Neste artigo, analisaremos de forma abrangente uma das principais formas geométricas - o ângulo. Vamos começar com conceitos e definições auxiliares que nos levarão à definição de ângulo. Depois disso, fornecemos os métodos aceitos para designar ângulos. A seguir, trataremos em detalhes do processo de medição de ângulos. Em conclusão, mostraremos como você pode marcar os cantos no desenho. Fornecemos toda a teoria com os desenhos e ilustrações gráficas necessárias para melhor memorização do material.

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Definição de ângulo.

O ângulo é uma das figuras mais importantes da geometria. A definição de um ângulo é dada através da definição de um raio. Por sua vez, a ideia de um raio não pode ser obtida sem o conhecimento de figuras geométricas como um ponto, uma linha reta e um plano. Portanto, antes de se familiarizar com a definição do ângulo, recomendamos atualizar a teoria das seções e.

Assim, partiremos dos conceitos de um ponto, uma linha reta em um plano e um plano.

Vamos primeiro dar a definição de um raio.

Seja-nos dada alguma linha reta no plano. Vamos denotar com a letra a. Seja O algum ponto da reta a. O ponto O divide a reta a em duas partes. Cada uma dessas partes junto com o ponto O é chamada feixe, e o ponto O é chamado o início do raio. Você também pode ouvir que o feixe é chamado semidireto.

Por brevidade e conveniência, a seguinte notação para raios foi introduzida: um raio é denotado por uma pequena letra latina (por exemplo, raio p ou raio k), ou por duas grandes letras latinas, a primeira das quais corresponde ao início de o raio, e o segundo denota algum ponto deste raio (por exemplo, raio OA ou raio CD). Vamos mostrar a imagem e a designação dos raios no desenho.

Agora podemos dar a primeira definição de um ângulo.

Definição.

Injeção- trata-se de uma figura geométrica plana (isto é, que se encontra inteiramente em um determinado plano), que é composta por dois raios desencontrados de origem comum. Cada um dos raios é chamado canto lateral, o início comum dos lados do ângulo é chamado canto superior.

É possível que os lados de um ângulo formem uma linha reta. Este ângulo tem seu próprio nome.

Definição.

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha, então o ângulo é chamado implantado.

Chamamos a sua atenção uma ilustração gráfica de um ângulo desenvolvido.

Um símbolo de ângulo é usado para denotar um ângulo. Se os lados do ângulo forem indicados em pequenas letras latinas (por exemplo, um lado do ângulo é k e o outro é h), para designar esse ângulo, após o ícone do ângulo, as letras correspondentes aos lados são escritas em uma linha, e a ordem de gravação não importa (ou seja, ou). Se os lados do ângulo são indicados por duas letras latinas grandes (por exemplo, um lado do ângulo OA e o segundo lado do ângulo OB), o ângulo é indicado da seguinte forma: após o sinal do ângulo, três letras são escritos que participam da designação dos lados do ângulo, e a letra correspondente ao vértice do ângulo, localizado no meio (no nosso caso, o ângulo será indicado como ou ). Se o vértice de um ângulo não for o vértice de algum outro ângulo, então tal ângulo pode ser denotado pela letra correspondente ao vértice do ângulo (por exemplo, ). Às vezes você pode ver que os cantos nos desenhos estão marcados com números (1, 2, etc.), esses cantos são indicados como e assim por diante. Para maior clareza, apresentamos uma figura na qual os cantos são mostrados e indicados.

Qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Além disso, se o ângulo não é desenvolvido, então uma parte do plano é chamada área do canto interno, e o outro área de canto externa. A imagem a seguir explica qual parte do plano corresponde à parte interna do canto e qual parte à parte externa.

Qualquer uma das duas partes em que um ângulo achatado divide um plano pode ser considerada uma região interior do ângulo achatado.

A definição do interior de um ângulo nos leva à segunda definição de ângulo.

Definição.

Injeção- esta é uma figura geométrica, que é composta por dois raios descasados ​​com origem comum e a região interna correspondente do ângulo.

Deve-se notar que a segunda definição do ângulo é mais estrita que a primeira, pois contém mais condições. No entanto, não se deve descartar a primeira definição do ângulo, nem considerar a primeira e a segunda definições do ângulo separadamente. Vamos explicar este ponto. Quando se trata de um ângulo como figura geométrica, então um ângulo é entendido como uma figura composta por dois raios com origem comum. Se for necessário realizar alguma ação com esse ângulo (por exemplo, medir um ângulo), então um ângulo já deve ser entendido como dois raios com uma origem comum e uma região interna (caso contrário, surgiria uma situação dupla devido a a presença de uma região interna e externa do ângulo ).

