevemos o vetor de direção e colocamos zero no espaço restante: .

Compomos as equações paramétricas da linha reta:

c) Vamos reescrever as equações na forma , ou seja, "Z" pode ser qualquer coisa. E se houver, então deixe, por exemplo, . Assim, o ponto pertence a esta linha. Para encontrar o vetor de direção, usamos a seguinte técnica formal: nas equações iniciais existem "x" e "y", e no vetor de direção nesses lugares escrevemos zeros: . No lugar restante colocamos unidade: . Em vez de um, qualquer número, exceto zero, serve.

Escrevemos as equações paramétricas da linha reta:

Sejam duas linhas l e m em um plano em um sistema de coordenadas cartesianas dadas pelas equações gerais: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Os vetores de normais para essas linhas: = (A 1 , B 1) - para a linha l,

= (A 2 , B 2) para a linha m.

Seja j o ângulo entre as linhas l e m.

Como os ângulos com lados mutuamente perpendiculares são iguais ou somam p, então , ou seja, cos j = .

Assim, provamos o seguinte teorema.

Teorema. Seja j o ângulo entre duas linhas retas no plano, e sejam essas linhas retas dadas no sistema de coordenadas cartesianas pelas equações gerais A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Então cos j = .

Exercícios.

1) Deduza uma fórmula para calcular o ângulo entre as linhas se:

(1) ambas as linhas são dadas parametricamente; (2) ambas as retas são dadas por equações canônicas; (3) uma reta é dada parametricamente, a outra reta – pela equação geral; (4) ambas as linhas são dadas pela equação da inclinação.

2) Seja j o ângulo entre duas retas no plano, e sejam essas retas dadas ao sistema de coordenadas cartesianas pelas equações y = k 1 x + b 1 e y =k 2 x + b 2 .

Então tanj = .

3) Explore a posição relativa de duas linhas dadas por equações gerais no sistema de coordenadas cartesianas e preencha a tabela:

A distância de um ponto a uma linha em um plano.

Seja a reta l no plano no sistema de coordenadas cartesianas dada pela equação geral Ax + By + C = 0. Encontre a distância do ponto M(x 0 , y 0) até a reta l.

A distância do ponto M à linha l é o comprimento da perpendicular HM (H н l, HM ^ l).

O vetor e o vetor normal à reta l são colineares, de modo que | | = | | | | e | | = .

Sejam as coordenadas do ponto H (x,y).

Como o ponto H pertence à linha l, então Ax + By + C = 0 (*).

As coordenadas dos vetores e: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , veja (*))

Teorema. Seja a linha l dada no sistema de coordenadas cartesianas pela equação geral Ax + By + C = 0. Então a distância do ponto M(x 0 , y 0) até esta linha é calculada pela fórmula: r (M; e) = .

Exercícios.

1) Deduza uma fórmula para calcular a distância de um ponto a uma linha se: (1) a linha for dada parametricamente; (2) a reta é dada pelas equações canônicas; (3) a linha reta é dada pela equação da inclinação.

2) Escreva a equação de um círculo tangente à reta 3x - y = 0 centrada em Q(-2,4).

3) Escreva as equações das linhas que dividem os ângulos formados pela interseção das linhas 2x + y - 1 = 0 e x + y + 1 = 0 ao meio.

§ 27. Definição analítica de um plano no espaço

Definição. O vetor normal ao plano chamaremos um vetor diferente de zero, qualquer representante do qual seja perpendicular ao plano dado.

Comente.É claro que se pelo menos um representante do vetor for perpendicular ao plano, todos os outros representantes do vetor serão perpendiculares a esse plano.

Seja um sistema de coordenadas cartesianas dado no espaço.

Seja o plano a, = (A, B, C) – o vetor normal a este plano, o ponto M (x 0 , y 0 , z 0) pertence ao plano a.

Para qualquer ponto N(x, y, z) do plano a, os vetores e são ortogonais, ou seja, seu produto escalar é igual a zero: = 0. Vamos escrever a última igualdade em coordenadas: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

Seja -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, então Ax + By + Cz + D = 0.

Pegue um ponto K (x, y) tal que Ax + By + Cz + D \u003d 0. Como D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, então A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Como as coordenadas do segmento direcionado = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), a última igualdade significa que ^ , e, portanto, K н a.

Assim, provamos o seguinte teorema:

Teorema. Qualquer plano no espaço no sistema de coordenadas cartesianas pode ser definido por uma equação da forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), onde (A, B, C) são os coordenadas do vetor normal a este plano.

O contrário também é verdade.

Teorema. Qualquer equação da forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) no sistema de coordenadas cartesianas define um determinado plano, enquanto (A, B, C) são as coordenadas da normal vetor para este plano.

Prova.

Tome um ponto M (x 0 , y 0 , z 0) tal que Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 e vetor = (A, B, C) ( ≠ q).

Um plano (e apenas um) passa pelo ponto M perpendicular ao vetor. De acordo com o teorema anterior, esse plano é dado pela equação Ax + By + Cz + D = 0.

Definição. Uma equação da forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) é chamada a equação geral do plano.

Exemplo.

Vamos escrever a equação do plano que passa pelos pontos M (0.2.4), N (1,-1.0) e K (-1.0.5).

1. Encontre as coordenadas do vetor normal ao plano (MNK). Como o produto vetorial ´ é ortogonal a vetores não colineares e , o vetor é colinear a ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Então, como um vetor normal, tome o vetor = (-11, 3, -5).

2. Vamos agora usar os resultados do primeiro teorema:

a equação deste plano A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, onde (A, B, C) são as coordenadas do vetor normal, (x 0 , y 0 , z 0) – coordenadas de um ponto situado no plano (por exemplo, ponto M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Resposta: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Exercícios.

1) Escreva a equação do plano se

(1) o plano passa pelo ponto M (-2,3,0) paralelo ao plano 3x + y + z = 0;

(2) o plano contém o eixo (Ox) e é perpendicular ao plano x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Escreva a equação de um plano que passa por três pontos dados.

§ 28. Especificação analítica de um meio-espaço*

Comente*. Deixe algum plano ser consertado. Debaixo meio Espaço entenderemos o conjunto de pontos situados em um lado de um plano dado, ou seja, dois pontos estão no mesmo semi-espaço se o segmento que os conecta não interceptar o plano dado. Este avião é chamado limite deste semi-espaço. A união de um dado plano e meio espaço será chamada semi-espaço fechado.

Seja um sistema de coordenadas cartesianas fixo no espaço.

Teorema. Seja o plano a dado pela equação geral Ax + By + Cz + D = 0. Então um dos dois semi-espaços em que o plano a divide o espaço é dado pela desigualdade Ax + By + Cz + D > 0 , e o segundo semi-espaço é dado pela desigualdade Ax + By + Cz + D< 0.

Prova.

Vamos traçar o vetor normal = (A, B, С) ao plano a a partir do ponto M (x 0 , y 0 , z 0) situado neste plano: = , M н a, MN ^ a. O plano divide o espaço em dois semi-espaços: b 1 e b 2 . É claro que o ponto N pertence a um desses semi-espaços. Sem perda de generalidade, assumimos que N н b 1 .

Vamos provar que o semi-espaço b 1 é definido pela desigualdade Ax + By + Cz + D > 0.

1) Pegue um ponto K(x,y,z) no semi-espaço b 1 . O ângulo Ð NMK é o ângulo entre os vetores e é agudo, portanto o produto escalar desses vetores é positivo: > 0. Vamos escrever esta desigualdade em coordenadas: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ou seja, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Como M í b 1 , então Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, portanto -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Portanto, a última desigualdade pode ser escrita da seguinte forma: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Tome um ponto L(x,y) tal que Ax + By + Cz + D > 0.

Vamos reescrever a desigualdade, substituindo D por (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (já que M н b 1, então Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0): ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

O vetor com coordenadas (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) é um vetor , então a expressão A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) pode ser entendido, como o produto escalar dos vetores e . Como o produto escalar dos vetores e é positivo, o ângulo entre eles é agudo e o ponto L í b 1 .

Da mesma forma, pode-se provar que o semi-espaço b 2 é dado pela desigualdade Ax + By + Cz + D< 0.

Observações.

1) É claro que a prova acima não depende da escolha do ponto M no plano a.

2) É claro que o mesmo semi-espaço pode ser definido por diferentes desigualdades.

O contrário também é verdade.

Teorema. Qualquer desigualdade linear da forma Ax + By + Cz + D > 0 (ou Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Prova.

A equação Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) no espaço define algum plano a (ver § ...). Como foi provado no teorema anterior, um dos dois semi-espaços em que o plano divide o espaço é dado pela desigualdade Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Observações.