Vamos dar mais definições de ângulos adjacentes e verticais.

Definição.

Cantos adjacentes- são dois ângulos em que um lado é comum e os outros dois formam um ângulo reto.

Segue da definição que ângulos adjacentes se complementam até um ângulo reto.

Definição.

Ângulos verticais são dois ângulos em que os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro.

A figura mostra ângulos verticais.

Obviamente, duas linhas que se cruzam formam quatro pares de ângulos adjacentes e dois pares de ângulos verticais.

Comparação de ângulos.

Neste parágrafo do artigo, trataremos das definições de ângulos iguais e desiguais, e também no caso de ângulos desiguais, explicaremos qual ângulo é considerado grande e qual é menor.

Lembre-se de que duas figuras geométricas são chamadas iguais se podem ser sobrepostas.

Sejam-nos dados dois ângulos. Vamos dar um raciocínio que nos ajude a responder à pergunta: “Esses dois ângulos são iguais ou não”?

Obviamente, sempre podemos combinar os vértices de dois vértices, assim como um lado do primeiro vértice com qualquer um dos lados do segundo vértice. Vamos combinar o lado do primeiro canto com o lado do segundo canto para que os lados restantes dos cantos fiquem do mesmo lado da linha reta em que os lados combinados dos cantos estão. Então, se os outros dois lados dos cantos estiverem alinhados, os cantos serão chamados igual.

Se os outros dois lados dos ângulos não coincidem, então os ângulos são chamados desigual, e menor o ângulo é considerado parte de outro ( grandeé o ângulo que contém completamente outro ângulo).

Obviamente, os dois ângulos retos são iguais. Também é óbvio que um ângulo desenvolvido é maior do que qualquer ângulo não desenvolvido.

Medição de ângulo.

A medição do ângulo baseia-se na comparação do ângulo medido com o ângulo tomado como unidade de medida. O processo de medição de ângulos é assim: a partir de um dos lados do ângulo medido, sua área interna é preenchida sequencialmente com ângulos únicos, empilhando-os firmemente um ao outro. Ao mesmo tempo, o número de cantos empilhados é lembrado, o que fornece a medida do ângulo medido.

De fato, qualquer ângulo pode ser tomado como unidade de medida para ângulos. No entanto, existem muitas unidades geralmente aceitas para medir ângulos relacionados a vários campos da ciência e tecnologia, eles receberam nomes especiais.

Uma das unidades para medir ângulos é grau.

Definição.

um graué um ângulo igual a cento e oitenta de um ângulo reto.

Um grau é denotado pelo símbolo "", portanto, um grau é denotado como.

Assim, em um ângulo desenvolvido, podemos encaixar 180 ângulos em um grau. Parecerá metade de uma torta redonda cortada em 180 pedaços iguais. Muito importante: os "pedaços da torta" se encaixam bem (ou seja, os lados dos cantos estão alinhados), com o lado do primeiro canto alinhado com um lado do canto achatado e o lado do canto da última unidade coincidiu com o outro lado do canto achatado.

Ao medir ângulos, descobre-se quantas vezes um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) cabe no ângulo medido até que a área interna do ângulo medido seja completamente coberta. Como já vimos, em um ângulo desenvolvido, o grau cabe exatamente 180 vezes. Abaixo estão exemplos de ângulos em que um ângulo de um grau se encaixa exatamente 30 vezes (tal ângulo é um sexto de um ângulo reto) e exatamente 90 vezes (meio ângulo reto).

Para medir ângulos inferiores a um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) e nos casos em que o ângulo não pode ser medido por um número inteiro de graus (unidades de medida tomadas), você deve usar partes de um grau (partes de unidades de medida). Certas partes do grau receberam nomes especiais. Os mais comuns são os chamados minutos e segundos.

Definição.

Minutoé um sexagésimo de grau.

Definição.

Segundoé um sexagésimo de minuto.

Em outras palavras, há sessenta segundos em um minuto e sessenta minutos (3600 segundos) em um grau. O símbolo "" é usado para denotar minutos, e o símbolo "" é usado para denotar segundos (não confunda com os sinais da derivada e da segunda derivada). Então, com as definições e notações introduzidas, temos , e o ângulo no qual 17 graus 3 minutos e 59 segundos se encaixam pode ser denotado como .

Definição.