1) É claro que um semi-espaço fechado pode ser definido por uma desigualdade linear não estrita, e qualquer desigualdade linear não estrita no sistema de coordenadas cartesianas define um semi-espaço fechado.

2) Qualquer poliedro convexo pode ser definido como a interseção de semi-espaços fechados (cujos contornos são planos contendo as faces do poliedro), ou seja, analiticamente, por um sistema de desigualdades lineares não estritas.

Exercícios.

1) Prove os dois teoremas apresentados para um sistema de coordenadas afim arbitrário.

2) A recíproca é verdadeira, que qualquer sistema de desigualdades lineares não estritas define um polígono convexo?

Um exercício.

1) Explore a posição relativa de dois planos dada por equações gerais no sistema de coordenadas cartesianas e preencha a tabela.

Este material é dedicado a um conceito como o ângulo entre duas linhas retas que se cruzam. No primeiro parágrafo, explicaremos o que é e mostraremos em ilustrações. Em seguida, analisaremos como você pode encontrar o seno, o cosseno desse ângulo e o próprio ângulo (consideraremos separadamente casos com um plano e espaço tridimensional), forneceremos as fórmulas necessárias e mostraremos com exemplos como exatamente elas são aplicadas na prática.

Para entender o que é um ângulo formado na interseção de duas linhas, precisamos lembrar a própria definição de ângulo, perpendicularidade e ponto de interseção.

Definição 1

Chamamos duas linhas de interseção se elas têm um ponto comum. Este ponto é chamado de ponto de intersecção das duas linhas.

Cada linha é dividida pelo ponto de interseção em raios. Neste caso, ambas as linhas formam 4 ângulos, dos quais dois são verticais e dois são adjacentes. Se soubermos a medida de um deles, podemos determinar os outros restantes.

Digamos que sabemos que um dos ângulos é igual a α. Nesse caso, o ângulo que é vertical a ele também será igual a α. Para encontrar os ângulos restantes, precisamos calcular a diferença 180 ° - α . Se α for igual a 90 graus, então todos os ângulos serão retos. As linhas que se cruzam em ângulos retos são chamadas de perpendiculares (um artigo separado é dedicado ao conceito de perpendicularidade).

Dê uma olhada na foto:

Passemos à formulação da definição principal.

Definição 2

O ângulo formado por duas linhas que se cruzam é ​​a medida do menor dos 4 ângulos que formam essas duas linhas.

Uma importante conclusão deve ser tirada da definição: o tamanho do ângulo neste caso será expresso por qualquer número real no intervalo (0, 90] . Se as linhas são perpendiculares, então o ângulo entre elas será em qualquer caso igual a 90 graus.

A capacidade de encontrar a medida do ângulo entre duas linhas de interseção é útil para resolver muitos problemas práticos. O método de solução pode ser selecionado entre várias opções.

Para começar, podemos usar métodos geométricos. Se soubermos algo sobre ângulos adicionais, podemos conectá-los ao ângulo que precisamos usando as propriedades de formas iguais ou semelhantes. Por exemplo, se conhecemos os lados de um triângulo e precisamos calcular o ângulo entre as linhas nas quais esses lados estão localizados, o teorema do cosseno é adequado para resolver. Se tivermos um triângulo retângulo na condição, para os cálculos também precisaremos conhecer o seno, o cosseno e a tangente do ângulo.

O método de coordenadas também é muito conveniente para resolver problemas desse tipo. Vamos explicar como usá-lo corretamente.

Temos um sistema de coordenadas retangular (cartesiano) O x y com duas linhas retas. Vamos denotá-los pelas letras a e b. Neste caso, as linhas retas podem ser descritas usando quaisquer equações. As linhas originais têm um ponto de interseção M . Como determinar o ângulo desejado (vamos denotar α) entre essas linhas?

Vamos começar com a formulação do princípio básico de encontrar um ângulo sob determinadas condições.

Sabemos que conceitos como direção e vetor normal estão intimamente relacionados ao conceito de linha reta. Se tivermos a equação de alguma reta, podemos tirar dela as coordenadas desses vetores. Podemos fazer isso para duas linhas que se cruzam ao mesmo tempo.

O ângulo formado por duas linhas de interseção pode ser encontrado usando:

• ângulo entre vetores de direção;
• ângulo entre vetores normais;
• o ângulo entre o vetor normal de uma linha e o vetor de direção da outra.

Agora vamos ver cada método separadamente.