Medida em grau de um ângulo um número positivo é chamado, o que mostra quantas vezes um grau e suas partes se encaixam em um determinado ângulo.

Por exemplo, a medida em graus de um ângulo reto é cento e oitenta, e a medida em graus de um ângulo é .

Para medir ângulos, existem instrumentos de medição especiais, sendo o mais famoso o transferidor.

Se a designação do ângulo (por exemplo,) e sua medida de grau (seja 110) forem conhecidas, use uma notação curta da forma e diga: "O ângulo AOB é cento e dez graus."

Das definições do ângulo e da medida em grau do ângulo, segue-se que na geometria a medida do ângulo em graus é expressa por um número real do intervalo (0, 180] (em trigonometria, ângulos com um grau arbitrário medem são considerados, eles são chamados). Um ângulo de noventa graus tem um nome especial, é chamado ângulo certo. Um ângulo menor que 90 graus é chamado ângulo agudo. Um ângulo maior que noventa graus é chamado ângulo obtuso. Assim, a medida de um ângulo agudo em graus é expressa por um número do intervalo (0, 90), a medida de um ângulo obtuso - por um número do intervalo (90, 180), um ângulo reto é igual a noventa graus. Aqui estão ilustrações de um ângulo agudo, um ângulo obtuso e um ângulo reto.

Do princípio de medir ângulos, segue-se que as medidas em graus de ângulos iguais são as mesmas, a medida em graus de um ângulo maior é maior que a medida em graus de um menor, e a medida em graus de um ângulo que consiste em vários ângulos é igual à soma das medidas em graus dos ângulos componentes. A figura abaixo mostra o ângulo AOB, que é formado pelos ângulos AOC, COD e DOB, enquanto .

Por isso, a soma dos ângulos adjacentes é cento e oitenta graus, pois formam um ângulo reto.

Segue-se desta afirmação que . De fato, se os ângulos AOB e COD são verticais, então os ângulos AOB e BOC são adjacentes e os ângulos COD e BOC também são adjacentes, portanto, as igualdades e são válidas, das quais decorre a igualdade.

Junto com o grau, uma unidade conveniente para medir ângulos é chamada radiano. A medida radiano é amplamente utilizada em trigonometria. Vamos definir um radiano.

Definição.

Um ângulo radiano- Esse canto central, que corresponde ao comprimento do arco, igual ao comprimento do raio do círculo correspondente.

Vamos dar uma ilustração gráfica de um ângulo de um radiano. No desenho, o comprimento do raio OA (assim como o raio OB ) é igual ao comprimento do arco AB , portanto, por definição, o ângulo AOB é igual a um radiano.

A abreviatura "rad" é ​​usada para denotar radianos. Por exemplo, escrever 5 rad significa 5 radianos. No entanto, por escrito, a designação "rad" é ​​frequentemente omitida. Por exemplo, quando se escreve que o ângulo é igual a pi, significa pi rad.

Deve-se notar separadamente que o valor do ângulo, expresso em radianos, não depende do comprimento do raio do círculo. Isso se deve ao fato de que as figuras limitadas por um determinado ângulo e um arco de círculo centrado no vértice de um determinado ângulo são semelhantes entre si.

Medir ângulos em radianos pode ser feito da mesma forma que medir ângulos em graus: descubra quantas vezes um ângulo de um radiano (e suas partes) cabe em um determinado ângulo. E você pode calcular o comprimento do arco do ângulo central correspondente e depois dividi-lo pelo comprimento do raio.

Para as necessidades da prática, é útil saber como as medidas de graus e radianos se relacionam umas com as outras, uma vez que uma grande parte deve ser realizada. Neste artigo, é estabelecida uma relação entre o grau e a medida em radianos de um ângulo, e são dados exemplos de conversão de graus para radianos e vice-versa.

Designação de cantos no desenho.

Nos desenhos, por conveniência e clareza, os cantos podem ser marcados com arcos, que geralmente são desenhados na região interna do canto de um lado do canto ao outro. Ângulos iguais são marcados com o mesmo número de arcos, ângulos desiguais com um número diferente de arcos. Os ângulos retos no desenho são indicados por um símbolo da forma "", que é representado na região interna do ângulo reto de um lado do canto ao outro.

Se você precisar marcar muitos ângulos diferentes no desenho (geralmente mais de três), ao designar ângulos, além dos arcos comuns, é permitido usar arcos de algum tipo especial. Por exemplo, você pode representar arcos irregulares ou algo semelhante.

Deve-se notar que você não deve se empolgar com a designação de ângulos nos desenhos e não desordenar os desenhos. Recomendamos marcar apenas os ângulos que são necessários no processo de resolução ou prova.

Bibliografia.

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• Pogorelov A.V., Geometria. Livro didático para as séries 7-11 de instituições de ensino.

Um ângulo é uma figura geométrica, que consiste em dois raios diferentes que emanam de um ponto. Nesse caso, esses raios são chamados de lados do ângulo. O ponto que é o início dos raios é chamado de vértice do ângulo. Na imagem você pode ver o canto com o vértice no ponto O, e as partes k e m.

Nas laterais do canto estão marcados os pontos A e C. Este canto pode ser designado como o ângulo AOC. No meio deve estar o nome do ponto no qual o vértice do canto está localizado. Existem também outras designações, o ângulo O ou o ângulo km. Na geometria, em vez da palavra ângulo, geralmente é escrito um ícone especial.

Ângulo revolvido e não revolvido

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha reta, então esse ângulo é chamado implantadoângulo. Ou seja, um lado do canto é uma continuação do outro lado do canto. A figura abaixo mostra o ângulo O.

Deve-se notar que qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Se o canto não for expandido, uma das partes é chamada de região interna do canto e a outra é a região externa desse canto. A figura abaixo mostra um canto não achatado e marcou as áreas externa e interna desse canto.

No caso de um ângulo desenvolvido, qualquer uma das duas partes em que divide o plano pode ser considerada a região externa do ângulo. Podemos falar sobre a posição de um ponto em relação a um ângulo. O ponto pode estar fora do canto (na região externa), pode estar em um de seus lados ou pode estar dentro do canto (na região interna).

Na figura abaixo, o ponto A está fora do canto O, o ponto B está em um lado do canto e o ponto C está dentro do canto.

Medição de ângulo

Para medir ângulos, existe um dispositivo chamado transferidor. A unidade de ângulo é grau. Deve-se notar que cada ângulo tem uma medida de certo grau, que é maior que zero.

Dependendo da medida de grau, os ângulos são divididos em vários grupos.

Os alunos são apresentados ao conceito de ângulo na escola primária. Mas como uma figura geométrica com certas propriedades, eles começam a estudá-la a partir da 7ª série em geometria. Parece, forma bem simples o que pode ser dito sobre ela. Mas, adquirindo novos conhecimentos, os alunos entendem cada vez mais que você pode aprender fatos bastante interessantes sobre ela.

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Quando são estudados

O curso de geometria escolar é dividido em duas seções: planimetria e geometria sólida. Cada um deles tem muita atenção. dado aos cantos:

• Na planimetria, seu conceito básico é dado, ocorre o conhecimento de seus tipos em tamanho. As propriedades de cada tipo de triângulo são estudadas com mais detalhes. Aparecem novas definições para os alunos - são formas geométricas formadas na interseção de duas linhas entre si e na interseção de várias linhas de uma secante.
• Na estereometria, são estudados ângulos espaciais - diedro e triédrico.

Atenção! Este artigo discute todos os tipos e propriedades de ângulos na planimetria.

Definição e medição

Começando a estudar, primeiro determine, o que é um ângulo em planimetria.

Se pegarmos um certo ponto no plano e desenharmos dois raios arbitrários, obtemos uma figura geométrica - um ângulo, composto pelos seguintes elementos:

• o vértice - o ponto de onde os raios foram desenhados é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto latino;
• os lados são meia linha desenhada a partir do topo.

Todos os elementos que formam a figura que estamos considerando dividem o plano em duas partes:

• interno - em planimetria não excede 180 graus;
• externo.

O princípio de medição de ângulos em planimetria explicado intuitivamente. Para começar, os alunos são apresentados ao conceito de ângulo desenvolvido.

Importante! Diz-se que um ângulo está desenvolvido se as semi-retas que emanam de seu vértice formam uma linha reta. Um ângulo desdobrado é todos os outros casos.

Se for dividido em 180 partes iguais, costuma-se considerar a medida de uma parte igual a 10. Nesse caso, dizem que a medida é feita em graus, e a medida em graus de tal figura é 180 graus.

Tipos principais

Os tipos de ângulos são subdivididos de acordo com critérios como a medida do grau, a natureza de sua formação e as categorias apresentadas a seguir.

Por tamanho

Dada a magnitude, os ângulos são divididos em:

• implantado;
• Em linha reta;
• cego;
• apimentado.