1. Suponha que temos uma reta a com vetor de direção a → = (a x , a y) e uma reta b com vetor de direção b → (b x , b y) . Agora vamos separar dois vetores a → e b → do ponto de interseção. Depois disso, veremos que cada um deles estará localizado em sua própria linha. Então temos quatro opções para sua posição relativa. Veja ilustração:

Se o ângulo entre dois vetores não for obtuso, então será o ângulo que precisamos entre as linhas de interseção a e b. Se for obtuso, então o ângulo desejado será igual ao ângulo adjacente ao ângulo a → , b → ^ . Assim, α = a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° e α = 180 ° - a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .

Com base no fato de que os cossenos de ângulos iguais são iguais, podemos reescrever as igualdades resultantes da seguinte forma: cos α = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = -cos a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .

No segundo caso, foram utilizadas fórmulas de redução. Por isso,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Vamos escrever a última fórmula em palavras:

Definição 3

O cosseno do ângulo formado por duas linhas que se cruzam será igual ao módulo do cosseno do ângulo entre seus vetores de direção.

A forma geral da fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores a → = (a x, a y) e b → = (b x, b y) é assim:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dele podemos derivar a fórmula para o cosseno do ângulo entre duas linhas dadas:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Então o próprio ângulo pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aqui a → = (a x , a y) eb → = (b x , b y) são os vetores de direção das linhas dadas.

Vamos dar um exemplo de resolução do problema.

Exemplo 1

Em um sistema de coordenadas retangular, duas linhas de interseção a e b são dadas no plano. Eles podem ser descritos por equações paramétricas x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ex 5 = y - 6 - 3 . Calcule o ângulo entre essas linhas.

Decisão

Temos uma equação paramétrica na condição, o que significa que para esta linha reta podemos escrever imediatamente as coordenadas de seu vetor de direção. Para fazer isso, precisamos pegar os valores dos coeficientes no parâmetro, ou seja, a reta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R terá um vetor direcional a → = (4 , 1) .

A segunda linha reta é descrita usando a equação canônica x 5 = y - 6 - 3 . Aqui podemos tirar as coordenadas dos denominadores. Assim, esta reta tem um vetor direcional b → = (5 , - 3) .

Em seguida, prosseguimos diretamente para encontrar o ângulo. Para fazer isso, basta substituir as coordenadas disponíveis dos dois vetores na fórmula acima α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obtemos o seguinte:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Responda: Estas linhas formam um ângulo de 45 graus.

Podemos resolver um problema semelhante encontrando o ângulo entre os vetores normais. Se tivermos uma linha a com um vetor normal n a → = (n a x , n a y) e uma linha b com um vetor normal n b → = (n b x , n b y) , então o ângulo entre elas será igual ao ângulo entre n a → e n b → ou o ângulo que será adjacente a n a → , n b → ^ . Este método é mostrado na imagem:

As fórmulas para calcular o cosseno do ângulo entre as linhas de interseção e esse próprio ângulo usando as coordenadas dos vetores normais são assim:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aqui n a → e n b → denotam os vetores normais de duas linhas dadas.

Exemplo 2

Duas linhas retas são dadas em um sistema de coordenadas retangular usando as equações 3 x + 5 y - 30 = 0 e x + 4 y - 17 = 0 . Encontre o seno, o cosseno do ângulo entre eles e a magnitude do próprio ângulo.

Decisão

As linhas retas originais são dadas usando equações de linha reta normal da forma A x + B y + C = 0 . Denote o vetor normal n → = (A , B) . Vamos encontrar as coordenadas do primeiro vetor normal para uma linha reta e escrevê-las: n a → = (3 , 5) . Para a segunda linha x + 4 y - 17 = 0 o vetor normal terá coordenadas n b → = (1 , 4) . Agora some os valores obtidos na fórmula e calcule o total:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Se conhecemos o cosseno de um ângulo, podemos calcular seu seno usando a identidade trigonométrica básica. Como o ângulo α formado por linhas retas não é obtuso, então sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Neste caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Resposta: cos α = 23 2 34 , sen α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sen 7 2 34

Vamos analisar o último caso - encontrar o ângulo entre as linhas, se soubermos as coordenadas do vetor de direção de uma linha e o vetor normal da outra.