Qual ângulo é chamado de desdobrado foi apresentado acima. Vamos definir o conceito de linha reta.

Pode ser obtido dividindo o implantado em duas partes iguais. Nesse caso, é fácil responder à pergunta: um ângulo reto, quantos graus tem?

Divida 180 graus por 2 para obter ângulo reto é 90 graus. Esta é uma figura maravilhosa, pois muitos fatos da geometria estão associados a ela.

Também possui características próprias na designação. Para mostrar um ângulo reto na figura, ele é indicado não por um arco, mas por um quadrado.

Os ângulos que são obtidos pela divisão de um raio arbitrário de uma linha reta são chamados agudos. De acordo com a lógica das coisas, segue-se que um ângulo agudo é menor que um ângulo reto, mas sua medida é diferente de 0 graus. Ou seja, tem um valor de 0 a 90 graus.

Um ângulo obtuso é maior que um ângulo reto, mas menor que um ângulo reto. Sua medida de grau varia de 90 a 180 graus.

Este elemento pode ser dividido em diferentes tipos de figuras em consideração, excluindo a expandida.

Independentemente de como o ângulo não girado é quebrado, o axioma básico da planimetria é sempre usado - “a principal propriedade da medida”.

No dividindo o ângulo com um feixe ou vários, a medida em graus de uma dada figura é igual à soma das medidas dos ângulos em que ela é dividida.

No nível do 7º ano, os tipos de ângulos em sua magnitude terminam aí. Mas para aumentar a erudição, pode-se acrescentar que existem outras variedades que possuem medida de grau superior a 180 graus, são chamadas de convexas.

Figuras na interseção de linhas

Os próximos tipos de ângulos aos quais os alunos são apresentados são os elementos formados quando duas linhas se cruzam. Figuras que são colocadas em frente uma da outra são chamadas de verticais. Sua característica distintiva é que eles são iguais.

Os elementos adjacentes à mesma linha são chamados de adjacentes. O teorema que mapeia sua propriedade diz que Ângulos adjacentes somam 180 graus.

Elementos em um triângulo

Se considerarmos a figura como um elemento de um triângulo, os ângulos são divididos em internos e externos. O triângulo é limitado por três segmentos e consiste em três vértices. Os ângulos localizados dentro do triângulo em cada vértice, chamado interno.

Se pegarmos qualquer elemento interno em qualquer vértice e estendermos qualquer lado, o ângulo formado e adjacente ao interno é chamado de externo. Este par de elementos tem a seguinte propriedade: sua soma é 180 graus.

Intersecção de duas retas

Interseção de linha

Quando duas retas se cruzam, os ângulos também são formados, que geralmente são distribuídos em pares. Cada par de elementos tem seu próprio nome. Se parece com isso:

• reticulação interna: ∟4 e ∟6, ∟3 e ∟5;
• interno unilateral: ∟4 e ∟5, ∟3 e ∟6;
• correspondentes: ∟1 e ∟5, ∟2 e ∟6, ∟4 e ∟8, ∟3 e ∟7.

Quando uma secante cruza duas

Medida do ângulo

O ângulo in é medido em graus (graus, minutos, segundos), em revoluções - a razão entre o comprimento do arco s e a circunferência L, em radianos - a razão entre o comprimento do arco s e o raio r; historicamente, a medida de granizo para medir ângulos também era usada; atualmente, quase nunca é usada.

1 volta = 2π radianos = 360° = 400 graus.

Na terminologia náutica, os ângulos são indicados por pontos.

Tipos de canto

Os ângulos adjacentes são agudos (a) e obtusos (b). Ângulo invertido (c)

Além disso, considera-se o ângulo entre as curvas suaves no ponto tangente: por definição, seu valor é igual ao ângulo entre as tangentes às curvas.

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é o "ângulo desenvolvido" em outros dicionários:

Um ângulo igual a dois ângulos retos. * SCAN de uma superfície é uma figura obtida em um plano quando os pontos de uma dada superfície são combinados com este plano de tal forma que os comprimentos das linhas permanecem inalterados. Desenvolvimento de curva ver Involute ... Grande Dicionário Enciclopédico

injeção- ▲ diferença de direção (no espaço) extensão do ângulo de giro de uma direção para outra; diferença de direção; parte de uma volta completa (inclinação #. forma #). inclinar. inclinado. desvio. desviar (a estrada desviou para a direita). ... ...

Injeção- Cantos: 1 vista geral; 2 adjacentes; 3 adjacentes; 4 verticais; 5 implantados; 6 retas, afiadas e contundentes; 7 entre curvas; 8 entre uma linha reta e um plano; 9 entre linhas retas que se cruzam (não estão no mesmo plano) linhas retas. ÂNGULO, geométrico… … Dicionário Enciclopédico Ilustrado

Uma figura geométrica que consiste em dois raios diferentes que emanam do mesmo ponto. Raios chamados lados U., e seu início comum é o vértice U. Seja [BA), [BC) os lados do ângulo, B seu vértice, o plano determinado pelos lados U. A figura divide o plano ... ... Enciclopédia Matemática

Um ângulo igual a dois ângulos retos. * * * ÂNGULO REVELADO ÂNGULO REVELADO, um ângulo igual a dois ângulos retos... dicionário enciclopédico

Ramo da matemática que estuda as propriedades de várias formas (pontos, linhas, ângulos, objetos bidimensionais e tridimensionais), seu tamanho e posição relativa. Para facilitar o ensino, a geometria é dividida em planimetria e geometria sólida. NO… … Enciclopédia Collier

1) Uma linha quebrada fechada, a saber: se pontos diferentes, três deles não consecutivos estiverem em uma linha reta, então o conjunto de segmentos é chamado. polígono (ver Fig. 1). M. pode ser espacial ou plano (abaixo ... ... Enciclopédia Matemática

através- ▲ em ângulo máximo, ângulo oblíquo transversal. transversalmente em ângulo reto. . ângulo reto de deflexão máxima; um ângulo igual ao seu adjacente; quarto de volta. perpendicular. perpendiculares em ângulos retos. perpendicular. ... ... Dicionário ideográfico da língua russa

grau- a, m. 1) A unidade de medida de um ângulo plano, igual a 1/90 de um ângulo reto ou, respectivamente, 1/360 de um círculo. Um ângulo de 90 graus é chamado de ângulo reto. O ângulo expandido é de 180 graus. 2) Uma unidade de medida para um intervalo de temperatura com ... ... Dicionário popular da língua russa

O teorema de Schwartz Christoffel, um teorema importante na teoria das funções de uma variável complexa, leva o nome dos matemáticos alemães Karl Schwartz e Alvin Christoffel. Muito importante do ponto de vista prático é o problema da conformação ... ... Wikipedia

O ângulo é a principal figura geométrica, que analisaremos ao longo do tópico. Definições, métodos de ajuste, notação e medição do ângulo. Vamos analisar os princípios de seleção de cantos nos desenhos. Toda a teoria é ilustrada e conta com um grande número de desenhos visuais.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1

Injeção- uma figura simples e importante na geometria. O ângulo depende diretamente da definição de um raio, que por sua vez consiste nos conceitos básicos de um ponto, uma linha e um plano. Para um estudo completo, você precisa se aprofundar nos tópicos linha reta em um plano - informações necessárias e avião - informações necessárias.

O conceito de ângulo começa com os conceitos de ponto, plano e linha reta representados neste plano.

Definição 2

Dada uma linha a em um plano. Denote algum ponto O nele. A linha é dividida por um ponto em duas partes, cada uma com um nome Raio, e o ponto O é início do feixe.

Em outras palavras, um feixe ou meia linha -é uma parte de uma linha, composta por pontos de uma dada linha, localizados no mesmo lado em relação ao ponto de partida, ou seja, o ponto O.

A designação do feixe é permitida em duas variações: uma minúscula ou duas maiúsculas do alfabeto latino. Quando denotado por duas letras, o feixe tem um nome composto por duas letras. Vamos dar uma olhada mais de perto no desenho.

Vamos passar para o conceito de definir um ângulo.

Definição 3

Injeção- esta é uma figura localizada em um determinado plano, formada por dois raios desencontrados que têm uma origem comum. canto lateralé um feixe vértice- o início comum das partes.

Há um caso em que os lados de um ângulo podem atuar como uma linha reta.

Definição 4

Quando ambos os lados de um ângulo estão localizados na mesma linha reta ou seus lados servem como meias-linhas adicionais de uma linha reta, esse ângulo é chamado implantado.

A figura abaixo mostra um canto achatado.

Um ponto em uma linha reta é o vértice do ângulo. Na maioria das vezes, é denotado pelo ponto O.

Um ângulo em matemática é denotado pelo sinal "∠". Quando os lados de um ângulo são indicados pelo latim pequeno, para a definição correta do ângulo, as letras são escritas em uma linha, respectivamente, de acordo com os lados. Se dois lados são denotados k e h, então o ângulo é denotado como ∠ k h ou ∠ h k .