Suponha que a linha a tenha um vetor direcional a → = (a x , a y) , e a linha b tenha um vetor normal n b → = (n b x , n b y) . Precisamos adiar esses vetores do ponto de interseção e considerar todas as opções para sua posição relativa. Ver foto:

Se o ângulo entre os vetores dados não for maior que 90 graus, verifica-se que complementará o ângulo entre a e b em um ângulo reto.

a → , n b → ^ = 90 ° - α se a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Se for inferior a 90 graus, obteremos o seguinte:

a → , n b → ^ > 90 ° , então a → , n b → ^ = 90 ° + α

Usando a regra da igualdade de cossenos de ângulos iguais, escrevemos:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sen α para a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = -sen α em a → , n b → ^ > 90 ° .

Por isso,

sen α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Vamos formular uma conclusão.

Definição 4

Para encontrar o seno do ângulo entre duas linhas que se cruzam em um plano, você precisa calcular o módulo do cosseno do ângulo entre o vetor de direção da primeira linha e o vetor normal da segunda.

Vamos anotar as fórmulas necessárias. Encontrando o seno de um ângulo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Encontrando o canto em si:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aqui a → é o vetor de direção da primeira linha, e n b → é o vetor normal da segunda.

Exemplo 3

Duas linhas de interseção são dadas pelas equações x - 5 = y - 6 3 ex + 4 y - 17 = 0 . Encontre o ângulo de interseção.

Decisão

Tomamos as coordenadas do vetor diretivo e normal das equações dadas. Acontece que a → = (- 5 , 3) ​​e n → b = (1 , 4) . Tomamos a fórmula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 e consideramos:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Observe que pegamos as equações do problema anterior e obtivemos exatamente o mesmo resultado, mas de uma maneira diferente.

Responda:α = a r c sen 7 2 34

Aqui está outra maneira de encontrar o ângulo desejado usando os coeficientes de inclinação das linhas fornecidas.

Temos uma linha a , que é definida em um sistema de coordenadas retangular usando a equação y = k 1 · x + b 1 , e uma linha b , definida como y = k 2 · x + b 2 . Estas são equações de linhas com uma inclinação. Para encontrar o ângulo de interseção, use a fórmula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , onde k 1 e k 2 são as inclinações das linhas dadas. Para obter esse registro, foram utilizadas fórmulas para determinar o ângulo através das coordenadas dos vetores normais.

Exemplo 4

Há duas retas que se interceptam no plano, dadas pelas equações y = - 3 5 x + 6 ey = - 1 4 x + 17 4 . Calcule o ângulo de interseção.

Decisão

As inclinações de nossas linhas são iguais a k 1 = - 3 5 e k 2 = - 1 4 . Vamos adicioná-los à fórmula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 e calcular:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Responda:α = a r c cos 23 2 34

Nas conclusões deste parágrafo, deve-se notar que as fórmulas para encontrar o ângulo dadas aqui não precisam ser aprendidas de cor. Para isso, basta conhecer as coordenadas das guias e/ou vetores normais das retas dadas e poder determiná-las usando diferentes tipos de equações. Mas as fórmulas para calcular o cosseno de um ângulo são melhores para lembrar ou anotar.

Como calcular o ângulo entre linhas que se cruzam no espaço

O cálculo de tal ângulo pode ser reduzido ao cálculo das coordenadas dos vetores de direção e à determinação da magnitude do ângulo formado por esses vetores. Para tais exemplos, são usados ​​os mesmos argumentos que demos antes.

Digamos que temos um sistema de coordenadas retangulares localizado no espaço 3D. Ele contém duas linhas a e b com o ponto de interseção M . Para calcular as coordenadas dos vetores de direção, precisamos conhecer as equações dessas linhas. Denote os vetores de direção a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Para calcular o cosseno do ângulo entre eles, usamos a fórmula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Para encontrar o ângulo em si, precisamos desta fórmula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplo 5

Temos uma linha definida no espaço 3D usando a equação x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Sabe-se que ele intercepta o eixo O z. Calcule o ângulo de interseção e o cosseno desse ângulo.

Decisão

Vamos denotar o ângulo a ser calculado pela letra α. Vamos escrever as coordenadas do vetor de direção para a primeira linha reta - a → = (1 , - 3 , - 2) . Para o eixo aplicável, podemos tomar o vetor de coordenadas k → = (0 , 0 , 1) como guia. Recebemos os dados necessários e podemos adicioná-los à fórmula desejada:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Como resultado, temos que o ângulo que precisamos será igual a a r c cos 1 2 = 45°.

Responda: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

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