Quando há uma designação em letras maiúsculas, então, respectivamente, os lados do canto têm os nomes O A e O B. Neste caso, o ângulo tem um nome de três letras do alfabeto latino, escritas em linha, no centro com um vértice - ∠ A O B e ∠ B O A . Há uma designação na forma de números quando os cantos não possuem nomes ou letras. Abaixo está uma figura onde os ângulos são indicados de diferentes maneiras.

Um ângulo divide o plano em duas partes. Se o ângulo não for desenvolvido, então uma parte do plano tem o nome área do canto interno, o outro - área do canto externo. Abaixo está uma imagem explicando quais partes do avião são externas e quais são internas.

Quando dividido por um ângulo reto em um plano, qualquer uma de suas partes é considerada o interior do ângulo reto.

A área interna do canto é um elemento que serve para a segunda definição do canto.

Definição 5

canto uma figura geométrica é chamada, consistindo em dois raios não coincidentes, tendo uma origem comum e uma área interna correspondente do ângulo.

Esta definição é mais rigorosa que a anterior, pois tem mais condições. Não é aconselhável considerar ambas as definições separadamente, pois um ângulo é uma figura geométrica transformada usando dois raios saindo de um ponto. Quando é necessário realizar ações com um ângulo, então a definição significa a presença de dois raios com origem comum e região interna.

Definição 6

Os dois cantos são chamados relacionado, se houver um lado comum, e os outros dois são meias-linhas complementares ou formam um ângulo reto.

A figura mostra que os cantos adjacentes se complementam, pois são uma continuação um do outro.

Definição 7

Os dois cantos são chamados vertical, se os lados de uma são meias-linhas complementares da outra ou são extensões dos lados da outra. A figura abaixo mostra uma imagem dos cantos verticais.

Ao cruzar linhas, são obtidos 4 pares de ângulos adjacentes e 2 pares de ângulos verticais. Abaixo é mostrado na imagem.

O artigo mostra as definições de ângulos iguais e desiguais. Analisaremos qual ângulo é considerado grande, qual é menor, e outras propriedades do ângulo. Duas figuras são consideradas iguais se, quando sobrepostas, coincidem completamente. A mesma propriedade se aplica à comparação de ângulos.

Dados dois ângulos. É necessário chegar à conclusão se esses ângulos são iguais ou não.

Sabe-se que os vértices de dois vértices e o lado do primeiro vértice se sobrepõem a qualquer outro lado do segundo. Ou seja, em caso de coincidência completa, quando os ângulos são sobrepostos, os lados dos ângulos dados coincidem completamente, os ângulos igual.

Pode ser que ao sobrepor os lados não possam ser combinados, então os cantos desigual, menor dos quais consiste em outro, e mais incorpora um outro ângulo completo. Abaixo estão os ângulos desiguais não alinhados quando sobrepostos.

Os ângulos desenvolvidos são iguais.

A medição dos ângulos começa com a medição do lado do ângulo medido e sua região interna, preenchendo os quais com os ângulos unitários, eles são aplicados um ao outro. É necessário contar o número de cantos empilhados, eles predeterminam a medida do ângulo medido.

Uma unidade de ângulo pode ser expressa em qualquer ângulo mensurável. Existem unidades de medida geralmente aceitas que são usadas em ciência e tecnologia. Eles se especializam em outros títulos.

O conceito mais usado grau.

Definição 8

um graué chamado um ângulo que tem um centésimo octogésimo de um ângulo reto.

A notação padrão para um grau é "°", então um grau é 1°. Portanto, um ângulo reto consiste em 180 desses ângulos, consistindo em um grau. Todos os cantos disponíveis são empilhados firmemente entre si e os lados do anterior são alinhados com o próximo.

Sabe-se que o número de graus em um ângulo é a mesma medida do ângulo. O canto desenvolvido possui 180 cantos empilhados em sua composição. A figura abaixo mostra exemplos onde o ângulo é colocado 30 vezes, ou seja, um sexto do desdobrado, e 90 vezes, ou seja, metade.

Minutos e segundos são usados ​​para determinar com precisão as medidas de ângulo. Eles são usados ​​quando o valor do ângulo não é uma designação de grau inteiro. Essas partes de um grau permitem realizar cálculos mais precisos.

Definição 9

minuto chamado um sexagésimo de grau.

Definição 10

segundo chamado um sexagésimo de minuto.

Um grau contém 3600 segundos. Minutos denotam """, e segundos """". A designação ocorre:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

e a notação para o ângulo 17 graus 3 minutos e 59 segundos é 17° 3 "59"".

Definição 11

Vamos dar um exemplo da designação da medida de grau de um ângulo igual a 17 ° 3 "59" ". A entrada tem outra forma 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Para medir ângulos com precisão, um dispositivo de medição, como um transferidor, é usado. Ao designar o ângulo ∠ A O B e sua medida de grau de 110 graus, uma notação mais conveniente é usada ∠ A O B \u003d 110 °, que diz "Ângulo A O B é igual a 110 graus".

Em geometria, uma medida de ângulo do intervalo (0, 180] é usada, e em trigonometria uma medida de grau arbitrária é chamada ângulos de giro. O valor dos ângulos é sempre expresso como um número real. Ângulo certoé um ângulo que tem 90 graus. Canto afiadoé um ângulo menor que 90 graus, e cego- mais.

Um ângulo agudo é medido no intervalo (0, 90) e um ângulo obtuso - (90, 180) . Três tipos de ângulos são claramente mostrados abaixo.

Qualquer medida de grau de qualquer ângulo tem o mesmo valor. Um ângulo maior, respectivamente, tem uma medida de grau maior do que um menor. A medida em graus de um ângulo é a soma de todas as medidas de graus disponíveis de ângulos internos. A figura abaixo mostra o ângulo AOB, composto pelos ângulos AOC, COD e DOB. Em detalhes, fica assim: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Com base nisso, pode-se concluir que soma tudo ângulos adjacentes é de 180 graus porque todos eles formam um ângulo expandido.

Daí resulta que qualquer os ângulos verticais são iguais. Se considerarmos isso com um exemplo, obtemos que o ângulo A O B e C O D são verticais (no desenho), então os pares de ângulos A O B e B O C, C O D e B O C são considerados adjacentes. Nesse caso, a igualdade ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° juntamente com ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° são consideradas exclusivamente verdadeiras. Daí temos que ∠ A O B = ∠ C O D . Abaixo está um exemplo da imagem e designação de capturas verticais.

Além de graus, minutos e segundos, outra unidade de medida é usada. É chamado radiano. Na maioria das vezes, pode ser encontrado na trigonometria ao designar os ângulos dos polígonos. O que é chamado de radiano.

Definição 12

Um ângulo radiano chamado de ângulo central, que tem um raio de um círculo igual ao comprimento do arco.

Na figura, o radiano é representado como um círculo, onde há um centro, indicado por um ponto, com dois pontos no círculo conectados e convertidos em raios O A e O B. Por definição, este triângulo A O B é equilátero, o que significa que o comprimento do arco A B é igual aos comprimentos dos raios O B e Oh A.

A designação do ângulo é tomada como "rad". Ou seja, uma entrada em 5 radianos é abreviada como 5 rad. Às vezes você pode encontrar uma designação que tem o nome pi. Os radianos não dependem do comprimento de um determinado círculo, pois as figuras têm algum tipo de restrição com a ajuda de um ângulo e seu arco com um centro localizado no vértice de um determinado ângulo. Eles são considerados semelhantes.

Os radianos têm o mesmo significado que os graus, apenas a diferença está em sua magnitude. Para determinar isso, é necessário dividir o comprimento calculado do arco do ângulo central pelo comprimento de seu raio.

Na prática, eles usam converter graus para radianos e radianos para graus para facilitar a resolução de problemas. O artigo especificado contém informações sobre a conexão entre a medida de grau e o radiano, onde você pode estudar detalhadamente as traduções de grau para radiano e vice-versa.

Para uma representação visual e conveniente de arcos, ângulos e desenhos são usados. Nem sempre é possível representar e marcar corretamente um determinado ângulo, arco ou nome. Ângulos iguais têm a designação na forma do mesmo número de arcos e desiguais na forma de diferentes. O desenho mostra a designação correta de ângulos agudos, iguais e desiguais.

Quando mais de 3 cantos precisam ser marcados, são usadas designações especiais de arco, como ondulado ou irregular. Não importa tanto. A figura abaixo mostra sua designação.

A designação dos ângulos deve ser simples para não interferir em outros valores. Ao resolver um problema, recomenda-se selecionar apenas os cantos necessários para resolver, para não sobrecarregar todo o desenho. Isso não interferirá na solução e na prova, e também dará uma aparência estética ao desenho.

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